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# 第三章
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# 圆锥曲线的方程
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我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆。如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢？
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[图片描述:展示了一个双锥体被不同倾斜角度的平面截取，从而形成圆、椭圆、抛物线和双曲线等不同截口曲线的几何示意图。图中用虚线和颜色线条描绘了圆锥的轴、截面以及形成的曲线，清晰地展示了圆锥曲线的生成方式。|标题:圆锥截面示意图|图片1]
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如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为**圆锥曲线** (conic sections)。
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圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系，如行星绕太阳运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案。
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圆锥曲线的发现与研究始于古希腊，当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广。17 世纪，笛卡儿发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线。
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本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力。
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[图片描述:展示了太阳系中行星围绕太阳运行的景象，描绘了不同行星以椭圆形轨道围绕中心恒星（太阳）运行的场景。图中可见多个行星及其椭圆轨道，背景是浩瀚的星空，直观地体现了圆锥曲线在天文学中的应用。|标题:行星运行轨道示意图|图片2]
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# 3.1 椭圆
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椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？
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## 3.1.1 椭圆及其标准方程
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> **💡 探究**
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>
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> 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点 $F_1, F_2$ (图3.1-1)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
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>
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> 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
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>
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> [图片描述: 一只手拿着铅笔，用一根绕过两个固定点$F_1$和$F_2$的细绳在图板上绘制椭圆。铅笔尖在点$M$处，细绳绷紧形成三角形$MF_1F_2$，表示$MF_1 + MF_2$的长度是常数。固定点$F_1$和$F_2$位于椭圆的长轴上。|标题:图3.1-1 椭圆的画法示意图|图片编号:1]
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把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数。
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我们把平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离的和等于常数(大于 $|F_1F_2|$)的点的轨迹叫做**椭圆** (*ellipse*)。这两个定点叫做椭圆的**焦点** (*focus*)，两焦点间的距离叫做椭圆的**焦距** (*focus distance*)，焦距的一半称为半焦距。
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由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖(动点)画出的轨迹是椭圆。
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下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程。
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> **❓ 思考**
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>
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> 观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
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观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称。
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轴，所以我们以经过椭圆两焦点 $F_1, F_2$ 的直线为$x$轴，线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线为$y$轴，建立平面直角坐标系 $Oxy$，如图 3.1-2 所示。
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设 $M(x,y)$ 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 $2c(c>0)$，那么焦点 $F_1,F_2$ 的坐标分别为 $(-c,0), (c,0)$。根据椭圆的定义，设点 $M$ 与焦点 $F_1,F_2$ 的距离的和等于 $2a$。
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由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
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$P=\{M \mid |MF_1|+|MF_2|=2a\}$.
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[图片描述: 描述了一个以原点为中心、焦点在x轴上的椭圆。坐标轴分别为x轴和y轴，原点为O。椭圆上有两焦点F1和F2，它们位于x轴上且关于原点对称。椭圆上任一点M被线段连接到F1和F2，这些线段表示点M到两焦点的距离。|标题: 图3.1-2|图片编号: 图1]
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因为
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$|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2}$, $|MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2}$,
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设为$2a$能为问题的研究带来方便。
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所以
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$\sqrt{(x+c)^2+y^2} + \sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a$. (1)
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为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得
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$\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}$. (2)
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对方程②两边平方，得
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$(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2} + (x-c)^2+y^2$.
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整理，得
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$a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$. (3)
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对方程③两边平方，得
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$a^4-2a^2cx+c^2x^2= a^2x^2-2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2$.
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整理，得
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$(a^2-c^2)x^2+a^2y^2= a^2(a^2-c^2)$. (4)
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将方程④两边同除以 $a^2(a^2-c^2)$，得
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$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2}=1$. (5)
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由椭圆的定义可知，$2a>2c>0$，即$a>c>0$，所以$a^2-c^2>0$。
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### **思考**
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观察图3.1-3，你能从中找出表示 $a, c, \sqrt{a^2-c^2}$ 的线段吗？
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[图片描述: 描述了一个以原点为中心、焦点在x轴上的椭圆。坐标轴分别为x轴和y轴，原点为O。椭圆上有两焦点F1和F2。椭圆上一点P位于y轴正半轴与椭圆的交点处。连接P到F1和P到F2的线段被绘制出来。此图用于帮助理解椭圆的几何性质。|标题: 图3.1-3|图片编号: 图2]
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由图 3.1-3 可知，$|PF_1|=|PF_2|=a$， $|OF_1|=|OF_2|=c$， $|PO|=\sqrt{a^2-c^2}$。令 $b=|PO|=\sqrt{a^2-c^2}$，那么方程⑤就是
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$$
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\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0) \tag{6}
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$$
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由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形，这样，椭圆上任意一点的坐标 $(x,y)$ 都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点 $(x,y)$ 与椭圆的两个焦点 $(c,0)$, $(-c,0)$ 的距离之和为 $2a$，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上。我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做**椭圆的标准方程**。它表示焦点在 $x$ 轴上，两个焦点分别是 $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$ 的椭圆，这里 $c^2=a^2-b^2$。
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**? 思考**
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[图片描述:一个坐标系中，x轴和y轴交于原点O。椭圆的焦点F1和F2位于y轴上，F1在负y轴，F2在正y轴。椭圆上有一点M。|标题:图3.1-4|图片编号:1]
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如图3.1-4，如果焦点 $F_1, F_2$ 在 $y$ 轴上，且 $F_1, F_2$ 的坐标分别为 $(0,-c)$, $(0,c)$，$a,b$ 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
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容易知道，此时椭圆的方程是
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$$
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\frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0)
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$$
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这个方程也是椭圆的标准方程。
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**例1** 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 $(-2,0),(2,0)$，并且经过点$(\frac{5}{2},-\frac{3}{2})$，求它的标准方程。
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**解**: 由于椭圆的焦点在 $x$ 轴上，所以设它的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$。
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由椭圆的定义知 $c=2$，
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$$
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2a = \sqrt{\left(\frac{5}{2}+2\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} + \sqrt{\left(\frac{5}{2}-2\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = 2\sqrt{10}
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$$
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所以 $a=\sqrt{10}$。
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所以 $b^2=a^2-c^2=10-4=6$。
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所以，所求椭圆的标准方程为
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$$
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\frac{x^2}{10} + \frac{y^2}{6} = 1
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$$
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**?**
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你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点。
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**例2** 如图3.1-5,在圆$x^2+y^2=4$上任取一点$P$,过点$P$作$x$轴的垂线段 $PD$, $D$ 为垂足.当点$P$在圆上运动时,线段 $PD$ 的中点$M$的轨迹是什么?为什么?(当点 $P$经过圆与$x$轴的交点时,规定点$M$与点$P$重合.)
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[图片描述: 坐标系中有一个以原点O为圆心的圆。点P在圆上，过P作x轴的垂线段PD，其中D点在x轴上。点M是线段PD的中点。虚线表示点M的轨迹，为一个椭圆。|标题: 图3.1-5|图片编号: 图1]
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**分析:** 点$P$在圆$x^2+y^2=4$上运动,点$P$的运动引起点$M$运动,我们可以由$M$为线段$PD$的中点得到点$M$与点$P$坐标之间的关系式,并由点$P$的坐标满足圆的方程得到点$M$的坐标所满足的方程.
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**解:** 设点$M$的坐标为$(x,y)$,点$P$的坐标为$(x_0, y_0)$,则点$D$的坐标为$(x_0, 0)$.
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由点$M$是线段$PD$的中点,得
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$$x=x_0, y=\frac{y_0}{2}.$$
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因为点$P(x_0, y_0)$在圆$x^2+y^2=4$上,所以
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$$x_0^2+y_0^2=4.$$
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把$x_0=x$, $y_0=2y$代入方程①,得
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$$x^2+(2y)^2=4,$$
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即
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$$\frac{x^2}{4}+y^2=1.$$
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所以点$M$的轨迹是椭圆.
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> ① 寻求点$M$的坐标$(x, y)$中$x, y$与$x_0, y_0$之间的关系,然后消去$x_0, y_0$,得到点$M$的轨迹方程,这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法. 利用信息技术,可以更方便地探究点$M$的轨迹的形状.
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**? 思考**
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由例2我们发现,可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗?如何“拉伸”?由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?
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**例3** 如图3.1-6,设$A, B$两点的坐标分别为$(-5, 0)$, $(5, 0)$.直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$,且它们的斜率之积是$-\frac{4}{9}$,求点$M$的轨迹方程.
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[图片描述: 坐标系中，x轴上有两点A(-5,0)和B(5,0)。点M在第一象限，连接AM和BM，形成两条直线。虚线表示M点的轨迹，为一个经过A和B的椭圆。|标题: 图3.1-6|图片编号: 图2]
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**分析:** 设点$M$的坐标为$(x,y)$,那么直线$AM, BM$的斜率就可用含$x, y$的关系式分别表示.由直线$AM, BM$的斜率之积是$-\frac{4}{9}$,可得出$x, y$之间的关系式,进而得到点$M$的轨迹方程.
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**解:** 设点$M$的坐标为$(x,y)$,因为点$A$的坐标是$(-5,0)$,所以直线$AM$的斜率
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$k_{AM} = \frac{y}{x+5} (x \neq -5).$
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同理,直线 $BM$ 的斜率
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$k_{BM} = \frac{y}{x-5} (x \neq 5).$
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由已知,有
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$\frac{y}{x+5} \times \frac{y}{x-5} = -\frac{4}{9} (x \neq \pm 5),$
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化简,得点 $M$ 的轨迹方程为
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$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{\frac{100}{9}} = 1 (x \neq \pm 5).$
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> 运用信息技术,可以探究点 $M$ 的轨迹形状.
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点 $M$ 的轨迹是除去 $(-5,0),(5,0)$ 两点的椭圆.
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## 练习
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1. 如果椭圆 $\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{36} = 1$ 上一点 $P$ 与焦点 $F_1$ 的距离等于6,那么点 $P$ 与另一个焦点 $F_2$ 的距离是 ____.
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2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
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(1) $a=4, b=1$, 焦点在 $x$ 轴上;
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(2) $a=4, c=\sqrt{15}$, 焦点在 $y$ 轴上;
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(3) $a+b=10, c=2\sqrt{5}.$
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3. 经过椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1$ 的右焦点 $F_2$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $AB$,交椭圆于 $A, B$ 两点,$F_1$ 是椭圆的左焦点.
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(1)求 $\triangle AF_1B$ 的周长;
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(2)如果 $AB$ 不垂直于 $x$ 轴, $\triangle AF_1B$ 的周长有变化吗?为什么?
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4. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-1,0),(1,0)$, 直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$, 且直线 $AM$ 的斜率与直线 $BM$ 的斜率的商是2, 点 $M$ 的轨迹是什么?为什么?
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## 3.1.2 椭圆的简单几何性质
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与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样, 我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质,包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.
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下面,我们用椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$ 来研究椭圆的几何性质.
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> 通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.所以,本章对几种圆锥曲线都是从范围、对称性、顶点及其他特性等方面研究它们的几何性质.
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## 观察
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观察椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$ 的形状, 你能从图上看出它的范围吗? 它具有怎样的对称性? 椭圆上哪些点比较特殊?
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## 1. 范围
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### 思考
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观察图 3.1-7, 容易看出椭圆上的点都在一个特定的矩形内, 你能利用方程 (代数方法) 确定出它的具体边界吗?
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由方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$, 可知
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$\frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \ge 0$,
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所以, 椭圆上点的横坐标都适合不等式
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$\frac{x^2}{a^2} \le 1$,
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即
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$-a \le x \le a$.
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同理有
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$\frac{y^2}{b^2} \le 1$,
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即
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$-b \le y \le b$.
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这说明椭圆位于直线 $x=\pm a$ 和 $y=\pm b$ 围成的矩形框里 (图 3.1-7).
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[图片描述: 坐标系中，一个椭圆以原点O为中心。x轴上有A1、F1、O、F2、A2点，y轴上有B2、O、B1点。从原点到A2的距离为a，从原点到B2的距离为b，从原点到F2的距离为c。椭圆被一个虚线矩形框住，矩形的四条边分别与x轴和y轴平行，且经过椭圆的顶点A1、A2、B1、B2。|标题: 图3.1-7|图片1]
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用代数方法研究曲线的范围, 就是利用方程确定曲线上点的横、纵坐标的取值范围.
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## 2. 对称性
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### 探究
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观察椭圆的形状, 可以发现椭圆既是轴对称图形, 又是中心对称图形, 如何利用方程说明椭圆的对称性?
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在椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0)$ 中, 以 $-y$ 代 $y$, 方程不变, 这说明当点 $P(x, y)$ 在椭圆上时, 它关于 $x$ 轴的对称点 $P_1(x, -y)$ 也在椭圆上, 所以椭圆关于 $x$ 轴对称, 同理, 以 $-x$ 代 $x$, 方程也不变, 这说明如果点 $P(x, y)$ 在椭圆上, 那么它关于 $y$ 轴的对称点 $P_2(-x, y)$ 也在椭圆上, 所以椭圆关于 $y$ 轴对称, 以 $-x$ 代 $x$, 以 $-y$ 代 $y$,
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方程也不变,这说明当点$P(x,y)$在椭圆上时,它关于原点的对称点$P_3(-x,-y)$也在椭圆上,所以椭圆关于原点对称。
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综上,椭圆关于$x$轴、$y$轴都是对称的.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做**椭圆的中心**。
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### 3. 顶点
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研究曲线上某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置.
