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# 第二章
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## 一元二次函数、方程和不等式
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相等关系和不等关系是数学中最基本的数量关系，我们可以利用相等关系、不等关系构建方程、不等式，再通过方程、不等式解决数学内外的各种问题。在初中，我们已学过一次函数与方程、不等式，还学过二次函数与一元二次方程，知道方程(组)、不等式与函数之间具有内在联系，可以用函数的观点把它们统一起来，这是数学知识的联系性与整体性的体现。
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本章将在初中学习的基础上，通过具体实例理解不等式，认识不等关系和不等式的意义与价值；在梳理等式性质的基础上，通过类比，研究不等式的性质，并利用这些性质研究一类重要的不等式——基本不等式；通过从实际情境中抽象一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义，理解一元二次不等式的概念，并像利用一次函数、方程和不等式的关系解决一元一次不等式的问题那样，利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想方法。
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# 2.1 等式性质与不等式性质
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在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等。类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。
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**问题1** 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?
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(1) 某路段限速 40 km/h;
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(2) 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 $f$ 应不少于 $2.5\%$，蛋白质的含量 $p$ 应不少于 $2.3\%$;
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(3) 三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;
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(4) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
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对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为 $v$ km/h，“限速 40 km/h”就是 $v$ 的大小不能超过 40，于是 $0 < v \le 40$。
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对于(2)，由题意，得
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$$
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\begin{cases}
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f \ge 2.5\%, \\
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p \ge 2.3\%.
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\end{cases}
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$$
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对于(3)，设 $\triangle ABC$ 的三条边为 $a, b, c$，则 $a+b > c$，$a-b < c$. ①
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对于(4)，如图 2.1-1，设 $C$ 是直线 $AB$ 外的任意一点，$CD$ 垂直于 $AB$，垂足为 $D$，$E$ 是直线 $AB$ 上不同于 $D$ 的任意一点，则 $CD < CE$。
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> **①** 你能写出其他的可能情况吗?
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以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式。接着，就可以用不等式研究相应的问题了。
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```mermaid
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graph TD
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A --- D
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D --- B
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C --- D
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C --- E
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subgraph Line AB
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A -- E -- D -- B
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end
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style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#333
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style D fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#333
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style E fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#333
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style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#333
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style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#333
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linkStyle 2 stroke:#0077B6,stroke-width:2px;
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linkStyle 3 stroke:#0077B6,stroke-width:2px;
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linkStyle 4 stroke:#FF0000,stroke-width:2px; /* This is the perpendicular CD */
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linkStyle 5 stroke:#0077B6,stroke-width:2px;
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classDef right_angle_mark rect; /* Placeholder for right angle symbol, Mermaid doesn't support it directly */
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D -- (right angle mark here)
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```
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图 2.1-1
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**问题2** 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本。据市场调查，杂志的单价每提高 0.1 元，销售量就可能减少 2000 本。如何定价才能使提价后的销售总收入
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 37
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不低于20万元?
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设提价后每本杂志的定价为$x$元, 则销售总收入为$(8-\frac{x-2.5}{0.1} \times 0.2)x$万元, 于是,
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不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为
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$(8-\frac{x-2.5}{0.1} \times 0.2)x \ge 20$. (1)
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求出不等式(1)的解集, 就能知道满足条件的杂志的定价范围.
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如何解不等式(1)呢? 与解方程要用等式的性质一样, 解不等式要用不等式的性质, 为此, 我们需要先研究不等式的性质.
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实际上, 在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质, 那么, 这些性质为什么是正确的? 还有其他不等式的性质吗? 回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
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由于数轴上的点与实数一一对应, 所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系: 如图2.1-2, 设$a,b$是两个实数, 它们在数轴上所对应的点分别是$A,B$. 那么, 当点$A$在点$B$的左边时, $a<b$; 当点$A$在点$B$的右边时, $a>b$.
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```mermaid
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graph LR
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subgraph "图 2.1-2: 数轴上的点与实数的大小关系"
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subgraph "情况一: 当点 A 在点 B 的左边时"
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A_point(A) --- B_point(B)
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note bottom of A_point: a
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note bottom of B_point: b
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note bottom of A_point,B_point: a < b
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end
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subgraph "情况二: 当点 A 在点 B 的右边时"
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B_point_alt(B) --- A_point_alt(A)
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note bottom of B_point_alt: b
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note bottom of A_point_alt: a
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note bottom of B_point_alt,A_point_alt: a > b
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end
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end
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```
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关于实数$a,b$大小的比较,有以下基本事实:
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**如果$a-b$ 是正数,那么$a>b$;如果$a-b$等于0,那么$a=b$;如果$a-b$是负数,那么$a<b$.反过来也对.**
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这个基本事实可以表示为
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$a>b \Leftrightarrow a-b>0$;
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$a=b \Leftrightarrow a-b=0$;
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$a<b \Leftrightarrow a-b<0$.
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从上述基本事实可知,要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小,
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**例1** 比较$(x+2)(x+3)$和$(x+1)(x+4)$的大小.
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**分析**：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系,可以得出它们的大小关系.
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**解**：因为
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$(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)$
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=$(x^2+5x+6)-(x^2+5x+4)$
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$=2>0$,
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> 0是正数与负数的分界点,它为实数比较大小提供了“标杆”.
