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# 第十章
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# 概率
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通过上一章的学习可知，许多实际问题都可以用数据分析的方法解决，即通过随机抽样收集数据，再选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的信息，估计总体的统计规律，进而解决相应的问题。从中可以看到，用样本推断总体，当样本量较小时，每次得到的结果往往不同；但如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律。例如，每天你从家到学校需要的时间（精确到分）不能预知；如果你记录一周，会发现每天所用的时间各不相同；如果在一个月或一学期内记录下每次所用的时间，通过数据分析你会发现，所用的时间具有相对稳定的分布规律。又如，从装有一些白球和红球的袋子中随机摸出一个，事先不能确定它的颜色；有放回地重复摸取多次，记录摸到的球的颜色，从记录的数据中就能发现一些规律，例如红球和白球的大概比例，进而就能知道每次摸出红球、白球的可能性大概是多少等等。这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性。这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象。
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概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇。本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力。
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[图片描述:图片展示了一个用于演示随机现象的摇奖机，其透明球体中包含大量标有数字的黄色球（如18, 32, 42, 43, 57, 59, 61, 92, 99等）。摇奖机下方散落着一些不同颜色的（红、蓝、绿、白、黄）带数字的球（如2, 3, 5, 6, 19, 20, 54, 59, 62等），以及三个骰子，其中两个白色骰子分别显示点数1和6，一个紫色骰子显示点数3和6。这张图片形象地展示了概率论中涉及的随机抽样和事件发生的随机性，是本章内容的视觉引入。|标题:摇奖机与骰子：随机现象的示例|图片1]
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## 10.1 随机事件与概率
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在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率。本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质。
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### 10.1.1 有限样本空间与随机事件
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研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果。例如，将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数；记录某地区7月份的降雨量；等等。
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我们把对随机现象的实现和对它的观察称为**随机试验** (random trial)，简称试验，常用字母 $E$ 表示。我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
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(1) 试验可以在相同条件下重复进行；
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(2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
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(3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果。
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> ❓ **思考**
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> 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号 $0, 1, 2, \dots, 9$ 的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码。这个随机试验共有多少种可能结果？如何表示这些结果？
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观察球的号码，共有10种可能结果。用数字 $m$ 表示“摇出的球的号码为 $m$”这一结果，那么所有可能结果可用集合表示为 $\left\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\}$。
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我们把随机试验 $E$ 的每个可能的基本结果称为**样本点**，全体样本点的集合称为试验 $E$ 的**样本空间** (sample space)。
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一般地，我们用 $\Omega$ 表示样本空间，用 $\omega$ 表示样本点。在本书中，我们只讨论 $\Omega$ 为有限集的情况。如果一个随机试验有 $n$ 个可能结果 $\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n$，则称样本空间 $\Omega = \left\{\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_n\right\}$ 为**有限样本空间**。有了样本点和样本空间的概念，
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> 奥地利数学家米泽斯
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> (Richard von Mises, 1883—
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> 1953)在1928年引进了样
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> 本空间的概念。
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念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了。
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**例1** 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。
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**解:** 因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为 $\Omega=\{\text{正面朝上,反面朝上}\}$, 如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间 $\Omega=\{\text{h, t}\}$.
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**例2** 抛掷一枚骰子(tóuzi)，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间。
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**解:** 用$i$表示朝上面的“点数为$i$”. 因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$.
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**例3** 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间。
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**解:** 掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用$x$表示，第二枚硬币可能的基本结果用$y$表示，那么试验的样本点可用$(x,y)$表示。于是，试验的样本空间
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$\Omega=\{\text{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}\}$.
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如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为 $\Omega=\{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0,0)\}$.
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[图片描述:一个树状图，用于表示抛掷两枚硬币的试验结果。图的左侧是起始点，代表第一次抛掷。从起始点分出两条分支：第一条分支向上延伸，标注为“第一枚 1”，表示第一枚硬币正面朝上；第二条分支向下延伸，标注为“第一枚 0”，表示第一枚硬币反面朝上。
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从“第一枚 1”的分支点，再次分出两条子分支，代表第二次抛掷：
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1. 向上延伸的分支标注为“第二枚 1”，代表第二枚硬币正面朝上，形成结果(1,1)。
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2. 向下延伸的分支标注为“第二枚 0”，代表第二枚硬币反面朝上，形成结果(1,0)。
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从“第一枚 0”的分支点，也分出两条子分支，代表第二次抛掷：
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1. 向上延伸的分支标注为“第二枚 1”，代表第二枚硬币正面朝上，形成结果(0,1)。
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2. 向下延伸的分支标注为“第二枚 0”，代表第二枚硬币反面朝上，形成结果(0,0)。
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整个树状图清晰地展示了抛掷两枚硬币的所有四种可能结果。|标题:图10.1-1|图片编号:1]
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如图 10.1-1 所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程。
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> **? 思考**
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> 在体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗？摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件？如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系？
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显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件，我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A 发生等价于摇出的号码属于集合 $\{1,3,5,7,9\}$. 因此可以用样本空间 $\Omega=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$的子集 $\{1,3,5,7,9\}$表示随机事件 A. 类似地，可以用样本空间的子集 $\{0,3,6,9\}$表示随机事件“球的号码为3的倍数”.
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一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 为了叙述方便，我们将样本空间 $\Omega$的子集称为**随机事件**(*random event*)，简称**事件**，并把只包含一个样本点的事件称为**基本事件**(*elementary event*). 随机事件一般用大写字母 A,B,C,…表示. 在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为**事件A发生**.
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$\Omega$ 作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以$\Omega$总会发生，我们称$\Omega$为**必然事件**，而空集$\emptyset$不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称$\emptyset$为**不可能事件**。必然事件与不可能事件不具有随机性。为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样，每个事件都是样本空间$\Omega$的一个子集。
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**例 4** 如图10.1-2，一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效。把这个电路是否为通路看作一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常。
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[图片描述:一个包含三个电器元件A、B、C的电路图。元件A与并联的元件B和C串联，然后连接到一个电池和一个开关。方框A、B、C分别代表三个电器元件。|标题:图10.1-2|图片编号:1]
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(1) 写出试验的样本空间；
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(2) 用集合表示下列事件:
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$M$=“恰好两个元件正常”；
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$N$=“电路是通路”；
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$T$=“电路是断路”.
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**解**：(1) 分别用$x_1, x_2$和$x_3$表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用$(x_1, x_2, x_3)$表示。进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间
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$\Omega=\{(0,0,0), (1, 0, 0), (0,1,0), (0, 0, 1), \\ (1,1,0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)\}.$
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如图10.1-3，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果。
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```mermaid
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graph TD
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subgraph 元件 A
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A_root(" ")
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end
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subgraph 元件 B
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B_level
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end
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subgraph 元件 C
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C_level
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end
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subgraph 可能结果
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R_level
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end
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A_root --- A0(0)
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A_root --- A1(1)
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A0 --- B00(0)
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A0 --- B01(1)
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A1 --- B10(0)
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A1 --- B11(1)
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B00 --- C000(0) --> R000("000")
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B00 --- C001(1) --> R001("001")
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B01 --- C010(0) --> R010("010")
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B01 --- C011(1) --> R011("011")
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B10 --- C100(0) --> R100("100")
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B10 --- C101(1) --> R101("101")
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B11 --- C110(0) --> R110("110")
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B11 --- C111(1) --> R111("111")
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% Invisible nodes to organize levels in subgraphs
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class A_root B_level C_level R_level hidden;
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classDef hidden fill:#fff,stroke:#fff,opacity:0;
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```
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[图片描述:一个展示试验所有可能结果的树状图。从“元件A”开始，分支为0和1。每个分支再细分为“元件B”的0和1，接着是“元件C”的0和1。最终得到8种组合（000、001、010、011、100、101、110、111），代表电路中A、B、C三个元件的正常（1）或失效（0）状态。|标题:图10.1-3|图片编号:2]
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(2) “恰好两个元件正常”等价于$(x_1, x_2, x_3) \in \Omega$，且$x_1, x_2, x_3$中恰有两个为1,
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所以
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$M=\{(1,1,0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)\}.$
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“电路是通路”等价于$(x_1, x_2, x_3) \in \Omega$, $x_1=1$, 且$x_2, x_3$中至少有一个是1, 所以
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$N=\{(1,1,0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)\}.$
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同理，“电路是断路”等价于$(x_1, x_2, x_3) \in \Omega$, $x_1=0$, 或$x_1=1$, $x_2=x_3=0$. 所以
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$T=\{(0,0,0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), \\ (1, 0, 0)\}.$
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## 练习
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1. 写出下列各随机试验的样本空间:
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(1) 采用抽签的方式, 随机选择一名同学, 并记录其性别;
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(2) 采用抽签的方式, 随机选择一名同学, 观察其 $ABO$ 血型;
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(3) 随机选择一个有两个小孩的家庭, 观察两个孩子的性别;
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(4) 射击靶3次, 观察各次射击中靶或脱靶情况;
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(5) 射击靶3次, 观察中靶的次数.
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2. 如图, 由 $A$, $B$ 两个元件分别组成串联电路 (图 (1)) 和并联电路 (图 (2)), 观察两个元件正常或失效的情况.
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[图片描述: 包含两个电路图。左侧图 (1) 描绘了一个串联电路：电源、开关和元件 $A$ 和 $B$ 依次连接。右侧图 (2) 描绘了一个并联电路：电源、开关和元件 $A$ 和 $B$ 并列连接在两条支路上。这两个电路图共同构成了问题2的配图。|标题: 图1: 串联和并联电路示例|图1]
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(1) 写出试验的样本空间;
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(2) 对串联电路, 写出事件 $M=$“电路是通路”包含的样本点;
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(3) 对并联电路, 写出事件 $N=$“电路是断路”包含的样本点.
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3. 袋子中有9个大小和质地相同的球, 标号为 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$, 从中随机摸出一个球.
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(1) 写出试验的样本空间;
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(2) 用集合表示事件 $A=$“摸到球的号码小于5”, 事件 $B=$“摸到球的号码大于4”, 事件 $C=$“摸到球的号码是偶数”.
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### 10.1.2 事件的关系和运算
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从前面的学习中可以看到, 我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件, 这些事件有的简单, 有的复杂. 我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率, 所以需要研究事件之间的关系和运算.
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> **探究**
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> 在掷骰子试验中, 观察骰子朝上面的点数, 可以定义许多随机事件, 例如:
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> $C_i=$“点数为 $i$”, $i=1,2,3,4,5,6$;
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> $D_1=$“点数不大于3”; $D_2=$“点数大于3”;
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> $E_1=$“点数为1或2”; $E_2=$“点数为2或3”;
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> $F=$“点数为偶数”; $G=$“点数为奇数”;
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> ......
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> 你还能写出这个试验中其他一些事件吗? 请用集合的形式表示这些事件, 借助集合与集合的关系和运算, 你能发现这些事件之间的联系吗?
