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# 第四章
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## 指数函数与对数函数
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良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现。这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑。考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年～前2300年。你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？
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实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数。指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用，例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律。
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通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法。在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较。在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。
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*（以下是页面中的插图描述，图中展示了良渚古城的水利系统和城址布局）*
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**良渚古城水利系统与城址示意图**
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图示内容包括：
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* **高坝库区**
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* **谷口高坝** (区域标记有数字 8, 7, 6, 及其北侧的 10, 9, 11)
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* **低坝库区**
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* **平原低坝** (区域标记有数字 2, 3, 4, 5)
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* **山前长堤** (标记有数字 1)
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* **外郭城**
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* **宫城**
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* **王城**
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# 4.1 指数
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为了研究指数函数, 我们需要把指数的范围拓展到全体实数。
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初中已经学过整数指数幂。在学习幂函数时, 我们把正方形场地的边长 $c$ 关于面积 $S$ 的函数 $c=\sqrt{S}$ 记作 $c=S^{\frac{1}{2}}$。像 $S^{\frac{1}{2}}$ 这样以分数为指数的幂, 其意义是什么呢？下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究。
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## 4.1.1 n次方根与分数指数幂
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我们知道:
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如果 $x^2=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根。例如, $\pm 2$ 就是 $4$ 的平方根。
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如果 $x^3=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根。例如, $2$ 就是 $8$ 的立方根。
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类似地, 由于 $(\pm 2)^4=16$, 我们把 $\pm 2$ 叫做 $16$ 的 $4$ 次方根; 由于 $2^5=32$, $2$ 叫做 $32$ 的 $5$ 次方根。
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一般地, 如果 $x^n=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的 **n次方根**, 其中 $n>1$, 且 $n \in N^*$。
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当 $n$ 是奇数时, 正数的 $n$ 次方根是一个正数, 负数的 $n$ 次方根是一个负数。这时, $a$ 的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示。例如,
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$\sqrt[5]{32}=2$, $\sqrt[5]{-32}=-2$, $\sqrt[3]{a^6}=a^2$。
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当 $n$ 是偶数时, 正数的 $n$ 次方根有两个, 这两个数互为相反数。这时, 正数 $a$ 的正的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示, 负的 $n$ 次方根用符号 $-\sqrt[n]{a}$ 表示。正的 $n$ 次方根与负的 $n$ 次方根可以合并写成 $\pm \sqrt[n]{a} (a>0)$。例如,
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$\sqrt[4]{16}=2$, $-\sqrt[4]{16}=-2$, $\pm \sqrt[4]{16}=\pm 2$。
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负数没有偶次方根。
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$0$ 的任何次方根都是 $0$, 记作 $\sqrt[n]{0}=0$。
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式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做 **根式** (_radical_), 这里 $n$ 叫做 **根指数**, $a$ 叫做 **被开方数**。
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根据 $n$ 次方根的意义, 可得
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$(\sqrt[n]{a})^n=a$。
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例如, $(\sqrt{5})^2=5$, $(\sqrt[5]{-3})^5=-3$。
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> ? 为什么负数没有偶次方根?
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104 第四章 指数函数与对数函数
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## 💡 探究
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$\sqrt[n]{a^n}$ 表示 $a^n$ 的 $n$ 次方根, $\sqrt[n]{a^n}=a$ 一定成立吗? 如果不一定成立, 那么 $\sqrt[n]{a^n}$ 等于什么?
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可以得到:
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当 $n$ 为奇数时, $\sqrt[n]{a^n}=a$;
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当 $n$ 为偶数时, $\sqrt[n]{a^n}=|a|=`
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$$
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\begin{cases}
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a, & a \ge 0, \\
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-a, & a < 0.
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\end{cases}
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$$
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### 例1 求下列各式的值:
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1. $\sqrt[3]{(-8)^3}$;
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2. $\sqrt{(-10)^2}$;
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3. $\sqrt[4]{(3-\pi)^4}$;
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4. $\sqrt{(a-b)^2}$.
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**解:**
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1. $\sqrt[3]{(-8)^3}=-8$;
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2. $\sqrt{(-10)^2}=|-10|=10$;
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3. $\sqrt[4]{(3-\pi)^4}=|3-\pi|=\pi-3$;
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4. $\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|=`
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$$
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\begin{cases}
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a-b, & a \ge b, \\
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b-a, & a < b.
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\end{cases}
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$$
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根据 $n$ 次方根的定义和数的运算, 我们知道
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$$
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\sqrt[5]{a^{10}} = \sqrt[5]{(a^2)^5} = a^2 = a^{\frac{10}{5}} \quad (a>0),
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$$
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$$
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\sqrt[4]{a^{12}} = \sqrt[4]{(a^3)^4} = a^3 = a^{\frac{12}{4}} \quad (a>0).
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$$
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这就是说, 当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
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## ❓ 思考
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当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时, 根式是否也可以表示为分数指数幂的形式?
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把根式表示为分数指数幂的形式时, 例如, 把$\sqrt[3]{a^2}$, $\sqrt{b}$, $\sqrt[4]{c^5}$等写成下列形式:
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$$
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\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}} \quad (a>0),
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$$
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$$
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\sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}} \quad (b>0),
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$$
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$$
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\sqrt[4]{c^5}=c^{\frac{5}{4}} \quad (c>0).
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$$
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第四章 指数函数与对数函数 105
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我们希望整数指数幂的运算性质，如$(a^k)^n=a^{kn}$，对分数指数幂仍然适用。
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由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
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$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} \quad (a>0, m, n \in \mathbf{N}^{*}, n>1)$.
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于是，在条件$a>0, m, n \in \mathbf{N}^{*}, n>1$下，根式都可以写成分数指数幂的形式。
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> 数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容。
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正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，
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$a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{a^{\frac{m}{n}}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} \quad (a>0, m, n \in \mathbf{N}^{*}, n>1)$.
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> 这里，略去了规定合理性的说明。
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例如，$5^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$，$a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$。
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与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，
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**0的正分数指数幂等于0**，**0的负分数指数幂没有意义**。
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规定了分数指数幂的意义以后，幂$a^x$中指数$x$的取值范围就从整数拓展到了有理数。
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整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数$r, s$，均有下面的运算性质。
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(1) $a^r a^s = a^{r+s} \quad (a>0, r, s \in \mathbf{Q})$;
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(2) $(a^r)^s = a^{rs} \quad (a>0, r, s \in \mathbf{Q})$;
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(3) $(ab)^r = a^r b^r \quad (a>0, b>0, r \in \mathbf{Q})$.
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**例2** 求值:
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(1) $8^{\frac{2}{3}}$;
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(2) $(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{4}}$。
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**解**:
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(1) $8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$;
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(2) $(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{4}} = (\frac{81}{16})^{\frac{3}{4}} = (\frac{3^4}{2^4})^{\frac{3}{4}} = (\frac{3}{2})^{4 \times \frac{3}{4}} = (\frac{3}{2})^3 = \frac{27}{8}$。
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**例3** 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中$a>0$):
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(1) $a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2}$;
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(2) $\sqrt{a \sqrt[3]{a}}$。
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**解**:
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(1) $a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = a^2 a^{\frac{2}{3}} = a^{2+\frac{2}{3}} = a^{\frac{8}{3}}$;
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(2) $\sqrt{a \sqrt[3]{a}} = (a \cdot a^{\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{1+\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{4}{3}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{4}{3} \times \frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{3}}$。
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106 第四章 指数函数与对数函数
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**例 4** 计算下列各式(式中字母均是正数):
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(1) $(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}) \div (-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})$;
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(2) $(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^8$;
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(3) $(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a}) \div \sqrt[4]{a^2}$.
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**解:**
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(1) $(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}) \div (-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})$
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$= [2 \times (-6) \div (-3)] a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}$
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$= 4ab^0$
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$= 4a$;
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(2) $(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^8 = (m^{\frac{1}{4}})^8 (n^{-\frac{3}{8}})^8$
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$= m^2n^{-3}$
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$= \frac{m^2}{n^3}$;
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(3) $(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a}) \div \sqrt[4]{a^2} = (a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{2}}) \div a^{\frac{1}{2}}$
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$= a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{1}{2}}$
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$= a^{\frac{1}{6}} - a^0$
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$= a^{\frac{1}{6}} - a$
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$= \sqrt[6]{a} - a$.
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## 练习
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1. 用根式的形式表示下列各式($a>0$):
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(1) $a^{\frac{1}{2}}$;
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(2) $a^{\frac{3}{4}}$;
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(3) $a^{-\frac{5}{3}}$;
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(4) $a^{-\frac{2}{3}}$.
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2. 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式:
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(1) $\sqrt[3]{x^2}$ ($x>0$);
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(2) $\sqrt[5]{(m-n)^4}$ ($m>n$);
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(3) $\sqrt[6]{p^5}\sqrt{p}$ ($p>0$);
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(4) $\frac{a^3}{\sqrt{a}}$ ($a>0$).
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3. 计算下列各式:
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(1) $(\frac{36}{49})^{\frac{3}{2}}$;
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(2) $2\sqrt{3} \times \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$;
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(3) $a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}a^{-\frac{1}{8}}$ ($a>0$);
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(4) $2x^{-\frac{1}{3}}(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}-2x^{-\frac{2}{3}})$.
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## 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
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上面我们将 $a^x(a>0)$ 中指数 $x$ 的取值范围从整数拓展到了有理数,那么,当指数 $x$ 是无理数时, $a^x$ 的意义是什么?它是一个确定的数吗?如果是,那么它有什么运算性质?
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在初中的学习中,我们通过有理数认识了一些无理数.类似地,也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
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第四章 指数函数与对数函数 107
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## <img src="https://img.shields.io/badge/-探究-lightgrey?style=flat-square&logo=gitkraken" alt="Inquiry Icon" width="20"/> 探究
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根据$\sqrt{2}$的不足近似值$x$和过剩近似值$y$ (表4.1-1)，利用计算工具计算相应的$5^x, 5^y$的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
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**表 4.1-1**
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| $\sqrt{2}$的不足近似值 $x$ | $5^x$ 的近似值 | $\sqrt{2}$的过剩近似值 $y$ | $5^y$ 的近似值 |
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| :------------------------- | :------------- | :------------------------- | :------------- |
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| 1.4 | | 1.5 | |
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| 1.41 | | 1.42 | |
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| 1.414 | | 1.415 | |
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| 1.414 2 | | 1.414 3 | |
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| 1.414 21 | | 1.414 22 | |
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| 1.414 213 | | 1.414 214 | |
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| 1.414 213 5 | | 1.414 213 6 | |
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| 1.414 213 56 | | 1.414 213 57 | |
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| 1.414 213 562 | | 1.414 213 563 | |
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| ... | ... | ... | ... |
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可以发现，当$\sqrt{2}$的不足近似值$x$和过剩近似值$y$逐渐逼近$\sqrt{2}$时，$5^x$和$5^y$都趋向于同一个数，这个数就是$5^{\sqrt{2}}$。也就是说，$5^{\sqrt{2}}$是一串逐渐增大的有理数指数幂$5^{1.4}, 5^{1.41}, 5^{1.414}, 5^{1.4142}, \cdots$和另一串逐渐减小的有理数指数幂$5^{1.5}, 5^{1.42}, 5^{1.415}, 5^{1.4143}, \cdots$逐步逼近的结果，它是一个确定的实数。这个过程可以用图4.1-1 表示。
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<!-- The original diagram is a number line, which Mermaid does not directly support for custom labels like 5^1, 5^sqrt(2), 5^1.4 in a precise number line format. A textual description is provided to maintain content integrity without misrepresenting the visual information with an unsuitable diagram type. -->
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图4.1-1: 一个数轴，轴上标有刻度，从左到右依次标示了多个$5^1$，其中有一个醒目的红点标记为$5^{\sqrt{2}}$，以及$5^{1.4}$等点，表示数值逐渐逼近$5^{\sqrt{2}}$的过程。
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## <img src="https://img.shields.io/badge/-思考-blue?style=flat-square&logo=stackshare" alt="Thinking Icon" width="20"/> 思考
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参照以上过程，你能再给出一个无理数指数幂，如$2^{\sqrt{3}}$，说明它也是一个确定的实数吗？
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一般地，无理数指数幂$a^{\alpha}$ ($a>0$, $\alpha$为无理数)是一个确定的实数。这样，我们就将指数幂$a^x$ ($a>0$)中指数$x$的取值范围从整数逐步拓展到了实数。实数指数幂是一个确定的实数。
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整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数$r, s$，均有下面的运算性质。
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```
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(1) $a^r a^s = a^{r+s}$ ($a>0$, $r, s \in \mathbf{R}$);
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(2) $(a^r)^s = a^{rs}$ ($a>0$, $r, s \in \mathbf{R}$);
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(3) $(ab)^r = a^r b^r$ ($a>0$, $b>0$, $r \in \mathbf{R}$).
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```
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108 第四章 指数函数与对数函数
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## 练习
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1. 计算下列各式:
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(1) $(2\sqrt[3]{\sqrt{m^3}})^{2/3}$
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(2) $a^{\frac{\pi}{3}} a^{\frac{2\pi}{3}} a^{-\pi}$
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2. 利用计算工具,探究下列实数指数幂的变化规律:
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(1) $x$ 取负实数,使得 $|x|$ 的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的 $2^x (x \in \mathbf{R})$ 的值,观察变化趋势;
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(2) $x$ 取正实数,使得 $x$ 的值逐渐增大并趋向于无穷大,计算相应的 $(\frac{1}{2})^x (x \in \mathbf{R})$ 的值,观察变化趋势.
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## 习题 4.1
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### 复习巩固
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1. 求下列各式的值:
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(1) $\sqrt[4]{100^4}$;
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(2) $\sqrt[5]{(-0.1)^5}$;
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(3) $\sqrt{(\pi-4)^2}$;
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(4) $\sqrt[6]{(x-y)^6}$.
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2. 选择题
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(1) 设 $a \ge 0$, 则下列运算中正确的是 ( ).
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(A) $a^{\frac{4}{3}} a^{\frac{3}{4}} = a$
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(B) $a \div a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$
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(C) $a^{\frac{2}{3}} a^{-\frac{2}{3}} = 0$
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(D) $(a^{\frac{1}{4}})^4 = a$
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(2) 设 $a>0$, $m, n$ 是正整数, 且 $n>1$, 则下列各式
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$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$, $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$,
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正确的个数是 ( ).
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(A) 3
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(B) 2
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(C) 1
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(D) 0
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3. 填空题
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(1) 在 $(-\frac{1}{2})^{-1}$, $2^{-\frac{1}{2}}$, $(\frac{1}{2})^{-1}$, $2^{-1}$ 中, 最大的数是 _______;
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(2) 按从小到大的顺序, 可将 $2\sqrt{3}$, $3\sqrt{2}$, $\pi\sqrt{5}$, $2^\pi$ 重新排列为 _______ (可用计算工具).
