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note/知识图谱/教科书-数学/选择性必修/第五章-一元函数的导数及其应用.md
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2025-11-19 10:16:05 +08:00

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第五章

一元函数的导数及其应用

为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数。刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念，在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。

微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等。历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分。

[图片描述: 一名身着红色泳衣的跳水女运动员在空中完成跳水动作，身体呈弓形，双臂向上伸展，下方可见跳水板的一部分。此图像生动地展现了物体运动中的姿态变化，与本章探讨的函数、导数及微积分在描述运动和变化现象中的应用密切相关。|标题:跳水运动员的运动轨迹示意图|图片1]

导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本工具，因而在解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题中有着广泛应用。

在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想，通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。

5.1 导数的概念及其意义

在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多。进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题。

5.1.1 变化率问题

问题1 跳水运动员的速度

探究

在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 h (单位: m) 与起跳后的时间 t (单位: s) 存在函数关系

h(t)=-4.9t^2+2.8t+11.

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度 \bar{v} 近似地描述他的运动状态。

例如，在 0 \le t \le 0.2 这段时间里，

\bar{v}=\frac{h(0.2)-h(0)}{0.2-0}=1.82(\text{m/s});

在 1 \le t \le 1.5 这段时间里，

\bar{v}=\frac{h(1.5)-h(1)}{1.5-1}=-9.45(\text{m/s}).

一般地，在 t_1 < t \le t_2 这段时间里，

\bar{v}=\frac{h(t_2)-h(t_1)}{t_2-t_1}=-4.9(t_1+t_2)+2.8.

? 思考

计算运动员在$0 \le t \le \frac{4}{7}$这段时间里的平均速度, 你发现了什么? 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

我们发现, 运动员在$0 \le t \le \frac{4}{7}$这段时间里的平均速度为0. 显然, 在这段时间内, 运动员并不处于静止状态. 因此, 用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态, 需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 (instantaneous velocity).

探究

瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在$t=1s$时的瞬时速度吗?

设运动员在$t_0$时刻附近某一时间段内的平均速度是 \bar{v}, 可以想象, 如果不断缩短这一时间段的长度, 那么 \bar{v} 将越来越趋近于运动员在 t_0 时刻的瞬时速度.

为了求运动员在$t=1$时的瞬时速度, 我们在$t=1$之后或之前, 任意取一个时刻1+\Delta t, \Delta t 是时间改变量, 可以是正值, 也可以是负值, 但不为0. 当$\Delta t>0$时, 1+\Delta t 在1之后; 当$\Delta t<0$时, 1+\Delta t 在1之前. 当$\Delta t>0$时, 把运动员在时间段$[1, 1+\Delta t]$内近似看成做匀速直线运动, 计算时间段$[1, 1+\Delta t]$内的平均速度 \bar{v}, 用平均速度 \bar{v} 近似表示运动员在$t=1$时的瞬时速度. 当$\Delta t<0$时, 在时间段$[1+\Delta t, 1]$内可作类似处理. 为了提高近似表示的精确度, 我们不断缩短时间间隔, 得到如下表格(表 5.1-1).

用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想.

表 5.1-1

当$\Delta t<0$时, 在时间段$[1+\Delta t,1]$内 当$\Delta t>0$时, 在时间段$[1,1+\Delta t]$内
\Delta t \Delta t
$\bar{v} = \frac{h(1)-h(1+\Delta t)}{1-(1+\Delta t)}$
$= \frac{4.9(\Delta t)^2+7\Delta t}{-\Delta t}$
= -4.9\Delta t-7		 $\bar{v} = \frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{(1+\Delta t)-1}$
$= \frac{-4.9(\Delta t)^2-7\Delta t}{\Delta t}$
= -4.9\Delta t-7

续表

当 \Delta t < 0 时, 在时间段 [1+\Delta t, 1] 内 当 \Delta t > 0 时, 在时间段 [1, 1+\Delta t] 内
-0.01 -6.951 0.01 -7.049
-0.001 -6.995\ 1 0.001 -7.004\ 9
-0.000\ 1 -6.999\ 51 0.000\ 1 -7.000\ 49
-0.000\ 01 -6.999\ 951 0.000\ 01 -7.000\ 049
-0.000\ 001 -6.999\ 995\ 1 0.000\ 001 -7.000\ 004\ 9
\cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots

⊙ 观察

给出 \Delta t 更多的值, 利用计算工具计算对应的平均速度 \bar{v} 的值. 当 \Delta t 无限趋近于 0 时, 平均速度 \bar{v} 有什么变化趋势?

我们发现, 当 \Delta t 无限趋近于 0, 即无论 t 从小于 1 的一边, 还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时, 平均速度 \bar{v} 都无限趋近于 -7.

事实上, 由 \bar{v} = \frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{(1+\Delta t)-1} = -4.9\Delta t - 7 可以发现, 当 \Delta t 无限趋近于 0 时, -4.9\Delta t 也无限趋近于 0, 所以 \bar{v} 无限趋近于 -7. 这与前面得到的结论一致. 数学中, 我们把 -7 叫做 “当 \Delta t 无限趋近于 0 时, \bar{v} = \frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{\Delta t} 的极限”, 记为

\lim_{\Delta t \to 0} \frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{\Delta t} = -7.

从物理的角度看, 当时间间隔 |\Delta t| 无限趋近于 0 时, 平均速度 \bar{v} 就无限趋近于 t=1 时的瞬时速度, 因此, 运动员在 t=1 \text{ s} 时的瞬时速度 v(1) = -7 \text{ m/s}.

③ 思考

(1) 求运动员在 t=0.5 \text{ s} 时的瞬时速度; (2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 t_0 的瞬时速度?

练习

  1. 求问题1中跳水运动员在 t=1.5 \text{ s} 时的瞬时速度.
  2. 火箭发射 t \text{ s} 后, 其高度 (单位: m) 为 h(t)=0.9t^2. 求: (1) 在 1 \le t \le 2 这段时间里, 火箭爬高的平均速度; (2) 发射后第 10 \text{ s} 时, 火箭爬高的瞬时速度.
  1. 一个小球从 5m 的高处自由下落，其位移 y (单位: m) 与时间 t (单位: s) 之间的关系为 $y(t) = -4.9t^2$。求 t=1s 时小球的瞬时速度。

问题2 抛物线的切线的斜率

我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切。对于一般的曲线 $C$，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线 f(x)=x^2 为例进行研究。

探究

你认为应该如何定义抛物线 f(x)=x^2 在点 P_0(1,1) 处的切线？

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线 f(x)=x^2 在点 P_0(1,1) 处的切线，我们通常在点 P_0(1,1) 的附近任取一点 $P(x,x^2)$，考察抛物线 f(x)=x^2 的割线 P_0P 的变化情况。

观察

如图5.1-1，当点 P(x,x^2) 沿着抛物线 f(x)=x^2 趋近于点 P_0(1,1) 时，割线 P_0P 有什么变化趋势？

[图片描述: 图示为一个直角坐标系，横轴为 x 轴，纵轴为 y 轴，原点为 $O$。图中绘制了函数 f(x)=x^2 的抛物线。在抛物线上，有一个固定点 P_0(1,1) 和一个在抛物线上运动的动点 $P(x,x^2)$。图中显示了多条割线（蓝色、红色、紫色等细线），它们连接了 P_0 和 P 的不同位置，这些割线逐渐趋近于一条绿色的直线 $P_0T$。这表明当点 P 沿着抛物线趋近于点 P_0 时，割线 P_0P 逐渐趋近于直线 $P_0T$。在图像的右侧有一个提示框，指出“利用信息技术工具，演示图 5.1-1中 P_0P 的动态变化趋势。”|标题: 图5.1-1|图片编号: 图1]

我们发现，当点 P 无限趋近于点 P_0 时，割线 P_0P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 P_0T 称为抛物线 f(x)=x^2 在点 P_0(1,1) 处的切线。

探究

我们知道，斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x^2 在点 P_0(1,1) 处的切线 P_0T 的斜率 k_0 呢？

从上述切线的定义可见，抛物线 f(x)=x^2 在点 P_0(1,1) 处的切线 P_0T 的斜率与割线 P_0P 的斜率有内在联系。记 $\Delta x = x-1$，则点 P 的坐标是 $(1+\Delta x, (1+\Delta x)^2)$。于是，割线 P_0P 的斜率


k = \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{(1+\Delta x)^2-1}{(1+\Delta x)-1} = \Delta x+2

① \Delta x 可以是正值，也可以是负值，但不为 0.

我们可以用割线 P_0P 的斜率 k 近似地表示切线 P_0T 的斜率 $k_0$，并且可以通过不断缩短横坐标间隔 |\Delta x| 来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表 5.1-2）。

表 5.1-2

\Delta x k=\Delta x+2 \Delta x k=\Delta x+2
-0.01 1.99 0.01 2.01
-0.001 1.999 0.001 2.001
-0.000~1 1.999~9 0.000~1 2.000~1
-0.000~01 1.999~99 0.000~01 2.000~01
-0.000~001 1.999~999 0.000~001 2.000~001
\cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots \cdots\cdots

观察

利用计算工具计算更多割线 P_0P 的斜率 k 的值，当 \Delta x 无限趋近于 0 时，割线 P_0P 的斜率 k 有什么变化趋势？

我们发现，当 \Delta x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 P_0P 的斜率 k 都无限趋近于 $2$。

事实上，由 k=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = \Delta x+2 可以直接看出，当 \Delta x 无限趋近于 0 时，\Delta x+2 无限趋近于 $2$。我们把 2 叫做“当 \Delta x 无限趋近于 0 时，k=\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} 的极限”，记为


\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} = 2

从几何图形上看,当横坐标间隔$|\Delta x|$无限变小时,点$P$无限趋近于点P_0,于是割线$P_0P$无限趋近于点$P_0$处的切线P_0T.这时,割线$P_0P$的斜率$k$无限趋近于点$P_0$处的切线$P_0T$的斜率k_0.因此,切线$P_0T$的斜率k_0=2.

❓ 思考

观察问题1中的函数$h(t)=-4.9t^2+2.8t+11$的图象(图5.1-2),平均速度


v=\frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{(1+\Delta t)-1}

的几何意义是什么?瞬时速度$v(1)$呢?

[图片描述:一个坐标系中绘制的抛物线函数$h(t)=-4.9t^2+...$的图像。图像上标出了两个点：$(1, h(1))$和$(1+\Delta t, h(1+\Delta t))$，并用一条直线（割线）连接这两个点。横轴表示时间$t$，纵轴表示高度$h$。坐标轴的原点标记为O，t轴上标有刻度1。这张图直观地展示了割线斜率与平均变化率的关系。|标题:抛物线函数$h(t)$的图像及割线|图1]

练习

  1. 你认为应该怎样定义抛物线 f(x)=x^2 在点 (x_0, x_0^2) 处的切线?试求抛物线 f(x)=x^2 在点 (-1, 1) 处切线的斜率.
  2. 求抛物线 f(x)=x^2+1 在点 (0,1) 处的切线方程.

5.1.2 导数的概念及其几何意义

前面我们研究了两类变化率问题:一类是物理学中的问题,涉及平均速度和瞬时速度;另一类是几何学中的问题,涉及割线斜率和切线斜率,这两类问题来自不同的学科领域,但在解决问题时,都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法;问题的答案也有一样的表示形式,下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.

对于函数y=f(x),设自变量$x$从$x_0$变化到x_0+\Delta x,相应地,函数值$y$就从$f(x_0)$变化到f(x_0+\Delta x).这时,$x$的变化量为\Delta x,$y$的变化量为


\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).

我们把比值\frac{\Delta y}{\Delta x},即


\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

叫做函数$y=f(x)$从$x_0$到$x_0+\Delta x$的平均变化率。

如果当$\Delta x \to 0$时,平均变化率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$无限趋近于一个确定的值,即$\frac{\Delta y}{\Delta x}$有极限,则称$y=f(x)$在$x=x_0$处可导,并把这个确定的值叫做$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数 (derivative) (也称为瞬时变化率),记作$f'(x_0)$或y'|_{x=x_0},即


f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

由导数的定义可知,问题1中运动员在$t=1$时的瞬时速度v(1),就是函数$h(t)=-4.9t^2+2.8t+11$在$t=1$处的导数h'(1);问题2中抛物线$f(x)=x^2$在点$P_0(1,1)$处的切线$P_0T$的斜率k_0,就是函数$f(x)=x^2$在$x=1$处的导数f'(1).实际上,导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率,如效率、交变电流、比热容等.