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事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法。下面我们按照这一思路展开研究。
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1. 用集合的形式表示事件 $C_1$=“点数为1”和事件 $G$=“点数为奇数”，它们分别是 $C_1=\{1\}$ 和 $G=\{1, 3, 5\}$。
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显然，如果事件 $C_1$ 发生，那么事件 $G$ 一定发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 $\{1\} \subseteq \{1, 3, 5\}$，即 $C_1 \subseteq G$。这时我们说事件 $G$ **包含**事件 $C_1$。
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一般地，若事件 $A$ 发生，则事件 $B$ 一定发生，我们就称事件 $B$ **包含**事件 $A$ (或事件 $A$ **包含于**事件 $B$)，记作 $B \supseteq A$ (或 $A \subseteq B$)。可以用图 10.1-4 表示。
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[图片描述:维恩图，显示了样本空间 $\Omega$。事件 $B$ 是 $\Omega$ 的一个子集，事件 $A$ 是事件 $B$ 的一个子集。$A$ 完全包含在 $B$ 中，表明事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 的发生，这是事件包含关系的可视化。|标题:图10.1-4|图1]
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特别地，如果事件 $B$ 包含事件 $A$，事件 $A$ 也包含事件 $B$，即 $B \supseteq A$ 且 $A \supseteq B$，则称事件 $A$ 与事件 $B$ **相等**，记作 $A=B$。
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2. 用集合的形式表示事件 $D_1$=“点数不大于3”、事件 $E_1$=“点数为1或2”和事件 $E_2$=“点数为2或3”，它们分别是 $D_1=\{1, 2, 3\}$，$E_1=\{1,2\}$ 和 $E_2=\{2,3\}$。
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可以发现，事件 $E_1$ 和事件 $E_2$ 至少有一个发生，相当于事件 $D_1$ 发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 $\{1,2\} \cup \{2,3\}=\{1,2,3\}$，即 $E_1 \cup E_2 = D_1$。这时我们称事件 $D_1$ 为事件 $E_1$ 和事件 $E_2$ 的**并事件**。
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一般地，事件 $A$ 与事件 $B$ 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 $A$ 中，或者在事件 $B$ 中，我们称这个事件为事件 $A$ 与事件 $B$ 的**并事件** (**或和事件**)，记作 $A \cup B$ (或 $A+B$)。可以用图 10.1-5 中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件。
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[图片描述:维恩图，显示了样本空间 $\Omega$ 内的两个重叠事件 $A$（绿色）和 $B$（黄色）。整个绿色区域和黄色区域（包括重叠部分）共同表示事件 $A$ 和事件 $B$ 的并集 $A \cup B$，即至少一个事件发生的情况，例如在抛掷骰子中点数属于 $E_1$ 或 $E_2$ 的情况。|标题:图10.1-5|图2]
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3. 事件 $C_2$=“点数为2”可以用集合的形式表示为 $C_2=\{2\}$。
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可以发现，事件 $E_1$=“点数为1或2”和事件 $E_2$=“点数为2或3”同时发生，相当于事件 $C_2$ 发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 $\{1,2\} \cap \{2,3\}=\{2\}$，即 $E_1 \cap E_2 = C_2$。我们称事件 $C_2$ 为事件 $E_1$ 和 $E_2$ 的**交事件**。
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一般地，事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 $A$ 中，也在事件 $B$ 中，我们称这样的一个事件为事件 $A$ 与事件 $B$ 的**交事件** (**或积事件**)，记作 $A \cap B$ (或 $AB$)。可以用图 10.1-6 中的蓝色区域表示这个交事件。
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[图片描述:维恩图，显示了样本空间 $\Omega$ 内的两个重叠事件 $A$ 和 $B$。事件 $A$ 和事件 $B$ 的重叠区域（即它们的交集 $A \cap B$）被蓝色高亮显示，表示两个事件同时发生的情况，例如在抛掷骰子中点数既属于 $E_1$ 又属于 $E_2$ 的情况。|标题:图10.1-6|图3]
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4. 用集合的形式表示事件 $C_3$=“点数为3”和事件 $C_4$=“点数为4”,它们分别是 $C_3=\{3\}, C_4=\{4\}$。
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显然,事件 $C_3$ 与事件 $C_4$ 不可能同时发生,用集合的形式表示这种关系,就是 $\{3\} \cap \{4\}=\emptyset$,即 $C_3 \cap C_4=\emptyset$,这时我们称事件 $C_3$ 与事件 $C_4$ 互斥。
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一般地,如果事件 $A$ 与事件 $B$ 不能同时发生,也就是说 $A \cap B$ 是一个不可能事件,即 $A \cap B=\emptyset$,则称事件 $A$ 与事件 $B$ **互斥**(或**互不相容**),可以用图 10.1-7 表示这两个事件互斥。
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[图片描述:一个维恩图，显示了一个更大的矩形区域表示样本空间 $\Omega$，内部包含两个不相交的圆形区域 $A$ 和 $B$。区域 $A$ 为浅绿色，区域 $B$ 为浅橙色。这两个区域之间没有重叠，表明事件 $A$ 和 $B$ 不能同时发生，即它们是互斥事件。|标题:图 10.1-7|图片编号:1]
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5. 用集合的形式表示事件 $F$=“点数为偶数”、事件 $G$=“点数为奇数”,它们分别是 $F=\{2,4,6\}, G=\{1, 3, 5\}$。
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在任何一次试验中,事件 $F$ 与事件 $G$ 两者只能发生其中之一,而且也必然发生其中之一,事件之间的这种关系,用集合的形式可以表示为 $\{2,4,6\} \cup \{1,3,5\}=\{1, 2, 3,4,5,6\}$,即 $F \cup G=\Omega$,且 $\{2,4,6\} \cap \{1, 3, 5\}=\emptyset$,即 $F \cap G=\emptyset$。此时我们称事件 $F$ 与事件 $G$ 互为对立事件,事件 $D_1$ 与 $D_2$ 也有这种关系。
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一般地,如果事件 $A$ 和事件 $B$ 在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 $A \cup B=\Omega$,且 $A \cap B=\emptyset$,那么称事件 $A$ 与事件 $B$ **互为对立**。事件 $A$ 的对立事件记为 $\bar{A}$,可以用图 10.1-8 表示。
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[图片描述:一个维恩图，显示了一个矩形区域表示样本空间 $\Omega$，内部包含一个圆形区域 $A$（浅绿色）及其补集 $\bar{A}$（浅蓝色）。区域 $A$ 和 $\bar{A}$ 完全覆盖了样本空间 $\Omega$，且它们之间没有重叠。这表示事件 $A$ 和其对立事件 $\bar{A}$ 是互为对立的。|标题:图 10.1-8|图片编号:2]
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综上所述,事件的关系或运算的含义,以及相应的符号表示如下(表 10.1-1):
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**表 10.1-1**
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| 事件的关系或运算 | 含义 | 符号表示 |
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| :--------------- | :--------------------- | :------------------------- |
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| 包含 | $A$ 发生导致 $B$ 发生 | $A \subset B$ |
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| 并事件(和事件) | $A$ 与 $B$ 至少一个发生 | $A \cup B$ 或 $A+B$ |
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| 交事件(积事件) | $A$ 与 $B$ 同时发生 | $A \cap B$ 或 $AB$ |
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| 互斥(互不相容) | $A$ 与 $B$ 不能同时发生 | $A \cap B = \emptyset$ |
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| 互为对立 | $A$ 与 $B$ 有且仅有一个发生 | $A \cap B =\emptyset, A \cup B=\Omega$ |
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类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件,例如,对于三个事件 $A, B, C$, $A \cup B \cup C$ (或 $A+B+C$)发生当且仅当 $A, B, C$ 中至少一个发生,$A \cap B \cap C$ (或 $ABC$)发生当且仅当 $A, B, C$ 同时发生,等等。
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**例 5** 如图 10.1-9,由甲、乙两个元件组成一个并联电路,每个元件可能正常或失效,设事件 $A$=“甲元件正常”, $B$=“乙元件正常”.
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[图片描述:一个并联电路图。电路包含一个电池、一个开关和两个并联的元件，分别标记为“甲”和“乙”。元件“甲”和“乙”都在各自的支路中，两支路并联后与电池和开关串联形成一个完整回路。|标题:图 10.1-9|图片编号:3]
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(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间;
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(2) 用集合的形式表示事件 $A, B$ 以及它们的对立事件;
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(3) 用集合的形式表示事件 $A \cup B$ 和事件 $\bar{A} \cap \bar{B}$, 并说明它们的含义及关系.
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**分析**：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成, 所以可以用数组 $(X_1, X_2)$ 表示样本点, 这样, 确定事件 $A, B$ 所包含的样本点时, 不仅要考虑甲元件的状态, 还要考虑乙元件的状态.
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**解**：(1) 用 $X_1, X_2$ 分别表示甲、乙两个元件的状态, 则可以用 $(X_1, X_2)$ 表示这个并联电路的状态. 以 $1$ 表示元件正常, $0$ 表示元件失效, 则样本空间为 $\Omega = \{(0,0),(0, 1), (1,0), (1, 1)\}$.
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(2) 根据题意, 可得
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$A = \{(1,0), (1, 1)\}$, $B = \{(0, 1), (1, 1)\}$,
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$\bar{A} = \{(0,0), (0,1)\}$, $\bar{B} = \{(0, 0), (1,0)\}$.
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(3) $A \cup B = \{(0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$, $A \cap B = \{(0,0)\}$; $A \cup B$ 表示电路工作正常, $\bar{A} \cap \bar{B}$ 表示电路工作不正常; $A \cup B$ 和 $A \cap B$ 互为对立事件.
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**例6** 一个袋子中有大小和质地相同的 $4$ 个球, 其中有 $2$ 个红色球 (标号为 $1$ 和 $2$), $2$ 个绿色球 (标号为 $3$ 和 $4$), 从袋中不放回地依次随机摸出 $2$ 个球. 设事件 $R_1=$“第一次摸到红球”, $R_2=$“第二次摸到红球”, $R=$“两次都摸到红球”, $G=$“两次都摸到绿球”, $M=$“两个球颜色相同”, $N=$“两个球颜色不同”.
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(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
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(2) 事件 $R$ 与 $R_1$, $R$ 与 $G$, $M$ 与 $N$ 之间各有什么关系?
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(3) 事件 $R$ 与事件 $G$ 的并事件与事件 $M$ 有什么关系? 事件 $R_1$ 与事件 $R_2$ 的交事件与事件 $R$ 有什么关系?
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**解**：(1) 所有的试验结果如图 10.1-10 所示. 用数组 $(X_1, X_2)$ 表示可能的结果, $X_1$ 是第一次摸到的球的标号, $X_2$ 是第二次摸到的球的标号, 则试验的样本空间
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[图片描述:一张图表展示了从编号为1、2（红色）和3、4（绿色）的4个球中不放回地随机摸出2个球的所有可能结果。每个结果表示为一个有序对$(x_1, x_2)$，其中$x_1$为第一次摸出的球的编号，$x_2$为第二次摸出的球的编号。图中以颜色圆圈区分球的编号，红色代表1和2，绿色代表3和4。例如，图中的第一行显示了（1,2）、（1,3）、（1,4），第二行显示了（2,1）、（2,3）、（2,4）等结果。共有12种结果。|标题:图 10.1-10|图片编号:1]
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$\Omega = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4,3)\}$.
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事件 $R_1=$“第一次摸到红球”, 即 $X_1=1$ 或 $2$, 于是
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$R_1 = \{(1,2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)\}$;
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事件 $R_2=$“第二次摸到红球”, 即 $X_2=1$ 或 $2$, 于是
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$R_2 = \{(2,1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (3, 2), (4,2)\}$.
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同理, 有
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$R = \{(1,2), (2, 1)\}$,
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$G = \{(3,4), (4,3)\}$,
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$M=\{(1,2), (2, 1), (3, 4), (4,3)\},$
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$N=\{(1,3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)\}.$
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(2) 因为$R \subseteq R_1$，所以事件 $R_1$ 包含事件$R$;
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因为$R \cap G = \emptyset$，所以事件 $R$ 与事件$G$ 互斥;
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因为$M \cup N = \Omega$, $M \cap N = \emptyset$，所以事件 $M$ 与事件 $N$ 互为对立事件.
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(3) 因为$R \cup G = M$，所以事件$M$是事件$R$与事件$G$的并事件;
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因为$R_1 \cap R_2 = R$，所以事件$R$是事件$R_1$与事件$R_2$的交事件.
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## 练习
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1. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是 ( )。
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(A)至多一次中靶 (B)两次都中靶
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(C)只有一次中靶 (D)两次都没有中靶
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2. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件:
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$C_i$ =“点数为$i$”,其中$i=1, 2, 3, 4, 5, 6$;
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$D_1$ =“点数不大于2”, $D_2$ =“点数大于2”, $D_3$ =“点数大于4”;
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$E$=“点数为奇数”, $F$=“点数为偶数”.
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判断下列结论是否正确.
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(1) $C_1$ 与 $C_2$ 互斥; (2) $C_2$, $C_3$ 为对立事件; (3) $C_3 \subseteq D_2$;
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(4) $D_3 \subseteq D_2$; (5) $D_1 \cup D_2 = \Omega$, $D_1 \cap D_2 = \emptyset$; (6) $D_3 = C_5 \cup C_6$;
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(7) $E = C_1 \cup C_3 \cup C_5$; (8) $E,F$ 为对立事件; (9) $D_2 \cup D_3 = D_2$;
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(10) $D_2 \cap D_3 = D_3$.
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## 10.1.3 古典概型
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研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的**概率** (probability)，事件 $A$ 的概率用$P(A)$表示.
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我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢?
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> **? 思考**
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>
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> 在10.1.1节中，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的共同特征有哪些?
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>
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> 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性，可以发
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现，它们具有如下共同特征：
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(1) 有限性：样本空间的样本点只有有限个；
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(2) 等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
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我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为**古典概率模型**，简称**古典概型**。
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下面我们就来研究古典概型。
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> **❓ 思考**
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>
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> 考虑下面两个随机试验，如何度量事件 $A$ 和事件 $B$ 发生的可能性大小？
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> (1) 一个班级中有18名男生、22名女生。采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件 $A$=“抽到男生”；
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> (2) 抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件 $B$=“恰好一次正面朝上”。
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对于问题(1)，班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型。
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抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小，因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量。显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件 $A$ =“抽到男生”包含18个样本点，因此，事件 $A$ 发生的可能性大小为 $\frac{18}{40} = \frac{9}{20}$。
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对于问题(2)，我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间
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$$\Omega = \{(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 0, 0)\},$$
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共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型。
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事件 $B$ 发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量。因为 $B=\{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}$，所以事件 $B$ 发生的可能性大小为 $\frac{3}{8}$。
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一般地，设试验 $E$ 是古典概型，样本空间 $\Omega$ 包含 $n$ 个样本点，事件 $A$ 包含其中的 $k$ 个样本点，则定义事件 $A$ 的概率
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$$P(A) = \frac{k}{n} = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$$
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其中，$n(A)$ 和 $n(\Omega)$ 分别表示事件 $A$ 和样本空间 $\Omega$ 包含的样本点个数。
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> * 法国数学家拉普拉斯(P.-S. Laplace, 1749—1827)在1812年把该式作为概率的一般定义，现在我们称它为概率的古典定义。
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**例7** 单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从 A, B, C, D 四个选项中选择一个正确答案，如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
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**解:** 试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为 $\Omega = \{A, B, C, D\}$。考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型。设 $M$=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以 $n(M) = 1$。所以，考生随机选择一个答案，答对的概率
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$P(M) = \frac{1}{4}$.
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? **思考**
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在标准化考试中也有多选题，多选题是从A, B, C, D 四个选项中选出所有正确的答案(四个选项中至少有两个选项是正确的)。你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？
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**例8** 抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和II号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。
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(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型;
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(2)求下列事件的概率:
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A =“两个点数之和是5”;
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B=“两个点数相等”;
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C=“I号骰子的点数大于II号骰子的点数”.
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**解:** (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与II号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果。用数字 $m$ 表示 I 号骰子出现的点数是 $m$，数字 $n$ 表示 II 号骰子出现的点数是 $n$，则数组$(m, n)$表示这个试验的一个样本点。因此该试验的样本空间
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$\Omega =\{(m, n)| m,n \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$,
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其中共有36个样本点.
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由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
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(2)因为$A=\{(1, 4), (2, 3), (3, 2),(4,1)\}$, 所以 $n(A)=4$, 从而
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$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$;
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因为$B=\{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6,6)\}$, 所以 $n(B) = 6$, 从而
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$P(B) = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
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因为
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$C = \{(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5,3), (5, 4), (6, 1), (6, 2), (6,3), (6,4), (6,5)\}$,
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所以 $n(C)=15$, 从而
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$P(C) = \frac{n(C)}{n(Ω)} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.
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> ❓ **思考**
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>
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> 在例8中, 为什么要把两枚骰子标上记号? 如果不给两枚骰子标记号, 会出现什么情况? 你能解释其中的原因吗?
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如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子, 如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点. 这样, $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 的结果将无法区别.
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当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间 $Ω₁ = \{(m,n)|m, n ∈ \{1, 2, 3, 4, 5,6\}, 且m≤n\}$, 则 $n(Ω₁)=21$. 其中, 事件 $A$ = “两个点数之和是5”的结果变为
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$A=\{(1,4),(2,3)\}$, 这时 $P(A)=\frac{2}{21}$.
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> ❓ **思考**
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>
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> 同一个事件的概率, 为什么会出现两个不同的结果呢?
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可以发现, 36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时, $(1,1)$ 和 $(1,2)$ 发生的可能性大小不等, 这不符合古典概型特征, 所以不能用古典概型公式计算概率, 因此 $P(A)=\frac{2}{21}$ 是错误的.
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> ⓘ **归纳**
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>
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> 求解古典概型问题的一般思路:
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> (1) 明确试验的条件及要观察的结果, 用适当的符号(字母、数字、数组等) 表示试验的可能结果 (借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);
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> (2) 根据实际问题情境判断样本点的等可能性;
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> (3) 计算样本点总个数及事件 $A$ 包含的样本点个数, 求出事件 $A$ 的概率.
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**例9** 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球, 从中不放回地依次随机摸出2个球, 求下列事件的概率:
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(1) $A$=“第一次摸到红球”;
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(2) $B$=“第二次摸到红球”;
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(3) $AB$=“两次都摸到红球”.
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**解:** 将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5. 第一次摸球时有5种等可能的结果,对应第一次摸球的每个可能结果,第二次摸球时都有4种等可能的结果,将两次摸球的结果配对,组成20种等可能的结果,用表 10.1-2 表示.
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表 10.1-2
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| 第一次 | 第二次 | | | | |
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|---|---|---|---|---|---|
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| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
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| 1 | $\times$ | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) |
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| 2 | (2, 1) | $\times$ | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) |
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| 3 | (3, 1) | (3, 2) | $\times$ | (3, 4) | (3, 5) |
|
||
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | $\times$ | (4, 5) |
|
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| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | $\times$ |
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(1) 第一次摸到红球的可能结果有8种 (表中第1,2行), 即
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$A=\{(1,2), (1, 3), (1, 4), (1,5),$
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$\quad (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\}$,
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所以
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$P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}.$
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(2) 第二次摸到红球的可能结果也有8种 (表中第1,2列), 即
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$B=\{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1),$
|
||
$\quad (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2)\}$,
|
||
所以
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||
$P(B)=\frac{8}{20} = \frac{2}{5}.$
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|
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(3) 事件 $AB$ 包含2个可能结果, 即 $AB =\{(1, 2), (2,1)\}$, 所以
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$P(AB) = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}.$
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> 如果同时摸出2个球,那么事件 $AB$ 的概率是多少?
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**例10** 从两名男生(记为$B_1$和$B_2$)、两名女生(记为$G_1$和$G_2$)中任意抽取两人,
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(1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间;
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(2) 在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
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解: 设第一次抽取的人记为 $x_1$，第二次抽取的人记为 $x_2$，则可用数组 $(x_1, x_2)$ 表示样本点。
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(1) 根据相应的抽样方法可知:
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有放回简单随机抽样的样本空间
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$\Omega_1 = \{(B_1, B_1), (B_1, B_2), (B_1, G_1), (B_1, G_2), (B_2, B_1), (B_2, B_2), (B_2, G_1), (B_2, G_2), (G_1, B_1), (G_1, B_2), (G_1, G_1), (G_1, G_2), (G_2, B_1), (G_2, B_2), (G_2, G_1), (G_2, G_2)\}$。
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不放回简单随机抽样的样本空间
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$\Omega_2 = \{(B_1, B_2), (B_1, G_1), (B_1, G_2), (B_2, B_1), (B_2, G_1), (B_2, G_2), (G_1, B_1), (G_1, B_2), (G_1, G_2), (G_2, B_1), (G_2, B_2), (G_2, G_1)\}$。
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按性别等比例分层随机抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
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$\Omega_3 = \{(B_1, G_1), (B_1, G_2), (B_2, G_1), (B_2, G_2)\}$。
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(2) 设事件 $A = \text{"抽到两名男生"}$，则
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对于有放回简单随机抽样，
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$A = \{(B_1, B_1), (B_1, B_2), (B_2, B_1), (B_2, B_2)\}$。
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因为抽中样本空间 $\Omega_1$ 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型。因此
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$P(A) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$。
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对于不放回简单随机抽样，
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$A = \{(B_1, B_2), (B_2, B_1)\}$。
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因为抽中样本空间 $\Omega_2$ 中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型。
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因此
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$P(A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
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因为按性别等比例分层随机抽样，不可能抽到两名男生，所以 $A = \emptyset$，因此 $P(A) = 0$。
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例10表明，同一个事件 $A=\text{"抽到两名男生"}$ 发生的概率，在按性别等比例分层随机抽样时最小，在不放回简单随机抽样时次之，在有放回简单随机抽样时最大。因此，抽样方法不同，则样本空间不同，某个事件发生的概率也可能不同。
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上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题。我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高。上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为 $0.25$；用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为 $0.167$，可以有效地降低出现“极端”样本的概率，特别是，在按性别等比例分层随机抽样中，全
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是男生的样本出现的概率为0，真正避免了这类极端样本的出现。所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要。
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## 练习
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1. 判断下面的解答是否正确，并说明理由。
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某运动员连续进行两次飞碟射击练习，观察命中目标的情况，用$y$表示命中，用$n$表示没有命中，那么试验的样本空间$\Omega = \{yy, yn, ny, nn\}$，因此事件“两次射击都命中”的概率为$0.25$。
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2. 从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机地抽一张牌，计算下列事件的概率：
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(1) 抽到的牌是7；
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(2) 抽到的牌不是7；
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(3) 抽到的牌是方块；
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(4) 抽到J或Q或K；
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(5) 抽到的牌既是红桃又是梅花；
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(6) 抽到的牌比6大比9小；
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(7) 抽到的牌是红花色；
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(8) 抽到的牌是红花色或黑花色。
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3. 从0~9这10个数中随机选择一个数，求下列事件的概率：
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(1) 这个数平方的个位数字为1；
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(2) 这个数的四次方的个位数字为1。
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## 10.1.4 概率的基本性质
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一般而言，给出了一个数学对象的定义，就可以从定义出发研究这个数学对象的性质。例如，在给出指数函数的定义后，我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质，这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用。类似地，在给出了概率的定义后，我们来研究概率的基本性质。
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> **思考**
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> 你认为可以从哪些角度研究概率的性质？
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下面我们从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等。
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由概率的定义可知：
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任何事件的概率都是非负的；
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在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生。
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一般地，概率有如下性质：
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**性质1** 对任意的事件$A$，都有
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$P(A) \geq 0$.
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**性质2** 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即
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$P(\Omega)=1, P(\emptyset)=0$.
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在“事件的关系和运算”中我们研究过事件之间的某些关系，具有这些关系的事件，
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它们的概率之间会有什么关系呢?
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> **探究**
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> 设事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥, 和事件 $A \cup B$ 的概率与事件 $A, B$ 的概率之间具有怎样的关系?
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我们先来看 10.1.2 节例 6. 在例 6 中, 事件 $R=$“两次都摸到红球”与事件 $G=$ “两次都摸到绿球”互斥,$R \cup G=$“两次摸到的球颜色相同”.
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因为 $n(R)=2, n(G)=2, n(R \cup G)=2+2=4$, 所以
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$P(R)=P(G)=\frac{2}{12}$
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$P(R \cup G)=\frac{4}{12}$
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因此
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$P(R \cup G)=\frac{2+2}{12}=P(R)+P(G)$.
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对于古典概型, 因为事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥, 即 $A$ 与 $B$ 不含有相同的样本点, 所以 $n(A \cup B)=n(A)+n(B)$, 这等价于 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$, 即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和. 一般地, 我们有互斥事件的概率加法公式:
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**性质 3** 如果事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥,那么 $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.
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互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况. 如果事件 $A_1, A_2, \ldots, A_m$ 两两互斥,那么事件 $A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_m$ 发生的概率等于这 $m$ 个事件分别发生的概率之和,即
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$P(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_m)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_m)$.
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> **探究**
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> 设事件 $A$ 和事件 $B$ 互为对立事件, 它们的概率有什么关系?
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因为事件 $A$ 和事件 $B$ 互为对立事件,所以和事件 $A \cup B$ 为必然事件,即 $P(A \cup B)=1$. 由**性质 3**,得
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$1=P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.
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由此我们得到
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**性质 4** 如果事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件,那么 $P(B)=1-P(A)$, $P(A)=1-P(B)$.
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在古典概型中，对于事件 $A$ 与事件 $B$，如果 $A \subseteq B$，那么 $n(A) \le n(B)$。于是
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$\frac{n(A)}{n(\Omega)} \le \frac{n(B)}{n(\Omega)}$，即 $P(A) \le P(B)$。
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一般地，对于事件 $A$ 与事件 $B$，如果 $A \subseteq B$，即事件 $A$ 发生，则事件 $B$ 一定发生，
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那么事件 $A$ 的概率不超过事件 $B$ 的概率，于是我们有概率的单调性：
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**性质 5** 如果 $A \subseteq B$，那么 $P(A) \le P(B)$。
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由性质 5 可得，对于任意事件 $A$，因为 $\emptyset \subseteq A \subseteq \Omega$，所以 $0 \le P(A) \le 1$。
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> **思考**
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> 在 10.1.2 节例 6 的摸球试验中，“两个球中有红球” = $R_1 \cup R_2$，那么 $P(R_1 \cup R_2)$ 和 $P(R_1) + P(R_2)$ 相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算 $P(R_1 \cup R_2)$。
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因为 $n(\Omega) = 12$, $n(R_1) = n(R_2) = 6$, $n(R_1 \cup R_2) = 10$，所以 $P(R_1) = P(R_2) = \frac{6}{12}$，
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$P(R_1 \cup R_2) = \frac{10}{12}$。因此 $P(R_1 \cup R_2) \ne P(R_1) + P(R_2)$。这是因为 $R_1 \cap R_2 = \{(1,2),(2,1)\} \ne \emptyset$，即事件 $R_1, R_2$ 不是互斥的，容易得到
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$P(R_1 \cup R_2) = P(R_1) + P(R_2) - P(R_1 \cap R_2)$。
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一般地，我们有如下的性质：
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**性质 6** 设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，我们有
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$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$。
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显然，性质 3 是性质 6 的特殊情况。
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利用上述概率的性质，可以简化概率的计算。
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**例 11** 从一副不包含大小王牌的 52 张扑克牌中
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随机抽取一张，设事件 $A$ =“抽到红桃”，事件 $B$ =
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“抽到方块”， $P(A) = P(B) = \frac{1}{4}$。那么
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[图片描述:一叠扑克牌，部分牌被展开，露出了黑桃花色和红桃花色的牌面，包括黑桃A、K、10以及红心A、方块A等。|标题:扑克牌|图片1]
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(1) $C$ =“抽到红花色”，求 $P(C)$；
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(2) $D$ =“抽到黑花色”，求 $P(D)$。
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**解**：(1) 因为 $C = A \cup B$，且 $A$ 与 $B$ 不会同时发生，所以 $A$ 与 $B$ 是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，得
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$P(C) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$。
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(2) 因为 $C$ 与 $D$ 互斥，又因为 $C \cup D$ 是必然事件，所以 $C$ 与 $D$ 互为对立事件。因此
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$P(D) = 1 - P(C) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
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**例12** 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？
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**分析:** “中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况。如果设 $A = \text{"中奖"}$, $A_1 = \text{"第一罐中奖"}$, $A_2 = \text{"第二罐中奖"}$，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题。
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**解:** 设事件 $A=\text{"中奖"}$，事件 $A_1=\text{"第一罐中奖"}$，事件 $A_2=\text{"第二罐中奖"}$，那么事件 $A_1A_2=\text{"两罐都中奖"}$，$A_1\bar{A_2}=\text{"第一罐中奖,第二罐不中奖"}$，$\bar{A_1}A_2=\text{"第一罐不中奖,第二罐中奖"}$，且
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$$A=A_1A_2 \cup A_1\bar{A_2} \cup \bar{A_1}A_2.$$
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因为 $A_1A_2$, $A_1\bar{A_2}$, $\bar{A_1}A_2$ 两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
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$$P(A)=P(A_1A_2) + P(A_1\bar{A_2}) + P(\bar{A_1}A_2).$$
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我们借助树状图(图 10.1-11)来求相应事件的样本点数。
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[图片描述: 这是一个树状图，展示了从一箱6罐饮料中（其中2罐中奖，4罐不中奖）随机抽取2罐的可能结果及其对应的样本点数。
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图分为三列：“第一罐”，“第二罐”，“可能结果数”。
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从“第一罐”开始，有两个分支：
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1. 抽取到“中奖”罐（2种可能）。
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- 从这个“中奖”分支，再抽取“第二罐”：
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- “中奖”：有1种可能，对应的结果数为 $2 \times 1 = 2$。
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- “不中奖”：有4种可能，对应的结果数为 $2 \times 4 = 8$。
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2. 抽取到“不中奖”罐（4种可能）。
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||
- 从这个“不中奖”分支，再抽取“第二罐”：
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- “中奖”：有2种可能，对应的结果数为 $4 \times 2 = 8$。
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- “不中奖”：有3种可能，对应的结果数为 $4 \times 3 = 12$。|标题:图10.1-11 树状图|图片编号:1]
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```mermaid
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graph LR
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subgraph 第一罐
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A_start[" "]
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end
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subgraph 第二罐
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B_start[" "]
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end
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subgraph 可能结果数
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C_start[" "]
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end
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A_start -- 2 --> A1_prize(中奖)
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A_start -- 4 --> A1_noprize(不中奖)
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A1_prize -- 1 --> B1_prize(中奖)
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A1_prize -- 4 --> B1_noprize(不中奖)
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A1_noprize -- 2 --> B2_prize(中奖)
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A1_noprize -- 3 --> B2_noprize(不中奖)
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B1_prize --> C1("2 x 1 = 2")
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B1_noprize --> C2("2 x 4 = 8")
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B2_prize --> C3("4 x 2 = 8")
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B2_noprize --> C4("4 x 3 = 12")
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```
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可以得到，样本空间包含的样本点个数为 $n(\Omega)=6 \times 5=30$，且每个样本点都是等可能的。因为 $n(A_1A_2)=2$, $n(A_1\bar{A_2})=8$, $n(\bar{A_1}A_2)=8$，所以
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$$P(A)=\frac{2}{30} + \frac{8}{30} + \frac{8}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}.$$
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上述解法需要分若干种情况计算概率。注意到事件 $A$ 的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于 $\bar{A_1}\bar{A_2} = \text{"两罐都不中奖"}$，而 $n(\bar{A_1}\bar{A_2})=4 \times 3=12$，所以
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$$P(\bar{A_1}\bar{A_2}) = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}.$$
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因此
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$$P(A)=1-P(\bar{A_1}\bar{A_2})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}.$$
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## 练习
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1. 已知$P(A)=0.5$, $P(B)=0.3$.
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(1) 如果$B \subseteq A$, 那么 $P(A \cup B) = \_\_\_$, $P(AB)=\_\_\_$;
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(2) 如果$A,B$互斥, 那么$P(A \cup B)=\_\_\_$, $P(AB)=\_\_\_$.
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2. 指出下列表述中的错误:
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(1) 某地区明天下雨的概率为0.4, 明天不下雨的概率为0.5;
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(2) 如果事件$A$与事件$B$互斥, 那么一定有 $P(A) + P(B)=1$.
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3. 在学校运动会开幕式上, 100名学生组成一个方阵进行表演, 他们按照性别(M(男)、F(女))
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及年级($G_1$(高一)、$G_2$(高二)、$G_3$(高三))分类统计的人数如下表:
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| 性别 | G1 | G2 | G3 |
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| :--- | :-- | :-- | :-- |
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| M | 18 | 20 | 14 |
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| F | 17 | 24 | 7 |
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若从这100名学生中随机选一名学生, 求下列概率:
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$P(M)=\_\_\_$, $P(F)=\_\_\_$, $P(M \cup F) = \_\_\_$, $P(MF) = \_\_\_$,
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$P(G_1)=\_\_\_$, $P(M \cup G_2) = \_\_\_$, $P(FG_3) = \_\_\_$.
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## 习题 10.1
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## 复习巩固
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1. 如图, 抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子, 分别观察底面上的数字.
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(1) 用表格表示试验的所有可能结果;
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(2) 列举下列事件包含的样本点:
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$A=$“两个数字相同”, $B=$“两个数字之和等于5”, $C=$“蓝色骰子的数字为2”.
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[图片描述: 蓝色和黄色的两个正四面体骰子。蓝色骰子的可见面上显示数字2和3，黄色骰子的可见面上显示数字1和4。|标题: 第1题的骰子示意图|图片编号: 图1]
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2. 在某届世界杯足球赛上, $a,b,c,d$四支球队进入了最后的比赛, 在第一轮的两场比赛中, $a$
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对$b$, $c$对$d$, 然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛, 这两场比赛的负者比赛, 决出第三
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名和第四名, 比赛的一种最终可能结果记为$acbd$(表示$a$胜$b$, $c$胜$d$, 然后$a$胜$c$, $b$胜$d$).
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(1) 写出比赛所有可能结果构成的样本空间;
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(2) 设事件$A$表示$a$队获得冠军, 写出$A$包含的所有可能结果;
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(3) 设事件$B$表示$a$队进入冠亚军决赛, 写出$B$包含的所有可能结果.
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3. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A$=“第一枚硬币正面朝上”，事件 $B$=“第二枚硬币反面朝上”.
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(1) 写出样本空间，并列举 $A$ 和 $B$ 包含的样本点；
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(2) 下列结论中正确的是 ( ).
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(A) $A$ 与 $B$ 互为对立事件
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(B) $A$ 与 $B$ 互斥
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(C) $A$ 与 $B$ 相等
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(D) $P(A)=P(B)$
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4. 判断下列说法是否正确，若错误，请举出反例.
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(1) 互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件；
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(2) 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
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(3) 事件 $A$ 与事件 $B$ 中至少有一个发生的概率一定比 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率大；
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(4) 事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生的概率一定比 $A$ 与 $B$ 中恰有一个发生的概率小.
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5. 生产某种产品需要两道工序，设事件 $A$=“第一道工序加工合格”，事件 $B$=“第二道工序加工合格”，用 $A, \bar{B}, \bar{A}, \bar{B}$ 表示下列事件:
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$C$=“产品合格”， $D$=“产品不合格”.
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6. 下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的?
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| 项目 | 游戏1 | 游戏2 | 游戏3 |
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| :--------------------- | :------------------- | :------------------- | :------------------- |
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| 袋子中球的数量和颜色 | 1个红球和1个白球 | 2个红球和2个白球 | 3个红球和1个白球 |
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| 取球规则 | 取1个球 | 依次取出2个球 | 依次取出2个球 |
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| 获胜规则 | 取到红球→甲胜 | 两个球同色→甲胜 | 两个球同色→甲胜 |
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| | 取到白球→乙胜 | 两个球不同色→乙胜 | 两个球不同色→乙胜 |
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7. 一个盒子中装有标号为 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率:
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(1) 标签的选取是不放回的；
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(2) 标签的选取是有放回的.
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8. 从长度为 $1, 3, 5, 7, 9$ 的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率.
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**综合运用**
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9. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少?
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(1) $A$=“恰有1支一等品”；
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(2) $B$=“两支都是一等品”；
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(3) $C$=“没有三等品”.
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10. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用 $x$ 表示红色骰子的点数，用 $y$ 表示绿色骰子的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验的结果. 设 $A$=“两个点数之和等于8”， $B$=“至少有一颗骰子的点数为5”， $C$=“红色骰子上的点数大于4”.
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(1) 求事件 $A, B, C$ 的概率；
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(2) 求事件 $A \cup B, A \cap B$ 的概率.
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11. 某人有4把钥匙，其中2把能打开门。如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率又有多大？
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12. 假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A, B, C, D, E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用。如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
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(1) 女孩A得到一个职位；
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(2) 女孩A和B各得到一个职位；
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(3) 女孩A或B得到一个职位。
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13. 某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：
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| 命中环数 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
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| :------- | :-- | :--- | :--- | :-- | :-- |
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| 频率 | 0.1 | 0.15 | 0.25 | 0.3 | 0.2 |
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如果这名运动员只射击一次，求下列事件的概率：
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(1) 命中10环；
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(2) 命中的环数大于8环；
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(3) 命中的环数小于9环；
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(4) 命中的环数不超过5环。
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14. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率：
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(1) 没有出现6点；
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(2) 至少出现一次6点；
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(3) 三个点数之和为9。
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## 拓广探索
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15. 如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生。
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(1) 从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1, 4, 5, 8各区域所代表的事件；
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(2) 用A, B, C表示下列事件:
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① 至少订阅一种学习资料；
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② 恰好订阅一种学习资料；
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③ 没有订阅任何学习资料。
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[图片描述:一个维恩图，显示了三个相互重叠的集合A、B和C，分别代表订阅数学、语文和英语学习资料的学生。整个维恩图被一个矩形框包围，代表班级所有学生（或通用集）。图中的每个区域都用数字1到8进行标记，这些数字代表不同的事件区域。具体来说：区域1是A、B、C的共同交集；区域4是A和B的交集但不是C；区域5是仅属于B的区域；区域8是位于矩形框内但不在A、B、C任何一个集合中的区域。|标题:第15题|图片编号:1]
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16. 从 $1 \sim 20$ 这20个整数中随机选择一个数，设事件 $A$ 表示选到的数能被2整除，事件 $B$ 表示选到的数能被3整除，求下列事件的概率：
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(1) 这个数既能被2整除也能被3整除；
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(2) 这个数能被2整除或能被3整除；
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(3) 这个数既不能被2整除也不能被3整除.
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17. 某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%.
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(1) 某人购买了一台这个品牌的计算机，设 $A_k$=“保修期内需要维修 $k$ 次”，$k=0,1,2,3$，请填写下表：
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| 事件 | $A_0$ | $A_1$ | $A_2$ | $A_3$ |
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| :----- | :---- | :---- | :---- | :---- |
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| 概率 | | | | |
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事件 $A_0, A_1, A_2, A_3$ 是否满足两两互斥？是否满足等可能性？
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(2) 求下列事件的概率：
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① $A$=“在保修期内需要维修”；
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② $B$=“在保修期内不需要维修”；
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③ $C$=“在保修期内维修不超过1次”.