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> **? 思考**
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> 你认为椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$上哪些点比较特殊?为什么?如何得到这些点的坐标?
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在椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$中,令$x=0$,得$y=\pm b$.因此$B_1(0,-b)$, $B_2(0,b)$是椭圆与$y$轴的两个交点.同理,令$y=0$,得$x=\pm a$.因此$A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$是椭圆与$x$轴的两个交点,因为$x$轴、$y$轴是椭圆的对称轴,所以椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做**椭圆的顶点**(图3.1-8)。
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[图片描述:一个椭圆及其坐标轴。椭圆的中心位于原点$O$。$A_1$和$A_2$是椭圆与$x$轴的交点，其中$A_1$在负半轴，$A_2$在正半轴。$B_1$和$B_2$是椭圆与$y$轴的交点，其中$B_1$在负半轴，$B_2$在正半轴。$x$轴和$y$轴都标有方向箭头。|标题:图3.1-8|图1]
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线段$A_1A_2$, $B_1B_2$分别叫做**椭圆的长轴**和**短轴**,它们的长分别等于$2a$和$2b$,$a$和$b$分别叫做**椭圆的长半轴长**和**短半轴长**。
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### 4. 离心率
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> **? 思考**
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> 观察图 3.1-9,我们发现,不同形状的椭圆的扁平程度不同,相同形状的椭圆的扁平程度相同.扁平程度是椭圆的重要形状特征,你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?
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[图片描述:并排展示了两个椭圆形状。左侧是一个相对圆润、扁平程度较低的椭圆，由多条同心蓝色水平弧线和几条垂直于这些弧线的蓝色曲线构成。右侧是一个明显更扁平的椭圆，由多条同心粉色水平椭圆构成。这两个图像用于对比不同扁平程度的椭圆。|标题:图3.1-9|图2]
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如图3.1-10,椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$的长半轴长为$a$,半焦距为$c$.利用信息技术,保持长半轴长$a$不变,改变椭圆的半焦距$c$,可以发现,$c$越接近$a$,椭圆越扁平.类似地,保持$c$不变,改变$a$的大小,则$a$越接近$c$,椭圆越扁平;而当$a$,$c$扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变.
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||
[图片描述:一个坐标系中绘制了两个不同扁平程度的椭圆，均以原点$O$为中心。左侧显示了两组参数：
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第一组 (对应较圆的椭圆，在图上方)：`c=0`, `a=1`, `c/a=0`
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第二组 (对应较扁的椭圆，在图下方)：`c=0.8`, `a=1`, `c/a=0.8`
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两个椭圆共用原点，并展示了不同$c/a$值对椭圆形状（扁平程度）的影响。|标题:图3.1-10|图3]
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这样,利用$c$和$a$这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度.
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我们把椭圆的焦距与长轴长的比$\frac{c}{a}$称为椭圆的**离心率**①, 用$e$表示,即$e=\frac{c}{a}$。
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> 你能运用三角函数的知识解释,为什么$e=\frac{c}{a}$越大,椭圆越扁平?$e=\frac{c}{a}$越小,椭圆越接近于圆吗?
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因为$a>c>0$,所以 $0<e<1$. $e$越接近1,$c$越接近$a$, $b=\sqrt{a^2-c^2}$就越小,因此椭圆越扁平;反之,$e$越接近0,$c$越接近0,$b$越接近$a$,这时椭圆就越接近于圆。
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当且仅当$a=b$时,$c=0$,这时两个焦点重合,图形变为圆,它的方程为
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$x^2+y^2=a^2$.
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**例4** 求椭圆$16x^2+25y^2=400$的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。
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**解**: 把原方程化成标准方程,得
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$\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$,
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于是$a=5,b=4,c=\sqrt{25-16}=3$.
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因此,椭圆的长轴和短轴的长分别是$2a=10$和$2b=8$,离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$,两个焦点坐标分别是$F_1(-3,0)$和$F_2(3,0)$,四个顶点坐标分别是$A_1(-5,0)$,$A_2(5,0)$,$B_1(0,-4)$和$B_2(0,4)$.
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## 练习
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1. 你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗?你的依据是什么?
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2. 求下列椭圆的焦点坐标:
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(1) $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$; (2) $2x^2+y^2=8$.
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3. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
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(1) 焦点在$x$轴上,$a=6,e=\frac{1}{3}$; (2) 焦点在$y$轴上,$c=3,e=\frac{3}{5}$.
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4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
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(1) 经过$P(-3,0),Q(0,-2)$两点; (2) 长轴长等于20,离心率等于$\frac{3}{5}$.
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5. 比较下列每组中椭圆的形状,哪一个更接近于圆?为什么?
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(1) $9x^2+y^2=36$ 与 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$;
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(2) $x^2+9y^2=36$ 与 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{10}=1$.
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[图片描述:一个坐标系中绘制的椭圆，中心在原点O。椭圆的长轴沿x轴，顶点为A1和A2；短轴沿y轴，顶点为B1和B2。坐标轴标记为x和y。|标题:第1题图|图片编号:1]
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① 随着学习的深入你将体会到,虽然$\frac{b}{a}$也能刻画椭圆的扁平程度,但$\frac{c}{a}$中$a,c$是确定圆锥曲线的基本量,不仅能有效刻画两个焦点离开中心的程度,而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性.
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**例 5** 如图3.1-11,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分,过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点 $F_1$上,片门位于另一个焦点$F_2$上.由椭圆一个焦点 $F_1$发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 $F_2$.已知 $BC \perp F_1F_2$, $F_1B = 2.8\text{ cm}$, $|F_1F_2|=4.5\text{ cm}$. 试建立适当的平面直角坐标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程(精确到0.1cm).
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[图片描述: 一个平面直角坐标系中的椭圆形反射镜面，原点O位于椭圆中心。x轴穿过焦点$F_1$和$F_2$。灯丝位于焦点$F_1$，片门位于焦点$F_2$。从$F_1$发出的光线（粉色箭头）经过椭圆面反射后会聚到$F_2$。椭圆的截口由点A、B、C定义。点D表示透明窗，点E在椭圆弧上。外围有虚线表示的更大范围的椭圆轮廓，提示了旋转椭圆面的形状。|标题: 电影放映灯反射镜面示意图|图片编号: 1]
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**解:** 建立如图3.1-11 所示的平面直角坐标系,设所求椭圆方程为
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$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$.
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在 $Rt\triangle BF_1F_2$中,
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$|F_2B|=\sqrt{|F_1B|^2+|F_1F_2|^2}=\sqrt{2.8^2+4.5^2}$.
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由椭圆的性质知,$|F_1B|+|F_2B|=2a$,所以
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$a=\frac{1}{2}(|F_1B|+|F_2B|)=\frac{1}{2}(2.8+\sqrt{2.8^2+4.5^2})\approx4.1$;
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又 $c = \frac{1}{2}|F_1F_2| = \frac{1}{2} \times 4.5 = 2.25$，
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$b=\sqrt{a^2-c^2} = \sqrt{4.1^2-2.25^2} \approx 3.4$.
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所以,所求的椭圆方程为
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$\frac{x^2}{4.1^2}+\frac{y^2}{3.4^2}=1$.
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**例 6** 动点$M(x,y)$与定点$F(4,0)$的距离和$M$到定直线 $l: x=\frac{25}{4}$的距离的比是常数$\frac{4}{5}$,求动点$M$的轨迹.
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[图片描述: 一个平面直角坐标系中的椭圆。椭圆中心为原点O。x轴上有一个焦点F。点M是椭圆上任意一点。直线l是一条与x轴垂直的准线，位于x轴的正方向上。点H是M在直线l上的投影，MH的长度表示M到直线l的距离d。图中用虚线和方框表示M到F的距离MF和M到直线l的垂直距离MH。|标题: 椭圆的定义示意图|图片编号: 2]
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**解:** 如图3.1-12,设$d$是点$M$到直线$l: x=\frac{25}{4}$的距离,根据题意,动点$M$的轨迹就是集合
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$P=\left\{M\left|\frac{|MF|}{d}=\frac{4}{5}\right.\right\}$.
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由此得
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$\frac{\sqrt{(x-4)^2+y^2}}{\left|\frac{25}{4}-x\right|}=\frac{4}{5}$.
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将上式两边平方,并化简,得
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$9x^2+25y^2=225$,
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即
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$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.
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所以,点$M$的轨迹是长轴、短轴长分别为$10, 6$的椭圆.
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**例7** 如图3.1-13,已知直线$l: 4x-5y+m=0$和椭圆$C: \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. $m$为何值时,直线$l$与椭圆$C$:(1)有两个公共点?(2)有且只有一个公共点?(3)没有公共点?
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**分析**: 直线$l$与椭圆$C$的公共点的个数与方程组
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\begin{cases}
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4x-5y+m=0, \\
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\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
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\end{cases}
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$$
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[图片描述:坐标系中，x轴和y轴相交于原点O。一个椭圆以原点为中心，长轴在x轴上，短轴在y轴上，焦点分别为$F_1$和$F_2$。图中有一条直线$l$与椭圆相交于两个点。另有两条平行于$l$的直线，它们是椭圆的切线，分别与椭圆相切于一个点。此图示可能用于说明直线与椭圆交点的不同情况。|标题:图3.1-13|图片编号:1]
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解的个数相对应. 所以,我们可以通过判断上述方程组解的情况得到问题的解答.
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**解**: 由方程组
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$$
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\begin{cases}
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4x-5y+m=0, \\
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\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
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\end{cases}
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$$
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消去$y$,得
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$25x^2+8mx+m^2-225=0$. ①
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方程①的根的判别式
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$\Delta=64m^2-4\times25\times(m^2-225)=36\times(25^2-m^2).$
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由$\Delta>0$,得$-25<m<25$. 此时方程①有两个不相等的实数根,直线$l$与椭圆$C$有两个不同的公共点.
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由$\Delta=0$,得$m_1=25, m_2=-25$. 此时方程①有两个相等的实数根,直线$l$与椭圆$C$有且只有一个公共点.
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由$\Delta<0$,得$m<-25$,或$m>25$. 此时方程①没有实数根,直线$l$与椭圆$C$没有公共点.
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## 练习
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1. 求下列直线与椭圆的交点坐标:
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(1) $3x+10y-25=0, \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1;$
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(2) $3x-y+2=0, \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$
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2. 经过椭圆$\frac{x^2}{2}+y^2=1$的左焦点 $F_1$ 作倾斜角为 $60^\circ$的直线 $l$,直线$l$与椭圆相交于$A, B$两点,求线段$AB$的长.
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```
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## 习题 3.1
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### 复习巩固
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1. 如果点 $M(x,y)$ 在运动过程中,总满足关系式
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$\sqrt{x^2+(y-3)^2} + \sqrt{x^2+(y+3)^2}=10,$
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那么点 $M$ 的轨迹是什么曲线?为什么?写出它的方程.
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2. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
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(1) 焦点坐标分别为 $(0,-4)$, $(0,4)$, $a=5$;
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(2) $a+c=10$, $a-c=4$.
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3. 求下列椭圆的长轴和短轴长、离心率、焦点坐标、顶点坐标,并画出图形:
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(1) $x^2+4y^2=16$;
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(2) $9x^2+y^2=81$.
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4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程:
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(1) 经过 $P(-2\sqrt{2},0)$, $Q(0,\sqrt{5})$ 两点;
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(2) 长轴长是短轴长的3倍,且经过点 $P(3,0)$;
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(3) 焦距是8,离心率等于 $0.8$.
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5. 已知 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ 上的一点,且以点 $P$ 及焦点 $F_1, F_2$ 为顶点的三角形的面积等于1,求点 $P$ 的坐标.
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6. 如图,圆 $O$ 的半径为定长 $r$, $A$ 是圆 $O$ 内一个定点, $P$ 是圆 $O$ 上任意一点,线段 $AP$ 的垂直平分线 $l$ 和半径 $OP$ 相交于点 $Q$,当点 $P$ 在圆上运动时,点 $Q$ 的轨迹是什么?为什么?
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[图片描述:一个圆，圆心为O。圆内有一个定点A。圆周上有一点P。连接AP的线段的垂直平分线l与连接OP的半径相交于点Q。图中P点、O点、A点和l线段、Q点均有标注。|标题:第6题|图片编号:1]
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7. 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的,它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)距太阳中心 $1.486$ 天文单位,远日点(距离太阳最远的点)距太阳中心 $5.563$ 天文单位($1$ 天文单位是太阳到地球的平均距离,约 $1.5 \times 10^8$ km),且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,求轨道的方程.
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8. 点 $M$ 与定点 $F(2,0)$ 的距离和它到定直线 $x=8$ 的距离的比是 $1:2$,求点 $M$ 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.
