904 lines
25 KiB
JSON
904 lines
25 KiB
JSON
{
|
||
"method_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-1-01",
|
||
"名称": "空间向量加减法运算",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "空间向量的线性运算",
|
||
"识别特征": "空间向量加法或减法运算",
|
||
"典型形式": "向量加法：OA + OB = OC，向量减法：OA - OB = BA"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "将向量平移到同一起点",
|
||
"注意事项": "利用向量可以自由平移的性质"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用三角形法则或平行四边形法则",
|
||
"注意事项": "减法可转化为加负向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "化简运算结果",
|
||
"注意事项": "注意向量方向和大小"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["几何直观", "向量自由平移"],
|
||
"解题策略": "将空间向量运算转化为平面向量运算",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-1-08 空间向量的线性运算"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-1-P01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略向量的方向性",
|
||
"原因": "对向量概念理解不清",
|
||
"正确做法": "严格按照向量法则进行运算"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 1,
|
||
"教材位置": "必修1 P8"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-1-02",
|
||
"名称": "空间向量数乘运算",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "空间向量的数乘运算",
|
||
"识别特征": "向量与实数的乘法运算",
|
||
"典型形式": "λa，其中λ为实数，a为向量"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定数乘系数和原向量",
|
||
"注意事项": "注意系数的正负号"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算数乘后的向量长度",
|
||
"注意事项": "长度为|λ|·|a|"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定向量方向",
|
||
"注意事项": "λ>0时方向相同，λ<0时方向相反，λ=0时为零向量"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合"],
|
||
"解题策略": "利用数乘运算进行向量伸缩和反向",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-1-08 空间向量的线性运算"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-1-P01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆数乘系数的符号与向量方向的关系",
|
||
"原因": "对数乘的几何意义理解不清",
|
||
"正确做法": "明确正数同向，负数反向，零数为零向量"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 1,
|
||
"教材位置": "必修1 P8-9"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-1-03",
|
||
"名称": "空间向量共线判断法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断两个空间向量是否共线",
|
||
"识别特征": "判断向量a与b的平行关系",
|
||
"典型形式": "证明a//b或a不平行于b"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "检查其中一个向量是否为零向量",
|
||
"注意事项": "零向量与任意向量平行"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "寻找实数λ，使得a = λb",
|
||
"注意事项": "需要找到具体的λ值或证明存在性"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"注意事项": "若存在λ使a = λb，则共线；否则不共线"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["向量共线定理"],
|
||
"解题策略": "利用共线向量定理的代数判别方法",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-1-10 空间向量共线的充要条件"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略零向量的特殊情况",
|
||
"原因": "对零向量的性质掌握不清",
|
||
"正确做法": "始终检查零向量情况"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修1 P10"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-1-04",
|
||
"名称": "空间向量共面判断法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断三个空间向量是否共面",
|
||
"识别特征": "判断向量p与向量a、b的共面关系",
|
||
"典型形式": "证明存在唯一实数对(x,y)使p = xa + yb"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "检查两个向量是否共线",
|
||
"注意事项": "若a、b共线，则任意向量都与它们共面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "寻找实数对(x,y)使得p = xa + yb",
|
||
"注意事项": "需要解线性方程组"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "验证唯一性",
|
||
"注意事项": "当a、b不共线时，表示是唯一的"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["线性组合", "空间分解"],
|
||
"解题策略": "利用向量共面的充要条件进行判断",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-1-13 向量共面的充要条件"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆共面与共线的概念",
|
||
"原因": "对空间向量关系理解不清",
|
||
"正确做法": "区分共线（平行关系）和共面（在同一平面内）"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P12"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-2-01",
|
||
"名称": "空间向量数量积计算法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "计算两个空间向量的数量积",
|
||
"识别特征": "需要计算a·b的值",
|
||
"典型形式": "已知|a|、|b|和夹角，求数量积"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定向量的模长",
|
||
"注意事项": "计算|a|和|b|的值"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "确定两向量的夹角",
|
||
"注意事项": "夹角范围是[0,π]"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用数量积公式计算",
|
||
"注意事项": "a·b = |a||b|cos<a,b>"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["投影思想", "数形结合"],
|
||
"解题策略": "利用数量积的几何意义进行计算",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-2-02 空间向量的数量积"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆数量积与向量加减法的运算性质",
|
||
"原因": "对向量运算律理解不清",
|
||
"正确做法": "注意数量积不满足结合律"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修1 P12"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-2-02",
|
||
"名称": "向量垂直判断法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断两个空间向量是否垂直",
|
||
"识别特征": "判断a⊥b或证明垂直关系",
|
||
"典型形式": "通过数量积为零判断垂直"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "检查是否有零向量",
|
||
"注意事项": "零向量与任意向量垂直，但通常不考虑这种情况"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算两向量的数量积",
|
||
"注意事项": "a·b = 0是充要条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "得出垂直结论",
|
||
"注意事项": "数量积为零则垂直，垂直则数量积为零"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["代数判别几何"],
|
||
"解题策略": "将几何垂直关系转化为代数运算",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-2-03 向量垂直的充要条件"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-2-E03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略零向量的特殊处理",
|
||
"原因": "对零向量性质理解不完整",
|
||
"正确做法": "明确非零向量的垂直判断条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修1 P12"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-1-2-03",
|
||
"名称": "向量夹角求解法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求两个空间向量的夹角",
|
||
"识别特征": "需要计算<a,b>的大小",
|
||
"典型形式": "已知向量坐标或模长，求夹角"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "计算两向量的数量积",
|
||
"注意事项": "a·b = |a||b|cosθ"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算两向量的模长",
|
||
"注意事项": "|a| = √(a·a)，|b| = √(b·b)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用夹角公式",
|
||
"注意事项": "cosθ = (a·b)/(|a||b|)，θ∈[0,π]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合"],
|
||
"解题策略": "通过数量积反求夹角的余弦值",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-1-2-01 空间向量的夹角",
|
||
"K1-1-2-02 空间向量的数量积"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-1-2-P01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆向量夹角与直线夹角",
|
||
"原因": "对角的概念理解不清",
|
||
"正确做法": "向量夹角范围[0,π]，直线夹角范围(0,π/2]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P13"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-2-1-01",
|
||
"名称": "空间向量基本定理应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用基底表示空间向量",
|
||
"识别特征": "需要将向量表示为三个基向量的线性组合",
|
||
"典型形式": "已知基底{a,b,c}，表示向量p = xa + yb + zc"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "验证基向量不共面",
|
||
"注意事项": "三个基向量必须不共面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "建立线性方程组",
|
||
"注意事项": "利用向量运算建立关于x,y,z的方程"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求解系数",
|
||
"注意事项": "解线性方程组得到唯一解(x,y,z)"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["线性表示", "空间分解"],
|
||
"解题策略": "利用向量基本定理进行空间分解",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-2-1-01 空间向量基本定理"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-2-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "选择共面的基向量",
|
||
"原因": "对基底条件理解不清",
|
||
"正确做法": "确保三个基向量不共面"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P16-17"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-3-1-01",
|
||
"名称": "空间向量坐标运算方法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "空间向量的坐标运算",
|
||
"识别特征": "已知向量坐标进行加减、数乘、数量积运算",
|
||
"典型形式": "已知a=(x₁,y₁,z₁)，b=(x₂,y₂,z₂)，进行各种运算"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定向量的坐标",
|
||
"注意事项": "确保向量在同一个坐标系下"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用坐标运算法则",
|
||
"注意事项": "加减法对应坐标相加减，数乘对应坐标相乘"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算数量积",
|
||
"注意事项": "数量积等于对应坐标乘积之和"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["坐标法", "代数化"],
|
||
"解题策略": "将几何运算转化为代数运算",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-3-1-02 空间向量运算的坐标表示"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-3-1-P01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "坐标运算公式记忆错误",
|
||
"原因": "对坐标运算法则掌握不牢",
|
||
"正确做法": "熟练掌握各种运算的坐标表示公式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修1 P24-25"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-3-1-02",
|
||
"名称": "空间两点间距离公式应用",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "计算空间两点间距离",
|
||
"识别特征": "已知两点坐标求距离",
|
||
"典型形式": "P₁(x₁,y₁,z₁)，P₂(x₂,y₂,z₂)，求P₁P₂"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定两点坐标",
|
||
"注意事项": "确保坐标在同一坐标系下"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算坐标差",
|
||
"注意事项": "Δx=x₂-x₁，Δy=y₂-y₁，Δz=z₂-z₁"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用距离公式",
|
||
"注意事项": "距离 = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合"],
|
||
"解题策略": "利用坐标法将距离问题转化为代数运算",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-3-1-03 空间两点间的距离公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-3-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "距离公式计算错误",
|
||
"原因": "公式记忆不清或计算粗心",
|
||
"正确做法": "熟记公式并仔细计算"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修1 P26"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-1-01",
|
||
"名称": "直线向量参数方程法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用向量表示空间直线",
|
||
"识别特征": "需要表示直线上任意点",
|
||
"典型形式": "直线l过点A，方向向量为u，表示l上任意点P"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定直线上一点和方向向量",
|
||
"注意事项": "方向向量不能为零向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "写出参数方程",
|
||
"注意事项": "OP = OA + tu，t∈R"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "根据需要确定参数范围",
|
||
"注意事项": "射线、线段需限制参数范围"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["参数化思想"],
|
||
"解题策略": "用参数表示直线上点的位置",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-1-01 空间中点、直线和平面的向量表示"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "参数方程形式错误",
|
||
"原因": "对向量表示直线的原理理解不清",
|
||
"正确做法": "理解参数t的几何意义"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P31-32"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-1-02",
|
||
"名称": "平面向量表示法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用向量表示空间平面",
|
||
"识别特征": "需要表示平面内任意点",
|
||
"典型形式": "平面ABC内任意点P的向量表示"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定平面内一点和两个方向向量",
|
||
"注意事项": "两个方向向量不共线"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "写出向量表示式",
|
||
"注意事项": "OP = OA + xAB + yAC"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "验证表示的正确性",
|
||
"注意事项": "任意P在平面内都能找到对应的(x,y)"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["参数化思想", "平面分解"],
|
||
"解题策略": "用两个参数表示平面内点的位置",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-1-01 空间中点、直线和平面的向量表示"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "方向向量选择不当导致共线",
|
||
"原因": "对平面表示条件理解不清",
|
||
"正确做法": "确保两个方向向量不共线"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P32-33"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-1-03",
|
||
"名称": "平面法向量求解法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求平面的法向量",
|
||
"识别特征": "需要找到与平面垂直的向量",
|
||
"典型形式": "已知平面内两个向量，求法向量"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定平面内两个不共线向量",
|
||
"注意事项": "这两个向量能确定平面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "设法向量与这两个向量垂直",
|
||
"注意事项": "设n=(x,y,z)，建立n·a=0，n·b=0"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "解线性方程组",
|
||
"注意事项": "法向量不唯一，可任选一个"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["垂直关系", "线性方程组"],
|
||
"解题策略": "通过垂直条件建立方程求解法向量",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-1-01 平面的法向量"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-1-E03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "法向量计算错误",
|
||
"原因": "线性方程组求解错误或垂直条件应用错误",
|
||
"正确做法": "仔细计算并验证结果"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P33"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-2-01",
|
||
"名称": "点到直线距离向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求点到直线的距离",
|
||
"识别特征": "已知点和直线，求距离",
|
||
"典型形式": "点P到直线l的距离，l有方向向量u和点A"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定直线的单位方向向量",
|
||
"注意事项": "将方向向量单位化"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算点到直线上点的向量",
|
||
"注意事项": "计算向量AP"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用距离公式",
|
||
"注意事项": "距离 = √(|AP|² - (AP·u)²)"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["投影思想", "勾股定理"],
|
||
"解题策略": "利用投影和勾股定理求距离",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-2-01 点到直线的距离"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "距离公式应用错误",
|
||
"原因": "对投影概念理解不清",
|
||
"正确做法": "理解几何意义后再应用公式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "必修1 P38"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-2-02",
|
||
"名称": "点到平面距离向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求点到平面的距离",
|
||
"识别特征": "已知点和平面，求距离",
|
||
"典型形式": "点P到平面α的距离，α有法向量n和点A"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定平面的法向量",
|
||
"注意事项": "法向量不能为零向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算点到平面上点的向量",
|
||
"注意事项": "计算向量AP"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用距离公式",
|
||
"注意事项": "距离 = |AP·n|/|n|"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["投影思想"],
|
||
"解题策略": "利用法向量的投影求距离",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-2-01 点到平面的距离"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忘记取绝对值",
|
||
"原因": "对距离的非负性理解不清",
|
||
"正确做法": "距离必须是非负数"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P39"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-2-03",
|
||
"名称": "异面直线夹角向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求两条异面直线的夹角",
|
||
"识别特征": "已知两条异面直线，求夹角",
|
||
"典型形式": "直线l₁和l₂的夹角，分别有方向向量u₁、u₂"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定两条直线的方向向量",
|
||
"注意事项": "方向向量不能为零向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算方向向量的夹角余弦",
|
||
"注意事项": "cosθ = |u₁·u₂|/(|u₁||u₂|)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求出夹角",
|
||
"注意事项": "异面直线夹角范围(0,π/2]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["向量夹角"],
|
||
"解题策略": "将直线夹角转化为向量夹角",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-2-02 直线与直线的夹角"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-2-E03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忘记取绝对值",
|
||
"原因": "对直线夹角范围理解不清",
|
||
"正确做法": "异面直线夹角为锐角或直角"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修1 P41"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-2-04",
|
||
"名称": "直线与平面夹角向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求直线与平面的夹角",
|
||
"识别特征": "已知直线和平面，求夹角",
|
||
"典型形式": "直线l与平面α的夹角，l有方向向量u，α有法向量n"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定直线方向向量和平面法向量",
|
||
"注意事项": "两个向量都不能为零向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算向量夹角的余弦",
|
||
"注意事项": "cos<u,n> = (u·n)/(|u||n|)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求直线与平面夹角",
|
||
"注意事项": "设夹角为θ，则sinθ = |cos<u,n>|"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["向量夹角", "三角函数"],
|
||
"解题策略": "利用法向量将线面夹角转化为线线夹角",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-2-02 直线与平面的夹角"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-2-E04"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆sin和cos关系",
|
||
"原因": "对角度关系理解不清",
|
||
"正确做法": "明确线面角与线法角的关系"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "必修1 P42"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M1-4-2-05",
|
||
"名称": "平面夹角向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求两个平面的夹角",
|
||
"识别特征": "已知两个平面，求夹角（二面角）",
|
||
"典型形式": "平面α和β的夹角，分别有法向量n₁、n₂"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定两个平面的法向量",
|
||
"注意事项": "法向量都不能为零向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算法向量夹角的余弦",
|
||
"注意事项": "cosθ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定平面夹角",
|
||
"注意事项": "平面夹角等于法向量夹角或其补角，取锐角"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["法向量"],
|
||
"解题策略": "将平面夹角转化为法向量夹角",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K1-4-2-02 平面与平面的夹角"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T1-4-2-E05"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略绝对值导致错误结果",
|
||
"原因": "对平面夹角范围理解不清",
|
||
"正确做法": "平面夹角范围为[0,π/2]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "必修1 P43"
|
||
}
|
||
]
|
||
} |