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# 第一章
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## 空间向量与立体几何
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通过“平面向量及其应用”的学习，我们知道，平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，它们之间的平行、垂直、夹角、距离等关系可以通过平面向量运算而得到，从而有关平面图形的问题可以利用平面向量的方法解决。在“立体几何初步”中，我们用综合几何方法研究了空间几何体的结构特征以及空间点、直线、平面的位置关系。一个自然的 F 是，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量表示空间中点、直线、平面等基本元素，通过空间向量运算解决立体几何问题。在本章，我们就来研究这些问题。
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在本章学习中，我们要注意利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理及其坐标表示，在此过程中体会平面向量与空间向量的共性和差异；在运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系的过程中，体会向量方法与综合几何方法的共性和差异；通过用向量方法解决数学问题和实际问题，感悟向量在研究几何问题中的作用。
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[图片描述: 一名教练带着一名学员进行双人滑翔伞飞行，滑翔伞呈鲜艳的黄橙色，下方是海岸线的悬崖和大海，远处天空中还隐约可见另一个滑翔伞。天空呈现出多云的蓝色和粉色，景色广阔。|标题: 探究空间向量与立体几何|图片编号: 图1]
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# 1.1 空间向量及其运算
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章前图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。
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## 1.1.1 空间向量及其线性运算
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与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做**空间向量** (space vector)，空间向量的大小叫做空间向量的**长度或模** (modulus)。空间向量用字母$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$, …表示。空间中点的位移、物体运动的速度、物体受到的力等都可以用空间向量表示。
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> ●印刷用黑体$\boldsymbol{a}$, 书写用$\vec{a}$.
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与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模。如图1.1-1，向量$\boldsymbol{a}$的起点是A，终点是B，则向量$\boldsymbol{a}$也可以记作$\vec{AB}$，其模记为$|\boldsymbol{a}|$或$|\vec{AB}|$。图1.1-2所示的正方体中，过同一个顶点的三条棱上的三条有向线段表示的三个向量为$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$，它们是不共面的向量，即它们是不同在任何一个平面内的三个向量。
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[图片描述:一个有向线段，起点为A，终点为B，并标记为向量a|标题:图1.1-1|图片1]
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[图片描述:一个正方体的三维视图，其中一个顶点标记为O，与O相邻的三个顶点分别标记为A、B、C。从O到A、O到B、O到C的三条棱被用作有向线段来表示向量$\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$。其中，$\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$的线段颜色为洋红色，其他棱线为蓝色虚线。|标题:图1.1-2|图片2]
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与平面向量一样，我们规定，长度为0的向量叫做**零向量** (zero vector)，记为$\boldsymbol{0}$。当有向线段的起点A与终点B重合时，$\vec{AB}=\boldsymbol{0}$。模为1的向量叫做**单位向量** (unit vector)。与向量$\boldsymbol{a}$长度相等而方向相反的向量，叫做$\boldsymbol{a}$的**相反向量**，记为$-\boldsymbol{a}$。
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如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做**共线向量** (collinear vectors)或**平行向量** (parallel vectors)。我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量$\boldsymbol{a}$，都有$\boldsymbol{0}//\boldsymbol{a}$。
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> 空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致。
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方向相同且模相等的向量叫做**相等向量** (equal vectors)。因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量。空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合。因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。如图1.1-3，已知空间向量$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，以任意点$O$为起点，作向量$\vec{OA}=\mathbf{a}$，$\vec{OB}=\mathbf{b}$，我们就可以把它们平移到同一个平面$\alpha$内。
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[图片描述:平面$\alpha$中，从公共起点$O$发出两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其中$\mathbf{a}$的终点为$A$，$\mathbf{b}$的终点为$B$。另外有两条独立的平行于$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的向量箭头分别标记为$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，暗示向量的平移性质。|标题:图1.1-3|图片1]
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数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是要研究它们的运算。由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法(图1.1-4)以及数乘运算(图1.1-5):
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(1) $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\vec{OA}+\vec{AB}=\vec{OB}$;
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(2) $\mathbf{a}-\mathbf{b}=\vec{OA}-\vec{OC}=\vec{CA}$;
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(3) 当$\lambda>0$时, $\lambda\mathbf{a}=\lambda\vec{OA}=\vec{PQ}$;
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当$\lambda<0$时, $\lambda\mathbf{a}=\lambda\vec{OA}=\vec{MN}$;
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当$\lambda=0$时, $\lambda\mathbf{a}=\mathbf{0}$.
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[图片描述:左侧是一个平行四边形$OABC$，向量$\vec{OA}$表示为$\mathbf{a}$，向量$\vec{OB}$表示为$\mathbf{b}$。通过平行四边形法则，对角线之一表示向量加法$\mathbf{a}+\mathbf{b}$，另一对角线表示向量减法$\mathbf{a}-\mathbf{b}$。右侧图像显示了向量$\mathbf{a}$从起点$O$延伸到$A$。|标题:图1.1-4|图片2]
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[图片描述:从起点$O$发出向量$\mathbf{a}$。当标量$\lambda>0$时，向量$\lambda\mathbf{a}$方向与$\mathbf{a}$相同，长度是$\mathbf{a}$的$\lambda$倍，表示为从$P$到$Q$的向量。当$\lambda<0$时，向量$\lambda\mathbf{a}$方向与$\mathbf{a}$相反，长度是$\mathbf{a}$的$|\lambda|$倍，表示为从$M$到$N$的向量。|标题:图1.1-5|图片3]
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> **?**
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> 想一想，向量线性运算的结果，与向量起点的选择有关系吗？
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与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中$\lambda, \mu \in \mathbf{R}$):
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* **交换律**: $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$;
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* **结合律**: $(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$, $\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$;
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* **分配律**: $(\lambda+\mu)\mathbf{a}=\lambda\mathbf{a}+\mu\mathbf{a}$, $\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambda\mathbf{b}$.
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> **?**
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> 你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？
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**探究**
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如图1.1-6，在平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$中，分别标出$\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA'}$, $\vec{AB}+\vec{AA'}+\vec{AD}$表示的向量。从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？
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[图片描述:一个平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$的立体图。点$A$位于左前方底部，点$B$位于右前方底部，点$D$位于左后方底部，点$C$位于右后方底部。$A'$，$B'$，$C'$，$D'$分别对应$A$，$B$，$C$，$D$上方的顶点。虚线表示被遮挡的边。|标题:图1.1-6|图片4]
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可以发现，$\vec{AB}+\vec{AD}+\vec{AA}'=\vec{AB}+\vec{AA}'+\vec{AD}=\vec{AC}'$。一般地，对于三个不共面的向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$，以任意点$O$为起点，$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$为邻边作平行六面体，则$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$的和等于以$O$为起点的平行六面体对角线所表示的向量。另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变。
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### 💡 探究
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对任意两个空间向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$，如果$\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}$ ($\lambda\in\mathbf{R}$)，$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$有什么位置关系？反过来，$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$有什么位置关系时，$\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}$?
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类似于平面向量共线的充要条件，对任意两个空间向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$($\mathbf{b}\neq\mathbf{0}$)，$\mathbf{a}//\mathbf{b}$的充要条件是存在实数$\lambda$，使
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$$\mathbf{a}=\lambda\mathbf{b}.$$
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如图1.1-7，$O$是直线$l$上一点，在直线$l$上取非零向量$\mathbf{a}$，则对于直线$l$上任意一点$P$，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数$\lambda$，使得
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$$\vec{OP}=\lambda\vec{a}.$$
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[图片描述: 一条直线 $l$ 上有原点 $O$ 和点 $P$。从 $O$ 出发指向 $P$ 的向量 $\vec{OP}$，以及一个与直线 $l$ 方向一致的非零向量 $\vec{a}$。图示表示 $\vec{OP}$ 与 $\vec{a}$ 共线，且 $\vec{OP}$ 可以表示为 $\lambda\vec{a}$。|标题: 图1.1-7|图1]
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我们把与向量$\mathbf{a}$平行的非零向量称为直线$l$的**方向向量** (direction vector)。这样，直线$l$上任意一点都可以由直线$l$上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
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如图1.1-8，如果表示向量$\mathbf{a}$的有向线段$\vec{OA}$所在的直线$OA$与直线$l$平行或重合，那么称向量$\mathbf{a}$平行于直线$l$。如果直线$OA$平行于平面$\alpha$或在平面$\alpha$内，那么称向量$\mathbf{a}$平行于平面$\alpha$。平行于同一个平面的向量，叫做**共面向量** (coplanar vectors)。
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[图片描述: 该图分上下两部分展示向量与直线/平面的平行关系。上半部分：一条有向线段 $OA$ 上有向量 $\vec{a}$，一条直线 $l$ 与 $OA$ 平行，直线上也标示有向量 $\vec{a}$，表示向量 $\vec{a}$ 与直线 $l$ 平行。下半部分：一个平面 $\alpha$ (以平行四边形表示)，平面内部标示有向量 $\vec{a}$，表示向量 $\vec{a}$ 与平面 $\alpha$ 平行。|标题: 图1.1-8|图2]
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我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？
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### 💡 探究
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对平面内任意两个不共线向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量$\mathbf{p}$可以写成$\mathbf{p}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$，其中$(x,y)$是唯一确定的有序实数对。对两个不共线的空间向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$，如果$\mathbf{p}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$，那么向量$\mathbf{p}$与向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$有什么位置关系？反过来，向量$\mathbf{p}$与向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$有什么位置关系时，$\mathbf{p}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}$?
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可以发现, 如果两个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$不共线, 那么向量$\mathbf{p}$与向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x, y)$, 使
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$$ \mathbf{p} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}. $$
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**例1** 如图1.1-9, 已知平行四边形$ABCD$, 过平面$AC$外一点$O$作射线$OA, OB, OC, OD$, 在四条射线上分别取点$E, F, G, H$, 使$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}=\frac{OG}{OC}=\frac{OH}{OD}=k$. 求证:$E, F, G, H$四点共面.
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[图片描述:一个几何图形，其中点O是顶部顶点。从O延伸出四条射线OA, OB, OC, OD。平面ABCD是一个平行四边形，位于射线上，是上底面。点E, F, G, H分别位于OA, OB, OC, OD的射线上，构成另一个平行四边形EFGH，作为下底面。图中虚线表示不可见棱。O-ABCD是一个棱锥的截断形式（台体）。ABCD平面和EFGH平面平行。图中显示了顶部的O点，中间的ABCD平面，底部的EFGH平面，以及连接这些点和O的边。H和G在后侧，A和B在前侧。|标题:图 1.1-9|图片编号:1]
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**分析**: 欲证$E, F, G, H$四点共面, 只需证明$\vec{EH}, \vec{EF}, \vec{EG}$共面. 而由已知$AD, AB, AC$共面, 可以利用向量运算由$\vec{AD}, \vec{AB}, \vec{AC}$共面的表达式推得$\vec{EH}, \vec{EF}, \vec{EG}$共面的表达式.
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**证明**: 因为$\frac{OE}{OA}=\frac{OF}{OB}=\frac{OG}{OC}=\frac{OH}{OD}=k$, 所以
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$\vec{OE}=k\vec{OA}, \vec{OF}=k\vec{OB}, \vec{OG}=k\vec{OC}, \vec{OH}=k\vec{OD}$.
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因为四边形$ABCD$是平行四边形, 所以
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$$ \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}. $$
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因此
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$$ \begin{aligned}
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\vec{EG} &= \vec{OG}-\vec{OE} \\
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&= k\vec{OC}-k\vec{OA} = k(\vec{OC}-\vec{OA}) = k\vec{AC} \\
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&= k(\vec{AB}+\vec{AD}) \\
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&= k(\vec{OB}-\vec{OA}+\vec{OD}-\vec{OA}) \\
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&= (\vec{OF}-\vec{OE})+(\vec{OH}-\vec{OE}) = \vec{EF}+\vec{EH}.
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\end{aligned} $$
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> 选择恰当的向量表示问题中的几何元素, 通过向量运算得出几何元素的关系, 是解决立体几何问题的常用方法.
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由向量共面的充要条件可知, $\vec{EH}, \vec{EF}, \vec{EG}$共面, 又$\vec{EH}, \vec{EF}, \vec{EG}$过同一点$E$, 从而$E, F, G, H$四点共面.
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**练习**
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1. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.
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2. 如图,$E, F$分别是长方体$ABCD-A'B'C'D'$的棱$AB, CD$的中点.化简下列表达式, 并在图中标出化简结果:
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(1) $\vec{AA'} - \vec{CB}$;
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(2) $\vec{AA'} + \vec{AB} + \vec{B'C'}$;
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(3) $\vec{AB} - \vec{AD} + \vec{B'D'}$;
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(4) $\vec{AB} + \vec{CF}$.
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[图片描述:一个长方体$ABCD-A'B'C'D'$的示意图。A'B'C'D'是上底面，ABCD是下底面。棱AA'、BB'、CC'、DD'是垂直于底面的侧棱。点E是棱AB的中点，点F是棱CD的中点。图中用虚线表示了不可见的棱，并标示了A, B, C, D, A', B', C', D'等顶点以及中点E和F。|标题:(第2题)|图片编号:2]
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3. 在图1.1-6中, 用$\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA'}$表示$\vec{A'C}, \vec{BD'}$及$\vec{DB'}$.
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4. 如图, 已知四面体$ABCD, E, F$分别是$BC, CD$的中点, 化简下列表达式, 并在图中标出化简结果:
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(1) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}$;
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(2) $\vec{AB} + \frac{1}{2}(\vec{BD} + \vec{BC})$;
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(3) $\vec{AF} - \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$.
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5. 如图,已知正方体 $ABCD -A'B'C'D'$, $E, F$ 分别是上底面 $A'C'$ 和侧面 $CD'$ 的中心,求下列各式中 $x,y$ 的值:
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(1) $\vec{AC}=x(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CC}')$
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(2) $\vec{AE}=\vec{AA}' + x\vec{AB} + y\vec{AD}$
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(3) $\vec{AF}=\vec{AD} + x\vec{AB} + y\vec{AA}'$
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[图片描述:一个三维几何图形，点A位于顶部。底部包含点B、E、C，其中E位于线段BC上。点D是一个顶点，点F位于线段CD上。图中使用实线和虚线表示连接线，部分线条为品红色。|标题:第4题|图1]
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[图片描述:一个透视画法的正方体，标记为$ABCD-A'B'C'D'$。点A位于左下前角，并有三条虚线从A延伸，可能表示坐标轴或基向量。点E位于上底面$A'B'C'D'$的中心。点F位于右侧面$CDD'C'$的中心。图中用品红色虚线表示从A到E以及从A到F的连接，暗示向量。|标题:第5题|图2]
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## 1.1.2 空间向量的数量积运算
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由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,因此,两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
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如图1. 1-10,已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$,在空间任取一点$O$,作$\vec{OA}=\boldsymbol{a}$, $\vec{OB}=\boldsymbol{b}$,则$\angle AOB$ 叫做向量$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$的夹角,记作 $\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$.
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[图片描述:三幅图示，描绘了空间中两个非零向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$的夹角。在第一幅图中，向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$从共同的原点出发，形成一个角度。在第二幅图中，向量$\vec{OA}$代表$\boldsymbol{a}$，向量$\vec{OB}$代表$\boldsymbol{b}$，夹角被标注为$\angle AOB$。在第三幅图中，向量$\boldsymbol{a}$垂直向上，向量$\boldsymbol{b}$水平向右，它们也从共同的原点O出发。这些图示有助于直观理解空间向量之间夹角的定义。|标题:图1.1-10|图3]
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> 通常规定, $0 \le \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle \le \pi$. 这样,两个向量的夹角是唯一确定的,且 $\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{a} \rangle$.
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如果$\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle = \frac{\pi}{2}$,那么向量$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$互相垂直,记作 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$.
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已知两个非零向量$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$,则$|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle$叫做$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$的**数量积** (inner product),记作$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$. 即
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$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \rangle $$
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特别地,零向量与任意向量的数量积为$0$.
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由向量的数量积定义,当$\boldsymbol{a} \ne \boldsymbol{0}$, $\boldsymbol{b} \ne \boldsymbol{0}$时,可以得到:
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$$ \boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0; $$
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$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{a}|\cos\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a} \rangle = |\boldsymbol{a}|^2. $$
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> $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}$ 也记作 $\boldsymbol{a}^2$.
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❓ **思考**
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在平面向量的学习中,我们学习了向量的投影,类似地,在空间,向量$\boldsymbol{a}$ 向向量$\boldsymbol{b}$的投影有什么意义?向量$\boldsymbol{a}$向直线$l$的投影呢?向量$\boldsymbol{a}$向平面$\beta$的投影呢?
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如图1. 1-11(1),在空间,向量$a$向向量$b$投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面$\alpha$内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量$b$共线的向量$c$, $c=|a|\cos\langle a, b\rangle\frac{b}{|b|}$,向量$c$称为向量$a$ 在向量$b$ 上的投影向量.类似地,可以将向量$a$向直线$l$投影(图1.1-11(2)).
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[图片描述:图1.1-11 展示了三种空间向量投影的示意图。图(1)显示了向量 $a$ 在平面 $\alpha$ 内向向量 $b$ 的投影，投影向量为 $c$。图(2)显示了向量 $a$ 在平面 $\alpha$ 内向直线 $l$ 的投影，投影向量为 $c$。图(3)显示了向量 $a$ (起点 $A$，终点 $B$) 在平面 $\beta$ 上的投影，通过从 $A, B$ 分别作垂线到 $\beta$ 得到垂足 $A', B'$，投影向量为 $\vec{A'B'}$，也标记为 $c$。|标题:图1.1-11 向量投影示意图|图片编号:图1]
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如图1.1-11(3),向量$a$向平面$\beta$投影,就是分别由向量$a$的起点$A$ 和终点$B$作平面$\beta$的垂线,垂足分别为$A'$, $B'$,得到向量$\vec{A'B'}$,向量$\vec{A'B'}$称为向量$a$ 在平面$\beta$上的投影向量,这时,向量$a$, $\vec{A'B'}$的夹角就是向量$a$ 所在直线与平面$\beta$所成的角.
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空间向量的数量积满足如下的运算律:
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$(\lambda a)\cdot b=\lambda(a\cdot b)$, $\lambda\in\mathbf{R}$;
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$a\cdot b=b\cdot a$(交换律);
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$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$(分配律).
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## 💡 思考
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1. 对于三个均不为0的数$a,b,c$,若$ab=ac$,则$b=c$.对于向量$a,b,c$,由$a\cdot b=a\cdot c$,你能得到$b=c$吗?如果不能,请举出反例.
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2. 对于三个均不为0的数$a,b,c$,若$ab=c$,则$a=\frac{c}{b}$(或$b=\frac{c}{a}$).对于向量$a, b$,若$a\cdot b=k$,能不能写成$a=\frac{k}{b}$(或$b=\frac{k}{a}$)的形式?