根据物体的路程关于时间的函数求速度与加速度和求已知曲线的切线,这两类问题直接促使了导数的产生.

例1 设f(x)=\frac{1}{x},求f'(1).

解:


f'(1)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}


= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{1+\Delta x}-1}{\Delta x}


= \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{1+\Delta x}\right) = -1.

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 已知在第$x$h时,原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x^2-7x+15 (0 \le x \le 8). 计算第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是$f'(2)$和f'(6). 根据导数的定义,


\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}


= \frac{(2+\Delta x)^2-7(2+\Delta x)+15-(2^2-7 \times 2+15)}{\Delta x}


= \frac{4\Delta x+(\Delta x)^2-7\Delta x}{\Delta x}


= \Delta x - 3,

所以


f'(2) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x - 3) = -3.

同理可得 f'(6)=5.$\textcircled{1}$

\textcircled{1} 请同学们自己完成 具体运算过程.

在第2h与第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为$-3^\circ C/h$与5^\circ C/h. 说明在第2h附近, 原油温度大约以$3^\circ C/h$的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以$5^\circ C/h$的速率上升, 一般地, f'(x_0) (0 \le x_0 \le 8) 反映了原油温度在时刻 x_0 附近的变化情况.

例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶, 假设汽车在某一路段内$t$s时的速度(单位: m/s)为y=v(t)=-t^2+6t+17, 求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度, 并说明它们的意义.

分析: 瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率. 因此, 在第2s与第6s时, 汽车的瞬时加速度分别为v'(2), v'(6).

解: 在第2s和第6s时, 汽车的瞬时加速度就是$v'(2)$和v'(6). 根据导数的定义,

 \frac{\Delta y}{\Delta t} = \frac{v(2+\Delta t)-v(2)}{\Delta t} 
 = \frac{-(2+\Delta t)^2+6(2+\Delta t)+17-(-2^2+6\times 2+17)}{\Delta t} 
 = -\Delta t+2,

所以

 v'(2)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta t} =\lim_{\Delta t \to 0}(-\Delta t+2)=2.

同理可得

 v'(6)=-6.

在第2s与第6s时, 汽车的瞬时加速度分别是$2m/s^2$与-6 m/s^2. 说明在第2s附近, 汽车的速度每秒大约增加2m/s; 在第6s附近, 汽车的速度每秒大约减少6 m/s.

练习

  1. 在例2中, 计算第3h与第5h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
  2. 设f(x)=x, 求 f'(1).
  3. 一质点A沿直线运动, 位移$y$(单位: m)与时间$t$(单位: s)之间的关系为y(t)=2t^2+1, 求质点A在$t=2.7$s时的瞬时速度.
  4. 设函数f(x)=x^2-1. 求: (1) 当自变量$x$由1变到1.1时, 函数的平均变化率; (2) 函数在$x=1$处的导数.

我们知道, 导数$f'(x_0)$表示函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的瞬时变化率, 反映了函数$y=f(x)$在$x=x_0$附近的变化情况, 那么导数$f'(x_0)$的几何意义是什么?

? 思考

观察函数$y=f(x)$的图象 (图5.1-3), 平均变化率

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

表示什么? 瞬时变化率

f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

表示什么?

[图片描述: 描绘了函数$y=f(x)$在坐标系中的曲线，并标注了两个点$P_0(x_0, f(x_0))$和$P(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x))$。图中通过水平距离$\Delta x$和垂直距离$f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$展示了这两个点之间的变化量，以及连接$P_0$和$P$的割线。这个图解释了平均变化率的概念。|标题: 图 5.1-3|图片编号: 1]

容易发现, 平均变化率

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

表示割线 P_0P 的斜率.

如图5.1-4, 在曲线 y=f(x) 上任取一点 P(x, f(x)), 如果当点 P(x, f(x)) 沿着曲线 y=f(x) 无限趋近于点 P_0(x_0, f(x_0)) 时, 割线 P_0P 无限趋近于一个确定的位置, 这个确定位置的直线 P_0T 称为曲线 y=f(x) 在点 P_0 处的切线 (tangent line).

此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同?

[图片描述: 描绘了函数$y=f(x)$在坐标系中的曲线，并标注了一个固定点$P_0$。图中显示了多个点$P$沿着曲线逐渐向$P_0$移动的过程，以及连接$P_0$与这些$P$点的割线（用不同颜色表示）。随着$P$点趋近$P_0$，割线逐渐逼近一条红色的直线$P_0T$，这条直线就是曲线在$P_0$点的切线。这个图直观地展示了割线趋向切线的动态过程。|标题: 图 5.1-4|图片编号: 2]

利用信息技术工具,演示图5.1-4中$P_0P$的动态变化效果,做一做,看一看!

与问题2中抛物线的割线和切线之间的关系类似, 容易知道, 割线 P_0P 的斜率

k = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

记 \Delta x = x-x_0, 当点 P 沿着曲线 y=f(x) 无限趋近于点 P_0 时, 即当 \Delta x \to 0 时, k 无限趋

近于函数 y=f(x) 在 x=x_0 处的导数。因此，函数 y=f(x) 在 x=x_0 处的导数 f'(x_0) 就是切线 P_0T 的斜率 $k_0$，即

k_0 = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x_0).

这就是导数的几何意义。

继续观察图 5.1-4，可以发现点 P_0 处的切线 P_0T 比任何一条割线更贴近点 P_0 附近的曲线。进一步地，利用信息技术工具将点 P_0 附近的曲线不断放大(图 5.1-5)，可以发现点 P_0 附近的曲线越来越接近于直线。因此，在点 P_0 附近，曲线 y=f(x) 可以用点 P_0 处的切线 P_0T 近似代替。

① 数学上常用简单的对象刻画复杂的对象。例如，用有理数 3.1416 近似代替无理数 $\pi$。这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲。

[图片描述:三张示意图展示了曲线在一点$P_0$处的切线$T$如何随着放大越来越贴近曲线。左图显示切线$T$与曲线在$P_0$处相切，并与曲线在$P_0$附近区域重合较好；中图和右图进一步放大切线与曲线在$P_0$附近的局部，可以看到切线$T$越来越精确地近似曲线在该点附近的走势。|标题:图 5.1-5|图片编号:1]

例4 图 5.1-6 是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数 h(t)=-4.9t^2+2.8t+11 的图象。根据图象，请描述、比较曲线 h(t) 在 t=t_0, t_1, t_2 附近的变化情况。

[图片描述:一个表示高度$h$随时间$t$变化的抛物线图。抛物线的顶点在$t_0$处，对应切线$l_0$为水平线。在$t_1$和$t_2$处，抛物线呈下降趋势，切线$l_1$和$l_2$分别与曲线相切，并且都具有负斜率。图中横轴还标记了$O, t_3, t_4$点，并用虚线表示了各点对应的函数值，以及$l_1$和$l_2$的延伸线与横轴的交点。|标题:图 5.1-6|图片编号:2]

为使横轴中各点明确区分，本图坐标系中横、纵轴的单位长度选取不一致。

解: 我们用曲线 h(t) 在 t=t_0, t_1, t_2 处的切线斜率，刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况。

(1) 当 t=t_0 时，曲线 h(t) 在 t=t_0 处的切线 l_0 平行于 t 轴，$h'(t_0)=0$。这时，在 t=t_0 附近曲线比较平坦，几乎没有升降。

(2) 当 t=t_1 时，曲线 h(t) 在 t=t_1 处的切线 l_1 的斜率 $h'(t_1)<0$。这时，在 t=t_1 附近曲线下降，即函数 h(t) 在 t=t_1 附近单调递减。

(3) 当 t=t_2 时，曲线 h(t) 在 t=t_2 处的切线 l_2 的斜率 $h'(t_2)<0$。这时，在 t=t_2 附近曲线下降，即函数 h(t) 在 t=t_2 附近也单调递减。

从图 5.1-6 可以看出，直线 l_1 的倾斜程度小于直线 l_2 的倾斜程度，这说明曲线 h(t) 在 t=t_1 附近比在 t=t_2 附近下降得缓慢。

例5 图5.1-7是人体血管中药物浓度 c=f(t) (单位: \text{mg/mL}) 随时间 t (单位: \text{min}) 变化的函数图象。根据图象, 估计 t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 \text{ min} 时, 血管中药物浓度的瞬时变化率 (精确到 0.1)。

[图片描述: 一张显示药物浓度随时间变化的曲线图。横轴表示时间 t (min), 范围从 0 到 $1.1$。纵轴表示药物浓度 c (mg/mL), 范围从 0 到 $1.1$。图中有网格线便于读数。一条蓝色的曲线代表函数 c=f(t) 的图象，该曲线先上升后下降。在 t=0.8 处，绘制了一条紫红色的切线，用于估算该点的瞬时变化率。切线通过点 (0.7, 0.91) 和 $(1.0, 0.48)$。|标题: 图5.1-7|图片1]

解: 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 f(t) 在此时刻的导数, 从图象上看, 它表示曲线 f(t) 在此点处的切线的斜率。

如图5.1-7, 画出曲线上某点处的切线, 利用网格估计这条切线的斜率, 可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值。

作 t=0.8 处的切线, 并在切线上取两点, 如 (0.7, 0.91), (1.0, 0.48), 则该切线的斜率

k = \frac{0.48-0.91}{1.0-0.7} \approx -1.4,

所以

f'(0.8) \approx -1.4.

表5.1-3 给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值。

表5.1-3

t 0.2 0.4 0.6 0.8
药物浓度的瞬时变化率 f'(t) 0.4 0 -0.7 -1.4

从求函数 y=f(x) 在 x=x_0 处导数的过程可以看到, 当 x=x_0 时, f'(x_0) 是一个唯一确定的数。这样, 当 x 变化时, y=f'(x) 就是 x 的函数, 我们称它为 y=f(x) 的导函数 (derived function) (简称导数)。y=f(x) 的导函数有时也记作 y', 即

f'(x)=y'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.

练习

  1. 根据图 5.1-6, 描述曲线 h(t) 在 t=t_3, t_4 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。

  1. 函数 f(x) 的图象如图所示, 下列数值排序正确的是( ). (A) $f'(1)>f'(2)>f'(3)>0$ (B) $f'(1)<f'(2)<f'(3)<0$ (C) $0<f'(1)<f'(2)<f'(3)$ (D) $f'(1)>f'(2)>0>f'(3)$ [图片描述: 坐标系中显示函数 f(x) 的曲线。曲线从原点开始，随着 x 的增大，函数值增加，但增加的速率逐渐减小，曲线向上弯曲但趋于平缓。x轴标记有1, 2, 3。|标题:(第2题)|图片编号:图1]

  2. 求曲线 y=-2x^2+1 在点 (1,-1) 处的切线方程.

  3. 吹气球时, 气球的半径 r (单位: dm)与体积 V (单位: L)之间的函数关系是 r(V)=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}. 利用信息技术工具, 画出 0 \le V \le 5 时函数的图象, 并根据其图象估计 V=0.6, 1.2 L时, 气球的瞬时膨胀率.

习题 5.1

复习巩固

  1. 一个物体从 10 m高处做自由落体运动, t s时该物体距离地面的高度(单位: m)为 h(t)=-4.9t^2+10. 求该物体在 t=1 时的瞬时速度, 并解释此时物体的运动状况.

  2. 圆的面积 S (单位: cm$^2$)与半径 R (单位: cm)的关系为 S=\pi R^2. 求 R=5 cm时面积关于半径的瞬时变化率.

  3. 某质点沿直线运动, 位移 y (单位: m)与时间 t (单位: s)之间的关系为 y(t)=5t^2+6. 求: (1) 2 \le t \le 3 这段时间内的平均速度; (2) t=2 s时的瞬时速度.

  4. 已知车轮旋转的角度 \theta (单位: rad)与时间 t (单位: s)之间的关系为 \theta(t)=\frac{25\pi}{8}t^2. 求车轮转动开始后第 3.2 s时的瞬时角速度.

  5. 小明骑车上学, 开始时匀速行驶, 途中因交通堵塞停留了一段时间, 后为了赶时间加快速度行驶, 与以上事件吻合得最好的图象是( ). [图片描述: 横轴为时间t，纵轴为距学校的距离。图线显示距离先线性下降，然后急剧上升。|标题:(A)|图片编号:图2] [图片描述: 横轴为时间t，纵轴为距学校的距离。图线显示距离先匀速下降，然后保持不变（水平线段表示停留），接着以更快的速度匀速下降（更陡的直线段）。|标题:(B)|图片编号:图3] [图片描述: 横轴为时间t，纵轴为距学校的距离。图线显示距离先匀速下降，然后保持不变（水平线段表示停留），接着以更快的速度匀速下降（更陡的直线段）。|标题:(C)|图片编号:图4] [图片描述: 横轴为时间t，纵轴为距学校的距离。图线显示距离先匀速下降，然后保持不变（水平线段表示停留），接着以更快的速度匀速下降（更陡的直线段）。|标题:(D)|图片编号:图5]

  6. 如图, 试描述函数 f(x) 在 x=-5, -4,-2,0,1 附近的变化情况. [图片描述: 坐标系中显示函数 y=f(x) 的曲线。曲线在 x 轴下方有负值，在 x=-3 附近达到局部最大值（约在 -40 附近），然后下降，在 x=0.5 附近达到局部最小值，之后再次上升。x轴标记有-5到2，y轴标记有0, -40, -140。|标题:(第6题)|图片编号:图6]

  7. 求曲线 y=\frac{1}{2}x^2-2 在点 (1,-\frac{3}{2}) 处的切线的倾斜角.

综合运用

  1. 一个质量为 m=3\text{ kg} 的物体做直线运动，设位移 y (单位: \text{m}) 与时间 t (单位: \text{s}) 之间的关系为 $y(t)=1+t^2$，并且物体的动能 $E_k=\frac{1}{2}mv^2$。求物体开始运动后第 5\text{ s} 时的动能。
  2. 根据下面的文字叙述，画出相应的路程关于时间的函数图象的大致形状。 (1) 汽车在笔直的公路上匀速行驶； (2) 汽车在笔直的公路上不断加速行驶； (3) 汽车在笔直的公路上不断减速行驶。
  3. 如图，已知函数 f(x) 的图象，试画出其导函数 f'(x) 图象的大致形状。 [图片描述: 左侧的图(1)展示了一个穿过原点，斜率为负的直线，表示 f(x) 是一个线性减函数。中间的图(2)展示了一个从原点出发，向上弯曲且斜率逐渐增大的曲线，表示 f(x) 是一个递增的凸函数。右侧的图(3)展示了一个开口向上，顶点位于原点的抛物线，表示 f(x) 是一个开口向上的二次函数。|标题:函数 f(x) 的图象 (第10题)|图片编号:图1]

拓广探索

  1. 在一次跳水运动中，t\text{ s} 时运动员的重心相对于水面的高度 (单位: \text{m}) 是 $h(t)=-4.9t^2+2.8t+11$。高度 h 关于时间 t 的导数是速度 $v$，速度 v 关于时间 t 的导数 v' 的物理意义是什么? 试求 v, v' 关于时间 t 的函数解析式。
  2. 根据下列条件，分别画出函数 y=f(x) 的图象在这点附近的大致形状: (1) f(1)=-5, f'(1)=-1; (2) f(5)=10, f'(5)=15; (3) f(10)=20, f'(10)=0.

5.2 导数的运算

由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的。在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的。由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数。本节我们就来研究这些问题。

5.2.1 基本初等函数的导数

根据导数的定义，求函数$y=f(x)$的导数，就是求出当$\Delta x \to 0$时，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$无限趋近的那个定值。下面我们求几个常用函数的导数。

  1. 函数$y=f(x)=c$的导数 因为

    
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{c-c}{\Delta x} = 0,

    所以

    
y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 0 = 0.

    若$y=c$ (图 5.2-1)表示位移关于时间的函数，则$y'=0$可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态。

    [图片描述:一个笛卡尔坐标系，包含水平的x轴和垂直的y轴，两轴交于原点O。一条水平直线被标记为y=c，它平行于x轴，表示函数值为一个常数c。图中c为正值。|标题:图 5.2-1|图1]

  2. 函数$y=f(x)=x$的导数 因为

    
\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x} = 1,

    所以

    
y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 1 = 1.

    若$y=x$ (图 5.2-2)表示位移关于时间的函数，则$y'=1$可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动。

    [图片描述:一个笛卡尔坐标系，包含水平的x轴和垂直的y轴，两轴交于原点O。一条直线被标记为y=x，它穿过原点，与x轴正方向成45度角，斜率为1。|标题:图 5.2-2|图2]

  1. 函数 y=f(x)=x^2 的导数 因为
 \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} 
 = \frac{x^2+2x \cdot \Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} 
 = 2x+\Delta x

所以

 y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x+\Delta x)=2x.

y'=2x 表示函数 y=x^2 的图象 (图 5.2-3) 上点 (x, y) 处切线的斜率为 $2x$，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化。另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y'=2x 表明：当 x<0 时，随着 x 的增加，|y'| 越来越小，y=x^2 减少得越来越慢；当 x>0 时，随着 x 的增加，|y'| 越来越大，y=x^2 增加得越来越快。若 y=x^2 表示位移关于时间的函数，则 y'=2x 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 x 的瞬时速度为 2x.

[图片描述:一个坐标系中绘制了函数 y=x^2 的图象，该图象是一个开口向上的抛物线，顶点位于原点O。X轴和Y轴有正向箭头，且标明了坐标轴名称。|标题:图 5.2-3|图片编号:图1]

  1. 函数 y=f(x)=x^3 的导数 因为
 \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^3-x^3}{\Delta x} 
 = \frac{x^3+3x^2 \cdot \Delta x+3x \cdot (\Delta x)^2+(\Delta x)^3-x^3}{\Delta x} 
 = 3x^2+3x \cdot \Delta x+(\Delta x)^2

所以

 y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} [3x^2+3x \cdot \Delta x+(\Delta x)^2]=3x^2.

y'=3x^2 表示函数 y=x^3 的图象 (图 5.2-4) 上点 (x, y) 处切线的斜率为 $3x^2$，这说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数。

[图片描述:一个坐标系中绘制了函数 y=x^3 的图象，该图象通过原点O，在第一象限和第三象限呈S形。X轴和Y轴有正向箭头，且标明了坐标轴名称。|标题:图 5.2-4|图片编号:图2]

  1. 函数 y=f(x)=\frac{1}{x} 的导数 因为
 \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac{1}{x}}{\Delta x}

所以


= \frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)\Delta x} = -\frac{1}{x^2+x \cdot \Delta x}


y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \left(-\frac{1}{x^2+x \cdot \Delta x}\right) = -\frac{1}{x^2}

探究

画出函数 y=\frac{1}{x} 的图象, 根据图象, 描述它的变化情况, 并求出曲线在点 (1,1) 处的切线方程.

6. 函数 y=f(x)=\sqrt{x} 的导数

因为


\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}


= \frac{(\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x})(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}{\Delta x (\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}


= \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}

所以


y' = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数。一般地，有下面的基本初等函数的导数公式表（表 5.2-1），这些公式可以直接使用。

表 5.2-1 基本初等函数的导数公式

公式
1. 若 f(x)=c (c 为常数), 则 f'(x)=0;
2. 若 f(x)=x^\alpha (\alpha \in \mathbf{R}, 且 \alpha \neq 0), 则 f'(x)=\alpha x^{\alpha-1};
3. 若 f(x)=\sin x, 则 f'(x)=\cos x;
4. 若 f(x)=\cos x, 则 f'(x)=-\sin x;
5. 若 f(x)=a^x (a>0, 且 a \neq 1), 则 f'(x)=a^x \ln a;
特别地, 若 f(x)=e^x, 则 f'(x)=e^x;
6. 若 f(x)=\log_a x (a>0, 且 a \neq 1), 则 f'(x)=\frac{1}{x \ln a};
特别地, 若 f(x)=\ln x, 则 f'(x)=\frac{1}{x}.

例1 求下列函数的导数: (1) y=x^{\frac{2}{3}}; (2) y=\log_2 x.

解: (1) y'=(x^{\frac{2}{3}})'=\frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}; (2) y'=(\log_2 x)'=\frac{1}{x \ln 2}.

例2 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价 p (单位:元)与时间 t (单位:年)之间的关系为 p(t)=p_0(1+5\%)^t, 其中 p_0 为 t=0 时的物价,假定某种商品的 p_0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)?

解: 根据基本初等函数的导数公式表,有 p'(t)=1.05^t \ln 1.05. 所以 p'(10)=1.05^{10} \ln 1.05 \approx 0.08. 所以,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨.

[图片描述: 一个带有问号的浅棕色背景方框，其中包含一个数学应用题的扩展问题，用于引导学生思考在不同初始条件下问题的变化。|标题:思考题|图片编号:1] 如果某种商品的 p_0=5,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?

练习

  1. 求下列函数的导数: (1) y=\frac{1}{x^4}; (2) y=\sqrt[3]{x^4}; (3) y=3^x; (4) y=(\frac{1}{2})^x; (5) y=\log_4 x; (6) y=\log_{\frac{1}{2}} x.

  2. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y=x^5 在 x=3 处的导数; (2) y=\ln x 在 x=\frac{2}{3} 处的导数; (3) y=\sin x 在 x=2\pi 处的导数; (4) y=e^x 在 x=0 处的导数.

  3. 求余弦曲线 y=\cos x 在点 (\frac{\pi}{2}, 0) 处的切线方程.

  4. 求曲线 y=\frac{1}{2}x^2 在点 (4,2) 处的切线方程.

5.2.2 导数的四则运算法则

在例2中,当$p_0=5$时,$p(t)=5 \times 1.05^t$.这时,求$p$关于$t$的导数可以看成求函数$f(t)=5$与$g(t)=1.05^t$乘积的导数.一般地,如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢?

探究 设f(x)=x^2, g(x)=x,计算$[f(x)+g(x)]'$与[f(x)-g(x)]',它们与$f'(x)$和$g'(x)$有什么关系?再取几组函数试试,上述关系仍然成立吗?由此你能想到什么?

设y=f(x)+g(x)=x^2+x,因为

 \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x+\Delta x)^2+(x+\Delta x)-(x^2+x)}{\Delta x} 
 = \frac{(\Delta x)^2+2x \cdot \Delta x+\Delta x}{\Delta x} 
 = \Delta x+2x+1,

所以

 [f(x)+g(x)]'=y'=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x+2x+1)=2x+1.

而

 f'(x)=(x^2)'=2x, g'(x)=x'=1,

所以

 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).

同样地,对于上述函数,$[f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)$. 一般地,对于两个函数$f(x)$和$g(x)$的和(或差)的导数,我们有如下法则:

 [f(x)\pm g(x)]'=f'(x)\pm g'(x).

例3 求下列函数的导数: (1) y=x^3-x+3; (2) y=2^x+\cos x.

解: (1) y'=(x^3-x+3)'

 =(x^3)'-(x)'+(3)' 
 =3x^2-1;

(2) y'=(2^x+\cos x)'

 =(2^x)'+(\cos x)' 
 =2^x \ln 2-\sin x.

? 思考

设 f(x)=x^2, g(x)=x, 计算 [f(x)g(x)]' 与 f'(x)g'(x), 它们是否相等? f(x) 与 g(x) 商的导数是否等于它们导数的商呢?

通过计算可知, [f(x)g(x)]' = (x^3)'=3x^2, f'(x)g'(x) = 2x \cdot 1=2x, 因此 [f(x)g(x)]' \neq f'(x)g'(x). 同样地, \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' 与 \frac{f'(x)}{g'(x)} 也不相等.

事实上, 对于两个函数 f(x) 和 g(x) 的乘积 (或商) 的导数, 我们有如下法则:

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} \quad (g(x) \neq 0).

由函数的乘积的导数法则可以得出 [cf(x)]'=c'f(x)+cf'(x)=cf'(x), 也就是说, 常数与函数的积的导数, 等于常数与函数的导数的积, 即 [cf(x)]'=cf'(x).

例4 求下列函数的导数: (1) y=x^3e^x; (2) y=\frac{2\sin x}{x^2}.

解: (1) $y'=(x^3e^x)'$ $\quad =(x^3)'e^x+x^3(e^x)'$ \quad =3x^2e^x+x^3e^x.

(2) $y'=\left(\frac{2\sin x}{x^2}\right)'$ $\quad =\frac{(2\sin x)'x^2-2\sin x(x^2)'}{(x^2)^2}$ $\quad =\frac{2x^2\cos x-4x\sin x}{x^4}$ \quad =\frac{2x\cos x-4\sin x}{x^3}.

例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加,已知将1t水净化到纯净度为 $x$%时所需费用(单位:元)为

c(x)=\frac{5284}{100-x} \quad (80<x<100).

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90%; (2) 98%.

解: 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。

$c'(x)=\left(\frac{5284}{100-x}\right)'$ $=\frac{5284' \times (100-x) - 5284 \times (100-x)'}{(100-x)^2}$ $=\frac{0 \times (100-x) - 5284 \times (-1)}{(100-x)^2}$ =\frac{5284}{(100-x)^2}

(1) 因为 $c'(90)=\frac{5284}{(100-90)^2}=52.84$，所以，净化到纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52.84元/吨。

(2) 因为 $c'(98)=\frac{5284}{(100-98)^2}=1321$，所以，净化到纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。

函数 f(x) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢。由上述计算可知，$c'(98)=25c'(90)$。它表示净化到纯净度为98%左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍。这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快。

练习

  1. 运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解5.1节例2。你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷?
  2. 求下列函数的导数: (1) y=2x^3-3x^2-4; (2) y=3\cos x+2^x; (3) y=e^x \ln x; (4) y=(x^2+2x)\sqrt{x}; (5) y=\frac{\ln x}{x}; (6) y=\tan x.
  3. 求曲线 y=x^2+\frac{3}{x} 在点 (1,4) 处的切线方程。

5.2.3 简单复合函数的导数

❓ 思考

如何求函数 y=\ln(2x-1) 的导数呢?

函数 y=\ln(2x-1) 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用现有的方法求它的导数。下面，我们先分析这个函数的结构特点。

若设 u=2x-1 (x > \frac{1}{2})，则 $y=\ln u$。从而 y=\ln(2x-1) 可以看成是由 y=\ln u 和 u=2x-1 (x > \frac{1}{2}) 经过“复合”得到的，即 y 可以通过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数。 如果把 y 与 u 的关系记作 $y=f(u)$，u 与 x 的关系记作 $u=g(x)$，那么这个“复合”过程可表示为

y=f(u)=f(g(x))=\ln(2x-1)

一般地，对于两个函数 y=f(u) 和 $u=g(x)$，如果通过中间变量 $u$，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u) 和 u=g(x) 的复合函数 (composite function)，记作 $y=f(g(x))$。

我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的，例如，函数 y=\ln(2x-1) 由 y=\ln u 和 u=2x-1 (x > \frac{1}{2}) 复合而成；又如，函数 y=\sin 2x 由 y=\sin u 和 u=2x 复合而成。 如何求复合函数的导数呢？我们先来研究 y=\sin 2x 的导数。 一个合理的猜想是，函数 y=\sin 2x 的导数一定与函数 $y=\sin u$，u=2x 的导数有关。 下面我们就来研究这种关系。 以 y'_x 表示 y 对 x 的导数，y'_u 表示 y 对 u 的导数，u'_x 表示 u 对 x 的导数。一方面，

y'_x=(\sin 2x)'=(2\sin x\cos x)'
=2[(\sin x)' \cdot \cos x+\sin x \cdot (\cos x)']
=2[\cos x \cdot \cos x+\sin x \cdot (-\sin x)]
=2(\cos^2x-\sin^2x)
=2\cos 2x

另一方面，$y'_u=(\sin u)'=\cos u$，$u'_x=(2x)'=2$。 可以发现，$y'_x=2\cos 2x=\cos u \cdot 2=y'_u \cdot u'_x$。

一般地，对于由函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合而成的函数 $y=f(g(x))$，它的导数与函数 $y=f(u)$，u=g(x) 的导数间的关系为

\boxed{y'_x=y'_u \cdot u'_x}

即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积。

例6 求下列函数的导数： (1) y=(3x+5)^3; (2) y=e^{-0.05x+1}; (3) y=\ln(2x-1).

解: (1) 函数 y=(3x+5)^3 可以看作函数 y=u^3 和 u=3x+5 的复合函数。根据复合函数的求导法则，有 $y_x' = y_u' \cdot u_x'$ $= (u^3)' \cdot (3x+5)'$ $= 3u^2 \times 3$ = 9(3x+5)^2.

(2) 函数 y=e^{-0.05x+1} 可以看作函数 y=e^u 和 u=-0.05x+1 的复合函数。根据复合函数的求导法则，有 $y_x' = y_u' \cdot u_x'$ $= (e^u)' \cdot (-0.05x+1)'$ $= -0.05e^u$ = -0.05e^{-0.05x+1}.

(3) 函数 y=\ln(2x-1) 可以看作函数 y=\ln u 和 u=2x-1(x > \frac{1}{2}) 的复合函数。根据复合函数的求导法则，有 $y_x' = y_u' \cdot u_x'$ $= (\ln u)' \cdot (2x-1)'$ $= \frac{1}{u} \times 2$ = \frac{2}{2x-1}.

例7 某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$(单位: mm)与时间 $t$(单位: s)之间的关系为 $y=18\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})$。求函数 y 在 t=3 s 时的导数，并解释它的实际意义。

解: 函数 y=18\sin(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2}) 可以看作函数 y=18\sin u 和 u=\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2} 的复合函数，根据复合函数的求导法则，有 $y_t' = y_u' \cdot u_t'$ $= (18\sin u)' \cdot (\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2})'$ $= 18\cos u \times \frac{2\pi}{3}$ = 12\pi\cos(\frac{2\pi}{3}t - \frac{\pi}{2}).

当 t=3 时，$y'=12\pi\cos(\frac{3\pi}{2})=0$。 它表示当 t=3 s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为 $0 \text{ mm/s}$。

练习

  1. 求下列函数的导数: (1) y=\frac{2}{\sqrt{3x+1}}; (2) y=(1-2x)^3; (3) y=\log_2(2x+1); (4) y=\cos \frac{x}{3}; (5) y=\sin\left(\frac{3\pi}{2}-3x\right); (6) y=2^{2x+1}.

  2. 求下列函数在给定点处的导数: (1) y=e^{-2x+1} 在 x=\frac{1}{2} 处的导数; (2) y=\ln(5x+2) 在 x=1 处的导数.

  3. 求曲线 y=\sqrt{3x-1} 在点 \left(\frac{2}{3}, 1\right) 处的切线方程.

习题 5.2

复习巩固

  1. 求下列函数的导数: (1) y=2x^3-3x^2+5; (2) y=\frac{2}{x}+\frac{4}{x+1}; (3) y=2^x+\log_2 x; (4) y=x^5 e^x; (5) y=\frac{x^3-1}{\sin x}; (6) y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}.

  2. 求下列函数的导数: (1) y=(x+1)^{99}; (2) y=\frac{x}{\sqrt{2x+1}}; (3) y=(2x-3)\sin(2x+5); (4) y=\frac{\cos(3x-2)}{2x}; (5) y=(3x+1)^2\ln(3x); (6) y=3^x e^{-3x}.

  3. 已知函数 f(x)=13-8x+\sqrt{2x^2} , 且 f'(x_0)=4, 求 x_0.

  4. 已知函数 y=x\ln x. (1) 求这个函数的导数; (2) 求这个函数的图象在点 (1,0) 处的切线方程.

  5. 求曲线 y=\frac{\sin x}{x} 在点 M(\pi, 0) 处的切线方程.

综合运用

  1. 已知函数 f(x) 满足 f(x)=f'\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin x-\cos x, 求 f(x) 在 x=\frac{\pi}{4} 处的导数.

  2. 设函数 f(x)=1-e^x 的图象与 x 轴相交于点 P, 求该曲线在点 P 处的切线方程.

  3. 已知函数 f(x)=\frac{x^2}{2}+2x-3\ln x, 求 f(x) 的导数, 并求出 f'(x)>0 的解集.

  1. 氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体。如果 500 \text{ g} 氡气经过 t 天散发后，剩余量为 $A(t)=500 \times 0.834^t \text{ g}$。 (1) 氡气的散发速度是多少？ (2) A'(7) 的值是多少（精确到 $0.1$）？它表示什么意义？

  2. 设某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的路程 $l$（单位：$\text{m}$）与时间 $t$（单位：$\text{s}$）之间的关系为 $l(t)=2t^2+\frac{3}{2}t$。 (1) 求 l 关于 t 的导数，并解释它的实际意义； (2) 当 t=3 \text{ s} 时，求运动员的滑雪速度； (3) 当运动员的滑雪路程为 38 \text{ m} 时，求此时的滑雪速度。

拓广探索

  1. 设曲线 y=e^{2ax} 在点 (0,1) 处的切线与直线 2x-y+1=0 垂直，求 a 的值。

  2. 请按步骤，完成下面的任务。 (1) 利用信息技术工具，分别画出 h=1, 0.5, 0.1, 0.05 时，函数 y=\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} 的图象。 (2) 画出函数 y=\cos x 的图象，并与上面的四个图象比较，当 h 越来越小时，你观察到了什么？ (3) 猜测 y=\sin x 的导数，它与基本初等函数的导数公式表中 \sin x 的导数公式一样吗？

  3. 某海湾拥有世界上最大的海潮。假设在该海湾某一固定点处，大海水深 $d$（单位：$\text{m}$）与午夜后的时间 $t$（单位：$\text{h}$）之间的关系为 $d(t)=10+4\cos\frac{\pi}{6}t$。求下列时刻此固定点的水位变化速度（精确到 $0.01 \text{ m/h}$）：

    [图片描述: 一片金色的沙滩，海浪轻柔地拍打着岸边，沙滩上有清晰的脚印。远景是蔚蓝的海水和远处的陆地。|标题: 海湾沙滩|图片编号: 图1]

    (1) 上午 $6:00$； (2) 上午 $10:00$； (3) 中午 $12:00$； (4) 下午 $4:00$。

探究与发现

牛顿法——用导数方法求方程的近似解

人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。牛顿（Isaac Newton, 1643—1727）在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用。

下面，我们看看如何求方程 \frac{1}{15}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + 2x - \frac{12}{5} = 0 的根。

从函数的观点看，方程 \frac{1}{15}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + 2x - \frac{12}{5} = 0 的根就是函数 f(x) = \frac{1}{15}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + 2x - \frac{12}{5}

\frac{3}{5}x^2+2x-\frac{12}{5} 的零点。从图形上看，一个函数的零点 r 就是函数 f(x) 的图象与 x 轴的交点的横坐标 (图1)。那么，如何求 r 的值呢？

如果可以找到一步一步逼近 r 的 $x_0, x_1, \dots, x_n$，使得当 n 很大时，|x_n-r| 很小，那么，我们就可以把 x_n 的值作为 r 的近似值，即把 x_n 作为方程 f(x)=0 的近似解。

牛顿用“作切线”的方法找到了这一串 $x_0, x_1, \dots, x_n$。当然，要有一个起始点，比如，我们从 x_0=6 开始。

[图片描述: 坐标系中绘制了一条三次函数 f(x) = \frac{1}{15}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + x - \frac{1}{5} 的曲线，它与 x 轴的交点标记为 $r$。从 x 轴上的初始点 x_0 开始，绘制了函数在该点处的切线，该切线与 x 轴的交点标记为 $x_1$。接着，从 x_1 处绘制切线，其与 x 轴的交点标记为 $x_2$。这个过程展示了切线法（牛顿法）如何通过连续逼近来找到函数零点 r 的近似值。|标题: 图1|图片1]

➊ 初始点当然是越接近零点越好，我们可以事先对零点作一个估计。如果使用信息技术工具，这种估计是比较容易的。

如图1，在横坐标为 x_0 的点处作 f(x) 的切线，切线与 x 轴交点的横坐标就是 $x_1$；用 x_1 代替 x_0 重复上面的过程得到 $x_2$；一直继续下去，得到 $x_0, x_1, \dots, x_n$。从图形上我们可以看到，x_1 较 x_0 接近 $r$，x_2 较 x_1 接近 $r$，等等，它们越来越逼近 $r$。接下来的任务是计算 $x_n$。我们知道，f(x) 在点 (x_0, f(x_0)) 处切线的斜率是 $f'(x_0)$，因此切线方程为

y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).

如果 $f'(x_0) \neq 0$，那么切线与 x 轴交点的横坐标是

x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}.

继续这个过程，就可以推导出如下求方程根的牛顿法公式: 如果 $f'(x_{n-1}) \neq 0$，那么

x_n=x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}.

➋ 请同学们自己推导。

对于一个给定的精确度，你能根据上述公式，求出方程 \frac{1}{15}x^3-\frac{3}{5}x^2+2x-\frac{12}{5}=0 的近似解吗？

进一步思考以下问题:

  1. 不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在什么地方？
  2. 你还知道其他求方程近似解的方法吗？你认为牛顿法的优点和缺点是什么？

5.3 导数在研究函数中的应用

在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质。在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化。能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题。

5.3.1 函数的单调性

我们先来研究前面学习过的跳水问题。

③ 思考

图5.3-1(1)是某跳水运动员的重心相对于水面的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t)=-4.9t^2+2.8t+11 的图象，图5.3-1(2)是跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t)=h'(t)=-9.8t+2.8 的图象。$a=\frac{2}{7}$，b 是函数 h(t) 的零点。

[图片描述: 包含两个坐标系中的函数图象。图(1)是一个以时间 t 为横轴、高度 h 为纵轴的抛物线，表示函数 $h(t)=-4.9t^2+...$。抛物线开口向下，从原点 O 开始上升，经过最高点后下降，与 t 轴相交于点 $b$。点 a 位于 O 和最高点之间，点 a 处有一条虚线垂直于 t 轴。图(2)是一个以时间 t 为横轴、速度 v 为纵轴的直线，表示函数 $v(t)=-9.8t+...$。这条直线从 t=0 时刻的正速度开始，斜率为负，与 t 轴相交于点 $a$。在点 b 处有一条虚线垂直于 t 轴。两图中的 t 轴上的点 O, a, b 相互对应，虚线连接了两个图象上对应时间点的垂直线。|标题: 图5.3-1|图片编号: 图1]

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？

观察图象可以发现： (1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加

而增加，即 h(t) 单调递增。相应地，$v(t)=h'(t)>0$。 (2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减小，即 h(t) 单调递减。相应地，$v(t)=h'(t)<0$。

? 思考 我们看到，函数 h(t) 的单调性与 h'(t) 的正负有内在联系，那么，我们能否由 h'(t) 的正负来判断函数 h(t) 的单调性呢？

对于上述跳水问题，可以发现： 当 t \in (0, a) 时，$h'(t)>0$，函数 h(t) 的图象是“上升”的，函数 h(t) 在 (0, a) 内单调递增； 当 t \in (a, b) 时，$h'(t)<0$，函数 h(t) 的图象是“下降”的，函数 h(t) 在 (a, b) 内单调递减。 这种情况是否具有一般性呢？

● 观察 观察下面一些函数的图象（图 5.3-2），探讨函数的单调性与导数的正负的关系。

[图片描述: 四个坐标系中绘制了四种基本函数的图象，用于说明函数单调性与导数正负的关系。 (1) 坐标系中绘制了直线 $y=x$，该函数在其定义域内单调递增。 (2) 坐标系中绘制了抛物线 $y=x^2$，在 x<0 时单调递减，在 x>0 时单调递增。 (3) 坐标系中绘制了三次函数 $y=x^3$，该函数在其定义域内单调递增。 (4) 坐标系中绘制了反比例函数 $y=\frac{1}{x}$，在 x<0 和 x>0 的两个区间内分别单调递减。|标题: 图5.3-2 常见函数图象|图片1]

如图 5.3-3，导数 f'(x_0) 表示函数 y=f(x) 的图象在点 (x_0, f(x_0)) 处的切线的斜率，可以发现： 在 x=x_0 处，$f'(x_0)>0$，切线是“左下右上”的上升式，函数 f(x) 的图象也是上升的，函数 f(x) 在 x=x_0 附近单调递增； 在 x=x_1 处，$f'(x_1)<0$，切线是“左上右下”的下降式，函数 f(x) 的图象也是下降的，函数 f(x) 在 x=x_1 附近单调递减。

[图片描述: 坐标系中绘制了一条曲线 y=f(x) 以及在该曲线上的两点 (x_0, f(x_0)) 和 (x_1, f(x_1)) 处的切线。 在点 (x_0, f(x_0)) 处绘制的切线具有正斜率，表示函数在该点附近单调递增。 在点 (x_1, f(x_1)) 处绘制的切线具有负斜率，表示函数在该点附近单调递减。 此图直观地展示了切线斜率（即导数）与函数单调性之间的关系。|标题: 图5.3-3 函数图象及其切线|图片2]

一般地,函数$f(x)$的单调性与导函数$f'(x)$的正负之间具有如下的关系:

  • 在某个区间$(a, b)$内,如果f'(x)>0,那么函数$y=f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增;
  • 在某个区间$(a, b)$内,如果f'(x)<0,那么函数$y=f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减.

? 如果在某个区间上恒有f'(x)=0,那么函数$f(x)$有什么特性?

例 1 利用导数判断下列函数的单调性: (1) f(x)=x^3+3x; (2) f(x)=\sin x-x, x \in (0, \pi); (3) f(x)=\frac{x-1}{x}.

解: (1) 因为f(x)=x^3+3x, 所以 f'(x)=3x^2+3=3(x^2+1)>0. 所以,函数$f(x)=x^3+3x$在$\mathbf{R}$上单调递增, 如图5.3-4(1)所示.

[图片描述:该图包含三个子图，展示了不同函数的图像。图(1)是函数$f(x)=x^3+3x$的图像，显示该函数在$\mathbf{R}$上单调递增，曲线通过原点，向左右两侧延伸。图(2)是函数$f(x)=\sin x-x$在区间$(0, \pi)$上的图像，显示该函数在该区间内单调递减，曲线从原点开始下降到$x=\pi$。图(3)是函数$f(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$的图像，显示该函数在$(-∞, 0)$和$(0, +∞)$上均单调递增，曲线有水平渐近线$y=1$和垂直渐近线$x=0$。|标题:图5.3-4|图1]

(2) 因为f(x)=\sin x-x, x \in (0, \pi), 所以 f'(x)=\cos x-1<0. 所以,函数$f(x)=\sin x-x$在$(0, \pi)$内单调递减, 如图5.3-4(2)所示.

(3) 因为f(x)=1-\frac{1}{x}, x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty), 所以 f'(x)=\frac{1}{x^2}>0. 所以,函数$f(x)=\frac{x-1}{x}$在区间$(-\infty, 0)$和$(0, +\infty)$上单调递增, 如图5.3-4(3)所示.

例 2 已知导函数$f'(x)$的下列信息: 当$1<x<4$时, f'(x)>0; 当x<1,或$x>4$时, f'(x)<0; 当x=1,或$x=4$时, f'(x)=0.

试画出函数$f(x)$图象的大致形状。

解：当$1 < x < 4$时，$f'(x) > 0$，可知 $f(x)$在区间 (1,4) 内单调递增； 当$x < 1$，或$x > 4$时，$f'(x) < 0$，可知 $f(x)$在区间 (-\infty, 1) 和 $(4, +\infty)$上都单调递减； 当$x = 1$，或$x = 4$时，$f'(x) = 0$，这两点比较特殊，我们称它们为“稳定点”. 综上，函数$f(x)$图象的大致形状如图 5.3-5 所示.

[图片描述: 描绘了函数 y=f(x) 的曲线图。曲线在 x=1 处有一个局部最小值，在 x=4 处有一个局部最大值。x 轴上标注了原点 O，1 和 4。y 轴上标注了 y。虚线从 x=1 和 x=4 处向上延伸至曲线，指示了这些关键点的 x 值。|标题: 图5.3-5|图片编号: 图1]

? 思考 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考在某个区间上单调的函数 y=f(x) 的平均变化率的几何意义与 $f'(x)$的正负的关系.

练习

  1. 判断下列函数的单调性: (1) f(x)=x^2-2x+4; (2) f(x)=e^{-x}-x.
  2. 利用导数讨论二次函数 f(x)=ax^2+bx+c 的单调区间.
  3. 函数 $y=f(x)$的图象如图所示,试画出函数 $y=f'(x)$在区间 (0,b) 内图象的大致形状.

[图片描述: 描绘了函数 y=f(x) 在区间 (0, b) 内的曲线图。曲线从 x=0 处开始，先上升后平缓。x 轴上标注了原点 O，a 和 b。y 轴上标注了 y。虚线从 x=a 和 x=b 处向上延伸至曲线。|标题: (第3题)|图片编号: 图2]

形如 f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a \neq 0) 的函数应用广泛,下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.

例3 求函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1 的单调区间.

解：函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+1 的定义域为 R. 对 $f(x)$求导数,得 f'(x)=x^2-x-2=(x+1)(x-2). 令 f'(x)=0,解得 x=-1,或x=2. x=-1 和x=2 把函数定义域划分成三个区间,$f'(x)$在各区间上的正负,以及 $f(x)$的单调性如表 5.3-1 所示.

表 5.3-1

x (-\infty, -1) -1 (-1, 2) 2 (2, +\infty)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 f(-1)=\frac{13}{6} 单调递减 f(2)=-\frac{7}{3} 单调递增

所以，f(x) 在 (-\infty, -1) 和 (2, +\infty) 上单调递增，在 (-1, 2) 内单调递减，如图 5.3-6 所示。

[图片描述: 坐标系中绘制了函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-2x+\frac{13}{6} 的图像。图像在点 (-1, \frac{13}{6}) 处有一个局部最大值，在点 (2, -\frac{7}{3}) 处有一个局部最小值。函数图像从左下方上升至局部最大值，然后下降至局部最小值，再继续上升。右侧有一个提示框。|标题: 图 5.3-6|图片编号: 1]

如果不用导数的方法，直接运用单调性的定义，你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？

一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数 y=f(x) 的单调性: 第 1 步，确定函数的定义域； 第 2 步，求出导数 f'(x) 的零点； 第 3 步，用 f'(x) 的零点将 f(x) 的定义域划分为若干个区间，列表给出 f'(x) 在各区间上的正负，由此得出函数 y=f(x) 在定义域内的单调性。

探究

研究对数函数 y=\ln x 与幂函数 y=x^3 在区间 (0, +\infty) 上增长快慢的情况。

对数函数 y=\ln x 的导数为 y'=\frac{1}{x} > 0 （$x \in (0, +\infty)$），所以 y=\ln x 在区间 (0, +\infty) 上单调递增。当 x 越来越大时，y'=\frac{1}{x} 越来越小，所以函数 y=\ln x 递增得越来越慢，图象上升得越来越 “平缓”（如图 5.3-7(1)）。

[图片描述: 包含两个坐标系的图。图 (1) 描绘了一条在第一象限内、通过点 (1,0) 并向上平缓增长的曲线，曲线上方标注有 $y=x$（与文本中讨论的 y=\ln x 有所出入）。图 (2) 描绘了一条在第一和第三象限内、通过点 (1,1) 向上快速增长的曲线，标注为 $y=x^3$。|标题: 图 5.3-7|图片编号: 2]

幂函数 y=x^3 的导数为 y'=3x^2>0 (x \in (0, +\infty)), 所以 y=x^3 在区间 (0, +\infty) 上单调递增。当 x 越来越大时，y'=3x^2 越来越大，函数 y=x^3 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图 5.3-7(2)）。

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”。

例 4 设 $x>0, f(x)=\ln x, g(x)=1-\frac{1}{x}$，两个函数的图象如图 5.3-8 所示。判断 f(x), g(x) 的图象与 C_1, C_2 之间的对应关系。

解：因为 $f(x)=\ln x, g(x)=1-\frac{1}{x}$，所以 $f'(x) = \frac{1}{x}, g'(x) = \frac{1}{x^2}$。 当 x=1 时，$f'(x)=g'(x)=1$； 当 0<x<1 时，$g'(x)>f'(x)>1$； 当 x>1 时，$0<g'(x)<f'(x)<1$。 所以，f(x), g(x) 在 (0, +\infty) 上都是增函数。在区间 (0,1) 内，g(x) 的图象比 f(x) 的图象要“陡峭”；在区间 (1, +\infty) 上，g(x) 的图象比 f(x) 的图象要“平缓”。 所以，f(x), g(x) 的图象依次是图 5.3-8 中的 $C_2, C_1$。

[图片描述: 坐标系中，x轴和y轴交于原点O。有两条曲线C1和C2。C1和C2都从x接近0处开始，并向右上方延伸。它们大约在x=1处相交。在区间(0,1)内，C2比C1增长更快，更“陡峭”。在区间(1,+∞)内，C1比C2增长更快，更“陡峭”，尽管C2的y值始终高于C1。C1代表对数函数y=lnx的形状，C2代表函数y=1-1/x的形状。|标题:图5.3-8 两个函数的图像|图片1]

练习

  1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: (1) $f(x)=3x-x^3$； (2) f(x)=x^3-x^2-x.
  2. 证明函数 f(x)=2x^3-6x^2+7 在区间 (0,2) 内单调递减。
  3. 函数 y=f'(x) 的图象如图所示，试画出函数 y=f(x) 图象的大致形状。

[图片描述: 坐标系中，x轴和y轴交于原点O。曲线上标出了a, b, c, d, e点在x轴上。函数y=f'(x)的图象从O点开始是一段水平线，在x=a处有一个转折点，然后下降，在x=b处与x轴相交。从x=b到x=d，图象呈现一个U形，最低点在x=c处（x轴下方），并在x=d处再次与x轴相交。从x=d到x=e，图象再次上升。|标题: 第3题图|图片2]

5.3.2 函数的极值与最大(小)值

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

  1. 函数的极值

观察图1，我们发现，当 t=a 时，跳水运动员距水面的高度最大。那么，函数 h(t) 在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？

[图片描述: 一张描述跳水运动员高度随时间变化的函数图。横轴表示时间 $t$，纵轴表示高度 $h$。曲线从原点 O 开始上升，达到最高点后下降。最高点对应的横坐标为 $a$。在 t=b 处，显示了一条斜率向下的切线。|标题: 图5.3-9|图片编号: 图1]

放大 t=a 附近函数 h(t) 的图象，如图2。可以看出，$h'(a)=0$；在 t=a 的附近，当 t<a 时，函数 h(t) 单调递增，$h'(t)>0$；当 t>a 时，函数 h(t) 单调递减，$h'(t)<0$。这就是说，在 t=a 附近，函数值先增（当 t<a 时，$h'(t)>0$）后减（当 t>a 时，$h'(t)<0$）。这样，当 t 在 a 的附近从小到大经过 a 时，h'(t) 先正后负，且 h'(t) 连续变化，于是有 $h'(a)=0$。

[图片描述: 一张函数 h(t) 在其最高点 t=a 附近的放大图像。横轴为 $t$，纵轴为 $h$。曲线在 t=a 处达到最高点，并在此处有一条水平切线，表明 $h'(a)=0$。在 t<a 的区域，曲线单调递增，标注为“单调递增 $h'(t)>0$”；在 t>a 的区域，曲线单调递减，标注为“单调递减 $h'(t)<0$”。一条虚线垂直于 t 轴穿过 $t=a$。|标题: 图5.3-10|图片编号: 图2]

对于一般的函数 $y=f(x)$，是否也有同样的性质呢？

探究

如图3，函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x) 在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？

[图片描述: 一张一般函数 y=f(x) 的曲线图，显示了多个局部极大值和局部极小值。横轴为 $x$，纵轴为 $y$。函数曲线在 x=a 处有局部极小值，在 x=b 处有局部极大值，在 x=c 处有局部极小值，在 x=d 处有局部极大值，在 x=e 处有局部极小值。一个放大图（虚线圆圈）显示了 x=a 附近的区域，突出其局部极小值的特性。|标题: 图5.3-11|图片编号: 图3]

以 x=a, b 两点为例，可以发现，函数 y=f(x) 在点 x=a 处的函数值 f(a) 比它在点 x=a 附近其他点处的函数值都小，$f'(a)=0$；而且在点 x=a 附近的左侧 $f'(x)<0$，

右侧 $f'(x)>0$。类似地，函数 y=f(x) 在点 x=b 处的函数值 f(b) 比它在点 x=b 附近其他点处的函数值都大，$f'(b)=0$；而且在点 x=b 附近的左侧 $f'(x)>0$，右侧 $f'(x)<0$。 我们把 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点，f(a) 叫做函数 y=f(x) 的极小值；b 叫做函数 y=f(x) 的极大值点，f(b) 叫做函数 y=f(x) 的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值 (extremum)。 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质。

例5 求函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 的极值。

解：因为 $f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4$，所以 $f'(x)=x^2-4=(x+2)(x-2)$。 令 $f'(x)=0$，解得 $x=-2$，或 $x=2$。 当 x 变化时，$f'(x)$，f(x) 的变化情况如表 5.3-2 所示。

表 5.3-2

x (-\infty, -2) -2 (-2, 2) 2 (2, +\infty)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 \frac{28}{3} 单调递减 -\frac{4}{3} 单调递增

因此，当 x=-2 时，f(x) 有极大值，并且极大值为 $f(-2)=\frac{28}{3}$； 当 x=2 时，f(x) 有极小值，并且极小值为 $f(2)=-\frac{4}{3}$。

思考 极大值一定大于极小值吗？

函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 的图象如图 5.3-12 所示。

[图片描述: 描绘了函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 的图像。图中显示了在 x=-2 处的一个局部极大值点和在 x=2 处的一个局部极小值点，并用虚线标出了这些点的 x 坐标。坐标轴上标有 x, y 和原点 O。|标题: 图5.3-12 函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 的图像|图片1]

思考

导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

导数值为$0$的点不一定是函数的极值点。例如，对于函数$f(x)=x^3$，我们有$f'(x)=3x^2$。虽然$f'(0)=0$，但由于无论$x>0$，还是$x<0$，恒有$f'(x)>0$，即函数$f(x)=x^3$是增函数，所以$0$不是函数$f(x)=x^3$的极值点。一般地，函数$y=f(x)$在一点处的导数值为$0$是函数$y=f(x)$在这点取极值的必要条件，而非充分条件。

一般地，可按如下方法求函数$y=f(x)$的极值： 解方程$f'(x)=0$，当$f'(x_0)=0$时： (1) 如果在$x_0$附近的左侧$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$，那么$f(x_0)$是极大值； (2) 如果在$x_0$附近的左侧$f'(x)<0$，右侧$f'(x)>0$，那么$f(x_0)$是极小值。

练习

  1. 函数$f(x)$的导函数$y=f'(x)$的图象如图所示，试找出函数$f(x)$的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点。 [图片描述: 描绘了函数$y=f'(x)$在区间$[a, b]$上的图象。图象显示$f'(x)$的符号变化。在$x_1, x_3, x_5$处，$f'(x)$从正变负，表明$f(x)$在这些点取得极大值。在$x_2, x_4, x_6$处，$f'(x)$从负变正，表明$f(x)$在这些点取得极小值。图象穿过$x$轴的点依次为$x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$。|标题: 第1题的导函数图象|图片编号: 1]

  2. 求下列函数的极值： (1) f(x)=6x^2-x-2; (2) f(x)=x^3-27x; (3) f(x)=6+12x-x^3; (4) $f(x)=3x-x^3$。

2. 函数的最大(小)值

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，也就是说，如果$x_0$是函数$y=f(x)$的极大(小)值点，那么在$x=x_0$附近找不到比$f(x_0)$更大(小)的值。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。如果$x_0$是某个区间上函数$y=f(x)$的最大(小)值点，那么$f(x_0)$不小(大)于函数$y=f(x)$在此区间上的所有函数值。

图5. 3-13是函数$y=f(x)$，$x \in [a,b]$的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ [图片描述: 描绘了函数$y=f(x)$在闭区间$[a, b]$上的图象。图象显示了多个局部极值点：在$x_1, x_3, x_5$处有局部极小值；在$x_2, x_4, x_6$处有局部极大值。在整个区间$[a, b]$上，函数在$x_6$处取得最大值，在$x_1$处取得最小值（从视觉上看）。|标题: 函数$y=f(x)$的图象 (图5.3-13)|图片编号: 2]

观察图象，我们发现，$f(x_1), f(x_3), f(x_5)$是函数$y=f(x)$的极小值，$f(x_2), f(x_4), f(x_6)$是函数$y=f(x)$的极大值。

探究

进一步地,你能找出函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的最小值、最大值吗?

从图 5.3-13 可以看出,函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的最小值是 f(x_3), 最大值是 $f(a)$。

在图 5.3-14、图 5.3-15 中,观察 [a,b] 上的函数 y=f(x) 和 y=g(x) 的图象,它们在 [a,b] 上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么?

[图片描述: 这是一个笛卡尔坐标系，X轴和Y轴上绘制了一条从点 (a, f(a)) 到点 (b, f(b)) 的直线，表示函数 $y=f(x)$。直线通过原点 $O$。 a 在负X轴上，b 在正X轴上。虚线表示 f(a) 和 f(b) 的函数值。|标题: 图 5.3-14|图1]

[图片描述: 这是一个笛卡尔坐标系，X轴和Y轴上绘制了一条在区间 [a,b] 内连续的波浪形曲线，表示函数 $y=f(x)$。曲线在 x_1 和 x_3 附近有局部最大值，在 x_2 和 x_4 附近有局部最小值。虚线表示在 a, x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, b 处的函数值。原点 O 也被标记。|标题: 图 5.3-15|图2]

一般地,如果在区间 [a,b] 上函数 y=f(x) 的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

结合图 5.3-14、图 5.3-15,以及函数极值中的例子,不难看出,只要把函数 y=f(x) 的所有极值连同端点的函数值进行比较,就可以求出函数的最大值与最小值.

例6 求函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 在区间 [0,3] 上的最大值与最小值.

解: 由例 5 可知,在区间 [0,3] 上,当 x=2 时,函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 有极小值,并且极小值为 f(2)=-\frac{4}{3}.

又由于 f(0)=4, f(3)=1,

[图片描述: 这是一个笛卡尔坐标系，X轴和Y轴上绘制了函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 在区间 [0,3] 上的曲线。曲线从 (0,4) 开始下降，在 (2, -\frac{4}{3}) 处达到局部最小值，然后上升到 $(3,1)$。X轴上标记了1、2、3，Y轴上标记了4。虚线指示了 x=2 处的函数值。|标题: 图 5.3-16|图3]

所以,函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 在区间 [0,3] 上的最大值是 4, 最小值是 -\frac{4}{3}.

上述结论可以从函数 f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+4 在区间 [0,3] 上的图象 (图 5.3-16) 得到直观验证.

一般地,求函数 y=f(x) 在区间 [a,b] 上的最大值与最小值的步骤如下:

(1) 求函数$y=f(x)$在区间$(a, b)$内的极值; (2) 将函数$y=f(x)$的各极值与端点处的函数值$f(a), f(b)$比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

观察例4中的图5.3-8, 我们发现, 当$x>0$时,

1 - \frac{1}{x} \le \ln x \quad \text{①}

怎样证明这个结论呢? 我们将不等式①转化为

\frac{1}{x} - 1 + \ln x \ge 0.

设s(x) = \frac{1}{x} - 1 + \ln x, 那么

s'(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x^2}.

令s'(x)=0, 解得 x=1. 当$x$变化时, $s'(x), s(x)$的变化情况如表 5.3-3 所示.

表 5.3-3

x (0, 1) 1 (1, +\infty)
s'(x) - 0 +
s(x) 单调递减 0 单调递增

所以, 当$x=1$时, $s(x)$取得最小值, 所以

s(x) \ge s(1)=0,

即

\frac{1}{x} - 1 + \ln x \ge 0.

所以, 当$x>0$时, 1 - \frac{1}{x} \le \ln x.

练习

  1. 参考求函数极值的练习, 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: (1) f(x)=6x^2-x-2, x \in [0, 2]; (2) f(x)=x^3-27x, x \in [-4, 4]; (3) f(x)=6+12x-x^3, x \in [-\frac{1}{3}, 3]; (4) f(x)=3x-x^3, x \in [2, 3].
  2. 证明不等式: x-1 \ge \ln x, x \in (0, +\infty).

下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题。

例7 给定函数f(x)=(x+1)e^x. (1) 判断函数$f(x)$的单调性,并求出 $f(x)$的极值; (2) 画出函数$f(x)$的大致图象; (3) 求出方程$f(x)=a(a \in \mathbf{R})$的解的个数.

解： (1) 函数的定义域为R. $f'(x)=(x+1)'e^x+(x+1)(e^x)'$ $=e^x+(x+1)e^x$ =(x+2)e^x. 令f'(x)=0,解得x=-2. f'(x), $f(x)$的变化情况如表 5.3-4 所示.

表 5.3-4

x (-\infty,-2) -2 (-2,+\infty)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 -\frac{1}{e^2} 单调递增

所以,$f(x)$在区间$(-\infty,-2)$上单调递减,在区间$(-2,+\infty)$上单调递增. 当$x=-2$时,$f(x)$有极小值 f(-2)=-\frac{1}{e^2}.

(2) 令f(x)=0,解得x=-1. 当$x<-1$时,$f(x)<0$;当$x>-1$时,$f(x)>0$. 所以,$f(x)$的图象经过特殊点A(-2, -\frac{1}{e^2}), B(-1,0), C(0, 1). 当$x\to-\infty$时,与一次函数相比,指数函数$y=e^{-x}$呈爆炸性增长,从而f(x)=\frac{x+1}{e^{-x}}\to 0; 当$x\to+\infty$时,$f(x)\to+\infty, f'(x)\to+\infty$. 根据以上信息,我们画出$f(x)$的大致图象如图5.3-17所示.

[图片描述: 描绘函数$f(x)=(x+1)e^x$图像的笛卡尔坐标系。横轴表示$x$，纵轴表示$y$。图像从左下方逐渐趋近于$y=0$，在$x=-2$处达到极小值点$(-2, -\frac{1}{e^2})$（约$(-2, -0.135)$），然后递增，在$x=-1$处与$x$轴相交于点$(-1,0)$，在$x=0$处与$y$轴相交于点$(0,1)$，随后继续呈指数增长。图像上标注了极小值点$(-2, -\frac{1}{e^2})$、$x$轴截距$(-1,0)$、和$y$轴截距$(0,1)$。|标题:函数$f(x)=(x+1)e^x$的图像|图片1]

(3) 方程$f(x)=a (a\in \mathbf{R})$的解的个数为函数$y=f(x)$的图象与直线 y=a 的交点个数.

由(1)及图 5.3-17 可得, 当$x=-2$时, $f(x)$有最小值 f(-2)=-\frac{1}{e^2}. 所以, 关于方程 $f(x)=a (a\in \mathbf{R})$的解的个数有如下结论:

  • 当$a<-\frac{1}{e^2}$时, 解为0个;
  • 当$a=-\frac{1}{e^2}$或$a\ge 0$时, 解为1个;
  • 当$-\frac{1}{e^2}<a<0$时, 解为2个.

由例7可见, 函数$f(x)$的图象直观地反映了函数$f(x)$的性质, 通常, 可以按如下步骤画出函数$f(x)$的大致图象: (1) 求出函数$f(x)$的定义域; (2) 求导数 $f'(x)$及函数$f'(x)$的零点; (3) 用$f'(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间, 列表给出 $f'(x)$在各区间上的正负, 并得出 $f(x)$的单调性与极值; (4) 确定 $f(x)$的图象所经过的一些特殊点, 以及图象的变化趋势; (5) 画出 $f(x)$的大致图象.

下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用.

问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1) 你是否注意过, 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? (2) 是不是饮料瓶越大, 饮料公司的利润越大?

例8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子的制造成本是$0.8\pi r^2$分, 其中$r$(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每出售$1$mL 的饮料, 制造商可获利$0.2$分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为$6$cm. (1) 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大? (2) 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利润最小?

解: 由题意可知, 每瓶饮料的利润是

y=f(r)=0.2\times\frac{4}{3}\pi r^3-0.8\pi r^2 =0.8\pi\left(\frac{r^3}{3}-r^2\right), \quad 0<r\le 6.

所以

f'(r)=0.8\pi(r^2-2r).

令$f'(r)=0$，解得r=2. 当$r \in (0,2)$时，$f'(r)<0$；当$r \in (2,6)$时，f'(r)>0. 因此，当半径$r>2$时，$f'(r)>0$，$f(r)$单调递增，即半径越大，利润越高；当半径$r<2$时，$f'(r)<0$，$f(r)$单调递减，即半径越大，利润越低. (1) 半径为$6 \text{ cm}$时，利润最大. (2) 半径为$2 \text{ cm}$时，利润最小，这时 $f(2)<0$，表示瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数$f(r)$的图象(图5.3-18)上观察，你有什么发现? 从图象上容易看出，当$r=3$时，$f(3)=0$，即瓶子的半径是$3 \text{ cm}$时，瓶内饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当$r>3$时，$f(r)>0$，利润为正值. 当$r \in (0,2)$时，$f(r)$单调递减，你能解释它的实际意义吗? 通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题. 请同学们自己作出回答.

[图片描述: 函数$f(r)=\pi(\frac{r^3}{3}-r^2)$的图像，y轴和r轴构成坐标系，曲线从原点(O)出发，先下降到局部最小值点（在r=2附近），然后上升，并与r轴在r=3处再次相交。r轴上标记了点O、2、3。|标题:图5.3-18|图1]

练习

  1. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证: \sin x < x, x \in (0, \pi).
  2. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为a \text{ m}^2. 为使所用材料最省，圆的直径应为多少?

[图片描述: 一个由下方矩形和上方半圆组成的几何图形。矩形内部有一条水平虚线。此图是问题2的示意图。|标题:(第2题)|图2]

复习巩固

习题 5.3

  1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: (1) f(x)=-2x+1; (2) f(x)=x+\cos x, x \in (0, \frac{\pi}{2}); (3) f(x)=2x-4; (4) f(x)=2x^2+4x.
  2. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间: (1) f(x)=x^2+2x-4; (2) f(x)=2x^2-3x+3; (3) f(x)=3x+x^3; (4) f(x)=x^3+x^2-x.
  1. 如图，已知汽车在笔直的公路上行驶。 (1) 如果 y=f(t) 表示时刻 t 时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于 0 的点； (2) 如果 y=f(t) 表示时刻 t 时汽车的速度，那么 (1) 中标出点的意义是什么？

[图片描述: 坐标系中，横轴为 $t$，纵轴为 $y$。一条蓝色曲线代表函数 y=f(t) 的图像。曲线从原点O开始，先上升，然后下降，再上升，呈现出波浪形，包含局部极大值和局部极小值点。|标题: y=f(t) 函数图像|图1]

(第 3 题)

[图片描述: 坐标系中，横轴为 $x$，纵轴为 $y$。一条蓝色曲线代表函数 y=f'(x) 的图像。横轴上标记有 x_1, x_2, O, x_3, x_4, x_5 等点。x_1, x_2, x_4 处有垂直虚线。曲线在 x_1 附近达到局部最小值，在 x_2 附近达到局部最大值，在 x_4 附近达到局部最小值。曲线与 x 轴交于 x_3 和 $x_5$。|标题: y=f'(x) 导函数图像|图2]

(第 4 题)

  1. 导函数 y=f'(x) 的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 (1) 导函数 y=f'(x) 有极大值？ (2) 导函数 y=f'(x) 有极小值？ (3) 函数 f(x) 有极大值？ (4) 函数 f(x) 有极小值？

  2. 求下列函数的极值: (1) f(x)=6x^2+x+2; (2) f(x)=x^3-12x; (3) f(x)=6-12x+x^3; (4) f(x)=48x-x^3.

  3. 参照第 5 题，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值: (1) f(x)=6x^2+x+2, x \in [-1,1]; (2) f(x)=x^3-12x, x \in [-3,3]; (3) f(x)=6-12x+x^3, x \in \left[-\frac{1}{3},1\right]; (4) f(x)=48x-x^3, x \in [-3,5].

综合运用

  1. 将一条长为 l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？

  2. 将一个边长为 a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x 的小正方形，做成一个无盖方盒。 (1) 试把方盒的容积 V 表示为 x 的函数； (2) x 多大时，方盒的容积 V 最大？

  3. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测量 n 次得到的数据为: a_1,a_2, a_3,\dots,a_n. 记这 n 个数据的平均值为 $\bar{x}$，即 \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i. 证明: 当 x=\bar{x} 时，函数 $f(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (a_i-x)^2$ 取得最小值。

  1. 已知某商品的生产成本$C$与产量$q$之间的关系为$C=100+4q$，单价$p$与产量$q$之间的关系为$p=25-\frac{1}{8}q$。产量$q$为何值时，利润最大？

  2. 已知某商品进价为 a 元/件，根据以往经验，当售价是b(b \ge \frac{4}{3}a) 元/件时，可卖出 c 件。市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%。现决定一次性降价，售价为多少时，可获得最大利润？

  3. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (1) e^x>1+x, x \neq 0; (2) \ln x<x<e^x, x>0.

拓广探索

  1. 利用信息技术工具，根据给定的$a, b, c, d$的值， 可以画出函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a \neq 0)$ 的图象。当$a=-4, b=1, c=5, d=-1$时，$f(x)$的图象如图所示。改变$a, b, c, d$的值，观察图象的形状： (1) 你能归纳函数$f(x)$图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？ (2) 运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间。

[图片描述: 一个笛卡尔坐标系中的三次函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d 的图像。图像右侧列出了部分系数：a=-4.0, $d=-1$，同时公式显示为 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。x轴从-5延伸到5，y轴从-4延伸到6。曲线显示出三次函数典型特征：从左上向右下延伸，在x轴附近有两个明显的转折点，分别形成一个局部最大值（约在$x=0.5, y=2$）和一个局部最小值（约在$x=-1, y=-2$）。这与文本中给出的$a=-4, b=1, c=5, d=-1$时的图像形状相符。|标题: 第13题|图片编号: 图1]

信息技术应用

图形技术与函数性质

信息技术发展到今天，图形计算器、计算机软件的图形技术功能已经非常强大。函数作图和分析功能是图形技术的一个重要方面，主要包括：

  1. 由函数 f(x) 的解析式直接画出其图象；
  2. 移动光标，显示函数 f(x) 图象上任一点的坐标；
  3. 由函数 f(x) 的解析式及其图象求出其导函数 $f'(x)$，并画出其图象；
  4. 显示并求出经过函数 f(x) 图象上某点切线的斜率和切线的方程；
  5. 求出并显示函数 f(x) 的零点和极值点；
  6. 对函数 f(x) 图象的局部进行放大和缩小；
  7. 求出函数 f(x) 在定义域内某个闭区间上的最大值与最小值。

图1、图2展示了上述部分功能。

[图片描述: 笛卡尔坐标系中绘制了两条函数曲线。一条是三次函数 $f(x)=-4x^3+x^2+5x-1$（粉色曲线），另一条是其导函数 $f'(x)=-12x^2+2x+5$（蓝色曲线）。图中标注了点 (1,1)，展示了函数及其导数的图像关系，可用于观察函数性质。|标题: 图1|图片编号: 1]

[图片描述: 一个图形计算器或数学软件界面的截图。左侧的代数区显示了函数表达式（例如 f(x) = -4x^3 和其导函数 $f'(x) = -12x$）、一个点A的坐标 (0.89, 1.42) 和一条直线方程 $a: y = -2.77x + 3$。右侧的绘图区显示了一条抛物线和其上一点的切线。工具栏中高亮显示了“切线”功能，展示了软件提供绘制函数、导数和切线等图形分析功能。|标题: 图2|图片编号: 2]

图形计算器和计算机软件提供的函数作图和分析功能，对我们把握函数的性质有重要的帮助：一方面，通过画出函数的图象，对图象进行观察和分析，并作出猜想和发现，从而探讨函数的性质；另一方面，用导数研究函数的性质后，可用图形技术进行直观验证，两者相辅相成。

文献阅读与数学写作*

微积分的创立与发展

17世纪中叶,数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件,那就是微积分的诞生.

微积分的创立有深刻的时代背景,从欧洲文艺复兴时期到17世纪上半叶,社会、经济、科学、贸易、航运等的发展,对数学提出了新的要求,紧接着函数概念的引入,微积分应运而生,这是继欧氏几何后数学史上最伟大的创造.微积分的创立不仅是数学思想史上的里程碑,也是科学思想史上的里程碑.

微积分是如何创立的?又是如何发展的?它在数学史和人类社会的发展中起了什么作用?请你按以下要求,查阅与微积分有关的文献,自己选题,写一份研究报告或一篇数学小论文.

一、主题

  1. 微积分创立与发展的过程.
  2. 微积分对人类文明的主要贡献.

二、实施建议

  1. 选题:根据个人兴趣,围绕主题,初步确定选题范围.
  2. 分组:将相近选题的5~6人分为一个小组,确定一名组长.
  3. 分配任务:根据个人的具体情况,经小组共同商议,由组长确定每人的具体任务.
  4. 搜集资料:针对具体的研究报告或论文题目,通过网络、书店、图书馆等多种途径搜集素材,包括文字、图片、数据以及音像资料,并记录相关资料.
  5. 素材汇总:用研究报告或论文的形式展现小组的实践成果.
  6. 在全班范围内进行交流、讨论和总结.

三、参考选题

  1. 微积分创立的背景与过程.
  2. 微积分的完善与发展.
  3. 微积分创立与发展的过程中,作出重要贡献的数学家以及他们的主要贡献.
  4. 微积分在数学思想史和科学思想史上的价值.

小结

一、本章知识结构

graph LR
    A["导数的概念\n及其意义"] --> B["导数的运算"]
    B --> C["导数在研究函数中的应用"]

    A --> D["导数的概念"]
    A --> E["导数的几何意义"]

    subgraph 概念的抽象来源
        G1[平均速度] --> G2[瞬时速度]
        H1[割线斜率] --> H2[切线斜率]
    end
    G2 -- 抽象 --> D
    H2 -- 抽象 --> D

    B --> I[导数公式]
    B --> J[基本初等函数的导数]
    B --> K[导数的四则运算法则]
    B --> L[简单复合函数的导数]

    C --> M[函数的单调性]
    C --> N[函数的极大(小)值]

二、回顾与思考

在本章, 我们通过丰富的实际背景, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程, 得到导数的概念及其几何意义, 在此基础上给出导数的运算法则, 进而运用导数研究函数的单调性、极值和最大(小)值等性质, 并利用导数解决简单的实际问题.

导数是关于瞬时变化率的数学表达, 客观世界中大量的变化率问题都可以用导数加以刻画, 导数的几何意义直观地反映了函数的局部变化情况, 学习时应注意体会导数的内涵与思想, 并体会极限的思想.

对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究, 其中函数的增减, 以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题. 导数简明地回答了这些问题: 由 f'(x) 的正负可知函数 f(x) 是增还是减, 由 f'(x) 绝对值的大小可知函数变化得急剧还是平缓, 不仅如此, 导数也是研究函数极值问题从而解决优化问题的一种通法. 导数定量地刻画了函数的局部变化规律, 是研究函数性质的基本工具. 利用导数研究函数的性质, 思路清晰, 步骤明确, 既快捷又易于掌握, 学习时应通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用, 体会导数的意义.

请你带着下面的问题, 复习一下全章内容吧.

  1. 平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系? 有人说, “导数就是瞬时变化率”, 对此你有什么认识?
  2. 你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗?

复习参考题5

复习巩固

  1. 已知点$P$和点$Q$是曲线$y=x^2-2x-3$上的两点,且点$P$的横坐标是1,点$Q$的横坐标是4.求: (1) 割线$PQ$的斜率; (2) 点$P$处的切线方程.
  2. 求下列函数的导数: (1) y=2x \tan x; (2) y=2^x \ln x; (3) y=(x-2)^3 (3x+1)^2; (4) y=\frac{x^2}{(2x+1)^3}; (5) y=e^{-2x+1} \cos(-x^2+x); (6) y=\frac{\sin 2x}{\sqrt{x}}.
  3. 已知函数$y=f(x)$的图象是下列四个图象之一,且其导函数$y=f'(x)$的图象如图所示,则该函数的图象是( ). [图片描述: 图中包含五个函数图象。上方第一个图象显示了导函数$y=f'(x)$的曲线，它是一个开口向下的抛物线，与x轴交于$x=-1$和$x=1$两点，顶点位于y轴正半轴上。下方的四个图象分别是选项(A)、(B)、(C)、(D)对应的函数$y=f(x)$的图象： (A)图象显示函数先递减（在$x<-1$），再递增（在$-1<x<1$），然后递减（在$x>1$）。在$x=-1$处有局部极小值，在$x=1$处有局部极大值。 (B)图象显示函数先递增（在$x<-1$），再递减（在$-1<x<1$），然后递增（在$x>1$）。在$x=-1$处有局部极大值，在$x=1$处有局部极小值。 (C)图象显示函数整体递增，在$x=0$附近有一个拐点（或鞍点）。 (D)图象显示函数整体递减，在$x=0$附近有一个拐点（或鞍点）。|标题:第3题图|图片1]
  4. 求下列曲线在给定点处的切线方程: (1) y=x-\frac{1}{x}, (1, 0); (2) y=\frac{e^{2x-1}}{x^2}, (\frac{1}{2}, 4).
  5. 一个距地心距离为r,质量为$m$的人造卫星,与地球之间的万有引力$F$由公式$F=\frac{GMm}{r^2}$给出,其中$M$为地球质量,$G$为引力常量.求$F$对于$r$的瞬时变化率.
  6. 一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里,它的温度会逐渐下降,温度$T$(单位:℃)与时间$t$(单位:min)之间的关系由函数$T=f(t)$给出. (1) 判断$f'(t)$的正负,并说明理由. (2) $f'(3)=-4$的实际意义是什么?如果f(3)=65 ℃,你能画出函数$f(t)$在$t=3$时图象的大致形状吗?
  7. 求函数$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$的单调区间.
  1. 已知函数f(x)=x^2+px+q, 试确定$p,q$的值, 使得当$x=1$时, $f(x)$有最小值4.
  2. 已知函数$f(x)=x(x-c)^2$在$x=2$处有极大值, 求$c$的值.
  3. 如图, 过点$P(1,1)$作直线AB, 分别与$x$轴的正半轴、$y$轴的正半轴交于点A,B. 当直线$AB$在什么位置时, $\triangle AOB$的面积最小? 最小面积是多少?

[图片描述:一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y。直线AB通过点R(1,1)（即P(1,1)），与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点。原点为O。|标题:第10题示意图|图1]

综合运用

  1. 如图, 直线$l$和圆P, 当$l$从$l_0$开始在平面上按逆时针方向绕点$O$匀速转动 (转动角度不超过90^\circ) 时, 它扫过的圆内阴影部分的面积$S$是时间$t$的函数, 这个函数的图象大致是 ( ).

[图片描述:一个圆，圆心为P，圆内有一条直线$l_0$（初始位置）和一条直线$l$（旋转后的位置）。$l$由$l_0$逆时针绕点O旋转而来，形成了一个在圆内的阴影区域，表示扫过的面积S。|标题:第11题示意图|图2]

(A) [图片描述:一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为S。S随t线性增加，起点(0,0)。|标题:选项A的S-t关系图|图3]

(B) [图片描述:一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为S。S随t增加，曲线向上凸起，表示增速加快，起点(0,0)。|标题:选项B的S-t关系图|图4]

(C) [图片描述:一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为S。S随t增加，曲线向下凹陷，表示增速减缓，起点(0,0)。|标题:选项C的S-t关系图|图5]

(D) [图片描述:一个直角坐标系，横轴为t，纵轴为S。S随t增加，曲线呈S形，表示增速先加快后减缓，起点(0,0)。|标题:选项D的S-t关系图|图6]

  1. 当室内的有毒细菌开始增加时, 就要使用杀菌剂. 刚开始使用的时候, 细菌数量还会继续增加, 随着时间的增加, 它增加的幅度逐渐变小, 到一定时间, 细菌数量开始减少. 已知使用杀菌剂t h后的细菌数量为b(t)=10^5+10^4t-10^3t^2. (1) 求细菌数量在$t=5$与$t=10$时的瞬时变化率. (2) 细菌数量在哪段时间增加, 在哪段时间减少? 为什么?
  2. 已知曲线$y=x+\ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y=ax^2+(2a+3)x+1$只有一个公共点, 求$a$的值.
  3. 用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m, 那么高为多少时容器的容积最大? 最大容积是多少?
  4. 用半径为$R$的圆形铁皮剪出一个圆心角为$\alpha$的扇形, 制成一个圆锥形容器. 扇形的圆心角$\alpha$为多大时, 容器的容积最大?

拓广探索

  1. 已知$A, B$两地的距离是130 km. 根据交通法规, 两地之间的公路车速应限制在50 \sim 100 km/h. 假设油价是$7$元/L, 以x km/h的速度行驶时, 汽车的耗油率为(3+\frac{x^2}{360}) L/h, 司机每小时的工资是$35$元, 那么最经济的车速是多少 (精确到1 km/h)? 如果不考虑其他费用, 这次行车的总费用是多少 (精确到$1$元)?
  2. 作函数$y=\frac{e^x(2x-1)}{x-1}$的大致图象.
  3. 已知函数f(x)=e^x-\ln(x+m), 当$m \le 2$时, 求证f(x)>0.
  4. 已知函数f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^{-x}. (1) 讨论$f(x)$的单调性; (2) 若$f(x)$有两个零点, 求$a$的取值范围.

部分中英文词汇索引

中文 英文 页码
数列 sequence of number 3
等差数列 arithmetic progression 13
公差 common difference 13
等差中项 arithmetic mean 13
等比数列 geometric progression 28
公比 common ratio 28
等比中项 geometric mean 28
数学归纳法 mathematical induction 46
瞬时速度 instantaneous velocity 60
导数 derivative 65
切线 tangent line 67
导函数 derived function 69
复合函数 composite function 79
极值 extremum 91

后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准(□年版)》编写的，□年经国家教材委员会专家委员会审核通过。

本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了□年版《普通高中课程标准实验教科书•数学(A版)》的编写经验，凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集体智慧。本书插图绘制为王俊宏。

我们感谢□年版《普通高中课程标准实验教科书•数学(A版)》的主编刘绍学，副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员，我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。

本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品(包括照片、画作)的作者进行了联系，得到了他们的大力支持，对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作者与我们联系，以便及时支付稿酬。

本册教科书投入使用后，我们根据各方意见作了修订，真诚希望广大师生和家长继续提出宝贵意见！

联系方式 电话: □8 电子邮箱: □

人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心

[图片描述: 页面顶部中央位置，以具有艺术感的手写体、深绿色呈现的“人民教育出版社”字样，作为该教育出版社的视觉标识。|标题: 人民教育出版社标识|图片编号: 图1]

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人民教育出版社

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[图片描述: 页面背景为青绿色渐变，上半部分有浅色V字形纹理。左上角有一个白色圆圈内含双手捧植物的R商标图样。左下角是“中国环境标识”的绿色圆形标志，下方标注“绿色印刷产品”。页面右侧边缘显示部分米色横线纸张的图案，并被几个灰色矩形块覆盖。右下角显示ISBN号978-7-107-34597-5及其条形码。|标题: 产品认证与出版信息|图片编号: 1]