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38 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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所以
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$(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).$
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这里,我们借助多项式减法运算,得出了一个明显大于0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法.
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## 探究
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图2.1-3 是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗?
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<!-- 图片 2.1-3: 一个红色的旋转对称的抽象图案，形似风车。 -->
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图 2.1-3
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将图2.1-3中的“风车”抽象成图 2.1-4. 在正方形 $ABCD$ 中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为 $a$, $b$ ($a \ne b$),那么正方形的边长为 $\sqrt{a^2+b^2}$. 这样, 4个直角三角形的面积和为 $2ab$, 正方形的面积为 $a^2+b^2$. 由于正方形 $ABCD$ 的面积大于4个直角三角形的面积和, 我们就得到了一个不等式
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$a^2+b^2>2ab.$
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<!-- 图片 2.1-4: 几何图示。一个大正方形ABCD，由四个全等的直角三角形和一个中间的小正方形EFGH构成。直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边为大正方形的边长 $\sqrt{a^2+b^2}$。点D, G, F, C, B, E, H, A分别标注。 -->
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图 2.1-4
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当直角三角形变为等腰直角三角形,即 $a=b$ 时,正方形 $EFGH$ 缩为一个点,这时有
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$a^2+b^2=2ab.$
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于是就有 $a^2+b^2 \ge 2ab.$
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一般地, $\forall a, b \in \mathbf{R}$, 有
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$a^2+b^2 \ge 2ab,$
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当且仅当 $a=b$ 时,等号成立.
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事实上,利用完全平方公式,得
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$a^2+b^2-2ab=(a-b)^2.$
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因为 $\forall a,b \in \mathbf{R}$, $(a-b)^2 \ge 0$, 当且仅当 $a=b$ 时,等号成立,所以 $a^2+b^2-2ab \ge 0$. 因此,由两个实数大小关系的基本事实,得 $a^2+b^2 \ge 2ab$, 当且仅当 $a=b$ 时,等号成立.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 39
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## 练习
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1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系：
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(1) 某高速公路规定通过车辆的车货总高度 $h$ (单位: m) 从地面算起不能超过 4 m;
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(2) $a$ 与 $b$ 的和是非负实数;
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(3) 如图, 在一个面积小于 $350 \text{ m}^2$ 的矩形场地的中心位置上建造一个仓库, 仓库的四周建成绿地, 仓库的长 $L$ (单位: m) 大于宽 $W$ (单位: m) 的 4 倍.
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(图示：一个矩形仓库“仓库”被四周的“绿地”环绕，仓库左侧与下方均有“-5 m-”的标注，表示绿地宽度。下方标注“(第 1 (3) 题)”。)
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2. 比较 $(x+3)(x+7)$ 和 $(x+4)(x+6)$ 的大小.
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3. 已知 $a>b$, 证明 $a > \frac{a+b}{2} > b$.
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关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础. 那么, 不等式到底有哪些性质呢?
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因为不等式与等式一样, 都是对大小关系的刻画, 所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发.
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> **💡 思考**
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> 请你先梳理等式的基本性质, 再观察它们的共性, 你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗?
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等式有下面的基本性质:
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1. **性质 1** 如果 $a=b$, 那么 $b=a$;
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2. **性质 2** 如果 $a=b$, $b=c$, 那么 $a=c$;
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3. **性质 3** 如果 $a=b$, 那么 $a \pm c = b \pm c$;
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4. **性质 4** 如果 $a=b$, 那么 $ac=bc$;
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5. **性质 5** 如果 $a=b$, $c \neq 0$, 那么 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$.
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可以发现, 性质 1, 2 反映了相等关系自身的特性, 性质 3, 4, 5 是从运算的角度提出的, 反映了等式在运算中保持的不变性.
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> 运算中的不变性就是性质.
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> **🔍 探究**
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> 类比等式的基本性质, 你能猜想不等式的基本性质, 并加以证明吗?
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40 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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类比等式的性质 1, 2, 可以猜想不等式有如下性质:
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**性质 1** 如果 $a>b$, 那么 $b<a$; 如果 $b<a$, 那么 $a>b$. 即
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$$a>b \Leftrightarrow b<a.$$
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**性质 2** 如果 $a>b, b>c$, 那么 $a>c$. 即
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$$a>b, b>c \Rightarrow a>c.$$
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我们来证明性质 2:
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由两个实数大小关系的基本事实知
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$$
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\left.
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\begin{array}{l}
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a>b \Rightarrow a-b>0 \\
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b>c \Rightarrow b-c>0
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\end{array}
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\right\} \Rightarrow (a-b)+(b-c)>0
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$$
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$$\Rightarrow a-c>0 \Rightarrow a>c.$$
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类比等式的性质 3~5, 可以猜想不等式还有如下性质:
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**性质 3** 如果 $a>b$, 那么 $a+c>b+c$.
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这就是说, 不等式的两边都加上同一个实数, 所得不等式与原不等式同向.
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如图 2.1-5, 把数轴上的两个点 $A$ 与 $B$ 同时沿相同方向移动相等的距离, 得到另两个点 $A_1$ 与 $B_1$, $A$ 与 $B$ 和 $A_1$ 与 $B_1$ 的左右位置关系不会改变. 用不等式的语言表示, 就是上述性质 3.