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4. 用分数指数幂表示并计算下列各式 (式中字母均为正数):
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(1) $\sqrt{\frac{b^3 \sqrt{a^2}}{\sqrt{a}\sqrt{b^6}}}$
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(2) $\sqrt{a \sqrt{\frac{1}{a^2}} \sqrt[4]{a}}$
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(3) $\frac{\sqrt{m}\sqrt[3]{m}\sqrt[4]{m}}{(\sqrt[6]{m})^5 m^{\frac{1}{4}}}$
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5. 计算下列各式 (式中字母均为正数):
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(1) $a^{\frac{1}{3}} a^{\frac{3}{4}} a^{\frac{7}{12}}$
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(2) $a^{\frac{2}{3}} a^{\frac{3}{4}} \div a^{\frac{5}{6}}$
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(3) $(x^{\frac{1}{3}} y^{-\frac{3}{4}})^{12}$
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(4) $4a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{3}} \div (-\frac{2}{3} a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}})$
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第四章 指数函数与对数函数 109
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## 综合运用
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6. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每 $10$ min 分裂 $1$ 次（$1$ 个分裂成 $2$ 个），那么经过 $1$ h，$1$ 个这种细菌可以分裂成 $\underline{\hspace{2em}}$ 个。
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7. (1) 已知 $10^m=2$，$10^n=3$，求 $10^{\frac{3m-2n}{2}}$ 的值；
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(2) 已知 $a^{2x}=3$，求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$ 的值。
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8. 已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$，求下列各式的值：
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(1) $a+a^{-1}$；
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(2) $a^2+a^{-2}$。
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## 拓广探索
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9. 从盛有 $1$ L 纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{3}$ L，然后用水填满；再倒出 $\frac{1}{3}$ L，又用水填满……
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(1) 连续进行 $5$ 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
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(2) 连续进行 $n$ 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
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10. (1) 当 $n=1, 2, 3, 10, 100, 1000, 10\ 000, 100\ 000, \cdots$ 时，用计算工具计算 $(1+\frac{1}{n})^n$ ($n \in \mathbf{N}^*$) 的值；
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(2) 当 $n$ 越来越大时，$(1+\frac{1}{n})^n$ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 $(1+\frac{1}{n})^n$ 是否也会越来越大？有没有最大值？
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110 第四章 指数函数与对数函数
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## 4.2 指数函数
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对于幂 $a^x (a>0)$，我们已经把指数 $x$ 的范围拓展到了实数。上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，下面继续研究其他类型的基本初等函数。
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### 4.2.1 指数函数的概念
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**问题1** 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A, B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。表4.2-1给出了A, B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。
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表4.2-1
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| 时间/年 | A地景区 人次/万次 | A地景区 年增加量/万次 | B地景区 人次/万次 | B地景区 年增加量/万次 |
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| :------ | :---------------- | :-------------------- | :---------------- | :-------------------- |
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| 2001 | 600 | | 278 | |
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| 2002 | 609 | 9 | 309 | 31 |
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| 2003 | 620 | 11 | 344 | 35 |
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| 2004 | 631 | 11 | 383 | 39 |
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| 2005 | 641 | 10 | 427 | 44 |
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| 2006 | 650 | 9 | 475 | 48 |
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| 2007 | 661 | 11 | 528 | 53 |
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| 2008 | 671 | 10 | 588 | 60 |
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| 2009 | 681 | 10 | 655 | 67 |
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| 2010 | 691 | 10 | 729 | 74 |
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| 2011 | 702 | 11 | 811 | 82 |
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| 2012 | 711 | 9 | 903 | 92 |
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| 2013 | 721 | 10 | 1 005 | 102 |
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| 2014 | 732 | 11 | 1 118 | 113 |
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| 2015 | 743 | 11 | 1 244 | 126 |
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第四章 指数函数与对数函数 111
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比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
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为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出 A, B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(图4.2-1 和图4.2-2).
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> 为了便于观察，可以
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> 先根据表格中的数据描
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> 点，然后用光滑的曲线将
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> 离散的点连起来。
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人次/万次 人次/万次
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1 300 1 300
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1 100 1 100
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900 900
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700 700
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500 500
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300 300
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2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 时间/年 2001 2003 2005 2007 2009 2011 2013 2015 时间/年
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图4.2-1 图4.2-2
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观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律。
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### 💡 探究
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我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试。
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从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
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$\frac{\text{2002年游客人次}}{\text{2001年游客人次}} = \frac{309}{278} \approx 1.11,$
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$\frac{\text{2003年游客人次}}{\text{2002年游客人次}} = \frac{344}{309} \approx 1.11,$
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$\cdots\cdots$
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$\frac{\text{2015年游客人次}}{\text{2014年游客人次}} = \frac{1244}{1118} \approx 1.11.$
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结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为 $1.11-1=0.11$，是一个常数。
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像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为**指数增长**，因此，B地景区的游客人次近似于指数增长。
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> 做减法可以得到游客
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> 人次的年增加量，做除法
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> 可以得到游客人次的年增
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> 长率，增加量、增长率是
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> 刻画事物变化规律的两个
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> 很重要的量。
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显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为:
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1年后，游客人次是2001年的 $1.11^1$ 倍；
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112 第四章 指数函数与对数函数
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2年后，游客人次是2001年的$1.11^2$倍；
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3年后，游客人次是2001年的$1.11^3$倍；
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......
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$x$年后，游客人次是2001年的$1.11^x$倍。
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如果设经过$x$年后的游客人次为2001年的$y$倍，那么
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$y=1.11^x (x \in [0,+\infty))$。(1)
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这是一个函数，其中指数$x$是自变量。
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**问题2** 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
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设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为$p$，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么
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死亡1年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^1$；
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死亡2年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^2$；
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死亡3年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^3$；
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......
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死亡5730年后，生物体内碳14含量为$(1-p)^{5730}$。
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根据已知条件，$(1-p)^{5730}=\frac{1}{2}$，从而$1-p=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$，所以$p=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$。
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设生物死亡年数为$x$，死亡生物体内碳14含量为$y$，那么$y=(1-p)^x$，即
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$y=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}\right)^x (x \in [0,+\infty))$。(2)
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这也是一个函数，指数$x$是自变量。死亡生物体内碳14含量每年都以$1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$的衰减率衰减，像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减。因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减。
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如果用字母$a$代替上述(1)(2)两式中的底数$1.11$和$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}$，那么函数$y=1.11^x$和$y=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}\right)^x$就可以表示为
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$y=a^x$
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的形式，其中指数$x$是自变量，底数$a$是一个大于0且不等于1的常量。
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一般地，函数$y=a^x$（$a>0$，且$a \neq 1$）叫做**指数函数**（exponential function），其中指数$x$是自变量，定义域是**R**。
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第四章 指数函数与对数函数 113
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**例1** 已知指数函数 $f(x)=a^x(a>0, 且 a\neq1)$, 且 $f(3)=\pi$, 求 $f(0), f(1), f(-3)$ 的值.
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**分析**：要求 $f(0), f(1), f(-3)$ 的值, 应先求出 $f(x)=a^x$ 的解析式, 即先求 $a$ 的值.
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**解**：因为 $f(x)=a^x$, 且 $f(3)=\pi$, 则 $a^3=\pi$, 解得 $a=\pi^{\frac{1}{3}}$, 于是 $f(x)=\pi^{\frac{x}{3}}$.
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所以, $f(0)=\pi^0=1$, $f(1)=\pi^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\pi}$, $f(-3)=\pi^{-1}=\frac{1}{\pi}$.
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**例2** (1)在问题1中, 如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元(不含门票)的收入, A地景区的门票价格为150元, 比较这15年间 A, B两地旅游收入变化情况.
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(2)在问题2中, 某生物死亡10000年后, 它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几?
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**解**：(1)设经过 $x$ 年, 游客给 A, B两地带来的收入分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$, 则
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$f(x)=1150\times(10x+600)$,
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$g(x)=1000\times278\times1.11^x$.
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利用计算工具可得,
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当 $x=0$ 时, $f(0)-g(0)=412\ 000$.
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当 $x\approx10.22$ 时, $f(10.22)\approx g(10.22)$.
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结合图 4.2-3 可知:
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当 $x<10.22$ 时, $f(x)>g(x)$,
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当 $x>10.22$ 时, $f(x)<g(x)$.
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当 $x=14$ 时, $g(14)-f(14)\approx347\ 303$.
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**图 4.2-3**
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```mermaid
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graph TD
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subgraph 收入/亿元
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A[0] --- B[1] --- C[~10.22] --- D[14] --- E[x/年]
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end
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style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:0px
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style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:0px
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style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:0px
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style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:0px
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style E fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:0px
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point_f_0((f(0)))
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point_g_0((g(0)))
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point_f_10_22((f(10.22)))
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point_g_10_22((g(10.22)))
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point_f_14((f(14)))
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point_g_14((g(14)))
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direction TB
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f_curve(f(x)) -- starts higher, grows linearly --> point_f_0
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g_curve(g(x)) -- starts lower, grows exponentially --> point_g_0
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point_f_0 --- point_f_10_22
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point_g_0 --- point_g_10_22
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point_f_10_22 --- point_g_10_22 (Intersection point)
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point_f_10_22 --- point_f_14
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point_g_10_22 --- point_g_14
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subgraph 曲线关系
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X_less_10_22[当 $x<10.22$ 时, $f(x)>g(x)$]
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X_eq_10_22[当 $x\approx10.22$ 时, $f(x)\approx g(x)$]
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X_greater_10_22[当 $x>10.22$ 时, $f(x)<g(x)$]
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end
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```
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*Graph Description (as Mermaid cannot precisely replicate the given plot's curves and labels within a 2D coordinate system with exact scaling and intersection)*:
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图 4.2-3 展示了两条曲线 $f(x)$ 和 $g(x)$ 随时间 $x$ (年) 变化的趋势。纵坐标表示收入/亿元。
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* 曲线 $f(x)$ 呈相对平缓的增长趋势，在 $x=0$ 时点高于 $g(x)$。
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* 曲线 $g(x)$ 呈指数增长趋势，在 $x=0$ 时点低于 $f(x)$。
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* 两条曲线在大约 $x=10.22$ 处相交，表示 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的值近似相等。
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* 在 $x<10.22$ 时，$f(x)$ 的值高于 $g(x)$。
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* 在 $x>10.22$ 时，$g(x)$ 的值高于 $f(x)$，且 $g(x)$ 增长速度快于 $f(x)$。
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这说明, 在2001年, 游客给A地带来的收入比B地多412000万元; 随后10年, 虽然 $f(x)>g(x)$, 但 $g(x)$ 的增长速度大于 $f(x)$; 根据上述数据, 并考虑到实际情况, 在2011年3月某个时刻就有 $f(x)=g(x)$, 这时游客给 A地带来的收入和B地差不多; 此后, $f(x)<g(x)$, 游客给B地带来的收入超过了A地; 由于 $g(x)$ 增长得越来越快, 在2015年, B地的收入已经比A地多347303万元了.
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(2)设生物死亡 $x$ 年后, 它体内碳14含量为 $h(x)$.
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如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位, 那么
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$h(x)=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5\ 730}}\right)^x$.
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当 $x=10000$ 时, 利用计算工具求得 $h(10000)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10\ 000}{5\ 730}}\approx0.30$.
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所以, 生物死亡10000年后, 它体内碳14含量衰减为原来的约30%.
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在实际问题中, 经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型: 设原有量为 $N$, 每次的增长率为 $p$, 经过 $x$ 次增长, 该量增长到 $y$, 则 $y=N(1+p)^x(x\in\mathbf{N})$. 形如 $y=ka^x(k\in\mathbf{R}$, 且 $k\neq0; a>0$, 且 $a\neq1)$ 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.
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114 第四章 指数函数与对数函数
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**转换失败**: 转换第119页失败，已重试3次
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## 4.2.2 **指数函数的图象和性质**
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下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步研究指数函数.首先画出指数函数的图象,然后借助图象研究指数函数的性质.
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先从简单的函数$y=2^x$开始.
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请同学们完成$x,y$的对应值表4.2-2,并用描点法画出函数$y=2^x$的图象(图4.2-4).
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表 4.2-2
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| $x$ | $y$ |
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| ------ | ------ |
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| $-2$ | |
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| $-1.5$ | $0.35$ |
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| $-1$ | |
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| $-0.5$ | $0.71$ |
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| $0$ | |
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| $0.5$ | $1.41$ |
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| $1$ | |
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| $1.5$ | $2.83$ |
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| $2$ | |
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*(图 4.2-4: 函数 $y=2^x$ 的图象。该图显示了一个指数函数 $y=2^x$ 在直角坐标系中的曲线，它经过点 $(0,1)$ 并向右上方递增。)*
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为了得到指数函数$y=a^x (a>0, 且 a \neq 1)$的性质,我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.
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> **探究**
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>
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> 画出函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象,并与函数$y=2^x$的图象进行比较,它们有什么关系?
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>
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> 能否利用函数$y=2^x$的图象,画出函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象?
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因为$y=(\frac{1}{2})^x=2^{-x}$,点$(x,y)$与点$(-x,y)$关于$y$轴对称,所以函数$y=2^x$图象上任意一点$P(x,y)$关于$y$轴的对称点$P_1(-x,y)$都在函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象上,反之亦然.由此可知,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于$y$轴对称,根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象,比如利用函数$y=2^x$的图象,画出$y=(\frac{1}{2})^x$的图象(图4.2-5).
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*(图 4.2-5: 函数 $y=2^x$ 和 $y=(\frac{1}{2})^x$ 的图象及对称点。该图展示了 $y=2^x$ (递增曲线) 和 $y=(1/2)^x$ (递减曲线) 在直角坐标系中的图形，两条曲线关于 $y$ 轴对称，并标示了对称点 $P(x,y)$ 和 $P_1(-x,y)$。)*
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116 第四章 指数函数与对数函数
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<div style="background-color: #e6f7ff; border-left: 5px solid #009688; padding: 10px 15px; margin-bottom: 20px;">
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## 探究
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选取底数 $a(a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 $y=a^x(a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的值域和性质吗？
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</div>
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如图 4.2-6, 选取底数 $a$ 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数 $y=a^x$ 的图象按底数 $a$ 的取值，可分为 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种类型. 因此，指数函数的性质也可以分 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种情况进行研究.
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一般地, 指数函数的图象和性质如表 4.2-3 所示.
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图 4.2-6
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表 4.2-3
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| 项目 | $0<a<1$ | $a>1$ |
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| :------- | :---------------------------- | :-------------------------- |
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| **图象** | (递减函数图像，过$(0,1)$点) | (递增函数图像，过$(0,1)$点) |
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| **定义域** | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{R}$ |
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| **值域** | $(0, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
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| **性质** | (1) 过定点 $(0, 1)$，即 $x=0$ 时，$y=1$ | (1) 过定点 $(0, 1)$，即 $x=0$ 时，$y=1$ |
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| | (2) 减函数 | (2) 增函数 |
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**例3** 比较下列各题中两个值的大小：
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(1) $1.7^{2.5}$, $1.7^3$;
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(2) $0.8^{-\sqrt{2}}$, $0.8^{-\sqrt{3}}$;
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(3) $1.7^{0.3}$, $0.9^{3.1}$.
