From 269583dbcc8ee2960e2cba20810b7344068a5ee4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: maxwell Date: Wed, 15 Oct 2025 15:19:51 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?gemini=E6=8F=90=E5=8F=96=E7=9A=84=E5=85=B3?= =?UTF-8?q?=E9=94=AE=E8=AF=8D?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 方法.txt | 213 +++++++++++++++++++ 概念.txt | 600 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 813 insertions(+) create mode 100644 方法.txt create mode 100644 概念.txt diff --git a/方法.txt b/方法.txt new file mode 100644 index 0000000..8406577 --- /dev/null +++ b/方法.txt @@ -0,0 +1,213 @@ +# 数学方法整理 + +## **一、通用数学思想 (宏观层面)** + +1. 数形结合思想 +2. 分类讨论思想 +3. 化归与转化思想 +4. 函数与方程思想 +5. 从特殊到一般思想 +6. 从一般到特殊思想 +7. 公理化思想 +8. 模型化思想 +9. 坐标化思想 / 解析法 +10. 或然思想 / 随机思想 +11. 用样本估计总体思想 +12. 向量法 +13. 坐标法 / 解析几何思想 +14. 方程思想 +15. 类比思想 +16. 极限思想 +17. 归纳-猜想-证明思想 +18. 特殊与一般思想 +19. 正难则反思想 (间接法) + +## **二、通用解题策略 (中观层面)** + +1. 待定系数法 +2. 换元法 +3. 配方法 +4. 定义法 +5. 分析法 (执果索因/倒推法) +6. 综合法 (由因导果/顺推法) +7. 举反例法 +8. 逻辑演绎法 +9. 归纳猜想法 +10. 构造法 +11. 分离常数法 +12. 反证法 +13. 轨迹方程求解法 +14. 韦达定理应用 +15. 数学归纳法 +16. 比较法 (作差、作商) +17. 赋值法 + +## **三、具体计算与操作技巧 (微观层面)** + +### **集合与逻辑** +1. 元素分析法 +2. Venn图表示法 +3. 数轴标根法 + +### **函数、方程与不等式** +4. 作差(商)比较法 +5. 因式分解法 +6. 公式法 (求根公式) +7. 图像交点法 +8. 零点存在性定理应用 +9. 二分法 +10. 利用单调性比较大小 +11. 图像变换法 (平移、伸缩、对称) +12. 五点法作图 + +### **指数与对数** +13. 指数/对数运算法则应用 +14. 换底公式法 +15. 对数化指数/指数化对数 + +### **三角函数** +16. 单位圆分析法 +17. 诱导公式化简法 +18. 三角函数线法 +19. 和角与差角公式应用 +20. 倍角公式应用 +21. 半角公式应用 +22. 辅助角公式法 (化一法) +23. 积化和差法 +24. 和差化积法 +25. 切化弦法 +26. "1"的代换法 + +### **向量与复数** +27. 向量的几何作图法 (三角形法则、平行四边形法则) +28. 向量的坐标运算法 +29. 基底法 / 向量分解法 +30. 向量线性运算 +31. 向量数量积运算法 +32. 中点/定比分点坐标公式应用 +33. 正弦/余弦定理应用 +34. 面积公式应用 +35. 复数代数形式运算法则 +36. 复数几何意义分析法 +37. 复数三角形式运算法则 +38. 棣莫弗定理应用 +39. 共轭复数性质应用 +40. 空间向量的几何运算法 +41. 空间向量共线/共面定理应用 +42. 空间向量基本定理应用 +43. 空间直角坐标系建立 +44. 空间向量的坐标运算法 +45. 利用法向量处理平行与垂直问题 +46. 利用向量数量积求角 +47. 利用向量投影求距离 + +### **立体几何** +48. 公理化/符号化推理法 +49. 平移法 +50. 补全法 +51. 割补法 +52. 定义判定法 +53. 判定定理与性质定理的转化应用 +54. 作-证-求三步法 +55. 射影法 +56. 三垂线定理及其逆定理应用 +57. 面积射影定理应用 +58. 等体积法 / 体积桥 +59. 祖暅原理应用 +60. 直观图画法 (斜二测画法、正等测画法) + +### **解析几何** +61. 斜率公式应用 +62. 直线方程的选取与互化 +63. 参数方程应用 +64. 方程联立求解法 +65. 两点间距离公式应用 +66. 点到直线距离公式应用 +67. 两平行线间距离公式应用 +68. 对称问题处理方法 +69. 弦长公式应用 +70. 圆的方程的选取与互化 +71. 圆锥曲线标准方程的求解 +72. 圆锥曲线几何性质的计算 +73. 点与圆锥曲线位置关系判断 +74. 直线与圆锥曲线位置关系判断 +75. 中点弦问题处理 (点差法) +76. 焦点弦性质应用 +77. 光学性质应用 +78. 参数法/定义法求解最值问题 +79. 信息技术探究法 + +### **数列** +80. 观察归纳法 +81. 公式法 +82. 倒序相加法 +83. 错位相减法 +84. 裂项相消法 +85. 分组求和法 +86. 利用a_n与S_n的关系 +87. 基本量法 +88. 性质应用法 +89. 取对数法 + +### **导数** +90. 极限逼近法 +91. 导数定义法求导 +92. 基本初等函数求导公式应用 +93. 导数的四则运算法则 +94. 复合函数求导的链式法则 +95. 利用导数判断函数单调性 +96. 利用导数求函数极值 +97. 利用导数求函数在闭区间上的最值 +98. 利用导数解决优化问题 +99. 切线方程求解法 +100. 牛顿迭代法 +101. 构造辅助函数证明不等式 + +### **统计与概率** +102. 随机抽样法 (抽签法、随机数法) +103. 分层抽样法 +104. 数据可视化法 +105. 数字特征分析法 +106. 频率估计概率法 +107. 数据拟合法 +108. 枚举法 / 列表法 / 树状图法 +109. 排列组合法 +110. 概率性质应用法 +111. 事件关系转化法 +112. 独立事件概率乘法公式 +113. 随机模拟法 / 蒙特卡洛方法 +114. 条件概率公式法 +115. 概率乘法公式法 +116. 全概率公式法 +117. 贝叶斯公式法 +118. 概率分布列构建 +119. 期望 (均值) 计算 +120. 方差、标准差计算 +121. 二项分布模型应用 +122. 超几何分布模型应用 +123. 正态分布模型应用 +124. 散点图分析法 +125. 相关系数计算与判断 +126. 经验回归模型构建 +127. 最小二乘法 +128. 残差分析法 +129. 决定系数(R²)分析法 +130. 2×2列联表分析法 +131. χ²(卡方)独立性检验 + +### **计数原理** +132. 穷举法 / 枚举法 +133. 树状图法 +134. 分类加法计数 +135. 分步乘法计数 +136. 排列计算 +137. 组合计算 +138. 捆绑法 +139. 插空法 +140. 隔板法 +141. 排除法 (去杂法) +142. 间接法 (补集思想) +143. 二项式展开 +144. 通项公式法 +145. 系数分离法 +146. 递归思想 diff --git a/概念.txt b/概念.txt new file mode 100644 index 0000000..5eb45c6 --- /dev/null +++ b/概念.txt @@ -0,0 +1,600 @@ +# 1A + +## **第一章 集合与常用逻辑用语** + +* **集合基础** + * 集合 (Set) + * 元素 (Element) + * 属于关系 (Belong to) + * 集合的性质 + * 确定性 + * 互异性 + * 无序性 +* **集合的表示** + * 列举法 + * 描述法 + * Venn图 +* **常用数集** + * 自然数集 (N) + * 正整数集 (N*) + * 整数集 (Z) + * 有理数集 (Q) + * 实数集 (R) +* **集合间的关系** + * 子集 + * 集合相等 + * 真子集 + * 空集 +* **集合的运算** + * 并集 + * 交集 + * 全集 + * 补集 +* **逻辑用语** + * 命题 + * 真命题 + * 假命题 + * 逻辑联结词（隐含） + * 四种命题（隐含，逆命题明确提及） + * 原命题 + * 逆命题 + * 否命题 + * 逆否命题 + * 条件关系 + * 充分条件 + * 必要条件 + * 充要条件 (充分必要条件) + * 量词 + * 全称量词 + * 存在量词 + * 量词命题 + * 全称量词命题 + * 存在量词命题 + * 命题的否定 + +## **第二章 一元二次函数、方程和不等式** + +* **不等式** + * 不等式 + * 不等式的性质 + * 基本不等式 + * 算术平均数 + * 几何平均数 +* **一元二次** + * 一元二次函数 + * 一元二次方程 + * 一元二次不等式 +* **函数与方程的联系** + * 函数的零点 + * 方程的根 + * 函数图像与x轴的交点 + +## **第三章 函数的概念与性质** + +* **函数基本概念** + * 函数 (集合与对应定义) + * 函数三要素 + * 定义域 + * 值域 + * 对应关系 + * 自变量 / 因变量 + * 函数值 +* **函数的表示** + * 解析法 + * 列表法 + * 图像法 +* **特殊函数形式** + * 分段函数 + * 幂函数 +* **函数的性质** + * 单调性 + * 增函数 (单调递增) + * 减函数 (单调递减) + * 单调区间 + * 最值 + * 最大值 + * 最小值 + * 奇偶性 + * 奇函数 + * 偶函数 +* **区间表示** + * 区间 + * 开区间 + * 闭区间 + * 半开半闭区间 + * 无穷 (Infinity) + +## **第四章 指数函数与对数函数** + +* **指数** + * n次方根 + * 根式 + * 根指数 + * 被开方数 + * 指数幂 + * 整数指数幂 + * 分数指数幂 + * 实数指数幂 +* **指数函数** + * 指数函数 + * 指数增长模型 + * 增长率 + * 倍增期 + * 指数衰减模型 + * 衰减率 + * 半衰期 +* **对数** + * 对数 + * 底数 + * 真数 + * 特殊对数 + * 常用对数 + * 自然对数 (底数e) +* **对数函数** + * 对数函数 + * 对数运算法则 + * 换底公式 +* **函数关系与应用** + * 反函数 + * 函数零点存在定理 + * 二分法 + * 函数模型 + +## **第五章 三角函数** + +* **角** + * 任意角 + * 正角 + * 负角 + * 零角 + * 象限角 + * 轴线角（坐标轴上的角） + * 终边相同的角 +* **角的度量** + * 角度制 + * 弧度制 + * 弧度 (Radian) +* **三角函数定义** + * 单位圆 + * 正弦 (Sine) + * 余弦 (Cosine) + * 正切 (Tangent) + * 三角函数 / 三角函数线 +* **三角函数性质与图像** + * 周期性 + * 周期函数 + * 周期 + * 最小正周期 + * 奇偶性 + * 单调性 + * 值域 / 最值 + * 图像 + * 正弦曲线 + * 余弦曲线 + * 正切曲线 +* **三角恒等变换** + * 同角三角函数关系 + * 平方关系 + * 商数关系 + * 诱导公式 + * 两角和与差的三角函数 + * 两角和公式 + * 两角差公式 + * 二倍角公式 + * 半角公式 (隐含在例题中) + * 积化和差公式 + * 和差化积公式 +* **`y = Asin(ωx + φ)`** + * 振幅 (Amplitude) + * 周期 (Period) + * 频率 (Frequency) + * 相位 (Phase) + * 初相 (Initial Phase) +* **应用模型** + * 简谐运动 +* + +# 1B + +## **第六章 平面向量及其应用** + +* **向量基础** + * 向量 (Vector) / 矢量 + * 数量 / 标量 + * 有向线段 + * 起点 + * 终点 + * 向量的模 (长度) + * 特殊向量 + * 零向量 + * 单位向量 +* **向量间的关系** + * 平行向量 / 共线向量 + * 相等向量 + * 相反向量 +* **向量的运算** + * 向量加法 + * 三角形法则 + * 平行四边形法则 + * 向量减法 + * 向量数乘 + * 向量的线性运算 + * 向量数量积 (内积) +* **向量的几何应用** + * 向量的夹角 + * 向量垂直 + * 投影 / 投影向量 + * 平面向量基本定理 + * 基底 + * 向量的坐标表示 + * 向量的坐标 + * 解三角形 (Solving a triangle) + * 三角形的元素 + * 正弦定理 (Sine Theorem) + * 余弦定理 (Cosine Theorem) + +## **第七章 复数** + +* **复数基本概念** + * 复数 (Complex Number) + * 虚数单位 (i) + * 复数集 (C) + * 复数的组成 + * 实部 + * 虚部 + * 复数分类 + * 实数 + * 虚数 + * 纯虚数 + * 复数相等 + * 共轭复数 +* **复数的几何意义** + * 复平面 + * 实轴 + * 虚轴 + * 复数的向量表示 + * 复数的模 (绝对值) +* **复数的表示形式** + * 代数形式 + * 三角形式 + * 辐角 + * 辐角的主值 +* **复数的运算** + * 复数加法 + * 复数减法 + * 复数乘法 + * 复数除法 +* **复数与方程** + * 代数基本定理 + * n次方根 (复数域) + * 单位根 (1的n次方根) + * 棣莫弗定理 (De Moivre's formula) + +## **第八章 立体几何初步** + +* **空间几何体** + * 空间几何体 + * 多面体 + * 面 / 棱 / 顶点 + * 旋转体 + * 旋转面 / 旋转轴 +* **基本立体图形** + * 柱体 + * 棱柱 + * 底面 / 侧面 / 侧棱 + * 直棱柱 / 斜棱柱 + * 正棱柱 + * 平行六面体 + * 圆柱 + * 轴 / 底面 / 侧面 / 母线 + * 锥体 + * 棱锥 + * 底面 / 侧面 / 侧棱 / 顶点 + * 正棱锥 + * 四面体 + * 圆锥 + * 台体 + * 棱台 + * 上底面 / 下底面 + * 圆台 + * 球体 + * 球面 / 球心 / 半径 / 直径 +* **组合体** + * 简单组合体 +* **图形的表示** + * 直观图 + * 投影 + * 斜二测画法 +* **空间中的位置关系** + * 点、直线、平面 + * 直线与直线关系 + * 共面直线 (相交 / 平行) + * 异面直线 + * 异面直线所成的角 + * 直线与平面关系 + * 直线在平面内 + * 直线与平面相交 + * 斜线 / 斜足 + * 射影 + * 直线与平面所成的角 + * 直线与平面平行 + * 直线与平面垂直 (垂线 / 垂面 / 垂足) + * 点到平面的距离 (垂线段) + * 平面与平面关系 + * 平面平行 + * 平面相交 + * 交线 + * 二面角 + * 棱 / 面 + * 二面角的平面角 + * 直二面角 + * 平面垂直 +* **几何体的度量** + * 表面积 + * 体积 + * 祖暅原理 + +## **第九章 统计** + +* **抽样** + * 总体 / 个体 + * 全面调查 (普查) + * 抽样调查 + * 样本 + * 样本容量 + * 样本数据 + * 抽样方法 + * 简单随机抽样 + * 抽签法 + * 随机数法 + * 分层随机抽样 (Stratified Sampling) + * 层 (Strata) + * 比例分配 +* **数据整理与描述** + * 频率分布表 + * 频率分布直方图 + * 组距 / 组数 +* **样本的数字特征** + * 集中趋势 + * 样本均值 (平均数) + * 中位数 + * 众数 + * 位置度量 + * 百分位数 + * 四分位数 (上/下四分位数) + * 离散程度 + * 极差 + * 方差 + * 标准差 +* **总体估计** + * 用样本估计总体 + * 样本均值估计总体均值 + * 样本频率分布估计总体分布 + * 样本标准差估计总体标准差 + +## **第十章 概率** + +* **随机事件** + * 随机试验 + * 样本点 + * 样本空间 (有限样本空间) + * 随机事件 + * 基本事件 + * 必然事件 + * 不可能事件 +* **事件间的关系与运算** + * 事件包含 + * 事件相等 + * 并事件 (和事件) + * 交事件 (积事件) + * 互斥事件 (互不相容) + * 对立事件 (互逆事件) +* **概率** + * 概率 + * 古典概型 (等可能概型) + * 频率与概率的关系 + * 频率的稳定性 + * 几何概型（隐含） +* **概率的性质** + * 概率的基本性质 + * 互斥事件的概率加法公式 + * 对立事件的概率公式 +* **独立性** + * 相互独立事件 +* **模拟** + * 随机模拟 (蒙特卡洛方法) + * 随机数 / 伪随机数 +* + +# 2A + +## **第一章 空间向量与立体几何** + +* **空间向量基础** + * 空间向量 + * 空间向量的模 (长度) + * 相等向量 (空间) + * 共线向量 / 平行向量 (空间) + * 共面向量 +* **空间向量线性运算** + * 空间向量加法 + * 空间向量减法 + * 空间向量数乘 + * 空间向量的线性运算 +* **空间向量基本定理** + * 空间基底 / 基向量 + * 单位正交基底 + * 正交分解 +* **空间向量数量积** + * 空间向量的夹角 + * 空间向量垂直 + * 空间向量的数量积 (内积) + * 投影向量 (空间) +* **空间向量与坐标** + * 空间直角坐标系 + * 原点 / 坐标轴 / 坐标平面 + * 右手直角坐标系 + * 空间向量的坐标表示 + * 空间点的坐标 + * 空间两点间的距离公式 +* **向量应用** + * 