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### 综合运用
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9. 如图, $DP \perp x$ 轴,垂足为 $D$,点 $M$ 在 $DP$ 的延长线上,且 $\frac{|DM|}{|DP|}=\frac{3}{2}$.当点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=4$ 上运动时,求点 $M$ 的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
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[图片描述:一个直角坐标系，原点为O。有一个以原点为圆心的圆。圆周上有一点P。P点向x轴作垂线，垂足为D。在PD的延长线上有一点M，使得M在P的上方。图中标注了y轴、x轴、O点、D点、P点、M点。|标题:第9题|图片编号:2]
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10. 一动圆与圆 $x^2+y^2+6x+5=0$ 外切,同时与圆 $x^2+y^2-6x-91=0$ 内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
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11. 如图,矩形 $ABCD$ 中,$|AB|=2a$, $|BC|=2b$ ($a>b>0$). $E, F, G, H$ 分别是矩形四条边的中点,$R, S, T$ 是线段 $OF$ 的四等分点,$R', S', T'$ 是线段 $CF$ 的四等分点. 证明直线 $ER$ 与$GR'$、$ES$ 与$GS'$、$ET$ 与$GT'$的交点 $L, M, N$ 都在椭圆$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>b>0$)上.
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[图片描述: 图像展示了一个以原点O为中心的矩形ABCD，其顶点分别为A, B, C, D。x轴穿过O，与AD和BC平行，y轴穿过O，与AB和CD平行。E, F, G, H分别是矩形各边的中点，其中E在AB上，F在BC上，G在CD上，H在DA上。一个蓝色的虚线椭圆内切于矩形，其主轴和短轴分别与矩形边平行。点O为椭圆中心。在x轴正半轴上，点F是BC的中点。在y轴负半轴上，点E是AB的中点。线段OF被R, S, T三点四等分。线段CF被R', S', T'三点四等分。图中画出了直线ER, ES, ET（品红色线）以及GR', GS', GT'（黄色线）。这些直线的交点L, M, N被标示在椭圆上。L是ER和GR'的交点，M是ES和GS'的交点，N是ET和GT'的交点。|标题: 第11题图示|图片编号: 图1]
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12.已知地球运行的轨道是长半轴长$a=1.50 \times 10^8$ km, 离心率$e=0.0192$的椭圆, 且太阳在这个椭圆的一个焦点上, 求地球到太阳的最大和最小距离.
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## 拓广探索
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13.已知椭圆$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$, 直线$l: 4x-5y+40=0$. 椭圆上是否存在一点, 使得:
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(1)它到直线$l$的距离最小?最小距离是多少?
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(2)它到直线$l$的距离最大?最大距离是多少?
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14.已知椭圆$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$, 一组平行直线的斜率是$\frac{3}{2}$.
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(1)这组直线何时与椭圆有两个公共点?
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(2)当它们与椭圆有两个公共点时, 证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.
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## 信息技术应用
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### 用信息技术探究点的轨迹:椭圆
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如图1, $F$ 是定点, $l$ 是不经过点$F$ 的定直线, 动点$M$ 与定点$F$ 的距离和$M$ 到定直线$l$的距离的比 $e$ 是小于1的常数, 用信息技术软件(如《GeoGebra》)画出动点$M$的轨迹,观察这个轨迹,可以发现它是一个椭圆.
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在 $0<e<1$ 的范围内,改变 $e$ 的大小,或改变点 $F$ 与直线 $l$ 的相对位置,可以发现动点 $M$ 的轨迹仍然是一个椭圆.
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[图片描述:图1展示了一个点M、一个焦点F、一条准线l以及M点到F点的距离MF和M点到准线l的距离MH。图中有一个虚线椭圆经过点M，并标示了相关距离比例关系M=1，M/M=0。|标题:图1|图片编号:1]
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[图片描述:图2展示了一个标准的平面直角坐标系中的椭圆。椭圆的中心位于原点O，焦点F'(-c, 0)和F(c, 0)位于x轴上。图中还绘制了两条垂直于x轴的准线l' ($x=-a^2/c$) 和 l ($x=a^2/c$)。椭圆上有一动点M，虚线表示M到焦点F的距离以及M到准线l的垂线MH。|标题:图2|图片编号:2]
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在平面直角坐标系中，我们可以把上述问题叙述为：
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若点 $M(x, y)$ 与定点 $F(c, 0)$ (或 $F'(-c, 0)$) 的距离和它到定直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ (或 $l': x=-\frac{a^2}{c}$) 的距离的比是常数 $\frac{c}{a}$ ($0<c<a$), 则点 $M$ 的轨迹是一个椭圆 (图2)，这是从另一个角度给出了椭圆的定义。这里定点 $F(c, 0)$ 是椭圆的一个焦点，直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 称为相应于焦点 $F$ 的准线；定点 $F'(-c, 0)$ 是椭圆的另一个焦点，直线 $l': x=-\frac{a^2}{c}$ 称为相应于焦点 $F'$ 的准线。
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在推导椭圆标准方程时，我们曾得到
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$a^2-cx=a\sqrt{(x-c)^2+y^2}$. ①
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如果把①式变形为
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$\frac{\sqrt{(x-c)^2+y^2}}{\frac{a^2}{c}-x}=\frac{c}{a}$, ②
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则②式的几何意义就是动点 $M(x, y)$ 与定点 $F(c, 0)$ 的距离和动点 $M$ 到定直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a}$。
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**思考:** 在推导椭圆标准方程时作怎样的变形就可以得到点 $M(x, y)$ 与定点 $F(-c, 0)$ 的距离和动点 $M$ 到定直线 $l': x=-\frac{a^2}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a}$?
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对上述过程你有什么体会?
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## 3.2 双曲线
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双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
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### 3.2.1 双曲线及其标准方程
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我们知道,平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离的和等于常数(大于$|F_1F_2|$ )的点的轨迹是椭圆。一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么?
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> **探究**
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> 如图3.2-1,在直线$l$上取两个定点$A, B, P$是直线$l$上的动点。在平面内,取定点$F_1, F_2$,以点$F_1$为圆心、线段 $PA$为半径作圆,再以$F_2$为圆心、线段 $PB$ 为半径作圆。
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>
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> 我们知道,当点$P$在线段 $AB$ 上运动时,如果$||PA|-|PB|| \le |F_1F_2| < |AB|$,那么两圆交点的轨迹是椭圆。
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[图片描述: 图1展示了在直线$l$上取定点$A$和一个动点$P$。平面内有两个焦点$F_1$和$F_2$。以$F_1$为圆心，线段$PA$为半径作圆；以$F_2$为圆心，线段$PB$为半径作圆。当点$P$在线段$AB$上移动时，两圆的交点$M$和$M'$形成椭圆的一部分。图中左侧的数据框显示了圆半径和到焦点距离的和等于常数4 ($|PA|+|PB|=4$, $|MF_1|+|MF_2|=4$)，以及$|PA|=3, |MF_1|=3$和$|PB|=0, |MF_2|=0$时的特定点状态。|标题:图 3.2-1|图片编号:图1]
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[图片描述: 图2展示了与图1类似但在不同条件下两圆交点轨迹的形成。在直线$l$上有定点$A$和动点$P$，平面内有焦点$F_1$和$F_2$。以$F_1$为圆心、$PA$为半径的圆和以$F_2$为圆心、$PB$为半径的圆相交于点$M$和$M'$。当点$P$在线段$AB$外移动时，交点$M$和$M'$形成的轨迹是双曲线的两支。图中左侧的数据框显示了圆半径和到焦点距离的差的绝对值等于常数4.85 ($||PA|-|PB||=4.85$, $||MF_1|-|MF_2||=4.85$)，以及$|PA|=5.97, |MF_1|=5.97$和$|PB|=1, |MF_2|=1$时的特定点状态。|标题:图 3.2-2|图片编号:图2]
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> 如图3.2-2,在$|AB|<|F_1F_2|<|PA|+|PB|$的条件下,让点$P$在线段$AB$ 外运动,这时动点$M$满足什么几何条件?两圆交点的轨迹是什么形状?
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>
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> 我们发现,在$|AB|<|F_1F_2|<|PA|+|PB|$的条件下,点$P$在线段$AB$ 外运动时,当点 $M$靠近定点$F_1$时,$|MF_2|-|MF_1|=|AB|$;当点 $M$靠近定点$F_2$时,$|MF_1|-|MF_2|=|AB|$.总之,点$M$与两个定点 $F_1, F_2$距离的差的绝对值$|AB|$是一个常数($|AB|<|F_1F_2|$). 这时,两圆交点的轨迹是不同于椭圆的曲线,它分左右两支。
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一般地,我们把平面内与两个定点 $F_1, F_2$ 的距离的差的绝对值等于非零常数 (小于 $|F_1F_2|$ ) 的点的轨迹叫做**双曲线** (hyperbola).这两个定点叫做双曲线的**焦点**,两焦点间的距离叫做双曲线的**焦距**。
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> **探究**
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> 类比求椭圆标准方程的过程,我们如何建立适当的坐标系,得出双曲线的方程?
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观察我们画出的双曲线,发现它也具有对称性,而且直线 $F_1F_2$ 是它的一条对称轴,所以我们取经过两焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 的直线为 $x$ 轴,线段 $F_1F_2$ 的垂直平分线为 $y$ 轴,建立如图 3.2-3 所示的平面直角坐标系 $Oxy$. 设 $M(x,y)$ 是双曲线上任意一点,双曲线的焦距为 $2c(c>0)$,那么,焦点 $F_1, F_2$ 的坐标分别是 $(-c, 0), (c, 0)$,又设 $||MF_1|-|MF_2||=2a$ ($a$ 为大于 $0$ 的常数, $a<c$). 由双曲线的定义,双曲线就是下列点的集合:
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$P=\{M|||MF_1|-|MF_2||=2a, 0<2a<|F_1F_2|\}$.
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[图片描述:一个平面直角坐标系，横轴为x轴，纵轴为y轴，原点为O。坐标系中画有一个双曲线，其焦点F1位于(-c, 0)和F2位于(c, 0)。双曲线上有一个任意点M，并用虚线连接M与F1，M与F2。图示了双曲线的几何定义。|标题:图3.2-3|图片1]
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因为
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$$|MF_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},$$
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$$|MF_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2},$$
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所以
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$$\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2} = \pm 2a. \quad (1)$$
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类比椭圆标准方程的化简过程,化简(1),得
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$$(c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2),$$
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两边同除以 $a^2(c^2-a^2)$,得
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$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}=1.$$
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由双曲线的定义知,$2c>2a$,即 $c>a$,所以 $c^2-a^2>0$.
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类比椭圆标准方程的建立过程,令 $b^2=c^2-a^2$,其中 $b>0$,代入上式,得
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$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0, b>0). \quad (2)$$
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> 你能在 $y$ 轴上找一点 $B$,使得 $|OB|=b$ 吗?
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从上述过程可以看到,双曲线上任意一点的坐标 $(x,y)$ 都是方程(2)的解;以方程(2)的解为坐标的点 $(x,y)$ 与双曲线的两个焦点 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 的距离之差的绝对值都为 $2a$,即以方程(2)的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程(2)是双曲线的**标准方程**,它表示焦点在 $x$ 轴上,焦点分别是 $F_1(-c,0), F_2(c,0)$ 的双曲线,这里 $c^2=a^2+b^2$.
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### ? 思考
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类比焦点在$y$轴上的椭圆标准方程,焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程是什么?
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如图3.2-4,双曲线的焦距为$2c$,焦点分别是$F_1(0,-c)$, $F_2(0, c)$, $a,b$的意义同上,这时双曲线的方程是
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$$
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\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0)
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$$
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这个方程也是双曲线的标准方程.
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[图片描述:该图展示了一个中心在原点O、焦点在y轴上的双曲线图像。y轴上标记有焦点$F_1$和$F_2$，x轴是横轴。双曲线在y轴上下对称，向左右张开。图像中还标注了双曲线上的一点M，并用虚线连接M到两个焦点$F_1$和$F_2$，以及M到x轴的垂线。|标题:图3.2-4|图片编号:1]
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**例1** 已知双曲线的两个焦点分别为 $F_1(-5,0)$, $F_2(5,0)$,双曲线上一点$P$与$F_1,F_2$的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
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**解:** 因为双曲线的焦点在$x$轴上,所以设它的标准方程为
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$$
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\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0).
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$$
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由$2c=10, 2a=6$,得$c=5$,又$a=3$,因此$b^2=c^2-a^2=5^2-3^2=16$.
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所以,双曲线的标准方程为
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$$
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\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1.
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$$
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**例2** 已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
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**分析:** 先根据题意判断轨迹的形状,由声速及A,B两处听到炮弹爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的距离的差为定值,所以爆炸点在以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远,所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.
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**解:** 如图3.2-5,建立平面直角坐标系$Oxy$,使A,B两点在$x$轴上,并且原点$O$与线段$AB$的中点重合.
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设炮弹爆炸点$P$的坐标为$(x,y)$,则
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$$
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|PA|-|PB|=340\times2=680,
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$$
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即$2a=680, a=340$.
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又$|AB|=800$,所以$2c=800, c=400, b^2=c^2-a^2=400^2-340^2=160000-115600=44\ 400$.
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因为$|PA|-|PB|=680>0$,所以点$P$的轨迹是双曲线的右支,因此$x\geq340$.
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所以,炮弹爆炸点的轨迹方程为
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$$
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\frac{x^2}{115\ 600} - \frac{y^2}{44\ 400} = 1 (x\geq340).
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$$
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[图片描述:该图展示了一个中心在原点O、焦点在x轴上的双曲线图像。x轴上标记有焦点A和B，y轴是竖轴。双曲线向左右张开，图像只显示了右侧的一支。双曲线上有一点P，并用实线连接P到焦点A和B，形成一个三角形PAB。|标题:图3.2-5|图片编号:2]
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利用两个不同的观测点$A$, $B$测得同一点$P$发出信号的时间差,可以确定点$P$所在双曲线的方程。如果再增设一个观测点$C$,利用$B$, $C$(或$A$, $C$)两处测得的点$P$发出信号的时间差,就可以确定点$P$所在另一双曲线的方程。解这两个方程组成的方程组,就能确定点$P$的准确位置,这是双曲线的一个重要应用。
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## 探究
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如图3.2-6,点$A$, $B$的坐标分别是$(-5,0)$, $(5,0)$,直线$AM$, $BM$相交于点$M$,且它们的斜率之积是$\frac{4}{9}$,试求点$M$的轨迹方程,并由点$M$的轨迹方程判断轨迹的形状,与3.1例3比较,你有什么发现?
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[图片描述:一个直角坐标系，x轴上标注有A、O、B三点，其中O为原点。A点在负x轴上，B点在正x轴上。图中画了两条直线AM和BM，它们相交于M点，M点位于第一象限。|标题:坐标系中的双曲线相关点|图片编号:1]
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## 练习
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1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
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(1) 焦点在$x$轴上, $a=4, b=3$;
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(2) 焦点在$x$轴上, 经过点$(-\sqrt{2},-\sqrt{3}), (\frac{\sqrt{15}}{3},\sqrt{2})$;
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(3) 焦点为$(0, -6), (0,6)$, 且经过点$(2,-5)$.
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2. 求证:双曲线 $x^2-15y^2=15$ 与椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点相同.
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3. 已知方程$\frac{x^2}{2+m}-\frac{y^2}{m+1}=1$表示双曲线,求$m$的取值范围.
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4. 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{12}=1$ ($a>0$)的两个焦点分别是$F_1$与$F_2$,焦距为$8$; $M$是双曲线上的一点,且$|MF_1|=5$,求$|MF_2|$的值.
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## 3.2.2 双曲线的简单几何性质
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## 思考
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类比对椭圆几何性质的研究,你认为应该研究双曲线
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$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)$
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的哪些几何性质?如何研究这些性质?
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1. 范围
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类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是 $x \le -a$，或 $x \ge a$，纵坐标的范围是 $y \in \mathbf{R}$ (图1)。
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[图片描述: 坐标系中，一个双曲线的两个分支分别位于x轴左右两侧，关于y轴对称，且关于原点对称。垂直线 $x=a$ 和 $x=-a$ 标示出双曲线的左右边界，双曲线的实轴顶点位于这两条线之外。x轴上标有焦点 $F_1$ 和 $F_2$，以及原点 O。|标题: 双曲线的范围示意图|图片编号: 图1]
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下面利用双曲线的方程求出它的范围。
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由方程①可得
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$\frac{x^2}{a^2} = 1 + \frac{y^2}{b^2} \ge 1$,
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于是，双曲线上点的坐标 $(x, y)$ 都适合不等式 $\frac{x^2}{a^2} \ge 1, y \in \mathbf{R}$，即 $x^2 \ge a^2, y \in \mathbf{R}$。
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所以 $x \le -a$，或 $x \ge a$; $y \in \mathbf{R}$。
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这说明双曲线位于直线 $x = -a$ 及其左侧和直线 $x = a$ 及其右侧的区域。
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2. 对称性
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类比研究椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>b>0$) 对称性的方法，容易得到，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$) 关于 $x$ 轴、$y$ 轴和原点都是对称的。这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做 **双曲线的中心**。
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3. 顶点
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类比求椭圆顶点的方法，在方程①中，令 $y=0$，得 $x=\pm a$，因此双曲线和 $x$ 轴有两个交点 $A_1(-a, 0)$，$A_2(a, 0)$。因为 $x$ 轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做 **双曲线的顶点**。
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令 $x=0$，得 $y^2=-b^2$，这个方程没有实数解，说明双曲线和 $y$ 轴没有公共点，但我们也把 $B_1(0, -b)$，$B_2(0, b)$ 两点画在 $y$ 轴上 (图2)。
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[图片描述: 坐标系中，一个双曲线的两个分支分别位于x轴左右两侧。x轴上的点 $A_1(-a,0)$ 和 $A_2(a,0)$ 是双曲线的顶点。y轴上的点 $B_1(0,-b)$ 和 $B_2(0,b)$ 被标出。图中标示了从原点到 $A_2$ 的距离为 $a$，从原点到 $B_2$ 的距离为 $b$。双曲线的焦点 $F_1$ 和 $F_2$ 也在x轴上。图中还用虚线框出了一个以 $(\pm a, \pm b)$ 为顶点的矩形，用于辅助理解双曲线的几何特性。|标题: 双曲线的顶点与辅助矩形示意图|图片编号: 图2]
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线段 $A_1A_2$ 叫做 **双曲线的实轴**，它的长等于 $2a$，$a$ 叫做双曲线的实半轴长; 线段 $B_1B_2$ 叫做 **双曲线的虚轴**，它的长等于 $2b$，$b$ 叫做双曲线的虚半轴长。
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4. 渐近线
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> **探究**
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> 利用信息技术画出双曲线 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ 和两条直线 $\frac{x}{3} \pm \frac{y}{2} = 0$ (图3.2-9)。在双曲线
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$x^2/9 - y^2/4 = 1$ 的右支上取一点 $M$，测量点 $M$ 的横坐标 $x_M$ 以及它到直线 $x/3 - y/2 = 0$ 的距离 $d$。沿曲线向右上方拖动点 $M$，观察 $x_M$ 与 $d$ 的大小关系，你发现了什么？
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[图片描述:描绘了双曲线 $x^2/9 - y^2/4 = 1$、其渐近线以及由实轴顶点 $A_1, A_2$ 和虚轴顶点 $B_1, B_2$ 围成的矩形。图中标注了点 $M$ 在双曲线右支上，以及点 $M$ 到渐近线 $x/3 - y/2 = 0$ 的距离 $d$。坐标轴 $x$ 和 $y$、原点 $O$、焦点 $F_1, F_2$ 均已标出，有助于理解双曲线的几何特性和渐近线关系。|标题:图 3.2-9|图片编号:图1]
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可以发现，点 $M$ 的横坐标 $x_M$ 越来越大，$d$ 越来越小，但是 $d$ 始终不等于 $0$。
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实际上，经过两点 $A_1, A_2$ 作 $y$ 轴的平行线 $x=\pm3$，经过两点 $B_1, B_2$ 作 $x$ 轴的平行线 $y=\pm2$，四条直线围成一个矩形（图 3.2-9），矩形的两条对角线所在直线的方程是 $x/3 \pm y/2 = 0$。可以发现，双曲线 $x^2/9 - y^2/4 = 1$ 的两支向外延伸时，与两条直线 $x/3 \pm y/2 = 0$ 逐渐接近，但永远不相交。
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一般地，双曲线 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)$ 的两支向外延伸时，与两条直线 $x/a \pm y/b = 0$ 逐渐接近，我们把这两条直线叫做**双曲线的渐近线**。实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。
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在双曲线方程 $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)$ 中，如果 $a=b$，那么方程变为 $x^2 - y^2 = a^2$，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于 $2a$。这时，四条直线 $x=\pm a, y=\pm a$ 围成正方形，渐近线方程为 $y=\pm x$，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角。实轴和虚轴等长的双曲线叫做**等轴双曲线**。
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### **5. 离心率**
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与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比 $c/a$，叫做**双曲线的离心率**。因为 $c>a>0$，所以双曲线的离心率 $e=c/a > 1$。
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> **? 思考**
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> 椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
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> **?**
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> 用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？
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双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小。
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**例3** 求双曲线$9y^2 - 16x^2 = 144$的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
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**解:** 把双曲线的方程$9y^2 - 16x^2 = 144$化为标准方程
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$$
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\frac{y^2}{4^2} - \frac{x^2}{3^2} = 1.
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$$
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由此可知, 实半轴长$a=4$, 虚半轴长$b=3$; $c=\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2+3^2}=5$, 焦点坐标是
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$(0,-5),(0,5)$; 离心率$e=\frac{c}{a} = \frac{5}{4}$; 渐近线方程为$y=\pm\frac{4}{3}x$.
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### 练习
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1. 求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标以及离心率:
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(1) $x^2 - 8y^2 = 32$;
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(2) $9x^2 - y^2 = 81$;
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(3) $x^2 - y^2 = -4$;
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(4) $\frac{x^2}{49} - \frac{y^2}{25} = -1.$
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2. 求符合下列条件的双曲线的标准方程:
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(1) 顶点在$x$轴上, 两顶点间的距离是8, $e=\frac{5}{4}$;
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(2) 焦点在$y$轴上, 焦距是16, $e=\frac{4}{3}$.
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3. 对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是$F_1(-6,0)$, 求双曲线的标准方程和渐近线方程.
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4. 双曲线的渐近线方程是$y=\pm 2x$, 虚轴长为4, 求双曲线的标准方程.
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**例4** 双曲线型冷却塔的外形, 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面 (图3.2-10 (1))。它的最小半径为12m, 上口半径为13m, 下口半径为25m, 高为55m。试建立适当的坐标系, 求出此双曲线的方程 (精确到1m)。
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[图片描述: 一组工业冷却塔的照片，它们正在排放水蒸气，背景是蓝天。这组冷却塔展示了双曲线形状在工程中的实际应用。|标题: 冷却塔|图片编号: 1]
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[图片描述: 一个三维线框图，展示了双曲线旋转形成双曲面体的过程，虚线表示其内部结构和旋转轴。该图形象地展示了冷却塔的几何形状。|标题: 图3.2-10 (1) 双曲线型冷却塔的三维示意图|图片编号: 2]
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[图片描述: 一个直角坐标系中的双曲线截面图。y轴是旋转轴，x轴对称。x轴上标记有A(12,0)和A'(-12,0)，表示冷却塔的最小半径12m。在y轴上方，x=13处有一条水平虚线与双曲线相交于C点，表示上口半径13m。在y轴下方，x=25处有一条水平虚线与双曲线相交于B点，表示下口半径25m。图示了建立双曲线方程所需的几何参数。|标题: 图3.2-10 (2) 冷却塔轴截面建立的坐标系示意图|图片编号: 3]
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**解:** 根据双曲线的对称性, 在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3.2-10 (2) 所示的直角坐标系 $Oxy$, 使小圆的直径AA′在$x$轴上, 圆心与原点重合. 这时, 上、下口的直
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径CC',BB'都平行于$x$轴,且$|CC'|=13 \times 2$, $|BB'|=25 \times 2$.
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设双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0, b>0$),点$C$的坐标为$(13, y)$,则点$B$的坐标为$(25, y-55)$.
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因为直径AA'是实轴,所以$a=12$.又$B,C$两点都在双曲线上,所以
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$$
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\begin{cases}
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\frac{25^2}{12^2} - \frac{(y-55)^2}{b^2} = 1, & \text{①} \\
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\frac{13^2}{12^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. & \text{②}
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\end{cases}
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$$
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由方程②,得$y=\frac{5b}{12}$ (负值舍去),代入方程①,得
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$$
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\frac{25^2}{12^2} - \frac{(\frac{5b}{12}-55)^2}{b^2} = 1.
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$$
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化简得
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$$
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19b^2+275b-18150=0. \quad \text{③}
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$$
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解方程③,得
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$$
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b \approx 25 \quad \text{(负值舍去)}.
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$$
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因此所求双曲线的方程为
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$$
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\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{625} = 1.
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$$
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**例5** 动点$M(x,y)$与定点$F(4,0)$的距离和它到定直线$l:x=\frac{9}{4}$的距离的比是常数$\frac{4}{3}$,求动点$M$的轨迹.
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**解**: 设$d$是点$M$到直线$l$的距离,根据题意,动点$M$的轨迹就是点的集合
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$$
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P=\left\{ M \left| \frac{|MF|}{d} = \frac{4}{3} \right. \right\},
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$$
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由此得
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$$
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\frac{\sqrt{(x-4)^2+y^2}}{\left| x - \frac{9}{4} \right|} = \frac{4}{3}.
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$$
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[图片描述:坐标系中，双曲线的右支、焦点F(4,0)、准线l($x=\frac{9}{4}$)、动点M(x,y)以及点M到F的距离MF和到准线l的距离d都被标注出来。图中显示了点M到准线l的垂足为H。|标题:图3.2-11|图片编号:1]
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将上式两边平方,并化简,得
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$$
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7x^2-9y^2=63,
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$$
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即
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$$
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\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{7} = 1.
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$$
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所以,点$M$的轨迹是焦点在$x$轴上,实轴长为6、虚轴长为$2\sqrt{7}$的双曲线(图 3. 2-11).
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> **思考**
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> 将例5与椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
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**例6** 如图3.2-12，过双曲线$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$的右焦点$F_2$，倾斜角为$30^\circ$的直线交双曲线于$A,B$两点，求$|AB|$。
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||
[图片描述: 坐标系中显示了一个双曲线（蓝色曲线），其焦点$F_1$和$F_2$位于$x$轴上。一条直线（品红色）穿过右焦点$F_2$并与双曲线的左右两支分别交于点$A$和$B$。$O$代表原点。|标题: 3.2-12|图片编号: 图1]
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**解：** 由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$。
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因为直线$AB$的倾斜角是$30^\circ$，且经过右焦点$F_2$，所以直线$AB$的方程为
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$$ y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3) \quad \text{①} $$
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由
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$$ \begin{cases} y=\frac{\sqrt{3}}{3}(x-3), \\ \frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1 \end{cases} $$
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消去$y$，得
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$$ 5x^2+6x-27=0 $$
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解方程，得
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$$ x_1=-3, \quad x_2=\frac{9}{5} $$
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将$x_1, x_2$的值分别代入①，得
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$$ y_1=-2\sqrt{3}, \quad y_2=-\frac{2\sqrt{3}}{5} $$
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于是，$A,B$两点的坐标分别为$(-3,-2\sqrt{3})$，$(\frac{9}{5}, -\frac{2\sqrt{3}}{5})$。
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所以
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$$ |AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} $$
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$$ =\sqrt{\left(-3-\frac{9}{5}\right)^2 + \left(-2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2} $$
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$$ =\frac{16\sqrt{3}}{5} $$
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## 练习
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1. 已知$A,B$两点的坐标分别是$(-6,0)$，$(6,0)$，直线$AM,BM$相交于点$M$，且它们的斜率之积是$\frac{2}{9}$。求点$M$的轨迹方程，并判断轨迹的形状。
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2. 求下列直线和双曲线的交点坐标:
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(1) $2x-y-10=0$, $\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{5}=1$;
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(2) $4x-3y-16=0$, $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{16}=1$.
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3. 直线 $y=\frac{2}{3}x$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{8}=1 (a>0)$ 相交于 $A,B$ 两点,且 $A,B$ 两点的横坐标之积为 $-9$, 求离心率 $e$.
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# 习题 3.2
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## 复习巩固
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1. 双曲线 $4x^2-y^2+64=0$ 上一点 $P$ 与它的一个焦点的距离等于 $1$,那么点 $P$ 与另一个焦点的距离等于 ______ .
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2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
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(1) 焦点在 $x$ 轴上, $a=2\sqrt{5}$, 经过点 $A(-5,2)$;
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(2) 经过 $A(-7, -6\sqrt{2})$, $B(2\sqrt{7},3)$ 两点.
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3. 已知下列双曲线的方程,求它的焦点坐标、离心率和渐近线方程:
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(1) $16x^2-9y^2=144$;
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(2) $16x^2-9y^2=-144$.
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4. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
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(1) 焦点在 $x$ 轴上,实轴长是 $10$,虚轴长是 $8$;
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(2) 焦点在 $y$ 轴上,焦距是 $10$,虚轴长是 $8$;
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(3) 离心率 $e=\sqrt{2}$,经过点 $M(-5, 3)$.
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5. 如图,圆 $O$ 的半径为定长 $r$, $A$ 是圆 $O$ 外一个定点, $P$ 是圆 $O$ 上任意一点,线段 $AP$ 的垂直平分线 $l$ 与直线 $OP$ 相交于点 $Q$, 当点 $P$ 在圆 $O$ 上运动时,点 $Q$ 的轨迹是什么?为什么?
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[图片描述:一个圆，圆心为 $O$，圆上有一点 $P$，圆外有一点 $A$。线段 $AP$ 被直线 $l$ 垂直平分。直线 $OP$ 与直线 $l$ 相交于点 $Q$。此图用于展示第5题的几何关系。|标题:第5题的几何示意图|图片1]
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6. 求经过点 $A(3,-1)$,并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程.
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## 综合运用
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7. $m,n$ 为何值时,方程 $\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1$ 表示下列曲线:
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(1) 圆;(2) 椭圆;(3) 双曲线?
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8. 求与椭圆 $\frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{24} = 1$ 有公共焦点,且离心率 $e=\frac{5}{4}$ 的双曲线的方程.
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9. 相距 $1400m$ 的 $A, B$ 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 $3s$, 已知声速是 $340m/s$, 问炮弹爆炸点在怎样的曲线上,并求出曲线的方程.
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10. 设动点 $M$ 与定点 $F(c, 0) (c>0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 的距离的比是 $\frac{c}{a} (a<c)$, 求动点 $M$ 的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
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11. $M$ 是一个动点, $MA$ 与直线 $y=x$ 垂直, 垂足 $A$ 位于第一象限, $MB$ 与直线 $y=-x$ 垂直, 垂足 $B$ 位于第四象限. 若四边形 $OAMB$ ($O$ 为原点) 的面积为3, 求动点 $M$ 的轨迹方程.
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12. 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$, 双曲线的渐近线的斜率小于 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$, 求 $e_1$ 和 $e_2$ 的取值范围.
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## 拓广探索
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13. 已知双曲线 $x^2 - \frac{y^2}{2}=1$, 过点 $P(1,1)$ 的直线 $l$ 与双曲线相交于 $A, B$ 两点, $P$ 能否是线段 $AB$ 的中点? 为什么?
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14. 已知双曲线 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{16}=1$ 与直线 $l: y=kx+m$ ($k \neq \pm 2$) 有唯一的公共点 $M$, 过点 $M$ 且与 $l$ 垂直的直线分别交 $x$ 轴、$y$ 轴于 $A(x, 0)$, $B(0, y)$ 两点, 当点 $M$ 运动时, 求点 $P(x, y)$ 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么曲线. 如果推广到一般双曲线, 能得到什么相应的结论?
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## 探究与发现
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为什么 $y=\pm\frac{b}{a}x$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线
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前面我们利用信息技术, 直观地得到了直线 $y=\pm\frac{b}{a}x$ 是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线, 下面我们给出证明.
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如图1, 在第一象限内, 双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0, b>0$) 的方程可写为 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}$ ($x>a$). 设 $M(x, y)$ 是其图象上的点, $N(x, Y)$ 是直线 $y=\frac{b}{a}x$ 上的点, 且与 $M(x,y)$ 有相同的横坐标, 则 $Y=\frac{b}{a}x$.
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因为 $y=\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2} = \frac{b}{a}x\sqrt{1-\left(\frac{a}{x}\right)^2} < \frac{b}{a}x=Y,$
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所以 $|MN|=Y-y=\frac{b}{a}(x-\sqrt{x^2-a^2})$
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$$
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=\frac{b}{a}\cdot \frac{(x-\sqrt{x^2-a^2})(x+\sqrt{x^2-a^2})}{x+\sqrt{x^2-a^2}}
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$$
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[图片描述: 一幅带有坐标轴的图表，展示了双曲线及其渐近线。x轴和y轴交于原点O。双曲线的焦点F1、F2位于x轴上，顶点A1、A2也位于x轴上。两条直线（渐近线）穿过原点，呈X形，代表 $y = \pm \frac{b}{a}x$。双曲线的右侧分支在第一象限和第四象限，左侧分支在第二象限和第三象限。在第一象限，双曲线右侧分支上有一个点M，一条垂直于x轴的虚线从M延伸到x轴，并与渐近线交于点N。图中还标出了B1和B2，它们与A1、A2共同构成了一个虚线矩形，用于定义双曲线的参数a和b。另外还有一点Q在渐近线上靠近N点。|标题: 图1|图片编号: 1]
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$\frac{ab}{x+\sqrt{x^2-a^2}}$
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设$|MQ|$是点$M$到直线$y=\frac{b}{a}x$的距离，则$|MQ|<|MN|$。
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当$x$逐渐增大时，$|MN|$逐渐减小，$x$无限增大时，$|MN|$无限接近于$0$，$|MQ|$也无限接近于$0$。也就是说，双曲线在第一象限向右上方延伸时，是从射线$ON$（$O$为原点）的下方逐渐接近于射线$ON$，但与射线$ON$永远不相交。
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根据双曲线的对称性，在其他象限内，也有类似的结论。
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另外，我们也可直接计算$|MQ|$，证明当$x$无限增大时，$|MQ|$无限接近于$0$。
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## 3.3 抛物线
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通过前面的学习可以发现，如果动点 $M$ 与定点 $F$ 的距离和它到定直线 $l$ (不过点 $F$) 的距离之比为 $k$，当 $0<k<1$ 时，点 $M$ 的轨迹为椭圆；当 $k>1$ 时，点 $M$ 的轨迹为双曲线。一个自然的问题是：当 $k=1$ 时，即动点 $M$ 与定点 $F$ 的距离和它到定直线 $l$ 的距离相等时，点 $M$ 的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题。
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### 3.3.1 抛物线及其标准方程
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> **探究**
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> 利用信息技术作图，如图 3.3-1，$F$ 是定点，$l$ 是不经过点 $F$ 的定直线，$H$ 是直线 $l$ 上任意一点，过点 $H$ 作 $MH \perp l$，线段 $FH$ 的垂直平分线 $m$ 交 $MH$ 于点 $M$。拖动点 $H$，点 $M$ 随之运动，你能发现点 $M$ 满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？
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[图片描述: 一幅几何图，展示了抛物线的生成过程。图中包含一个固定点 $F$ 和一条固定直线 $l$。直线 $l$ 上有一动点 $H$。从点 $H$ 向直线 $l$ 引垂线 $MH$。线段 $FH$ 的垂直平分线 $m$ 与垂线 $MH$ 相交于点 $M$。随着 $H$ 在直线 $l$ 上移动，点 $M$ 形成的轨迹是一条抛物线（用虚线表示）。图中有字母 $E$ 标记了 $m$ 与 $FH$ 的交点，暗示了 $M$ 到 $F$ 和 $M$ 到 $H$ 的距离相等。|标题: 抛物线生成示意图|图片1]
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可以发现，在点 $M$ 随着点 $H$ 运动的过程中，始终有 $|MF|=|MH|$，即点 $M$ 与定点 $F$ 的距离等于它到定直线 $l$ 的距离，点 $M$ 的轨迹形状与二次函数的图象相似。
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我们把平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ ($l$ 不经过点 $F$) 的距离相等的点的轨迹叫做**抛物线** (parabola)。点 $F$ 叫做抛物线的**焦点**，直线 $l$ 叫做抛物线的**准线**。
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> **思考**
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> 比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
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根据抛物线的几何特征，如图 3.3-2，我们取经过点 $F$ 且垂直于直线 $l$ 的直线为 $x$ 轴，垂足为 $K$，并使原点与线段 $KF$ 的中点重合，建立平面直角坐标系 $Oxy$。设 $|KF|=p(p>0)$，那么焦点 $F$ 的坐标为 $(\frac{p}{2}, 0)$，准线 $l$ 的方程为 $x=-\frac{p}{2}$。
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设 $M(x,y)$ 是抛物线上任意一点，点 $M$ 到准线 $l$ 的距离为 $d$。由抛物线的定义，
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抛物线是点的集合
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$P=\{M \mid |MF|=d\}$.
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因为 $|MF| = \sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}, d=\left|x+\frac{p}{2}\right|$,
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所以
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$\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$.
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将上式两边平方并化简,得
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$y^{2}=2px \quad(p>0) \quad \text{①}$
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[图片描述:一个抛物线的几何定义图示，显示了抛物线上一点M到焦点F的距离MF，以及M到准线l的距离MH。图中包含坐标轴x和y，原点O，焦点F在x轴正半轴，准线l垂直于x轴在负半轴，以及MF=MH的距离d。|标题:图 3.3-2|图片编号:图1]
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从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标$(x,y)$都是方程①的解,以方程①的解为坐标的点$(x,y)$与抛物线的焦点 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ 的距离和它到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离相等,即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.我们把方程①叫做**抛物线的标准方程**.
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它表示焦点在 $x$ 轴正半轴上,焦点是 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$,准线是 $x=-\frac{p}{2}$ 的抛物线.
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## 探究
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在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标 准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表.
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| 图形 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
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在保持原意的基础上，针对教育领域进行优化。
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### 抛物线的定义与标准方程
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**抛物线是点的集合**，满足以下条件：在一个平面内，与一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹。这个定点F称为抛物线的**焦点**，定直线l称为抛物线的**准线**。
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用集合语言表示，抛物线可以定义为：
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$P=\{M \mid |MF|=d\}$,
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其中 $M$ 是抛物线上的任意一点，$F$ 是焦点，$d$ 是点 $M$ 到准线 $l$ 的距离。
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为了推导抛物线的标准方程，我们通常选择一个特定的坐标系。例如，设焦点 $F$ 的坐标为 $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$，准线 $l$ 的方程为 $x=-\frac{p}{2}$ (其中 $p>0$)。
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根据两点间距离公式，点 $M(x,y)$ 到焦点 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ 的距离 $|MF|$ 为：
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$|MF| = \sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}$
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点 $M(x,y)$ 到准线 $l: x=-\frac{p}{2}$ 的距离 $d$ 为：
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$d=\left|x-\left(-\frac{p}{2}\right)\right|=\left|x+\frac{p}{2}\right|$
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根据抛物线的定义， $|MF|=d$，所以我们有：
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$\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}}=\left|x+\frac{p}{2}\right|$
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[图片描述:一个抛物线的几何定义图示，显示了抛物线上任意一点M到焦点F的距离MF，以及M到准线l的距离MH（即d）。图中包含坐标轴x和y，原点O，焦点F在x轴正半轴，准线l垂直于x轴在负半轴。其中H是M在准线上的垂足，K是准线与x轴的交点。MF的长度被标记为d，并由直线段连接。|标题:图 3.3-2|图片编号:图1]
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将上式两边平方并化简，得：
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$\left(x-\frac{p}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(x+\frac{p}{2}\right)^{2}$
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$x^2 - px + \frac{p^2}{4} + y^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4}$
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$y^2 = 2px \quad(p>0) \quad \text{①}$
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从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标$(x, y)$都是方程①的解。反之，以方程①的解为坐标的点$(x, y)$与抛物线的焦点 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ 的距离和它到准线 $x=-\frac{p}{2}$ 的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上。我们把方程①叫做**抛物线的标准方程**。
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它表示焦点在 $x$ 轴正半轴上,焦点是 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$,准线是 $x=-\frac{p}{2}$ 的抛物线。
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## 探究
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在建立椭圆、双曲线的标准方程时,选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式?请探究之后填写下表.