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**分析**：对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，$1.7^{0.3}$ 和 $0.9^{3.1}$ 不能看作某一个指数函数的两个函数值，可以利用函数 $y=1.7^x$ 和 $y=0.9^x$ 的单调性，以及 “$x=0$ 时，$y=1$” 这条性质把它们联系起来。
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**解**：(1) $1.7^{2.5}$ 和 $1.7^3$ 可看作函数 $y=1.7^x$ 当 $x$ 分别取 $2.5$ 和 $3$ 时所对应的两个函数值。
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因为底数 $1.7 > 1$，所以指数函数 $y=1.7^x$ 是增函数。
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因为 $2.5 < 3$，所以 $1.7^{2.5} < 1.7^3$。
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(2) 同(1) 理，因为 $0 < 0.8 < 1$，所以指数函数 $y=0.8^x$ 是减函数。
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第四章 指数函数与对数函数 117
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因为 $-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$，所以 $0.8^{-\sqrt{2}} < 0.8^{-\sqrt{3}}$。
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(3) 由指数函数的性质知
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$1.7^{0.3} > 1.7^0 = 1$
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$0.9^{3.1} < 0.9^0 = 1$
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所以 $1.7^{0.3} > 0.9^{3.1}$。
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> 由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系。
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**例 4** 如图4.2-7, 某城市人口呈指数增长。
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(1) 根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间 (倍增期)；
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(2) 该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
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**分析:** (1) 因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期。
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(2) 要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系。
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**解:** (1) 观察图4.2-7，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年。
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(2) 因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番。因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人。
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图4.2-7 (注：原图中的函数曲线图未用Mermaid语法表示，仅作图示引用)
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## 练习
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1. 在同一直角坐标系中画出函数 $y=3^x$ 和 $y=(\frac{1}{3})^x$ 的图象，并说明它们的关系。
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2. 比较下列各题中两个值的大小:
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(1) $6^{\sqrt{2}}, 7^{\sqrt{2}}$；
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(2) $0.3^{-3.5}, 0.3^{-2.3}$；
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(3) $1.2^{0.5}, 0.5^{1.2}$。
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3. 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图。
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## 习题 4.2
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## 复习巩固
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1. 求下列函数的定义域:
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(1) $y=2^{3-x}$；
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(2) $y=3^{2x+1}$；
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(3) $y=(\frac{1}{2})^{5x}$；
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(4) $y=0.7^{\frac{1}{x}}$。
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118 第四章 指数函数与对数函数
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2. 一种产品原来的年产量是 $a$ 件，今后 $m$ 年内，计划使产量平均每年比上一年增加 $p\%$，写出年产量 $y$ (单位: 件) 关于经过的年数 $x$ 的函数解析式。
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3. 比较满足下列条件的 $m, n$ 的大小:
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(1) $2^m < 2^n$;
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(2) $0.2^m < 0.2^n$;
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(3) $a^m < a^n$ ($0 < a < 1$);
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(4) $a^m > a^n$ ($a > 1$).
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4. 设函数 $f(x) = Q_0(1+r)^x$，且 $f(10) = 20.23$, $f(11) = 23.26$。
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(1) 求函数 $f(x)$ 的增长率 $r$;
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(2) 求 $f(12)$ 的值。
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## 综合运用
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5. 求下列函数可能的一个解析式:
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(1) 函数 $f(x)$ 的数据如下表:
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| $x$ | 0 | 1 | 2 |
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| $f(x)$ | 3.50 | 4.20 | 5.04 |
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(2) 函数 $g(x)$ 的图象如下:
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*(注：此为函数 $g(x)$ 的图像，描绘了一个向下凹陷、从左上方向右下方递减的曲线，经过点 $(-1, 8)$ 和 $(1, 2)$。Mermaid 语法不适用于直接绘制函数图像，因此此处提供文字描述。)*
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6. 比较下列各题中两个值的大小:
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(1) $3^{0.8}$, $3^{0.7}$;
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(2) $0.75^{-0.1}$, $0.75^{0.1}$;
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(3) $1.01^{2.7}$, $1.01^{3.5}$;
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(4) $0.99^{3.3}$, $0.99^{4.5}$.
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7. 当死亡生物组织内碳 14 的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳 14 了。如果死亡生物组织内的碳 14 经过九个“半衰期”后，那么用一般的放射性探测器能测到碳 14 吗?
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8. 按复利计算利息的一种储蓄，本金为 $a$ (单位: 元)，每期利率为 $r$，本利和为 $y$ (单位: 元)，存期数为 $x$。
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(1) 写出本利和 $y$ 关于存期数 $x$ 的函数解析式;
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(2) 如果存入本金 $1000$ 元，每期利率为 $2.25\%$，试计算 $5$ 期后的本利和。
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> 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息。我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄。
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第四章 指数函数与对数函数 119
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**转换失败**: 转换第124页失败，已重试3次
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**转换失败**: 转换第125页失败，已重试3次
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# 4.3 对数
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在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从$y=1.11^x$中求出经过$x$年后B地景区的游客人次为2001年的倍数$y$。反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？
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## 4.3.1 对数的概念
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上述问题实际上就是从$2=1.11^x$, $3=1.11^x$, $4=1.11^x$, …中分别求出$x$，即已知底数和幂的值，求指数，这是本节要学习的对数。
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一般地，如果$a^x=N(a>0, \text{且} a\neq1)$，那么数$x$叫做以$a$为底$N$的**对数** (logarithm)，记作
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$$x=\log_a N$$
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其中$a$叫做对数的**底数**，$N$叫做**真数**。
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> “log”是 logarithm (对数)的缩写。
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例如，由于$2=1.11^x$，所以$x$就是以1.11为底2的对数，记作$x=\log_{1.11}2$；再如，由于$4^2=16$，所以以4为底16的对数是2，记作$\log_4 16=2$。
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通常，我们将以10为底的对数叫做**常用对数** (common logarithm)，并把$\log_{10} N$记为$\lg N$。另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数$e=2.71828\cdots$为底数的对数，以$e$为底的对数称为**自然对数** (natural logarithm)，并把$\log_e N$记为$\ln N$。
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> 通过查询互联网，进一步了解无理数$e$、常用对数和自然对数。
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根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
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当$a>0, a\neq1$时，$a^x=N \iff x=\log_a N$。
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由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：
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**负数和0没有对数**；
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$\log_a 1=0$, $\log_a a=1$。
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请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论。
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**例1** 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
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(1) $5^4=625$;
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(2) $2^{-6}=\frac{1}{64}$;
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(3) $\left(\frac{1}{3}\right)^m=5.73$;
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122 第四章 指数函数与对数函数
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(4) $log_{\frac{1}{2}} 16 = -4;$
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(5) $lg 0.01 = -2;$
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(6) $ln 10 = n.$
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**解:**
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(1) $log_5 625 = 4;$
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(2) $log_2 \frac{1}{64} = -6;$
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(3) $log_{\frac{1}{3}} 5.73 = m;$
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(4) $(\frac{1}{2})^{-4} = 16;$
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(5) $10^{-2} = 0.01;$
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(6) $e^n = 10.$
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**例2** 求下列各式中 $x$ 的值:
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(1) $log_{64} x = -\frac{2}{3};$
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(2) $log_x 8 = 6;$
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(3) $lg 100 = x;$
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(4) $-ln e^2 = x.$
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**解:**
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(1) 因为 $log_{64} x = -\frac{2}{3}$, 所以
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$x = 64^{-\frac{2}{3}} = (4^3)^{-\frac{2}{3}} = 4^{-2} = \frac{1}{16}.$
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(2) 因为 $log_x 8 = 6$, 所以 $x^6 = 8$. 又 $x > 0$, 所以
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$x = 8^{\frac{1}{6}} = (2^3)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}.$
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(3) 因为 $lg 100 = x$, 所以
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$10^x = 100$, $10^x = 10^2$,
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于是
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$x = 2.$
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(4) 因为 $-ln e^2 = x$, 所以
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$ln e^2 = -x$, $e^2 = e^{-x}$,
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于是
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$x = -2.$
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**练习**
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1. 把下列指数式写成对数式, 对数式写成指数式:
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(1) $2^3 = 8;$
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(2) $e^{\sqrt{3}} = m;$
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(3) $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3};$
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(4) $log_3 9 = 2;$
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(5) $lg n = 2.3;$
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(6) $log_3 \frac{1}{81} = -4.$
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2. 求下列各式的值:
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(1) $log_5 25;$
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(2) $log_{0.4} 1;$
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(3) $ln \frac{1}{e};$
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(4) $lg 0.001.$
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3. 求下列各式中 $x$ 的值:
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(1) $log_{\frac{1}{3}} x = -3;$
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(2) $log_x 49 = 4;$
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(3) $lg 0.00001 = x;$
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(4) $ln \sqrt{e} = -x.$
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第四章 指数函数与对数函数 123
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## 4.3.2 对数的运算
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在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质。你认为可以怎样研究？
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> 💡 **探究**
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> 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？
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设
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$M=a^m, N=a^n$,
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因为
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$a^m a^n = a^{m+n}$,
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所以
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$MN=a^{m+n}$.
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根据对数与指数间的关系可得
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$\log_a M=m, \log_a N=n$,
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$\log_a (MN)=m+n$.
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这样，就得到了对数的一个运算性质：
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$\log_a (MN)=\log_a M+\log_a N$.
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同样地，同学们可以仿照上述过程，由 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ 和 $(a^m)^n = a^{mn}$，自己推出对数运算的其他性质。
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于是，我们得到如下的对数运算性质。
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> 如果 $a>0$, 且 $a \ne 1$, $M>0$, $N>0$, 那么
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> (1) $\log_a (MN)=\log_a M+\log_a N$;
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> (2) $\log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$;
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> (3) $\log_a M^n=n\log_a M$ ($n \in \mathbf{R}$).
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**例 3** 求下列各式的值:
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(1) $\lg \sqrt[5]{100}$;
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(2) $\log_2(4^7 \times 2^5)$.
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**解:**
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(1) $\lg \sqrt[5]{100}=\lg 100^{\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}\lg 100=\frac{2}{5}$;
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(2) $\log_2(4^7 \times 2^5)=\log_2 4^7+\log_2 2^5$
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$=7\log_2 4+5\log_2 2$
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$=7 \times 2+5 \times 1$
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$=19$.
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124 第四章 指数函数与对数函数
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**例 4** 用 $\ln x$, $\ln y$, $\ln z$ 表示 $\ln \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}$。
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**解:**
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$$
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\begin{aligned}
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\ln \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}} &= \ln(x^2\sqrt{y}) - \ln \sqrt[3]{z} \\
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&= \ln x^2 + \ln \sqrt{y} - \ln \sqrt[3]{z} \\
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&= 2\ln x + \frac{1}{2}\ln y - \frac{1}{3}\ln z.
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\end{aligned}
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$$
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数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以 $10$ 或 $e$ 为底的对数，就能方便地求出这些对数。
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## 探究
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(1) 利用计算工具求 $\ln 2$, $\ln 3$ 的近似值；
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(2) 根据对数的定义，你能利用 $\ln 2$, $\ln 3$ 的值求 $\log_2 3$ 的值吗？
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(3) 根据对数的定义，你能用 $\log_c a$, $\log_c b$ 表示 $\log_a b$ ($a>0$, 且 $a \neq 1; b>0; c>0$, 且 $c \neq 1$) 吗？
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设 $\log_a b = x$，则 $a^x = b$，于是
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$\log_c a^x = \log_c b$.
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根据性质 (3) 得 $x\log_c a = \log_c b$，即
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$$
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\boxed{\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (a>0, \text{且 } a \neq 1; b>0; c>0, \text{且 } c \neq 1)}.
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$$
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我们把上式叫做**对数换底公式**。
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在 4.2.1 的问题 1 中，求经过多少年 B 地景区的游客人次是 2001 年的 2 倍，就是计算 $x = \log_{1.11} 2$ 的值。由换底公式，可得
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$$
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x = \log_{1.11} 2 = \frac{\lg 2}{\lg 1.11}.
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$$
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利用计算工具，可得
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$$
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x = \frac{\lg 2}{\lg 1.11} \approx 6.64 \approx 7.
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$$
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由此可得，大约经过 7 年，B 地景区的游客人次就达到 2001 年的 2 倍。
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类似地，可以求出游客人次是 2001 年的 3 倍，4 倍，$\cdots$ 所需要的年数。
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第四章 指数函数与对数函数 125
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**例5** 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量$E$(单位:焦耳)与地震里氏震级$M$之间的关系为
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$$ \text{lg} E=4.8+1.5M. $$
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2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?
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**解:** 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为$E_1$和$E_2$.
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由$\text{lg} E=4.8+1.5M$,可得
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$$ \text{lg} E_1=4.8+1.5\times 9.0, $$
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$$ \text{lg} E_2=4.8+1.5\times 8.0. $$
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于是,$\text{lg} \frac{E_1}{E_2} = \text{lg} E_1 - \text{lg} E_2$
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$$ =(4.8+1.5\times 9.0)-(4.8+1.5\times 8.0)=1.5. $$
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利用计算工具可得,
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$$ \frac{E_1}{E_2}=10^{1.5}\approx 32. $$
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> ❓ 想一想,为什么两次地震的里氏震级仅差1级,而释放的能量却相差那么多呢?
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虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
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## 练习
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1. 求下列各式的值:
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(1) $\log_3 (27\times 9^2)$;
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(2) $\text{lg} 5+\text{lg} 2$;
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(3) $\text{ln} 3+\text{ln} \frac{1}{3}$;
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(4) $\log_3 5-\log_3 15$.
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2. 用$\text{lg}x,\text{lg}y,\text{lg}z$表示下列各式:
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(1) $\text{lg}(xyz)$;
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(2) $\text{lg} \frac{xy^2}{z}$;
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(3) $\text{lg} \frac{xy^3}{\sqrt{z}}$;
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(4) $\text{lg} \frac{\sqrt{x}}{y^2z}$.
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3. 化简下列各式:
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(1) $\log_2 3\times\log_3 4\times\log_4 5\times\log_5 2$;
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(2) $2(\log_4 3+\log_8 3) (\log_3 2+\log_9 2)$.
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## 习题 4.3
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### 复习巩固
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1. 把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:
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(1) $3^x=1$;
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(2) $4^x=\frac{1}{6}$;
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(3) $10^x=6$;
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(4) $e^x=25$;
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(5) $x=\log_5 27$;
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(6) $x=\log_7 \frac{1}{3}$;
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(7) $x=\text{lg} 0.3$;
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(8) $x=\text{ln} \sqrt{3}$.
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126 第四章 指数函数与对数函数
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## 2. 选择题
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(1) 使式子 $\log_{(2x-1)}(2-x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是 ( ).
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(A) $x>2$
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(B) $x<2$
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(C) $\frac{1}{2} < x < 2$
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(D) $\frac{1}{2} < x < 2$, 且 $x \neq 1$
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(2) 若 $\lg a (a>0)$ 与 $\lg b (b>0)$ 互为相反数, 则 ( ).
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(A) $a+b=0$
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(B) $a-b=0$
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(C) $ab=1$
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(D) $\frac{a}{b}=1$
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## 3. 求下列各式的值:
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(1) $\log_a 2 + \log_a \frac{1}{2}$
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(2) $\log_3 18 - \log_3 2$
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(3) $\lg \frac{1}{4} - \lg 25$
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(4) $2\log_5 25 - 3\log_2 64$
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(5) $\log_2 (\log_2 16)$
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(6) $\log_2 25 \times \log_3 4 \times \log_5 9$
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## 4. 求满足下列条件的 $x$ 的值:
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(1) $\ln x = \ln a + \ln b$
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(2) $\lg x = 3\lg n - \lg m$
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(3) $\log_a x = \frac{1}{2}\log_a b - \log_a c$
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(4) $\log_2 [\log_3 (\log_4 x)] = 0$
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## ◎ 综合运用
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5. 已知 $\lg 2=a$, $\lg 3=b$, 求下列各式的值:
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(1) $\lg 6$
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(2) $\log_3 4$
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(3) $\log_2 12$
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(4) $\lg \frac{3}{2}$
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6. 求满足下列条件的各式的值:
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(1) 若 $x^{\log_3 4}=1$, 求 $4^x + 4^{-x}$ 的值;
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(2) 若 $f(x)=3^x$, 求 $f(\log_3 2)$ 的值.
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7. 证明:
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(1) $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1$;
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(2) $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b$.
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8. 某地 GDP 的年平均增长率为 $6.5\%$, 按此增长率, 多少年后该地 GDP 会翻两番?
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## ◎ 拓广探索
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9. 我们可以把 $(1+1\%)^{365}$ 看作每天的“进步”率都是 $1\%$, 一年后是 $1.01^{365}$; 而把 $(1-1\%)^{365}$ 看作每天的“落后”率都是 $1\%$, 一年后是 $0.99^{365}$. 利用计算工具计算并回答下列问题:
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(1) 一年后“进步”的是“落后”的多少倍?
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(2) 大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍?
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10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全, 根据国家有关规定: $100 \text{ mL}$ 血液中酒精含量达到 $20 \sim 79 \text{ mg}$ 的驾驶员即为酒后驾车, $80 \text{ mg}$ 及以上认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后, 其血液中的酒精含量上升到了 $1 \text{ mg/mL}$. 如果在停止喝酒以后, 他血液中酒精含量会以每小时 $30\%$ 的速度减少, 那么他至少经过几个小时才能驾驶?
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第四章 指数函数与对数函数 127
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**转换失败**: 转换第132页失败，已重试3次
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**转换失败**: 转换第133页失败，已重试3次
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# 4.4 对数函数
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在4.2节中,我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题,对这样的问题,在引入对数后,我们还可以从另外的角度,对其蕴含的规律作进一步的研究。
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## 4.4.1 对数函数的概念
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> **③ 思考**
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> 在4.2.1的问题2中,我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量$y$随死亡时间$x$的变化而衰减的规律,反过来,已知死亡生物体内碳14的含量,如何得知它死亡了多长时间呢?进一步地,死亡时间$x$是碳14的含量$y$的函数吗?
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根据指数与对数的关系,由$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$ ($x \ge 0$) 得到$x=\log_{\left(\frac{1}{2}\right)^{1/5730}} y$ ($0 < y \le 1$). 如图 4.4-1,过$y$轴正半轴上任意一点$(0, y_0)$ ($0 < y_0 \le 1$)作$x$轴的平行线,与$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$ ($x \ge 0$) 的图象有且只有一个交点$(x_0, y_0)$. 这就说明,对于任意一个$y \in (0, 1]$,通过对应关系$x=\log_{\left(\frac{1}{2}\right)^{1/5730}} y$,在$[0, +\infty)$上都有唯一确定的数$x$和它对应,所以$x$也是$y$的函数. 也就是说,函数$x=\log_{\left(\frac{1}{2}\right)^{1/5730}} y$, $y \in (0,1]$刻画了时间$x$随碳14含量$y$的衰减而变化的规律。
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图 4.4-1
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同样地,根据指数与对数的关系,由 $y=a^x$ ($a>0$, 且 $a \ne 1$) 可以得到 $x = \log_a y$ ($a>0$, 且 $a \ne 1$), $x$ 也是 $y$ 的函数. 通常,我们用 $x$ 表示自变量, $y$ 表示函数. 为此,将 $x=\log_a y$ ($a>0$, 且 $a \ne 1$) 中的字母 $x$ 和 $y$ 对调,写成 $y=\log_a x$ ($a>0$, 且 $a \ne 1$).
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一般地,函数 $y=\log_a x$ ($a>0$, 且 $a \ne 1$) 叫做**对数函数** (logarithmic function), 其中 $x$ 是自变量,定义域是 $(0, +\infty)$.
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**例 1** 求下列函数的定义域:
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(1) $y=\log_3 x^2$;
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(2) $y=\log_a (4-x)$ ($a>0$, 且 $a \ne 1$).
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130 第四章 指数函数与对数函数
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**解：**
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(1) 因为 $x^2 \ge 0$，即 $x \neq 0$，所以函数 $y=\log_3 x^2$ 的定义域是 $\{x | x \neq 0\}$。
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(2) 因为 $4-x > 0$，即 $x < 4$，所以函数 $y=\log_a (4-x)$ 的定义域是 $\{x | x < 4\}$。
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**例2** 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过 $t$ 年后的物价为 $w$。
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(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？
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(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律。
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| 物价 $w$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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| :------- | :- | :- | :- | :- | :- | :- | :- | :- | :- | :-- |
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| 年数 $t$ | 0 | | | | | | | | | |
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**解：**
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(1) 由题意可知，经过 $t$ 年后物价 $w$ 为
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$w=(1+5\%)^t$，即 $w=1.05^t$ ($t \in [0, +\infty)$)。
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由对数与指数间的关系，可得
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$t=\log_{1.05} w$， $w \in [1, +\infty)$。
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由计算工具可得，当 $w=2$ 时，$t \approx 14$。
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所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番。
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(2) 根据函数 $t=\log_{1.05} w$， $w \in [1, +\infty)$，利用计算工具，可得下表：
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| 物价 $w$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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| :------- | :- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
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| 年数 $t$ | 0 | 14 | 23 | 28 | 33 | 37 | 40 | 43 | 45 | 47 |
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由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小。
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## 练习
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1. 求下列函数的定义域：
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(1) $y=\ln(1-x)$;
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(2) $y=\frac{1}{\lg x}$;
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(3) $y=\log_7 \frac{1}{1-3x}$;
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(4) $y=\log_a |x|$ ($a>0$，且 $a \neq 1$)。
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2. 画出下列函数的图象：
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(1) $y=\lg 10^x$;
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(2) $y=10^{\lg x}$.
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3. 已知集合 $A=\{1, 2, 3, 4, \dots\}$，集合 $B=\{2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$，下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是
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① $y=2^x$;
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② $y=x^2$;
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③ $y=\log_2 x$;
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④ $y=2x$.
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第四章 指数函数与对数函数 131
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## 4.4.2 对数函数的图象和性质
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与研究指数函数一样, 我们首先画出其图象, 然后借助图象研究其性质.
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不妨先画函数 $y=\log_2 x$ 的图象.
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请同学们完成 $x, y$ 的对应值表 4.4-1, 并用描点法画出函数 $y=\log_2 x$ 的图象 (图 4.4-2).
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**表 4.4-1**
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| $x$ | $y$ |
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| :---- | :-- |
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| 0.5 | -1 |
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| 1 | 0 |
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| 2 | 1 |
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| 4 | |
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| 6 | |
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| 8 | |
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| 12 | |
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| 16 | |
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**图 4.4-2** (一个坐标系, 包含一条向上弯曲的曲线, 标有 $y=2^x$, 穿过 $(0,1)$ 点附近, x轴刻度至15, y轴刻度从-6至8)
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> **? 思考**
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>
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> 我们知道, 底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称. 对于底数互为倒数的两个对数函数, 比如 $y=\log_2 x$ 和 $y=\log_{\frac{1}{2}} x$, 它们的图象是否也有某种对称关系呢? 可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象?
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利用换底公式, 可以得到 $y=\log_{\frac{1}{2}} x = -\log_2 x$. 因为点 $(x, y)$ 与点 $(x, -y)$ 关于 $x$ 轴对称, 所以 $y=\log_2 x$ 图象上任意一点 $P(x, y)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_1(x, -y)$ 都在 $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ 的图象上, 反之亦然. 由此可知, 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 $x$ 轴对称, 根据这种对称性, 就可以利用 $y=\log_2 x$ 的图象画出 $y=\log_{\frac{1}{2}} x$ 的图象 (图 4.4-3).
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为了得到对数函数 $y=\log_a x (a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的性质, 我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.
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**图 4.4-3** (一个坐标系, 包含两条对称的曲线, 一条标有 $y=2^x$ (蓝色曲线), 另一条标有 $y=\frac{1}{2}^x$ (粉色曲线). 曲线上分别标记有 $P$ 点和 $P_1$ 点, 且 $P$ 和 $P_1$ 关于 x轴对称.)
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> **探究**
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>
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> 选取底数 $a(a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的若干个不同的值, 在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象, 观察这些图象的位置、公共点和变化趋势, 它们有哪些共性? 由此你 能概括出对数函数 $y=\log_a x (a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的值域和性质吗?
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132 第四章 指数函数与对数函数
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如图 4.4-4，选取底数 $a$ 的若干值，用计算工具画图，发现对数函数 $y=\log_a x$ 的图像按底数 $a$ 的取值，可分为 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种类型。因此，对数函数的性质也可以分 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种情况进行研究。
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一般地，对数函数的图像和性质如表 4.4-2 所示。
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**表 4.4-2**
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| 项目 | $0<a<1$ | $a>1$ |
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| :----- | :----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
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| **图像** | （参见原图 4.4-4 左侧图像）<br>图像为通过 $(1,0)$ 点的曲线，当 $0<a<1$ 时，对数函数 $y=\log_a x$ 的图像单调递减，渐近线为 $y$ 轴 ($x=0$)。当 $x \to 0^+$ 时，$y \to +\infty$；当 $x \to +\infty$ 时，$y \to -\infty$。图中也标出了 $x=1$ 的虚线。 | （参见原图 4.4-4 右侧图像）<br>图像为通过 $(1,0)$ 点的曲线，当 $a>1$ 时，对数函数 $y=\log_a x$ 的图像单调递增，渐近线为 $y$ 轴 ($x=0$)。当 $x \to 0^+$ 时，$y \to -\infty$；当 $x \to +\infty$ 时，$y \to +\infty$。图中也标出了 $x=1$ 的虚线。 |
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| **定义域** | $(0, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
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| **值域** | $\mathbf{R}$ | $\mathbf{R}$ |
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| **性质** | (1) 过定点 $(1,0)$，即 $x=1$ 时，$y=0$<br>(2) 减函数 | (1) 过定点 $(1,0)$，即 $x=1$ 时，$y=0$<br>(2) 增函数 |
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**图 4.4-4**
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（此图为指数函数图像集合，描绘了 $y=2^x, y=3^x, y=4^x, y=(\frac{1}{2})^x, y=(\frac{1}{3})^x, y=(\frac{1}{4})^x$ 等多条曲线，它们均通过 $(0,1)$ 点。其中底数大于 $1$ 的函数图像单调递增，底数小于 $1$ (且大于 $0$) 的函数图像单调递减。）
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**例 3** 比较下列各题中两个值的大小：
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(1) $\log_2 3.4, \log_2 8.5$;
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(2) $\log_{0.3} 1.8, \log_{0.3} 2.7$;
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(3) $\log_a 5.1, \log_a 5.9 (a>0, 且 a \ne 1)$.
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**解：**
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(1) $\log_2 3.4$ 和 $\log_2 8.5$ 可看作函数 $y=\log_2 x$ 的两个函数值。因为底数 $2>1$，对数函数 $y=\log_2 x$ 是增函数，且 $3.4<8.5$，所以
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$\log_2 3.4 < \log_2 8.5$.
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(2) $\log_{0.3} 1.8$ 和 $\log_{0.3} 2.7$ 可看作函数 $y=\log_{0.3} x$ 的两个函数值。因为底数 $0.3<1$，对数函数 $y=\log_{0.3} x$ 是减函数，且 $1.8<2.7$，所以
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$\log_{0.3} 1.8 > \log_{0.3} 2.7$.
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(3) $\log_a 5.1$ 和 $\log_a 5.9$ 可看作函数 $y=\log_a x$ 的两个函数值。对数函数的单调性取决于底数 $a$ 是大于 $1$ 还是小于 $1$，因此需要对底数 $a$ 进行讨论。
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当 $a>1$ 时，因为函数 $y=\log_a x$ 是增函数，且 $5.1<5.9$，所以
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$\log_a 5.1 < \log_a 5.9$;
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当 $0<a<1$ 时，因为函数 $y=\log_a x$ 是减函数，且 $5.1<5.9$，所以
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$\log_a 5.1 > \log_a 5.9$.
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第四章 指数函数与对数函数 133
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**例4** 溶液酸碱度的测量。
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溶液酸碱度是通过pH计量的。pH的计算公式为$pH=-\lg[\text{H}^+]$，其中 $[\text{H}^+]$ 表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。
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(1) 根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
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(2) 已知纯净水中氢离子的浓度为 $[\text{H}^+]=10^{-7}$摩尔/升，计算纯净水的pH。
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**解**：(1) 根据对数的运算性质，有
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$pH=-\lg[\text{H}^+]=\lg[\text{H}^+]^{-1}=\lg \frac{1}{[\text{H}^+]}$
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在 $(0, +\infty)$ 上，随着 $[\text{H}^+]$ 的增大，$\frac{1}{[\text{H}^+]}$ 减小，
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> 胃酸中氢离子的浓度是$2.5 \times 10^{-2}$摩尔/升，胃酸的pH是多少？
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相应地，$ \lg \frac{1}{[\text{H}^+]}$ 也减小，即 pH 减小，所以，随着 $[\text{H}^+]$ 的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强。
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(2) 当 $[\text{H}^+]=10^{-7}$时，$pH=-\lg 10^{-7}=7$。所以，纯净水的pH是7。
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前面根据指数与对数间的关系，由$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}} (x \geq 0)$得$x=\log_{\sqrt{2}}^{5730} y (0<y \leq 1)$。由函数定义可知 $x = \log_{\sqrt{2}}^{5730} y, y \in (0, 1]$ 是一个函数。这样，由指数函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$可得到对数函数$x=\log_{\sqrt{2}}^{5730} y, y \in (0, 1]$，这个对数函数的定义域 $(0, 1]$、值域 $[0, +\infty)$分别是指数函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$的值域和定义域。这时就说函数$x=\log_{\sqrt{2}}^{5730} y, y \in (0, 1]$是函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$的**反函数** (inverse function)。
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通常，我们用$x$表示自变量，$y$表示函数。为此，把$x=\log_{\sqrt{2}}^{5730} y$写成$y=\log_{\sqrt{2}}^{5730} x$。
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这样，对数函数$y=\log_{\sqrt{2}}^{5730} x, x \in (0, 1]$是指数函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$的反函数。同时，指数函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$也是对数函数$y=\log_{\sqrt{2}}^{5730} x, x \in (0, 1]$的反函数。因此，指数函数$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}, x \in [0, +\infty)$与对数函数$y=\log_{\sqrt{2}}^{5730} x, x \in (0, 1]$互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。
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134 第四章 指数函数与对数函数
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**转换失败**: 转换第139页失败，已重试3次
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### 4.4.3 不同函数增长的差异
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在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异. 事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律. 下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异.
