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24 KiB
JSON
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JSON
{
|
||
"method_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "M6-1-1-01",
|
||
"名称": "向量概念识别法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断量是否为向量",
|
||
"识别特征": "题目要求判断一个量是否为向量",
|
||
"典型形式": "下列量中哪些是向量？"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析量的属性：判断是否同时具有大小和方向两个要素",
|
||
"注意事项": "只有大小没有方向的量是数量（标量），如年龄、身高、温度等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "检查方向性：看该量是否有明确的指向",
|
||
"注意事项": "力、位移、速度、加速度等都是向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "给出判断结论",
|
||
"注意事项": "必须同时满足大小和方向两个条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分类思想", "概念辨析"],
|
||
"解题策略": "抓住向量的两个基本要素：大小和方向，进行判断分析",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-1-1-01"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-1-1-EX1", "T6-1-1-EX3"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "将有标度但没有方向的量误认为向量",
|
||
"原因": "混淆了数量和向量的概念",
|
||
"正确做法": "重点检查是否具有方向性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 1,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P9"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-1-1-02",
|
||
"名称": "向量相等与共线判断法",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断向量相等或共线关系",
|
||
"识别特征": "题目中涉及向量相等、平行、共线等关系的判断",
|
||
"典型形式": "判断图中相等向量、共线向量"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定向量特征：找出每个向量的起点和终点",
|
||
"注意事项": "向量可以用有向线段表示，要注意箭头方向"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "判断相等向量：检查长度是否相等且方向是否相同",
|
||
"注意事项": "相等向量与起点位置无关"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "判断共线向量：检查是否方向相同或相反",
|
||
"注意事项": "规定零向量与任意向量平行"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证结论：通过平移验证向量关系",
|
||
"注意事项": "平行向量可以通过平移移到同一直线上"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "几何直观"],
|
||
"解题策略": "通过几何图形直观分析，结合向量定义进行判断",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-1-1-07", "K6-1-1-08", "K6-1-1-09"],
|
||
"前置方法": ["M6-1-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-1-1-EX2", "T6-1-1-EX4"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆平行向量与相等向量的概念",
|
||
"原因": "忽视了长度相等的条件",
|
||
"正确做法": "相等向量必须长度相等且方向相同"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P11"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-1-01",
|
||
"名称": "向量加法作图法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求作两个向量的和",
|
||
"识别特征": "题目要求用图形方法求向量a+b",
|
||
"典型形式": "已知向量a,b，求作向量a+b"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "选择作图方法：根据题目条件选择三角形法则或平行四边形法则",
|
||
"注意事项": "三角形法则适用于任意两个向量，平行四边形法则适用于同起点向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "三角形法则：作向量a，再以a的终点为起点作向量b，连接a的起点和b的终点",
|
||
"注意事项": "确保首尾相接，和向量从第一个向量的起点指向第二个向量的终点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "平行四边形法则：以同一点为起点作a,b，构成平行四边形，作对角线",
|
||
"注意事项": "对角线从公共起点出发"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证结果：检查所作向量是否正确",
|
||
"注意事项": "可以用另一种方法验证结果"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "几何直观"],
|
||
"解题策略": "灵活运用三角形法则和平行四边形法则，通过几何作图求解",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-1-02", "K6-2-1-03"],
|
||
"前置方法": ["M6-1-1-02"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-1-EX1", "T6-2-1-EX3"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "三角形法则中向量的首尾没有正确连接",
|
||
"原因": "没有理解首尾相接的原则",
|
||
"正确做法": "第一个向量的终点必须是第二个向量的起点"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P15"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-2-01",
|
||
"名称": "向量减法几何作图法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求作两个向量的差",
|
||
"识别特征": "题目要求用图形方法求向量a-b",
|
||
"典型形式": "已知向量a,b，求作向量a-b"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "平移向量：将向量a和b平移到同一起点",
|
||
"注意事项": "必须保证两个向量有共同的起点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "连接终点：从向量b的终点指向向量a的终点作向量",
|
||
"注意事项": "方向不能搞反，a-b是从b的终点指向a的终点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "标注结果：所得向量即为a-b",
|
||
"注意事项": "可以通过a+(-b)验证结果"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "转化思想"],
|
||
"解题策略": "将减法转化为几何作图，利用终点的相对位置确定差向量",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-2-01", "K6-2-2-02", "K6-2-2-03"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-2-EX1", "T6-2-2-EX3"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "搞反了差向量的方向",
|
||
"原因": "混淆了a-b和b-a的几何意义",
|
||
"正确做法": "a-b是从b的终点指向a的终点，b-a是从a的终点指向b的终点"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P19"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-3-01",
|
||
"名称": "向量线性运算化简法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "向量表达式的化简计算",
|
||
"识别特征": "题目中包含向量的加减数乘运算",
|
||
"典型形式": "化简表达式λ₁a±λ₂b±..."
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "去括号：根据分配律去掉括号",
|
||
"注意事项": "注意符号的变化，特别是负号的处理"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "合并同类项：将相同向量的系数相加",
|
||
"注意事项": "只能合并相同的向量，不能合并不同向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "系数计算：计算各项的最终系数",
|
||
"注意事项": "系数可以是正数、负数或零"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "写出结果：用最简形式表示",
|
||
"注意事项": "如果系数为0，该项可以省略"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["化归思想", "运算技巧"],
|
||
"解题策略": "类比多项式的运算，运用向量运算律进行化简",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-1-04", "K6-2-3-02"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-1-01", "M6-2-2-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-3-EX1", "T6-2-3-EX5"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "运算律应用错误，特别是分配律的使用",
|
||
"原因": "混淆了向量运算与实数运算的区别",
|
||
"正确做法": "严格按照向量运算律进行计算"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P21"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-3-02",
|
||
"名称": "向量共线参数求解法",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断向量共线或求共线条件中的参数",
|
||
"识别特征": "题目涉及向量共线条件，需要求解参数",
|
||
"典型形式": "已知向量共线，求参数值"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "设参数：设一个向量为另一个向量的λ倍",
|
||
"注意事项": "要确保一个向量非零，否则不能作为基准向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "建立方程：根据向量相等建立关于λ的方程",
|
||
"注意事项": "如果涉及两个不共线向量，需要系数分别为零"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述号": 3,
|
||
"步骤描述": "求解参数：解方程求出λ的值",
|
||
"注意事项": "注意方程的约束条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证结果：检查解是否满足条件",
|
||
"注意事项": "排除使向量为零的无效解"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["方程思想", "化归思想"],
|
||
"解题策略": "利用向量共线的充要条件，通过建立方程求解参数",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-3-03"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-3-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-3-EX6", "T6-2-3-EX8"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽视向量非零的条件",
|
||
"原因": "没有注意到共线充要条件中要求基准向量非零",
|
||
"正确做法": "确保作为基准的向量不为零向量"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P23"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-4-01",
|
||
"名称": "三点共线向量证明法",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "证明三点共线",
|
||
"识别特征": "题目要求证明A,B,C三点共线",
|
||
"典型形式": "证明A,B,C三点在同一直线上"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "构造向量：构造以同一点为起点的两个向量",
|
||
"注意事项": "通常选择其中一个点为公共起点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "表示向量：用已知条件表示这些向量",
|
||
"注意事项": "运用向量的加减和数乘运算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "建立关系：证明一个向量是另一个的λ倍",
|
||
"注意事项": "λ不能为零"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "得出结论：根据共线充要条件证明三点共线",
|
||
"注意事项": "要说明λ≠0，确保三点不重合"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "化归思想"],
|
||
"解题策略": "将几何问题转化为向量问题，利用向量共线条件证明",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-3-03"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-3-01", "M6-2-3-02"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-3-EX7"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "向量表示错误，导致无法建立正确的关系",
|
||
"原因": "对向量运算不熟练",
|
||
"正确做法": "熟练掌握向量的加减和数乘运算"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P23"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-4-02",
|
||
"名称": "数量积计算技巧法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "向量数量积的计算",
|
||
"识别特征": "题目要求计算a·b或相关表达式",
|
||
"典型形式": "已知|a|,|b|及夹角，求a·b"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定公式：根据已知条件选择合适的计算公式",
|
||
"注意事项": "基本公式是a·b=|a||b|cosθ"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "确定参数：找出向量的模和夹角",
|
||
"注意事项": "夹角范围是[0,π]"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "代入计算：将已知值代入公式计算",
|
||
"注意事项": "注意三角函数值的正负"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "运用性质：利用数量积性质简化计算",
|
||
"注意事项": "如a·a=|a|²，a⊥b⇔a·b=0等"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["公式化思想", "分类讨论"],
|
||
"解题策略": "熟练运用数量积定义和性质，选择最优计算方法",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-4-03", "K6-2-4-04"],
|
||
"前置方法": [],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-4-EX1", "T6-2-4-EX3"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆了数量积与向量乘法",
|
||
"原因": "对数量积的定义理解不清",
|
||
"正确做法": "记住数量积结果是数量，不是向量"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P26"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-4-03",
|
||
"名称": "向量垂直判断法",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "证明向量垂直或求垂直条件",
|
||
"识别特征": "题目涉及向量垂直关系的证明或判断",
|
||
"典型形式": "证明a⊥b或求a⊥b的条件"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "选择方法：根据题目条件选择判断方法",
|
||
"注意事项": "主要方法是数量积为零法"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算数量积：计算a·b的值",
|
||
"注意事项": "运用数量积的运算律"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "判断结果：检查数量积是否为零",
|
||
"注意事项": "a·b=0⇔a⊥b（至少一个向量非零）"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "得出结论：根据数量积的值得出垂直结论",
|
||
"注意事项": "排除零向量的特殊情况"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["等价转化", "逻辑推理"],
|
||
"解题策略": "利用向量垂直的充要条件，通过计算数量积进行判断",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-4-02", "K6-2-4-04"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-4-02"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-4-EX2", "T6-2-4-EX4"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽视零向量的特殊情况",
|
||
"原因": "零向量与任何向量垂直，但数量积也为零",
|
||
"正确做法": "明确说明至少一个向量非零的条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P26"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-2-4-04",
|
||
"名称": "向量投影分析法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "向量投影的计算或几何应用",
|
||
"识别特征": "题目涉及向量在另一向量上的投影",
|
||
"典型形式": "求向量a在向量b上的投影"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定投影对象：明确哪个向量在哪个向量上投影",
|
||
"注意事项": "投影向量与被投影向量共线"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算投影长度：用|a|cosθ计算投影长度",
|
||
"注意事项": "cosθ的符号决定投影方向"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定投影方向：根据cosθ的符号确定方向",
|
||
"注意事项": "cosθ>0时同向，cosθ<0时反向"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "表示投影向量：用单位向量表示投影向量",
|
||
"注意事项": "投影向量=|a|cosθ·e（e为与b同向的单位向量）"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "几何直观"],
|
||
"解题策略": "利用投影的几何意义，通过三角函数计算投影长度和方向",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-4-01", "K6-2-4-06"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-4-02"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-4-EX5"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆投影长度与投影向量",
|
||
"原因": "对投影概念理解不清",
|
||
"正确做法": "投影长度是数量，投影向量是向量"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P25"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-3-1-01",
|
||
"名称": "平行四边形对角线向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "平行四边形中向量的表示和计算",
|
||
"识别特征": "题目涉及平行四边形，需要用向量表示对角线或边",
|
||
"典型形式": "用已知向量表示平行四边形中的其他向量"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "建立基准：选择相邻两边作为基准向量",
|
||
"注意事项": "通常选择以同一顶点为起点的两条边"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "表示对角线：用基准向量表示对角线",
|
||
"注意事项": "对角线等于两邻边向量的和或差"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "表示其他向量：用基准向量表示其他需要的向量",
|
||
"注意事项": "运用向量的加减运算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "化简结果：将结果化简为最简形式",
|
||
"注意事项": "合并同类项，简化表达式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "化归思想"],
|
||
"解题策略": "利用平行四边形的性质，将几何关系转化为向量运算",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-1-03", "K6-2-2-03"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-1-01", "M6-2-2-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-2-EX4", "T6-2-3-EX6"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "向量方向搞反，导致符号错误",
|
||
"原因": "对向量的方向性理解不足",
|
||
"正确做法": "仔细检查每个向量的起点和终点"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P19"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-3-2-01",
|
||
"名称": "三角形中线向量法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "三角形中线的向量表示",
|
||
"识别特征": "题目涉及三角形的中线，需要用向量表示",
|
||
"典型形式": "用三角形边向量表示中线向量"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定中点：找到中线的起点和中点",
|
||
"注意事项": "中线连接顶点和对边中点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "表示中点向量：用边向量表示中点位置",
|
||
"注意事项": "中点向量等于两边向量的平均值"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "表示中线：用边向量表示中线向量",
|
||
"注意事项": "中线向量=中点向量-顶点向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "化简表达式：将结果化简",
|
||
"注意事项": "运用向量运算律进行化简"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合", "化归思想"],
|
||
"解题策略": "利用中点的向量性质，将中线表示为边向量的线性组合",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-3-01", "K6-2-3-02"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-3-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-3-EX7"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "中点向量表示错误",
|
||
"原因": "对中点的向量性质理解不清",
|
||
"正确做法": "中点向量等于两端点向量的平均值"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P22"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-4-1-01",
|
||
"名称": "向量模长计算法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "向量长度的计算",
|
||
"识别特征": "题目要求计算向量的模长|a|",
|
||
"典型形式": "已知向量坐标或数量积，求向量长度"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "选择方法：根据已知条件选择计算方法",
|
||
"注意事项": "主要方法是利用数量积a·a=|a|²"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算数量积：计算向量与自身的数量积",
|
||
"注意事项": "a·a = |a|²"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "开方求模：对数量积结果开平方根",
|
||
"注意事项": "向量长度是非负数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证结果：检查计算过程是否正确",
|
||
"注意事项": "可以通过其他方法验证结果"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["等价转化", "公式化思想"],
|
||
"解题策略": "利用数量积与模长的关系，将长度计算转化为数量积计算",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-1-1-04", "K6-2-4-04"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-4-02"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-4-EX6"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忘记开平方根",
|
||
"原因": "混淆了|a|和|a|²",
|
||
"正确做法": "记住a·a=|a|²，需要开方得到|a|"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P27"
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "M6-4-2-01",
|
||
"名称": "向量夹角计算法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "向量夹角的计算",
|
||
"识别特征": "题目要求计算两个向量的夹角",
|
||
"典型形式": "已知向量长度和数量积，求夹角"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "计算数量积：求出两个向量的数量积a·b",
|
||
"注意事项": "运用数量积的运算律"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算模长：求出两个向量的模长|a|和|b|",
|
||
"注意事项": "用数量积方法计算模长"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求余弦值：用公式cosθ = (a·b)/(|a||b|)",
|
||
"注意事项": "注意分母不为零"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "求夹角：用反余弦函数求出夹角",
|
||
"注意事项": "夹角范围是[0,π]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["三角函数思想", "公式化思想"],
|
||
"解题策略": "利用数量积与夹角的关系，通过反三角函数计算夹角",
|
||
|
||
"支撑知识点": ["K6-2-4-01", "K6-2-4-03"],
|
||
"前置方法": ["M6-2-4-02", "M6-4-1-01"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T6-2-4-EX7"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "夹角范围搞错",
|
||
"原因": "忘记了向量夹角的定义范围",
|
||
"正确做法": "记住向量夹角范围是[0,π]"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 P26"
|
||
}
|
||
]
|
||
} |