直线的方向向量 + * 平面的法向量 + * 线线、线面、面面平行 (向量表示) + * 线线、线面、面面垂直 (向量表示) + * 点到直线的距离 (向量表示) + * 点到平面的距离 (向量表示) + * 异面直线所成的角 + * 直线与平面所成的角 + * 二面角的平面角 / 平面夹角 + +## **第二章 直线和圆的方程** + +* **直线基本要素** + * 倾斜角 + * 斜率 + * 直线的方向向量 +* **直线的方程** + * 点斜式方程 + * 斜截式方程 + * 截距 (y轴截距) + * 两点式方程 + * 截距式方程 (x轴截距, y轴截距) + * 一般式方程 + * 参数方程 +* **直线的位置关系** + * 直线平行 (斜率关系) + * 直线垂直 (斜率关系) + * 直线相交 / 交点坐标 +* **距离公式** + * 两点间的距离公式 + * 点到直线的距离公式 + * 两平行直线间的距离公式 +* **圆** + * 圆的定义 + * 圆的方程 + * 标准方程 (圆心, 半径) + * 一般方程 +* **位置关系** + * 直线与圆的位置关系 + * 相交 / 相切 / 相离 + * 弦长 + * 圆与圆的位置关系 + * 相交 / 相切 (内切/外切) / 相离 (内含/外离) + * 公共弦 +* **点的轨迹** + * 轨迹 + * 轨迹方程 + +## **第三章 圆锥曲线的方程** + +* **圆锥曲线 (二次曲线)** + * 圆锥曲线 (Conic Sections) +* **椭圆 (Ellipse)** + * 椭圆的定义 + * 焦点 / 焦距 / 半焦距 + * 椭圆的标准方程 + * 椭圆的几何性质 + * 范围 + * 对称性 (对称轴/对称中心) + * 顶点 + * 长轴 / 短轴 / 长半轴 / 短半轴 + * 离心率 (Eccentricity) + * 准线 +* **双曲线 (Hyperbola)** + * 双曲线的定义 + * 焦点 / 焦距 + * 双曲线的标准方程 + * 双曲线的几何性质 + * 范围 + * 对称性 + * 顶点 + * 实轴 / 虚轴 / 实半轴 / 虚半轴 + * 离心率 + * 渐近线 + * 等轴双曲线 +* **抛物线 (Parabola)** + * 抛物线的定义 + * 焦点 + * 准线 + * 抛物线的标准方程 + * 抛物线的几何性质 + * 范围 + * 对称性 (轴) + * 顶点 + * 离心率 +* **通用性质** + * 圆锥曲线的光学性质 + * 反射角 / 入射角 +* + +# 2B + +## **第四章 数列** + +* **数列基础** + * 数列 (Sequence of number) + * 项 (Term) + * 首项 + * 有穷数列 / 无穷数列 + * 数列的表示 + * 通项公式 + * 递推公式 + * 前n项和 +* **等差数列 (Arithmetic Progression)** + * 等差数列 + * 公差 (Common Difference) + * 等差中项 + * 等差数列的通项公式 + * 等差数列的前n项和公式 +* **等比数列 (Geometric Progression)** + * 等比数列 + * 公比 (Common Ratio) + * 等比中项 + * 等比数列的通项公式 + * 等比数列的前n项和公式 +* **数列与函数** + * 数列作为特殊函数 (定义域为正整数集或其子集的函数) + * 数列的单调性 + * 递增数列 + * 递减数列 + * 常数列 +* **证明方法** + * 数学归纳法 (Mathematical Induction) + * 归纳奠基 + * 归纳递推 +* **特殊数列** + * 斐波那契数列 + +## **第五章 一元函数的导数及其应用** + +* **变化率与导数** + * 平均变化率 + * 瞬时变化率 + * 瞬时速度 + * 导数 (Derivative) + * 导函数 (Derived Function) +* **导数的几何意义** + * 割线 / 割线斜率 + * 切线 / 切线斜率 +* **导数的运算** + * 基本初等函数的导数公式 + * 导数的运算法则 + * 和(差)的导数 + * 积的导数 + * 商的导数 + * 复合函数 (Composite Function) + * 复合函数的求导法则 (链式法则) +* **导数的应用** + * 函数的单调性与导数 + * 函数单调性的判定 + * 函数的极值与导数 + * 极值 (Extremum) + * 极大值 + * 极小值 + * 极值点 + * 函数的最大(小)值与导数 + * 最值 +* **近似解法** + * 牛顿法 +*