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> 从不同角度表述不等
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> 式的性质, 可以加深理解.
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> 对其他不等式的性质, 你
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> 能用文字语言表述吗?
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**图 2.1-5 数轴示意图：**
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此图包含两条数轴，直观地解释了不等式性质 3。
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**第一条数轴（上方，表示 $c>0$ 的情况）：**
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数轴上标注了点 $B$（对应数值 $b$）、$B_1$（对应数值 $b+c$）、$A$（对应数值 $a$）和 $A_1$（对应数值 $a+c$）。
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图中显示 $B$ 在 $A$ 的左侧（即 $b<a$）。当它们同时向右平移相同距离 $c$ 时，新位置 $B_1$ 仍在 $A_1$ 的左侧（即 $b+c < a+c$），相对位置关系保持不变。
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**第二条数轴（下方，表示 $c<0$ 的情况）：**
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数轴上标注了点 $B_1$（对应数值 $b+c$）、$B$（对应数值 $b$）、$A_1$（对应数值 $a+c$）和 $A$（对应数值 $a$）。
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图中同样显示 $B$ 在 $A$ 的左侧（即 $b<a$）。当它们同时向左平移相同距离 $|c|$ (即加上一个负数 $c$) 时，新位置 $B_1$ 仍在 $A_1$ 的左侧（即 $b+c < a+c$），相对位置关系依然保持不变。
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图 2.1-5
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由性质 3 可得,
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$$
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a+b>c \Rightarrow a+b+(-b)>c+(-b) \\
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\Rightarrow a>c-b.
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$$
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这表明, 不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
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**性质 4** 如果 $a>b, c>0$, 那么 $ac>bc$; 如果 $a>b, c<0$, 那么 $ac<bc$.
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这就是说, 不等式两边同乘一个正数, 所得不等式与原不等式同向; 不等式两边同乘一个负数, 所得不等式与原不等式反向.
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利用这些基本性质, 我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质. 例如, 利用性质 2, 3 可以推出:
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**性质 5** 如果 $a>b, c>d$, 那么 $a+c>b+d$.
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事实上, 由 $a>b$ 和性质 3, 得 $a+c>b+c$; 由 $c>d$ 和性质 3, 得 $b+c>b+d$. 再
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 41
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根据性质2,即得$a+c>b+d$.
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利用性质4和性质2可以推出:
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**性质6** 如果$a>b>0, c>d>0$,那么 $ac>bd$.
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**性质7** 如果$a>b>0$,那么$a^n>b^n$ ($n \in \mathbf{N}, n \ge 2$).
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实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据.
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**例2** 已知 $a>b>0, c<0$,求证 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$.
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**分析**: 要证明 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$, 因为 $c<0$, 所以可以先证明 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$. 利用已知 $a>b>0$ 和性质 4, 即可证明 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.
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**证明**: 因为 $a>b>0$, 所以 $ab>0, \frac{1}{ab} > 0$.
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于是
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$a \cdot \frac{1}{ab} > b \cdot \frac{1}{ab}$,
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即
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$\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$.
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由 $c<0$, 得 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$.
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### 练习
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1. 证明不等式性质1,3,4, 6.
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2. 用不等号“>”或“<”填空:
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(1) 如果$a>b, c<d$,那么 $a-c$ ______ $b-d$;
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(2) 如果$a>b>0, c<d<0$,那么 $ac$ ______ $bd$;
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(3) 如果$a>b>0$,那么 $\frac{1}{a^2}$ ______ $\frac{1}{b^2}$;
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(4) 如果$a>b>c>0$,那么 $\frac{c}{a}$ ______ $\frac{c}{b}$.
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### 习题 2.1
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#### 复习巩固
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1. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子.
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2. 某市生态环境局为增加城市的绿地面积,提出两个投资方案:方案A为一次性投资500万元;方
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42 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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案B为第一年投资100万元,以后每年投资10万元,列出不等式表示“经过$n$年之后,方案B的投入不少于方案A的投入”.
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3. 比较下列各组中两个代数式的大小:
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(1) $x^2+5x+6$ 与 $2x^2+5x+9$;
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(2) $(x-3)^2$ 与 $(x-2)(x-4)$;
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(3) 当 $x>1$ 时, $x^2$ 与 $x^2-x+1$;
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(4) $x^2+y^2+1$ 与 $2(x+y-1)$.
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4. 一个大于50且小于60的两位数,其个位数字比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系,并求出这个两位数(用$a$和$b$分别表示这个两位数的十位数字和个位数字).
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5. 已知 $2<a<3$, $-2<b<-1$,求$2a+b$的取值范围.
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6. 证明: $c<b$, $b<a \Rightarrow c<a$.
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## 综合运用
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7. 已知 $a>b>0$, $c<d<0$, $e<0$,求证 $\frac{e}{a-c} > \frac{e}{b-d}$.
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8. 下列命题为真命题的是( ).
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(A) 若$a>b>0$,则$ac^2>bc^2$
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(B) 若$a>b>0$,则$a^2>b^2$
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(C) 若$a<b<0$,则$a^2<ab<b^2$
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(D) 若$a<b<0$,则$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
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9. 证明:圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积,并据此说明,人们通常把自来水管的横截面制成圆形,而不是正方形的原因.
