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JSON
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{
|
||
"章节信息": {
|
||
"章": "第一章",
|
||
"节": "1.1 空间向量及其运算",
|
||
"小节": "1.1.1 空间向量及其线性运算",
|
||
"页码范围": "7-10"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "空间向量的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量",
|
||
"关键要素": ["大小", "方向"],
|
||
"符号表示": "a, b, c,... 或 $\\vec{AB}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "空间向量是平面向量在三维空间的推广，用于描述空间中的位移、速度、力等物理量",
|
||
"核心特征": [
|
||
"具有大小和方向两个属性",
|
||
"可以表示空间中的物理量",
|
||
"是自由向量，可以平移"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究空间几何问题需要向量工具",
|
||
"特殊说明": "空间向量是自由的，可以平移到任意位置"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": [],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-1-1-02 空间向量的长度", "K1-1-1-03 零向量", "K1-1-1-04 单位向量", "K1-1-1-05 相等向量", "K1-1-1-06 相反向量"],
|
||
"常见混淆": "空间向量与平面向量的关系：空间向量包含平面向量",
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "向量表示", "向量运算基础"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量的长度（模）",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "空间向量的大小叫做空间向量的长度或模",
|
||
"符号表示": "$|\\mathbf{a}|$ 或 $|\\vec{AB}|$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么要有长度": "向量的长度是向量的重要属性，用于描述向量的数值大小",
|
||
"核心特征": [
|
||
"长度是非负实数",
|
||
"零向量长度为0",
|
||
"长度相等不表示向量相等"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "所有空间向量都有确定的长度",
|
||
"特殊说明": "长度相等的向量不一定相等，方向可能不同"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["向量长度计算", "距离公式应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["长度计算", "向量比较", "距离求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "零向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "长度为0的向量叫做零向量",
|
||
"符号表示": "$\\mathbf{0}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "零向量是特殊的向量，起点与终点重合，在向量运算中起重要作用",
|
||
"核心特征": [
|
||
"长度为0",
|
||
"方向不确定",
|
||
"起点与终点重合"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "零向量是向量运算的基础元素",
|
||
"特殊说明": "零向量与任意向量平行"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念", "K1-1-1-02 空间向量的长度"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "零向量不是没有方向，而是方向不确定",
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["零向量性质", "向量运算", "平行关系判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "单位向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "模为1的向量叫做单位向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么要有单位向量": "单位向量用于表示方向，在向量分解和坐标表示中起重要作用",
|
||
"核心特征": [
|
||
"长度为1",
|
||
"只表示方向",
|
||
"可用于标准化向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "建立坐标系和向量分解需要单位向量",
|
||
"特殊说明": "同一方向有无数个单位向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念", "K1-1-1-02 空间向量的长度"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["单位化向量", "方向向量表示"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["单位向量性质", "向量标准化", "方向表示"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "相等向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "方向相同且模相等的向量叫做相等向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "相等向量表示相同的位移，是向量运算的基础概念",
|
||
"核心特征": [
|
||
"方向相同",
|
||
"长度相等",
|
||
"可平移重合"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算和等式变换的基础",
|
||
"特殊说明": "相等向量起点可以不同"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念", "K1-1-1-02 空间向量的长度"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "长度相等的向量不一定相等，还要求方向相同",
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P8"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["向量相等判断", "向量运算", "几何证明"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "相反向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量",
|
||
"符号表示": "$-\\mathbf{a}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "相反向量是向量减法的基础，表示相反的位移",
|
||
"核心特征": [
|
||
"长度相等",
|
||
"方向相反",
|
||
"互为相反向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量减法运算的需要",
|
||
"特殊说明": "零向量的相反向量是零向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念", "K1-1-1-05 相等向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["向量减法", "向量方程求解"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["相反向量性质", "向量减法", "向量运算"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-07",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "共线向量（平行向量）",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "共线向量描述了方向相同或相反的向量关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"方向相同或相反",
|
||
"可以平移到同一直线",
|
||
"包括重合的情况"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述向量间的方向关系，建立向量共线理论",
|
||
"特殊说明": "零向量与任意向量平行"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "共线不一定是重合的，可以是平行的",
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["共线判断", "平行关系", "向量线性关系"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-08",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "空间向量的线性运算",
|
||
"类型": "公式/运算",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "空间向量的加法、减法和数乘运算",
|
||
"加法公式": "$\\mathbf{a}+\\mathbf{b}=\\vec{OA}+\\vec{AB}=\\vec{OB}$",
|
||
"减法公式": "$\\mathbf{a}-\\mathbf{b}=\\vec{OA}-\\vec{OC}=\\vec{CA}$",
|
||
"数乘公式": "$\\lambda\\mathbf{a}=\\lambda\\vec{OA}$ (当$\\lambda>0$时方向相同，$\\lambda<0$时方向相反，$\\lambda=0$时为零向量)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "空间向量的线性运算可以转化为平面向量的运算",
|
||
"核心特征": [
|
||
"任意两个空间向量可以平移到同一平面",
|
||
"满足交换律、结合律、分配律",
|
||
"运算结果仍为空间向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "空间向量运算的基础",
|
||
"特殊说明": "线性运算结果与向量起点选择无关"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念", "K1-1-1-07 共线向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-1-1-09 向量加法的运算律", "K1-1-1-10 向量共线的充要条件"],
|
||
"相关方法": ["向量分解", "向量合成", "向量方程"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P8-9"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["向量运算", "运算律应用", "向量分解合成"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-09",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量线性运算的运算律",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"交换律": "$\\mathbf{a}+\\mathbf{b}=\\mathbf{b}+\\mathbf{a}$",
|
||
"结合律": "$(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})+\\mathbf{c}=\\mathbf{a}+(\\mathbf{b}+\\mathbf{c})$, $\\lambda(\\mu\\mathbf{a})=(\\lambda\\mu)\\mathbf{a}$",
|
||
"分配律": "$(\\lambda+\\mu)\\mathbf{a}=\\lambda\\mathbf{a}+\\mu\\mathbf{a}$, $\\lambda(\\mathbf{a}+\\mathbf{b})=\\lambda\\mathbf{a}+\\lambda\\mathbf{b}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么要有运算律": "运算律保证了向量运算的合理性和一致性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"与实数运算律类似",
|
||
"保证了运算结果的唯一性",
|
||
"是向量代数的基础"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算的理论基础",
|
||
"特殊说明": "对任意空间向量和实数都成立"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-08 空间向量的线性运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["向量化简", "向量等式证明", "向量方程求解"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P9"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["运算律应用", "向量化简", "向量证明"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-10",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量共线的充要条件",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定理": "对任意两个空间向量$\\mathbf{a}, \\mathbf{b}$($\\mathbf{b} \\neq \\mathbf{0}$)，$\\mathbf{a}//\\mathbf{b}$的充要条件是存在实数$\\lambda$，使$\\mathbf{a}=\\lambda\\mathbf{b}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "给出了向量共线的代数判别方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"提供了共线的代数表示",
|
||
"建立了向量与实数的对应关系",
|
||
"是向量共线理论的基础"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断和证明向量共线关系",
|
||
"特殊说明": "要求$\\mathbf{b} \\neq \\mathbf{0}$"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-07 共线向量", "K1-1-1-08 空间向量的线性运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["共线证明", "向量表示", "参数求解"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["共线证明", "参数求解", "向量表示"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-11",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "方向向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "与向量$\\mathbf{a}$平行的非零向量称为直线$l$的方向向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "方向向量确定了直线的方向，是直线向量表示的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"与直线平行",
|
||
"非零向量",
|
||
"可以表示直线上所有点"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用向量表示直线的需要",
|
||
"特殊说明": "方向向量不唯一，可以相差一个非零实数倍"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-07 共线向量", "K1-1-1-10 向量共线的充要条件"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["直线向量表示", "直线方程", "几何证明"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["方向向量求解", "直线表示", "几何应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-12",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "共面向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平行于同一个平面的向量，叫做共面向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "共面向量描述了可以平移到同一平面的向量关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"可以平移到同一平面",
|
||
"任意两个空间向量都共面",
|
||
"三个向量可能共面也可能不共面"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究空间向量的平面关系",
|
||
"特殊说明": "任意两个空间向量总是共面的"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-07 共线向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["共面判断", "平面表示", "空间向量分解"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P11"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["共面判断", "向量关系", "几何应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-13",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量共面的充要条件",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定理": "如果两个向量$\\mathbf{a}, \\mathbf{b}$不共线，那么向量$\\mathbf{p}$与向量$\\mathbf{a}, \\mathbf{b}$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x, y)$，使$\\mathbf{p} = x\\mathbf{a} + y\\mathbf{b}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "给出了向量共面的代数判别方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"建立了共面的代数表示",
|
||
"保证了表示的唯一性",
|
||
"是向量分解的基础"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断和证明向量共面关系",
|
||
"特殊说明": "要求$\\mathbf{a}, \\mathbf{b}$不共线"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-12 共面向量", "K1-1-1-08 空间向量的线性运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["共面证明", "向量分解", "平面表示"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.1节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["共面证明", "参数求解", "向量分解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量的夹角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "已知两个非零向量$\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$，在空间任取一点$O$，作$\\vec{OA}=\\boldsymbol{a}$，$\\vec{OB}=\\boldsymbol{b}$，则$\\angle AOB$叫做向量$\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$的夹角",
|
||
"符号表示": "$\\langle \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \\rangle$",
|
||
"范围": "$0 \\le \\langle \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \\rangle \\le \\pi$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "向量夹角描述了两个向量方向之间的关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"夹角唯一确定",
|
||
"$\\langle \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \\rangle = \\langle \\boldsymbol{b}, \\boldsymbol{a} \\rangle$",
|
||
"与向量的起点选择无关"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述向量间的方向关系，为数量积做准备",
|
||
"特殊说明": "零向量与其他向量的夹角无意义"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01 空间向量的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["夹角计算", "垂直判断", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P11"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["夹角理解", "垂直判断", "数量积基础"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量的数量积",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "已知两个非零向量$\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$，则$|\\boldsymbol{a}||\\boldsymbol{b}|\\cos\\langle \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \\rangle$叫做$\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b}$的数量积",
|
||
"符号表示": "$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b}$",
|
||
"公式": "$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = |\\boldsymbol{a}||\\boldsymbol{b}|\\cos\\langle \\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b} \\rangle$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "数量积描述了两个向量的投影关系，是向量运算的重要组成部分",
|
||
"核心特征": [
|
||
"结果是标量",
|
||
"可正可负可为零",
|
||
"满足交换律"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算的基础，用于计算长度、角度、垂直关系",
|
||
"特殊说明": "零向量与任意向量的数量积为0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-01 空间向量的夹角", "K1-1-1-02 空间向量的长度"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["数量积计算", "长度求解", "角度计算", "垂直判断"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["数量积计算", "垂直证明", "长度角度求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量垂直的充要条件",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定理": "$\\boldsymbol{a} \\perp \\boldsymbol{b} \\Leftrightarrow \\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{b} = 0$",
|
||
"条件": "$\\boldsymbol{a} \\neq \\boldsymbol{0}$, $\\boldsymbol{b} \\neq \\boldsymbol{0}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "提供了垂直关系的代数判别方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"将几何关系转化为代数运算",