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3. 对于三个均不为0的数$a,b,c$,有$(ab)c=a(bc)$.对于向量$a, b, c$,$(a\cdot b)c=a(b\cdot c)$成立吗?为什么?
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**例2** 如图1.1-12,在平行六面体 $ABCD -A'B'C'D'$中,
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$AB = 5, AD = 3, AA' = 7, \angle BAD = 60^{\circ}, \angle BAA' = \angle DAA'=45^{\circ}$.求:
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(1) $\vec{AB}\cdot\vec{AD}$; (2)$AC'$的长(精确到0. 1).
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解:(1) $\vec{AB}\cdot\vec{AD} = |\vec{AB}||\vec{AD}|\cos\langle\vec{AB}, \vec{AD}\rangle$
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$=5\times3\times\cos 60^{\circ}=7.5$;
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[图片描述:图1.1-12 描绘了一个平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$。图中显示了顶点 $A, B, C, D$ 和 $A', B', C', D'$，以及构成六面体的棱。其中虚线表示被遮挡的棱，实线表示可见的棱。不同颜色的虚线（青色和粉色）可能用于区分不同面或不同层次的棱，以增强立体感。|标题:图1.1-12 平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$|图片编号:图2]
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$(2) |\vec{AC'}|^2 = (\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA'})^2$
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$= |\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AA'}|^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD} + \vec{AB} \cdot \vec{AA'} + \vec{AD} \cdot \vec{AA'})$
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$= 5^2 + 3^2 + 7^2 + 2(5 \times 3 \times \cos 60^\circ + 5 \times 7 \times \cos 45^\circ + 3 \times 7 \times \cos 45^\circ)$
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$= 98 + 56\sqrt{2},$
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所以 $AC' \approx 13.3$.
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由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决。
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**例3** 如图1.1-13，$m, n$ 是平面 $\alpha$ 内的两条相交直线。如果 $l \perp m, l \perp n,$ 求证: $l \perp \alpha$.
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**分析:** 要证明 $l \perp \alpha$, 就是要证明 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的任意一条直线 $g$ (直线与平面垂直的定义)。如果我们能在 $g$ 和 $m, n$ 之间建立某种联系，并由 $l \perp m, l \perp n,$ 得到 $l \perp g,$ 那么就能解决此问题。
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[图片描述: 描述了空间中直线与平面的关系。图中有一个平面 $\alpha$，平面内有两条相交直线 $m$ 和 $n$。一条直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$，并通过 $m$ 和 $n$ 的交点。在平面 $\alpha$ 内，还有一条过交点的任意直线 $g$。箭头上显示了向量的方向。|标题: 直线与平面垂直的示意图|图片编号: 图1]
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**证明:** 在平面 $\alpha$ 内作任意一条直线 $g$, 分别在直线 $l, m, n, g$ 上取非零向量 $\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{g}$.
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因为直线 $m$ 与 $n$ 相交，所以向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 不平行。由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$, 使
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$\vec{g} = x\vec{m} + y\vec{n}.$
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将上式两边分别与向量 $\vec{l}$ 作数量积运算，得
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$\vec{l} \cdot \vec{g} = x\vec{l} \cdot \vec{m} + y\vec{l} \cdot \vec{n}.$
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因为 $\vec{l} \cdot \vec{m} = 0, \vec{l} \cdot \vec{n} = 0$ (为什么?)，所以 $\vec{l} \cdot \vec{g} = 0.$
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所以 $l \perp g.$
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这就证明了直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的任意一条直线，所以 $l \perp \alpha.$
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> **思考与探究:**
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> 例3即为直线与平面垂直的判定定理的证明过程，尝试用综合几何方法证明这个定理，并比较两种方法，你能从中体会到向量方法的优越性吗？
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## 练习
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1. [图片描述: 一个正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的示意图。底面是三角形 $ABC$ 和 $A_1B_1C_1$，侧棱是 $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$。图中用实线标出了 $AB_1$ 和 $BC_1$ 两条线段。|标题: 正三棱柱示意图|图片编号: 图2]
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如图，在正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，若 $AB=\sqrt{2}BB_1$, 则 $AB_1$ 与 $BC_1$ 所成角的大小为 ( ).
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(A) $60^\circ$
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(B) $90^\circ$
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(C) $105^\circ$
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(D) $75^\circ$
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2. 如图，正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为1，设 $\vec{AB}=\vec{a}, \vec{AD}=\vec{b}, \vec{AA'}=\vec{c}$, 求:
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(1) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})$; (2) $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c})$; (3) $(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})$.
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3. 如图，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$AB=4$, $AD=3$, $AA'=5$, $\angle BAD=90^\circ$, $\angle BAA'=\angle DAA'=60^\circ$。求：
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(1) $\overrightarrow{AA'} \cdot \overrightarrow{AB}$;
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(2) $AB'$ 的长;
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(3) $AC'$ 的长.
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[图片描述: 描绘一个直角平行六面体（长方体）$ABCD-A'B'C'D'$。A点位于左下角，其棱$AB$、$AD$、$AA'$分别用向量$a$、$b$、$c$表示。$AB$是底部前棱，$AD$是底部侧棱，$AA'$是垂直棱。$D'$和$C'$是上底面的顶点。虚线表示内部或不可见的棱，例如从D到A'、从D到C、从B到C。|标题: 第2题示意图|图片编号: 1]
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[图片描述: 描绘一个非直角的平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$。A点位于左下角，棱$AB$、$AD$、$AA'$向右、向后、向上延伸。图中清晰地标出了顶点A、B、C、D以及上层顶点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$。虚线表示内部或不可见的棱，例如$AD$, $DC$, $BC$, $AA'$, $DD'$, $CC'$。从A点引出一条粉色虚线连接到$D'$点，另一条浅蓝色虚线连接到$C'$点。|标题: 第3题示意图|图片编号: 2]
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[图片描述: 描绘一个平面$\alpha$，上面有线段$AB$和$BD$。$BD$垂直于$AB$。从$A$点引出一条垂直于平面$\alpha$的线段$AC$。线段$AB$长为$a$，线段$BD$长为$b$，线段$AC$长为$c$。平面$\alpha$用一个倾斜的矩形表示，其中$AB$和$BD$是矩形的一部分。$AC$是一条垂直于平面的蓝色线段。|标题: 第4题示意图 (上半部分)|图片编号: 3]
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4. 如图，线段 $AB$, $BD$ 在平面 $\alpha$ 内，$BD \perp AB$, $AC \perp \alpha$, 且 $AB=a$, $BD=b$, $AC=c$。求 $C, D$ 两点间的距离。
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## 习题 1.1
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**<img src="https://example.com/icon.png" alt="复习巩固图标" style="height:1em;vertical-align:middle;"> 复习巩固**
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1. 如图，在长方体 $ABCD -A'B'C'D'$ 中，$E, F$ 分别为棱 $AA'$, $AB$ 的中点。
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(1) 写出与向量 $\overrightarrow{BC}$ 相等的向量；
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(2) 写出与向量 $\overrightarrow{BC}$ 相反的向量；
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(3) 写出与向量 $\overrightarrow{EF}$ 平行的向量。
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[图片描述: 描绘一个长方体$ABCD-A'B'C'D'$。E是棱$AA'$的中点，F是棱$AB$的中点。图中用粉色箭头标出了向量$\vec{EF}$（从E到F）和向量$\vec{BC}$（从B到C）。虚线表示内部或不可见的棱，例如$DD'$, $AD$, $DC$等。|标题: 第1题示意图 (复习巩固)|图片编号: 4]
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[图片描述: 描绘一个平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$。图中清晰地标出了顶点A、B、C、D以及上层顶点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$。虚线表示内部或不可见的棱，例如$AD$, $DC$, $DD'$, $CC'$等。此图用于表示化简向量表达式的结果。|标题: 第2题示意图 (复习巩固)|图片编号: 5]
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2. 如图，已知平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$, 化简下列表达式，并在图中标出化简结果：
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(1) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$;
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(2) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CC'}$;
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(3) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CC'}$;
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(4) $\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'})$.
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3. 证明：如果向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 共线，那么向量 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{a}$ 共线。
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4. 如图，已知四面体 $ABCD$ 的所有棱长都等于 $a$，$E,F,G$ 分别是棱 $AB, AD, DC$ 的中点，求：
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(1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$;
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(2) $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{DB}$;
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(3) $\overrightarrow{GF} \cdot \overrightarrow{AC}$;
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(4) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{BC}$;
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(5) $\overrightarrow{FG} \cdot \overrightarrow{BA}$;
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(6) $\overrightarrow{GE} \cdot \overrightarrow{GF}$.
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[图片描述: 描绘一个正四面体$ABCD$。E是棱$AB$的中点，F是棱$AD$的中点，G是棱$DC$的中点。图中用虚线表示了四面体的部分棱，例如$AD$, $BD$, $CD$。此外，从A点到G点有一条粉色直线，从B点到D点有一条蓝色虚线。|标题: 第4题示意图 (复习巩固)|图片编号: 6]
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## 综合运用
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5. 如图,在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $M$. 设 $\vec{A_1B_1}=\mathbf{a}$, $\vec{A_1D_1}=\mathbf{b}$, $\vec{A_1A}=\mathbf{c}$, 则下列向量中与 $\vec{B_1M}$ 相等的向量是 ( ).
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(A) $-\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
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(B) $\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
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(C) $\frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
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(D) $-\frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} + \mathbf{c}$
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[图片描述: 三维几何图形，一个平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。顶点 $A_1$ 位于左下后方，连接到 $B_1$, $D_1$, $A$。向量 $\vec{A_1B_1}$ 标记为 $\mathbf{a}$，向量 $\vec{A_1D_1}$ 标记为 $\mathbf{b}$，向量 $\vec{A_1A}$ 标记为 $\mathbf{c}$。底面 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 和 $BD$ 相交于点 $M$。部分边线以虚线表示。|标题: 第5题|图片1]
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6. 如图,已知 $E, F, G, H$ 分别为四面体 $ABCD$ 的棱 $AB, BC, CD, DA$ 的中点,求证: $E, F, G, H$ 四点共面.
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[图片描述: 三维几何图形，一个四面体 $ABCD$。点 $A$ 在顶部， $B$ 在左前， $C$ 在右后， $D$ 在左后。 $E, F, G, H$ 分别是棱 $AB, BC, CD, DA$ 的中点。连接 $E, F, G, H$ 形成一个平行四边形 $EFGH$，该四边形被涂色以强调其平面。部分边线以虚线表示。|标题: 第6题|图片2]
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7. 如图,正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 $a$.
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(1)求 $A'B$ 和 $B'C$ 的夹角;
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(2)求证: $A'B \perp AC'$.
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[图片描述: 三维几何图形，一个正方体 $ABCD-A'B'C'D'$。 $A$ 在左下前， $B$ 在右下前， $C$ 在右下后， $D$ 在左下后。 $A'$ 在左上前， $B'$ 在右上前， $C'$ 在右上后， $D'$ 在左上后。虚线表示看不见的边。红色线段表示 $A'B$ 和 $B'C$。蓝色虚线表示 $A'C'$。|标题: 第7题|图片3]
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8. 用向量方法证明:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直(三垂线定理).
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## 拓广探索
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9. 如图,在四面体 $OABC$ 中, $OA \perp BC, OB \perp AC$.求证: $OC \perp AB$.
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[图片描述: 三维几何图形，一个四面体 $OABC$。顶点 $O$ 在顶部，底面 $ABC$ 是一个三角形。连接 $A$ 到 $C$ 和 $B$ 到 $C$ 的线段。虚线表示底面 $ABC$ 的边 $AC$ 和 $BC$。|标题: 第9题|图片4]
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10. 如图,在四面体 $OABC$ 中, $OA=OB, CA=CB, E, F, G, H$ 分别是 $OA, OB, BC, CA$ 的中点,求证:四边形 $EFGH$ 是矩形.
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[图片描述: 三维几何图形，一个四面体 $OABC$。顶点 $O$ 在顶部，底面 $ABC$ 是一个三角形。 $E, F, G, H$ 分别是棱 $OA, OB, BC, CA$ 的中点。连接 $E, F, G, H$ 形成一个四边形 $EFGH$，该四边形被涂色以强调其平面。虚线表示一些看不见的边和中点连线。|标题: 第10题|图片5]
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## 1.2 空间向量基本定理
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我们知道,平面內的任意一个向量 $p$ 都可以用两个不共线的向量 $\vec{a},\vec{b}$ 来表示(平面向量基本定理),类似地,任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 来表示呢?
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我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.
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如图1.2-1,设 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 是空间中三个两两垂直的向量,且表示它们的有向线段有公共起点 $O$.对于任意一个空间向量 $\vec{p}=\vec{OP}$,设 $\vec{OQ}$ 为 $\vec{OP}$ 在 $\vec{i},\vec{j}$ 所确定的平面上的投影向量,则 $\vec{OP}=\vec{OQ}+\vec{QP}$.又向量 $\vec{QP},\vec{k}$ 共线,因此存在唯一的实数 $z$,使得 $\vec{QP}=z\vec{k}$,从而
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$$\vec{OP}=\vec{OQ}+z\vec{k}.$$
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而在 $\vec{i},\vec{j}$ 所确定的平面上,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对 $(x,y)$,使得
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$$\vec{OQ}=x\vec{i}+y\vec{j}.$$
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从而
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$$\vec{OP}=\vec{OQ}+z\vec{k}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.$$
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[图片描述:一个三维空间直角坐标系，原点为O。三个相互垂直的单位向量 $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ 分别沿三个坐标轴的正方向。空间中有一个点P，向量 $\vec{OP}$ 从O指向P，表示向量 $\vec{p}$。点Q是P在由 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 构成的平面（即Oxy平面）上的投影。向量 $\vec{OQ}$ 是 $\vec{OP}$ 在Oxy平面上的投影向量。向量 $\vec{QP}$ 从Q指向P，垂直于Oxy平面，并与 $\vec{k}$ 的方向平行。图中用箭头清晰地标示了向量 $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$, $\vec{OQ}$, $\vec{QP}$, $\vec{OP}$。|标题:图1.2-1|图片1]
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因此,如果 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 是空间三个两两垂直的向量,那么对任意一个空间向量 $\vec{p}$,存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$,使得
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$$\vec{p}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.$$
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我们称 $x\vec{i},y\vec{j},z\vec{k}$ 分别为向量 $\vec{p}$ 在 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 上的分向量.
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> [!QUESTION]
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> 你能证明唯一性吗?
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> [!INFO] **探究**
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> 在空间中,如果用任意三个不共面的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 代替两两垂直的向量 $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$,你能得出类似的结论吗?
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类似平面向量基本定理,我们有空间向量基本定理.
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> [!THEOREM] **空间向量基本定理**
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> 如果三个向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 不共面,那么对任意一个空间向量 $\vec{p}$,存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$,使得
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> $$\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}.$$
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> [!NOTE]
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> 请你自己给出空间向量基本定理的证明.
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由**人民教育出版社**出版
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由此可知,如果三个向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$不共面,那么所有空间向量组成的集合就是$\{p|p=xa+yb+zc, x, y, z\in\mathbf{R}\}$.这个集合可看作由向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$生成的,我们把$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$叫做空间的一个**基底**(base), $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$都叫做**基向量**(base vectors),空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
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特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做**单位正交基底**,常用$\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$表示,由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量$\mathbf{a}$,均可以分解为三个向量$x\mathbf{i}$, $y\mathbf{j}$, $z\mathbf{k}$, 使$\mathbf{a}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$.像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行**正交分解**.
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由空间向量基本定理可知,如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底,那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来,进一步地,所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算,这为解决问题带来了方便.
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**例1** 如图1.2-2, $M$是四面体 $OABC$ 的棱 $BC$ 的中点,点 $N$ 在线段 $OM$ 上,点$P$在线段 $AN$ 上,且$MN=\frac{1}{2}ON$, $AP=\frac{3}{4}AN$,用向量$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ 表示$\vec{OP}$.
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**分析**:$\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ 是三个不共面的向量,它们构成空间的一个基底$\{\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\}$, $\vec{OP}$ 可以用基底$\{\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}\}$表示出来.
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**解**:
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$$ \vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}=\vec{OA}+\frac{3}{4}\vec{AN} $$
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$$ =\vec{OA}+\frac{3}{4}(\vec{ON}-\vec{OA}) $$
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$$ =\vec{OA}+\frac{3}{4}\vec{ON}-\frac{3}{4}\vec{OA} $$
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$$ =\frac{1}{4}\vec{OA}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{3}\vec{OB}+\frac{1}{3}\vec{OC}\right) $$
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$$ =\frac{1}{4}\vec{OA}+\frac{1}{4}\vec{OB}+\frac{1}{4}\vec{OC}. $$
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[图片描述:一个四面体$OABC$。其中$O$为顶点，底部是三角形$ABC$。点$M$是边$BC$的中点。点$N$在$OM$上，使得$MN = \frac{1}{2}ON$。点$P$在$AN$上，使得$AP = \frac{3}{4}AN$。图中用虚线表示了向量$PN$和$AN$。|标题:图1.2-2|图片编号:1]
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### 练习
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1. 已知$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$是空间的一个基底,从$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$中选哪一个向量,一定可以与向量 $\mathbf{p}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$, $\mathbf{q}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 构成空间的另一个基底?
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2. 已知$O, A, B, C$为空间的四个点,且向量$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$不构成空间的一个基底,那么点$O,A,B,C$是否共面?
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3. [图片描述:一个平行六面体$OABC-O'A'B'C'$。底面是平行四边形$OABC$，顶面是$O'A'B'C'$。点$G$是侧面$BB'C'C$的中心（对角线$BC'$和$B'C$的交点）。图中用虚线表示了连接$O'$到$B$、A'到C、O到G的向量。|标题:(第3题)|图片编号:2]
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如图,已知平行六面体 $OABC-O'A'B'C'$,点$G$是侧面$BB'C'C$的中心,且$\vec{OA}=\mathbf{a}, \vec{OC}=\mathbf{b}, \vec{OO'}=\mathbf{c}$.
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(1) $\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$是否构成空间的一个基底?
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(2) 如果$\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$构成空间的一个基底,那么用它表示下列向量:$\vec{OB'}, \vec{BA'}, \vec{CA'}, \vec{OG}$.
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**例2** 如图1.2-3, 在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB=4, AD=4, AA_1=5, \angle DAB=60^\circ, \angle BAA_1=60^\circ, \angle DAA_1=60^\circ$. $M, N$ 分别为 $D_1C_1, C_1B_1$ 的中点. 求证 $MN \perp AC_1$.