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10. 已知$b$克糖水中含有$a$ 克糖($b>a>0$),再添加$m$克糖($m>0$)(假设全部溶解),糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式,并证明这个不等式成立.
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## 拓广探索
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11. 已知$a>b>0$,求证$\sqrt{a}>\sqrt{b}$.
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12. 火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t.现计划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知35t甲种货物和15t乙种货物可装满一节A型货厢,25t甲种货物和35t乙种货物可装满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数,共有几种方案?若每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B型货厢的运费是0.8万元,哪种方案的运费较少?
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 43
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## 2.2 基本不等式
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我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用，那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。
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前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：
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$\forall a, b \in \mathbf{R}$, 有
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$$
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a^2+b^2 \ge 2ab
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$$
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当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。
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特别地，如果 $a>0, b>0$，我们用 $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ 分别代替上式中的 $a, b$，可得
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$$
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\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \tag{1}
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$$
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当且仅当 $a=b$ 时，等号成立。
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通常称不等式(1)为**基本不等式** (basic inequality)，其中，$\frac{a+b}{2}$ 叫做正数 $a, b$ 的算术平均数，$\sqrt{ab}$ 叫做正数 $a, b$ 的几何平均数。
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基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
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上面通过考察 $a^2+b^2 \ge 2ab$ 的特殊情形获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下。
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要证
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$$
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\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \tag{①}
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$$
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只要证
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$$
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2\sqrt{ab} \le a+b \tag{②}
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$$
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要证②，只要证
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$$
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2\sqrt{ab}-a-b \le 0 \tag{③}
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$$
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要证③，只要证
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$$
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-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \le 0 \tag{④}
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$$
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要证④，只要证
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$$
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(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0 \tag{⑤}
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$$
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显然，⑤成立，当且仅当 $a=b$ 时，⑤中的等号成立。
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44 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。
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> **探究**
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>
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> 在图 2.2-1 中，$AB$ 是圆的直径，点 $C$ 是 $AB$ 上一点，$AC=a$, $BC=b$. 过点 $C$ 作垂直于 $AB$ 的弦 $DE$，连接 $AD$, $BD$. 你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗?
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>
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> 图 2.2-1
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如图 2.2-1, 可证 $\triangle ACD \backsim \triangle DCB$, 因而 $CD=\sqrt{ab}$. 由于 $CD$ 小于或等于圆的半径，用不等式表示为
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$$ \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} $$
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显然，当且仅当点 $C$ 与圆心重合，即当 $a=b$ 时，上述不等式的等号成立。
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**例1** 已知 $x>0$, 求 $x+\frac{1}{x}$ 的最小值。
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**分析:** 求 $x+\frac{1}{x}$ 的最小值，就是要求一个 $y_0 (=x_0 + \frac{1}{x_0})$, 使 $\forall x>0$, 都有 $x+\frac{1}{x} \ge y_0$. 观察 $x+\frac{1}{x}$, 发现 $x \cdot \frac{1}{x}=1$. 联系基本不等式，可以利用正数 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 的算术平均数与几何平均数的关系得到 $y_0=2$.
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**解:** 因为 $x>0$, 所以
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$$ x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}=2, $$
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当且仅当 $x=\frac{1}{x}$, 即 $x^2=1$, $x=1$ 时，等号成立，因此所求的最小值为 2.
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在本题的解答中，我们不仅明确了 $\forall x>0$, 有 $x+\frac{1}{x} \ge 2$, 而且给出了“当且仅当 $x=\frac{1}{x}$, 即 $x^2=1$, $x=1$ 时，等号成立”，这是为了说明 2 是 $x+\frac{1}{x} (x>0)$ 的一个取值. 想一想，当 $y_0<2$ 时，$x+\frac{1}{x} \ge y_0$ 成立吗? 这时能说 $y_0$ 是 $x+\frac{1}{x} (x>0)$ 的最小值吗?
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**例2** 已知 $x,y$ 都是正数，求证:
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(1) 如果积 $xy$ 等于定值 $P$, 那么当 $x=y$ 时，和 $x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$;
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 45
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(2) 如果和$x+y$ 等于定值$S$, 那么当$x=y$时, 积$xy$ 有最大值$\frac{1}{4}S^2$.
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**证明:** 因为$x, y$ 都是正数, 所以
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$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}.$$
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(1) 当积$xy$ 等于定值$P$时,
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$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{P},$$
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所以
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$$x+y \geq 2\sqrt{P},$$
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当且仅当$x=y$时, 上式等号成立. 于是, 当$x=y$时, 和$x+y$有最小值$2\sqrt{P}$.
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(2) 当和$x+y$等于定值$S$时,
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$$\sqrt{xy} \leq \frac{S}{2},$$
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所以
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$$xy \leq \frac{1}{4}S^2,$$
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当且仅当$x=y$时, 上式等号成立. 于是, 当$x=y$时, 积$xy$ 有最大值$\frac{1}{4}S^2$.
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## 练习
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1. 已知$a, b \in \mathbf{R}$, 求证 $ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$.
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2. 已知$x, y$ 都是正数, 且$x \neq y$, 求证:
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(1) $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} > 2$;
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(2) $\frac{2xy}{x+y} < \sqrt{xy}$.