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| 图形 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
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## ❓ 思考
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你能说明二次函数$y=ax^2$ $(a \neq 0)$的图象为什么是抛物线吗?指出它的焦点坐标、准线方程.
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**例1**
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(1) 已知抛物线的标准方程是$y^2=6x$,求它的焦点坐标和准线方程;
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(2) 已知抛物线的焦点是$F(0,-2)$,求它的标准方程.
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**解:**
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(1) 因为$p=3$, 抛物线的焦点在$x$轴正半轴上,所以它的焦点坐标是$(\frac{3}{2}, 0)$,
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准线方程是$x=-\frac{3}{2}$.
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(2) 因为抛物线的焦点在$y$轴负半轴上,且$\frac{p}{2}=2$, $p=4$,所以抛物线的标准方程是$x^2=-8y$.
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**例2**
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一种卫星接收天线如图3.3-3 左图所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线,在轴截面內的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处,如图3.3-3(1).已知接收天线的口径(直径)为4.8m,深度为1m.试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标.
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[图片描述: 该图片包含三部分内容。左侧是一张卫星接收天线的实物照片，展示了其碟状结构。中间部分（图3.3-3(1)）是一个示意图，展示了平行入射的卫星波束如何被抛物线型接收天线反射并汇聚到焦点F。右侧部分（图3.3-3(2)）是一个直角坐标系中的抛物线几何模型，抛物线的顶点与原点O重合，焦点F位于x轴正半轴上，并标出了曲线上的点A和B，用于建立坐标系和计算。|标题:图3.3-3 卫星接收天线及几何模型|图片编号:图1]
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**解:** 如图3.3-3(2),在接收天线的轴截面所在平面內建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在$x$轴上.
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设抛物线的标准方程是$y^2=2px$ $(p>0)$.由已知条件得,点A的坐标是$(1, 2.4)$,代入方程,得
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$2.4^2=2p \times 1$,
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即$p=2.88$.
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所以,所求抛物线的标准方程是$y^2=5.76x$,焦点坐标是$(1.44, 0)$.
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## 练习
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1. 根据下列条件写出抛物线的标准方程:
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(1) 焦点是 $F(3, 0)$;
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(2) 准线方程是 $x = -\frac{1}{4}$;
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(3) 焦点到准线的距离是 $2$.
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2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
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(1) $y^2 = 20x$;
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(2) $x^2 = \frac{1}{2}y$;
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(3) $2y^2 + 5x = 0$;
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(4) $x^2 + 8y = 0$.
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3. 填空.
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(1) 抛物线 $y^2 = 2px (p>0)$ 上一点 $M$ 与焦点间的距离是 $a (a > \frac{p}{2})$，则点 $M$ 到准线的距离是 ________，点 $M$ 的横坐标是 ________;
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(2) 抛物线 $y^2 = 12x$ 上与焦点的距离等于 $9$ 的点的坐标是 ________.
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## 探究与发现
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**为什么二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象是抛物线**
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我们知道，二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象是抛物线，经过本节的学习我们知道，抛物线是平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l$ ($l$ 不经过点 $F$) 的距离相等的点的轨迹。因此，只要能说明二次函数的图象符合抛物线的几何特征，就解决了为什么二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象是抛物线的问题。由抛物线与其方程之间的关系可知，如果能用适当的方式将 $y=ax^2+bx+c$ 转化为抛物线标准方程的形式，那么就可以说明二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象是抛物线。
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按照这种思路，我们对 $y=ax^2+bx+c$ 的右边配方，得
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$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$
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由函数图象平移的性质可以知道，沿向量 $m=\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$ 平移函数 $y=ax^2$ 的图象（图1），除了位置外，函数图象不发生任何变化。平移后的图象对应的函数解析式为 $y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$，它就是我们最初的二次函数。同时，其对应的基本抛物线解析式可以写成 $y=ax^2$，即 $x^2=\frac{1}{a}y$，这个方程表示的曲线是顶点为原点，焦点为 $(0, \frac{1}{4a})$ 的抛物线。
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[图片描述:一个二维坐标系，横轴为x轴，纵轴为y轴。图中显示了两条开口向上的抛物线和一个表示平移的向量。第一条抛物线以原点O为顶点，表示函数 $y=ax^2$。第二条抛物线是第一条抛物线平移后的结果，其顶点标记为 $P(-\frac{b}{2}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，表示函数 $y=ax^2+bx+c$。一个从原点O指向点P的向量被标记为 $m$，它代表了从原点到顶点P的平移向量。|标题:图1|图片编号:1]
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因此，二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象是一条抛物线。
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## 3.3.2 抛物线的简单几何性质
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> (?) **思考**
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> 类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 $y^2=2px (p>0)$ 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ ①
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1. **范围**
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因为 $p>0$，由方程①可知，对于抛物线上的点 $M(x, y)$， $x \ge 0$， $y \in \mathbf{R}$，当 $x>0$ 时，抛物线在 $y$ 轴的右侧，开口方向与 $x$ 轴的正方向相同；当 $x$ 的值增大时，$|y|$ 的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。
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2. **对称性**
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以 $-y$ 代 $y$，方程①不变，所以抛物线关于 $x$ 轴对称。我们把抛物线的对称轴叫做**抛物线的轴**。
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3. **顶点**
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抛物线和它的轴的交点叫做**抛物线的顶点**。在方程①中，当 $y=0$ 时，$x=0$，因此抛物线的顶点就是原点。
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4. **离心率**
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抛物线上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离和点 $M$ 到准线的距离 $d$ 的比 $\frac{|MF|}{d}$，叫做**抛物线的离心率**，用 $e$ 表示。由抛物线的定义可知，$e=1$。
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**例 3** 已知抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 $M(2,-2\sqrt{2})$，求它的标准方程。
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**解：** 因为抛物线关于 $x$ 轴对称，它的顶点在原点，并且经过点 $M(2,-2\sqrt{2})$，所以可设它的标准方程为
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$y^2=2px (p>0)$.
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因为点 $M$ 在抛物线上，所以
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$(-2\sqrt{2})^2=2p \times 2$,
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解得 $p=2$.
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因此，所求抛物线的标准方程是
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$y^2=4x$.
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> **思考**
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> 顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点 $M(2, -2\sqrt{2})$ 的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程。
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**例4** 斜率为1的直线 $l$ 经过抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F$，且与抛物线相交于 $A, B$ 两点，求线段 $AB$ 的长。
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**分析:** 由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线 $l$ 的斜率为1，所以可以求出直线 $l$ 的方程；与抛物线的方程联立，可以求出 $A, B$ 两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出 $|AB|$。这种方法思路直接，具有一般性。请你用此方法求 $|AB|$。
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下面介绍另外一种方法——数形结合的方法。
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在图3.3-4中，设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。由抛物线的定义可知，$|AF|$ 等于点 $A$ 到准线的距离 $|AA'|$。由 $p=2, \frac{p}{2}=1$，得
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[图片描述: 坐标系中，一条向右开口的抛物线，顶点在原点O。一条直线l通过抛物线的焦点F，并与抛物线相交于A、B两点。从A和B分别向准线（x=-1）引垂线，交点为A'和B'。图中清晰标注了A、A'、B、B'、O、F和直线l。|标题: 图3.3-4|图片编号: 1]
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$|AA'|=x_1+\frac{p}{2}=x_1+1$，于是 $|AF|=x_1+1$。 同理，$|BF|=$
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$|BB'|=x_2+\frac{p}{2}=x_2+1$，于是得
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$|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+p=x_1+x_2+2$.
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由此可见，只要求出点 $A, B$ 的横坐标之和 $x_1+x_2$，就可以求出 $|AB|$。
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**解:** 由题意可知，$p=2, \frac{p}{2}=1$，焦点 $F$ 的坐标为 $(1,0)$，准线方程为 $x=-1$。如图3.3-4，设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，$A,B$ 两点到准线的距离分别为 $d_A, d_B$。由抛物线的定义，可知
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$|AF|=d_A=x_1+1, |BF|=d_B=x_2+1$,
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于是
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$|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+2$.
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> **?**
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> 如果直线 $l$ 不经过焦点 $F$， $|AB|$ 还等于 $x_1+x_2+2$ 吗？
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因为直线 $l$ 的斜率为1，且过焦点 $F(1,0)$，所以直线 $l$ 的方程为
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$y=x-1$. $(1)$
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将 $(1)$ 代入方程 $y^2=4x$，得 $(x-1)^2=4x$，化简，得
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$x^2-6x+1=0$.
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所以
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$x_1+x_2=6$,
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$|AB|=x_1+x_2+2=8$.
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所以，线段 $AB$ 的长是8.
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## 练习
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1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程:
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(1) 关于$x$轴对称,并且经过点$M(5,-4)$;
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(2) 关于$y$轴对称,准线经过点$E(5,-5)$;
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(3) 准线在$y$轴的右侧,顶点到准线的距离是4;
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(4) 焦点$F$在$y$轴负半轴上,经过横坐标为16的点$P$,且$FP$平行于准线.
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2. 在同一坐标系中画出下列抛物线,观察它们开口的大小,并说明抛物线开口大小与方程中$x$的系数的关系:
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(1) $y^2=\frac{1}{2}x$;
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(2) $y^2=x$;
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(3) $y^2=2x$;
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(4) $y^2=4x$.
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3. 过点$M(2,0)$作斜率为1的直线$l$,交抛物线 $y^2=4x$于$A,B$两点,求$|AB|$.
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4. 垂直于$x$轴的直线交抛物线 $y^2=4x$于$A,B$两点,且$|AB|=4\sqrt{3}$,求直线$AB$的方程.
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**例5** 经过抛物线焦点$F$的直线交抛物线于$A,B$两点,经过点$A$和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点$D$,求证:直线$DB$平行于抛物线的对称轴.
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**分析**: 我们用坐标法证明这个结论,即通过建立抛物线及直线的方程,运用方程研究直线$DB$与抛物线对称轴之间的位置关系.建立如图3.3-5所示的直角坐标系,只要证明点$D$的纵坐标与点$B$的纵坐标相等即可.
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**证明**: 如图3.3-5,以抛物线的对称轴为$x$轴,抛物线的顶点为原点,建立平面直角坐标系 $Oxy$.设抛物线的方程为
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$y^2=2px \quad (p>0), \quad \text{(1)}$
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点$A$的坐标为$(\frac{y_0^2}{2p}, y_0)$ ($y_0 \neq 0$),则直线$OA$的方程为
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$y=\frac{2p}{y_0}x, \quad \text{(2)}$
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抛物线的准线方程是$x=-\frac{p}{2}. \quad \text{(3)}$
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联立②③,可得点$D$的纵坐标为$-\frac{p^2}{y_0}$.
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因为焦点$F$的坐标是$(\frac{p}{2},0)$,当$y_0^2 \neq p^2$时,直线$AF$的方程为
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$y=\frac{2py_0}{y_0^2-p^2}(x-\frac{p}{2}). \quad \text{(4)}$
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联立①④,消去$x$,可得$y_0y^2-(y_0^2-p^2)y-y_0p^2=0,$即
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$(y-y_0)(y_0y+p^2)=0,$
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[图片描述:一个标准的直角坐标系，水平的x轴和垂直的y轴在原点O处相交。图中绘制了一条开口向右的抛物线，其顶点在原点O。抛物线经过第一象限的点A和第四象限的点B。抛物线的焦点F位于x轴正半轴上。一条直线l通过点A、焦点F和点B。另一条直线段OA从原点O延伸至点A。还有一条直线段DB从抛物线左侧的准线上的点D延伸至点B。|标题:图3.3-5|图片编号:图1]
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可得点 $B$ 的纵坐标为 $-\frac{p^2}{y_0}$，与点 $D$ 的纵坐标相等，于是 $DB$ 平行于 $x$ 轴。
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当 $y_0^2=p^2$ 时，易知结论成立。
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所以，直线 $DB$ 平行于抛物线的对称轴。
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> **思考:** 你还有其他证明方法吗？
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**例6** 如图3.3-6, 已知定点 $B(a,-h)$, $BC \perp x$ 轴于点 $C$, $M$ 是线段 $OB$ 上任意一点, $MD \perp x$ 轴于点 $D$, $ME \perp BC$ 于点 $E$, $OE$ 与 $MD$ 相交于点 $P$, 求点 $P$ 的轨迹方程。
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**解:** 设点 $P(x, y)$, $M(x, m)$, 其中 $0 \leq x \leq a$, 则点 $E$ 的坐标为 $(a, m)$。
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由题意, 直线 $OB$ 的方程为
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$$y=-\frac{h}{a}x \quad \text{①}$$
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因为点 $M$ 在 $OB$ 上, 将点 $M$ 的坐标代入①, 得
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$$m=-\frac{h}{a}x \quad \text{②}$$
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所以点 $P$ 的横坐标 $x$ 满足②。
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直线 $OE$ 的方程为
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$$y=\frac{m}{a}x \quad \text{③}$$
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因为点 $P$ 在 $OE$ 上, 所以点 $P$ 的坐标 $(x, y)$ 满足③。
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将②代入③, 消去 $m$, 得
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$$x^2=-\frac{a^2}{h}y \quad (0 \leq x \leq a)$$
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即点 $P$ 的轨迹方程。
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[图片描述:一个直角坐标系，原点为O。第四象限内有一点B，其坐标为(a, -h)。点C在x轴上，BC垂直于x轴。线段OB上有一点M，其x坐标与点P相同。MD垂直于x轴于点D。ME垂直于BC于点E。OE和MD相交于点P。图中绘制了连接O、B、M、E、D、C的线段，形成了一个几何图形，用于求解点P的轨迹。|标题:图 3.3-6|图片1]
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例6中, 设点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $A$, 则方程
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$$x^2=-\frac{a^2}{h}y \quad (-a \leq x \leq a)$$
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对应的轨迹是常见的抛物拱 $AOB$ (图 3.3-7)。抛物拱在现实中有许多原型, 如桥拱 (图 3.3-8)、卫星接收天线等, 抛掷出的铅球在空中划过的轨迹也是抛物拱的一部分。
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[图片描述:一个向上开口的抛物线形状的拱桥示意图，标记为AOB。点O是拱的最高点（顶点），A和B是拱的底部端点，位于同一水平线上。图中用虚线表示了从顶点到基线的垂直距离以及从顶点到一侧端点的水平距离，以强调抛物线的对称性。|标题:图 3.3-7|图片2]
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[图片描述:一张宏伟的石拱桥的实景照片，桥拱呈优美的弧形跨越水面。桥体由石头砌成，水面倒映着桥和天空。周围有树木和远处的建筑，展现了抛物线在建筑设计中的实际应用。|标题:图 3.3-8|图片3]
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## 练习
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1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程:
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(1) 焦点 $F$ 关于准线的对称点为 $M(0,-9)$;
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(2) 关于 $y$ 轴对称, 与直线 $y=-12$ 相交所得线段的长为 $12$;
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(3) 关于 $x$ 轴对称, 以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 $2\sqrt{3}$ 的等边三角形.
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2. 点 $M(m,4)$ 在抛物线 $y^2=24x$ 上, $F$ 为焦点, 直线 $MF$ 与准线相交于点 $N$, 求 $|FN|$.
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3. 设抛物线 $x^2=2py$ ($p>0$) 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为 $4$, 点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{3}p$, 求抛物线的方程和点 $M$ 的坐标.
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4. 两条直线 $y=kx$ 和 $y=-kx$ 分别与抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 相交于不同于原点的 $A,B$ 两点, $k$ 为何值时, 直线 $AB$ 经过抛物线的焦点?
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5. 已知圆心在 $y$ 轴上移动的圆经过点 $A(0,5)$, 且与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $B(x,0)$, $C(0,y)$ 两个动点, 求点 $M(x,y)$ 的轨迹方程.
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**习题 3.3**
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## 复习巩固
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1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
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(1) $x^2=2y$;
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(2) $4x^2+3y=0$;
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(3) $2y^2+x=0$;
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(4) $y^2-6x=0$.
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2. 填空题.
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(1) 准线方程为 $x=2$ 的抛物线的标准方程是 $\underline{\hspace{8em}}$;
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(2) 抛物线 $y^2=8x$ 上与焦点的距离等于 $6$ 的点的坐标是 $\underline{\hspace{8em}}$.
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3. 抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$) 上一点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离 $|MF|=2p$, 求点 $M$ 的坐标.
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4. 根据下列条件, 求抛物线的标准方程, 并画出图形:
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(1) 顶点在原点, 对称轴是 $x$ 轴, 并且顶点与焦点的距离等于 $6$;
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(2) 顶点在原点, 对称轴是 $y$ 轴, 并经过点 $P(-6,-3)$.
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5. 如图, $M$ 是抛物线 $y^2=4x$ 上的一点, $F$ 是抛物线的焦点, 以 $Fx$ 为始边、$FM$ 为终边的角 $\angle xFM=60^\circ$, 求 $|FM|$.
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[图片描述: 坐标系中，一条抛物线开口向右，顶点在原点O。x轴上有一个点F，为抛物线的焦点。抛物线第一象限上有一点M，连接F和M。|标题: 第5题|图片编号: 1]
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6. 如图, 直线 $y=x-2$ 与抛物线 $y^2=2x$ 相交于 $A,B$ 两点, 求证: $OA \perp OB$.
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[图片描述: 坐标系中，一条抛物线开口向右，顶点在原点O。一条直线与抛物线相交于第一象限和第四象限的两点A和B。连接原点O与A点、B点，形成线段OA和OB。x轴上有一个点F，为抛物线的焦点。|标题: 第6题|图片编号: 2]
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7. 如图,吊车梁的鱼腹部分 $AOB$ 是抛物线的一段,宽为 $7m$,高为 $0.7m$.根据图中的坐标系,求这条抛物线的方程.
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[图片描述:描绘了吊车梁的鱼腹部分AOB，其形状为一段抛物线。图中建立了直角坐标系，原点O位于抛物线的最低点，x轴水平，y轴竖直向上。抛物线的宽度为7个单位（从A到B的水平距离），高度为0.7个单位（从O到水平梁的垂直距离）。点A和B是抛物线与x轴上方水平梁的交点。|标题:抛物线形吊车梁示意图 (第7题)|图片编号:图1]
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8. 图中是抛物线形拱桥,当水面在 $l$ 时,拱顶离水面 $2m$,水面宽 $4m$.水面下降 $1m$ 后,水面宽多少?(精确到 $0.1m$)
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[图片描述:描绘了一个抛物线形拱桥。拱桥顶部标记为O，水面标记为l。图中显示拱顶O到水面l的垂直距离为2个单位，水面宽度为4个单位。拱桥的结构呈现抛物线形状，顶部高于水面。|标题:抛物线形拱桥示意图 (第8题)|图片编号:图2]
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**综合运用**
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9.从抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$)上各点向 $x$ 轴作垂线段,求垂线段的中点的轨迹方程,并说明它是什么曲线.
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10.已知等边三角形的一个顶点位于原点,另外两个顶点在抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$)上,求这个等边三角形的边长.
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11. 已知 $A,B$ 两点的坐标分别是 $(-1,0),(1,0)$,直线 $AM,BM$ 相交于点 $M$,且直线 $AM$ 的斜率与直线 $BM$ 的斜率的差是 $2$,求点 $M$ 的轨迹方程.
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**拓广探索**
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12.已知抛物线的方程为 $y^2=4x$,点 $P(-2,1)$ 在直线 $l$ 上,直线 $l$ 绕点 $P$ 旋转,讨论直线 $l$ 与抛物线 $y^2=4x$ 的公共点个数,并回答下列问题:
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(1)画出图形表示直线 $l$ 与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点时是什么情况?
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(2)$y^2=4x$ 与直线 $l$ 的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系?
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13. 设抛物线 $y^2=2px$ ($p>0$)的焦点为 $F$,从点 $F$ 发出的光线经过抛物线上的点 $M$ (不同于抛物线的顶点)反射,证明反射光线平行于抛物线的对称轴.
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## 阅读与思考
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### 圆锥曲线的光学性质及其应用
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椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点。焦点，顾名思义，就是光线的聚集点。这说明圆锥曲线与光线有紧密的联系，圆锥曲线具有丰富的光学性质。
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我们知道，当一束光线照到镜面时，光线会依一定的规律反射，即反射角等于入射角（图1）。当光照射到曲面时，特别是由圆锥曲线绕其对称轴旋转而成的曲面时，会有什么现象呢？
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[图片描述: 一束光线以入射角 $\alpha$ 照射到平面镜上，并以反射角 $\alpha$ 反射离开。入射光线、反射光线与镜面法线的夹角相同，图中用虚线表示法线，两个夹角均标注为 $\alpha$。|标题: 图1|图片编号: 图1]
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我们看生活中的一个实例：一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？
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原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面（图2），这种曲面叫做抛物面。抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴。探照灯（图3）也是利用这个原理设计的。
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[图片描述: 描绘了一个抛物面反射器，其中从焦点发出的光线经过反射后变为平行光线，箭头表示光线的方向，展示了抛物面的聚光性质。|标题: 图2|图片编号: 图2]
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[图片描述: 一辆带有大型抛物面反射器的探照灯车辆，反射器正在将光线集中并向前方发射，光线呈平行束状。|标题: 图3|图片编号: 图3]
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[图片描述: 一个银色的碟状太阳灶，由抛物面反射器构成，用于收集太阳光并将其聚焦到一个点。|标题: 图4|图片编号: 图4]
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应用抛物线的这个性质，也可以使一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点，人们应用这个原理，设计了一种加热水和食物的太阳灶（图4）。在这种太阳灶上装有一个旋转抛物面形的反射镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经过反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。
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椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同。从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（图5）；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦
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点射出的一样（图6）。椭圆、双曲线的光学性质也被人们广泛地应用于各种设计中。
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[图片描述: 该图展示了椭圆的反射性质。光线从一个焦点$F_1$发出，经过椭圆表面反射后汇聚到另一个焦点$F_2$。图中用实线表示光路，虚线表示椭圆的完整轮廓。|标题: 图5|图片编号: 1]
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[图片描述: 该图展示了双曲线的反射性质。光线似乎从一个焦点$F_1$发出，经过双曲线表面反射后，形成平行光束向右传播。|标题: 图6|图片编号: 2]
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[图片描述: 该图展示了电影放映机聚光灯的光学系统，利用了椭圆的反射性质。一个旋转椭圆面（部分标有A、B、C）作为反射镜，灯丝$F_2$位于椭圆的一个焦点处，影片门$F_1$（电影胶片通过的地方）位于椭圆的另一个焦点处。光线从灯丝$F_2$发出，经椭圆反射后汇聚到影片门$F_1$，以提供最强的光线照明。|标题: 图7|图片编号: 3]
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如图7，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝$F_2$与影片门$F_1$应位于椭圆的两个焦点处，这就是利用椭圆光学性质的一个实例。数字电影机采用数字光处理技术 DLP 的数字电影放映新模式，替代了传统胶片电影放映机胶片图像重现模式，实现了无胶片放映。
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# 文献阅读与数学写作\*
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## 解析几何的形成与发展
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对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被马克思主义创始人之一的恩格斯并称为17世纪数学的三大成就。解析几何的产生是科学发展的需要。坐标系的引入，使常量数学进入变量数学时代，而变量进入数学正是近代数学的重要标志。由于变量进入了数学，我们可以研究运动与变化，研究物体运动的轨迹。解析几何可以定量描述物体的运动变化，为研究物体的运动变化提供了方法和工具，特别是为微积分的建立提供了重要支撑。
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解析几何是如何形成和发展的？在数学和人类社会的发展历史中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与解析几何有关的文献，自己选题，写一篇数学小论文。
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### 一、主题
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1. 解析几何形成与发展的过程；
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2. 解析几何对人类文明的主要贡献。
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### 二、实施建议
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1. **选题**：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围；
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2. **分组**：相近选题的5~6人为一个小组，确定一名组长；
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3. **分配任务**：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务；
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4. **搜集资料**：针对具体的论文题目，通过网络、书店、图书馆等多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料；
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5. **素材汇总**：用论文的形式展现小组的实践成果；
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6. 在全班范围进行交流、讨论和总结。
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### 三、参考选题
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1. 解析几何产生的背景；
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2. 解析几何发展中的重要事件；
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3. 对解析几何的形成与发展作出重要贡献的数学家；
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4. 解析几何对人类文明进步的贡献。
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\*标有\*的内容为选学内容，不作为考试要求。
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# 小结
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## 一、本章知识结构
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[图片描述:本章知识结构的流程图，展示了圆锥曲线的知识体系。它从“用平面截圆锥”这一概念开始，引出“椭圆”、“双曲线”和“抛物线”这三种具体的圆锥曲线类型。这三类曲线的学习内容汇聚到“三种圆锥曲线的定义”，随后深入学习“坐标法”。通过坐标法，进一步掌握“三种圆锥曲线的标准方程”。在标准方程的基础上，详细探讨“三种圆锥曲线的几何性质”，这些性质包括“范围”、“顶点”、“对称性”、“离心率”，以及针对双曲线特有的“渐近线”。最终，学习内容拓展到“三种圆锥曲线的应用”。|标题:本章知识结构|图片编号:1]
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```mermaid
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graph TD
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A[用平面截圆锥] --> B(椭圆)
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A --> C(双曲线)
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A --> D(抛物线)
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B --> E
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C --> E
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D --> E
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E[三种圆锥曲线的定义] --> F[坐标法]
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F --> G[三种圆锥曲线的标准方程]
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G --> H[三种圆锥曲线的几何性质]
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H --> H1(范围)
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H --> H2(顶点)
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H --> H3(对称性)
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H --> H4(离心率)
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H --> H5(渐近线 (双曲线))
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H --> I[三种圆锥曲线的应用]
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## 二、回顾与思考
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圆锥曲线有丰富的现实背景和广泛的实际应用，例如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等。本章我们结合具体情境探索了椭圆、双曲线和抛物线的几何特征，利用确定三类圆锥曲线的几何要素（如定点、定直线等）合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征，得到相应的标准方程，通过方程研究了圆锥曲线的简单几何性质，并用圆锥曲线的方程解决了一些简单问题。
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我们用 C 代表曲线，用 $f(x, y)=0$ 表示方程。通过本章的学习可以看到，只有当曲线 C 上任意一点的坐标都满足方程 $f(x, y)=0$，同时以方程 $f(x, y)=0$ 的解为坐标的点都在曲线 C 上，我们才称“曲线 C 是方程 $f(x, y)=0$ 的曲线”“方程 $f(x, y)=0$ 是曲线 C 的方程”。也只有在这样的条件下，才能通过研究方程 $f(x, y)=0$ 的性质得到曲线 C 的性质。利用坐标系建立曲线与方程的这种关系，是解析几何的基础，在今后的学习中可以进一步体会到。
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通过本章的学习可以看到，用坐标法研究几何问题，首先要注意观察相应几何图形的特征，把握确定几何图形的要素，例如椭圆是平面内到两个定点的
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距离之和等于定长的点的轨迹，这里“两个定点”“距离之和为定长”等就是确定椭圆的几何要素；然后再用坐标法解决，即利用几何特征合理建立坐标系，用坐标表示点，用方程表示几何要素的关系，在此基础上，利用方程研究曲线的性质，可以看到，解析几何中研究椭圆、双曲线、抛物线的过程和方法是一致的。这表明，用代数方法研究几何问题（如圆锥曲线的性质），其处理方法具有统一性。实际上，通过代数方法研究几何图形，不但有利于发现和证明图形的性质，而且这种解决问题的方式基本上是程序化的，这是解析几何的优势所在，是体现数形结合思想方法威力的典范，需要我们在学习中认真体会。
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我们发现，用坐标法研究几何图形时，代数式的化简、方程的变形与等价转化等起着很重要的作用。例如，当我们把椭圆的方程化简为标准方程后，就能容易地看出椭圆的范围、对称性、顶点等，发现长轴、短轴、焦距之间的关系，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率等。所以，学习解析几何需要较强的逻辑推理、数学运算等能力，同学们要给予特别关注。
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在圆锥曲线的研究中，信息技术可以发挥很好的作用，例如，运用信息技术，可以方便地画出曲线；通过改变某些量（如椭圆的长轴的长、短轴的长或焦距等），可以帮助我们发现曲线的几何特征及其基本性质（变化中的不变性）等。研究圆锥曲线时，信息技术在发现问题、形成思想方法、获得结论等方面，都能发挥重要作用。
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请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
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1. 你能说说用坐标法研究圆锥曲线的具体过程吗？
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2. 在椭圆、双曲线、抛物线三类圆锥曲线的研究中，椭圆是研究的第一类圆锥曲线，对双曲线、抛物线的研究，我们采用的是类比的方法，你能说说具体的类比内容吗？
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3. 椭圆、双曲线、抛物线的几何特征是什么？这些几何特征在研究圆锥曲线中有什么作用？
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4. 圆锥曲线的几何性质主要包括哪些方面？如何用代数方法研究这些几何性质？
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5. 圆锥曲线的“统一性”体现在哪些方面？你如何理解圆锥曲线的“统一性”？
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6. 如何用直线与圆锥曲线的方程判断它们之间的位置关系？
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7. 数形结合在圆锥曲线的研究中具有重要作用，你能举例说明吗？
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## 复习参考题3
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### 复习巩固
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1. 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地心(地球的中心)$F_2$为一个焦点的椭圆,已知它的近地点(离地面最近的点)$A$距地面$439 \text{ km}$,远地点(离地面最远的点)$B$距地面$2384 \text{ km}$,并且$F_2, A, B$在同一直线上,地球半径约为$6371 \text{ km}$.求:(1)卫星运行的轨道方程(精确到$1 \text{ km}$);(2)卫星轨道的离心率.
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[图片描述:一个坐标系中，椭圆包围着一个圆，圆心和椭圆的一个焦点都在原点右侧的F2点。椭圆的顶点A在X轴正半轴，B在X轴负半轴。圆与椭圆共焦点F2，圆心为O。|标题:第1题|图片编号:1]
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2. 选择题.
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(1)椭圆$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$与椭圆$\frac{x^2}{25-k} + \frac{y^2}{9-k} = 1 (k<9)$的( ).
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(A)长轴长相等
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(B)短轴长相等
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(C)离心率相等
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(D)焦距相等
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(2)与圆$x^2+y^2=1$及圆$x^2+y^2-8x+12=0$都外切的圆的圆心在( ).
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(A)椭圆上
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(B)双曲线的一支上
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(C)抛物线上
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(D)圆上
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3. 当$\alpha$从$0^\circ$到$180^\circ$变化时,方程$x^2+y^2 \cos \alpha = 1$表示的曲线的形状怎样变化?
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4. 已知直线$y=kx-1$与双曲线$x^2-y^2=4$没有公共点,求$k$的取值范围.
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5. 设抛物线的顶点为$O$,经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于$B,C$两点,经过抛物线上一点$P$且垂直于对称轴的直线与对称轴交于点$Q$.求证:$|PQ|^2=|BC||OQ|$.
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6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线$y^2=2px(p>0)$的焦点,另外两个顶点在抛物线上,求这个等边三角形的边长.
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### 综合运用
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7. 已知$P$是椭圆$16x^2+25y^2=1600$上的一点,且在$x$轴上方,$F_1,F_2$分别是椭圆的左、右焦点,直线$PF_2$的斜率为$-4\sqrt{3}$,求$\triangle PF_1F_2$的面积.
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8. 如图,从椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上一点$P$向$x$轴作垂线,垂足恰为左焦点$F_1$.又点$A$是椭圆与$x$轴正半轴的交点,点$B$是椭圆与$y$轴正半轴的交点,且$AB//OP$,$|F_1A|=\sqrt{10}+\sqrt{5}$,求椭圆的方程.
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[图片描述:一个坐标系中，一个椭圆穿过原点。椭圆的焦点是F1（左）和F2（右）。P是椭圆上的一个点，从P向X轴作垂线，垂足为F1。A是椭圆与X轴正半轴的交点，B是椭圆与Y轴正半轴的交点。线段OP和AB平行。|标题:第8题|图片编号:2]
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9. 已知$A,B$两点的坐标分别是$(-1,0), (1,0)$.直线$AM,BM$相交于点$M$,且它们的斜率之和是$2$,求点$M$的轨迹方程.
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10. 如图,已知直线与抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 交于 $A,B$ 两点,且 $OA \perp OB, OD \perp AB$ 交 $AB$ 于点 $D$,点 $D$ 的坐标为 $(2,1)$,求 $p$ 的值.
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[图片描述: 坐标系中，一条开口向右的抛物线，顶点在原点O。一条直线交抛物线于A、B两点。原点O连接A点和B点。另有一条直线OD，其中D点在线段AB上。图中标注了y轴、x轴和O点，以及A、B、D点的位置。|标题: 第10题|图1]
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11. 已知 $\triangle ABC$ 的两个顶点 $A,B$ 的坐标分别是 $(-5,0), (5,0)$, 且 $AC,BC$ 所在直线的斜率之积等于 $m(m \neq 0)$, 求顶点 $C$ 的轨迹.
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12. 在抛物线 $y^2=4x$ 上求一点 $P$, 使得点 $P$ 到直线 $y=x+3$ 的距离最短.
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13. 当 $m$ 变化时,指出方程 $(m-1)x^2+(3-m)y^2=(m-1)(3-m)$ 表示的曲线的形状.
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14. 如图,一隧道内设双行线公路,其截面由一个长方形和抛物线构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 $0.5m$.已知行车道总宽度 $|AB|=6(m)$,那么车辆通过隧道的限制高度是多少米?(精确到 $0.1m$)
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[图片描述: 隧道截面示意图。底部是一个长方形，宽度为8m，其中中间6m宽的区域是行车道（标记为A和B），两侧各有1m的肩部。行车道区域（AB）上方有虚线框表示车辆的高度限制，其顶部距离行车道底部为2m。隧道的顶部是抛物线形状。从行车道底部到抛物线顶部的总高度为6m。行车道中间线两侧各3m，总宽6m。|标题: 第14题|图2]
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## 拓广探索
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15. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是,镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚,例如,某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为 $2m$ 的反射式望远镜,其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示,其中,一个反射镜 $PO_1Q$ 弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜 $MO_2N$ 弧所在的曲线为双曲线的一个分支.已知 $F_1,F_2$ 是双曲线的两个焦点,其中 $F_2$ 同时又是抛物线的焦点,试根据图示尺寸(单位: $mm$),分别求抛物线和双曲线的方程.
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[图片描述: 反射式天文望远镜的光学系统原理图，显示了光线从左侧平行进入，经过抛物线反射镜$PO_1Q$反射到焦点$F_2$，然后从双曲线反射镜$MO_2N$反射到另一个焦点$F_1$。图中标记了x轴和y轴，以及点$F_1, O_1, O, O_2, F_2, P, Q, M, N$。图上标注了距离：从$F_1O_1$的y轴到$F_2O_2$的y轴的水平距离为1763mm，从$F_1$到$O_1$的距离为2080mm（镜筒总长），从$O_2$到$F_2$的距离为529mm。|标题: 第15题|图3]
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16. 过抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A,B$ 两点,以 $AB$ 为直径画圆,观察它与抛物线的准线 $l$ 的关系,你能得到什么结论?相应于椭圆、双曲线如何?你能证明你的结论吗?
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# 部分中英文词汇索引
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| 空间向量 | space vector | 2 |
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| 模 | modulus | 2 |
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| 零向量 | zero vector | 2 |
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| 单位向量 | unit vector | 2 |
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| 共线向量 | collinear vectors | 2 |
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| 平行向量 | parallel vectors | 2 |
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| 相等向量 | equal vectors | 3 |
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| 方向向量 | direction vector | 4 |
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| 共面向量 | coplanar vectors | 4 |
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| 数量积 | inner product | 6 |
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| 基底 | base | 12 |
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| 基向量 | base vectors | 12 |
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| 法向量 | normal vector | 28 |
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| 倾斜角 | angle of inclination | 51 |
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| 斜率 | slope | 53 |
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| 点斜式 | point slope form | 60 |
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| 截距 | intercept | 61 |
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| 斜截式 | slope intercept form | 61 |
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| 两点式 | two-point form | 62 |
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| 截距式 | intercept form | 63 |
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| 一般式 | general form | 65 |
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| 圆的标准方程 | standard equation of circle | 82 |
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| 圆的一般方程 | general equation of circle | 86 |
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| 圆锥曲线 | conic sections | 104 |
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| 椭圆 | ellipse | 105 |
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| 焦点 | focus | 105 |
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| 焦距 | focus distance | 105 |
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| 双曲线 | hyperbola | 119 |
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| 抛物线 | parabola | 130 |
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# 后记
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[图片描述:手写风格的“人民教育出版社”文字，作为页面顶部装饰性标志，颜色为绿色|标题:人民教育出版社标志|图片编号:1]
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本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准($\text{\textcircled{1}}$年版)》编写的, 年经国家教材委员会专家委员会审核通过。
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本册教科书的编写, 集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果, 吸取了 $\text{\textcircled{9}}$ ● 年版《普通高中课程标准实验教科书・数学(A版)》的编写经验, 凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师, 以及教材设计装帧专家的集体智慧。本册教科书的编写者还有李海东、张劲松等; 本书插图绘制为王俊宏, 为本书提供照片的有C (第$\text{\textcircled{4}}$页一张图)等。
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我们感谢$\text{\textcircled{9}}$年版《普通高中课程标准实验教科书・数学(A版)》的主编刘绍学, 副主编钱珮玲、章建跃, 以及所有编写人员。我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。
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本册教科书出版之前, 我们通过多种渠道与教科书选用作品(包括照片、画作)的作者进行了联系, 得到了他们的大力支持。对此, 我们表示衷心的感谢! 恳请未联系到的作者与我们联系, 以便及时支付稿酬。
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本册教科书投入使用后, 我们根据各方意见作了修订, 真诚希望广大师生和家长继续提出宝贵意见!
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联系方式
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电话: $\text{\textcircled{0}\textcircled{8}}$
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电子邮箱: j $\text{\textcircled{C}}$
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人民教育出版社课程教材研究所
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中学数学课程教材研究开发中心
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[图片描述:手写风格的“人民教育出版社”文字，作为页面底部装饰性标志，颜色为绿色|标题:人民教育出版社标志|图片编号:2]
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[图片描述: 页面背景为渐变 teal（蓝绿色），顶部有浅色 V 形图案（chevron pattern）。左上角有一个白色的圆形注册商标（®）标志，其中包含双手托举植物嫩芽的图案，象征着环保与生机。
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左下角是一个绿色的圆形中国环境标识（China Environmental Labelling）标志，环绕着“中国环境标识”和“CHINA ENVIRONMENTAL LABELLING”字样，中心是太阳与山峰或叶片的图案。该标志下方标注有“绿色印刷产品”字样，表明本书符合环保印刷标准。
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右下角是本书的国际标准书号（ISBN）和条形码。ISBN 为 **978-7-107-34596-8**，下方是对应的 EAN-13 条形码及其数字串 **9787107345968>**。条形码部分叠压在地球的俯瞰图上，地球图像展示了海洋、云层和陆地（疑似阿拉伯半岛和部分非洲/亚洲地区），并有一条红色线条标记出特定海岸线。右侧还有部分灰绿色和深蓝色的色块作为装饰元素。|标题: 书籍封底或版权信息页|图片编号: 1]
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