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[图片描述:三维平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的示意图。底面为$ABCD$，顶面为$A_1B_1C_1D_1$。在顶面，$M$是$D_1C_1$的中点，$N$是$C_1B_1$的中点。图中用虚线表示了从$A$到$C_1$的向量（蓝色）和从$M$到$N$的向量（粉色）。|标题:图1.2-3|图片编号:1]
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**分析**: 要证 $MN \perp AC_1$, 只需证明 $\vec{MN} \cdot \vec{AC_1}=0$. 由已知, $\{\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}\}$ 可构成空间的一个基底. 把 $\vec{MN}$ 和 $\vec{AC_1}$ 分别用基底表示, 然后计算 $\vec{MN} \cdot \vec{AC_1}$ 即可.
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**证明**: 设 $\vec{AB}=\mathbf{a}, \vec{AD}=\mathbf{b}, \vec{AA_1}=\mathbf{c}$, 这三个向量不共面, $\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$ 构成空间的一个基底, 我们用它们表示 $\vec{MN}, \vec{AC_1}$, 则
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$$
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\vec{MN} = \vec{MC_1} + \vec{C_1N} = \frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b},
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$$
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$$
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\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1} = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c},
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$$
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所以
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$$
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\vec{MN} \cdot \vec{AC_1} = \left(\frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b}\right) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c})
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$$
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$$
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= \frac{1}{2}\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} - \frac{1}{2}\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} - \frac{1}{2}\mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}
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$$
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$$
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= \frac{1}{2} \times 4^2 + \frac{1}{2} \times 4^2 \times \cos 60^\circ + \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \cos 60^\circ - \frac{1}{2} \times 4^2 \times \cos 60^\circ - \frac{1}{2} \times 4^2 - \frac{1}{2} \times 4 \times 5 \times \cos 60^\circ
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$$
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$$
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= 0.
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$$
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所以 $MN \perp AC_1$.
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**例3** 如图1.2-4, 正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 $1$. $E, F, G$ 分别为 $C'D', A'D', D'D$ 的中点.
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(1) 求证: $EF // AC$;
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(2) 求 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值.
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[图片描述:三维正方体$ABCD-A'B'C'D'$的示意图。底面为$ABCD$，顶面为$A'B'C'D'$。$E$是$C'D'$的中点，$F$是$A'D'$的中点，$G$是$D'D$的中点。图中用实线表示了$EF$（蓝色），并用虚线表示了从$C$到$E$以及从$A$到$G$的向量（粉色）。|标题:图1.2-4|图片编号:2]
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**分析**:(1)要证明 $EF // AC$, 只需证明 $\vec{EF}$ 与 $\vec{AC}$ 共线. 设 $\vec{DA}=\mathbf{i}, \vec{DC}=\mathbf{j}, \vec{DD'}=\mathbf{k}$, 则 $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$ 构成空间的一个单位正交基底, 把 $\vec{EF}$ 和 $\vec{AC}$ 分别用基向量表示, 作相应的运算证明它们共线即可.(2)要求 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值, 只需求 $\vec{CE}, \vec{AG}$ 所成角的余弦值即可.
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(1) **证明**: 设 $\vec{DA}=\mathbf{i}$, $\vec{DC}=\mathbf{j}$, $\vec{DD'}=\mathbf{k}$, 则 $\{\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$ 构成空间的一个单位正交基底.
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所以
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$\vec{EF}=\vec{D'F}-\vec{D'E}=\frac{1}{2}\mathbf{i}-\frac{1}{2}\mathbf{j}=\frac{1}{2}(\mathbf{i}-\mathbf{j})$,
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$\vec{CA}=\vec{DA}-\vec{DC}=\mathbf{i}-\mathbf{j}$.
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所以 $\vec{EF}=\frac{1}{2}\vec{CA}$.
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所以 $EF//AC$.
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(2) **解**: 因为
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$\vec{CE}=\vec{CC'}+\vec{C'E}=-\frac{1}{2}\mathbf{j}+\mathbf{k}$,
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$\vec{AG}=\vec{AD}+\vec{DG}=-\mathbf{i}+\frac{1}{2}\mathbf{k}$,
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所以
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$\cos\langle\vec{CE}, \vec{AG}\rangle=\frac{\vec{CE}\cdot\vec{AG}}{|\vec{CE}||\vec{AG}|}=\frac{(-\frac{1}{2}\mathbf{j}+\mathbf{k})\cdot(-\mathbf{i}+\frac{1}{2}\mathbf{k})}{\frac{\sqrt{5}}{2}\times\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{5}$.
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所以 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$.
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## 练习
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1. 已知四面体 $OABC$, $OB=OC$, $\angle AOB=\angle AOC=\theta$. 求证: $OA \perp BC$.
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2. 如图,在平行六面体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中, $AB=2$, $AD=2$, $AA'=3$, $\angle BAD = \angle BAA' = \angle DAA'=60^\circ$. 求 $BC'$ 与 $CA'$ 所成角的余弦值.
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[图片描述:一个平行六面体的三维透视图，顶点标记为 A, B, C, D, A', B', C', D'。虚线表示内部不可见的边（如AD, CD, AA', CC', DD'），实线表示可见的边。图中有虚线连接AC'和BC'，以及实线连接D'C'和BC。|标题:第2题|图片编号:1]
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3. 如图,已知正方体 $ABCD-A'B'C'D'$, $CD'$和$DC'$相交于点$O$,连接$AO$,求证 $AO \perp CD'$.
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[图片描述:一个正方体的三维透视图，顶点标记为 A, B, C, D, A', B', C', D'。虚线表示内部不可见的边（如AB, AD, AA'），实线表示可见的边。正方体的右侧面 CDD'C' 上，两条对角线 CD' 和 DC' 用红色实线表示并相交于点 O。另外有从顶点 A 连接到 O 的虚线段。|标题:第3题|图片编号:2]
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## 习题 1.2
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### 复习巩固
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1. 如果向量 $a$, $b$ 与任何向量都不能构成空间的一个基底,那么 $a$, $b$ 间应有什么关系?
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2. 若 $\{a,b,c\}$ 构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( ).
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(A) $b+c$, $b$, $b-c$
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(B) $a$, $a+b$, $a-b$
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(C) $a+b$, $a-b$, $c$
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(D) $a+b$, $a+b+c$, $c$
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3. 已知四面体 $OABC$, $M$, $N$ 分别是棱 $OA$, $BC$ 的中点,且 $\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$, 用 $a$, $b$, $c$ 表示向量 $\vec{MN}$.
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4. 如图,在空间平移 $\triangle ABC$ 到 $\triangle A'B'C'$,连接对应顶点,设 $\vec{AA'}=\vec{a}$, $\vec{AB}=\vec{b}$, $\vec{AC}=\vec{c}$, $M$ 是 $BC'$ 的中点,$N$ 是 $B'C'$ 的中点,用基底 $\{a,b,c\}$ 表示向量 $\vec{AM}$, $\vec{AN}$.
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[图片描述:一个三棱柱形状的几何体，表示 $\triangle ABC$ 空间平移到 $\triangle A'B'C'$。底面是 $\triangle ABC$，顶面是 $\triangle A'B'C'$。图示的棱有 $AB$, $AC$, $BC$, $A'B'$, $A'C'$, $B'C'$ 以及连接对应顶点的 $AA'$, $BB'$, $CC'$。其中 $M$ 是 $BC'$ 的中点， $N$ 是 $B'C'$ 的中点。连接 $AM$, $AN$ 的虚线也已画出。|标题:第4题附图|图片1]
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### 综合运用
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5. 如图,在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,$M$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点.若 $D_1A_1=2$, $D_1C_1=2$, $D_1D=3$,求 $B_1M$ 的长.
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[图片描述:一个长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的透视图。其中底面 $ABCD$ 在下方，顶面 $A_1B_1C_1D_1$ 在上方。点 $M$ 是底面 $ABCD$ 对角线 $AC$ 和 $BD$ 的交点。图中用虚线表示了长方体的后方棱线和内部辅助线，特别是连接 $B_1$ 和 $M$ 的线段。|标题:第5题附图|图片2]
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6. 如图,平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是菱形,且 $\angle C_1CB= \angle C_1CD= \angle BCD=60^\circ$, $CD=CC_1$,求证:$CA_1 \perp$ 平面 $C_1BD$.
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[图片描述:一个平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的透视图。底面 $ABCD$ 是菱形。图中展示了棱线 $CD$, $CC_1$ 以及对角线 $CA_1$, $C_1B$, $C_1D$ 等，其中部分线段为虚线以表示隐藏在几何体内部。|标题:第6题附图|图片3]
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### 拓广探索
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7. 如图,在棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,$E$,$F$ 分别为 $DD_1$, $BD$ 的中点,点 $G$ 在 $CD$ 上,且 $CG=\frac{1}{4}CD$.
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(1) 求证:$EF \perp B_1C$;
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(2) 求 $EF$ 与 $C_1G$ 所成角的余弦值.
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[图片描述:一个棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的透视图。点 $E$ 是棱 $DD_1$ 的中点，点 $F$ 是底面对角线 $BD$ 的中点。点 $G$ 在棱 $CD$ 上，使得 $CG = \frac{1}{4}CD$。图中用虚线表示了连接 $E,F$ 和 $C_1,G$ 的线段。|标题:第7题附图|图片4]
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8. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等,求证:这个四面体相对的棱两两垂直.
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## 1.3 空间向量及其运算的坐标表示
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学习了空间向量基本定理,建立了“空间基底”的概念,我们就可以利用基底表示任意一个空间向量,进而把空间向量的运算转化为基向量的运算.所以,基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础.
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在平面向量中,我们以平面直角坐标系中与$x$轴、$y$轴方向相同的两个单位向量$i$, $j$为基底,建立了向量的坐标与点的坐标的——对应关系,从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地,为了把空间向量的运算化归为数的运算,能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底,建立空间直角坐标系,进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?下面我们就来研究这个问题.
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### 1.3.1 空间直角坐标系
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我们知道,平面直角坐标系由平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成,利用单位正交基底概念,我们还可以这样理解平面直角坐标系:如图 1.3-1,在平面内选定一点$O$和一个单位正交基底$\{i,j\}$,以$O$为原点,分别以$i$, $j$的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴:$x$轴、$y$轴,那么我们就建立了一个平面直角坐标系.
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[图片描述:一个二维直角坐标系，水平方向为$x$轴，竖直方向为$y$轴，两轴交点为原点$O$。$x$轴正方向上标注单位向量$i$， $y$轴正方向上标注单位向量$j$。|标题:图1.3-1|图片1]
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类似地,在空间选定一点$O$和一个单位正交基底$\{i,j,k\}$(图1.3-2).以点$O$为原点,分别以$i,j,k$的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立三条数轴:$x$轴、$y$轴、$z$轴,它们都叫做**坐标轴**,这时我们就建立了一个**空间直角坐标系**$Oxyz$, $O$叫做**原点**,$i,j,k$都叫做**坐标向量**,通过每两条坐标轴的平面叫做**坐标平面**,分别称为$Oxy$平面,$Oyz$平面, $Ozx$平面,它们把空间分成八个部分.
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画空间直角坐标系$Oxyz$时,一般使$\angle xOy=135^\circ$(或$45^\circ$), $\angle yOz=90^\circ$.
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[图片描述:一个三维直角坐标系$Oxyz$，其中$O$为原点。$x$轴、 $y$轴、 $z$轴相互垂直。$x$轴正方向上标注单位向量$i$， $y$轴正方向上标注单位向量$j$， $z$轴正方向上标注单位向量$k$。$x$轴从$O$点向左前方延伸， $y$轴向右延伸， $z$轴向上延伸。|标题:图1.3-2|图片2]
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在空间直角坐标系中,让右手拇指指向$x$轴的正方向,食指
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指向$y$轴的正方向,如果中指指向$z$轴的正方向,则称这个坐标系为**右手直角坐标系**.
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本书建立的坐标系都是右手直角坐标系.
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> **探究**
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> 在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢?
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在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中(图1.3-3), $\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}$ 为坐标向量,对空间任意一点 $A$,对应一个向量 $\vec{OA}$,且点 $A$ 的位置由向量 $\vec{OA}$ 唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$,使
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$$\vec{OA} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$$
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在单位正交基底 $\{\boldsymbol{i},\boldsymbol{j},\boldsymbol{k}\}$ 下与向量 $\vec{OA}$ 对应的有序实数组 $(x,y,z)$,叫做点 $A$ 在空间直角坐标系中的坐标,记作 $A(x,y,z)$,其中 $x$ 叫做点 $A$ 的**横坐标**,$y$ 叫做点 $A$ 的**纵坐标**,$z$ 叫做点 $A$ 的**竖坐标**.
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[图片描述: 空间直角坐标系 Oxyz，原点为 O。x、y、z轴分别由单位向量 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 指示。点 A 位于空间中，通过从原点 O 沿各轴方向的虚线构成一个长方体来表示其坐标位置。|标题: 图1.3-3|图片1]
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[图片描述: 空间直角坐标系 Oxyz 中，一个向量 $\boldsymbol{a}$ 从原点 O 出发，指向点 A($x$, $y$, $z$)。向量 $\boldsymbol{a}$ 被分解为沿 $x$、$y$、$z$ 轴的分量，这些分量通过从 $A$ 点向坐标平面作虚线投影来表示，形成了向量 $\boldsymbol{a}$ 的三维坐标表示。图中还显示了单位向量 $\boldsymbol{i}$, $\boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{k}$。|标题: 图1.3-4|图片2]
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在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中,给定向量 $\boldsymbol{a}$,作 $\vec{OA}=\boldsymbol{a}$ (图1.3-4).由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组 $(x,y,z)$,使
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$$\boldsymbol{a} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}$$
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有序实数组 $(x,y,z)$ 叫做 $\boldsymbol{a}$ 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的坐标,上式可简记作
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$$\boldsymbol{a} = (x, y, z)$$
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这样,在空间直角坐标系中,空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示.
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> 符号 $(x,y,z)$ 具有双重意义,它既可以表示向量,也可以表示点,在表述时要注意区分。
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> **探究**
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> 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中,对空间任意一点 $A$,或任意一个向量 $\vec{OA}$,你能借助几何直观确定它们的坐标 $(x,y,z)$ 吗?
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事实上,如图1.3-5,过点A分别作垂直于$x$轴、$y$轴和$z$轴的平面,依次交$x$轴、$y$轴和$z$轴于点$B,C$和$D$.可以证明$\overrightarrow{OA}$在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的投影向量分别为$\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD}$,且$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$.设点$B,C$和$D$在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的坐标分别是$x,y$和$z$,那么点$A$(向量$\overrightarrow{OA}$)的坐标为$(x,y,z)$.
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> 你能给出证明吗?
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[图片描述:一个三维直角坐标系Oxyz，坐标轴分别为x, y, z。原点为O。图中绘制了一个以O为起点的长方体，其一个顶点为A。从点A向x轴、y轴、z轴分别作垂线，交点分别为B、C、D。图中还用虚线表示了从A到各坐标轴的投影，以及沿各轴方向的单位向量$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$。|标题:图1.3-5|图片1]
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**例1** 如图1.3-6,在长方体OABC-D'A'B'C'中, $OA=3, OC=4, OD'=2$, 以$\{\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}, \frac{1}{4}\overrightarrow{OC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{OD}\}$为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系$Oxyz$.
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(1) 写出$D', C, A', B'$四点的坐标;
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(2) 写出向量$\overrightarrow{A'B'}$, $\overrightarrow{B'B}$, $\overrightarrow{A'C'}$, $\overrightarrow{AC}$的坐标.
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**解:**
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(1) 点$D'$在$z$轴上,且$OD'=2$,所以$\overrightarrow{OD'}=0\vec{i}+0\vec{j}+2\vec{k}$.所以点$D'$的坐标是$(0,0,2)$.
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同理,点$C$的坐标是$(0,4,0)$.
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点$A'$在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的射影分别为$A, O, D'$,它们在坐标轴上的坐标分别为$3,0,2$,所以点$A'$的坐标是$(3,0,2)$.
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[图片描述:一个三维直角坐标系Oxyz，坐标轴分别为x, y, z。原点为O。图中绘制了一个长方体OABC-D'A'B'C'，其中O是原点，A在x轴上，C在y轴上，D'在z轴上。虚线表示了长方体的隐藏边。点A'B'C'D'是长方体上部的顶点。|标题:图1.3-6|图片2]
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点$B'$在$x$轴、$y$轴、$z$轴上的射影分别为$A,C,D'$,它们在坐标轴上的坐标分别为$3,4,2$,所以点$B'$的坐标是$(3,4,2)$.
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(2) $\overrightarrow{A'B'}=\overrightarrow{OC}=0\vec{i}+4\vec{j}+0\vec{k}=(0,4,0)$;
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$\overrightarrow{B'B}=-\overrightarrow{OD'}=0\vec{i}+0\vec{j}-2\vec{k}=(0,0,-2)$;
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$\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{A'D'}+\overrightarrow{D'C'}=-3\vec{i}+4\vec{j}+0\vec{k}=(-3,4,0)$;
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$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CC'}=-3\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}=(-3,4,2)$.
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### 练习
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1. 在空间直角坐标系中标出下列各点:
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$A(0,2,4)$, $B(1,0,5)$, $C(0,2,0)$, $D(1,3,4)$.
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2. 在空间直角坐标系$Oxyz$中,
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(1) 哪个坐标平面与$x$轴垂直? 哪个坐标平面与$y$轴垂直? 哪个坐标平面与$z$轴垂直?
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(2) 写出点$P(2,3,4)$在三个坐标平面内的射影的坐标.
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(3) 写出点$P(1,3,5)$关于原点成中心对称的点的坐标.
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3. 在长方体OABC-D'A'B'C'中,$OA=3, OC=4, OD'=3, A'C'$与$B'D'$相交于点$P$,建立如图所示的空间直角坐标系$Oxyz$.
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[图片描述:一个三维直角坐标系Oxyz，坐标轴分别为x, y, z。原点为O。图中绘制了一个长方体OABC-D'A'B'C'，其中O是原点，A在x轴上，C在y轴上，D'在z轴上。虚线表示了长方体的隐藏边。对角线A'C'和B'D'在长方体上表面D'A'B'C'内相交于点P，点P被明确标注。|标题:(第3题)|图片3]
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(1) 写出点$C, B', P$的坐标;
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(2) 写出向量$\vec{BB'}, \vec{A'C'}$的坐标.
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4. 已知点$B$是点$A(3,4,5)$在坐标平面 $Oxy$ 内的射影,求 $|\vec{OB}|$.
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### 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
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> **探究**
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> 有了空间向量的坐标表示,你能类比平面向量的坐标运算,得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗?
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设
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$\boldsymbol{a}=(a_1, a_2, a_3), \boldsymbol{b}=(b_1, b_2, b_3),$
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与平面向量运算的坐标表示一样,我们有:
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$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(a_1+b_1, a_2+b_2, a_3+b_3),$
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$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(a_1-b_1, a_2-b_2, a_3-b_3),$
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$\lambda \boldsymbol{a}=(\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3), \lambda \in \mathbf{R},$
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$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3.$
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下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.
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设$\{\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$为空间的一个单位正交基底,则
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$\boldsymbol{a}=a_1 \boldsymbol{i}+a_2 \boldsymbol{j}+a_3 \boldsymbol{k}, \boldsymbol{b}=b_1 \boldsymbol{i}+b_2 \boldsymbol{j}+b_3 \boldsymbol{k},$
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所以
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$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(a_1 \boldsymbol{i}+a_2 \boldsymbol{j}+a_3 \boldsymbol{k}) \cdot (b_1 \boldsymbol{i}+b_2 \boldsymbol{j}+b_3 \boldsymbol{k}).$
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利用向量数量积的分配律以及
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$\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}=1, \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{i}=0,$
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得
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$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3.$
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> 其他运算的坐标表示可以类似证明,请同学们自己完成.
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由上述结论可知,空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的.例如,我们有:
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一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
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类似平面向量运算的坐标表示,我们还可以得到:
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当$\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$时, $\boldsymbol{a} // \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b} \Leftrightarrow a_1=\lambda b_1, a_2=\lambda b_2, a_3=\lambda b_3 (\lambda \in \mathbf{R});$
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当$\boldsymbol{a} \neq \mathbf{0}, \boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$时, $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0 \Leftrightarrow a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3=0;$
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$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2};$
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$cos\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$
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## 探究
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你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？
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如图1.3-7 建立空间直角坐标系 $Oxyz$, 设 $P_1(x_1, y_1, z_1)$, $P_2(x_2, y_2, z_2)$ 是空间中任意两点, 则
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$\vec{P_1P_2} = \vec{OP_2} - \vec{OP_1} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.
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于是
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$|\vec{P_1P_2}| = \sqrt{\vec{P_1P_2} \cdot \vec{P_1P_2}}$
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$= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.
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所以
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$P_1P_2 = |\vec{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$.
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这就是**空间两点间的距离公式**。
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[图片描述:三维笛卡尔坐标系Oxyz，原点为O。x、y、z轴上分别标有单位向量i、j、k。图中标示了空间中两个点P1和P2。从原点O指向P1的向量OP1和从原点O指向P2的向量OP2用蓝色箭头表示。从P1指向P2的向量P1P2也用蓝色箭头表示。|标题:图1.3-7|图1]
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将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来, 不仅可以解决夹角和距离的计算问题, 而且可以使一些问题的解决变得简单.
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**例2** 如图1.3-8, 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,
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$E,F$ 分别是 $BB_1, D_1B_1$ 的中点. 求证 $\vec{EF} \perp \vec{DA_1}$.
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**分析**: 要证明 $\vec{EF} \perp \vec{DA_1}$, 只要证明 $\vec{EF} \cdot \vec{DA_1} = 0$. 我们只要用坐标表示 $\vec{EF}, \vec{DA_1}$, 并进行数量积运算即可.
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**证明**: 不妨设正方体的棱长为1, 建立如图1.3-8 所示的空间直角坐标系 $Oxyz$, 则
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$E(1, 1, \frac{1}{2}), F(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1)$.
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所以 $\vec{EF} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
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又 $A_1(1,0,1), D (0,0,0)$,
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所以 $\vec{DA_1} = (1, 0, 1)$.
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所以 $\vec{EF} \cdot \vec{DA_1} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \cdot (1, 0, 1) = 0$.
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所以 $\vec{EF} \perp \vec{DA_1}$, 即 $EF \perp DA_1$.
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[图片描述:一个三维直角坐标系Oxyz，原点O与正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D重合。DA边沿x轴，DC边沿y轴，DD1边沿z轴。正方体的棱长设定为1。点E是BB1边的中点，点F是D1B1边的中点。图中标示了点E和点F的位置，并用蓝色线条连接了EF。|标题:图1.3-8|图2]
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> **提示**: 你能从本题的解答中体会到根据问题的特点, 建立适当的空间直角坐标系, 用向量表示相关元素, 并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗?
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**例3** 如图1.3-9, 在棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $M$ 为 $BC_1$ 的中点, $E_1$, $F_1$ 分别在棱 $A_1B_1$, $C_1D_1$ 上, $B_1E_1=\frac{1}{4}A_1B_1$, $D_1F_1=\frac{1}{4}C_1D_1$.
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(1) 求 $AM$ 的长.
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(2) 求 $BE_1$ 与 $DF_1$ 所成角的余弦值.
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**分析:** (1) 利用条件建立适当的空间直角坐标系,写出点 $A$, $M$ 的坐标, 利用空间两点间的距离公式求出 $AM$ 的长. (2) $BE_1$ 与 $DF_1$ 所成的角就是 $\vec{BE_1}$, $\vec{DF_1}$ 所成的角或它的补角. 因此, 可以通过 $\vec{BE_1}$, $\vec{DF_1}$ 的坐标运算得到结果.
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**解:** (1) 建立如图 1.3-9 所示的空间直角坐标系 $Oxyz$, 则点 $A$ 的坐标为 $(1,0,0)$, 点 $M$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})$. 于是
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[图片描述:一个三维直角坐标系中的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。原点O位于D点，x轴沿DA，y轴沿DC，z轴沿DD1。图中标注了点A, B, C, D, A1, B1, C1, D1。点M是BC1的中点，点E1在A1B1上，点F1在D1C1上。E1、F1、M等关键点以及相关的辅助线（如虚线）被绘制出来。|标题:图1.3-9|图片编号:1]
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$AM=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(1-0)^2+(\frac{1}{2}-0)^2} = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2+1^2+(\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1+4+1}{4}} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.
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(2) 由已知,得
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$B(1, 1, 0)$, $E_1(1, \frac{3}{4}, 1)$, $D(0, 0, 0)$, $F_1(0, \frac{1}{4}, 1)$.
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所以 $\vec{BE_1}=(1, \frac{3}{4}, 1)-(1, 1, 0)=(0, -\frac{1}{4}, 1)$,
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$\vec{DF_1}=(0, \frac{1}{4}, 1)-(0, 0, 0)=(0, \frac{1}{4}, 1)$.
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$|\vec{BE_1}|=\sqrt{0^2+(-\frac{1}{4})^2+1^2} = \sqrt{\frac{1}{16}+1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$,
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$|\vec{DF_1}|=\sqrt{0^2+(\frac{1}{4})^2+1^2} = \sqrt{\frac{1}{16}+1} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}$.
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所以 $\vec{BE_1} \cdot \vec{DF_1}=0\times0+(-\frac{1}{4}\times\frac{1}{4})+1\times1=0-\frac{1}{16}+1=\frac{15}{16}$.
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所以 $\cos\langle\vec{BE_1}, \vec{DF_1}\rangle = \frac{\vec{BE_1} \cdot \vec{DF_1}}{|\vec{BE_1}||\vec{DF_1}|}$
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$= \frac{\frac{15}{16}}{\frac{\sqrt{17}}{4}\times\frac{\sqrt{17}}{4}} = \frac{\frac{15}{16}}{\frac{17}{16}} = \frac{15}{17}$.
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所以, $BE_1$ 与 $DF_1$ 所成角的余弦值是 $\frac{15}{17}$.
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## 练习
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1. 已知 $\mathbf{a}=(-3, 2, 5)$, $\mathbf{b}=(1, 5, -1)$，求:
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(1) $\mathbf{a}+\mathbf{b}$;
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(2) $6\mathbf{a}$;
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(3) $3\mathbf{a}-\mathbf{b}$;
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(4) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.
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2. 已知 $\mathbf{a}=(2, -1, 3)$, $\mathbf{b}=(-4, 2, x)$，且 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$。求 $x$ 的值。
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3. 在 $z$ 轴上求一点 $M$，使点 $M$ 到点 $A(1, 0, 2)$ 与点 $B(1, -3, 1)$ 的距离相等。
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4. 如图，正方体 $OABC-D'A'B'C'$ 的棱长为 $a$，点 $N, M$ 分别在 $AC, BC'$ 上，$AN=2CN, BM=2MC'$，求 $MN$ 的长。
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[图片描述: 3D Cartesian坐标系中的一个正方体OABC-D'A'B'C'。O为原点，x, y, z轴已标示。点N在底面正方形OABC的对角线AC上，点M在侧面矩形BCC'B'的对角线BC'上。图中用虚线表示了立方体的隐藏边，并用洋红色虚线绘制了连接N和M的线段MN。|标题: 第4题图示|图1]
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5. 如图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 是 $AB$ 的中点，求 $DB_1$ 与 $CM$ 所成角的余弦值。
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[图片描述: 3D视图中的一个正方体ABCD-A1B1C1D1。M是底边AB的中点。对角线DB1（从D到B1）用洋红色虚线表示。线段CM（从C到M）用蓝色虚线表示。|标题: 第5题图示|图2]
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## 习题 1.3
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### 复习巩固
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1. 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，三个非零向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 分别平行于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，它们的坐标各有什么特点?
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2. $M(x, y, z)$ 是空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标:
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(1) 与点 $M$ 关于 $x$ 轴对称的点;
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(2) 与点 $M$ 关于 $y$ 轴对称的点;
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(3) 与点 $M$ 关于 $z$ 轴对称的点;
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(4) 与点 $M$ 关于原点对称的点。
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3. 如图，正方体 $OABC-D'A'B'C'$ 的棱长为 $a$，$E, F, G, H, I, J$ 分别是棱 $C'D', D'A', A'A, AB, BC, CC'$ 的中点，写出正六边形 $EFGHIJ$ 各顶点的坐标。
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[图片描述: 3D Cartesian坐标系中的一个正方体OABC-D'A'B'C'。O为原点，x, y, z轴已标示。点E, F, G, H, I, J分别是棱C'D', D'A', A'A, AB, BC, CC'的中点。图中用洋红色线条连接这些中点，形成了一个正六边形EFGHIJ。|标题: 第3题图示|图3]
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4. 先在空间直角坐标系中标出 $A, B$ 两点，再求它们之间的距离:
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(1) $A(2, 3, 5)$, $B(3, 1, 4)$;
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(2) $A(6, 0, 1)$, $B(3, 5, 7)$.
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5. 已知 $a=(2, -3, 1)$, $b=(2,0,3)$, $c=(0, 0, 2)$. 求:
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(1) $a \cdot (b+c)$; (2) $a+6b-8c$.
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### 综合运用
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6. 求证: 以 $A(4, 1, 9)$, $B(10, -1,6)$, $C(2,4,3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形.
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7. 已知 $A(3,5,-7)$, $B(-2, 4, 3)$, 求 $\vec{AB}$, $\vec{BA}$, 线段 $AB$ 的中点坐标及线段 $AB$ 的长.
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### 拓广探索
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8. [图片描述:一个正方体，其顶点被标记为 $A, B, C, D$ 在底面， $A_1, B_1, C_1, D_1$ 在顶面。M是棱 $A_1A$ 的中点，N是棱 $B_1B$ 的中点。图中用虚线标出了棱，并用不同颜色的虚线表示线段 $CM$（蓝色）和 $D_1N$（品红色）。|标题:第 8 题的配图，一个正方体结构图|图片1]
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如图, 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $M, N$ 分别为棱 $A_1A$ 和 $B_1B$ 的中点, 求 $CM$ 和 $D_1N$ 所成角的余弦值.
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9. $\{a,b,c\}$ 是空间的一个单位正交基底, 向量 $p=a+2b+3c$, $\{a+b,a-b,c\}$ 是空间的另一个基底, 用基底 $\{a+b, a-b, c\}$ 表示向量 $p$.
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### 阅读与思考
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#### 向量概念的推广与应用
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我们知道, 在平面内取定单位正交基底建立坐标系后, 任意一个平面向量, 都可以用二元有序实数对 $(a_1, a_2)$ 表示, 平面向量又称为二维向量. 给定空间一个单位正交基底, 任意一个空间向量, 都可用三元有序实数组 $(a_1,a_2, a_3)$ 表示, 空间向量又称为三维向量. 二维向量、三维向量统称为几何向量.
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在实际问题中, 经常会遇到一些需要用更多实数来表示的量. 比如: 期末进行了五门学科的考试, 每个学生的成绩可用顺序排列的五科成绩来表示; 在汽车生产线上, 对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每 100 千米油耗、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试, 那么每辆新车质量可用六元有序实数组 $(a_1,a_2, a_3, a_4, a_5, a_6)$ 表示.
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一般地, $n$ 元有序实数组 $(a_1,a_2,\dots, a_n)$ 称为 $n$ 维向量, 它是几何向量的推广. $n$ 维向量的全体构成的集合, 赋予相应的结构后, 叫做 $n$ 维向量空间. 它的每一个元素可看成 $n$ 维向量空间的一点. 特别地, 对 $n$ 维向量空间赋予数量积运算, 可以得到 $n$ 维欧氏空间.
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类似二维向量, 对于 $n$ 维向量, 也可定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度(模)、两点间的“距离”等:
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设 $\mathbf{a}=(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $\mathbf{b}=(b_1, b_2, \dots, b_n)$，则
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$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_1, a_2, \dots, a_n) \pm (b_1, b_2, \dots, b_n)$
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$= (a_1 \pm b_1, a_2 \pm b_2, \dots, a_n \pm b_n)$;
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$\lambda \mathbf{a} = \lambda(a_1, a_2, \dots, a_n) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \dots, \lambda a_n)$, $\lambda \in \mathbf{R}$;
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$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot (b_1, b_2, \dots, b_n) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n$;
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$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2}$.
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在 $n$ 维向量空间中 $A(a_1, a_2, \dots, a_n)$, $B(b_1, b_2, \dots, b_n)$ 两点间的“距离”
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$d_{AB}=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+\dots+(b_n-a_n)^2}$.
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利用向量的运算可以解决许多实际问题。
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例如，为了研究某种商品的销售量是否随季节的变化出现规律性的变化，采集了 $5$ 年内这种商品每月销售量的数据。每年此商品的销售量可用 $12$ 个月的销售量所形成的 $12$ 维向量表示，不妨设 $5$ 年的销售向量分别为
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$\mathbf{a}=(a_1, a_2, \dots, a_{12})$,
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$\mathbf{b}=(b_1, b_2, \dots, b_{12})$,
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$\mathbf{c}=(c_1, c_2, \dots, c_{12})$,
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$\mathbf{d}=(d_1, d_2, \dots, d_{12})$,
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$\mathbf{e}=(e_1, e_2, \dots, e_{12})$.
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计算这 $5$ 年的月平均销售向量
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$\frac{1}{5}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}+\mathbf{d}+\mathbf{e})$.
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观察这个向量的 $12$ 个分量，就可看出这 $5$ 年内月平均销售量是否与季节的变化有关。
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上面是一个应用向量的加法与数乘运算的例子，下面我们再来看用“距离”概念解决实际问题的例子。
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依据“距离”来分类是一种常用的分类方法。计算每个向量与标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归哪一类。请看下面的具体例子。
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翱翔校服有限公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一新生的 $8$ 种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如表 $1$ 所示。
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表 $1$
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| 型号 | 身高/cm | 胸围/cm | 腰围/cm | 肩宽/cm |
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| :--- | :------ | :------ | :------ | :------ |
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| XXS | 150 | 76 | 62 | 34 |
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| XS | 155 | 80 | 66 | 36 |
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续表
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| 型号 | 身高/cm | 胸围/cm | 腰围/cm | 肩宽/cm |
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| :----- | :------ | :------ | :------ | :------ |
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| S | 160 | 84 | 70 | 38 |
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| M | 165 | 88 | 74 | 40 |
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| L | 170 | 92 | 78 | 42 |
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| XL | 175 | 96 | 82 | 44 |
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| XXL | 180 | 100 | 86 | 46 |
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| XXXL | 185 | 104 | 90 | 48 |
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为了给树人中学1000名高一新生制作校服，翱翔公司测量了每名学生的身高、胸围、腰围、肩宽等，得到1000组（每组4个）数据，如何根据这些数据得出8种标准型号的服装各应制作的套数呢？
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我们把测量得到的数据按身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生的身材可以用四维向量表示，并且可以把它看作四维向量空间中的一个点，这样，上面的问题用数学语言来描述，就是如何将1000个点分成8类。一种常用的分类方法是依据“距离”来分类。8种标准型号为8个标准点，用两点间距离的计算公式，计算每个学生的身材点与8个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归入哪一类。例如，某同学身高为172cm，胸围95cm，腰围80cm，肩宽43cm，则该同学的身材点可以表示为$P(172, 95, 80, 43)$。设8种标准型号分别为点$A(150, 76, 62, 34)$，$B(155, 80, 66, 36)$，$C(160, 84, 70, 38)$，$D(165, 88, 74, 40)$，$E(170, 92, 78, 42)$，$F(175, 96, 82, 44)$，$G(180, 100, 86, 46)$，$H(185, 104, 90, 48)$，分别计算点$P$与点$A, B, C, D, E, F, G, H$的距离，可得$d_{PA} \approx 35.4$，$d_{PB} \approx 27.5$，$d_{PC} \approx 19.7$，$d_{PD} \approx 12.0$，$d_{PE} \approx 4.2$，$d_{PF} \approx 3.9$，$d_{PG} \approx 11.6$，$d_{PH} \approx 19.4$。因为$d_{PF}$最小，所以该同学的身材点应归类为XL号。
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翱翔校服有限公司只要设计一个小程序，将测量所得的1000组数据输入计算机，就可以迅速计算出1000名学生属于每一类的点数，进而得到8种标准型号的服装各应制作的套数。
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从以上两个例子可以看出，由有序实数组构成的向量，比几何向量的应用更加广泛，在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量来表示，并可用向量理论研究这些量的性质。
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# 1.4 空间向量的应用
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我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题。我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键。本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题。
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## 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
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### 1. 空间中点、直线和平面的向量表示
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我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面。
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> **③ 思考**
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> 如何用向量表示空间中的一个点？
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如图1.4-1，在空间中，我们取一定点$O$作为基点，那么空间中任意一点$P$就可以用向量$\vec{OP}$来表示。我们把向量$\vec{OP}$称为点$P$的位置向量。
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[图片描述: 一个平面上有一个点O，从点O出发有一条指向空间中点P的向量，用小写字母p表示这个向量。|标题: 图1.4-1|图片编号: 1]
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> **③ 思考**
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> 我们知道，空间中给定一个点$A$和一个方向就能唯一确定一条直线$l$。如何用向量表示直线$l$？
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用向量表示直线$l$，就是要利用点$A$和直线的方向向量表示直线上的任意一点。
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如图1.4-2，$\boldsymbol{a}$是直线$l$的方向向量，在直线$l$上取$\vec{AB}=\boldsymbol{a}$。设$P$是直线$l$上的任意一点，由向量共线的条件可知，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使得
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$\vec{AP}=t\boldsymbol{a}$，即$\vec{AP}=t\vec{AB}$。
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[图片描述: 一条直线l上有点A、B和P。从A点出发，指向B点的向量为$\vec{AB}$，该向量同时表示为方向向量$\boldsymbol{a}$。从A点出发，指向P点的向量为$\vec{AP}$。方向向量$\boldsymbol{a}$在直线上方平行于直线，单独用一个箭头表示。|标题: 图1.4-2|图片编号: 2]
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进一步地，如图1.4-3，取定空间中的任意一点$O$，可以得到点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使
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$$\vec{OP} = \vec{OA} + t\mathbf{a} \quad (1)$$
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将$\vec{AB} = \mathbf{a}$代入(1)式，得
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$$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} \quad (2)$$
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[图片描述:描绘了一条直线 $l$，其上分布着点 $A$、`B`、`P`。直线 $l$ 的方向由向量 $\mathbf{a}$ 指示。图像中还显示了一个不在直线 $l$ 上的点 $O$，并用箭头连接 $O$ 到 $A$、`O` 到 `B`、`O` 到 `P`。|标题:图 1.4-3|图1]
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(1)式和(2)式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。
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> **? 思考**
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> 你能证明这个结论吗?
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一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
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我们知道，平面$\alpha$可以由$\alpha$内两条相交直线确定。如图1.4-4，设两条直线相交于点$O$，它们的方向向量分别为$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，$P$为平面$\alpha$内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使得
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$$\vec{OP} = x\mathbf{a} + y\mathbf{b}$$
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这样，点$O$与向量$\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$不仅可以确定平面$\alpha$，还可以具体表示出$\alpha$内的任意一点。这种表示在解决几何问题时有重要作用。
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[图片描述:描绘了一个平面 $\alpha$，平面上有一个点 $O$，有两条直线在该点相交。从点 $O$ 出发，沿两条直线分别有向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$。平面内还标示了任意一点 $P$。|标题:图 1.4-4|图2]
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进一步地，如图1.4-5，取定空间任意一点$O$，可以得到，空间一点$P$位于平面$ABC$内的充要条件是存在实数$x$，$y$，使
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$$\vec{OP} = \vec{OA} + x\vec{AB} + y\vec{AC} \quad (3)$$
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[图片描述:描绘了一个由点 $A$、$B$、$C$ 确定的平面。平面内有一个任意点 $P$。图像中显示了一个平面外的点 $O$，并有向量连接 $O$ 到 $A$ 和 $O$ 到 $P$。在平面内，还有从点 $A$ 到 $B$ 的向量 $\mathbf{a}$，从点 $A$ 到 $C$ 的向量 $\mathbf{b}$，以及从点 $A$ 到 $P$ 的向量 $\mathbf{p}$，这些向量共同展示了平面内点的向量表示。|标题:图 1.4-5|图3]
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> **? 思考**
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>
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> 你能证明这个结论吗?
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我们把(3)式称为空间平面$ABC$的向量表示式。由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定。
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我们知道，给定空间一点$A$和一条直线$l$，则过点$A$且垂直于直线$l$的平面是唯一确定的。由此得到启发，我们
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可以利用点 $A$ 和直线 $l$ 的方向向量来确定平面。
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如图1.4-6, 直线 $l \perp \alpha$. 取直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a}$, 我们称向量 $\vec{a}$ 为平面 $\alpha$ 的**法向量** (normal vector). 给定一个点 $A$ 和一个向量 $\vec{a}$, 那么过点 $A$, 且以向量 $\vec{a}$ 为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合 $\{P | \vec{a} \cdot \vec{AP}=0\}$。
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[图片描述: 3D空间中一个平面 $\alpha$。平面上有一点 $A$ 和另一点 $P$。一条直线 $l$ 垂直于平面 $\alpha$ 并穿过点 $A$。沿直线 $l$ 从点 $A$ 发出的向量 $\vec{a}$ 垂直于平面 $\alpha$，表示该平面的法向量。|标题: 图1.4-6|图片编号: 1]
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> 如果另有一条直线 $m \perp \alpha$, 在直线 $m$ 上任取向量 $\vec{b}$, $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 有什么关系?
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**例1** 如图1.4-7, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB=4$, $BC=3$, $CC_1=2$, $M$ 是 $AB$ 的中点。以 $D$ 为原点, $DA$, $DC$, $DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.
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(1) 求平面 $BCC_1B_1$ 的法向量;
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(2) 求平面 $MCA_1$ 的法向量.
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**分析**: (1) 平面 $BCC_1B_1$ 与 $y$ 轴垂直, 其法向量可以直 接写出; (2) 平面 $MCA_1$ 可以看成由 $\vec{MC}$, $\vec{MA_1}$, $\vec{CA_1}$ 中的两个向量所确定, 运用法向量与它们的垂直关系, 可转化为数量积运算求得法向量.
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[图片描述: 一个三维长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。原点 $D$ 位于长方体的一个角上，边 $DA$ 沿 $x$ 轴，边 $DC$ 沿 $y$ 轴，边 $DD_1$ 沿 $z$ 轴。点 $M$ 是边 $AB$ 的中点。图中显示了长方体的各个顶点以及坐标轴。|标题: 图1.4-7|图片编号: 2]
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**解**:
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(1) 因为 $y$ 轴垂直于平面 $BCC_1B_1$, 所以 $\vec{n_1}=(0,1,0)$ 是平面 $BCC_1B_1$ 的一个法向量.
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(2) 因为 $AB=4$, $BC=3$, $CC_1=2$, $M$ 是 $AB$ 的中点, 所以 $M, C, A_1$ 的坐标分别为 $(3,2,0)$, $(0,4,0)$, $(3,0,2)$. 因此
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$\vec{MC}=(-3,2,0)$, $\vec{MA_1}=(0,-2,2)$.
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设 $\vec{n_2}=(x,y,z)$ 是平面 $MCA_1$ 的法向量, 则
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$\vec{n_2} \perp \vec{MC}$, $\vec{n_2} \perp \vec{MA_1}$.
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所以
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$$
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\begin{cases}
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\vec{n_2} \cdot \vec{MC}=-3x+2y=0, \\
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\vec{n_2} \cdot \vec{MA_1}=-2y+2z=0.
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\end{cases}
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$$
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所以
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$$
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\begin{cases}
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x = \frac{2}{3}z, \\
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y = z.
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\end{cases}
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$$
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取 $z=3$, 则 $x=2$, $y=3$. 于是 $\vec{n_2}=(2,3,3)$ 是平面 $MCA_1$ 的一个法向量.
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> 求平面的法向量, 通常只需要求出平面的一个法向量. 求直线的方向向量也是如此.
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## 练习
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1. 判断下列命题是否正确,正确的在括号内打“√”,错误的打“×”.
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(1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量; ( )
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(2) 若 $\boldsymbol{v}$ 是直线 $l$ 的方向向量,则 $\lambda \boldsymbol{v} (\lambda \in \mathbf{R})$ 也是直线 $l$ 的方向向量; ( )
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(3) 在空间直角坐标系中, $\boldsymbol{n}=(0,0,1)$ 是坐标平面 $Oxy$ 的一个法向量. ( )
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2. 在平行六面体 $ABCD -A_1B_1C_1D_1$ 中, $\vec{AB}=\boldsymbol{a}$, $\vec{AD}=\boldsymbol{b}$, $\vec{AA_1}=\boldsymbol{c}$, $O$ 是 $BD_1$ 与 $B_1D$ 的交点,以 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\}$ 为空间的一个基底,求直线 $OA$ 的一个方向向量.
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3. 在长方体 $ABCD -A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB=4$, $BC=3$, $CC_1 = 2$. 以 $D$ 为原点,以 $\{\frac{1}{3}\vec{DA}$, $\frac{1}{4}\vec{DC}$, $\frac{1}{2}\vec{DD_1}\}$ 为空间的一个单位正交基底,建立空间直角坐标系 $Oxyz$,求平面 $ACD_1$ 的一个法向量.
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## 2. 空间中直线、平面的平行
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我们知道,直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量.那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢?首先来看平行的问题.
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> **? 思考**
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> 由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系,可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?
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如图1.4-8,设 $\boldsymbol{u_1}$, $\boldsymbol{u_2}$ 分别是直线 $l_1$, $l_2$ 的方向向量,由方向向量的定义可知,如果两条直线平行,那么它们的方向向量一定平行;反过来,如果两条直线的方向向量平行,那么这两条直线也平行,所以
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$$l_1 // l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u_1} // \boldsymbol{u_2} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}, \text{使得 } \boldsymbol{u_1}=\lambda\boldsymbol{u_2}.$$
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[图片描述: 两条平行直线 $l_1$ 和 $l_2$，分别用向量 $\boldsymbol{u_1}$ 和 $\boldsymbol{u_2}$ 表示其方向。向量 $\boldsymbol{u_1}$ 沿 $l_1$ 方向，向量 $\boldsymbol{u_2}$ 沿 $l_2$ 方向。|标题: 图1.4-8|图1]
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类似地,如图1.4-9,设 $\boldsymbol{u}$ 是直线 $l$ 的方向向量, $\boldsymbol{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量, $l \not\subset \alpha$ 则
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$$l // \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{n}=0.$$
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[图片描述: 一条直线 $l$ 平行于一个平面 $\alpha$。直线 $l$ 的方向向量为 $\boldsymbol{u}$，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$。向量 $\boldsymbol{u}$ 沿直线 $l$ 方向，向量 $\boldsymbol{n}$ 垂直于平面 $\alpha$。|标题: 图1.4-9|图2]
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如图1. 4-10,设 $\boldsymbol{n_1}$, $\boldsymbol{n_2}$ 分别是平面 $\alpha$, $\beta$ 的法向量,则
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$$\alpha // \beta \Leftrightarrow \boldsymbol{n_1} // \boldsymbol{n_2} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}, \text{使得 } \boldsymbol{n_1}=\lambda\boldsymbol{n_2}.$$
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[图片描述: 两个平行平面 $\alpha$ 和 $\beta$。平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n_1}$，平面 $\beta$ 的法向量为 $\boldsymbol{n_2}$。两个法向量互相平行并垂直于各自的平面。|标题: 图1.4-10|图3]
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**例2** 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
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**已知**: 如图 1.4-11, $a \subset \beta$, $b \subset \beta$, $a \cap b = P$, $a // \alpha$, $b // \alpha$.
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**求证**: $\alpha // \beta$.
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**分析**: 设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\mathbf{n}$, 直线 $a$, $b$ 的方向向量分别为 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, 则由已知条件可得 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{u} = \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0$, 由此可以证明 $\mathbf{n}$ 与平面 $\beta$ 内的任意一个向量垂直, 即 $\mathbf{n}$ 也是 $\beta$ 的法向量.
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[图片描述: 这是一个三维几何示意图，展示了两个平行平面 $\alpha$ 和 $\beta$。平面 $\beta$ 位于上方，包含两条相交直线 $a$ 和 $b$，它们在点 P 处相交。直线 $a$ 的方向向量是 $\mathbf{u}$，直线 $b$ 的方向向量是 $\mathbf{v}$。平面 $\alpha$ 位于下方，与平面 $\beta$ 平行。从平面 $\alpha$ 向上指向平面 $\beta$ 有一个法向量 $\mathbf{n}$。|标题:图 1.4-11|图片编号:1]
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**证明**: 如图 1.4-11, 取平面 $\alpha$ 的法向量 $\mathbf{n}$, 直线 $a$, $b$ 的方向向量 $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$.
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因为 $a // \alpha$, $b // \alpha$, 所以 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{u} = 0$, $\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0$.
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因为 $a \subset \beta$, $b \subset \beta$, $a \cap b = P$,
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所以对任意点 $Q \in \beta$, 存在 $x$, $y \in \mathbf{R}$, 使得 $\vec{PQ} = x\mathbf{u} + y\mathbf{v}$.
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从而 $\mathbf{n} \cdot \vec{PQ} = \mathbf{n} \cdot (x\mathbf{u} + y\mathbf{v}) = x\mathbf{n} \cdot \mathbf{u} + y\mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0$.
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所以, 向量 $\mathbf{n}$ 也是平面 $\beta$ 的法向量. 故 $\alpha // \beta$.
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**例3** 如图 1.4-12, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB=4$, $BC=3$, $CC_1=2$. 线段 $B_1C$ 上是否存在点 $P$, 使得 $A_1P // $ 平面 $ACD_1$?
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**分析**: 根据条件建立适当的空间直角坐标系, 那么问题中涉及的点、向量 $\vec{B_1C}$, $\vec{A_1P}$, 以及平面 $ACD_1$ 的法向量 $\mathbf{n}$ 等都可以用坐标表示. 如果点 $P$ 存在, 那么就有 $\mathbf{n} \cdot \vec{A_1P} = 0$, 由此通过向量的坐标运算可得结果.
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[图片描述: 这是一个长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的三维示意图，并建立了空间直角坐标系。D点是坐标原点，DA沿着x轴正方向，DC沿着y轴正方向，DD1沿着z轴正方向。长方体的尺寸为 $AB=4$ (与CD平行), $BC=3$ (与AD平行), $CC_1=2$ (与DD1平行)。图中用虚线标出了长方体的不可见边。平面 $ACD_1$ 由虚线连接的三角形 $ACD_1$ 表示。线段 $B_1C$ 上有一个点 P 被标出。|标题:图 1.4-12|图片编号:2]
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**解**: 以 $D$ 为原点, $DA$, $DC$, $DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴, 建立如图 1.4-12 所示的空间直角坐标系.
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因为 $A$, $C$, $D_1$ 的坐标分别为 $(3,0,0)$, $(0,4,0)$, $(0,0,2)$, 所以
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$\vec{AC} = (-3, 4, 0)$, $\vec{AD_1} = (-3, 0, 2)$.
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设 $\mathbf{n}=(x, y, z)$ 是平面 $ACD_1$ 的法向量, 则 $\mathbf{n} \cdot \vec{AC} = 0$, $\mathbf{n} \cdot \vec{AD_1} = 0$, 即
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$\begin{cases} -3x+4y=0, \\ -3x+2z=0. \end{cases}$
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所以
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$\begin{cases} x=\frac{2}{3}z, \\ y=\frac{1}{2}z. \end{cases}$
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取 $z=6$, 则 $x=4$, $y=3$. 所以, $\mathbf{n}=(4,3,6)$ 是平面 $ACD_1$ 的一个法向量.
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由 $A_1$, $C$, $B_1$ 的坐标分别为 $(3,0,2)$, $(0,4,0)$, $(3,4,2)$, 得 $\vec{A_1B_1} = (0, 4, 0)$, $\vec{B_1C} = (-3, 0, -2)$.
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设点 $P$ 满足 $\vec{B_1P} = \lambda\vec{B_1C}$ ($0 \le \lambda \le 1$), 则 $\vec{B_1P} = (-3\lambda, 0, -2\lambda)$.
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所以 $\vec{A_1P} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1P} = (-3\lambda, 4, -2\lambda)$.
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令$n \cdot \vec{A_1 P}=0$，得$-12\lambda+12-12\lambda=0$，解得$\lambda=\frac{1}{2}$，此时$A_1 P \not\subset$平面$ACD_1$，这样
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的点$P$存在。所以，当$\vec{B_1 P}=\frac{1}{2}\vec{B_1 C}$，即$P$为$B_1 C$的中点时，$A_1 P // $平面$ACD_1$。
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**练习**
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1. 用向量方法证明“直线与平面平行的判定定理”：**若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.**
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2. 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点。直线 $AD$ 上是否存在点 $F$，使得 $AE // CF$?
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[图片描述:左图显示一个四面体$ABCD$，其中$E$是边$BC$的中点。线段$AE$（蓝色）连接了顶点$A$和$E$。线段$CF$（粉色）连接了顶点$C$和$AD$边上的点$F$。虚线表示四面体中被遮挡的边。右图显示一个正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。点$E$表示面$AB_1$（即$ABB_1A_1$）的中心，点$F$表示面$A_1C_1$（即$A_1B_1C_1D_1$）的中心。线段$EF$（粉色虚线）连接了这两个中心。图中还用蓝色虚线示意了正方体内部的辅助对角线。|标题:第2题和第3题配图|图片1]
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3. 如图，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E, F$ 分别是面 $AB_1$，面 $A_1C_1$ 的中心，求证：$EF // $平面$ACD_1$。
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### 3. 空间中直线、平面的垂直
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> **? 思考**
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> 类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？
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一般地, 直线与直线垂直, 就是两直线的方向向量垂直; 直线与平面垂直, 就是直线的方向向量与平面的法向量平行; 平面与平面垂直, 就是两平面的法向量垂直.
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如图1.4-13(1), 设直线 $l_1, l_2$ 的方向向量分别为$\boldsymbol{u}_1, \boldsymbol{u}_2$, 则
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$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2=0$.
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[图片描述:一张包含三个子图的组合图，用于解释空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系及其向量表示。
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(1) 子图展示了两条相互垂直的直线$l_1$和$l_2$（用红色和紫色箭头表示其方向向量$\boldsymbol{u}_1$和$\boldsymbol{u}_2$），它们都位于平面$\alpha$上。
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(2) 子图展示了一条直线$l$垂直于一个平面$\alpha$。直线$l$的方向向量$\boldsymbol{u}$（紫色箭头）与平面$\alpha$的法向量$\boldsymbol{n}$（红色箭头）相互平行。
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(3) 子图展示了两个相互垂直的平面。一个平面$\alpha$用其法向量$\boldsymbol{n}_1$（红色箭头）表示，另一个与它垂直的平面用其法向量$\boldsymbol{n}_2$（紫色箭头）表示。两个法向量$\boldsymbol{n}_1$和$\boldsymbol{n}_2$相互垂直。|标题:图1.4-13|图片2]
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如图 1. 4-13(2), 设直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{u}$, 平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$, 则
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$l \perp \alpha \Leftrightarrow u // n \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}$, 使得 $u = \lambda n$.
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如图 1.4-13(3), 设平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别为 $n_1, n_2$, 则
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$\alpha \perp \beta \Leftrightarrow n_1 \perp n_2 \Leftrightarrow n_1 \cdot n_2 = 0$.
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> 我们随时随地看到向量运算的作用, 你同意“向量是躯体, 运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗?
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**例 4** 如图1.4-14, 在平行六面体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB=AD=AA_1=1$, $\angle A_1AB=\angle A_1AD=\angle BAD=60^\circ$, 求证: 直线 $A_1C \perp$ 平面 $BDD_1B_1$.
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**分析**: 根据条件, 可以$\{\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}\}$为基底, 并用基向量表示 $\vec{A_1C}$ 和平面 $BDD_1B_1$, 再通过向量运算证明 $\vec{A_1C}$ 是平面 $BDD_1B_1$ 的法向量即可.
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**证明**: 设 $\vec{AB}=\mathbf{a}$, $\vec{AD}=\mathbf{b}$, $\vec{AA_1}=\mathbf{c}$, 则 $\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$ 为空间的一个基底, 且
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$\vec{A_1C}=\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}$, $\vec{BD}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$, $\vec{BB_1}=\mathbf{c}$.
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因为 $AB=AD=AA_1=1$, $\angle A_1AB=\angle A_1AD=\angle BAD=60^\circ$, 所以
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$a^2=b^2=c^2=1$, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}=\mathbf{c} \cdot \mathbf{a}=\frac{1}{2}$.
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在平面 $BDD_1B_1$ 上, 取 $\vec{BD}$, $\vec{BB_1}$ 为基向量, 则对于平面 $BDD_1B_1$ 上任意一点 $P$, 存在唯一的有序实数对 $(\lambda, \mu)$, 使得
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$\vec{BP}=\lambda\vec{BD}+\mu\vec{BB_1}$.
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所以,
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$\vec{A_1C} \cdot \vec{BP} = \lambda\vec{A_1C} \cdot \vec{BD} + \mu\vec{A_1C} \cdot \vec{BB_1}$
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$= \lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}) \cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a}) + \mu(\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c}) \cdot \mathbf{c} = 0$.
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所以 $\vec{A_1C}$ 是平面 $BDD_1B_1$ 的法向量.
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所以 $A_1C \perp$ 平面 $BDD_1B_1$.
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[图片描述: 这是一个透视图，展示了一个平行六面体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。底部平面为$ABCD$，顶部平面为$A_1B_1C_1D_1$。连接点$A_1$和$C$的对角线$\vec{A_1C}$用实线（红色）表示。连接点$B$和$D$的对角线$\vec{BD}$用虚线（蓝色）表示。图中的虚线还表示了六面体中被遮挡的边。|标题: 图1.4-14|图片1]
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**例 5** 证明“平面与平面垂直的判定定理”: **若一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直.**
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**已知**: 如图1.4-15, $l \perp \alpha$, $l \subset \beta$,
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**求证**: $\alpha \perp \beta$.
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**证明**: 取直线 $l$ 的方向向量 $\mathbf{u}$, 平面 $\beta$ 的法向量 $\mathbf{n}$.
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因为 $l \perp \alpha$, 所以 $\mathbf{u}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量.
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因为 $l \subset \beta$, 而 $\mathbf{n}$ 是平面 $\beta$ 的法向量, 所以 $\mathbf{u} \perp \mathbf{n}$.
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所以 $\alpha \perp \beta$.
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[图片描述: 这是一个三维几何图示，展示了两个互相垂直的平面。一个水平平面标记为$\alpha$，一个垂直于它的平面标记为$\beta$。一条直线$l$（洋红色）垂直于平面$\alpha$并位于平面$\beta$内。直线$l$的方向向量$\mathbf{u}$（洋红色箭头）沿直线$l$向上。平面$\beta$的法向量$\mathbf{n}$（品红色箭头）水平向右。图中还有表示垂直关系的直角符号。|标题: 图1.4-15|图片2]
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## 练习
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1. 已知 $\boldsymbol{u}=(3, a+b, a-b)(a, b \in \mathbf{R})$ 是直线 $l$ 的方向向量，$ \boldsymbol{n}=(1, 2, 3)$ 是平面 $\alpha$ 的法向量.
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(1) 若 $l / / \alpha$, 求 $a, b$ 的关系式; (2) 若 $l \perp \alpha$, 求 $a, b$ 的值.
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2. 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$， 以 $D$ 为原点，$\{\overrightarrow{DA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{DD_1}\}$ 为单位正交基底建立空间直角坐标系. 求证：$A_1C \perp BC_1$.
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3. 如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB=2$，$BC=CC_1=1$，
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$E$ 是 $CD$ 的中点，$F$ 是 $BC$ 的中点. 求证：平面 $EAD_1 \perp$ 平面 $EFD_1$.
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[图片描述: 这是一个3D长方体几何图，用于展示空间中的点、线和平面关系。长方体标记为 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中 $A_1B_1C_1D_1$ 为顶面，$ABCD$ 为底面。$AB=2$, $BC=CC_1=1$。$E$ 是 $CD$ 的中点，$F$ 是 $BC$ 的中点。图中绘制了一些线段，包括 $A_1C$ (品红色虚线)，$D_1E$ (青色实线)，$AD_1$ (青色实线)，$A_1F$ (青色虚线)，$EF$ (青色实线)。还显示了 $A_1D_1$, $D_1C_1$, $C_1B_1$, $A_1B_1$, $BC$, $CD$, $DA$, $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ 等边和对角线。|标题: (第 3 题)|图片编号: 1]
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### 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
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我们知道，立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等. 如何用空间向量解决这些距离问题呢？
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下面我们先研究用向量方法求直线 $l$ 外一点 $P$ 到直线 $l$ 的距离.
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<div style="background-color: #e0f2f7; padding: 15px; border-radius: 8px;">
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<span style="font-size: 1.2em; font-weight: bold; color: #31708f;">🔍 探究</span>
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已知直线 $l$ 的单位方向向量为 $\boldsymbol{u}$，$A$ 是直线 $l$ 上的定点，$P$ 是直线 $l$ 外一点. 如何利用这些条件求 $P$ 到直线 $l$ 的距离？
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如图 1.4-16，向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影向量为 $\overrightarrow{AQ}$，则 $\triangle APQ$ 是直角三角形. 因为 $A, P$ 都是定点，所以 $|\overrightarrow{AP}|, \overrightarrow{AP}$ 与 $\boldsymbol{u}$ 的夹角 $\angle PAQ$ 都是确定的. 于是可求 $|\overrightarrow{AQ}|$. 再利用勾股定理， 可以求出点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $PQ$.
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设 $\overrightarrow{AP}=\boldsymbol{a}$，则向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影向量 $\overrightarrow{AQ}=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u})\boldsymbol{u}$.
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在 $Rt\triangle APQ$ 中，由勾股定理，得
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$PQ = \sqrt{|\overrightarrow{AP}|^2 - |\overrightarrow{AQ}|^2} = \sqrt{\boldsymbol{a}^2 - (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u})^2}$.
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</div>
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[图片描述: 这是一个二维几何图，展示了点到直线的距离。图中标注了一条直线 $l$，线上有一个定点 $A$。直线 $l$ 的方向由单位向量 $\boldsymbol{u}$ 表示。直线外有一个点 $P$。从点 $P$ 向直线 $l$ 作垂线，垂足为 $Q$。这样构成了一个直角三角形 $APQ$，其中 $\angle AQP = 90^\circ$。线段 $AP$ (品红色) 连接点 $A$ 和点 $P$。线段 $PQ$ (青色) 表示点 $P$ 到直线 $l$ 的距离。线段 $AQ$ (青色) 表示向量 $\overrightarrow{AP}$ 在直线 $l$ 上的投影。向量 $\boldsymbol{u}$ 沿直线 $l$ 的方向标注。|标题: 图 1.4-16|图片编号: 2]
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<div style="background-color: #fff3cd; padding: 15px; border-radius: 8px;">
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<span style="font-size: 1.2em; font-weight: bold; color: #856404;">❓ 思考</span>
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类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
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</div>
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我们再来看平面 $\alpha$ 外一点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离问题.
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如图 1.4-17，已知平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$，$A$ 是平面 $\alpha$ 内的定点，$P$ 是平面 $\alpha$ 外一点. 过点 $P$ 作平面 $\alpha$ 的垂线 $l$，交平面 $\alpha$ 于点 $Q$，则 $\boldsymbol{n}$ 是直线 $l$ 的方向向量，且点 $P$ 到平面 $\alpha$
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的距离就是$\vec{AP}$在直线$l$上的投影向量$\vec{QP}$的长度,因此
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$$PQ = \left|\vec{AP} \cdot \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}\right| = \frac{|\vec{AP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$
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类似地,请同学们研究如何求两个平行平面的距离.
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[图片描述: 三维空间中，一条直线$l$穿过平面$\alpha$上的点$P$。点$A$位于平面$\alpha$上。向量$\vec{n}$是平面$\alpha$的法向量，从平面向上。点$Q$是点$P$在直线$l$上，使得$AQ$垂直于$l$。此图示为点$P$到平面$\alpha$的距离以及投影向量的概念。|标题: 图1.4-17|图片编号: 图1]
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**例6** 如图 1.4-18,在棱长为1的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$中,$E$为线段$A_1B_1$的中点,$F$为线段$AB$ 的中点.
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(1)求点$B$到直线$AC_1$的距离;
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(2)求直线$FC$到平面$AEC_1$的距离.
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**分析:** 根据条件建立空间直角坐标系,用坐标表示相关的点、直线的方向向量和平面的法向量,再利用有关公式,通过坐标运算得出相应的距离.
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**解:** 以$D_1$为原点,$D_1A_1$, $D_1C_1$, $D_1D$ 所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴,建立如图1.4-18 所示的空间直角坐标系,则$A(1, 0, 1)$, $B(1, 1, 1)$, $C(0, 1, 1)$, $C_1(0, 1, 0)$, $E(1, \frac{1}{2}, 0)$, $F(1, \frac{1}{2}, 1)$, 所以
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[图片描述: 一个棱长为1的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$在三维直角坐标系中。坐标系以$D_1$为原点，$D_1A_1$沿x轴，$D_1C_1$沿y轴，$D_1D$沿z轴。点$E$是$A_1B_1$的中点，点$F$是$AB$的中点。图中用实线和虚线标出了正方体的棱，并用不同颜色标出了某些特定的线段，如$AC_1$（品红色）和$FC$（青色）。|标题: 图1.4-18|图片编号: 图2]
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$\vec{AB}=(0, 1, 0)$, $\vec{AC_1}=(-1, 1, -1)$, $\vec{AE}=(0, \frac{1}{2}, -1)$,
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$\vec{EC_1}=(-1, \frac{1}{2}, 0)$, $\vec{FC}=(-1, \frac{1}{2}, 0)$, $\vec{AF}=(0, \frac{1}{2}, 0)$.
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(1)取$\vec{a}=\vec{AB}=(0, 1, 0)$, $\vec{u}=\frac{\vec{AC_1}}{|\vec{AC_1}|}=\frac{\sqrt{3}}{3}(-1, 1, -1)$, 则$a^2=1$, $\vec{a}\cdot\vec{u}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
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所以,点$B$到直线$AC_1$的距离为
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$$\sqrt{a^2-(\vec{a}\cdot\vec{u})^2} = \sqrt{1-\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}.$$
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(2)因为$\vec{FC}=\vec{EC_1}=(-1, \frac{1}{2}, 0)$, 所以$FC//EC_1$, 所以$FC//$平面$AEC_1$. 所以点$F$到平面$AEC_1$的距离即为直线$FC$到平面$AEC_1$ 的距离.
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设平面$AEC_1$的法向量为$\vec{n}=(x,y,z)$, 则
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$$
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\begin{cases}
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\vec{n}\cdot\vec{AE}=0, \\
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\vec{n}\cdot\vec{EC_1}=0.
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\end{cases}
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$$
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所以
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$$
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\begin{cases}
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\frac{1}{2}y-z=0, \\
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-x+\frac{1}{2}y=0.
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\end{cases}
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$$
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所以
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$\begin{cases} x=z, \\ y=2z. \end{cases}$
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取 $z=1$, 则 $x=1, y=2$. 所以, $\mathbf{n}=(1, 2, 1)$ 是平面 $AEC_1$ 的一个法向量.
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又因为 $\vec{AF}=(0, \frac{1}{2}, 0)$, 所以点 $F$ 到平面 $AEC_1$ 的距离为
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$$ \frac{|\vec{AF} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|(0, \frac{1}{2}, 0) \cdot (1, 2, 1)|}{\sqrt{1^2+2^2+1^2}} = \frac{|0 \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{6}} = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}. $$
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即直线 $FC_1$ 到平面 $AEC_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$.
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与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似, 我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”:
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(1) 建立立体图形与空间向量的联系, 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面, 把立体几何问题转化为向量问题;
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(2) 通过向量运算, 研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;
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(3) 把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
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## 练习
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1. 在棱长为1的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中, 点 $A$ 到平面 $B_1C$ 的距离等于 _______; 直线 $DC$ 到平面 $AB_1$ 的距离等于 _______; 平面 $DA_1$ 到平面 $CB_1$ 的距离等于 _______.
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2. 如图, 在棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E$ 为线段 $DD_1$ 的中点, $F$ 为线段 $BB_1$ 的中点.
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(1) 求点 $A_1$ 到直线 $B_1E$ 的距离;
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(2) 求直线 $FC_1$ 到直线 $AE$ 的距离;
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(3) 求点 $A_1$ 到平面 $AB_1E$ 的距离;
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(4) 求直线 $FC_1$ 到平面 $AB_1E$ 的距离.
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[图片描述:一个棱长为1的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中$E$是$DD_1$的中点，$F$是$BB_1$的中点。图中绘制了虚线连接的$A_1-E$， $B_1-E$（蓝色虚线）， $A-E$（蓝色虚线）， $F-C_1$（粉色实线）等线段，用于表示与空间几何问题相关的点、线、面。视角为斜上方。|标题:第2题配图|图片编号:1]
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[图片描述:一个棱长为1的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中绘制了平面$A_1DB$（由$A_1-D$， $D-B$， $B-A_1$形成的蓝色虚线三角形）和平面$D_1CB_1$（由$D_1-C$， $C-B_1$， $B_1-D_1$形成的粉色虚线三角形）。视角为斜上方。|标题:第3题配图|图片编号:2]
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3. 如图, 在棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 求平面 $A_1DB$ 与平面 $D_1CB_1$ 的距离.
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与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量。下面我们用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看下列问题。
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**例7** 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）$ABCD$ 中，$M, N$ 分别为 $BC, AD$ 的中点，求直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值。
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[图片描述:一个三维图形，表示一个正四面体 $ABCD$。点 $M$ 是边 $BC$ 的中点，点 $N$ 是边 $AD$ 的中点。连接了线段 $AM$ 和 $CN$，其中 $AM$ 用蓝色实线表示， $CN$ 用品红色实线表示。$BC$ 和 $CD$ 是虚线。|标题:图1.4-19|图片编号:1]
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**分析:** 求直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值，可以转化为求向量 $\vec{MA}$ 与 $\vec{CN}$ 夹角的余弦值。为此需要把向量 $\vec{MA}, \vec{CN}$ 用适当的基底表示出来，进而求得向量 $\vec{MA}, \vec{CN}$ 夹角的余弦值。
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**解:**
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**化为向量问题**
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如图1.4-19，以 $\{\vec{CA}, \vec{CB}, \vec{CD}\}$ 作为基底，则
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$\vec{MA} = \vec{CA} - \vec{CM} = \vec{CA} - \frac{1}{2}\vec{CB}$, $\vec{CN} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CD})$。
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设向量 $\vec{CN}$ 与 $\vec{MA}$ 的夹角为 $\theta$，则直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值等于 $|\cos \theta|$。
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**进行向量运算**
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$\vec{CN} \cdot \vec{MA} = \frac{1}{2}(\vec{CA} + \vec{CD}) \cdot (\vec{CA} - \frac{1}{2}\vec{CB})$
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$= \frac{1}{2}\vec{CA}^2 - \frac{1}{4}\vec{CA} \cdot \vec{CB} + \frac{1}{2}\vec{CD} \cdot \vec{CA} - \frac{1}{4}\vec{CD} \cdot \vec{CB}$
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$= \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$。
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又 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ACD$ 均为等边三角形，所以 $|\vec{MA}| = |\vec{CN}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
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所以 $\cos \theta = \frac{\vec{CN} \cdot \vec{MA}}{|\vec{CN}| |\vec{MA}|} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$。
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**回到图形问题**
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所以直线 $AM$ 和 $CN$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$。
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> **? 思考**
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> 以上我们用向量方法解决了异面直线 $AM$ 和 $CN$ 所成角的问题，你能用向量方法求直线 $AB$ 与平面 $BCD$ 所成的角吗？
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一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求。
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得,也就是说,若异面直线$l_1$, $l_2$所成的角为$\theta$,其方向向量分别是$\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$,则
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$$ \cos \theta=|\cos\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle|=\frac{|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|} $$
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类似地,直线与平面所成的角,可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.如图1.4-20,直线 $AB$ 与平面$\alpha$相交于点$B$,设直线$AB$与平面$\alpha$所成的角为$\theta$,直线$AB$的方向向量为$\mathbf{u}$,平面$\alpha$的法向量为$\mathbf{n}$,则
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$$ \sin \theta=|\cos\langle\mathbf{u}, \mathbf{n}\rangle|=\frac{|\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{u}||\mathbf{n}|} $$
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[图片描述:三维示意图，展示了一条直线AB与一个平面α相交于点B。直线的方向向量u沿着AB方向，而法向量n垂直于平面α。图中标识了直线AB与平面α所成的角θ，并辅助绘制了直角三角形ABC，其中C在平面上，AC垂直于平面。|标题:图1.4-20|图片1]
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[图片描述:三维示意图，展示了两个平面α和β相交。图中标示了平面α的法向量n1和平面β的法向量n2，它们均从两平面的交线上方发出。|标题:图1.4-21|图片2]
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如图1.4-21,平面$\alpha$与平面$\beta$相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为**平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角**.
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> 图1.4-21 中有几个二面角?两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角有什么关系?
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类似于两条异面直线所成的角,若平面$\alpha$, $\beta$的法向量分别是$\mathbf{n}_1$和$\mathbf{n}_2$,则平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角即向量$\mathbf{n}_1$和$\mathbf{n}_2$的夹角或其补角.设平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角为$\theta$,则
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$$ \cos \theta=|\cos\langle\mathbf{n}_1, \mathbf{n}_2\rangle|=\frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} $$
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**例8** 如图1.4-22,在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, $AC=CB=2$, $AA_1=3$, $\angle ACB=90°$, $P$ 为 $BC$ 的中点,点 $Q$, $R$ 分别在棱 $AA_1$, $BB_1$ 上, $A_1Q=2AQ$, $BR=2RB_1$.求平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 夹角的余弦值.
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**分析**:因为平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角可以转化为平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的法向量的夹角,所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可.
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**解**:
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**化为向量问题**
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以$C_1$为原点,$C_1A_1$, $C_1B_1$, $C_1C$所在直线为$x$轴、$y$轴、$z$轴,建立如图 1.4-22 所示的空间直角坐标系.设平面$A_1B_1C_1$的法向量为$\mathbf{n}_1$,平面$PQR$的法向量为$\mathbf{n}_2$,则平面$PQR$与平面$A_1B_1C_1$的夹角就是$\mathbf{n}_1$与$\mathbf{n}_2$的夹角或其补角.
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[图片描述:直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$的三维示意图，其中$C_1$位于原点，并通过$C_1A_1$、 $C_1B_1$、 $C_1C$建立了空间直角坐标系（分别为x轴、y轴、z轴）。图中还标示了点$P, Q, R$以及由它们确定的平面$PQR$。|标题:图1.4-22|图片3]
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# 进行向量运算
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因为 $C_1C \perp$ 平面 $A_1B_1C_1$，所以平面 $A_1B_1C_1$ 的一个法向量为 $n_1=(0,0, 1)$。
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根据所建立的空间直角坐标系，可知 $P(0, 1, 3)$, $Q(2, 0, 2)$, $R(0,2,1)$。所以 $\vec{PQ}=(2, -1, -1)$, $\vec{PR}=(0, 1, -2)$。设 $n_2=(x,y,z)$，则
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$$
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\begin{cases}
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n_2 \cdot \vec{PQ}=0, \\
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n_2 \cdot \vec{PR}=0,
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\end{cases}
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$$
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所以
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$$
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\begin{cases}
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2x-y-z=0, \\
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y-2z=0.
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\end{cases}
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$$
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所以
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$$
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\begin{cases}
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x=\frac{3}{2}z, \\
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y=2z.
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\end{cases}
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$$
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取 $n_2=(3,4,2)$，则
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$$
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\cos\langle n_1, n_2\rangle = \frac{n_1 \cdot n_2}{|n_1||n_2|} = \frac{(0,0,1) \cdot (3,4,2)}{1 \times \sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}.
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$$
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# 回到图形问题
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设平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角为 $\theta$，则
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$$
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\cos \theta = |\cos\langle n_1, n_2\rangle| = \frac{2\sqrt{29}}{29}.
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$$
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即平面 $PQR$ 与平面 $A_1B_1C_1$ 的夹角的余弦值为 $\frac{2\sqrt{29}}{29}$。
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# 练习
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1. 在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$\angle BCA=90^\circ$， $D_1, F_1$ 分别是 $A_1B_1, A_1C_1$ 的中点，$BC=CA=CC_1$，则 $BD_1$ 与 $AF_1$ 所成角的余弦值是 ( ).
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(A) $\frac{\sqrt{30}}{10}$
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(B) $\frac{1}{2}$
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(C) $\frac{\sqrt{30}}{15}$
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(D) $\frac{\sqrt{15}}{10}$
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2. $PA, PB, PC$ 是从点 $P$ 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 $60^\circ$，那么直线 $PC$ 与平面 $PAB$ 所成角的余弦值是 ( ).
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(A) $\frac{1}{2}$
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(B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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(C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
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(D) $\frac{\sqrt{6}}{3}$
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3. 如图,正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的所有棱长都为2,求平面 $AA_1B$ 与平面 $A_1BC_1$ 夹角的余弦值.
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[图片描述:一个正三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$，其中底部是三角形$ABC$，顶部是$A_1B_1C_1$。图中$A_1C$是一条斜向的棱，用粉色线表示，虚线表示被遮挡的棱。$BC_1$是另一条斜向的虚线，用蓝色表示。|标题:图1 (第3题)|图片编号:1]
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4. 如图,$\triangle ABC$ 和 $\triangle DBC$ 所在平面垂直,且 $AB=BC=BD$,$\angle CBA=\angle DBC=120^\circ$. 求:
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(1) 直线 $AD$ 与直线 $BC$ 所成角的大小;
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(2) 直线 $AD$ 与平面 $BCD$ 所成角的大小;
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(3) 平面 $ABD$ 和平面 $BDC$ 的夹角的余弦值.
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[图片描述:两个平面相互垂直的三角形，共享边$BC$。三角形$ABC$和$DBC$被画出，其中$B$是共同的顶点，$C$也是共同的顶点。点$A$和$D$在$BC$的两侧。虚线表示连接$A$到$B$，以及$D$到$B$的线段。|标题:图2 (第4题)|图片编号:2]
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**例9** 图1.4-23 为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的垂线的夹角均为$30°$. 已知礼物的质量为$1 \text{kg}$, 每根绳子的拉力大小相同. 求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度$g$取$9.8 \text{ m/s}^2$, 精确到$0.01 \text{ N}$).
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[图片描述: 一个黄色的降落伞，下面挂着一个棕色的包裹，绳索连接降落伞和包裹。背景为白色。|标题: 图1.4-23|图片编号: 1]
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**分析**: 因为降落伞匀速下落,所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小. 8根绳子的拉力在水平面的垂线上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.
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**解**: 如图1.4-24,设水平面的单位法向量为$n$,其中一根绳子的拉力为$F$. 因为$\langle n, F \rangle=30°$,所以$F$在$n$上的投影向量为$|\frac{\sqrt{3}}{2}F|n$.
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所以8根绳子拉力的合力
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$$F_{合}=8 \times \left|\frac{\sqrt{3}}{2}F\right|n = 4\sqrt{3}|F|n.$$
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[图片描述: 一个垂直向下的向量n，一个向右上方的向量F，以及F在n方向上的投影向量，投影长度为$|\frac{\sqrt{3}}{2}F|$。用虚线表示F到n的垂直投影。F的起点与n的起点重合。|标题: 图1.4-24|图片编号: 2]
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又因为降落伞匀速下落,所以
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$$|F_{合}|=|G_{礼物}|=1 \times 9.8=9.8(\text{N}).$$
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所以
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$$4\sqrt{3}|F|n = 9.8.$$
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所以
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$$|F|=\frac{9.8}{4\sqrt{3}}\approx1.41 (\text{N}).$$
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**例10** 如图1.4-25,在四棱锥 $P-ABCD$ 中,底面 $ABCD$ 是正方形,侧棱 $PD \perp$ 底面 $ABCD$, $PD=DC$, $E$ 是 $PC$ 的中点,作 $EF \perp PB$ 交 $PB$ 于点 $F$.
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(1) 求证: $PA // $ 平面 $EDB$;
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(2) 求证: $PB \perp$ 平面 $EFD$;
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(3) 求平面 $CPB$ 与平面 $PBD$ 的夹角的大小.
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[图片描述: 一个四棱锥P-ABCD，底面ABCD是一个正方形。顶点P位于D的正上方，使得PD垂直于底面。E是棱PC的中点。图中还画出了线段PB、PC、PD、PA、DE、EB、EF。其中EF与PB垂直。|标题: 图1.4-25|图片编号: 3]
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**分析**: 本题涉及的问题包括:直线与平面平行和垂直的判定,计算两个平面的夹角. 这些问题都可以利用向量方法解决,由于四棱锥的底面是正方形,而且一条侧棱垂直于底面,可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系,用向量及坐标表示问题中的几何元素,进而解决问题.
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**解**: 以$D$为原点,$DA$,$DC$,$DP$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴,建立如图1.4-26 所示的空间直角坐标系,设$DC=1$.
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(1) **证明**: 连接 $AC$, 交 $BD$ 于点 $G$, 连接 $EG$.
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依题意得 $A(1,0,0)$, $P(0, 0, 1)$, $E(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
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因为底面 $ABCD$ 是正方形, 所以点 $G$ 是它的中心, 故点 $G$ 的坐标为$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$, 且 $\vec{PA}=(1,0,-1)$, $\vec{EG}=(\frac{1}{2}, 0, -\frac{1}{2})$.
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所以 $\vec{PA}=2\vec{EG}$, 即 $PA//EG$.
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而 $EG \subset$ 平面 $EDB$, 且 $PA \not\subset$ 平面 $EDB$, 因此 $PA // $ 平面 $EDB$.
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[图片描述:三维坐标系中的一个四棱锥，顶点为 P，基底为 ABCD。点 G 是底面中心，E、F 为几何体上的点。图中展示了点 P、E、F、G 和底面 A、B、C、D 的相对位置，以及坐标轴 x、y、z。|标题:图1.4-26|图片编号:1]
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(2) **证明**: 依题意得 $B(1, 1, 0)$, $\vec{PB}=(1, 1, -1)$.
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又 $\vec{DE}=(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 故
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$\vec{PB} \cdot \vec{DE}=0+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$.
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所以 $PB \perp DE$.
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由已知 $EF \perp PB$, 且 $EF \cap DE=E$,
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所以 $PB \perp$ 平面 $EFD$.
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(3) **解**: 已知 $PB \perp EF$, 由 (2) 可知 $PB \perp DF$, 故 $\angle EFD$ 是平面 $CPB$ 与平面 $PBD$ 的夹角.
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设点 $F$ 的坐标为 $(x, y, z)$, 则 $\vec{PF}=(x, y, z-1)$.
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因为 $\vec{PF}=k\vec{PB}$, 所以
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$(x, y, z-1)=k(1, 1, -1)=(k, k, -k)$, 即 $x=k$, $y=k$, $z=1-k$.
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由 (2) 可知 $\vec{PB} \cdot \vec{DF}=0$, 则
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$(1, 1, -1) \cdot (k, k, 1-k)=k+k-1+k=3k-1=0$.
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所以 $k=\frac{1}{3}$, 点 $F$ 的坐标为$(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$.
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又点 $E$ 的坐标为$(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, 所以
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$\vec{FE}=(-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6})$.
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（注：点 D 的坐标为 $(0,0,0)$，因此 $\vec{FD} = (-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})$。）
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所以 $\cos\angle EFD=\frac{\vec{FE} \cdot \vec{FD}}{|\vec{FE}||\vec{FD}|}=\frac{(-\frac{1}{3}, \frac{1}{6}, -\frac{1}{6})\cdot(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3})}{\frac{\sqrt{6}}{6}\times\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{1}{2}$.
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所以 $\angle EFD=60^\circ$, 即平面 $CPB$ 与平面 $PBD$ 的夹角大小为 $60^\circ$.
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通过本节的学习,你对立体几何中的向量法是否有了一定的认识?请结合例题就下面的框图谈谈体会.
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graph LR
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A[用空间向量表示立体图形中点、直线、平面等元素] --> B[进行空间向量的运算,研究点、直线、平面之间的关系]
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B --> C[把运算结果“翻译”成相应的几何意义]
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解决立体几何中的问题,可用三种方法:综合法、向量法、坐标法.你能说出它们各自的特点吗?
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综合法以逻辑推理作为工具解决问题;向量法利用向量的概念及其运算解决问题,如本节的例7、例9;坐标法利用数及其运算来解决问题,坐标法经常与向量法结合起来使用,如本节的例6,例8,例10.对于具体的问题,应根据它的条件和所求选择合适的方法.
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## 练习
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1. 如图,二面角$\alpha-l-\beta$的棱上有两个点$A, B$,线段$BD$与$AC$分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱$l$. 若$AB=4, AC=6, BD=8, CD=2\sqrt{17}$,求平面$\alpha$与平面$\beta$的夹角.
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[图片描述: 描绘了二面角$\alpha-l-\beta$的几何构型。棱$l$上包含点A和B。在平面$\alpha$内，存在线段AC，其中C点位于平面$\alpha$上，AC垂直于棱$l$。在平面$\beta$内，存在线段BD，其中D点位于平面$\beta$上，BD垂直于棱$l$。通过这些信息和线段长度，可以计算二面角的夹角。|标题: 第1题示意图|图片1]
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2. 如图,在三棱锥$A-BCD$中, $AB=AC=BD=CD=3, AD=BC=2, M, N$分别是$AD, BC$的中点.求异面直线$AN, CM$所成角的余弦值.
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[图片描述: 描绘了一个三棱锥A-BCD。其中，边AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2。点M是AD的中点，点N是BC的中点。图中用实线和虚线标示了棱线，并特别标注了点M和N，以及连接它们的线段（可能用于辅助理解）。|标题: 第2题示意图|图片2]
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3. 如图,在三棱锥$O-ABC$中, $OA, OB, OC$两两垂直, $OA=OC=3, OB=2$.求直线$OB$与平面$ABC$所成角的正弦值.
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[图片描述: 描绘了一个三棱锥O-ABC。其中，从顶点O出发的三条棱OA, OB, OC相互垂直，构成一个直角坐标系的雏形。图中用虚线表示了这些垂直关系，并标明了各棱的长度：OA=3, OB=2, OC=3。|标题: 第3题示意图|图片3]
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## 习题 1.4
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## 复习巩固
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1. 如图,在三棱锥 $A-BCD$ 中, $E$是$CD$的中点,点$F$在$AE$上,且$EF=2FA$.设 $\vec{BC}=\boldsymbol{a}, \vec{BD}=\boldsymbol{b}, \vec{BA}=\boldsymbol{c}$, 求直线$AE,BF$的方向向量.
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2. 如图,在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中,$AB \perp AC, AB=AC=1, AA_1=2$.以$A$为原点,建立如图所示空间直角坐标系.
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(1) 求平面 $BCC_1B_1$ 的法向量; (2) 求平面 $A_1BC$ 的法向量.
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[图片描述: 一个以四边形BCDE为底面，A为顶点的棱锥（或四棱锥），其中BC、CD、DE、EB是底面边，AC、AD、AB是侧棱。F是AB上一点，AF和BF以不同颜色显示。|标题: 第1题|图片编号: 1]
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[图片描述: 一个直角坐标系中的长方体 $B A_1 C_1 C$ 的一部分，其中点B是原点，BC沿y轴，BA沿x轴，B$B_1$沿z轴。$A_1C_1$和$B_1C$是顶面和侧面的边，A1B和A1C是连接A1到B和C的对角线。|标题: 第2题|图片编号: 2]
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3. 如图, 在平行六面体 $ABCD -A_1B_1C_1D_1$ 中, $E$ 是 $AB$ 的中点, $F$ 是 $C_1D_1$ 的中点. 求证: $A_1E//CF$.
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[图片描述: 一个平行六面体 $ABCD -A_1B_1C_1D_1$。点E是AB的中点，点F是$C_1D_1$的中点。线段$A_1E$和$CF$被画出，并以不同颜色（品红和青色）虚线表示。|标题: 第3题|图片编号: 3]
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4. 如图, 在四面体 $ABCD$ 中, $AD \perp$ 平面 $BCD$, $M$ 是 $AD$ 的中点, $P$ 是 $BM$ 的中点, 点 $Q$ 在线段 $AC$ 上, 且 $AQ=3QC$. 求证: $PQ//$平面 $BCD$.
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[图片描述: 一个四面体ABCD。点M是AD的中点，点P是BM的中点，点Q在AC上。线段PQ和AQ用不同颜色（品红和青色）虚线表示。|标题: 第4题|图片编号: 4]
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5. 如图, 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 点 $E$ 在 $BD$ 上, 且 $BE=\frac{1}{3}BD$; 点 $F$ 在 $CB_1$ 上, 且 $CF=\frac{1}{3}CB_1$. 求证: (1) $EF \perp BD$; (2) $EF \perp CB_1$.
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[图片描述: 一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。点E在对角线BD上，点F在侧面$C_1CB_1B$的对角线$CB_1$上。线段EF、BD和$CB_1$用不同颜色（品红和青色）的线条表示。|标题: 第5题|图片编号: 5]
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6. 如图, 在棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $O$ 为正方形 $A_1ABB_1$ 的中心, $E$ 为 $BC$ 的中点, 求点 $O$ 到直线 $A_1E$ 的距离.
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[图片描述: 一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。点E是BC的中点。点O是侧面$A_1ABB_1$的中心，由$A_1B$和$AB_1$的交点表示。线段$A_1E$用品红虚线表示。|标题: 第6题|图片编号: 6]
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7. 如图, 四面体 $OABC$ 的所有棱长都是1, $D,E$ 分别是 $OA,BC$ 的中点, 连接 $DE$.
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(1) 计算 $DE$ 的长;
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(2) 求点 $O$ 到平面 $ABC$ 的距离.
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[图片描述:一个四面体$OABC$，其中点$D$在$OC$上，点$E$在$BC$上。连接$DE, OE, OA, OB, OC, AB, BC, CA, BD, OD$等。其中$DE, OE, OD, BD$为虚线，表示不直接可见的棱或辅助线。$AB, AC, BC$以及$DE, BD, OD$用不同颜色线条表示。|标题:第 7 题|图1]
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[图片描述:一个四面体$ABCD$。$M$是棱$AB$的中点，$N$是棱$CD$的中点。连接$AC, BD$（用蓝色虚线），连接$MN$（用粉色虚线）。|标题:第 8 题|图2]
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8. 如图, 四面体 $ABCD$ 的每条棱长都等于 $a$, $M, N$ 分别是 $AB, CD$ 的中点, 求证: $MN \perp AB, MN \perp CD$.
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9. 如图, $M, N$ 分别是正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱 $BB'$ 和 $B'C'$ 的中点, 求:
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(1) $MN$ 和 $CD'$ 所成角的大小;
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(2) $MN$ 和 $AD$ 所成角的大小.
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[图片描述:一个正方体$ABCD-A'B'C'D'$。$M$是棱$BB'$的中点，$N$是棱$B'C'$的中点。连接$MN$（用粉色实线）。用蓝色虚线表示$AD, DC, D'C', A'D', A'A, DD'$等棱。|标题:第 9 题|图3]
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[图片描述:一个正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。点$E,F,G,H,K,L$分别是棱$AB,BB_1,B_1C_1, C_1D_1, D_1D,DA$的中点。连接$EF,FG,GH,HK,KL,LE$形成一个六边形（用蓝色虚线）。连接$A_1C$和$DB_1$（用粉色虚线）。|标题:第 10 题|图4]
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10. 如图, 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E, F, G, H, K, L$ 分别是 $AB, BB_1, B_1C_1, C_1D_1, D_1D, DA$ 各棱的中点.
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(1) 求证: $A_1C \perp$ 平面 $EFGHKL$;
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(2) 求 $DB_1$ 与平面 $EFGHKL$ 所成角的余弦值.
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### 综合运用
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11. 如图, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $AB=2, BC=CC_1=1$, $E$ 是 $CD$ 的中点, 求证: $B_1E \perp$ 平面 $AED_1$.
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[图片描述:一个长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。$E$是棱$CD$的中点。连接$A_1E, A_1D_1, ED_1$（用蓝色虚线），形成平面$A_1ED_1$。连接$B_1E$（用粉色虚线）。|标题:第 11 题|图5]
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[图片描述:一个长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。点$E,F,G$分别在棱$A_1A, A_1B_1, A_1D_1$上。点$P,Q,R$分别在棱$CC_1,CD,CB$上。连接$EF,FG,GE$形成平面$EFG$（用蓝色虚线）。连接$PQ,QR,RP$形成平面$PQR$（用粉色虚线）。|标题:第 12 题|图6]
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12. 如图, 在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, 点 $E, F, G$ 分别在棱 $A_1A, A_1B_1, A_1D_1$ 上, $A_1E=A_1F=A_1G=1$; 点 $P, Q, R$ 分别在棱 $CC_1, CD, CB$ 上, $CP=CQ=CR=1$. 求证: 平面 $EFG // $ 平面 $PQR$.
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13. 如图, 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为1, $E$ 为 $CD$ 的中点, 求点 $D_1$ 到平面 $AEC_1$ 的距离.
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[图片描述: 三维立体图形, 一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$, 棱长为1. 点$E$是$CD$的中点。平面$AEC_1$由蓝色虚线和实线连接。|标题: 第13题|图片编号: 图1]
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[图片描述: 三维立体图形, 一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$, 棱长为1. 点$M$是$AA_1$的中点, 点$O$是$BD_1$的中点。线段$OM$用粉色虚线表示。|标题: 第14题|图片编号: 图2]
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[图片描述: 三维立体图形, 一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$, 棱长为1. 点$Q$是$B_1C_1$的中点。点$P$在$AA_1$上, 且$AP:AA_1=1:3$。平面$BQP$用粉色实线表示。|标题: 第15题|图片编号: 图3]
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14. 如图, 正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为1, $M$ 是棱 $AA_1$ 的中点, $O$ 是 $BD_1$ 的中点, 求证: $OM$ 分别与异面直线 $AA_1$, $BD_1$ 垂直, 并求 $OM$ 的长.
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15. 如图, 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为1, $Q$ 为 $B_1C_1$ 的中点, 点 $P$ 在棱 $AA_1$ 上, $AP:AA_1=1:3$. 求平面 $ABCD$ 与平面 $BQP$ 夹角的余弦值.
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### 拓广探索
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16. 如图, 在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, $\angle BAC=90^\circ$, $AB=AC=2$, $AA_1=3$. $M$ 是 $AB$ 的中点, $N$ 是 $B_1C_1$ 的中点, $P$ 是 $BC_1$ 与 $B_1C$ 的交点, 在线段 $A_1N$ 上是否存在点 $Q$, 使得 $PQ//平面A_1CM$?
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[图片描述: 三维立体图形, 一个直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$. $M$是$AB$的中点, $N$是$B_1C_1$的中点. $P$是$BC_1$与$B_1C$的交点。线段$PQ$用粉色虚线表示。|标题: 第16题|图片编号: 图4]
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17. 在空间直角坐标系中, 已知向量 $u=(a,b,c)(abc\neq0)$, 点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$, 点 $P(x, y, z)$.
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(1) 若直线 $l$ 经过点 $P_0$, 且以 $u$ 为方向向量, $P$ 是直线 $l$ 上的任意一点, 求证: $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$;
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(2) 若平面 $\alpha$ 经过点 $P_0$, 且以 $u$ 为法向量, $P$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一点, 求证: $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$.
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18. 在如图所示的试验装置中, 两个正方形框架 $ABCD, ABEF$ 的边长都是1, 且它们所在的平面互相垂直, 活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $AC$ 和 $BF$ 上移动, 且 $CM$ 和 $BN$ 的长度保持相等, 记 $CM=BN=a$ ($0<a<\sqrt{2}$).
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(1) 求 $MN$ 的长;
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(2) $a$ 为何值时, $MN$ 的长最小?
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(3) 当 $MN$ 的长最小时, 求平面 $MNA$ 与平面 $MNB$ 夹角的余弦值.
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[图片描述: 三维立体图形, 两个正方形框架 $ABCD$ 和 $ABEF$ 垂直放置, 边长都为1. 活动弹子 $M, N$ 分别在对角线 $AC$ 和 $BF$ 上移动. 线段 $MN$ 用粉色实线连接. |标题: 第18题|图片编号: 图5]
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# 小结
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## 一、本章知识结构
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```mermaid
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graph TD
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A[空间向量的概念及其运算]
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B[空间向量的定义及其表示]
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C[空间向量的线性运算和数量积运算]
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J[空间向量运算的定义及其几何意义]
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K[空间向量运算的运算律]
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D[空间向量基本定理与空间向量运算的坐标表示]
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E[空间向量基本定理]
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F[空间直角坐标系]
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G[空间向量运算的坐标表示]
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H[用空间向量解决立体几何问题]
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I[用空间向量表示点、直线、平面等元素]
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L[用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题]
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M[把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论]
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A --> B
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A --> C
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B --> J
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C --> J
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J --> K
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A --> D
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D --> E
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D --> F
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D --> G
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D --> H
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H --> I
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I --> L
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L --> M
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## 二、回顾与思考
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空间向量是研究空间图形的有力工具。本章我们在必修课程学习平面向量的基础上，利用类比方法，学习空间向量的概念、运算（包括线性运算和数量积）、基本定理，并运用空间向量研究空间基本图形的平行、垂直等位置关系和距离、角度等度量问题。
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向量是具有大小和方向的量，这一概念既适用于平面，也适用于空间。平面内的向量都可以看作空间中的向量，因此空间向量的概念、表示和平面向量是一致的。由于任意两个空间向量都可以平移到一个平面内，因此两个空间向量的运算可以看作两个平面向量的运算，它们的加法、数乘、数量积运算也是一致的。
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空间向量为我们解决立体几何问题提供了新的工具。向量让几何量带上了方向，并用统一的符号表示，因此向量运算既是几何的运算也是数的运算。用空间向量解决立体几何问题，首先要用空间向量表示立体几何问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；然后通过空间向量的运算，研究空间图形之间的平行、垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后将运算结果“翻译”成相应的几何结论，得到相应立体几何问题的解决。这个“三步曲”，是立体几何中向量方法的具体化。
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空间向量的加法、数乘、数量积等运算以及空间向量基本定理是用“向量法”解决立体几何问题的基础。空间向量基本定理把空间任意一个向量表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了基础性的作用。由空间向量基本定理，我们还可以进一步得到空间向量及其运算的坐标表示，从而将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”。
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请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
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1. 空间向量由平面向量推广而来，空间向量与平面向量有许多共同性质。如果我们把平面看成二维空间，把普通的空间看成三维空间，我们能不能把向量的概念推广到四维（例如由“长”“宽”“高”“时间”四个维度构成的空间）、五维等“空间”中去呢？它们是否也与平面向量、空间向量有许多共同的性质？
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2. 因为向量可以用有向线段表示，所以我们用几何方式引入空间向量的运算法则，如向量加法的平行四边形法则。在空间直角坐标系中，我们还可以把这种由几何方式引入的向量运算转化成代数运算（实数运算）。对于这样的做法给空间向量运算带来的方便，你有什么体会？
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3. 同学们对数及其运算比较熟悉，向量虽然与数量不同，但是它也构成一个运算体系，我们要从“数、量与运算”发展的角度理解向量及其运算。类比数的运算律，对于向量仍然成立的有哪些？不成立的有哪些？
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4. 如何理解空间向量可以由三个不共面向量唯一表示？你认为应如何根据问题的条件选择空间的基底？
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5. 利用空间向量解决立体几何问题，首先要用空间向量表示空间中的点、直线、平面这些基本几何元素。在这一过程中，直线的方向向量和平面的法向量发挥了重要作用。我们是如何利用直线的方向向量和平面的法向量表示直线和平面的？我们又是如何利用直线的方向向量和平面的法向量刻画空间直线、平面的平行和垂直关系的？
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6. 距离和角度是立体几何中的基本度量。本章我们如何把点到直线、点到平面、平行直线、平行平面间的距离转化为求投影向量长度？如何把直线与平面、平面与平面所成角的问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的夹角？请结合具体实例谈谈你的体会。
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7. 回顾本章学习过程，你对学习数学新知识、应用数学知识解决问题的思想方法有什么新认识？请结合下面的框图谈谈你的体会。
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## 复习巩固
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### 复习参考题 1
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```mermaid
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graph TD
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n_dim_vec["`$n$维向量及其应用,\n在$n$维欧氏空间中的应用`"]
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logic["`逻辑推理及几何直观,\n几何中的综合法`"]
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space_vec["`空间向量及其运算,\n立体几何中的向量法`"]
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coord_method["`数(变量)及其运算,\n几何中的坐标法`"]
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plane_vec["`平面向量及其运算,\n平面几何中的向量法`"]
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n_dim_vec -- "推广" --> space_vec
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logic -- "类比" --> space_vec
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space_vec -- "类比" --> coord_method
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space_vec -- "特殊化" --> plane_vec
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style n_dim_vec stroke-dasharray: 5 5
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```
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1. 如图,在四面体 $OABC$ 中, $\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, $\vec{OC}=\mathbf{c}$.点 $M$ 在 $OA$ 上,且 $OM=2MA$, $N$ 为 $BC$ 中点,则 $\vec{MN}$ 等于( ).
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(A) $\frac{1}{2}\mathbf{a} - \frac{2}{3}\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c}$
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(B) $-\frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} + \frac{1}{2}\mathbf{c}$
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(C) $\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{c}$
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(D) $\frac{2}{3}\mathbf{a} + \frac{2}{3}\mathbf{b} - \frac{1}{2}\mathbf{c}$
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[图片描述:一个四面体OABC，其中O是顶点。M是棱OA上的一点，N是棱BC的中点。图中用虚线标出了从M指向N的向量$\vec{MN}$，以及用于构造四面体的棱。|标题:第1题|图片编号:图1]
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2. 如图,在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$中, $\vec{AB}=\mathbf{a}$, $\vec{AD}=\mathbf{b}$, $\vec{AA'}=\mathbf{c}$. $P, M, N$ 分别是 $CA'$, $CD'$, $C'D'$的中点,点 $Q$ 在 $CA'$上,且 $CQ:QA'=4:1$.用空间的一个基底 $\{\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\}$ 表示下列向量:
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(1) $\vec{AP}$;
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(2) $\vec{AM}$;
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(3) $\vec{AN}$;
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(4) $\vec{AQ}$.
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[图片描述:一个平行六面体ABCD-A'B'C'D'。A是底部左前角点，B是底部右前角点，D是底部左后角点，C是底部右后角点。A'B'C'D'是顶部对应的点。P是棱CA'的中点，M是棱CD'的中点，N是棱C'D'的中点。Q在棱CA'上，且CQ:QA'=4:1。图中用虚线和彩色线段标出了从A出发到P、M、N、Q的向量。|标题:第2题|图片编号:图2]
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3. 如图,在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, $\angle ABC=90^\circ$, $CB=1$, $CA=2$, $AA_1=\sqrt{6}$, $M$ 是 $CC_1$ 的中点,求证: $AM \perp BA_1$.
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[图片描述:一个直三棱柱ABC-A1B1C1。底部是直角三角形ABC，其中∠ABC=90度。顶部是A1B1C1。M是侧棱CC1的中点。图中用虚线和红色线段标出了向量$\vec{AM}$和$\vec{BA_1}$，展示其在几何体中的位置。|标题:第3题|图片编号:图3]
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[图片描述:一个直三棱柱ABC-A1B1C1的另一个视角图。A1, B1, C1是顶部的顶点，A, B, C是底部的顶点。图中用虚线和红色线段连接了A到C1以及C到A1，可能用于表示或辅助解决某个几何问题。|标题:第4题|图片编号:图4]
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4. 如图,正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面边长为 $a$, 侧棱长为 $\sqrt{2}a$.
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(1) 试建立适当的空间直角坐标系,并写出点 $A,B,A_1,C_1$ 的坐标;
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(2) 求 $AC_1$ 与侧面 $ABB_1A_1$ 所成的角.
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5. 已知空间三点 $A(0,2,3)$, $B(-2, 1, 6)$, $C(1, -1, 5)$.
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(1) 求以 $\vec{AB},\vec{AC}$ 为邻边的平行四边形的面积;
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(2) 若向量 $\vec{a}$ 分别与 $\vec{AB}, \vec{AC}$ 垂直,且 $|\vec{a}|=\sqrt{3}$,求向量 $\vec{a}$ 的坐标.
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6. 设空间两个单位向量 $\vec{OA}=(m,n, 0), \vec{OB}=(0, n,p)$ 与向量 $\vec{OC}=(1,1,1)$ 的夹角都等于 $\frac{\pi}{4}$,求 $\cos\angle AOB$ 的值.
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7. 正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的侧棱长为2,底面边长为1,$M$是$BC$的中点,在直线 $CC_1$上求一点 $N$,使 $MN \perp A_1B_1$.
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8. 如图,在棱长为1的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E, F, G$分别是$DD_1,BD,BB_1$的中点.
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(1) 求证: $EF \perp CF$;
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(2) 求 $EF$ 与 $CG$ 所成角的余弦值;
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(3) 求 $CE$ 的长.
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[图片描述:三维几何图形，一个正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$，其中顶点A在左下前，B在右下前，D在左下后。$A_1, B_1, C_1, D_1$是对应的上顶点。E是$DD_1$的中点，F是$BD$的中点，G是$BB_1$的中点。线条EF用蓝色虚线表示，CG用粉色实线表示。|标题:第8题|图片编号:1]
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9. 如图,在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中, $CA=CB=1, \angle BCA=90^\circ, AA_1=2, M, N$ 分别是$A_1B_1,A_1A$的中点.
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(1) 求 $BN$ 的长;
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(2) 求 $\cos\left\langle\vec{BA_1}, \vec{CB_1}\right\rangle$的值;
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(3) 求证: $A_1B \perp C_1M$.
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[图片描述:三维几何图形，一个直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$。底面$ABC$是直角三角形，C为直角顶点。$A_1, B_1, C_1$是对应的上顶点。M是$A_1B_1$的中点，N是$A_1A$的中点。图中$A_1B$用蓝色实线表示，$C_1M$用粉色实线表示。|标题:第9题|图片编号:2]
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## 综合运用
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10. 如图,在平行六面体 $ABCD -A'B'C'D'$中, 底面 $ABCD$ 是边长为 $a$ 的正方形,侧棱 $AA'$的长为 $b$,且 $\angle A'AB=\angle A'AD=120^\circ$.求:(1)$AC'$的长;(2)直线$BD'$与$AC$所成角的余弦值.
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[图片描述:三维几何图形，一个平行六面体$ABCD-A'B'C'D'$。底面$ABCD$是正方形。$A', B', C', D'$是对应的上顶点。图中$AC'$用蓝色虚线表示，$BD'$用粉色虚线表示。|标题:第10题|图片编号:3]
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[图片描述:三维几何图形，一个四棱柱或正方体的几何体，标记为$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。E点位于上底面$C_1D_1$的边上，F点位于下底面AD的边上。图中显示了连接A到$B_1$，F到E，C到A，E到B，A到D的线条。$AB_1$和$FE$用不同颜色（蓝色和粉色）的实线表示。|标题:第11题|图片编号:4]
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[图片描述:三维几何图形，一个四棱锥$S-ABCD$。底面$ABCD$是一个四边形。S是锥的顶点。图中S点位于顶部，A、B、C、D点构成底部四边形。|标题:第12题|图片编号:5]
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11. 如图,在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,点 $E,F$ 分别在 $BB_1,DD_1$ 上,且 $AE \perp A_1B$, $AF \perp AD$.
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(1)求证: $A_1C \parallel \text{平面} AEF$;
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(2)当 $AB=4, AD=3, AA_1=5$ 时,求平面 $AEF$ 与平面 $D_1B_1BD$ 的夹角的余弦值.
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12.如图,在四棱锥 $S-ABCD$ 中,底面 $ABCD$ 满足 $AB \perp AD, AB \perp BC, SA \perp \text{底面} ABCD$,且 $SA=AB=BC=1, AD=0.5$.
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(1)求四棱锥 $S-ABCD$ 的体积;
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(2)求平面 $SCD$ 与平面 $SAB$ 的夹角的余弦值.
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13.如图,把正方形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折成直二面角,$E,F$ 分别为 $AD,BC$ 的中点,$O$ 是原正方形 $ABCD$ 的中心,求折纸后 $\angle EOF$ 的大小.
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[图片描述:这是一个三维几何图形，展示了一个正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠后的形态，形成了直二面角。点 $E$ 位于边 $AD$ 上，点 $F$ 位于边 $BC$ 上，且 $E$, $F$ 分别是中点。点 $O$ 标记为原正方形的中心。图中显示了折叠后的 $E, O, F$ 三点，以及它们之间的连线，以便观察 $\angle EOF$。|标题:第13题|图1]
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14.在正四棱锥 $S-ABCD$ 中,$O$ 为顶点 $S$ 在底面内的射影,$P$ 为侧棱 $SD$ 的中点,且 $SO=OD$. 求直线 $BC$ 与平面 $PAC$ 所成的角.
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15.如图,在四面体 $ABCD$ 中,$E,F,G,H$ 分别是 $AB,BC,CD,DA$ 的中点.
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(1)求证:$E,F,G,H$ 四点共面;
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(2)求证:$BD \parallel \text{平面} EFGH$;
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(3)设 $M$ 是 $EG$ 和 $FH$ 的交点,求证:对空间任意一点 $O$,有 $\vec{OM}=\frac{1}{4}(\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}+\vec{OD})$.
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[图片描述:这是一个四面体 $ABCD$ 的三维几何图形。图中标注了 $E, F, G, H$ 分别是边 $AB, BC, CD, DA$ 的中点。连接线段 $EG$ 和 $FH$ 相交于点 $M$。虚线表示在视图中被遮挡的边或连接线。|标题:第15题|图2]
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### 拓广探索
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16.如图,在棱长为 $a$ 的正方体 $OABC-O'A'B'C'$ 中,$E,F$ 分别是棱 $AB,BC$ 上的动点,且 $AE=BF$.
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(1)求证:$A'F \perp C'E$;
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(2)当三棱锥 $B'-BEF$ 的体积取得最大值时,求平面 $B'EF$ 与平面 $BEF$ 的夹角正切值.
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[图片描述:这是一个正方体 $OABC-O'A'B'C'$ 的三维几何图形。点 $E$ 位于棱 $AB$ 上，点 $F$ 位于棱 $BC$ 上。图中用虚线和不同颜色的线段标记了正方体的顶点、棱以及相关的几何元素，如 $A'F$ 和 $C'E$ 的位置，以及与三棱锥 $B'-BEF$ 相关的部分。|标题:第16题|图3]
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17.如图,两条异面直线 $a,b$ 所成的角为 $\theta$,在直线 $a,b$ 上分别取点 $A',E$ 和点 $A,F$,使 $AA' \perp a$,且 $AA' \perp b$.已知 $A'E=m, AF=n, EF=l$, 求线段 $AA'$ 的长.
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[图片描述:这是一个二维示意图，表示两条异面直线 $a$ 和 $b$ 及其在空间中的相对位置。点 $A'$ 和 $E$ 位于直线 $a$ 上，点 $A$ 和 $F$ 位于直线 $b$ 上。图中显示了线段 $A'A$, $A'E$, $AF$ 和 $EF$，其中 $A'A$ 垂直于 $a$ 和 $b$，长度用 $l$ 标记为 $EF$ 的长度。$A'E=m$, $AF=n$.|标题:第17题|图4]
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