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3. 当$x$ 取什么值时, $x^2 + \frac{1}{x^2}$ 取得最小值? 最小值是多少?
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4. 已知$-1 \leq x \leq 1$, 求$1-x^2$的最大值.
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5. 已知直角三角形的面积等于$50\text{ cm}^2$, 当两条直角边的长度各为多少时, 两条直角边的和最小? 最小值是多少?
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基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,是解决最大(小)值问题的有力工具.
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**例3**
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(1) 用篱笆围一个面积为$100\text{ m}^2$的矩形菜园, 当这个矩形的边长为多少时, 所用篱笆最短? 最短篱笆的长度是多少?
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(2) 用一段长为$36\text{ m}$的篱笆围成一个矩形菜园, 当这个矩形的边长为多少时, 菜园
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46 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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的面积最大? 最大面积是多少?
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**分析:**
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(1) 矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积,于是问题转化为:矩形的邻边之积为定值,边长多大时周长最短.
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(2) 矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍,于是问题转化为:矩形的邻边之和为定值,边长多大时面积最大.
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**解:** 设矩形菜园的相邻两条边的长分别为 $x$ m, $y$ m, 篱笆的长度为 $2(x+y)$ m.
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(1) 由已知得 $xy=100$.
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由
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$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$,
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可得
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$x+y \ge 2\sqrt{xy} = 20$,
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所以
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$2(x+y) \ge 40$,
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当且仅当 $x=y=10$ 时,上式等号成立.
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因此,当这个矩形菜园是边长为 $10$ m的正方形时,所用篱笆最短,最短篱笆的长度为 $40$ m.
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(2) 由已知得 $2(x+y)=36$, 矩形菜园的面积为 $xy$ m².
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由
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$\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{2} = \frac{36}{2} = 9$,
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可得
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$xy \le 81$,
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当且仅当 $x=y=9$ 时,上式等号成立.
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因此,当这个矩形菜园是边长为 $9$ m的正方形时,菜园的面积最大,最大面积是 $81$ m².
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**例4** 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 $4800$ m³,深为 $3$ m.如果池底每平方米的造价为 $150$ 元,池壁每平方米的造价为 $120$ 元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?
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**分析:** 贮水池呈长方体形,它的高是 $3$ m,池底的边长没有确定.如果池底的边长确定了,那么水池的总造价也就确定了.因此,应当考察池底的边长取什么值时,水池的总造价最低.
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**解:** 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为 $x$ m, $y$ m, 水池的总造价为 $z$ 元.根据题意,有
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 47
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$z = 150 \times \frac{4800}{3} + 120(2 \times 3x + 2 \times 3y)$
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$= 240000 + 720(x+y).$
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由容积为 $4800 \text{ m}^3$, 可得
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$3xy = 4800,$
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因此
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$xy = 1600.$
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所以
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$z \ge 240000 + 720 \times 2\sqrt{xy},$
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当 $x=y=40$ 时, 上式等号成立, 此时 $z=297600.$
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所以, 将贮水池的池底设计成边长为 $40 \text{ m}$ 的正方形时总造价最低, 最低总造价是 $297600$ 元.
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## 练习
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1. 用 $20 \text{ cm}$ 长的铁丝折成一个面积最大的矩形, 应当怎样折?
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2. 用一段长为 $30 \text{ m}$ 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长 $18 \text{ m}$. 当这个矩形的边长为多少时, 菜园的面积最大? 最大面积是多少?
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3. 做一个体积为 $32 \text{ m}^3$, 高为 $2 \text{ m}$ 的长方体纸盒, 当底面的边长取什么值时, 用纸最少?
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4. 已知一个矩形的周长为 $36 \text{ cm}$, 矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱. 当矩形的边长为多少时, 旋转形成的圆柱的侧面积最大?
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## 习题 2.2
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### 复习巩固
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1. (1) 已知 $x>1$, 求 $x+\frac{1}{x-1}$ 的最小值;
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(2) 求 $\sqrt{x(10-x)}$ 的最大值.
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2. (1) 把 $36$ 写成两个正数的积, 当这两个正数取什么值时, 它们的和最小?
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(2) 把 $18$ 写成两个正数的和, 当这两个正数取什么值时, 它们的积最大?
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3. 某公司建造一间地面为矩形、背面靠墙的房屋, 地面面积为 $48 \text{ m}^2$, 房屋正面每平方米的造价为 $1200$ 元, 房屋侧面每平方米的造价为 $800$ 元, 屋顶的造价为 $5800$ 元. 如果墙高为 $3 \text{ m}$, 且不计房屋背面和地面的费用, 那么怎样设计房屋能使总造价最低? 最低总造价是多少?
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48 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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## 综合运用
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4. 已知$x,y,z$都是正数,求证:$(x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$.
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5. 已知$x>0$,求证:$2-3x-\frac{4}{x}$的最大值是$2-4\sqrt{3}$.
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6. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费$y_1$ (单位:万元) 与仓库到车站的距离$x$ (单位: km) 成反比,每月库存货物费$y_2$ (单位: 万元) 与$x$成正比;若在距离车站10 km 处建仓库,则$y_1$和$y_2$分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小?
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## 拓广探索
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7. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金是小于10g,等于10g,还是大于10g?为什么?
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8. 设矩形$ABCD$ ($AB>AD$)的周长为$24 \text{ cm}$,把$\triangle ABC$沿$AC$向$\triangle ADC$折叠,$AB$折过去后交$DC$于点$P$. 设$AB=x \text{ cm}$,求$\triangle ADP$的最大面积及相应$x$的值.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 49
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**转换失败**: 转换第54页失败，已重试3次
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一般地, 对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$, 我们把使 $ax^2+bx+c=0$ 的实数 $x$ 叫做二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的零点. 于是, 二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点是 $x_1=2, x_2=10$.
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从图2.3-1可以看出, 二次函数 $y=x^2-12x+20$ 的两个零点 $x_1=2, x_2=10$ 将 $x$ 轴分成三段. 相应地, 当 $x<2$ 或 $x \ge 10$ 时, 函数图像位于 $x$ 轴上方, 此时 $y \ge 0$, 即 $x^2-12x+20>0$; 当 $2<x<10$ 时, 函数图像位于 $x$ 轴下方, 此时 $y<0$, 即 $x^2-12x+20<0$. 所以, 一元二次不等式 $x^2-12x+20<0$ 的解集是
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$$\{x|2<x<10\}$$
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图2.3-1
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*(Mermaid语法不适用于函数图。图示为抛物线 $y=x^2-12x+20$ 的图像，开口向上，与x轴交于点 $x=2$ 和 $x=10$。抛物线的顶点位于x轴下方。图中包含y轴和x轴，并在轴上标示了一些刻度值。)*
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因为 $\{x|2<x<10\} \subseteq \{x|0<x<12\}$, 因此当围成的矩形的一条边长 $x$ 满足 $2<x<10$ 时, 围成的矩形区域的面积大于 $20\text{m}^2$.
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上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$ 和 $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集. 因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点, 所以先求出一元二次方程的根, 再根据二次函数图象与 $x$ 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.
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我们知道, 对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a>0)$, 设 $\Delta=b^2-4ac$, 它的根按照 $\Delta>0, \Delta=0, \Delta<0$ 可分为三种情况. 相应地, 二次函数 $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴的位置关系也分为三种情况. 因此, 我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0(a>0)$ 和 $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集 (表2.3-1).
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**表2.3-1 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系**
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| 项目 | $\Delta>0$ | $\Delta=0$ | $\Delta<0$ |
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| :------------------------------- | :--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
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| $y=ax^2+bx+c(a>0)$ 的图象 | *(Mermaid语法不适用于函数图。图示为开口向上的抛物线，与x轴交于两个不相等的实数点 $x_1$ 和 $x_2$。)* | *(Mermaid语法不适用于函数图。图示为开口向上的抛物线，与x轴相切于一个点 $x_1=x_2$。)* | *(Mermaid语法不适用于函数图。图示为开口向上的抛物线，完全位于x轴上方，与x轴无交点。)* |
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| $ax^2+bx+c=0(a>0)$ 的根 | 有两个不相等的实数根 $x_1, x_2 (x_1 \le x_2)$ | 有两个相等的实数根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$ | 没有实数根 |
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| $ax^2+bx+c>0(a>0)$ 的解集 | $\{x|x<x_1, \text{或 } x>x_2\}$ | $\{x|x \neq -\frac{b}{2a}\}$ | **R** |
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| $ax^2+bx+c<0(a>0)$ 的解集 | $\{x|x_1<x<x_2\}$ | $\emptyset$ | $\emptyset$ |
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 51
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**例1** 求不等式$x^2-5x+6>0$的解集.
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**分析**: 因为方程$x^2-5x+6=0$的根是函数$y=x^2-5x+6$的零点,所以先求出$x^2-5x+6=0$的根,再根据函数图象得到$x^2-5x+6>0$的解集.
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**解**: 对于方程$x^2-5x+6=0$,因为$\Delta >0$,所以它有两个实数根,解得$x_1=2, x_2=3$.
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画出二次函数$y=x^2-5x+6$的图象(图2.3-2),结合图象得不等式$x^2-5x+6>0$的解集为$\{x|x<2,或x>3\}$.
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*(图 2.3-2: 二次函数 $y=x^2-5x+6$ 的图像, 抛物线开口向上, 与x轴交于(2,0)和(3,0)两点)*
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**例2** 求不等式$9x^2-6x+1>0$的解集.
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**解**: 对于方程$9x^2-6x+1=0$,因为$\Delta =0$,所以它有两个相等的实数根,解得$x_1=x_2=\frac{1}{3}$.
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画出二次函数$y=9x^2-6x+1$的图象(图2.3-3),结合图象得不等式$9x^2-6x+1>0$的解集为$\{x|x\neq\frac{1}{3}\}$.
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*(图 2.3-3: 二次函数 $y=9x^2-6x+1$ 的图像, 抛物线开口向上, 与x轴相切于$(\frac{1}{3},0)$点)*
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**例3** 求不等式$-x^2+2x-3>0$的解集.
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**解**: 不等式可化为$x^2-2x+3<0$.
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因为$\Delta =-8<0$,所以方程$x^2-2x+3=0$无实数根.
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画出二次函数$y=x^2-2x+3$的图象(图2.3-4).
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> 对于二次项系数是负数(即$a<0$)的不等式,可以先把二次项系数化成正数,再求解.
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*(图 2.3-4: 二次函数 $y=x^2-2x+3$ 的图像, 抛物线开口向上, 顶点在x轴上方, 与x轴无交点)*
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结合图象得不等式$x^2-2x+3<0$的解集为$\emptyset$.
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因此,原不等式的解集为$\emptyset$.
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现在,你能解决第2.1节的“问题2”了吗?
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利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程,这里,我们以求解可化成$ax^2+bx+c>0(a>0)$形式的不等式为例,用框图表示其求解过程(图2.3-5).
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52 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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```mermaid
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graph TD
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A[将原不等式化成 $ax^2+bx+c>0$ ($a>0$) 的形式] --> B[计算 $\Delta = b^2-4ac$ 的值]
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B --> C1{$>0$}
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B --> C2{$=0$}
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B --> C3{$<0$}
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C1 --> D1[方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根, 解得 $x_1, x_2$ ($x_1 < x_2$)]
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D1 --> E1[原不等式的解集为 $\{x | x<x_1, 或 x>x_2\}$]
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C2 --> D2[方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个相等的实数根, 解得 $x_1=x_2=-\frac{b}{2}$]
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D2 --> E2[原不等式的解集为 $\{x | x \neq -\frac{b}{2}\}$]
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C3 --> D3[方程 $ax^2+bx+c=0$ 没有实数根]
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D3 --> E3[原不等式的解集为 $\mathbb{R}$]
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style C1 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px
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style C2 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px
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style C3 fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px
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style A fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style B fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style D1 fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style E1 fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style D2 fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style E2 fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style D3 fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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style E3 fill:#e0f2f7,stroke:#66c2d9,stroke-width:1px
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图 2.3-5
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## 练习
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1. 求下列不等式的解集:
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(1) $(x+2)(x-3)>0$;
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(2) $3x^2-7x \le 10$;
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(3) $-x^2+4x-4<0$;
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(4) $x^2-x+\frac{1}{4}<0$;
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(5) $-2x^2+x \le -3$;
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(6) $x^2-3x+4>0$.
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2. 当自变量 $x$ 在什么范围取值时, 下列函数的值等于0? 大于0? 小于0?
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(1) $y=3x^2-6x+2$;
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(2) $y=25-x^2$;
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(3) $y=x^2+6x+10$;
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(4) $y=-3x^2+12x-12$.
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利用一元二次不等式可以解决一些实际问题, 下面看两个例子.
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**例4** 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, 这条流水线生产的摩托车数量 $x$ (单位: 辆) 与创造的价值 $y$ (单位: 元) 之间有如下的关系:
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$y=-20x^2+2200x$.
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若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上, 则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
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**解**: 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 $x$ 辆摩托车, 根据题意, 得
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$-20x^2+2200x \ge 60000$.
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移项整理, 得
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$x^2-110x+3000<0$.
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对于方程 $x^2-110x+3000=0$, $\Delta=100>0$, 方程有两个实数根 $x_1=50, x_2=60$.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 53
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画出二次函数 $y=x^2-110x+3000$ 的图象 (图 2.3-6)，结合图象得不等式 $x^2-110x+3000<0$ 的解集为 $\{x|50<x<60\}$，从而原不等式的解集为
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$\{x|50<x<60\}$。
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因为 $x$ 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在 51~59 辆时，这家工厂能够获得 60 000 元以上的收益。
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**例 5** 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 $s$ (单位：m) 和汽车刹车前的车速 $v$ (单位：km/h) 之间有如下关系：
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$s=\frac{1}{20}v+\frac{1}{180}v^2$。
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在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 39.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少 (精确到 1 km/h)?
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**解：**根据题意，得
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$\frac{1}{20}v+\frac{1}{180}v^2>39.5$。
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> 刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离。
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移项整理，得
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$v^2+9v-7110>0$。
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对于方程 $v^2+9v-7110=0$，$\Delta>0$，方程有两个实数根
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$v_1=\frac{-9-\sqrt{28521}}{2}$，$v_2=\frac{-9+\sqrt{28521}}{2}$。
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画出二次函数 $s=v^2+9v-7110$ 的图象 (图 2.3-7)，结合图象得不等式的解集为 $\{v|v<v_1 \text{ 或 } v>v_2\}$，从而原不等式的解集为
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$\{v|v<v_1 \text{ 或 } v>v_2\}$。
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因为车速 $v \ge 0$，所以 $v>v_2$。而 $79.9<v_2<80$，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 80 km/h。
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类似地，第 2.1 节的不等式①经移项整理，得 $2x^2-13x+20 \le 0$。用上述方法解这个不等式，得 $\{x|2.5 \le x \le 4\}$。所以，当每本杂志的定价不低于 2.5 元且不超过 4 元时，提价后的销售总收入不低于 20 万元。
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## **练习**
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1. $x$ 是什么实数时，$\sqrt{x^2+x-12}$ 有意义？
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54 第二章 一元二次函数、方程和不等式
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2. 如图,在长为 $8 \text{ m}$,宽为 $6 \text{ m}$ 的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪,如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积不超过总面积的一半,那么花卉带的宽度应为多少米?
