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# 数学方法整理
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## **一、通用数学思想 (宏观层面)**
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1. 数形结合思想
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2. 分类讨论思想
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3. 化归与转化思想
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4. 函数与方程思想
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5. 从特殊到一般思想
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6. 从一般到特殊思想
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7. 公理化思想
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8. 模型化思想
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9. 坐标化思想 / 解析法
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10. 或然思想 / 随机思想
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11. 用样本估计总体思想
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12. 向量法
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13. 坐标法 / 解析几何思想
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14. 方程思想
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15. 类比思想
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16. 极限思想
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17. 归纳-猜想-证明思想
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18. 特殊与一般思想
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19. 正难则反思想 (间接法)
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## **二、通用解题策略 (中观层面)**
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1. 待定系数法
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2. 换元法
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3. 配方法
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4. 定义法
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5. 分析法 (执果索因/倒推法)
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6. 综合法 (由因导果/顺推法)
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7. 举反例法
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8. 逻辑演绎法
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9. 归纳猜想法
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10. 构造法
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11. 分离常数法
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12. 反证法
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13. 轨迹方程求解法
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14. 韦达定理应用
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15. 数学归纳法
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16. 比较法 (作差、作商)
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17. 赋值法
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## **三、具体计算与操作技巧 (微观层面)**
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### **集合与逻辑**
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1. 元素分析法
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2. Venn图表示法
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3. 数轴标根法
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### **函数、方程与不等式**
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4. 作差(商)比较法
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5. 因式分解法
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6. 公式法 (求根公式)
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7. 图像交点法
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8. 零点存在性定理应用
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9. 二分法
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10. 利用单调性比较大小
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11. 图像变换法 (平移、伸缩、对称)
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12. 五点法作图
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### **指数与对数**
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13. 指数/对数运算法则应用
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14. 换底公式法
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15. 对数化指数/指数化对数
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### **三角函数**
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16. 单位圆分析法
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17. 诱导公式化简法
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18. 三角函数线法
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19. 和角与差角公式应用
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20. 倍角公式应用
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21. 半角公式应用
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22. 辅助角公式法 (化一法)
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23. 积化和差法
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24. 和差化积法
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25. 切化弦法
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26. "1"的代换法
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### **向量与复数**
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27. 向量的几何作图法 (三角形法则、平行四边形法则)
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28. 向量的坐标运算法
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29. 基底法 / 向量分解法
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30. 向量线性运算
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31. 向量数量积运算法
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32. 中点/定比分点坐标公式应用
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33. 正弦/余弦定理应用
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34. 面积公式应用
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35. 复数代数形式运算法则
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36. 复数几何意义分析法
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37. 复数三角形式运算法则
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38. 棣莫弗定理应用
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39. 共轭复数性质应用
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40. 空间向量的几何运算法
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41. 空间向量共线/共面定理应用
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42. 空间向量基本定理应用
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43. 空间直角坐标系建立
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44. 空间向量的坐标运算法
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45. 利用法向量处理平行与垂直问题
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46. 利用向量数量积求角
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47. 利用向量投影求距离
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### **立体几何**
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48. 公理化/符号化推理法
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49. 平移法
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50. 补全法
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51. 割补法
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52. 定义判定法
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53. 判定定理与性质定理的转化应用
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54. 作-证-求三步法
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55. 射影法
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56. 三垂线定理及其逆定理应用
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57. 面积射影定理应用
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58. 等体积法 / 体积桥
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59. 祖暅原理应用
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60. 直观图画法 (斜二测画法、正等测画法)
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### **解析几何**
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61. 斜率公式应用
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62. 直线方程的选取与互化
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63. 参数方程应用
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64. 方程联立求解法
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65. 两点间距离公式应用
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66. 点到直线距离公式应用
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67. 两平行线间距离公式应用
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68. 对称问题处理方法
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69. 弦长公式应用
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70. 圆的方程的选取与互化
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71. 圆锥曲线标准方程的求解
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72. 圆锥曲线几何性质的计算
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73. 点与圆锥曲线位置关系判断
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74. 直线与圆锥曲线位置关系判断
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75. 中点弦问题处理 (点差法)
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76. 焦点弦性质应用
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77. 光学性质应用
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78. 参数法/定义法求解最值问题
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79. 信息技术探究法
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### **数列**
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80. 观察归纳法
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81. 公式法
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82. 倒序相加法
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83. 错位相减法
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84. 裂项相消法
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85. 分组求和法
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86. 利用a_n与S_n的关系
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87. 基本量法
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88. 性质应用法
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89. 取对数法
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### **导数**
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90. 极限逼近法
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91. 导数定义法求导
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92. 基本初等函数求导公式应用
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93. 导数的四则运算法则
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94. 复合函数求导的链式法则
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95. 利用导数判断函数单调性
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96. 利用导数求函数极值
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97. 利用导数求函数在闭区间上的最值
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98. 利用导数解决优化问题
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99. 切线方程求解法
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100. 牛顿迭代法
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101. 构造辅助函数证明不等式
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### **统计与概率**
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102. 随机抽样法 (抽签法、随机数法)
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103. 分层抽样法
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104. 数据可视化法
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105. 数字特征分析法
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106. 频率估计概率法
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107. 数据拟合法
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108. 枚举法 / 列表法 / 树状图法
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109. 排列组合法
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110. 概率性质应用法
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111. 事件关系转化法
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112. 独立事件概率乘法公式
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113. 随机模拟法 / 蒙特卡洛方法
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114. 条件概率公式法
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115. 概率乘法公式法
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116. 全概率公式法
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117. 贝叶斯公式法
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118. 概率分布列构建
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119. 期望 (均值) 计算
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120. 方差、标准差计算
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121. 二项分布模型应用
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122. 超几何分布模型应用
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123. 正态分布模型应用
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124. 散点图分析法
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125. 相关系数计算与判断
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126. 经验回归模型构建
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127. 最小二乘法
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128. 残差分析法
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129. 决定系数(R²)分析法
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130. 2×2列联表分析法
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131. χ²(卡方)独立性检验
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### **计数原理**
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132. 穷举法 / 枚举法
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133. 树状图法
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134. 分类加法计数
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135. 分步乘法计数
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136. 排列计算
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137. 组合计算
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138. 捆绑法
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139. 插空法
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140. 隔板法
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141. 排除法 (去杂法)
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142. 间接法 (补集思想)
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143. 二项式展开
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144. 通项公式法
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145. 系数分离法
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146. 递归思想
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# 1A
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## **第一章 集合与常用逻辑用语**
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* **集合基础**
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* 集合 (Set)
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* 元素 (Element)
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* 属于关系 (Belong to)
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* 集合的性质
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* 确定性
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* 互异性
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* 无序性
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* **集合的表示**
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* 列举法
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* 描述法
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* Venn图
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* **常用数集**
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* 自然数集 (N)
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* 正整数集 (N*)
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* 整数集 (Z)
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* 有理数集 (Q)
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* 实数集 (R)
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* **集合间的关系**
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* 子集
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* 集合相等
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* 真子集
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* 空集
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* **集合的运算**
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* 并集
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* 交集
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* 全集
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* 补集
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* **逻辑用语**
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* 命题
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* 真命题
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* 假命题
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* 逻辑联结词（隐含）
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* 四种命题（隐含，逆命题明确提及）
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* 原命题
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* 逆命题
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* 否命题
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* 逆否命题
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* 条件关系
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* 充分条件
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* 必要条件
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* 充要条件 (充分必要条件)
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* 量词
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* 全称量词
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* 存在量词
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* 量词命题
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* 全称量词命题
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* 存在量词命题
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* 命题的否定
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## **第二章 一元二次函数、方程和不等式**
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* **不等式**
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* 不等式
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* 不等式的性质
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* 基本不等式
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* 算术平均数
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* 几何平均数
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* **一元二次**
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* 一元二次函数
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* 一元二次方程
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* 一元二次不等式
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* **函数与方程的联系**
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* 函数的零点
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* 方程的根
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* 函数图像与x轴的交点
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## **第三章 函数的概念与性质**
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* **函数基本概念**
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* 函数 (集合与对应定义)
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* 函数三要素
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* 定义域
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* 值域
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* 对应关系
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* 自变量 / 因变量
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* 函数值
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* **函数的表示**
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* 解析法
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* 列表法
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* 图像法
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* **特殊函数形式**
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* 分段函数
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* 幂函数
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* **函数的性质**
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* 单调性
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* 增函数 (单调递增)
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* 减函数 (单调递减)
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* 单调区间
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* 最值
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* 最大值
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* 最小值
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* 奇偶性
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* 奇函数
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* 偶函数
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* **区间表示**
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* 区间
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* 开区间
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* 闭区间
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* 半开半闭区间
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* 无穷 (Infinity)
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## **第四章 指数函数与对数函数**
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* **指数**
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* n次方根
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* 根式
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* 根指数
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* 被开方数
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* 指数幂
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* 整数指数幂
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* 分数指数幂
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* 实数指数幂
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* **指数函数**
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* 指数函数
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* 指数增长模型
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* 增长率
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* 倍增期
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* 指数衰减模型
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* 衰减率
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* 半衰期
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* **对数**
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* 对数
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* 底数
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* 真数
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* 特殊对数
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* 常用对数
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* 自然对数 (底数e)
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* **对数函数**
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* 对数函数
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* 对数运算法则
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* 换底公式
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* **函数关系与应用**
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* 反函数
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* 函数零点存在定理
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* 二分法
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* 函数模型
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## **第五章 三角函数**
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* **角**
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* 任意角
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* 正角
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* 负角
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* 零角
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* 象限角
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* 轴线角（坐标轴上的角）
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* 终边相同的角
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* **角的度量**
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* 角度制
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* 弧度制
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* 弧度 (Radian)
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* **三角函数定义**
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* 单位圆
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* 正弦 (Sine)
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* 余弦 (Cosine)
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* 正切 (Tangent)
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* 三角函数 / 三角函数线
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* **三角函数性质与图像**
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* 周期性
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* 周期函数
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* 周期
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* 最小正周期
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* 奇偶性
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* 单调性
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* 值域 / 最值
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* 图像
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* 正弦曲线
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* 余弦曲线
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* 正切曲线
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* **三角恒等变换**
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* 同角三角函数关系
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* 平方关系
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* 商数关系
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* 诱导公式
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* 两角和与差的三角函数
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* 两角和公式
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* 两角差公式
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* 二倍角公式
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* 半角公式 (隐含在例题中)
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* 积化和差公式
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* 和差化积公式
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* **`y = Asin(ωx + φ)`**
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* 振幅 (Amplitude)
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* 周期 (Period)
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* 频率 (Frequency)
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* 相位 (Phase)
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* 初相 (Initial Phase)
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* **应用模型**
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* 简谐运动
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# 1B
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## **第六章 平面向量及其应用**
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* **向量基础**
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* 向量 (Vector) / 矢量
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* 数量 / 标量
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* 有向线段
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* 起点
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* 终点
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* 向量的模 (长度)
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* 特殊向量
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* 零向量
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* 单位向量
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* **向量间的关系**
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* 平行向量 / 共线向量
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* 相等向量
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* 相反向量
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* **向量的运算**
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* 向量加法
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* 三角形法则
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* 平行四边形法则
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* 向量减法
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* 向量数乘
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* 向量的线性运算
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* 向量数量积 (内积)
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* **向量的几何应用**
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* 向量的夹角
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* 向量垂直
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* 投影 / 投影向量
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* 平面向量基本定理
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* 基底
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* 向量的坐标表示
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* 向量的坐标
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* 解三角形 (Solving a triangle)
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* 三角形的元素
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* 正弦定理 (Sine Theorem)
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* 余弦定理 (Cosine Theorem)
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## **第七章 复数**
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* **复数基本概念**
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* 复数 (Complex Number)
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* 虚数单位 (i)
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* 复数集 (C)
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* 复数的组成
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* 实部
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* 虚部
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* 复数分类
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* 实数
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* 虚数
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* 纯虚数
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* 复数相等
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* 共轭复数
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|
* **复数的几何意义**
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* 复平面
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* 实轴
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|
* 虚轴
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|
* 复数的向量表示
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* 复数的模 (绝对值)
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* **复数的表示形式**
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|
* 代数形式
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* 三角形式
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* 辐角
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* 辐角的主值
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* **复数的运算**
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* 复数加法
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|
* 复数减法
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* 复数乘法
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* 复数除法
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|
* **复数与方程**
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|
* 代数基本定理
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|
* n次方根 (复数域)
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* 单位根 (1的n次方根)
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|
* 棣莫弗定理 (De Moivre's formula)
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## **第八章 立体几何初步**
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* **空间几何体**
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* 空间几何体
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* 多面体
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|
* 面 / 棱 / 顶点
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* 旋转体
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* 旋转面 / 旋转轴
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* **基本立体图形**
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* 柱体
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* 棱柱
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|
* 底面 / 侧面 / 侧棱
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|
* 直棱柱 / 斜棱柱
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|
* 正棱柱
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|
* 平行六面体
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|
* 圆柱
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* 轴 / 底面 / 侧面 / 母线
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|
* 锥体
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|
* 棱锥
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|
* 底面 / 侧面 / 侧棱 / 顶点
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|
* 正棱锥
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* 四面体
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* 圆锥
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|
* 台体
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* 棱台
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|
* 上底面 / 下底面
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|
* 圆台
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|
* 球体
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|
* 球面 / 球心 / 半径 / 直径
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* **组合体**
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* 简单组合体
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* **图形的表示**
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* 直观图
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* 投影
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* 斜二测画法
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* **空间中的位置关系**
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* 点、直线、平面
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* 直线与直线关系
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* 共面直线 (相交 / 平行)
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|
* 异面直线
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* 异面直线所成的角
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|
* 直线与平面关系
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* 直线在平面内
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* 直线与平面相交
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* 斜线 / 斜足
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* 射影
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|
* 直线与平面所成的角
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||||||
|
* 直线与平面平行
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||||||
|
* 直线与平面垂直 (垂线 / 垂面 / 垂足)
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|
* 点到平面的距离 (垂线段)
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|
* 平面与平面关系
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|
* 平面平行
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|
* 平面相交
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* 交线
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|
* 二面角
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* 棱 / 面
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|
* 二面角的平面角
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|
* 直二面角
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* 平面垂直
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* **几何体的度量**
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* 表面积
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* 体积
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* 祖暅原理
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## **第九章 统计**
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* **抽样**
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* 总体 / 个体
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* 全面调查 (普查)
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* 抽样调查
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* 样本
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* 样本容量