|
||
"是判断垂直的重要工具",
|
||
"简化了几何证明"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断和证明垂直关系",
|
||
"特殊说明": "零向量与任何向量垂直，但通常不考虑这种情况"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-02 空间向量的数量积"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["垂直证明", "几何性质判断", "代数方法应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["垂直证明", "几何判断", "代数运算"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量与自身的数量积",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{a} = |\\boldsymbol{a}|^2$",
|
||
"记号": "$\\boldsymbol{a} \\cdot \\boldsymbol{a}$也记作$\\boldsymbol{a}^2$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立了向量运算与长度计算的联系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"结果恒为非负数",
|
||
"提供了长度计算的另一种方法",
|
||
"是向量模长的重要公式"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量长度计算和向量运算的基础",
|
||
"特殊说明": "适用于任意向量，包括零向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-02 空间向量的数量积", "K1-1-1-02 空间向量的长度"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["长度计算", "向量化简", "距离公式"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["长度计算", "向量化简", "距离求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量的投影",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量$a$向向量$b$投影，得到与向量$b$共线的向量$c$，$c=|a|\\cos\\langle a, b\\rangle\\frac{b}{|b|}$",
|
||
"概念": "向量$c$称为向量$a$在向量$b$上的投影向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "投影向量描述了一个向量在另一个向量方向上的分量",
|
||
"核心特征": [
|
||
"投影向量与原向量平行",
|
||
"长度等于原向量的投影长度",
|
||
"方向与原向量相同"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量分解和数量积几何意义的理解",
|
||
"特殊说明": "可以向向量、直线、平面投影"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-01 空间向量的夹角", "K1-1-2-02 空间向量的数量积"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-1-2-06 向量在直线上的投影", "K1-1-2-07 向量在平面上的投影"],
|
||
"相关方法": ["投影计算", "向量分解", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["投影计算", "向量分解", "几何理解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量在直线上的投影",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量$a$向直线$l$投影，得到与直线$l$平行的投影向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述了向量在特定方向上的分量",
|
||
"核心特征": [
|
||
"投影向量与直线平行",
|
||
"保持方向一致性",
|
||
"长度等于投影长度"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量分解和几何应用的需要",
|
||
"特殊说明": "投影结果唯一确定"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-05 空间向量的投影"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["投影计算", "向量分解", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["投影理解", "几何应用", "向量分解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-07",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量在平面上的投影",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量$a$向平面$\\beta$投影，分别由向量$a$的起点$A$和终点$B$作平面$\\beta$的垂线，垂足分别为$A', B'$，得到向量$\\vec{A'B'}$",
|
||
"概念": "向量$\\vec{A'B'}$称为向量$a$在平面$\\beta$上的投影向量"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述了向量在平面上的分量",
|
||
"核心特征": [
|
||
"投影向量在平面内",
|
||
"通过垂线作图得到",
|
||
"反映向量与平面的关系"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解向量与平面的关系，为距离计算做准备",
|
||
"特殊说明": "投影向量与原向量的夹角等于直线与平面的夹角"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-05 空间向量的投影"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["投影计算", "角度求解", "距离计算"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["投影理解", "角度计算", "几何应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-2-08",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空间向量数量积的运算律",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"与数乘的结合律": "$(\\lambda a)\\cdot b = \\lambda(a \\cdot b)$",
|
||
"交换律": "$a \\cdot b = b \\cdot a$",
|
||
"分配律": "$(a+b)\\cdot c = a\\cdot c + b\\cdot c$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么要有运算律": "保证了数量积运算的合理性和一致性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"与实数运算律类似",
|
||
"注意不满足结合律$(a\\cdot b)c \\neq a(b\\cdot c)$",
|
||
"是向量代数的重要基础"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "数量积运算的理论基础",
|
||
"特殊说明": "注意数量积与实数运算的区别"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-2-02 空间向量的数量积"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["数量积化简", "向量化简", "代数运算"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第1章1.1.2节 P13"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["运算律应用", "向量化简", "代数运算"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |