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{
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"章节信息": {
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"章": "第八章",
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||
"节": "8.1 成对数据的统计相关性，8.2 一元线性回归模型及其应用，8.3 列联表与独立性检验",
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||
"小节": "8.1.1 变量的相关关系，8.1.2 样本相关系数，8.2.1 一元线性回归模型，8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计，8.3.1 分类变量与列联表，8.3.2 独立性检验",
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"页码范围": "98-154"
|
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},
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"problem_list": [
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{
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"编号": "P8-1-01",
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"名称": "相关关系识别问题",
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"类型": "概念理解题",
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"难度": "基础",
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"问题描述": "判断下列各对变量之间的关系是函数关系还是相关关系，并说明理由：\n(1) 正方形的边长与面积\n(2) 人的身高与体重\n(3) 圆的半径与周长\n(4) 学习时间与考试成绩\n(5) 产品的产量与总成本",
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"考查目标": "区分函数关系与相关关系，理解相关关系的概念",
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"解题思路": [
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"分析两个变量之间是否存在确定的对应关系",
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"判断一个变量能否完全决定另一个变量",
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"若能完全确定则为函数关系，否则为相关关系"
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],
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"关联知识": ["K8-1-1-01 相关关系"],
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"关联方法": ["M8-1-01 散点图绘制法"],
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"解题步骤": [
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"对于每对变量，分析变量间的数学关系",
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"判断是否存在函数关系：y = f(x)",
|
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"若不存在函数关系，分析是否存在相关趋势",
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"给出结论并说明判断依据"
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],
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"答案要点": [
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"(1) 函数关系：A = a²，边长完全决定面积",
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"(2) 相关关系：身高影响体重但不能完全决定",
|
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"(3) 函数关系：C = 2πr，半径完全决定周长",
|
||
"(4) 相关关系：学习时间影响成绩但还有其他因素",
|
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"(5) 相关关系：产量影响成本但还有固定成本等因素"
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],
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"易错点": ["误认为所有数值关系都是函数关系", "混淆因果关系与相关关系"]
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},
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{
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"编号": "P8-1-02",
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"名称": "正负相关判断问题",
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"类型": "数据分析题",
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"难度": "基础",
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"问题描述": "根据下列数据，判断变量间的相关关系是正相关还是负相关：\n数据集：某班学生身高(cm)与体重(kg)\n身高：160, 165, 170, 175, 180\n体重：55, 60, 65, 70, 75",
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"考查目标": "识别正相关与负相关的特征",
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"解题思路": [
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"观察数据的变化趋势",
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"分析一个变量增加时另一个变量的变化方向",
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"得出相关方向的结论"
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],
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"关联知识": ["K8-1-1-02 正相关与负相关"],
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"关联方法": ["M8-1-01 散点图绘制法"],
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"解题步骤": [
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"列出成对数据并观察变化趋势",
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"身高从160cm增加到180cm",
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"相应体重从55kg增加到75kg",
|
||
"两个变量同向变化，判断为正相关"
|
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],
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"答案要点": [
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"数据变化：身高增加，体重也增加",
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"相关方向：正相关",
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"解释：身高较高的学生体重也较重"
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],
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"易错点": ["仅凭个别数据判断", "忽略整体趋势"]
|
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},
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{
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"编号": "P8-1-03",
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"名称": "线性相关识别问题",
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"类型": "图形分析题",
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"难度": "中等",
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"问题描述": "根据给定的散点图模式，判断以下数据更适合线性相关还是非线性相关：\n(1) 点分布在一条直线附近，呈上升趋势\n(2) 点分布在抛物线附近\n(3) 点分布在指数曲线附近\n(4) 点分布杂乱，无明显模式",
|
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|
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"考查目标": "区分线性相关与非线性相关",
|
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|
||
"解题思路": [
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"观察散点图的整体分布模式",
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"判断点是否集中在一条直线附近",
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||
"识别其他可能的曲线模式"
|
||
],
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|
||
"关联知识": ["K8-1-1-03 线性相关与非线性相关"],
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"关联方法": ["M8-1-01 散点图绘制法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"分析每种散点图模式",
|
||
"判断是否适合直线模型",
|
||
"识别具体的非线性模式",
|
||
"给出相关类型的判断"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"(1) 线性相关：点分布适合直线模型",
|
||
"(2) 非线性相关：适合抛物线模型",
|
||
"(3) 非线性相关：适合指数模型",
|
||
"(4) 无明显相关：点分布随机"
|
||
],
|
||
"易错点": ["强线性相关误认为非线性", "无明显相关误认为弱相关"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
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"编号": "P8-1-04",
|
||
"名称": "相关系数计算问题",
|
||
"类型": "计算题",
|
||
"难度": "中等",
|
||
|
||
"问题描述": "计算下列数据的样本相关系数：\nX：2, 4, 6, 8, 10\nY：3, 5, 7, 9, 11\n(结果保留3位小数)",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握样本相关系数的计算方法和步骤",
|
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|
||
"解题思路": [
|
||
"计算X和Y的均值",
|
||
"计算偏差平方和及协方差",
|
||
"代入相关系数公式计算",
|
||
"解释结果的意义"
|
||
],
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|
||
"关联知识": ["K8-1-2-01 样本相关系数"],
|
||
"关联方法": ["M8-1-02 样本相关系数计算法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"计算均值：$\\bar{x} = 6, \\bar{y} = 7$",
|
||
"计算协方差：$S_{xy} = 40$",
|
||
"计算偏差平方和：$S_{xx} = 40, S_{yy} = 40$",
|
||
"计算相关系数：$r = \\frac{40}{\\sqrt{40 \\times 40}} = 1$",
|
||
"解释：完全线性正相关"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"样本相关系数r = 1.000",
|
||
"表示完全线性正相关",
|
||
"所有点完全落在一条直线上"
|
||
],
|
||
"易错点": ["计算过程中符号错误", "忽略相关系数的取值范围", "计算过程中精度损失"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-1-05",
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||
"名称": "相关程度解释问题",
|
||
"类型": "解释题",
|
||
"难度": "基础",
|
||
|
||
"问题描述": "解释下列相关系数的含义：\n(1) r = 0.85\n(2) r = -0.92\n(3) r = 0.15\n(4) r = -0.38",
|
||
|
||
"考查目标": "理解相关系数的数值含义和相关强度判断",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"分析相关系数的符号确定相关方向",
|
||
"根据绝对值大小判断相关强度",
|
||
"给出实际意义的解释"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-1-2-01 样本相关系数"],
|
||
"关联方法": ["M8-1-02 样本相关系数计算法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"分析每个相关系数的符号和绝对值",
|
||
"判断相关方向（正/负）",
|
||
"判断相关强度（强/中/弱）",
|
||
"给出实际意义的解释"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"(1) r = 0.85：强正相关，变量间有较强的同向线性关系",
|
||
"(2) r = -0.92：强负相关，变量间有很强的反向线性关系",
|
||
"(3) r = 0.15：弱正相关，变量间线性关系很弱",
|
||
"(4) r = -0.38：中度负相关，变量间有中等强度的反向线性关系"
|
||
],
|
||
"易错点": ["混淆相关强度与相关方向", "过度解释弱相关关系"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
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"编号": "P8-2-01",
|
||
"名称": "回归模型理解问题",
|
||
"类型": "概念题",
|
||
"难度": "基础",
|
||
|
||
"问题描述": "解释一元线性回归模型$Y = bx + a + e$中各符号的含义，并说明模型的假设条件",
|
||
|
||
"考查目标": "理解一元线性回归模型的结构和假设",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"逐个解释模型中每个符号的含义",
|
||
"说明模型的基本假设",
|
||
"解释随机误差的作用"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-2-1-01 一元线性回归模型"],
|
||
"关联方法": ["M8-2-01 最小二乘估计法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"解释因变量Y的含义",
|
||
"解释自变量x的含义",
|
||
"解释参数a和b的含义",
|
||
"解释随机误差e的含义和假设"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"Y：因变量（响应变量），是被解释的变量",
|
||
"x：自变量（解释变量），用于解释Y的变化",
|
||
"b：斜率参数，表示x每增加1单位Y的平均变化量",
|
||
"a：截距参数，表示x=0时Y的期望值",
|
||
"e：随机误差，包含其他影响因素和随机波动",
|
||
"假设：E(e) = 0, D(e) = σ²，误差相互独立"
|
||
],
|
||
"易错点": ["混淆参数与变量", "忽略随机误差的作用", "误认为模型是确定性关系"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-2-02",
|
||
"名称": "最小二乘估计计算问题",
|
||
"类型": "计算题",
|
||
"难度": "中等",
|
||
|
||
"问题描述": "使用最小二乘法估计下列数据的回归方程：\nX：1, 2, 3, 4, 5\nY：2.1, 3.9, 6.2, 7.8, 10.1\n(结果保留2位小数)",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握最小二乘估计的计算过程",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"计算X和Y的均值",
|
||
"计算偏差平方和及协方差",
|
||
"计算斜率和截距的估计值",
|
||
"写出回归方程"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-2-2-01 最小二乘估计"],
|
||
"关联方法": ["M8-2-01 最小二乘估计法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"计算均值：$\\bar{x} = 3, \\bar{y} = 6.02$",
|
||
"计算$S_{xy} = 15.3, S_{xx} = 10$",
|
||
"计算斜率：$\\hat{b} = \\frac{15.3}{10} = 1.53$",
|
||
"计算截距：$\\hat{a} = 6.02 - 1.53 \\times 3 = 1.43$",
|
||
"回归方程：$\\hat{y} = 1.53x + 1.43$"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"斜率估计：$\\hat{b} = 1.53$",
|
||
"截距估计：$\\hat{a} = 1.43$",
|
||
"回归方程：$\\hat{y} = 1.53x + 1.43$"
|
||
],
|
||
"易错点": ["计算过程中小数位数处理不当", "均值计算错误", "公式记忆错误"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-2-03",
|
||
"名称": "回归方程解释问题",
|
||
"类型": "解释题",
|
||
"难度": "基础",
|
||
|
||
"问题描述": "某研究得到学生学习时间与考试成绩的回归方程为：$\\hat{y} = 2.5x + 45$，其中x为学习时间（小时），y为考试成绩。解释该回归方程的实际意义",
|
||
|
||
"考查目标": "理解回归系数的实际含义",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"解释截距的含义",
|
||
"解释斜率的含义",
|
||
"说明如何使用回归方程进行预测",
|
||
"讨论回归方程的适用范围"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-2-1-01 一元线性回归模型", "K8-2-2-01 最小二乘估计"],
|
||
"关联方法": ["M8-2-01 最小二乘估计法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"解释截距45的含义",
|
||
"解释斜率2.5的含义",
|
||
"说明预测方法",
|
||
"讨论适用条件"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"截距45：学习时间为0小时时，期望考试成绩为45分",
|
||
"斜率2.5：学习时间每增加1小时，考试成绩平均提高2.5分",
|
||
"预测：学习6小时时，预测成绩为$2.5×6+45=60$分",
|
||
"应用：用于在合理范围内预测不同学习时间的期望成绩"
|
||
],
|
||
"易错点": ["过度外推预测", "混淆相关与因果", "忽略预测的不确定性"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-2-04",
|
||
"名称": "残差分析问题",
|
||
"类型": "分析题",
|
||
"难度": "中等",
|
||
|
||
"问题描述": "根据下列数据建立回归方程并进行残差分析：\nX：1, 2, 3, 4, 5\nY：1.8, 3.1, 4.5, 5.9, 8.2\n要求：(1)建立回归方程 (2)计算残差 (3)绘制残差图 (4)分析模型拟合效果",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握残差分析的方法和意义",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"计算回归方程",
|
||
"计算预测值和残差",
|
||
"绘制残差图",
|
||
"分析残差分布特征"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-2-2-02 残差与残差分析"],
|
||
"关联方法": ["M8-2-02 残差分析法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"计算回归方程：$\\hat{y} = 1.54x + 0.38$",
|
||
"计算预测值和残差",
|
||
"绘制残差图",
|
||
"分析残差分布模式"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"回归方程：$\\hat{y} = 1.54x + 0.38$",
|
||
"残差序列：-0.12, 0.02, 0.08, 0.04, 0.02",
|
||
"残差图特征：残差随机分布在0附近，无明显模式",
|
||
"拟合效果：模型拟合良好，线性关系假设合理"
|
||
],
|
||
"易错点": ["残差计算错误", "残差图解读错误", "忽视残差分析的诊断价值"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-2-05",
|
||
"名称": "决定系数计算与解释问题",
|
||
"类型": "计算解释题",
|
||
"难度": "中等",
|
||
|
||
"问题描述": "根据下列回归分析结果计算决定系数并解释：\nY的观测值：10, 12, 15, 18, 20\nY的预测值：10.5, 11.8, 15.2, 17.9, 19.6",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握决定系数的计算和解释",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"计算Y的均值",
|
||
"计算总平方和SST",
|
||
"计算残差平方和SSE",
|
||
"计算决定系数R²",
|
||
"解释R²的实际意义"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-2-2-03 决定系数R²"],
|
||
"关联方法": ["M8-2-03 决定系数计算法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"计算均值：$\\bar{y} = 15$",
|
||
"计算总平方和：SST = 62",
|
||
"计算残差平方和：SSE = 0.46",
|
||
"计算决定系数：R² = 1 - 0.46/62 = 0.9926",
|
||
"解释模型解释力"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"决定系数R² = 0.9926",
|
||
"解释：模型能解释因变量变异的99.26%",
|
||
"评价：拟合效果非常好",
|
||
"应用：模型具有很强的预测能力"
|
||
],
|
||
"易错点": ["平方和计算错误", "R²含义理解错误", "混淆R²与相关系数"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-3-01",
|
||
"名称": "列联表构造问题",
|
||
"类型": "数据整理题",
|
||
"难度": "基础",
|
||
|
||
"问题描述": "某医院统计了200名患者的性别与疾病类型数据：\n男性患者：甲病60人，乙病30人\n女性患者：甲病40人，乙病70人\n请构造2×2列联表",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握2×2列联表的构造方法",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定行变量和列变量",
|
||
"统计数据频数",
|
||
"填写列联表",
|
||
"计算边际频数"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-3-1-01 分类变量与2×2列联表"],
|
||
"关联方法": ["M8-3-01 2×2列联表构造法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"设性别为行变量，疾病类型为列变量",
|
||
"统计四个组合的频数",
|
||
"填写列联表",
|
||
"计算行总和和列总和"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"列联表结构：\n| | 甲病 | 乙病 | 行总和 |\n|---|---|---|---|\n| 男性 | 60 | 30 | 90 |\n| 女性 | 40 | 70 | 110 |\n| 列总和 | 100 | 100 | 200 |"
|
||
],
|
||
"易错点": ["行列变量位置混淆", "边际频数计算错误", "频数统计错误"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-3-02",
|
||
"名称": "独立性检验问题",
|
||
"类型": "计算判断题",
|
||
"难度": "中等",
|
||
|
||
"问题描述": "对上题的列联表进行独立性检验（检验水平α = 0.05），判断性别与疾病类型是否独立",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握卡方独立性检验的实施步骤",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"建立假设",
|
||
"计算期望频数",
|
||
"计算卡方统计量",
|
||
"查找临界值",
|
||
"做出统计判断",
|
||
"得出结论"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-3-2-01 独立性检验", "K8-3-2-02 临界值与检验水平"],
|
||
"关联方法": ["M8-3-02 卡方独立性检验法", "M8-3-03 期望频数计算法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"假设：H₀：性别与疾病类型独立，H₁：不独立",
|
||
"计算期望频数：E₁₁=45, E₁₂=45, E₂₁=55, E₂₂=55",
|
||
"计算卡方统计量：χ² = 20.91",
|
||
"查找临界值：χ²₀.₀₅ = 3.841",
|
||
"比较：20.91 > 3.841，拒绝H₀",
|
||
"结论：性别与疾病类型不独立"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"卡方统计量：χ² = 20.91",
|
||
"临界值：χ²₀.₀₅ = 3.841",
|
||
"统计判断：拒绝零假设",
|
||
"实际结论：性别与疾病类型存在关联关系"
|
||
],
|
||
"易错点": ["期望频数计算错误", "卡方统计量公式错误", "临界值查找错误", "结论表述不准确"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "P8-3-03",
|
||
"名称": "期望频数计算问题",
|
||
"类型": "计算题",
|
||
"难度": "基础",
|
||
|
||
"问题描述": "给定下列2×2列联表，计算在独立性假设下的期望频数：\n| | A | B | 行总和 |\n|---|---|---|---|\n| X | 30 | 20 | 50 |\n| Y | 40 | 60 | 100 |\n| 列总和 | 70 | 80 | 150 |",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握期望频数的计算方法",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用独立性假设下的期望频数公式",
|
||
"逐个计算四个格子的期望频数",
|
||
"验证期望频数总和"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-3-1-01 2×2列联表"],
|
||
"关联方法": ["M8-3-03 期望频数计算法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"使用公式：Eᵢⱼ = (行i总和 × 列j总和) / 总样本量",
|
||
"计算E₁₁ = (50 × 70) / 150 = 23.33",
|
||
"计算E₁₂ = (50 × 80) / 150 = 26.67",
|
||
"计算E₂₁ = (100 × 70) / 150 = 46.67",
|
||
"计算E₂₂ = (100 × 80) / 150 = 53.33"
|
||
],
|
||
"答案要点": [
|
||
"期望频数表：\n| | A | B |\n|---|---|---|\n| X | 23.33 | 26.67 |\n| Y | 46.67 | 53.33 |",
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||
"验证：期望频数总和 = 150 = 观测频数总和"
|
||
],
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||
"易错点": ["期望频数公式记忆错误", "边际频数使用错误", "计算精度问题"]
|
||
},
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||
|
||
{
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||
"编号": "P8-3-04",
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||
"名称": "临界值查找问题",
|
||
"类型：查询应用题",
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||
"难度": "基础",
|
||
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||
"问题描述": "查找下列检验水平对应的卡方临界值（自由度为1）：\n(1) α = 0.10\n(2) α = 0.05\n(3) α = 0.01\n(4) α = 0.001",
|
||
|
||
"考查目标": "掌握卡方分布临界值的查找和使用",
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||
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||
"解题思路": [
|
||
"确定自由度为1",
|
||
"根据检验水平查找标准卡方分布表",
|
||
"记录对应的临界值",
|
||
"说明临界值的含义"
|
||
],
|
||
|
||
"关联知识": ["K8-3-2-02 临界值与检验水平"],
|
||
"关联方法": ["M8-3-02 卡方独立性检验法"],
|
||
"解题步骤": [
|
||
"明确自由度df = 1",
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||
"查找卡方分布临界值表",
|
||
"根据不同检验水平查找对应值",
|
||
"记录并解释临界值含义"
|
||
],
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||
"答案要点": [
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||
"(1) α = 0.10：χ²₀.₁ = 2.706",
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||
"(2) α = 0.05：χ²₀.₀₅ = 3.841",
|
||
"(3) α = 0.01：χ²₀.₀₁ = 6.635",
|
||
"(4) α = 0.001：χ²₀.₀₀₁ = 10.828",
|
||
"含义：当统计量≥临界值时拒绝零假设"
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||
],
|
||
"易错点": ["自由度确定错误", "临界值表查找错误", "检验水平与临界值对应关系错误"]
|
||
},
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||
|
||
{
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||
"编号": "P8-4-01",
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||
"名称": "综合分析问题",
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||
"类型": "综合应用题",
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||
"难度": "困难",
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||
|
||
"问题描述": "某教育研究机构调查了100名学生的学习时间与考试成绩，以及性别与是否通过考试的情况。要求：\n(1) 分析学习时间与考试成绩的相关关系\n(2) 建立回归方程预测考试成绩\n(3) 检验性别与是否通过考试是否独立\n(4) 综合分析学习效果的影响因素",
|
||
|
||
"考查目标": "综合运用第八章的统计方法分析实际教育数据",
|
||
|
||
"解题思路": [
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"第一步：相关分析 - 计算相关系数判断相关关系",
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||
"第二步：回归分析 - 建立回归模型并进行模型诊断",
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||
"第三步：独立性检验 - 构造列联表检验性别与考试结果的关系",
|
||
"第四步：综合分析 - 结合统计结果提出教育建议"
|
||
],
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||
|
||
"关联知识": ["K8-1-2-01 样本相关系数", "K8-2-2-01 最小二乘估计", "K8-3-2-01 独立性检验"],
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||
"关联方法": ["M8-1-02 样本相关系数计算法", "M8-2-01 最小二乘估计法", "M8-3-02 卡方独立性检验法"],
|
||
"解题步骤": [
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||
"计算学习时间与考试成绩的相关系数",
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||
"建立回归方程并计算决定系数",
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||
"构造性别与考试结果的2×2列联表",
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||
"进行卡方独立性检验",
|
||
"综合分析统计结果的实际意义"
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||
],
|
||
"答案要点": [
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||
"相关系数反映学习时间与成绩的正相关程度",
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||
"回归方程提供成绩预测模型",
|
||
"独立性检验判断性别对考试结果的影响",
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||
"综合结论：学习时间、性别都是影响考试成绩的因素",
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||
"教育建议：加强学习时间管理，关注性别差异"
|
||
],
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||
"易错点": ["分析方法选择不当", "统计结果解释过度", "忽视实际应用背景", "结论缺乏统计依据"]
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||
}
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||
]
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} |