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* 样本数据
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* 抽样方法
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|
* 简单随机抽样
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|
* 抽签法
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|
* 随机数法
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|
* 分层随机抽样 (Stratified Sampling)
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|
* 层 (Strata)
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|
* 比例分配
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* **数据整理与描述**
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|
* 频率分布表
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* 频率分布直方图
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|
* 组距 / 组数
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|
* **样本的数字特征**
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|
* 集中趋势
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|
* 样本均值 (平均数)
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|
* 中位数
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|
* 众数
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|
* 位置度量
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|
* 百分位数
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||||||
|
* 四分位数 (上/下四分位数)
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|
* 离散程度
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|
* 极差
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|
* 方差
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|
* 标准差
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|
* **总体估计**
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|
* 用样本估计总体
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|
* 样本均值估计总体均值
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|
* 样本频率分布估计总体分布
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|
* 样本标准差估计总体标准差
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## **第十章 概率**
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* **随机事件**
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|
* 随机试验
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* 样本点
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|
* 样本空间 (有限样本空间)
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* 随机事件
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|
* 基本事件
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|
* 必然事件
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|
* 不可能事件
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|
* **事件间的关系与运算**
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|
* 事件包含
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|
* 事件相等
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* 并事件 (和事件)
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* 交事件 (积事件)
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|
* 互斥事件 (互不相容)
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|
* 对立事件 (互逆事件)
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|
* **概率**
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|
* 概率
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|
* 古典概型 (等可能概型)
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|
* 频率与概率的关系
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* 频率的稳定性
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|
* 几何概型（隐含）
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|
* **概率的性质**
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|
* 概率的基本性质
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|
* 互斥事件的概率加法公式
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|
* 对立事件的概率公式
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|
* **独立性**
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|
* 相互独立事件
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|
* **模拟**
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|
* 随机模拟 (蒙特卡洛方法)
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|
* 随机数 / 伪随机数
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|
*
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# 2A
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## **第一章 空间向量与立体几何**
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* **空间向量基础**
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* 空间向量
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|
* 空间向量的模 (长度)
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|
* 相等向量 (空间)
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|
* 共线向量 / 平行向量 (空间)
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|
* 共面向量
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|
* **空间向量线性运算**
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|
* 空间向量加法
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|
* 空间向量减法
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|
* 空间向量数乘
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|
* 空间向量的线性运算
|
||||||
|
* **空间向量基本定理**
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|
* 空间基底 / 基向量
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|
* 单位正交基底
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|
* 正交分解
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|
* **空间向量数量积**
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|
* 空间向量的夹角
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|
* 空间向量垂直
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|
* 空间向量的数量积 (内积)
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|
* 投影向量 (空间)
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|
* **空间向量与坐标**
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|
* 空间直角坐标系
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|
* 原点 / 坐标轴 / 坐标平面
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|
* 右手直角坐标系
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|
* 空间向量的坐标表示
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* 空间点的坐标
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|
* 空间两点间的距离公式
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* **向量应用**
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* 直线的方向向量
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|
* 平面的法向量
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|
* 线线、线面、面面平行 (向量表示)
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||||||
|
* 线线、线面、面面垂直 (向量表示)
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||||||
|
* 点到直线的距离 (向量表示)
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|
* 点到平面的距离 (向量表示)
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|
* 异面直线所成的角
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|
* 直线与平面所成的角
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|
* 二面角的平面角 / 平面夹角
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|
## **第二章 直线和圆的方程**
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* **直线基本要素**
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|
* 倾斜角
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|
* 斜率
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|
* 直线的方向向量
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|
* **直线的方程**
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|
* 点斜式方程
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|
* 斜截式方程
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|
* 截距 (y轴截距)
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|
* 两点式方程
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|
* 截距式方程 (x轴截距, y轴截距)
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||||||
|
* 一般式方程
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|
* 参数方程
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|
* **直线的位置关系**
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|
* 直线平行 (斜率关系)
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|
* 直线垂直 (斜率关系)
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|
* 直线相交 / 交点坐标
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|
* **距离公式**
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|
* 两点间的距离公式
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|
* 点到直线的距离公式
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|
* 两平行直线间的距离公式
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|
* **圆**
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|
* 圆的定义
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* 圆的方程
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|
* 标准方程 (圆心, 半径)
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|
* 一般方程
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* **位置关系**
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* 直线与圆的位置关系
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* 相交 / 相切 / 相离
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* 弦长
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|
* 圆与圆的位置关系
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|
* 相交 / 相切 (内切/外切) / 相离 (内含/外离)
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|
* 公共弦
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|
* **点的轨迹**
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|
* 轨迹
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* 轨迹方程
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## **第三章 圆锥曲线的方程**
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* **圆锥曲线 (二次曲线)**
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|
* 圆锥曲线 (Conic Sections)
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|
* **椭圆 (Ellipse)**
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|
* 椭圆的定义
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|
* 焦点 / 焦距 / 半焦距
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|
* 椭圆的标准方程
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|
* 椭圆的几何性质
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|
* 范围
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||||||
|
* 对称性 (对称轴/对称中心)
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||||||
|
* 顶点
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||||||
|
* 长轴 / 短轴 / 长半轴 / 短半轴
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||||||
|
* 离心率 (Eccentricity)
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||||||
|
* 准线
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||||||
|
* **双曲线 (Hyperbola)**
|
||||||
|
* 双曲线的定义
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|
* 焦点 / 焦距
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||||||
|
* 双曲线的标准方程
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||||||
|
* 双曲线的几何性质
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||||||
|
* 范围
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||||||
|
* 对称性
|
||||||
|
* 顶点
|
||||||
|
* 实轴 / 虚轴 / 实半轴 / 虚半轴
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|
* 离心率
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||||||
|
* 渐近线
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||||||
|
* 等轴双曲线
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||||||
|
* **抛物线 (Parabola)**
|
||||||
|
* 抛物线的定义
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||||||
|
* 焦点
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||||||
|
* 准线
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||||||
|
* 抛物线的标准方程
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||||||
|
* 抛物线的几何性质
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||||||
|
* 范围
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|
* 对称性 (轴)
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|
* 顶点
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|
* 离心率
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* **通用性质**
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* 圆锥曲线的光学性质
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||||||
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* 反射角 / 入射角
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*
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# 2B
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## **第四章 数列**
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* **数列基础**
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* 数列 (Sequence of number)
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* 项 (Term)
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|
* 首项
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||||||
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* 有穷数列 / 无穷数列
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||||||
|
* 数列的表示
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* 通项公式
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|
* 递推公式
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* 前n项和
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||||||
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* **等差数列 (Arithmetic Progression)**
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|
* 等差数列
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* 公差 (Common Difference)
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* 等差中项
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||||||
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* 等差数列的通项公式
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|
* 等差数列的前n项和公式
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|
* **等比数列 (Geometric Progression)**
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||||||
|
* 等比数列
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||||||
|
* 公比 (Common Ratio)
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||||||
|
* 等比中项
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||||||
|
* 等比数列的通项公式
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|
* 等比数列的前n项和公式
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|
* **数列与函数**
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|
* 数列作为特殊函数 (定义域为正整数集或其子集的函数)
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|
* 数列的单调性
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||||||
|
* 递增数列
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||||||
|
* 递减数列
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||||||
|
* 常数列
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||||||
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* **证明方法**
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|
* 数学归纳法 (Mathematical Induction)
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||||||
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* 归纳奠基
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* 归纳递推
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* **特殊数列**
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* 斐波那契数列
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## **第五章 一元函数的导数及其应用**
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* **变化率与导数**
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* 平均变化率
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* 瞬时变化率
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* 瞬时速度
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||||||
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* 导数 (Derivative)
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* 导函数 (Derived Function)
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* **导数的几何意义**
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* 割线 / 割线斜率
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|
* 切线 / 切线斜率
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* **导数的运算**
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* 基本初等函数的导数公式
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* 导数的运算法则
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* 和(差)的导数
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* 积的导数
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* 商的导数
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* 复合函数 (Composite Function)
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* 复合函数的求导法则 (链式法则)
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* **导数的应用**
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||||||
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* 函数的单调性与导数
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* 函数单调性的判定
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* 函数的极值与导数
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* 极值 (Extremum)
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|
* 极大值
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||||||
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* 极小值
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* 极值点
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* 函数的最大(小)值与导数
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* 最值
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||||||
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* **近似解法**
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||||||
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* 牛顿法
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||||||
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*
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