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<div style="background-color: #e0f2f7; padding: 15px; border-radius: 5px; border-left: 5px solid #008cba;">
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<h4 style="margin-top: 0; color: #008cba;">💡 探究</h4>
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<p>选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间$[0, +\infty)$上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗?</p>
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</div>
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不妨以函数 $y=2^x$ 和 $y=2x$ 为例.
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利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表 (表 4.4-3)，并在同一直角坐标系中画出它们的图象 (图 4.4-5). 可以看到，函数 $y=2^x$ 和 $y=2x$ 的图象有两个交点 $(1, 2)$，$(2, 4)$. 在区间$[0, 1)$上，函数 $y=2^x$ 的图象位于 $y=2x$ 的图象之上，$2^x > 2x$；在区间$(1, 2)$上，函数 $y=2^x$ 的图象位于 $y=2x$ 的图象之下，$2^x < 2x$；在区间$(2, 3)$上，函数 $y=2^x$ 的图象位于 $y=2x$ 的图象之上，$2^x > 2x$. 这表明，虽然这两个函数在$[0, +\infty)$上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数 $y=2x$ 的增长速度保持不变，而函数 $y=2^x$ 的增长速度在变化.
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**表 4.4-3**
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| $x$ | $y=2^x$ | $y=2x$ |
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| ----- | ------- | ------ |
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| 0 | 1 | 0 |
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| 0.5 | 1.414 | 1 |
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| 1 | 2 | 2 |
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| 1.5 | 2.828 | 3 |
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| 2 | 4 | 4 |
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| 2.5 | 5.657 | 5 |
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| 3 | 8 | 6 |
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| ... | ... | ... |
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图 4.4-5
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*(该图为函数 $y=2^x$ 和 $y=2x$ 的图像，包含 $y$ 轴、 $x$ 轴，以及两条曲线：一条表示 $y=2^x$，另一条表示 $y=2x$。图像显示了两条曲线在点 $(1,2)$ 和 $(2,4)$ 处相交，并描绘了它们在不同区间内的相对位置和增长趋势。)*
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下面在更大的范围内，观察 $y=2^x$ 和 $y=2x$ 的增长情况.
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从表 4.4-4 和图 4.4-6 可以看到，当自变量 $x$ 越来越大时，$y=2^x$ 的图象就像与 $x$ 轴垂直一样，$2^x$ 的值快速增长；而函数 $y=2x$ 的增长速度依然保持不变，与函数 $y=2^x$ 的增长速度相比几乎微不足道.
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136 第四章 指数函数与对数函数
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### 表 4.4-4
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| $x$ | $y=2^x$ | $y=2x$ |
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| :--- | :------ | :----- |
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| 0 | 1 | 0 |
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| 2 | 4 | 4 |
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| 4 | 16 | 8 |
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| 6 | 64 | 12 |
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| 8 | 256 | 16 |
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| 10 | 1 024 | 20 |
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| 12 | 4 096 | 24 |
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| ... | ... | ... |
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（此处应为图 4.4-6：函数 $y=2^x$ 和 $y=2x$ 的图像，其中 $y=2^x$ 曲线从左下方向右上迅速上升，而 $y=2x$ 曲线呈直线增长，在 $x$ 较小处 $y=2x$ 较大，在 $x$ 较大处 $y=2^x$ 显著大于 $y=2x$。）
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综上所述，虽然函数 $y=2^x$ 与 $y=2x$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着 $x$ 的增大，$y=2^x$ 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 $y=2x$ 的增长速度。尽管在 $x$ 的一定变化范围内，$2^x$ 会小于 $2x$，但由于 $y=2^x$ 的增长最终会快于 $y=2x$ 的增长，因此，总会存在一个 $x_0$，当 $x>x_0$ 时，恒有 $2^x > 2x$。
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一般地，指数函数 $y=a^x (a>1)$ 与一次函数 $y=kx (k>0)$ 的增长差异都与上述情况类似，即使 $k$ 的值远远大于 $a$ 的值，$y=a^x (a>1)$ 的增长速度最终都会大大超过 $y=kx (k>0)$ 的增长速度。
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> 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长。
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### 探究
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选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间 $(0, +\infty)$ 上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？
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不妨以函数 $y=\lg x$ 和 $y=\frac{1}{10}x$ 为例。
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利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表 4.4-5），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图 4.4-7）。可以看到，虽然它们在 $(0, +\infty)$ 上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异。函数 $y=\frac{1}{10}x$ 的增长速度保持不变，而 $y=\lg x$ 的增长速度在变化。随着 $x$ 的增大，函数 $y=\frac{1}{10}x$ 的图象离 $x$ 轴越来越远，而函数 $y=\lg x$ 的图象越来越平缓，就像与 $x$ 轴平行一样。例如 $\lg 10=1$, $\lg 100=2$, $\lg 1000=3$,
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第四章 指数函数与对数函数 137
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$\lg 10000=4$; 而 $\frac{1}{10}\times 10=1$, $\frac{1}{10}\times 100=10$, $\frac{1}{10}\times 1000=100$, $\frac{1}{10}\times 10000=1000$. 这说明, 当 $x>10$, 即 $y=\lg x >1$ 时, $y=\lg x$ 与 $y=\frac{1}{10}x$ 相比增长得就很慢了.
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表 4.4-5
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| $x$ | $y=\lg x$ | $y=\frac{1}{10}x$ |
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| --- | --------- | ----------------- |
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| 0 | 不存在 | 0 |
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| 10 | 1 | 1 |
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| 20 | 1.301 | 2 |
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| 30 | 1.477 | 3 |
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| 40 | 1.602 | 4 |
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| 50 | 1.699 | 5 |
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| 60 | 1.778 | 6 |
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| ... | ... | ... |
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图 4.4-7 (描述了 $y=\frac{1}{10}x$ 和 $y=\lg x$ 的函数图像)
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> **③ 思考**
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>
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> 如果将 $\lg x$ 放大1000倍, 再对函数 $y=1000\lg x$ 和 $y=\frac{1}{10}x$ 的增长情况进行比较, 那么仍有上述规律吗?
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一般地, 虽然对数函数 $y=\log_a x (a>1)$ 与一次函数 $y=kx (k>0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上都单调递增, 但它们的增长速度不同. 随着 $x$ 的增大, 一次函数 $y=kx (k>0)$ 保持固定的增长速度, 而对数函数 $y=\log_a x (a>1)$ 的增长速度越来越慢, 即使 $k$ 的值很小, 在一定范围内, $\log_a x$ 可能会大于 $kx$, 但由于 $\log_a x$ 的增长最终会慢于 $kx$ 的增长, 因此总会存在一个 $x_0$, 当 $x>x_0$ 时, 恒有 $\log_a x < kx$.
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> 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.
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> **② 探究**
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>
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> 类比上述过程,
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>
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> (1) 画出一次函数 $y=2x$, 对数函数 $y=\lg x$ 和指数函数 $y=2^x$ 的图象, 并比较它们的增长差异;
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> (2) 试着概括一次函数 $y=kx (k>0)$, 对数函数 $y=\log_a x (a>1)$ 和指数函数 $y=b^x (b>1)$ 的增长差异;
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> (3) 讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
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138 第四章 指数函数与对数函数
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## 练习
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1. 三个变量 $y_1, y_2, y_3$ 随变量 $x$ 变化的数据如下表:
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| $x$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
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| :---- | :-- | :---- | :----- | :------ | :------ | :-------- | :---------- |
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| $y_1$ | 5 | 130 | 505 | 1 130 | 2 005 | 3 130 | 4 505 |
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| $y_2$ | 5 | 90 | 1 620 | 29 160 | 524 880 | 9 447 840 | 170 061 120 |
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| $y_3$ | 5 | 30 | 55 | 80 | 105 | 130 | 155 |
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其中关于 $x$ 呈指数增长的变量是 \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ .
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2. (1)(2)(3)分别是函数 $y=3^x$ 和 $y=5x$ 在不同范围的图象, 借助计算工具估算出使 $3^x > 5x$ 的 $x$ 的取值范围 (精确到 0.01).
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(图示：
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* **图 (1)**: 坐标系中显示 $y=5x$ (蓝色直线) 和 $y=3^x$ (粉色曲线)。
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* **图 (2)**: 坐标系中显示 $y=3^x$ (粉色曲线) 和 $y=5$ (蓝色直线)。
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* **图 (3)**: 坐标系中显示 $y=3^x$ (粉色曲线) 和 $y=5$ (蓝色直线)。
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所有图的 $y$ 轴都有 1 到 7 的刻度，$x$ 轴都有从 0 开始的刻度。
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(第 2 题))
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3. 如图, 对数函数 $y=\lg x$ 的图象与一次函数 $y=f(x)$ 的图象有 $A, B$ 两个公共点, 求一次函数 $y=f(x)$ 的解析式.
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(图示：坐标系中显示对数函数 $y=\lg x$ (粉色曲线) 和一次函数 $y=f(x)$ (蓝色直线)。两条曲线相交于点 $A$ 和点 $B$。坐标轴标有 $O, 1, 2, x$ 和 $y$。点 $A$ 位于 $(1,0)$ 处。点 $B$ 的 $x$ 坐标为 $2$。
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(第 3 题))
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4. 函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示, 则 $y=f(x)$ 可能是 ( ).
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(图示：坐标系中显示一条曲线。横轴标有 $O, 1, x$，纵轴标有 $O, 1, -1, y$。曲线经过点 $(1,0)$，并趋近于水平线 $y=1$。
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(第 4 题))
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(A) $y=1-x^{-1}$, $x \in (0, +\infty)$
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(B) $y=\frac{3}{2} - (\frac{1}{2})^x$, $x \in (0, +\infty)$
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(C) $y=\ln x$
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(D) $y=x-1$, $x \in (0, +\infty)$
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第四章 指数函数与对数函数 139
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## 习题 4.4
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### 复习巩固
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1. 求下列函数的定义域:
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(1) $y=\sqrt[3]{\log_2 x}$;
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(2) $y=\sqrt{\log_{0.5} (4x-3)}$.
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2. 比较满足下列条件的两个正数 $m, n$ 的大小:
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(1) $\log_3 m < \log_3 n$;
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(2) $\log_{0.3} m < \log_{0.3} n$;
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(3) $\log_a m < \log_a n (0<a<1)$;
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(4) $\log_a m > \log_a n (a>1)$.
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3. 假设在不考虑空气阻力的条件下, 火箭的最大速度 $v$ (单位: m/s) 和燃料的质量 $M$ (单位: kg)、火箭 (除燃料外) 的质量 $m$ (单位: kg) 的函数关系是 $v=2000\ln\left(1+\frac{M}{m}\right)$。当燃料质量是火箭质量的多少倍时, 火箭的最大速度可达到 12 km/s?
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4. 函数 $y=\log_2 x, y=\log_5 x, y=\lg x$ 的图象如图所示 (第 4 题图):
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*(该图展示了在第一象限的三条对数函数曲线，均通过点 $(1,0)$。曲线 ① (最陡峭) 位于底部，曲线 ② 居中，曲线 ③ (最平缓) 位于顶部，它们都向右上方延伸。)*
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(1) 试说明哪个函数对应于哪个图象, 并解释为什么;
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(2) 以已有图象为基础, 在同一直角坐标系中画出 $y=\log_{\frac{1}{2}} x$, $y=\log_{\frac{1}{5}} x$, $y=\log_{\frac{1}{10}} x$ 的图象;
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(3) 从(2)的图中你发现了什么?
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5. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上, 游回产地产卵。研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ (单位: m/s) 可以表示为 $v=\frac{1}{2}\log_3 \frac{O}{100}$, 其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数。
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(1) 当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时, 它的游速是多少?
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(2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数。
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6. 在 2 h 内将某种药物注射进患者的血液中, 在注射期间, 血液中的药物含量呈线性增加; 停止注射后, 血液中的药物含量呈指数衰减。能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是 (**B**)。
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*(图中提供了四个选项 (A), (B), (C), (D) 的 $Q-t$ 曲线。)*
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* (A) 曲线在 $t=0$ 到 $t=1$ 之间线性上升，随后指数衰减。
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* (B) 曲线在 $t=0$ 到 $t=2$ 之间线性上升，随后指数衰减，且药物含量 $Q$ 始终为正。
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* (C) 曲线在 $t=0$ 到 $t=2$ 之间线性上升，随后衰减曲线的斜率变化不符指数衰减特征。
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* (D) 曲线在 $t=0$ 到 $t=2$ 之间线性上升，随后指数衰减并降至 $Q < 0$。
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*(根据题目描述，药物注射持续 2 小时 ($0 \le t \le 2$) 呈线性增加，停止注射后 ($t > 2$) 呈指数衰减。其中药物含量 $Q$ 不可能为负值。因此，图 (B) 最符合描述。)*
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### 综合运用
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7. 判断下列各对函数是否互为反函数, 若是, 则求出它们的定义域和值域:
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(1) $y=\ln x$, $y=\text{e}^x$;
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(2) $y=-\log_a x$, $y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$.
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140 第四章 指数函数与对数函数
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8. 设$y=f(x)$表示摄氏温度为$x$时,华氏温度为$y$,
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(1) 如果函数$y=f(x)$的反函数是$y=g(x)$,那么$y=g(x)$表示什么?
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(2) 如果$f(30)=86$,那么求$g(86)$,并说明其实际意义.
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9. 某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年$15\%$的比例降低,要将当前的
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患病率降低一半,需要多少年?
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10. 声强级$L_1$(单位:dB)由公式
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$$L_1=10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$$
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给出,其中$I$为声强(单位:$\text{W/m}^2$).
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(1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为$1\text{ W/m}^2$,能听到的最低声强为$10^{-12}\text{ W/m}^2$.求人
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听觉的声强级范围.
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(2) 平时常人交谈时的声强约为$10^{-6}\text{ W/m}^2$,求其声强级.
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11. 假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元,下表给出了两种价格增长
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方式,其中$P_1$是按直线上升的房价,$P_2$是按指数增长的房价,$t$是2002年以来经过的年数.
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| $t$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
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|---|---|---|---|---|---|
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| $P_1$/万元 | 20 | | 40 | | |
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| $P_2$/万元 | 20 | | 40 | | |
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(1) 求函数$P_1=f(t)$的解析式;
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(2) 求函数$P_2=g(t)$的解析式;
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(3) 完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格
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增长方式的差异.
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**拓广探索**
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12. 已知 $\log_x \frac{1}{2} < 1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^a < 1$, $a^{\frac{1}{2}} < 1$, 求实数$a$的取值范围.
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13. 比较下列各题中三个值的大小:
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(1) $\log_{0.2} 6$, $\log_{0.3} 6$, $\log_{0.4} 6$;
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(2) $\log_2 3$, $\log_3 4$, $\log_4 5$.
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第四章 指数函数与对数函数 141
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## 4.5 函数的应用(二)
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在“函数的应用(一)”中,通过一些实例,我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程,学习了用函数描述客观事物变化规律的方法.本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法),再结合实例,更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程,学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法.
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### 4.5.1 函数的零点与方程的解
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> **? 思考**
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> 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程,知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.像 $\ln x + 2x - 6 = 0$ 这样不能用公式求解的方程,是否也能采用类似的方法,用相应的函数研究它的解的情况呢?
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与二次函数的零点一样,对于一般函数 $y=f(x)$,我们把使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 的**零点**(zero).
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这样,函数 $y=f(x)$ 的零点就是方程 $f(x)=0$ 的实数解,也就是函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的公共点的横坐标. 所以
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方程 $f(x)=0$ 有实数解
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$\Leftrightarrow$ 函数 $y=f(x)$ 有零点
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$\Leftrightarrow$ 函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有公共点.
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由此可知,求方程 $f(x)=0$ 的实数解,就是确定函数 $y=f(x)$ 的零点.一般地,对于不能用公式求解的方程 $f(x)=0$,我们可以把它与相应的函数 $y=f(x)$ 联系起来,利用函数的图象和性质找出零点,从而得到方程的解.
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下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征,以及零点附近函数值的变化规律入手.
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142 第四章 指数函数与对数函数
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## 探究
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对于二次函数$f(x)=x^2-2x-3$，观察它的图象（图4.5-1），发现它在区间$[2,4]$上有零点，这时，函数图象与$x$轴有什么关系？在区间$[-2,0]$上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数$f(x)$的取值规律来刻画这种关系？
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再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与$x$轴的关系，并探究用$f(x)$的取值刻画这种关系的方法。
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图4.5-1
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可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”$x$轴。函数在端点$x=2$和$x=4$的取值异号，即$f(2)f(4)<0$，函数$f(x)=x^2-2x-3$在区间$(2,4)$内有零点$x=3$，它是方程$x^2-2x-3=0$的一个根。同样地，$f(-2)f(0)<0$，函数$f(x)=x^2-2x-3$在$(-2,0)$内有零点$x=-1$，它是方程$x^2-2x-3=0$的另一个根。
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一般地，我们有：
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**函数零点存在定理** 如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f(a)f(b)<0$，那么，函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$内至少有一个零点，即存在$c \in (a,b)$，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解。
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**例1** 求方程$\ln x+2x-6=0$的实数解的个数。
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**分析：** 可以先借助计算工具画出函数$y=\ln x+2x-6$的图象或列出$x,y$的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助。
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**解：** 设函数$f(x)=\ln x+2x-6$，利用计算工具，列出函数$y=f(x)$的对应值表（表4.5-1），并画出图象（图4.5-2）。
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表4.5-1
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| $x$ | $y$ |
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| --- | -------- |
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| 1 | -4 |
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| 2 | -1.306 9 |
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| 3 | 1.098 6 |
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| 4 | 3.386 3 |
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| 5 | 5.609 4 |
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| 6 | 7.791 8 |
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| 7 | 9.945 9 |
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| 8 | 12.079 4 |
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| 9 | 14.197 2 |
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图4.5-2
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第四章 指数函数与对数函数 143
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由表4.5-1 和图 4.5-2 可知, $f(2)<0$, $f(3)\ge0$, 则 $f(2)f(3)<0$。由函数零点存在定理可知, 函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 在区间 $(2,3)$ 内至少有一个零点。
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容易证明, 函数 $f(x)=\ln x+2x-6$, $x\in(0,+\infty)$ 是增函数, 所以它只有一个零点, 即相应方程 $\ln x+2x-6=0$ 只有一个实数解。
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> 为什么由图4.5-2和$f(2)f(3)<0$还不能说明函数$f(x)$只有一个零点?你能证明函数$y=f(x)$是增函数吗?
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## 练习
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1. 图(1)(2)(3)分别为函数 $y=f(x)$ 在三个不同范围的图象, 能否仅根据其中一个图象, 得出函数 $y=f(x)$ 在某个区间只有一个零点的判断?为什么?
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(此处应有图 (1), (2), (3) 所示函数 $y=f(x)$ 在不同坐标范围的图像)
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(第1题)
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2. 利用计算工具画出函数的图象, 并指出下列函数零点所在的大致区间:
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(1) $f(x)=-x^3-3x+5$;
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(2) $f(x)=2x\ln(x-2)-3$;
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(3) $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}+4x-4$;
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(4) $f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x$.
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## 4.5.2 用二分法求方程的近似解
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我们已经知道, 函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 在区间 $(2,3)$ 内存在一个零点. 进一步的问题是, 如何求出这个零点呢?
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一个直观的想法是: 如果能将零点所在的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下, 就可以得到符合要求的零点的近似值. 为了方便, 可以通过取区间中点的方法, 逐步缩小零点所在的范围.
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> 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解, 在实际问题中, 往往只需求出满足一定精确度的近似解.
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取区间 $(2,3)$ 的中点 $2.5$, 用计算工具算得 $f(2.5)\approx -0.084$. 因为 $f(2.5)f(3)<0$, 所以零点在区间 $(2.5,3)$ 内.
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> 一般地, 称 $x=\frac{a+b}{2}$ 为区间 $(a,b)$ 的中点.
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144 第四章 指数函数与对数函数
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再取区间$(2.5, 3)$的中点$2.75$，用计算工具算得$f(2.75) \approx 0.512$。因为$f(2.5)f(2.75)<0$，所以零点在区间$(2.5, 2.75)$内。
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由于$(2, 3) \supseteq (2.5, 3) \supseteq (2.5, 2.75)$，所以零点所在的范围变小了。如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如**表 4.5-2**和**图 4.5-3**）。这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值。
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**表 4.5-2**
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| 零点所在区间 | 中点的值 | 中点函数近似值 |
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| :------------------------------- | :------------- | :------------- |
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| $(2, 3)$ | $2.5$ | $-0.084$ |
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| $(2.5, 3)$ | $2.75$ | $0.512$ |
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| $(2.5, 2.75)$ | $2.625$ | $0.215$ |
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| $(2.5, 2.625)$ | $2.562\ 5$ | $0.066$ |
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| $(2.5, 2.562\ 5)$ | $2.531\ 25$ | $-0.009$ |
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| $(2.531\ 25, 2.562\ 5)$ | $2.546\ 875$ | $0.029$ |
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| $(2.531\ 25, 2.546\ 875)$ | $2.539\ 062\ 5$| $0.010$ |
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| $(2.531\ 25, 2.539\ 062\ 5)$ | $2.535\ 156\ 25$| $0.001$ |
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**图 4.5-3**
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*(A graphical representation of the function $y=f(x)$ with its root being progressively localized within smaller intervals. The x-axis ranges from approximately 2 to 3, and the y-axis from -0.5 to 0.5, illustrating the interval narrowing process for finding the root.)*
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例如，当精确度为$0.01$时，因为$|2.539\ 062\ 5 - 2.531\ 25| = 0.007\ 812\ 5 < 0.01$，所以区间$(2.531\ 25, 2.539\ 062\ 5)$内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将$x = 2.531\ 25$作为函数$f(x)=\ln x+2x-6$零点的近似值，也即方程$\ln x+2x-6=0$的近似解。
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对于在区间$[a,b]$上图像连续不断且$f(a)f(b)<0$的函数$y=f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做**二分法** (bisection method)。
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给定精确度$\varepsilon$，用二分法求函数$y=f(x)$零点$x_0$的近似值的一般步骤如下：
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1. 确定零点$x_0$的初始区间$[a,b]$，验证$f(a)f(b)<0$。
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2. 求区间$(a,b)$的中点$c$。
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3. 计算$f(c)$，并进一步确定零点所在的区间：
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(1) 若$f(c)=0$（此时$x_0=c$），则$c$就是函数的零点；
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(2) 若$f(a)f(c)<0$（此时$x_0 \in (a,c)$），则令$b=c$；
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(3) 若$f(c)f(b)<0$（此时$x_0 \in (c,b)$），则令$a=c$。
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4. 判断是否达到精确度$\varepsilon$：若$|a-b|<\varepsilon$，则得到零点近似值$a$（或$b$）；否则重复步骤2~4。
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> 为了刻画与准确值的接近程度，这里给出了精确度$\varepsilon$，由$|a-b|<\varepsilon$可知，区间$[a,b]$中任意一个值都是零点$x_0$满足精确度$\varepsilon$的近似值（想一想，为什么）。
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由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解。
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第四章 指数函数与对数函数 145
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**例2** 借助信息技术,用二分法求方程$2^x+3x=7$的近似解(精确度为$0.1$).
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**解:** 原方程即$2^x+3x-7=0$,令$f(x)=2^x+3x-7$,用信息技术画出函数$y=f(x)$的图象(图4.5-4),并列出它的对应值表(表4.5-3).
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**表4.5-3**
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| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
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| --- | --- | ---- | -- | -- | -- | -- | -- | --- | --- |
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| $y$ | -6 | -2 | 3 | 10 | 21 | 40 | 75 | 142 | 273 |
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图4.5-4
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观察图 4.5-4或表4.5-3,可知 $f(1)f(2)<0$, 说明该函数在区间$(1,2)$内存在零点 $x_0$.
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取区间$(1,2)$的中点$x_1=1.5$,用信息技术算得$f(1.5)\approx 0.33$.因为 $f(1)f(1.5)<0$,所以$x_0 \in (1, 1.5)$.
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再取区间$(1,1.5)$的中点$x_2=1.25$,用信息技术算得$f(1.25)\approx-0.87$.因为 $f(1.25)f(1.5)<0$,所以$x_0 \in (1.25, 1.5)$.
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同理可得,$x_0 \in (1.375, 1.5)$, $x_0 \in (1.375, 1.437 5)$.
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由于
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$\left|1.375-1.4375\right|=0.0625<0.1$,
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所以,原方程的近似解可取为$1.375$.
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由例2可见,用二分法求方程的近似解,计算量较大,而且是重复相同的步骤.因此,可以通过设计一定的计算程序,借助信息技术完成计算.图4.5-5就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图,有兴趣的同学,可以在此基础上用有关算法语言编写程序,利用信息技术求方程的近似解.
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```mermaid
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graph TD
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A((开始)) --> B[定义 f(x)]
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B --> C[/输入 ɛ, a, b/]
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C --> D[c = (a + b) / 2]
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D --> E{f(a)f(c) < 0?}
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E -- 是 --> F[b = c]
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E -- 否 --> G{f(c) != 0?}
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G -- 是 --> H[a = c]
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G -- 否 --> I[a = c]
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F --> J{ |ab| < ɛ? }
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H --> J
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I --> J
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J -- 是 --> K[/输出解 x/]
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K --> L((结束))
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J -- 否 --> D
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```
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**图4.5-5**
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### 练习
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1. 借助信息技术,用二分法求函数$f(x)=x^3+1.1x^2+0.9x-1.4$在区间$(0,1)$内零点的近似值(精确度为$0.1$).
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2. 借助信息技术,用二分法求方程$x=3-\lg x$在区间$(2,3)$内的近似解(精确度为$0.1$).
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146 第四章 指数函数与对数函数
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**转换失败**: 转换第151页失败，已重试3次
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## 4.5.3 函数模型的应用
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我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
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**例3** 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T. R. Malthus, 1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型
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$$y=y_0e^{rt}$$
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其中 $t$ 表示经过的时间，$y_0$ 表示 $t=0$ 时的人口数，$r$ 表示人口的增长率，$r$ 是常数。
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> ?
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> 尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议，但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响。上网了解，还有哪些人口模型，它们与我们所学的函数有怎样的关系？
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1. 根据国家统计局网站公布的数据，我国 1950 年末、1959年末的人口总数分别为 55 196 万和 67 207 万。根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型。
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2. 利用 (1) 中的模型计算 1951~1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符。
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3. 以 (1) 中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
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**分析**：用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型，就是要确定其中的初始量 $y_0$ 和增长率 $r$。
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**解**：
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1. 由题意可设 1950 年为 $t=0$，则 $y_0=55\ 196$。根据马尔萨斯人口增长模型，有
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$$67\ 207=55\ 196e^{9r}$$
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由计算工具得
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$$r\approx 0.021\ 876$$
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因此，用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
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$$y=55\ 196e^{0.021\ 876t}, \quad t\in[0, 9]$$
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2. 分别取 $t=1, 2, \dots, 8$，由 $y=55\ 196e^{0.021\ 876t}$ 可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数，如表 4.5-4 所示。
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表 4.5-4
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| 年份 | 1951 | 1952 | 1953 | 1954 | 1955 | 1956 | 1957 | 1958 |
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| :----------------- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- |
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| 计算所得人口总数/万 | 56 417 | 57 665 | 58 940 | 60 243 | 61 576 | 62 938 | 64 330 | 65 753 |
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| 实际人口总数/万 | 56 300 | 57 482 | 58 796 | 60 266 | 61 465 | 62 828 | 64 563 | 65 994 |
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148 第四章 指数函数与对数函数
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根据 1950~1959 年我国人口总数的实际数据画出散点图,并画出函数 $y=55\ 196e^{0.021\ 876t}$ ($t \in [0, 9]$)的图象(图4.5-6).
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图4.5-6
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由表4.5-4和图4.5-6可以看出,所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合.
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(3)将$y=130\ 000$代入
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$y=55\ 196e^{0.021\ 876t}$,
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由计算工具得
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$t \approx 39.16$.
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所以,如果人口按照(1)中的模型增长,那么大约在1950年后的第40年(即1990年),我国的人口就已达到13亿.
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> ### ❓ 思考
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> 事实上,我国1990年的人口数为11.43亿,直到2005年才突破13亿,对由函数模型所得的结果与实际情况不符,你有何看法?
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因为人口基数较大,人口增长过快,与我国经济发展水平产生了较大矛盾,所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策.因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件,自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.
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下面来解决章引言中的问题.
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> 在用已知的函数模型
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> 刻画实际问题时,应注意
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> 模型的适用条件.
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**例4** 2010年,考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测,检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?
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**分析:** 因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减,属于指数衰减,所以应选择函数 $y=ka^x$ ($k \in \mathbf{R}$, 且 $k \ne 0$; $a \ge 0$, 且 $a \ne 1$)建立数学模型.