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## 10.2 事件的相互独立性
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前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法。对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？
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我们知道，积事件 $AB$ 就是事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生。因此，积事件 $AB$ 发生的概率一定与事件 $A$, $B$ 发生的概率有关。那么，这种关系会是怎样的呢？
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下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。
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**探究**
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下面两个随机试验各定义了一对随机事件 $A$ 和 $B$，你觉得事件 $A$ 发生与否会影响事件 $B$ 发生的概率吗？
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**试验1**: 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，$A$=“第一枚硬币正面朝上”，$B$=“第二枚硬币反面朝上”。
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**试验2**: 一个袋子中装有标号分别是 1, 2, 3, 4 的 4 个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球。设 $A$=“第一次摸到球的标号小于 3”， $B$ =“第二次摸到球的标号小于 3”。
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分别计算 $P(A)$, $P(B)$, $P(AB)$，你有什么发现？
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显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件 $A$ 发生与否不影响事件 $B$ 发生的概率。
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对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件 $A$ 发生与否也不影响事件 $B$ 发生的概率。
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在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为 $\Omega =\{(1, 1), (1, 0), (0, 1),(0,0)\}$，包含 4 个等可能的样本点。而 $A = \{(1, 1), (1,0)\}$, $B =\{(1,0), (0,0)\}$, 所以 $AB =\{(1,0)\}$。由古典概型概率计算公式，得
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$$P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(AB) = \frac{1}{4}$$
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于是
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$$P(AB)=P(A)P(B).$$
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积事件 $AB$ 的概率 $P(AB)$ 恰好等于 $P(A)$ 与 $P(B)$ 的乘积。
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在试验2中, 样本空间 $\Omega =\{(m,n)|m, n \in \{1, 2, 3,4\}\}$, 而
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$A =\{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),$
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$(2,1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)\},$
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$B =\{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),$
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$(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)\},$
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$AB =\{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)\},$
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所以
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$P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(AB) = \frac{1}{4}.$
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于是也有
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$P(AB)=P(A)P(B).$
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积事件 $AB$ 的概率 $P(AB)$ 也等于 $P(A)$ 与 $P(B)$ 的乘积。
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从上述两个试验的共性中得到启发, 我们引入这种事件关系的一般定义:
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对任意两个事件 $A$ 与 $B$, 如果
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$P(AB)=P(A)P(B)$
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成立, 则称事件 $A$ 与事件 $B$ **相互独立**, 简称为**独立**。
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由两个事件相互独立的定义, 容易验证必然事件 $\Omega$、不可能事件 $\emptyset$ 都与任意事件相互独立, 这是因为必然事件 $\Omega$ 总会发生, 不会受任何事件是否发生的影响; 同样, 不可能事件 $\emptyset$ 总不会发生, 也不受任何事件是否发生的影响。当然, 它们也不影响其他事件是否发生。
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### 探究
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互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系。如果事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立, 那么它们的对立事件是否也相互独立? 以有放回摸球试验为例, 分别验证 $A$ 与 $\bar{B}$, $\bar{A}$ 与 $B$, $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 是否独立, 你有什么发现?
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对于 $A$ 与 $\bar{B}$, 因为 $A=AB \cup A\bar{B}$, 而且 $AB$ 与 $A\bar{B}$ 互斥, 所以
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$P(A)=P(AB \cup A\bar{B})=P(AB)+P(A\bar{B})$
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$=P(A)P(B)+P(A\bar{B}),$
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所以
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$P(A\bar{B})=P(A)-P(A)P(B)$
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$=P(A)(1-P(B))=P(A)P(\bar{B}).$
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> 我们知道, 如果三个事件 $A, B, C$ 两两互斥, 那么概率加法公式 $P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)$ 成立, 但当三个事件 $A, B, C$ 两两独立时, 等式 $P(ABC) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$ 不一定成立。
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由事件的独立性定义，$A$ 与 $\bar{B}$ 相互独立。
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类似地，可以证明事件 $\bar{A}$ 与 $B$，$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也都相互独立。
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**例1** 一个袋子中有标号分别为 $1, 2, 3, 4$ 的 $4$ 个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。设事件 $A = \text{“第一次摸出球的标号小于 }3\text{”}$，事件 $B = \text{“第二次摸出球的标号小于 }3\text{”}$，那么事件 $A$ 与事件 $B$ 是否相互独立？
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**解**：因为样本空间 $\Omega = \{(m, n) \mid m, n \in \{1, 2, 3, 4\}, \text{且} m \neq n\}$，
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$A = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4)\}$，
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$B = \{(1, 2), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)\}$，
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所以
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$P(A) = P(B) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$，$P(AB) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
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此时 $P(AB) \neq P(A)P(B)$，因此，事件 $A$ 与事件 $B$ 不独立。
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**例2** 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 $0.8$，乙的中靶概率为 $0.9$，两人各射击一次，求下列事件的概率：
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(1) 两人都中靶；
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(2) 恰好有一人中靶；
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(3) 两人都脱靶；
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(4) 至少有一人中靶。
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**分析**：设 $A = \text{“甲中靶”}$，$B = \text{“乙中靶”}$。从要求的概率可知，需要先分别求 $A, B$ 的对立事件 $\bar{A}, \bar{B}$ 的概率，并利用 $A, B, \bar{A}, \bar{B}$ 够建相应的事件。
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**解**：设 $A = \text{“甲中靶”}$，$B = \text{“乙中靶”}$，则 $\bar{A} = \text{“甲脱靶”}$，$\bar{B} = \text{“乙脱靶”}$。由于两个人射击的结果互不影响，所以 $A$ 与 $B$ 相互独立，$A$ 与 $\bar{B}$，$\bar{A}$ 与 $B$，$\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 都相互独立。
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由已知可得，$P(A) = 0.8$，$P(B) = 0.9$，$P(\bar{A}) = 0.2$，$P(\bar{B}) = 0.1$。
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(1) $AB = \text{“两人都中靶”}$，由事件的独立性定义，得
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$P(AB) = P(A)P(B) = 0.8 \times 0.9 = 0.72$。
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(2) $\text{“恰好有一人中靶”} = A\bar{B} \cup \bar{A}B$，且 $A\bar{B}$ 与 $\bar{A}B$ 互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得
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$P(A\bar{B} \cup \bar{A}B) = P(A\bar{B}) + P(\bar{A}B) = P(A)P(\bar{B}) + P(\bar{A})P(B)$
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$= 0.8 \times 0.1 + 0.2 \times 0.9 = 0.26$。
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(3) 事件 $\text{“两人都脱靶”} = \bar{A}\bar{B}$，所以
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$P(\bar{A}\bar{B}) = P(\bar{A})P(\bar{B}) = 0.2 \times 0.1 = 0.02.$
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(4) **方法1**: 事件“至少有一人中靶”= $A\bar{B} \cup \bar{A}B \cup AB$, 且 $A\bar{B}$, $\bar{A}B$ 与 $AB$ 两两互斥, 所以
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$$P(A\bar{B} \cup \bar{A}B \cup AB) = P(A\bar{B}) + P(\bar{A}B) + P(AB)$$
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$$= P(A\bar{B}) + P(\overline{A\bar{B}})$$
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$$= 0.72 + 0.26 = 0.98.$$
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**方法2**: 由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”, 根据对立事件的性质, 得事件“至少有一人中靶”的概率为
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$$1 - P(\bar{A}\bar{B}) = 1 - 0.02 = 0.98.$$
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**例3** 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动, 每轮活动由甲、乙各猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$, 乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$. 在每轮活动中, 甲和乙猜对与否互不影响, 各轮结果也互不影响. 求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
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**分析**: 两轮活动猜对3个成语, 相当于事件“甲猜对1个, 乙猜对2个”、事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
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**解**: 设 $A_1, A_2$ 分别表示甲两轮猜对1个, 2个成语的事件, $B_1, B_2$ 分别表示乙两轮猜对1个, 2个成语的事件, 根据独立性假定, 得
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$$P(A_1) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}, \quad P(A_2) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}.$$
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$$P(B_1) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}, \quad P(B_2) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.$$
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设 $A$=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”, 则 $A = A_1B_2 \cup A_2B_1$, 且 $A_1B_2$ 与 $A_2B_1$ 互斥, $A_1$ 与 $B_2$, $A_2$ 与 $B_1$ 分别相互独立, 所以
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$$P(A) = P(A_1B_2) + P(A_2B_1) = P(A_1)P(B_2) + P(A_2)P(B_1)$$
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$$= \frac{3}{8} \times \frac{4}{9} + \frac{9}{16} \times \frac{4}{9} = \frac{5}{12}.$$
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因此, “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 $\frac{5}{12}$.
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## 练习
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1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币, 设事件 $A$=“第1枚正面朝上”, 事件 $B$=“第2枚正面朝上”, 事件 $C$=“两枚硬币朝上的面相同”, $A, B, C$ 中哪两个相互独立?
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2. 设样本空间 $\Omega = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点, 且
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$A=\{a,b\}, B=\{a,c\}, C=\{a,d\}$.
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请验证$A,B,C$三个事件两两独立,但$P(ABC) \neq P(A)P(B)P(C)$.
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3. 天气预报报道:元旦假期甲地的降雨概率是$0.2$,乙地的降雨概率是$0.3$.假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:
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(1)甲、乙两地都降雨的概率;
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(2)甲、乙两地都不降雨的概率;
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(3)至少一个地方降雨的概率.
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4. 证明必然事件$\Omega$和不可能事件$\emptyset$与任意事件相互独立.
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## 习题 10.2
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**复习巩固**
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1. 掷两枚质地均匀的骰子,设$A$=“第一枚出现奇数点”,$B$=“第二枚出现偶数点”,则$A$与$B$的关系为( ).
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(A)互斥 (B)互为对立 (C)相互独立 (D)相等
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2. 假设$P(A)=0.7$, $P(B)=0.8$, 且$A$与$B$相互独立,则$P(AB)=\_\_\_\_$, $P(A \cup B)=\_\_\_\_.`
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3. 若$P(A)>0$, $P(B)>0$, 证明:事件$A,B$相互独立与$A,B$互斥不能同时成立.
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**综合运用**
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4. 甲、乙两人独立地破译一份密码,已知各人能破译的概率分别是$\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, 求:
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(1)两人都成功破译的概率;
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(2)密码被成功破译的概率.
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5. [图片描述:一个透明的正八面体，有部分棱线用虚线表示。八面体的一些面上标注了数字：顶部面可见“1”，右侧面可见“2”，底部面可见“5”。整个八面体呈现蓝色调。|标题:第5题|图片1]
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如图,一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字,得到样本空间为$\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$.构造适当的事件$A,B,C$, 使$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$成立,但不满足$A,B,C$两两独立.
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**拓广探索**
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6. 分析如下三个随机试验及指定的随机事件,并解答下面的问题.
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$E_1$:抛掷两枚质地均匀的硬币;事件$A$=“两枚都正面朝上”.
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$E_2$:向一个目标射击两次,每次命中目标的概率为$0.6$;事件$B$=“命中两次目标”.
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$E_3$:从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次不放回任意摸出两球;事件$C$=“两次都摸到红球”.
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(1)用适当的符号表示试验的可能结果,分别写出各试验的样本空间;
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(2)指出这三个试验的共同特征和区别;
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(3)分别求$A,B,C$的概率.
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## 10.3 频率与概率
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对于样本点等可能的试验,我们可以用古典概型公式计算有关事件的概率,但在现实中,很多试验的样本点往往不是等可能的或者是否等可能不容易判断,例如,抛掷一枚质地不均匀的骰子,或者抛掷一枚图钉,此时无法通过古典概型公式计算有关事件的概率,我们需要寻找新的求概率的方法.
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### 10.3.1 频率的稳定性
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我们知道,事件的概率越大,意味着事件发生的可能性越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大;事件的概率越小,则事件发生的可能性越小,在重复试验中,相应的频率一般也越小,在初中,我们利用频率与概率的这种关系,通过大量重复试验,用频率去估计概率,那么,在重复试验中,频率的大小是否就决定了概率的大小呢?频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢?
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> **探究**
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>
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> 重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验,设事件 $A$=“一个正面朝上,一个反面朝上”,统计 $A$ 出现的次数并计算频率,再与其概率进行比较,你发现了什么规律?
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把硬币正面朝上记为1,反面朝上记为0,则这个试验的样本空间$\Omega=\{(1, 1), (1, 0), (0, 1), (0,0) \}$, $A=\{(1, 0),(0,1)\}$,所以$P(A)=\frac{1}{2}$.
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下面我们分步实施试验,考察随着试验次数的增加,事件$A$ 的频率的变化情况,以及频率与概率的关系.
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1. 每人重复做25次试验,记录事件$A$ 发生的次数,计算频率;
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2. 每4名同学为一组,相互比较试验结果;
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3. 各组统计事件$A$ 发生的次数,计算事件$A$发生的频率,将结果填入表10. 3-1 中.
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> 每组中4名同学的结果一样吗?为什么会出现这样的情况?
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表 10.3-1
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| 小组序号 | 试验总次数 | 事件A发生的次数 | 事件A发生的频率 |
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| :------- | :--------- | :-------------- | :-------------- |
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| 1 | 100 | | |
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| 2 | 100 | | |
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| 3 | 100 | | |
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| ... | | | |
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| 合计 | | | |
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**? 思考**
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比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下,事件A发生的频率。
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(1) 各小组的试验结果一样吗?为什么会出现这种情况?
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(2) 随着试验次数的增加,事件A发生的频率有什么变化规律?
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利用计算机模拟掷两枚硬币的试验,在重复试验次数为20, 100, 500时各做5组试验,得到事件A =“一个正面朝上,一个反面朝上”发生的频数 $n_A$ 和频率 $f_n(A)$ (表 10.3-2)。
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表 10.3-2
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| 序号 | **$n=20$** 频数 | **$n=20$** 频率 | **$n=100$** 频数 | **$n=100$** 频率 | **$n=500$** 频数 | **$n=500$** 频率 |
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| :--- | :-------------- | :-------------- | :--------------- | :--------------- | :--------------- | :--------------- |
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| 1 | 12 | 0.6 | 56 | 0.56 | 261 | 0.522 |
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| 2 | 9 | 0.45 | 50 | 0.50 | 241 | 0.482 |
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| 3 | 13 | 0.65 | 48 | 0.48 | 250 | 0.5 |
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| 4 | 7 | 0.35 | 55 | 0.55 | 258 | 0.516 |
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| 5 | 12 | 0.6 | 52 | 0.52 | 253 | 0.506 |
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用折线图表示频率的波动情况 (图 10.3-1)。
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[图片描述:该图包含三个并排的折线图，展示了事件A在不同重复试验次数($n$)下的频率波动情况。每个图的Y轴表示频率（从0.3到0.7），X轴表示试验组别（从1到5）。\n第一个图($n=20$)显示频率波动较大，数值在0.35到0.65之间。\n第二个图($n=100$)显示频率波动减小，数值在0.48到0.56之间，开始趋向0.5。\n第三个图($n=500$)显示频率波动进一步减小，数值在0.482到0.522之间，非常接近0.5，频率趋于稳定。\n这组图直观地说明了随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐趋于稳定值。\n|标题:图 10.3-1 频率波动折线图|图片编号:图1]
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# 人民教育出版社
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我们发现:
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(1) 试验次数 $n$ 相同, 频率 $f_n(A)$ 可能不同, 这说明随机事件发生的频率具有随机性.
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(2) 从整体来看, 频率在概率 $0.5$ 附近波动, 当试验次数较少时, 波动幅度较大; 当试验次数较多时, 波动幅度较小. 但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小, 只是波动幅度小的可能性更大.
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[图片描述: 一幅黑色头发的男性肖像画，他穿着深色外套和白色大领子的衬衫，眼神凝视前方。背景颜色较深，他左手边有一个地球仪的一部分。此人是雅各布·伯努利。|标题: 雅各布·伯努利肖像|图片编号: 图1]
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大量试验表明, 在任何确定次数的随机试验中, 一个随机事件 $A$ 发生的频率具有随机性。一般地, 随着试验次数 $n$ 的增大, 频率偏离概率的幅度会缩小, 即事件 $A$ 发生的频率 $f_n(A)$ 会逐渐稳定于事件 $A$ 发生的概率 $P(A)$。我们称频率的这个性质为**频率的稳定性**。因此, 我们可以用频率 $f_n(A)$ 估计概率 $P(A)$。
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雅各布第一·伯努利 (Jakob Bernoulli, 1654—1705), 瑞士数学家, 被公认为概率理论的先驱, 他给出了著名的大数定律。大数定律阐述了随着试验次数的增加, 频率稳定在概率附近。
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**例1** 新生婴儿性别比是每 $100$ 名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知, 我国 $2014$ 年、$2015$ 年出生的婴儿性别比分别为 $115.88$ 和 $113.51$。
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(1) 分别估计我国 $2014$ 年和 $2015$ 年男婴的出生率 (新生儿中男婴的比率, 精确到 $0.001$);
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(2) 根据估计结果, 你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗?
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**分析:** 根据“性别比”的定义和抽样调查结果, 可以计算男婴出生的频率; 由频率的稳定性, 可以估计男婴的出生率。
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**解:** (1) $2014$ 年男婴出生的频率为
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$$ \frac{115.88}{100+115.88} \approx 0.537 $$
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$2015$ 年男婴出生的频率为
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$$ \frac{113.51}{100+113.51} \approx 0.532 $$
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由此估计, 我国 $2014$ 年男婴出生率约为 $0.537$, $2015$ 年男婴出生率约为 $0.532$。
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(2) 由于调查新生儿人数的样本非常大, 根据频率的稳定性, 上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度, 因此, 我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”结论。
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> **提示**
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>
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> 要得到生男孩和生女孩是否等可能的科学判断, 还需要用统计学中假设检验的方法进行检验。
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**例2** 一个游戏包含两个随机事件 $A$ 和 $B$, 规定事件 $A$ 发生则甲获胜, 事件 $B$ 发生则乙获胜, 判断游戏是否公平的标准是事件 $A$ 和 $B$ 发生的概率是否相等。
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在游戏过程中甲发现:玩了10次时,双方各胜5次;但玩到1000次时,自己才胜300次,而乙却胜了700次,据此,甲认为游戏不公平,但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论?为什么?
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**解:** 当游戏玩了10次时,甲、乙获胜的频率都为0.5;当游戏玩了1000次时,甲获胜的频率为0.3,乙获胜的频率为0.7. 根据频率的稳定性,随着试验次数的增加,频率偏离概率很大的可能性会越来越小,相对 10次游戏,1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大,因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近,而游戏玩到1000 次时,甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7,存在很大差距,所以有理由认为游戏是不公平的.因此,应该支持甲对游戏公平性的判断.
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**思考**
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气象工作者有时用概率预报天气,如某气象台预报“明天的降水概率是90%,如果您明天要出门,最好携带雨具”,如果第二天没有下雨,我们或许会抱怨气象台预报得不准确,那么如何理解“降水概率是90%”?又该如何评价预报的结果是否准确呢?
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降水的概率是气象专家根据气象条件和经验,经分析推断得到的.对“降水的概率为90%”比较合理的解释是:大量观察发现,在类似的气象条件下,大约有90%的天数要下雨.
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只有根据气象预报的长期记录,才能评价预报的准确性,如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天(天数较多)里,大约有90%确实下雨了,那么应该认为预报是准确的;如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大,那么就可以认为预报不太准确.
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**练习**
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1. 判断下列说法是否正确,并说明理由:
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(1) 抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,则抛掷一枚硬币两次,一定是一次正面朝上,一次反面朝上;
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(2) 抛掷一枚质地均匀的硬币10次,结果是4次正面朝上,所以事件“正面朝上”的概率为0.4;
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(3) 当试验次数很大时,随机事件发生的频率接近其概率;
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(4) 在一次试验中,随机事件可能发生也可能不发生,所以事件发生和不发生的概率各是0.5.
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2. 用掷两枚硬币做胜负游戏,规定:两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜,一个正面、一个反面算乙胜,这个游戏公平吗?
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3. 据统计 ABO血型具有民族和地区差异,在我国H省调查了30488人,四种血型的人数如下:
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| 项目 | A | B | O | AB |
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|------|-------|--------|------|-------|
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| 人数 | 7 704 | 10 765 | 8 970 | 3 049 |
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| 频率 | | | | |
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(1) 计算H省各种血型的频率并填表(精确到0.001);
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(2) 如果从H省任意调查一个人的血型,那么他是O型血的概率大约是多少?
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4. 分别举出一个生活中概率很小和很大的例子。
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## 10.3.2 随机模拟
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用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢?
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我们知道,利用计算器或计算机软件可以产生随机数。实际上,我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了。
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例如,对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验,我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0,1}的随机数,用0表示反面朝上,用1表示正面朝上。这样不断产生0,1两个随机数,相当于不断地做抛掷硬币的试验。
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又如,一个袋中装有2个红球和3个白球,这些球除颜色不同外没有其他差别。对于从袋中摸出一个球的试验,我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1,2,3,4,5}的随机数,用1,2表示红球,用3,4,5表示白球。这样不断产生1~5之间的整数随机数,相当于不断地做从袋中摸球的试验。
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> 随机数与伪随机数
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> 例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数。计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质,因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数。
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表10.3-3 是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果,其中$n$为试验次数, $n_A$为摸到红球的频数, $f_n(A)$为摸到红球的频率。
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**表10.3-3**
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| $n$ | 10 | 20 | 50 | 100 | 150 | 200 | 250 | 300 |
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| ------- | --- | ---- | --- | ---- | ---- | ----- | ----- | ---- |
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| $n_A$ | 6 | 7 | 20 | 45 | 66 | 77 | 104 | 116 |
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| $f_n(A)$ | 0.6 | 0.35 | 0.4 | 0.45 | 0.44 | 0.385 | 0.416 | 0.39 |
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[图片描述: 一张折线图，横轴表示试验次数 $n$，纵轴表示摸到红球的频率 $f_n$。横轴的刻度从0到300，主要标记点有10、20、50、100、150、200、250、300。纵轴的刻度从0.1到0.7。图中的折线连接了表10.3-3中的数据点，显示了随着试验次数的增加，摸到红球的频率在0.35到0.6之间波动，并逐渐趋于稳定。图中还包含一条水平线，代表了理论概率。|标题: 摸球试验中红球频率随试验次数变化的折线图|图片编号: 图1]
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画出频率折线图(图10.3-2)，从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率 $0.4$。
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我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛(Monte Carlo)方法。
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> 蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的，它的奠基人是冯·诺伊曼(John von Neumann)，这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生物、生态学、社会学以及经济行为等领域中都得到了广泛的应用。
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**例3** 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的，设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A 发生的概率。
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**解:** **方法1** 根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验。
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因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1, 2, ..., 12的12个球，这些球除编号外没有什么差别，有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验。如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了，重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A 发生的频率。
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**方法2** 利用电子表格软件模拟试验。在A1, B1, C1, D1, E1, F1 单元格分别输入“=RANDBETWEEN (1, 12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验。选中 A1, B1, C1, D1, E1, F1 单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验。统计其中有相同数的频率，得到事件A 的概率的估计值。
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表10.3-4是20次模拟试验的结果，事件 A 发生了14 次，事件A 的概率估计值为$0.70$，与事件A的概率(约$0.78$)相差不大。
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表**10.3-4**
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[图片描述:表格展示了20次模拟试验的结果。表格有6列（A到F），代表6名同学的出生月份，以及20行试验数据。每行代表一次模拟试验，单元格中的数字（1到12）表示同学的出生月份。例如，第一行显示了6名同学的出生月份分别为1、9、11、9、3、8。|标题:表10.3-4 20次模拟试验结果|图片编号:1]
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| A | B | C | D | E | F |
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|---|---|---|---|---|---|
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| 1 | 9 | 11 | 9 | 3 | 8 |
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| 10 | 12 | 1 | 9 | 4 | 12 |
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| 2 | 5 | 3 | 1 | 4 | 9 |
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| 9 | 8 | 10 | 1 | 2 | 12 |
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| 3 | 3 | 6 | 4 | 4 | 7 |
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| 7 | 1 | 2 | 5 | 3 | 10 |
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| 3 | 9 | 5 | 6 | 5 | 2 |
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| 1 | 9 | 9 | 10 | 8 | 7 |
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| 11 | 3 | 8 | 2 | 6 | 6 |
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| 2 | 3 | 8 | 6 | 7 | 8 |
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| 7 | 6 | 10 | 9 | 12 | 10 |
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| 10 | 2 | 11 | 5 | 3 | 5 |
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| 3 | 9 | 4 | 9 | 5 | 11 |
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| 6 | 4 | 5 | 8 | 1 | 7 |
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| 11 | 8 | 7 | 4 | 5 | 9 |
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| 4 | 9 | 8 | 4 | 6 | 9 |
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| 7 | 12 | 7 | 11 | 8 | 2 |
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| 12 | 12 | 11 | 2 | 4 | 5 |
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| 12 | 10 | 6 | 1 | 8 | 8 |
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| 8 | 7 | 10 | 2 | 9 | 5 |
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**例 4** 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛,假设每局比赛甲获胜的概率为$0.6$,乙获胜的概率为$0.4$.利用计算机模拟试验,估计甲获得冠军的概率.
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**分析**: 奥运会羽毛球比赛规则是$3$局$2$胜制,甲获得冠军的结果可能是$2:0$或$2:1$.显然,甲连胜$2$局或在前$2$局中赢一局输一局,并赢得第$3$局的概率,与打满$3$局,甲胜$2$局或$3$局的概率相同,每局比赛甲可能胜,也可能负,$3$局比赛所有可能结果有$8$种,但是每个结果不是等可能出现的,因此不是古典概型,可以用计算机模拟比赛结果.
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**解**: 设事件 $A$=“甲获得冠军”,事件 $B$=“单局比赛甲胜”,则$P(B)=0.6$.用计算器或计算机产生$1\sim 5$之间的随机数,当出现随机数$1,2$或$3$时,表示一局比赛甲获胜,其概率为$0.6$.由于要比赛$3$局,所以每$3$个随机数为一组,例如,产生$20$组随机数:
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```
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423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
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534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
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```
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相当于做了$20$次重复试验,其中事件 $A$ 发生了$13$次,对应的数组分别是$423,123,423,114,332,152,342,512,125,432,334,151,314$,用频率估计事件 $A$ 的概率近似为$\frac{13}{20}=0.65$.
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> 用随机模拟的方法得到的是$20$次试验中事件 $A$ 发生的频率,它是概率的近似值,事件 $A$ 的概率的精确值为$0.648$.
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### 练习
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1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷$4$次,设事件 $A$=“恰好两次正面朝上”,
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(1) 直接计算事件 $A$ 的概率;
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(2) 利用计算器或计算机模拟试验$80$次,计算事件 $A$ 发生的频率.
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2. 盒子中仅有$4$个白球和$5$个黑球,从中任意取出一个球.
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(1) “取出的球是黄球”是什么事件?它的概率是多少?
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(2) “取出的球是白球”是什么事件?它的概率是多少?
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(3) “取出的球是白球或黑球”是什么事件?它的概率是多少?
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(4) 设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验,并模拟$100$次,估计“取出的球是白球”的概率.
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3. (1) 掷两枚质地均匀的骰子,计算点数和为$7$的概率;
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(2) 利用随机模拟的方法,试验$120$次,计算出现点数和为$7$的频率;
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(3) 所得频率与概率相差大吗?为什么会有这种差异?
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## 习题 10.3
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### 复习巩固
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1. 在一个试验中，把一种血清注射到500只豚鼠体内，被注射前，这些豚鼠中150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞；被注射后，没有一个具有圆形细胞的豚鼠被感染，50个具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染。根据试验结果，估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染的概率:
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(1)圆形细胞;
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(2)椭圆形细胞;
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(3)不规则形状细胞.
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2. 用木块制作的一个四面体，四个面上分别标记1,2,3,4.重复抛掷这个四面体100次，记录每个面落在桌面上的次数(如下表)，如果再抛掷一次，请估计标记3的面落在桌面上的概率.
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| 四面体的面 | 1 | 2 | 3 | 4 |
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| :--------- | :-- | :-- | :-- | :-- |
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| 频数 | 22 | 18 | 21 | 39 |
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3. 在英语中不同字母出现的频率相差很大，但同一个字母的使用频率相当稳定。有人统计了40多万个单词中5个元音字母的使用频率，结果如下表所示:
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| 元音字母 | A | E | I | O | U |
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| :------- | :----- | :------ | :----- | :----- | :----- |
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| 频率 | 7.88% | 12.68% | 7.07% | 7.76% | 2.80% |
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(1)从一本英文(小说类)书里随机选一页，统计在这一页里元音字母出现的频率;
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(2)将你统计得出的频率与上表中的频率进行比较，结果是否比较接近？你认为存在差异的原因是什么.
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4. 人类的四种血型与基因型的对应为:O型的基因型为$ii$，A型的基因型为$I^A i$或$I^A I^A$，B型的基因型为$I^B i$或$I^B I^B$，AB型的基因型为$I^A I^B$.其中$I^A$和$I^B$是显性基因，$i$是隐性基因.
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一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，请确定他们的子女的血型是O, A, B或AB型的概率，并填写下表:
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| 父母血型的基因型组合 | 子女血型的概率 | | | |
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| :------------------- | :------------- | :--- | :--- | :--- |
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| | O | A | B | AB |
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| $I^A i \times I^B i$ | | | | |
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| $I^A i \times I^B I^B$ | | | | |
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| $I^A I^A \times I^B i$ | | | | |
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| $I^A I^A \times I^B I^B$ | | | | |
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### 综合运用
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5. “用事件A发生的频率$f_n(A)$估计概率$P(A)$，重复试验次数$n$越大，估计的就越精确”，判断这种说法是否正确，并举例说明.
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6. 在一个袋子中放6个白球，4个红球，摇匀后随机摸球3次，采用放回和不放回两种方式摸球. 设事件$A_i$=“第$i$次摸到红球”，$i=1,2, 3$.
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(1) 在两种摸球方式下分别猜想事件$A_1, A_2, A_3$发生的概率的大小关系;
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(2) 重复做10次试验，求事件$A_1, A_2, A_3$发生的频率，并填入下表.
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| 频率 | 放回摸球 | 不放回摸球 |
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|---|---|---|
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| $f_{10}(A_1)$ | | |
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| $f_{10}(A_2)$ | | |
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| $f_{10}(A_3)$ | | |
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(3) 在两种摸球方式下，第3次摸到红球的频率$f_{10}(A_3)$差别大吗?在不放回摸球方式下，事件$A_1, A_2, A_3$的频率差别大吗?请说明原因.
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## 阅读与思考
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### 孟德尔遗传规律
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奥地利遗传学家孟德尔在1858—1865年的8年间做了大量豌豆杂交试验，他把子叶为黄色和绿色的豌豆杂交，第一年收获的豌豆的子叶都是黄色的；第二年，当他把第一年收获的子叶为黄色的豌豆再种下时，收获的豌豆的子叶颜色既有黄色也有绿色. 同样地，他把圆粒和皱粒豌豆杂交，第一年收获的都是圆粒豌豆；第二年，当他把这种杂交圆粒豌豆再种下时，收获的却既有圆粒豌豆，又有皱粒豌豆. 试验的具体数据如下:
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[图片描述:一张黑白肖像照片，图中人物是一位戴眼镜、留着短发和胡须的男性，穿着类似神职人员的服装。他的面部表情平静而严肃。|标题:孟德尔(G. J. Mendel, 1822—1884)|图片1]
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表1 豌豆杂交试验的子二代结果
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| 性状 | 表现1 | | 表现2 | | 表现1 : 表现2 |
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|---|---|---|---|---|---|
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| 子叶的颜色 | 黄色 | 6 022 | 绿色 | 2 001 | 3.01 : 1 |
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| 种子的形状 | 圆粒 | 5 474 | 皱粒 | 1 850 | 2.96 : 1 |
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为什么表面完全相同的豌豆会长出这样不同的后代呢?而且每次试验第二年收获的结果比例都接近3 : 1，非常稳定. 孟德尔认为其中一定有某种遗传规律，经过长期坚持不懈的研究，孟德尔终于找到了规律，并提出了一种遗传机理的概率模型. 这一发现为近代遗传学奠定了基础，孟德尔本人也成了遗传学的奠基人.
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生物的性状是由遗传因子确定的，遗传因子在体细胞内是成对存在的，一个来自父本，一个来自母本，且是随机组合的。用 DD 表示子叶为纯黄色豌豆的一对遗传因子，用 dd 表示子叶为纯绿色豌豆的一对遗传因子。当这两种豌豆杂交时，子一代（第一年收获的豌豆）的遗传因子全部为 Dd。当把子一代杂交豌豆再种下时，子二代（第二年收获的豌豆）同样是从父本和母本各随机地继承一个遗传因子，所以子二代的遗传因子有三种类型：DD, Dd, dd。
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[图片描述: 该图展示了豌豆的两代遗传杂交过程。左侧是父代杂交：父代（黄色 DD x 绿色 dd），产生配子 D 和 d，子一代全部为 Dd。右侧是子一代杂交：子一代（黄色 Dd x 黄色 Dd），产生配子 D 和 d（来自第一个 Dd）以及 D 和 d（来自第二个 Dd），子二代基因型为 DD, Dd, Dd, dd。蓝色箭头表示遗传因子的传递路径。|标题: 豌豆遗传杂交示意图|图片编号: 1]
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对豌豆的颜色来说，D 是显性因子，d 是隐性因子，当显性因子与隐性因子结合时，表现显性因子的性状，即 DD, Dd 都表现为黄色；当两个隐性因子结合时，才表现隐性因子的性状，即 dd 表现为绿色。
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由于子代的遗传因子是父本和母本的遗传因子的等可能随机组合，因此在子二代中，DD, dd 出现的概率都是 $0.25$，Dd 出现的概率是 $0.5$。所以子二代中子叶为黄色的豌豆（DD, Dd）与子叶为绿色的豌豆（dd）的比例大约是 $3:1$。
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在孟德尔豌豆试验中，设 A = “在子二代豌豆中随机选择一粒子叶是绿色的豌豆”，则 A 是一个随机事件。孟德尔的试验（试验次数为 $8023$）表明，事件 A 发生的频率约为 $0.2494$。请问：
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(1) 孟德尔是依据什么猜想事件 A 发生的概率为 $0.25$，从而构造遗传机理概率模型的？
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(2) 如果对某个随机现象，我们先提出一个理论概率模型，如何对模型的正确性进行验证呢？
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感兴趣的同学可以进一步思考，当随机选择子二代豌豆进行杂交时，按照孟德尔遗传规律，子三代豌豆的子叶是绿色的概率是多大？
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小结
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## 一、本章知识结构
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```mermaid
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graph TD
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A[随机现象, 随机试验] --> B[样本点, 样本空间]
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B --> C[随机事件]
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C --> D[事件的关系与运算]
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D --> E[事件的独立性]
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C --> F[事件的概率]
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F --> G[古典概型]
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G --> H[概率的基本性质]
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H --> I[概率的计算]
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E --> I
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F --> J[频率的稳定性<br>随机模拟试验<br>频率估计概率]
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J --> I
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I --> K[应用概率解决实际问题]
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J --> K
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```
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[图片描述:一个展示了概率论知识体系的流程图。流程从“随机现象, 随机试验”开始，依次引出“样本点, 样本空间”、“随机事件”。“随机事件”分化为两条主线：一是“事件的关系与运算”及其下属的“事件的独立性”，最终汇入“概率的计算”；二是“事件的概率”，它又分化为“古典概型”和“频率的稳定性、随机模拟试验、频率估计概率”。“古典概型”引出“概率的基本性质”，进而引出“概率的计算”。“频率的稳定性、随机模拟试验、频率估计概率”也引出“概率的计算”，并且直接引向“应用概率解决实际问题”。最终，“概率的计算”和“频率的稳定性、随机模拟试验、频率估计概率”共同引向“应用概率解决实际问题”。|标题:本章知识结构图|图片编号:1]
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## 二、回顾与思考
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在自然界和人类社会存在的各种现象中，有些在一定条件下能预知结果，称为确定性现象；有些不能预知结果，称为不确定性现象。我们把在一定条件下不能事先预知结果，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率具有稳定性的现象称为随机现象。概率论是研究随机现象规律性的数学分支。
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在本章，我们在明确概率的研究对象的基础上，引进了样本点和有限样本空间的概念，并把随机事件定义为样本空间的子集，再类比集合的关系和运算，研究了随机事件的关系和运算；然后，我们重点研究了古典概型的特征、古典概率的定义及计算，探究了概率的基本性质；接着，利用概率讨论了事件之间的一种特殊关系，即事件的独立性，并利用独立性简化某些概率计算；最后，我们研究了随机事件频率的稳定性，以及用频率估计概率时很实用的随机模拟方法。
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在初中的学习中，我们对随机事件、等可能条件下概率的计算以及用频率估计概率已有初步认识。本章我们从随机试验抽象出样本点、样本空间的概念，将随机事件看作样本空间的子集，这是研究概率问题的基础。用样本点表示随机事件是把现实问题转化为数学问题的关键步骤，必须给予充分重视。根据概率的定义，设一个随机试验的样本空间为$\Omega$，对于每个事件$A \subseteq \Omega$，都有唯一
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确定的实数 $P(A) \in [0, 1]$ 与之对应，由此想到，我们可以类比函数的研究过程和方法来构建概率的研究路径，发现和提出概率中要研究的问题，形成研究方法，得出有关结论。例如，我们可以建立一个表格，通过类比函数的性质，发现和提出概率的性质：
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| 函数 $y=f(x)$ 的性质 | 概率 $P(A)$ 的性质 |
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| :---------------------------------------------------------- | :---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
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| 1. 定义域：$x$ 的取值范围 $D$. | 1. 事件 $A$ 的“取值范围”，$A$ 是样本空间 $\Omega$ 的子集，$A$ 中元素取自 $\Omega$. |
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| 2. 值域：$f(x)$ 的取值范围. | 2. $P(A)$ 的取值范围：$0 \le P(A) \le 1$. |
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| 3. 特殊点的取值：如对于 $y=a^x (a>0, a \neq 1)$，$a^0=1$. | 3. 特殊事件的概率：(1) $P(\emptyset) = 0$; (2) $P(\Omega) = 1$; (3) 设 $\{w_1\}, \dots, \{w_n\}$ 为基本事件，那么 $\sum_{i=1}^n P(\{w_i\}) = 1$. |
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| 4. 单调性：任意 $x_1, x_2 \in D$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) < f(x_2)$ (或 $f(x_1) > f(x_2)$). | 4. 单调性：如果 $A \subseteq B$，那么 $P(A) \le P(B)$. |
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| ...... | ...... |
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当然，概率的研究对象比函数的研究对象复杂得多，所以在概率的学习中要拓宽思路。例如，我们还可以从事件的关系和运算入手，或者类比长度、面积的性质，发现概率的一些基本性质。
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随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，它的发生呈现出规律性。概率是随机事件发生可能性大小的度量。古典概型是最简单的概率模型，可以直接计算相关事件的概率。需要注意的是，只有在试验结果是有限的、每个结果的出现是等可能的特征下，才能定义出古典概型中随机事件发生的概率。在学习中，要注意在理解样本空间、随机事件等概念的基础上，理解随机事件概率的意义；同时，要注意借助古典概型认识样本空间以及随机事件发生的含义。
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在现实中，还有大量随机事件不能像古典概型一样直接计算概率，要利用频率来估计，要注意理解频率的特性、概率与频率的关系。随机事件发生的频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定于概率；频率具有随机性，试验次数不同，频率可能不同，即使相同次数的不同试验，频率也可能不同。不过，概率是一个确定的数，与每次试验无关。
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与统计的研究一样，概率中也需要进行大数据量的处理。本章我们学习了随机模拟方法，利用计算机产生整数随机数、模拟某些随机试验，这不仅能提高数
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据处理的效率, 而且能使我们更好地体会概率的意义, 所以, 要重视信息技术的作用, 尽可能学会用计算工具来处理数据, 进行随机模拟。
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请你带着下面的问题, 复习一下全章的內容吧!
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1. 你能举出一些随机现象的例子吗? 你会用什么方法了解这个随机现象的规律?
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2. 你能举出几个在日常生活中利用概率决策的例子吗?
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3. 古典概型有哪些特征?
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4. 由概率的基本性质你还能推出概率的其他性质吗?
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5. 如果两个事件 $A$ 和 $B$ 独立, 那么 $P(AB)$ 与 $P(A)$, $P(B)$ 有什么关系?
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6. 重复试验 100 次一定比重复试验 50 次得到的频率更接近概率吗? 你有办法了解你得到的频率是否接近概率吗?
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7. 利用随机模拟得到的计算结果是频率还是概率?
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## 复习参考题 10
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### 复习巩固
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1. 在一个盒子中有 3 个球, 蓝球、红球、绿球各 1 个, 从中随机地取出 1 个球, 观察其颜色后放回, 然后再随机取出 1 个球。
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(1) 用适当的符号表示试验的可能结果, 写出试验的样本空间;
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(2) 用集合表示“第一次取出的是红球”的事件;
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(3) 用集合表示“两次取出的球颜色相同”的事件.
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[图片描述:一个维恩图，显示了两个重叠的椭圆形集合A（浅绿色）和B（橙色），它们都包含在一个更大的矩形样本空间$\Omega$中。|标题:(第2题)|图1]
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2. 如图是一个古典概型的样本空间 $\Omega$ 和事件 $A$ 和 $B$, 其中 $n(\Omega)=24$, $n(A)=12$, $n(B)=8$, $n(A \cup B)=16$, 那么
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(1) $n(AB) = \_\_\_\_$, $P(AB)=\_\_\_\_$, $P(A \cup B)=\_\_\_\_$, $P(\overline{AB})=\_\_\_\_$.
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(2) 事件 $A$ 与 $B$ 互斥吗? 事件 $A$ 与 $B$ 相互独立吗?
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3. 某个制药厂正在测试一种减肥药的疗效, 有 500 名志愿者服用此药, 结果如下:
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| 体重变化 | 体重减轻 | 体重不变 | 体重增加 |
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| :------- | :------- | :------- | :------- |
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| 人数 | 276 | 144 | 80 |
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如果另有一人服用此药, 估计下列事件发生的概率:
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(1) 这个人的体重减轻了;
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(2) 这个人的体重不变;
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(3) 这个人的体重增加了.
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4. 某中学有教职工130人, 对他们进行年龄状况和受教育程度的调查, 其结果如下:
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| 年龄状况 | 本科 | 研究生 | 合计 |
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| :------- | :--- | :----- | :--- |
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| 35岁以下 | 50 | 35 | 85 |
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| 35~50岁 | 20 | 13 | 33 |
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| 50岁以上 | 10 | 2 | 12 |
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从这130名教职工中随机地抽取一人, 求下列事件的概率:
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(1) 学历为“本科”;
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(2) 35岁及以上;
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(3) 35岁以下且学历为“研究生”.
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**综合运用**
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5. 一个袋子中有4个红球, 6个绿球, 采用不放回方式从中依次随机地取出2个球.
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(1) 求第二次取到红球的概率;
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(2) 求两次取到的球颜色相同的概率;
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(3) 如果是4个红球, $n$ 个绿球, 已知取出的2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{6}$, 那么 $n$ 是多少?
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6. 有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯, 假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.
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(1) 求这两个人在不同层离开电梯的概率;
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(2) 求这两个人在同一层离开电梯的概率.
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7. 柜子里有3双不同的鞋, 分别用 $a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2$ 表示6只鞋, 从中随机地取出2只.
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(1) 写出试验的样本空间.
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(2) 求下列事件的概率, 并说明它们的关系:
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① A = “取出的鞋不成双”;
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② B = “取出的鞋都是左脚的”;
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③ C = “取出的鞋都是一只脚的”;
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④ D = “取出的鞋是一只左脚一只右脚的, 但不是一双鞋”.
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**拓广探索**
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8. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目, 李明答对每道题目的概率都是0.6. 若每位面试者共有三次机会, 一旦某次答对抽到的题目, 则面试通过, 否则就一直抽题到第3次为止. 用Y表示答对题目, 用N表示没有答对题目, 假设对抽到的不同题目能否答对是独立的.
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**第一次 第二次 第三次 样本点**
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[图片描述:一个树状图，描绘了三次事件的可能路径和样本点。
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- **第一次**事件分支为Y和N。
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- 从**第一次 Y**分支出**第二次 Y**和**第二次 N**。
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- 从**第一次 N**分支出**第二次 N**（请注意，此N节点与从第一次Y分支出的第二次N节点是不同的路径）。
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- 从**第二次 Y**（来自第一次Y）分支出**第三次 Y**。
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- 从**第二次 N**（来自第一次Y）分支出**第三次 Y**和**第三次 N**。
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- 从**第二次 N**（来自第一次N）分支出**第三次 N**。
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- 最终有四个空白的括号表示样本点，对应路径的终点。这些括号旁边标有“样本点”字样，待填写。
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根据图示的连接，四个样本点预期对应以下路径：
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1. Y-Y-Y
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2. Y-N-Y
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3. Y-N-N
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4. N-N-N
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|标题:第8题的树状图|图片编号:1]
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(第8题)
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(1) 在右侧的树状图中填写样本点，并写出样本空间;
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(2) 求李明第二次答题通过面试的概率;
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(3) 求李明最终通过面试的概率.
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9. 有两个盒子，其中1号盒子中有95个红球，5个白球；2号盒子中有95个白球，5个红球。现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一个球，如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒子？做出你的推断，并说说你的想法。你认为能否做出完全正确的判断？
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# 部分中英文词汇索引
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| 中文 | 英文 | 页码 |
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| 向量 | vector | 2 |
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| 有向线段 | directed line segment | 3 |
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| 零向量 | zero vector | 3 |
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| 单位向量 | unit vector | 3 |
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| 平行向量 | parallel vectors | 3 |
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| 相等向量 | equal vectors | 4 |
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| 共线向量 | collinear vectors | 4 |
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| 向量的数乘 | scalar multiplication of vectors | 13 |
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| 内积 | inner product | 17 |
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| 投影 | project | 18 |
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| 基底 | base | 26 |
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| 余弦定理 | cosine theorem | 43 |
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| 解三角形 | solving a triangle | 43 |
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| 正弦定理 | sine theorem | 46 |
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| 复数 | complex number | 69 |
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| 虚数单位 | imaginary unit | 69 |
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| 复数集 | set of complex numbers | 69 |
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| 实部 | real part | 69 |
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| 虚部 | imaginary part | 69 |
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| 虚数 | imaginary number | 69 |
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| 复数的模 | modulus of a complex number | 71 |
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| 共轭复数 | conjugate complex number | 72 |
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| 复数的辐角 | argument of a complex number | 84 |
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| 多面体 | polyhedron | 97 |
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| 旋转体 | solid of rotation | 98 |
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| 棱柱 | prism | 98 |
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| 棱锥 | pyramid | 99 |
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续表
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| 中文 | 英文 | 页码 |
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| 棱台 | frustum of a pyramid | 100 |
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| 圆柱 | circular cylinder | 101 |
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| 圆锥 | circular cone | 102 |
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| 圆台 | circular truncated cone | 102 |
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| 球体 | spheroid | 102 |
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| 平面 | plane | 124 |
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| 二面角 | dihedral angle | 156 |
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| 总体 | population | 173 |
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| 个体 | individual | 173 |
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| 抽样调查 | sampling survey | 173 |
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| 样本 | sample | 173 |
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| 简单随机抽样 | simple random sampling | 175 |
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| 总体均值 | population mean | 178 |
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| 样本均值 | sample mean | 178 |
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| 分层随机抽样 | stratified random sampling | 182 |
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| 频率分布表 | frequency distribution table | 194 |
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| 频率分布直方图 | frequency distribution histogram | 194 |
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| 百分位数 | percentile | 203 |
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| 方差 | variance | 212 |
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| 标准差 | standard deviation | 212 |
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| 随机试验 | random trial | 228 |
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| 样本空间 | sample space | 228 |
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| 随机事件 | random event | 229 |
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| 基本事件 | elementary event | 229 |
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| 概率 | probability | 235 |
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# 后记
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本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，2019年经国家教材委员会专家委员会审核通过。
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本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004年版《普通高中课程标准实验教科书・数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集体智慧。本册教科书的编写者还有陈雪梅等；本书插图绘制为王俊宏，为本书提供照片的有 **IC photo**（第49, 67, 96, 173页各一张图），新华社才扬（第67页一张图）等。
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我们感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书・数学（A版）》的主编刘绍学，副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员。我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。
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本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作者与我们联系，以便及时支付稿酬。
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本册教科书投入使用后，我们根据各方意见作了修订，真诚希望广大师生和家长继续提出宝贵意见！
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## 联系方式
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电话：010-58758866
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电子邮箱：jcfk@pep.com.cn
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人民教育出版社课程教材研究所
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中学数学课程教材研究开发中心
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人民教育出版社
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人民教育出版社
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人民教育出版社
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人民教育出版社
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人民教育出版社
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人民教育出版社
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[图片描述:白色的注册商标标识，图案形似一片叶子或盾牌的轮廓，内部包含一个注册商标符号“R”。|标题:注册商标标识|图1]
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PUTONG GAOZHONG JIAOKESHU
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SHUXUE
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[图片描述:中国环境标志认证的绿色圆形标识。标识上方是中文“中国环境标志”，下方是英文“CHINA ENVIRONMENTAL LABELLING”，中央图案抽象描绘了山峦、水体和升起的太阳，象征环境保护。标识下方印有文字“绿色印刷产品”，表明该产品符合绿色印刷标准。|标题:中国环境标志（绿色印刷产品）|图2]
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[图片描述:标准的EAN-13条形码，下方印有国际标准书号（ISBN）“978-7-107-33566-2”及其数字编码“9787107335662>”。|标题:ISBN条形码|图3]
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[图片描述:页面右侧部分展示了一座具有中国传统建筑风格的宏伟建筑（可能是一座教学楼、图书馆或政府机构大楼），建筑屋顶瓦片呈深色，墙体为浅色。前景有一片平静的水面，反射着蓝色的天空和建筑的倒影，远处可见绿色树木。|标题:局部建筑景观与水景|图4]
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