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(图示：一个矩形，内部有一个较小的同心矩形，外层矩形表示地面，内层矩形表示草坪，两矩形之间的区域表示花卉带。此图为第 2 题配图。)
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3. 某网店销售一批新款削笔器,每个削笔器的最低售价为 $15$ 元,若按最低售价销售,每天能卖出 $30$ 个;若一个削笔器的售价每提高 $1$ 元,日销售量将减少 $2$ 个.为了使这批削笔器每天获得 $400$ 元以上的销售收入,应怎样制定这批削笔器的销售价格?
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## 习题 2.3
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### 复习巩固
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1. 求下列不等式的解集:
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(1) $13-4x^2>0$;
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(2) $(x-3)(x-7)<0$;
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(3) $x^2-3x-10>0$;
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(4) $-3x^2+5x-4>0$.
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2. $x$ 是什么实数时,下列各式有意义?
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(1) $\sqrt{x^2-4x+9}$;
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(2) $\sqrt{-2x^2+12x-18}$.
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### 综合运用
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3. 已知 $M=\{x|4x^2-4x-15>0\}$, $N=\{x|x^2-5x-6>0\}$, 求 $M \cap N$, $M \cup N$.
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> **提示:** 若不计空气阻力,则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 $h$ 与时间 $t$ 满足关系 $h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$, 其中 $g \approx 10 \text{ m/s}^2$.
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4. 一名同学以初速度 $v_0=12 \text{ m/s}$ 竖直上抛一排球,排球能够在抛出点 $2 \text{ m}$ 以上的位置最多停留多长时间(精确到 $0.01 \text{ s}$)?
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5. 已知集合 $A = \{x | x^2 - 16<0\}$, $B=\{x | x^2 - 4x +3>0\}$, 求 $A \cup B$.
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### 拓广探索
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6. 如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东 $45^\circ$ 方向 $600 \text{ km}$ 处的热带风暴中心正以 $20 \text{ km/h}$ 的速度向正北方向移动,距风暴中心 $450 \text{ km}$ 以内的地区都将受到影响.据以上预报估计,从现在起多长时间后,该码头将受到热带风暴的影响,影响时间大约为多长(精确到 $0.1 \text{ h}$)?
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(图示：一个二维直角坐标系，原点 $O$ 表示码头。从原点 $O$ 向右下方延伸一条虚线，与 $x$ 轴正方向夹角为 $45^\circ$ (图中表示为与负 $y$ 轴方向夹 $45^\circ$ 的方位)，虚线末端为热带风暴的初始中心位置。热带风暴中心沿 $y$ 轴正方向（正北方向）移动。此图为第 6 题配图。)
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第二章 一元二次函数、方程和不等式 55
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{
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"candidates": [
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{
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"content": {
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"role": "model"
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},
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"finishReason": "STOP",
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"index": 0
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}
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],
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"usageMetadata": {
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"promptTokenCount": 372,
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"totalTokenCount": 20027,
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"promptTokensDetails": [
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{
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"modality": "TEXT",
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||
"tokenCount": 114
|
||
},
|
||
{
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"modality": "DOCUMENT",
|
||
"tokenCount": 258
|
||
}
|
||
],
|
||
"thoughtsTokenCount": 19655
|
||
},
|
||
"modelVersion": "gemini-2.5-flash",
|
||
"responseId": "NETbaNedA6CrqtsPg-eDuAs"
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||
}
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**转换失败**: 转换第61页失败，已重试3次
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## 综合运用
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5. 若 $a, b \geq 0$，且 $ab=a+b+3$，求 $ab$ 的取值范围。
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6. 当 $k$ 取什么值时，一元二次不等式 $2kx^2+kx-\frac{3}{8}<0$ 对一切实数 $x$ 都成立？
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7. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于 $10\%$，而且这个比值越大，采光效果越好。
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(1) 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为 $220 \text{ m}^2$，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
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(2) 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
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8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题。请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由。
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| 相等关系 | 不等关系 | |
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| :------------------- | :------------------- | :--------- |
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| **相等关系的命题** | **不等关系的命题** | **判断正误** |
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| (1) 若 $x=y$，则 $x^3=y^3$ | (1) 若 $x>y$，则 $x^3>y^3$ | 正确 |
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## 拓广探索
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9. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 $ABCD$ 和 $EFGH$ 构成的面积为 $200 \text{ m}^2$ 的十字形地域。计划在正方形 $MNPQ$ 上建一座花坛，造价为 $4200 \text{ 元/m}^2$；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 $210 \text{ 元/m}^2$；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 $80 \text{ 元/m}^2$。设总造价为 $S$（单位：元），$AD$ 长为 $x$（单位：m）。当 $x$ 为何值时，$S$ 最小？并求出这个最小值。
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*(图示说明：这是一个八边形的休闲场所平面图。外围有顶点 $H, G, C, B, F, E, A, D$。内部有一个正方形 $MNPQ$。四个阴影矩形区域分别是 $DQMA$ (左侧), $CPNB$ (右侧), $HQPG$ (上方), $EMNF$ (下方)。四个空角为三角形，例如 $DQC$ 对应的上方是一个三角形，由点 $D, Q, H$ 和 $P, G, C$ 等形成。图中的 $AD$ 代表从点 $A$ 到点 $D$ 的长度，即整体图形的左侧垂直边长。)*
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10. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？
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