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**解:** 设样本中碳14的初始量为$k$,衰减率为$p$($0 < p < 1$),经过$x$年后,残余量为$y$.根据问题的实际意义,可选择如下模型:
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第四章 指数函数与对数函数 149
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$y=k(1-p)^x$ ($k \in \mathbf{R}$, 且 $k \neq 0$; $0<p<1$; $x \ge 0$).
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由碳 14 的半衰期为 5730 年, 得
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$k(1-p)^{5730} = \frac{1}{2}k.$
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于是
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$1-p=\sqrt[5730]{\frac{1}{2}},$
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所以
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$y=k\left(\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}\right)^x.$
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由样本中碳 14 的残余量约为初始量的 55.2%可知,
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$k\left(\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}\right)^x = 55.2\% k,$
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即
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$\left(\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}\right)^x = 0.552.$
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解得
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$x=\log_{\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}} 0.552.$
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由计算工具得
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$x \approx 4912.$
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因为 2010 年之前的 4912 年是公元前 2903 年, 所以推断此水坝大概是公元前 2903 年建成的.
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## 练习
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1. 已知 1650 年世界人口为 5 亿, 当时人口的年增长率为 0.3%; 1970 年世界人口为 36 亿, 当时人口的年增长率为 2.1%.
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(1) 用马尔萨斯人口模型计算, 什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍? 什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍?
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(2) 实际上, 1850 年以前世界人口就超过了 10 亿; 而 2004 年世界人口还没有达到 72 亿. 你对同样的模型得出的两个结果有何看法?
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2. 在一段时间内, 某地的野兔快速繁殖, 野兔总只数的倍增期为 21 个月, 那么 1 万只野兔增长到 1 亿只野兔大约需要多少年?
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3. 1959 年, 考古学家在河南洛阳偃师二里头村发掘出了一批古建筑群, 从其中的某样本中检测出碳 14 的残余量约为初始量的 62.76%, 能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的?
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在实际问题中, 有的能应用已知的函数模型解决, 有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决.
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**例 5** 假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如下:
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150 第四章 指数函数与对数函数
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方案一: 每天回报40元;
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方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前一天多回报10元;
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方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天的回报比前一天翻一番.
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请问, 你会选择哪种投资方案?
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**分析:** 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型, 再通过比较它们的增长情况, 为选择投资方案提供依据.
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**解:** 设第 $x$ 天所得回报是 $y$ 元, 则方案一可以用函数 $y=40(x \in \mathbf{N}^*)$ 进行描述; 方案二可以用函数 $y=10x(x \in \mathbf{N}^*)$ 进行描述; 方案三可以用函数 $y=0.4 \times 2^{x-1} (x \in \mathbf{N}^*)$ 进行描述. 三个模型中, 第一个是常数函数, 后两个都是增函数. 要对三个方案作出选择, 就要对它们的增长情况进行分析.
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我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表4.5-5).
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**表 4.5-5**
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| $x$ | 方案一 | | 方案二 | | 方案三 | |
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|---|---|---|---|---|---|---|
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| | $y$ | 增加量/元 | $y$ | 增加量/元 | $y$ | 增加量/元 |
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| 1 | 40 | | 10 | | 0.4 | |
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| 2 | 40 | 0 | 20 | 10 | 0.8 | 0.4 |
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| 3 | 40 | 0 | 30 | 10 | 1.6 | 0.8 |
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| 4 | 40 | 0 | 40 | 10 | 3.2 | 1.6 |
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| 5 | 40 | 0 | 50 | 10 | 6.4 | 3.2 |
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| 6 | 40 | 0 | 60 | 10 | 12.8 | 6.4 |
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| 7 | 40 | 0 | 70 | 10 | 25.6 | 12.8 |
|
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| 8 | 40 | 0 | 80 | 10 | 51.2 | 25.6 |
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| 9 | 40 | 0 | 90 | 10 | 102.4 | 51.2 |
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| 10 | 40 | 0 | 100 | 10 | 204.8 | 102.4 |
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| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
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| 30 | 40 | 0 | 300 | 10 | 214 748 364.8 | 107 374 182.4 |
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再画出三个函数的图象(图 4.5-7).
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**图 4.5-7**
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(描述: 该图展示了一个二维坐标系中三个函数的图像。
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**坐标轴:**
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* 横轴 (X轴) 标有 `0`, `2`, 并在右侧标有 `x`。
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* 纵轴 (Y轴) 标有 `0`, `2`, `4`, `6`, `8`，但在 `8` 以上错误地标有 `1`, `1`, `1`。
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**函数曲线:**
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1. **方案一 ($y=40$):** 由黑色虚线和菱形标记构成，近似表示一条水平直线，并标有 `y=4`。这可能是 $y=40$ 在该图中的一个按比例缩小的示意，表示其回报为常数。
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2. **方案二 ($y=10x$):** 由蓝色虚线和方形标记构成，表示一条从原点附近开始向上倾斜的直线，呈线性增长趋势，并标有 `y=1 x`。这可能是 $y=10x$ 在该图中的一个按比例缩小的示意，表示其回报线性增长。
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3. **方案三 ($y=0.4 \times 2^{x-1}$):** 由粉色虚线和三角形标记构成，表示一条从原点附近开始缓慢增长，随后迅速向上弯曲的曲线，呈指数增长趋势。图像上的标签不清晰，但曲线形状与指数函数 $y=0.4 \times 2^{x-1}$ 的特征相符。
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**注:** 图中曲线的具体数值标签 (如 `y=4`, `y=1 x`) 似乎是根据一个较小的比例绘制的，与问题描述中 $y=40$ 和 $y=10x$ 的函数表达式存在数值上的差异，但其形状（常数、线性、指数）和相对增长趋势是正确的。该图旨在示意不同函数类型的增长模式。)
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> 函数图象是分析问题的好帮手, 为了便于观察, 用虚线连接离散的点.
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第四章 指数函数与对数函数 151
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由表4.5-5 和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同。可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。
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> 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三？
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下面再看累计的回报数。通过信息技术列表如下(表4.5-6)。
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**表4.5-6**
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| 方案 | 天数 |
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| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
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| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
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| 一 | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 | 320 | 360 | 400 | 440 |
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| 二 | 10 | 30 | 60 | 100 | 150 | 210 | 280 | 360 | 450 | 550 | 660 |
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| 三 | 0.4 | 1.2 | 2.8 | 6 | 12.4 | 25.2 | 50.8 | 102 | 204.4| 409.2| 818.8|
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因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三。
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上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异。
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**例6** 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 $y$(单位：万元)随销售利润 $x$(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：$y=0.25x$， $y=\log_7x+1$， $y=1.002^x$，其中哪个模型能符合公司的要求？
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**分析：** 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系。由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间$[10, 1000]$上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即$y \le 0.25x$。
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不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
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152 第四章 指数函数与对数函数
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**解：** 借助信息技术画出函数 $y=5$, $y=0.25x$, $y=\log_7x+1$, $y=1.002^x$ 的图像（图 4.5-8）。观察图像发现，在区间 $[10, 1000]$ 上，模型 $y=0.25x$, $y=1.002^x$ 的图像都有一部分在直线 $y=5$ 的上方，只有模型 $y=\log_7x+1$ 的图像始终在 $y=5$ 的下方，这说明只有按模型 $y=\log_7x+1$ 进行奖励时才符合公司的要求。
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图 4.5-8
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下面通过计算确认上述判断。
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先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万元。
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对于模型 $y=0.25x$，它在区间 $[10, 1000]$ 上单调递增，而且当 $x=20$ 时，$y=5$，因此，当 $x>20$ 时，$y>5$，所以该模型不符合要求；
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对于模型 $y=1.002^x$，由函数图像，并利用信息技术，可知在区间 $(805, 806)$ 内有一个点 $x_0$ 满足 $1.002^{x_0}=5$，由于它在区间 $[10, 1000]$ 上单调递增，因此当 $x>x_0$ 时，$y>5$，所以该模型也不符合要求；
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对于模型 $y=\log_7x+1$，它在区间 $[10, 1000]$ 上单调递增，而且当 $x=1000$ 时，$y=\log_71000+1 \approx 4.55 < 5$，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求。
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再计算按模型 $y=\log_7x+1$ 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 $x \in [10, 1000]$ 时，是否有 $y \le 0.25x$，即 $\log_7x+1 \le 0.25x$ 成立。
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令 $f(x)=\log_7x+1-0.25x, x \in [10, 1000]$，利用信息技术画出它的图像（图 4.5-9）。
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![图4.5-9：函数f(x)=log7x+1-0.25x的图像。图像显示了一条在x轴下方，并随x的增大而减小的直线，表明f(x)在区间[10, 1000]上单调递减，且函数值均为负。](placeholder_for_image_4_5_9.png)
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图 4.5-9
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由图像可知函数 $f(x)$ 在区间 $[10, 1000]$ 上单调递减，因此
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$f(x) \le f(10) \approx -0.3167 < 0$,
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第四章 指数函数与对数函数 153
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即
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$log_7x+1<0.25x$.
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所以, 当$x \in [10, 1000]$时, $y \le 0.25x$, 说明按模型 $y=log_7x+1$奖励, 奖金不会超过利润的25%.
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综上所述, 模型 $y=log_7x+1$确实能符合公司要求.
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## 归纳
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用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:
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```mermaid
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graph TD
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A[实际问题] -->|化归| B(函数模型)
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B --> C(运算)
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C --> D(推理)
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D --> E[函数模型的解]
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A .-. F[实际问题的解]
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E -->|解释说明| F
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```
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这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”); 根据增长情况选择函数类型构建数学模型, 将实际问题化归为数学问题; 通过运算、推理求解函数模型; 用得到的函数模型描述实际问题的变化规律, 解决有关问题, 在这一过程中, 往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
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## 练习
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1. 某地今年1月, 2月, 3月患某种传染病的人数分别为52, 61, 68. 为了预测以后各月的患病人数, 甲选择了模型 $y=ax^2+bx+c$, 乙选择了模型 $y=pq^x+r$, 其中$y$为患病人数, $x$为月份数, $a, b, c, p, q, r$都是常数. 结果4月, 5月, 6月份的患病人数分别为74, 78, 83, 你认为谁选择的模型更符合实际?
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2. 由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模, 某地的肉鸡产量在不断增加. 2008~2018年的11年, 上市的肉鸡数量如下:
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| 时间/年 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
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| :---------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
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| 肉鸡数量/吨 | 7690 | 7850 | 8000 | 8150 | 8310 | 8460 | 8620 | 8770 | 8920 | 9080 | 9230 |
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同期该地的人口数如下:
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| 时间/年 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
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| :-------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
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| 人口数/万 | 100.0 | 101.2 | 102.4 | 103.6 | 104.9 | 106.1 | 107.4 | 108.7 | 110.0 | 111.3 | 112.7 |
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(1) 分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;
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(2) 如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求, 那么2018年是否能满足市场的需求?
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(3) 按上述两表的变化趋势, 你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?
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154 第四章 指数函数与对数函数
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## 习题 4.5
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### 复习巩固
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1. 下列函数图象与 $x$ 轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是\_\_\_\_.(填写上所有符合条件的图号)
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(图示：
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① 一个开口向下的抛物线，与 $x$ 轴有两个交点。
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② 一条过原点的直线，斜率为正，与 $x$ 轴有一个交点。
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③ 一个周期性函数（波浪形），与 $x$ 轴有多个交点。
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④ 一个分段函数，在某些点处有跳跃（不连续），与 $x$ 轴有交点。)
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2. 已知函数 $y=f(x)$ 的图象是一条连续不断的曲线,且有如下对应值表:
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| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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| :-- | :-------- | :------- | :------ | :------- | :-------- | :--------- |
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| $y$ | 136.136 | 15.552 | -3.92 | 10.88 | -52.488 | -232.064 |
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函数 $y=f(x)$ 在哪几个区间内一定有零点?为什么?
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3. 已知函数 $f(x)=x^2-2x+1$,求证:方程 $f(x)=x$ 在 $(-1, 2)$ 内至少有两个实数解.
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4. 利用信息技术,用二分法求函数 $f(x)=\ln x - \frac{2}{x}$ 的零点(精确度为 $0.1$).
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5. 利用信息技术,用二分法求方程 $0.8^x-1=\ln x$ 的近似解(精确度为 $0.1$).
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6. 一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据内存 $2\text{ KB}$,然后每 $3$ 分自身复制一次,复制后所占内存是原来的 $2$ 倍,那么开机后多少分,该病毒会占据 $64\text{ MB}$ 内存 ($1\text{ MB}=1024\text{ KB}$)?
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### 综合运用
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7. 设函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a>0, b, c \in \mathbf{R})$,且 $f(1)=-\frac{a}{2}$,求证:函数 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一个零点.
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8. 已知函数 $f(x)=-x^2-3x-2$, $g(x)=2-[f(x)]^2$,
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(1)求函数 $y=g(x)$ 的解析式;
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(2)利用信息技术,画出函数 $y=g(x)$ 的图象;
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(3)求函数 $y=g(x)$ 的零点(精确度为 $0.1$).
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9. 如图,某池塘里浮萍的面积 $y$(单位: $m^2$)与时间 $t$(单位: 月)的关系为 $y=a^t$.关于下列说法:
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(图示: 一个坐标系中绘制了函数 $y=a^t$ 的图像。$t$ 轴从 0 到 4，$y$ 轴从 0 到 12。图像大致经过点 $(0,1)$, $(1,2)$, $(2,4)$, $(3,8)$。这表明 $a=2$。)
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(第9题)
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①浮萍每月的增长率为 $1$;
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②第 $5$ 个月时,浮萍面积就会超过 $30m^2$;
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③ 浮萍每月增加的面积都相等;
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④若浮萍蔓延到 $2m^2$,$3m^2$,$6m^2$所经过的时间分别是 $t_1$, $t_2$, $t_3$,则 $t_1+t_2=t_3$.
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其中正确的说法是( ).
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第四章 指数函数与对数函数 155
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(A) ①② (B) ①②③ (C) ①②④ (D) ①②③④
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10. 一种药在病人血液中的量保持在 1500 mg 以上时才有疗效。现给某病人的静脉注射了这种药 2500 mg，如果药在血液中以每小时 20% 的比例衰减，为保证有疗效，最迟应在什么时候再向病人的血液补充这种药（精确到 0.1 h）？
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11. 人类已进入大数据时代。目前，数据量已经从 TB (1 TB=1024 GB) 级别跃升到 PB (1 PB=1024 TB), EB (1 EB=1024 PB) 乃至 ZB (1 ZB=1024 EB) 级别。曾经的研究结果表明，2008 年全球产生的数据量为 0.49 ZB，2009 年的数据量为 0.8 ZB，2010 年增长到 1.2 ZB，2011 年的数据量更是高达 1.82 ZB。
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(1) 为了较好地描述 2008 年起全球产生的数据量与时间 $x$ (单位：年) 的关系，根据上述数据信息，从函数 $f(x)=kx+b$ 和 $g(x)=ab^x$ 中选择一个，并求出解析式。
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(2) 根据 (1) 中所求函数模型，估计 2018 年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法？
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12. 某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:
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| 身高/cm | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
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| :---------- | :--- | :--- | :--- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
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| 平均体重/kg | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 | 20.92 | 26.86 | 31.11 | 38.85 | 47.25 | 55.05 |
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(1) 根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重 $y$ (单位：kg) 与身高 $x$ (单位：cm) 的函数关系，并写出这个函数的解析式。
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(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么该地一名身高为 175 cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常？
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**拓广探索**
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13. 有一道题“若函数 $f(x)=24ax^2+4x-1$ 在区间 $(-1,1)$ 内恰有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围”，某同学给出了如下解答:
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由 $f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0$，解得 $-\frac{1}{8}<a<\frac{5}{24}$。
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所以，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\frac{1}{8}, \frac{5}{24})$。
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上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答。
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14. 从甲地到乙地的距离约为 240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量 $Q$ (单位：L) 与速度 $v$ (单位：km/h) ($0 \le v \le 120$) 的下列数据:
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| $v$ | 0 | 40 | 60 | 80 | 120 |
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| :-- | :---- | :---- | :---- | :----- | :----- |
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| $Q$ | 0.000 | 6.667 | 8.125 | 10.000 | 20.000 |
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为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择:
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$Q=av^3+bv^2+cv$, $Q=0.5^v+a$, $Q=k\log_a v+b$.
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(1) 选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；
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(2) 从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？
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156 第四章 指数函数与对数函数
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## 文献阅读与数学写作*
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### 对数概念的形成与发展
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对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被恩格斯并称为17世纪数学的三大成就。对数的发明及其计算是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明。意大利科学家伽利略 (Galileo Galilei, 1564—1642) 说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”法国数学家拉普拉斯 (P.-S. Laplace, 1749—1827) 也曾评价道：“因为省时省力，对数倍增了天文学家的寿命。”
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作为重要而简便的计算工具，对数是如何产生和发展的？在数学的发展、人类社会的发展历史中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与对数有关的文献，自己选题，写一篇数学小论文。
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### 一、主题
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1. 对数概念形成和发展的过程。
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2. 对数对简化运算的作用。
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### 二、实施建议
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1. 选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围。
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2. 分组：将相近选题的5～6人分为一个小组，确定一名组长。
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3. 分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。
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4. 搜集资料：针对具体的论文题目，通过互联网、书店、图书馆等多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料。
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5. 素材整理：用论文的形式展现小组的实践成果。
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6. 交流讨论：开展组内或全班的交流、讨论和总结。
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### 三、参考选题
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1. 对数产生的背景。
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2. 对数发明的过程。
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3. 对数的具体应用。
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4. 对数对简化运算的作用。
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5. 对数对人类文明进步的贡献。
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* 标有 * 的内容为选学内容，不作为考试要求。
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第四章 指数函数与对数函数 157
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**转换失败**: 转换第162页失败，已重试3次
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问题增长方式分析的基础上引入相应的函数概念，再通过对函数图象、性质的
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研究，把握相应函数的本质。这是建立函数模型解决实际问题的基础。
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在应用函数解决实际问题时，首先应注意分析实际问题属于哪种类型的增长
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方式，这是选择和建立函数模型的基础；其次，要注意理解用函数构建数学模型
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的基本过程，体会运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的数学方法。
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请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
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1. 指数和对数的概念都有现实背景，你能举出一些实际例子吗？
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2. 概述指数概念的拓展过程，你能由此说说数学概念拓展的过程与方法吗？
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3. 对数概念是如何提出来的？它对发现和提出问题有什么启示？
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4. 回忆指数函数、对数函数的研究过程，你能由此说说如何研究一类函数
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吗？例如研究的内容、过程和方法。
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5. 不同函数模型刻画了现实世界不同类型问题的变化规律，你能说说指数
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函数和对数函数分别刻画了怎样的变化规律吗？你能举出“直线上升”“对数增
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长”“指数爆炸”的实际例子吗？
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6. 你能举例说明函数的零点与方程解的关系吗？在什么条件下，函数在
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$(a, b)$内一定有零点？
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7. 你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗？
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8. 你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？
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9. 函数图象是研究函数性质的重要载体，信息技术是研究函数图象与性质
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的有力工具，你能结合实例谈谈这方面的体会吗？
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## 复习参考题 4
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### 复习巩固
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1. 选择题
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(1) 函数$y=-2^{-x}$与$y=2^x$的图象( )。
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(A) 关于$x$轴对称
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(B) 关于$y$轴对称
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(C) 关于原点对称
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(D) 关于直线 $y=x$ 对称
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(2) 如图(1),①②③④中不属于函数$y=2^x$, $y=6^x$, $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$的一个是( )。
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(A) ①
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(B) ②
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(C) ③
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(D) ④
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第四章 指数函数与对数函数 159
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(3) 如图(2), ①②③④中不属于函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$, $y=\log_{\frac{1}{3}}x$, $y=\log_2x$ 的一个是( ).
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(A) ①
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(B) ②
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(C) ③
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(D) ④
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*(注：本题依赖图像(2)进行判断。图像(1)和(2)为坐标系中的函数曲线，无法直接转换为Mermaid语法。)*
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(第1题)
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2. 用“<”“>”“=”填空:
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(1) $e^{0.8}$ \_\_\_ $0.8^e$;
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(2) $2^{a+1}$ \_\_\_ $3^a$ ($a>2$);
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(3) $a^{0.2}$ \_\_\_ $a^{0.3}$ ($0<a<1$);
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(4) $\lg e$ \_\_\_ $\ln 0.8$;
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(5) $\log_2 3$ \_\_\_ $\log_3 2$;
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(6) $\log_a 0.2$ \_\_\_ $\log_a 0.3$ ($a>1$).
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3. 借助信息技术,用二分法求:
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(1) 方程 $2x^3-4x^2-3x+1=0$ 的最大的根(精确度为0.01);
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(2) 函数 $f(x)=\lg x$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 交点的横坐标(精确度为0.1).
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4. 已知函数 $f(x)= \begin{cases} x^2+2x-3, & x\leq0 \\ -2+\ln x, & x>0 \end{cases}$, 求使方程 $f(x)=k$ 的实数解个数分别为1,2,3时$k$的相应取值范围.
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## 综合运用
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5. 选择题
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(1) 已知集合 $A=\{y|y=\log_2x,x>1\}$, $B=\{y|y=\frac{1}{2^x},x>1\}$,则$A \cap B=($ ).
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(A) $\{y|0<y<\frac{1}{2}\}$
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(B) $\{y|0<y<1\}$
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(C) $\{y|\frac{1}{2}<y<1\}$
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(D) $\emptyset$
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(2) 已知 $f(x)=|\lg x|$, 若 $a=f(\frac{1}{4})$, $b=f(\frac{1}{3})$, $c=f(2)$,则( ).
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(A) $a<b<c$
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(B) $b<c<a$
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(C) $c<a<b$
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(D) $c<b<a$
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(3) 已知函数 $f(x)=2^x+x$, $g(x)=\log_2x+x$, $h(x)=x^3+x$ 的零点分别为$a,b,c$,则$a,b,c$的大小顺序为( ).
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(A) $a>b>c$
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(B) $b>c>a$
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(C) $c>a>b$
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(D) $b>a>c$
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6. 设 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, 求证:
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(1) $[g(x)]^2-[f(x)]^2=1$;
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(2) $f(2x)=2f(x)g(x)$;
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(3) $g(2x)=[g(x)]^2+[f(x)]^2$.
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160 第四章 指数函数与对数函数
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7. 指数函数$y=(\frac{b}{a})^x$的图象如图所示 (Refer to the accompanying image for Problem 7), 求二次函数$y=ax^2+bx$图象顶点的横坐标的取值范围.
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8. 1986年4月26日,乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸,核泄漏导致事故所在地被严重污染,主要的核污染物是锶90,它每年的衰减率为2.47%.专家估计,要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年,到那时原有的锶90还剩百分之几?
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9. 某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量$P$(单位:mg/L)与时间$t$(单位:h)间的关系为
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$$P=P_0e^{-kt}$$
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其中$P_0, k$是正的常数. 如果在前5h消除了10%的污染物,那么
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(1) 10h后还剩百分之几的污染物?
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(2) 污染物减少50%需要花多少时间(精确到1h)?
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(3) 画出$P$关于$t$变化的函数图象.
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10. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是$\theta_1^\circ C$,空气的温度是$\theta_0^\circ C$,那么$t$ min后物体的温度$\theta$(单位: $^\circ C$)可由公式
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$$\theta=\theta_0+(\theta_1-\theta_0)e^{-kt}$$
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求得,其中$k$是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数. 现有$62^\circ C$的物体,放在$15^\circ C$的空气中冷却,1min以后物体的温度是$52^\circ C$.
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(1) 求$k$的值(精确到0.01);
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(2) 若要将物体的温度降为$42^\circ C$, $32^\circ C$, 求分别需要冷却的时间(精确到0.1 min).
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## 拓广探索
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11. 已知函数$f(x)=\log_a(x+1)$, $g(x)=\log_a(1-x)(a>0,且a\neq1)$,
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(1) 求函数$f(x)+g(x)$的定义域;
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(2) 判断函数$f(x)+g(x)$的奇偶性,并说明理由.
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12. 对于函数$f(x)=a-\frac{2}{2^x+1}(a\in\mathbb{R})$,
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(1) 探索函数$f(x)$的单调性;
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(2) 是否存在实数$a$使函数$f(x)$为奇函数?
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13. 如图,函数$y=f(x)$的图象由曲线段$OA$和直线段$AB$构成 (Refer to the accompanying image for Problem 13).
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(1) 写出函数$y=f(x)$的一个解析式;
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(2) 提出一个能满足函数$y=f(x)$图象变化规律的实际问题.
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第四章 指数函数与对数函数 161
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数学建模
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# 建立函数模型解决实际问题
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我们知道，用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型，然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型，最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的。在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据。
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## 一、数学建模活动的一个实例
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1. 观察实际情景，发现和提出问题
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中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。经验表明，某种绿茶用$85^\circ C$的水泡制，再等到茶水温度降至$60^\circ C$时饮用，可以产生最佳口感。那么在$25^\circ C$室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？
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显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题。为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型。
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2. 收集数据
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我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好），收集茶水温度随时间变化的数据。
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例如，某研究人员每隔$1$ min测量一次茶水温度，得到表$1$的一组数据。
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**表1**
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| 时间/min | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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| :------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
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| 水温/$^\circ C$ | 85.00 | 79.19 | 74.75 | 71.19 | 68.19 | 65.10 |
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3. 分析数据
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茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型。为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型。
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设茶水温度从$85^\circ C$开始，经过$x$ min后的温度为$y^\circ C$。根据表$1$，画散点图（图$1$）。
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162 数学建模 建立函数模型解决实际问题
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<!-- Scatter Plot 1 Description: -->
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图1 展示了一个散点图，横轴表示时间 $x$ (分钟)，纵轴表示温度 $y$ (摄氏度)。图中的点从左到右大致呈下降趋势。具体的点包括：(0, 85), (1, 79), (2, 74.75), (3, 71.19), (4, 68.19), (5, 65.10) (近似值，根据后续表格推断)。
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 <!-- 假设此处可以插入图1的图片链接，若不能则保留文字描述 -->
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图1
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> 实际上，你可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型。
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观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数 $y=ka^x+25(k \in \mathbf{R}, 0<a<1, x \ge 0)$ 来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律。
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**4. 建立模型**
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根据实际情况可知，当 $x=0$ 时，$y=85$，可得 $k=60$。
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为了求出温度的衰减比例 $a$，可从第 2 min 的温度数据开始，计算每分 $(y-25)$ 的值与上一分 $(y-25)$ 值的比值，列出表 2。
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**表2**
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| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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| :-- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
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| $y-25$ | 60.00 | 54.19 | 49.75 | 46.19 | 43.19 | 40.10 |
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| 比值 | | 0.903 2 | 0.918 1 | 0.928 4 | 0.935 1 | 0.928 5 |
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> **?**
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> 能否直接将表1中的一组数据代入 $y=60a^x+25$ 求 $a$? 这与用比值的平均值作为 $a$ 建立函数模型有什么差异?
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计算各比值的平均值，得
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$a = \frac{1}{5}(0.9032+0.9181+0.9284+0.9351+0.9285)$
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$=0.922 7$.
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我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
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$y=60 \times 0.922\,7^x+25(x \ge 0)$. ①
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**5. 检验模型**
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将已知数据代入①式，或画出函数①的图象（图2），可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律。
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<!-- Scatter Plot 2 Description: -->
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图2 展示了拟合后的函数曲线与散点数据的关系。横轴表示时间 $x$ (分钟)，纵轴表示温度 $y$ (摄氏度)。散点和一条平滑下降的曲线（代表函数模型 $y=60 \times 0.922\,7^x+25$）均在图中显示，曲线较好地穿过散点。
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 <!-- 假设此处可以插入图2的图片链接，若不能则保留文字描述 -->
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图2
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**6. 求解问题**
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将 $y=60$ 代入 $y=60 \times 0.922\,7^x+25$，得
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数学建模 建立函数模型解决实际问题 163
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解得
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$60 \times 0.922^x + 25 = 60.$
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由信息技术得
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$x = \log_{0.922} \frac{7}{12}.$
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$x \approx 6.6997.$
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所以,泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是 7 min.
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上述过程可以概括为:
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```mermaid
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graph TD
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A[观察实际情景] --> B[发现和提出问题]
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B --> C[收集数据]
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C --> D[选择函数模型]
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D --> E[求解函数模型]
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E --> F{检验}
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F -- "符合实际" --> G[实际问题的解]
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F -- "不符合实际" --> D
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```
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## 二、数学建模活动的选题
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请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动。可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
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1. 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻?
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2. 根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.
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3. 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.
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4. 估计阅读一本书所需要的时间.
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也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究.
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## 三、数学建模活动的要求
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1. 组建合作团队
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数学建模活动需要团队协作. 首先，在班级中组成3~5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组. 在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工. 拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告.
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164 数学建模 建立函数模型解决实际问题
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2. 开展研究活动
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根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究。在研究过程中，可以借助信息技术解决问题。
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3. 撰写研究报告
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以小组为单位，撰写一份研究报告。
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4. 交流展示
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(1) 对同一个课题，先由 3~4 个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短。在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告，选定代表，制作向全班汇报的演示文稿。
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(2) 与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动。
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## 四、数学建模活动研究报告的参考形式
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建立函数模型解决实际问题
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______年______班
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完成时间:______
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| 1. 课题名称 | |
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| 2. 课题组成员及分工 | |
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| 3. 选题的意义 | |
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| 4. 研究计划(包括对选题的分析,解决问题的思路等) | |
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| 5. 研究过程(收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程,以及过程中出现的难点及解决方案等) | |
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数学建模 建立函数模型解决实际问题 165
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续表
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| 6. 研究结果 | |
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| 7. 收获与体会 | |
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| 8. 对此研究的评价 (由评价小组或老师填写) | |
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166 数学建模 建立函数模型解决实际问题
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