464 lines
17 KiB
JSON
464 lines
17 KiB
JSON
{
|
||
"章节信息": {
|
||
"章": "第五章",
|
||
"节": "5.1 导数的概念及其意义",
|
||
"小节": "5.1.1 变化率问题，5.1.2 导数的概念及其几何意义，5.2.1 基本初等函数的导数，5.2.2 导数的四则运算法则，5.2.3 简单复合函数的导数，5.3.1 函数的单调性，5.3.2 函数的极值与最大(小)值",
|
||
"页码范围": "64-114"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平均变化率",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "对于函数$y=f(x)$，设自变量$x$从$x_0$变化到$x_0+\Delta x$，函数值$y$从$f(x_0)$变化到$f(x_0+\Delta x)$，比值$\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=\\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x}$称为函数$y=f(x)$从$x_0$到$x_0+\\Delta x$的平均变化率",
|
||
"几何意义": "表示割线的斜率"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "平均变化率描述了函数在某区间内的平均变化快慢程度，是理解瞬时变化率的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"反映区间的整体变化趋势",
|
||
"是瞬时变化率的近似",
|
||
"通过割线斜率直观理解"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解导数概念的桥梁",
|
||
"特殊说明": "区间长度越小，平均变化率越接近瞬时变化率"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["函数概念", "坐标几何", "斜率概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-1-1-02 导数的概念", "K5-1-1-03 瞬时变化率"],
|
||
"相关方法": ["极限思想", "逼近方法"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.1.1节 P64-69"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["平均变化率计算", "几何理解", "导数概念理解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "导数的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果当$\\Delta x \\to 0$时，平均变化率$\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$无限趋近于一个确定的值，即$\\frac{\\Delta y}{\\Delta x}$有极限，则称$y=f(x)$在$x=x_0$处可导，并把这个确定的值叫做$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$或$y'|_{x=x_0}$",
|
||
"公式": "$f'(x_0) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x} = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x_0+\\Delta x)-f(x_0)}{\\Delta x}$",
|
||
"物理意义": "瞬时变化率"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "导数精确刻画了函数在某一点的瞬时变化快慢，是微积分的核心概念",
|
||
"核心特征": [
|
||
"局部性质",
|
||
"瞬时性",
|
||
"唯一确定（可导时）"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "精确描述函数变化的基础",
|
||
"特殊说明": "导数存在时函数在该点连续"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01 平均变化率", "极限概念", "函数连续性"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-1-1-03 导数的几何意义"],
|
||
"相关方法": ["极限计算", "瞬时速度计算", "切线斜率"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.1.2节 P70-77"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["导数定义理解", "导数计算", "瞬时速度计算"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "导数的几何意义",
|
||
"类型": "概念/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定理": "函数$y=f(x)$在$x=x_0$处的导数$f'(x_0)$就是曲线$y=f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率",
|
||
"切线定义": "当点$P$沿着曲线无限趋近于点$P_0$时，割线$P_0P$无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线$P_0T$称为曲线在点$P_0$处的切线"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "通过几何直观理解导数的意义，以直代曲的思想",
|
||
"核心特征": [
|
||
"局部线性近似",
|
||
"切线最贴近局部曲线",
|
||
"斜率等于导数"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解导数几何意义的关键",
|
||
"特殊说明": "切线比任何割线都更贴近该点附近的曲线"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-02 导数的概念", "切线概念", "斜率"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["切线方程求解", "函数图像分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.1.2节 P72-79"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["几何意义理解", "切线方程求解", "图像分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "导函数",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "当$x$变化时，$y=f'(x)$就是$x$的函数，我们称它为$y=f(x)$的导函数（简称导数）",
|
||
"记号": "$f'(x)=y'=\\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "导函数描述了函数在任意点的导数值，反映了函数的整体变化规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"函数到函数的映射",
|
||
"连续点上的导数值",
|
||
"可导区间内的连续性"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究函数整体性质的基础",
|
||
