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28 KiB
JSON
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JSON
{
|
||
"method_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "M3-1-1-01",
|
||
"名称": "函数定义域的求法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数定义域问题",
|
||
"识别特征": "给定函数解析式，需要确定自变量取值范围",
|
||
"典型形式": "f(x) = 表达式，求定义域"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析函数表达式中每一项的限制条件",
|
||
"注意事项": "需要考虑所有可能使函数无意义的因素"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "列出所有限制条件：分母不为零、根号内非负、对数真数大于零等",
|
||
"注意事项": "不要遗漏任何一项的限制条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求各条件的交集，用集合或区间表示定义域",
|
||
"注意事项": "注意区间的并集与交集的正确表示"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分类讨论", "交集思想", "条件限制"],
|
||
"解题策略": "分析各部分限制条件，求交集得到定义域",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-1-01"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "遗漏分母不为零的条件",
|
||
"原因": "只考虑了其他限制条件而忽略了分母",
|
||
"正确做法": "系统地检查每一项，确保分母x+2≠0"
|
||
},
|
||
{
|
||
"错误描述": "区间表示错误",
|
||
"原因": "对开区间、闭区间的理解不准确",
|
||
"正确做法": "明确边界点是否包含，正确使用[]和()"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "3.1.1节 例2，P190-193"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-1-1-02",
|
||
"名称": "函数值域的求法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数值域问题",
|
||
"识别特征": "给定函数表达式，需要确定函数值的取值范围",
|
||
"典型形式": "f(x) = 表达式，求值域"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析函数类型，确定合适的求值域方法",
|
||
"注意事项": "不同函数类型适合不同方法"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "采用相应方法：二次函数用配方法、分式函数用判别式法、复合函数用单调性法等",
|
||
"注意事项": "方法的适用条件要明确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "结合定义域确定最终的值域",
|
||
"注意事项": "值域必须在定义域内考虑"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["函数思想", "最值思想", "分类讨论"],
|
||
"解题策略": "根据函数类型选择合适方法，结合定义域求值域",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-1-02", "K3-2-1-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-1-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略定义域对值域的影响",
|
||
"原因": "直接求值域而未考虑定义域限制",
|
||
"正确做法": "在定义域范围内求值域"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.1.1节 例1，P105-108"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-1-2-01",
|
||
"名称": "判断两个函数是否相同的方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "函数等价性问题",
|
||
"识别特征": "给定两个函数表达式，判断是否为同一函数",
|
||
"典型形式": "f(x)和g(x)是否相同？"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "求两个函数的定义域",
|
||
"注意事项": "定义域必须完全相同"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "化简函数表达式，比较对应关系",
|
||
"注意事项": "化简过程要保持等价性"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "判断：定义域相同且对应关系相同则为同一函数",
|
||
"注意事项": "与变量符号无关，只与定义域和对应关系有关"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["等价转化", "本质分析"],
|
||
"解题策略": "抓住函数本质要素：定义域和对应关系",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-1-03"],
|
||
"前置方法": ["M3-1-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-3-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "只比较表达式形式",
|
||
"原因": "忽略了定义域的重要性",
|
||
"正确做法": "必须同时检查定义域和对应关系"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "3.1.1节 例3，P211-227"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-1-2-02",
|
||
"名称": "函数的表示方法转换技巧",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "函数表示法转换问题",
|
||
"识别特征": "需要用不同方法（解析法、列表法、图象法）表示同一函数",
|
||
"典型形式": "用三种方法表示函数y=f(x)"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定函数的定义域和对应关系",
|
||
"注意事项": "这是转换的基础"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "解析法：写出函数表达式",
|
||
"注意事项": "注明定义域"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "列表法：选取典型x值，计算对应y值列成表格",
|
||
"注意事项": "选择有代表性的点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "图象法：在坐标系中描点连线",
|
||
"注意事项": "注意离散函数与连续函数的区别"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "多角度表示"],
|
||
"解题策略": "根据问题需要选择最合适的表示方法",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-2-01"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-4-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "图象法中遗漏定义域限制",
|
||
"原因": "画图时未注意函数的定义域",
|
||
"正确做法": "在定义域内准确绘制函数图象"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "3.1.2节 例4，P254-269"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-1-2-03",
|
||
"名称": "分段函数的处理方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "分段函数相关问题",
|
||
"识别特征": "函数在不同区间有不同表达式",
|
||
"典型形式": "f(x) = {表达式₁, 条件₁; 表达式₂, 条件₂}"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "明确各段的定义域和对应表达式",
|
||
"注意事项": "段与段之间不能重叠"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "求函数值时先确定x所在区间，再用相应表达式计算",
|
||
"注意事项": "端点值的处理要明确归属"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "画图象时分段绘制，注意连接点的处理",
|
||
"注意事项": "分段函数是一个函数，不是多个函数"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分类讨论", "分段处理"],
|
||
"解题策略": "按区间分类处理，注意各段的衔接",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-2-02"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-6-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "把分段函数当作多个函数处理",
|
||
"原因": "对分段函数的概念理解不清",
|
||
"正确做法": "分段函数是一个整体，只是在不同区间有不同表示"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.1.2节 例6，P289-316"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-2-1-01",
|
||
"名称": "函数单调性的定义证明法",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "证明函数单调性问题",
|
||
"识别特征": "需要用定义严格证明函数在某区间的单调性",
|
||
"典型形式": "证明f(x)在区间I上单调递增/递减"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "设x₁, x₂是区间I内任意两点，且x₁ < x₂",
|
||
"注意事项": "强调"任意"两个字"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "作差：f(x₁) - f(x₂)，并化简",
|
||
"注意事项": "化简时要充分利用x₁ < x₂的条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "判断差的符号，确定函数值的大小关系",
|
||
"注意事项": "判断过程要严谨，考虑所有可能情况"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "根据单调性定义得出结论",
|
||
"注意事项": "表述要完整准确"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["逻辑推理", "量化分析"],
|
||
"解题策略": "作差比较，利用不等式性质判断符号",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-2-0-01"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-2-1-E01", "T3-2-3-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "没有强调x₁, x₂的任意性",
|
||
"原因": "对单调性定义理解不够深入",
|
||
"正确做法": "必须强调是区间内任意两点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"错误描述": "化简不充分，无法判断符号",
|
||
"原因": "代数变形技巧不足",
|
||
"正确做法": "充分化简，提取公因式，便于符号判断"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "3.2.1节 例1，例2，例3，P597-656"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-2-1-02",
|
||
"名称": "利用函数单调性求最值的方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数最大值、最小值问题",
|
||
"识别特征": "在给定区间上求函数的最值",
|
||
"典型形式": "求f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析函数在区间上的单调性",
|
||
"注意事项": "可能需要分段讨论单调性"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "根据单调性确定最值位置",
|
||
"注意事项": "单调递增函数在右端点取最大值，在左端点取最小值"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算相应的函数值",
|
||
"注意事项": "注意闭区间和开区间的区别"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证最值的存在性",
|
||
"注意事项": "确保最大(小)值能够取到"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["最值思想", "单调性应用"],
|
||
"解题策略": "利用单调性确定最值位置，通过计算验证最值",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-2-0-01", "K3-2-1-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-2-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-2-5-E01", "T3-2-4-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略开区间端点处最值可能不存在",
|
||
"原因": "对最值定义理解不清",
|
||
"正确做法": "检查最值是否能够取到，开区间可能没有最值"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.2.1节 例4，例5，P690-728"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-2-2-01",
|
||
"名称": "函数奇偶性的判断方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断函数奇偶性问题",
|
||
"识别特征": "给定函数表达式，判断是奇函数、偶函数还是非奇非偶函数",
|
||
"典型形式": "判断f(x)的奇偶性"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "求函数定义域，判断是否关于原点对称",
|
||
"注意事项": "定义域不关于原点对称，直接判定为非奇非偶函数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算f(-x)，与f(x)和-f(x)比较",
|
||
"注意事项": "计算要准确，化简要彻底"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "根据比较结果判断：f(-x)=f(x)为偶函数，f(-x)=-f(x)为奇函数",
|
||
"注意事项": "两种情况都不满足则为非奇非偶函数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "特殊情况检查：既是奇函数又是偶函数的情况",
|
||
"注意事项": "只有f(x)=0(x∈关于原点对称的区间)时才可能"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["对称思想", "分类讨论"],
|
||
"解题策略": "先检查定义域对称性，再通过计算f(-x)判断",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-2-2-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-1-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-2-6-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略定义域对称性检查",
|
||
"原因": "对奇偶函数的必要条件理解不清",
|
||
"正确做法": "首先检查定义域是否关于原点对称"
|
||
},
|
||
{
|
||
"错误描述": "化简不彻底导致判断错误",
|
||
"原因": "代数运算不够熟练",
|
||
"正确做法": "仔细化简f(-x)，确保判断准确"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.2.2节 例6，P818-837"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-2-2-02",
|
||
"名称": "利用奇偶性简化函数研究的方法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用奇偶性研究函数性质",
|
||
"识别特征": "已知函数的奇偶性，需要研究函数的其他性质或画图",
|
||
"典型形式": "已知f(x)为奇(偶)函数，研究其性质"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定函数的奇偶性类型",
|
||
"注意事项": "明确是奇函数还是偶函数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "利用对称性：奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称",
|
||
"注意事项": "利用对称性可以简化研究"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "只需研究定义域的一部分（如x≥0），然后利用对称性得到整体性质",
|
||
"注意事项": "这样可以大大简化计算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "结合奇偶性研究单调性等其他性质",
|
||
"注意事项": "奇偶性与单调性有特殊关系"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["对称思想", "简化思维"],
|
||
"解题策略": "利用对称性将整体问题转化为局部问题",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-2-2-01", "K3-2-2-02"],
|
||
"前置方法": ["M3-2-2-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-2-7-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆奇偶函数的对称性质",
|
||
"原因": "记忆不准确",
|
||
"正确做法": "奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.2.2节 P842-846"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-3-1-01",
|
||
"名称": "幂函数性质的比较研究法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "幂函数性质比较问题",
|
||
"识别特征": "比较不同幂函数的大小关系或研究性质差异",
|
||
"典型形式": "比较x^a与x^b的大小，研究不同指数幂函数的性质"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析幂函数的指数特征",
|
||
"注意事项": "指数的奇偶性、正负、大小都影响函数性质"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "在第一象限比较函数值大小",
|
||
"注意事项": "第一象限是所有幂函数的共同定义域部分"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "利用函数图象的交点和变化趋势进行比较",
|
||
"注意事项": "注意函数在x=1处的交点和x>1时的增长速度"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "结合奇偶性讨论其他象限的情况",
|
||
"注意事项": "不同象限的性质可能不同"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["比较分析", "分类讨论", "数形结合"],
|
||
"解题策略": "先研究第一象限，再利用奇偶性推广到其他象限",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-3-0-01", "K3-3-1-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-2-1-01", "M3-2-2-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-3-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略不同幂函数定义域的差异",
|
||
"原因": "对幂函数定义域与指数关系的理解不够",
|
||
"正确做法": "根据指数确定各幂函数的定义域"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.3节 P977-1002"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-3-1-02",
|
||
"名称": "幂函数单调性的证明方法",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "证明幂函数单调性问题",
|
||
"识别特征": "证明y=x^α在某区间上的单调性",
|
||
"典型形式": "证明y=√x在[0,+∞)上单调递增"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定幂函数的定义域和要证明的单调区间",
|
||
"注意事项": "明确证明的范围"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "设x₁, x₂为区间内任意两点且x₁ < x₂",
|
||
"注意事项": "按照单调性定义的格式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算f(x₁) - f(x₂)并化简，常用有理化等方法",
|
||
"注意事项": "选择合适的化简技巧"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "利用x₁ < x₂的条件判断差的符号",
|
||
"注意事项": "判断过程要严谨"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "得出单调性结论",
|
||
"注意事项": "表述要完整"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["定义证明", "有理化技巧"],
|
||
"解题策略": "严格按定义证明，巧妙运用代数技巧",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-3-0-01", "K3-3-1-01", "K3-2-0-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-2-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-3-3-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "有理化不彻底",
|
||
"原因": "有理化技巧掌握不够熟练",
|
||
"正确做法": "分子有理化：(√a-√b)(√a+√b)=a-b"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "3.3节 例，P1002-1015"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-4-1-01",
|
||
"名称": "实际问题的函数建模方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "实际应用问题的函数建模",
|
||
"识别特征": "将实际问题转化为函数关系求解",
|
||
"典型形式": "建立某种实际问题的函数模型"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "理解实际问题，明确变量及其关系",
|
||
"注意事项": "抓住问题中的关键变量和依赖关系"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "分析变量间的数量关系，建立函数表达式",
|
||
"注意事项": "选择合适的函数类型建立模型"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定函数的定义域（考虑实际约束）",
|
||
"注意事项": "定义域要符合实际情况"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "运用函数性质求解实际问题",
|
||
"注意事项": "将数学结果转化为实际问题的答案"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "检验结果的合理性",
|
||
"注意事项": "检查是否符合实际情况"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数学建模", "实际应用", "函数思想"],
|
||
"解题策略": "实际问题数学化，函数模型求解，结果实际化",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-4-0-01", "K3-4-1-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-2-1-02", "M3-1-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-4-1-E01", "T3-4-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "定义域确定不当",
|
||
"原因": "忽略了实际条件的限制",
|
||
"正确做法": "结合实际情况确定合理的定义域"
|
||
},
|
||
{
|
||
"错误描述": "模型选择不合适",
|
||
"原因": "对问题特征分析不够",
|
||
"正确做法": "深入分析问题本质，选择最合适的函数类型"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "3.4节 例1，例2，P1068-1151"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-4-1-02",
|
||
"名称": "分段函数在实际问题中的应用方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "需要分段处理的实际问题",
|
||
"识别特征": "问题中不同条件对应不同处理方式",
|
||
"典型形式": "阶梯收费、分段计价等问题"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析实际问题，找出分段的条件",
|
||
"注意事项": "分段的依据要明确合理"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "对每一段分别建立函数关系",
|
||
"注意事项": "每段的函数关系要准确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定每段的定义域，注意端点处理",
|
||
"注意事项": "确保各段定义域不重叠且覆盖全部范围"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "写出完整的分段函数表达式",
|
||
"注意事项": "表达要清晰准确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "根据具体问题求解或分析",
|
||
"注意事项": "求解时先确定属于哪一段"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分类讨论", "分段处理", "实际应用"],
|
||
"解题策略": "按条件分类，分段建模，统一处理",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-2-02", "K3-4-0-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-1-2-03", "M3-4-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-4-1-E01", "T3-4-3-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "分段条件不明确",
|
||
"原因": "对问题分析不够细致",
|
||
"正确做法": "仔细分析题目，明确各种情况的处理方式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "3.4节 例1，习题3.4第3题，P1074-1122"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-4-1-03",
|
||
"名称": "函数图象在实际问题中的应用方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用函数图象分析实际问题",
|
||
"识别特征": "题目中给出函数图象或需要绘制图象来分析问题",
|
||
"典型形式": "根据图象分析变化趋势、求解问题"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "读懂图象信息，理解图象的实际含义",
|
||
"注意事项": "明确坐标轴的实际意义"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "分析图象的变化趋势和关键点",
|
||
"注意事项": "关注转折点、最值点等特殊位置"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "根据图象特征确定函数性质",
|
||
"注意事项": "单调性、最值等性质从图象中获取"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "利用图象信息求解具体问题",
|
||
"注意事项": "将图象信息转化为数值结果"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "必要时补充计算验证结果",
|
||
"注意事项": "图象与计算相结合"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "直观分析"],
|
||
"解题策略": "从图象获取信息，用数学方法求解问题",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-4-0-01", "K3-1-2-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-1-2-02"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-4-2-E01", "T3-1-7-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "对图象信息理解错误",
|
||
"原因": "对坐标轴意义理解不清",
|
||
"正确做法：仔细阅读题目，明确坐标轴的实际含义"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "3.4节 例2，3.1.2节 例7，P1123-1151"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-SK-01",
|
||
"名称": "复合函数定义域的求法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复合函数的定义域问题",
|
||
"识别特征": "函数由两个或多个函数复合而成，需要求定义域",
|
||
"典型形式": "已知f(g(x))，求定义域或已知f(x)定义域，求f(g(x))定义域"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析函数的复合结构，确定内外函数",
|
||
"注意事项": "明确哪一层是外层函数，哪一层是内层函数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "根据复合关系建立不等式组",
|
||
"注意事项": "既要考虑内层函数有意义，又要考虑外层函数对内层函数值的限制"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求解不等式组，得到定义域",
|
||
"注意事项": "求交集时要准确"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分层分析", "条件限制"],
|
||
"解题策略": "从内到外逐层考虑限制条件",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-1-01"],
|
||
"前置方法": ["M3-1-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "只考虑内层函数的定义域",
|
||
"原因": "忽略了外层函数对内层函数值的限制",
|
||
"正确做法": "既要使内层函数有意义，又要使外层函数对内层函数值的要求得到满足"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "3.1.1节 例2的拓展"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M3-SK-02",
|
||
"名称": "函数零点的求法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数零点问题",
|
||
"识别特征": "求使f(x)=0的x值",
|
||
"典型形式": "求函数f(x)的零点"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析函数类型，选择合适的求解方法",
|
||
"注意事项": "不同类型的函数用不同方法"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "方法选择：直接解方程、因式分解、图象法、数值逼近等",
|
||
"注意事项": "根据函数特点选择最合适的方法"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算求解过程",
|
||
"注意事项": "注意计算的准确性"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证结果的有效性",
|
||
"注意事项": "将结果代入原函数检验"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["方程思想", "数形结合"],
|
||
"解题策略": "根据函数特点选择合适方法求解f(x)=0",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K3-1-0-01"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T3-1-3-E01的拓展"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "方法选择不当",
|
||
"原因": "对函数类型分析不够",
|
||
"正确做法": "仔细分析函数特点，选择最适合的求解方法"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "方程与函数关系的相关内容"
|
||
}
|
||
]
|
||
} |