"特殊说明": "导函数的定义域是原函数的可导点集合"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-02 导数的概念", "函数概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["导函数计算", "函数性质研究"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.1.2节 P77"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["导函数理解", "导函数计算", "函数性质分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "基本初等函数的导数",
|
||
"类型": "公式/方法",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"常数函数": "若$f(x)=c$（$c$为常数），则$f'(x)=0$",
|
||
"幂函数": "若$f(x)=x^\\alpha$（$\\alpha \\in \\mathbf{R}$，且$\\alpha \\neq 0$），则$f'(x)=\\alpha x^{\\alpha-1}$",
|
||
"正弦函数": "若$f(x)=\\sin x$，则$f'(x)=\\cos x$",
|
||
"余弦函数": "若$f(x)=\\cos x$，则$f'(x)=-\\sin x$",
|
||
"指数函数": "若$f(x)=a^x$（$a>0$，且$a \\neq 1$），则$f'(x)=a^x \\ln a$；特别地，若$f(x)=e^x$，则$f'(x)=e^x$",
|
||
"对数函数": "若$f(x)=\\log_a x$（$a>0$，且$a \\neq 1$），则$f'(x)=\\frac{1}{x \\ln a}$；特别地，若$f(x)=\\ln x$，则$f'(x)=\\frac{1}{x}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要这些公式": "基本初等函数是构造复杂函数的基础，掌握它们的导数公式是求导运算的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"公式化简捷",
|
||
"覆盖基本函数类型",
|
||
"便于直接应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "求导运算的基础工具",
|
||
"特殊说明": "在函数的定义域内适用"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-02 导数的概念", "极限运算", "基本初等函数"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["导数运算", "复合函数求导"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.2.1节 P77-86"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["导数公式记忆", "导数计算", "复合函数求导"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "导数的四则运算法则",
|
||
"类型": "定理/法则",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"和差法则": "$[f(x) \\pm g(x)]' = f'(x) \\pm g'(x)$",
|
||
"积的法则": "$[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$",
|
||
"商的法则": "$\\left[\\frac{f(x)}{g(x)}\\right]' = \\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$（$g(x) \\neq 0$）",
|
||
"常数倍法则": "$[cf(x)]' = cf'(x)$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要这些法则": "复杂函数通常由基本初等函数通过四则运算得到，需要相应的求导法则",
|
||
"核心特征": [
|
||
"运算的可分配性",
|
||
"法则的普遍适用性",
|
||
"简化求导过程"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理复杂函数求导的基础",
|
||
"特殊说明": "商的法则要求分母不为零"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01 基本初等函数的导数", "代数运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["复杂函数求导", "化简运算"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.2.2节 P86-92"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["四则运算法则应用", "复杂函数求导", "计算技巧"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-3-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "复合函数的导数",
|
||
"类型": "定理/方法",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"复合函数定义": "对于两个函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，如果通过中间变量$u$，$y$可以表示成$x$的函数，那么称这个函数为函数$y=f(u)$和$u=g(x)$的复合函数，记作$y=f(g(x))$",
|
||
"求导法则": "$y'_x = y'_u \\cdot u'_x$，即$y$对$x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要这个法则": "很多函数是由基本初等函数复合而成，需要专门的求导方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"链式法则",
|
||
"逐层求导",
|
||
"中间变量的引入"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理复杂函数求导的关键",
|
||
"特殊说明": "需要注意中间变量的定义域"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01 基本初等函数的导数", "K5-2-2-01 导数的四则运算法则", "函数复合"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["链式求导", "复杂函数分解"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.2.3节 P92-99"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["复合函数求导", "链式法则应用", "中间变量识别"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的单调性与导数的关系",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"单调递增判别法": "在某个区间$(a, b)$内，如果$f'(x)>0$，那么函数$y=f(x)$在区间$(a, b)$内单调递增",
|
||
"单调递减判别法": "在某个区间$(a, b)$内，如果$f'(x)<0$，那么函数$y=f(x)$在区间$(a, b)$内单调递减",
|
||
"特殊情况": "如果在某个区间上恒有$f'(x)=0$，那么函数$f(x)$在这个区间上为常数函数"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样判别": "导数的正负反映了函数值的变化趋势，提供了判断函数单调性的代数方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"代数判别替代图像观察",
|
||
"精确的定量判断",
|
||
"适用于复杂函数"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究函数性质的重要工具",
|
||
"特殊说明": "要求函数在该区间内可导"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["导数的概念", "函数单调性概念", "不等式"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-3-1-02 利用导数判断函数单调性"],
|
||
"相关方法": ["极值点寻找", "函数图像分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.3.1节 P89-99"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["单调性判断", "单调区间求解", "函数性质分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的极值",
|
||
"类型": "概念/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"极值点定义": "函数在某一点附近取得最大值或最小值的点称为极值点",
|
||
"极值定义": "极值点对应的函数值称为极值，包括极大值和极小值",
|
||
"必要条件": "如果$f(x)$在$x=x_0$处可导且取极值，则$f'(x_0)=0$",
|
||
"第一充分条件": "如果在$x_0$附近的左侧$f'(x)>0$，右侧$f'(x)<0$，那么$f(x_0)$是极大值；如果在$x_0$附近的左侧$f'(x)<0$，右侧$f'(x)>0$，那么$f(x_0)$是极小值"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "极值反映了函数的局部性质，是研究函数整体性质的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"局部性质而非全局性质",
|
||
"导数为零的必要条件",
|
||
"需要进一步验证充分条件"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "寻找函数最值的重要步骤",
|
||
"特殊说明": "导数为0的点不一定是极值点"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-01 函数的单调性与导数的关系", "函数极值概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-3-2-02 函数的最大值与最小值"],
|
||
"相关方法": ["极值点求解", "最值优化"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.3.2节 P94-106"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["极值点求解", "极值判断", "最值应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的最大值与最小值",
|
||
"类型": "方法/步骤",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"求解步骤": "1. 求函数$y=f(x)$在区间$(a, b)$内的极值；2. 将函数的各极值与端点处的函数值$f(a), f(b)$比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样求解": "连续函数在闭区间上必有最大值和最小值，通过比较所有候选值可以确定最值",
|
||
"核心特征": [
|
||
"全局性质",
|
||
"比较法的应用",
|
||
"闭区间连续性条件"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "解决实际优化问题的关键",
|
||
"特殊说明": "需要检查函数在区间端点和极值点的函数值"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-3-2-01 函数的极值", "闭区间上连续函数的性质"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["优化问题建模", "实际应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.3.2节 P106-114"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["最值求解", "优化问题", "实际应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "瞬时速度",
|
||
"类型": "概念/应用",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "物体在某一时刻的速度称为瞬时速度",
|
||
"计算方法": "瞬时速度就是位移函数在该时刻的导数",
|
||
"物理意义": "精确描述物体在某一时刻的运动快慢程度"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么引入这个概念": "平均速度无法精确描述瞬时运动状态，需要更精确的描述方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"瞬时性",
|
||
"精确性",
|
||
"导数的物理应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "物理学中描述运动的基础概念",
|
||
"特殊说明": "瞬时速度的大小和方向都在变化"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-02 导数的概念", "物理运动学基础"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["运动学问题", "导数物理应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.1.1节 P60-69"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["瞬时速度计算", "物理应用", "导数理解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "切线的斜率",
|
||
"类型": "概念/应用",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"关系": "曲线在某点处切线的斜率等于函数在该点的导数",
|
||
"几何意义": "切线斜率反映了曲线在该点处的陡峭程度"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样理解": "通过切线斜率的几何直观，可以更好地理解导数的几何意义",
|
||
"核心特征": [
|
||
"局部线性近似",
|
||
"几何直观性",
|
||
"变化率的可视化"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解导数几何意义的重要途径",
|
||
"特殊说明": "切线比任何割线都更贴近该点附近的曲线"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-03 导数的几何意义", "切线概念", "斜率"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["切线方程求解", "函数图像分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第5章5.1.2节 P67-73"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["切线斜率计算", "切线方程求解", "几何应用"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |