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20 KiB
JSON
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JSON
{
|
||
"章节信息": {
|
||
"章": "第四章",
|
||
"节": "4.1 数列的概念",
|
||
"小节": "4.1.1 数列的概念，4.1.2 等差数列的概念，4.1.3 等比数列的概念，4.1.4 数学归纳法",
|
||
"页码范围": "7-63"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K4-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "数列的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项",
|
||
"首项": "第1项称为首项，用$a_1$表示",
|
||
"一般形式": "$a_1, a_2, \\dots, a_n, \\dots$，简记为$\\{a_n\\}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "数列是描述有序数据的重要数学工具，反映了离散函数的特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"具有确定顺序",
|
||
"每一项都有确定位置",
|
||
"不能交换位置"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究离散变化规律的基础",
|
||
"特殊说明": "项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["函数概念", "有序排列"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-1-1-02 数列的表示方法", "K4-1-1-03 数列的分类"],
|
||
"相关方法": ["表格表示", "图象表示", "代数分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.1节 P7-8"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "表示方法选择", "数列识别"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "数列的表示方法",
|
||
"类型": "方法/表示",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"表格表示": "将序号和对应的项列成表格",
|
||
"图象表示": "在坐标系中描出点$(n,a_n)$",
|
||
"通项公式": "第$n$项$a_n$与序号$n$的对应关系式",
|
||
"递推公式": "相邻项之间的关系式"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要多种表示": "不同的表示方法适合不同的分析需求",
|
||
"核心特征": [
|
||
"表格：直观明了，便于数据管理",
|
||
"图象：直观形象，便于观察规律",
|
||
"通项公式：便于计算和推导",
|
||
"递推公式：便于递推计算"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "数列研究的必备工具",
|
||
"特殊说明": "不同问题选择最适合的表示方法"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["数据分析", "规律发现", "问题建模"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.1节 P7-8"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["表示方法选择", "数据分析", "规律探索"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "数列的分类",
|
||
"类型": "概念/分类",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"递增数列": "从第2项起，每一项都大于前一项的数列",
|
||
"递减数列": "从第2项起，每一项都小于前一项的数列",
|
||
"常数列": "各项都相等的数列"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要分类": "不同类型数列有不同的变化特征和规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"递增数列：项数单调递增",
|
||
"递减数列：项数单调递减",
|
||
"常数列：项数恒定不变"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究数列变化规律的需要",
|
||
"特殊说明": "可以通过相邻项的大小关系判断数列类型"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["单调性判断", "趋势分析", "变化规律研究"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.1节 P9"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["单调性判断", "趋势分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "数列的通项公式",
|
||
"类型": "公式/概念",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "第$n$项$a_n$与序号$n$之间的对应关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做这个数列的通项公式",
|
||
"作用": "根据通项公式可以写出数列的各项",
|
||
"类型": "数列解析式"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要通项公式": "通项公式是数列的代数表示，便于计算和分析",
|
||
"核心特征": [
|
||
"唯一性：一个数列只有一个通项公式",
|
||
"普遍性：通项公式适用于所有项",
|
||
"计算效率：避免逐项计算"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "定量研究数列性质的基础",
|
||
"特殊说明": "不同数列可能需要不同的通项公式形式"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念", "函数概念", "代数式运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["公式推导", "性质研究", "数值计算"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.1节 P9"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["通项公式求解", "公式推导", "代数运算"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-1-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "数列的递推公式",
|
||
"类型": "公式/方法",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示的式子",
|
||
"作用": "已知首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要递推公式": "递推公式反映了数列的内在联系和变化规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"反映相邻项间的关系",
|
||
"便于递推计算",
|
||
"体现数列的生成规律"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "已知递推关系时求通项公式",
|
||
"特殊说明": "递推公式不唯一"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念", "代数关系"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["递推计算", "通项公式推导", "规律探索"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.1节 P10-11"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["递推公式建立", "递推计算", "通项公式推导"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-1-1-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "数列的前n项和",
|
||
"类型": "概念/公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "数列$\{a_n\}$从第1项起到第$n$项止的各项之和，称为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，记作$S_n$，即$S_n=a_1+a_2+\\dots+a_n$",
|
||
"和公式": "如果$S_n$与序号$n$之间的对应关系可以用一个式子来表示，这个式子叫做数列的前$n$项和公式"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要前n项和公式": "前n项和是数列累积效应的定量描述",
|
||
"核心特征": [
|
||
"反映累积效应",
|
||
"便于总量计算",
|
||
"在物理和工程中有广泛应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "数列求和的基本问题",
|
||
"特殊说明": "前n项和公式与通项公式有密切关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念", "求和运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-1-1-05 数列的递推公式"],
|
||
"相关方法": ["求和计算", "总量分析", "应用建模"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.1节 P11-12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["前n项和计算", "通项公式与和公式的关系", "应用建模"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "等差数列的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列",
|
||
"公差": "这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母$d$表示"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "等差数列描述了等差变化的规律，是自然界和社会中常见的现象",
|
||
"核心特征": [
|
||
"等差变化",
|
||
"公差恒定",
|
||
"线性关系"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究线性变化规律的需要",
|
||
"特殊说明": "公差可以是正数、负数或零"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念", "减法运算", "常数"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-2-1-02 等差数列的通项公式", "K4-2-2-01 等差数列的前n项和公式"],
|
||
"相关方法": ["线性关系分析", "平均数计算", "等差中项"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.2.1节 P17-18"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["等差数列判断", "公差计算", "性质应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "等差数列的通项公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "$a_n = a_1 + (n-1)d \\quad (n \\ge 1)$",
|
||
"参数": "$a_1$为首项，$d$为公差"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "利用等差数列的定义和代数推导得到",
|
||
"核心特征": [
|
||
"线性关系",
|
||
"参数确定唯一确定等差数列",
|
||
"便于计算任意项"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "定量研究等差数列性质的基础",
|
||
"特殊说明": "适用于所有等差数列"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-2-1-01 等差数列的概念", "代数运算", "代数式推导"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-2-2-01 等差数列的前n项和公式"],
|
||
"相关方法": ["通项计算", "性质分析", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.2.1节 P18-19"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["通项公式计算", "参数求解", "性质应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-2-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "等差数列的前n项和公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式1": "$S_n = \\frac{n(a_1+a_n)}{2}$",
|
||
"公式2": "$S_n = na_1 + \\frac{n(n-1)}{2}d$",
|
||
"适用条件": "$q \\neq 1$时使用公式1，$q=1$时$S_n = na_1$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "利用等差数列的性质通过倒序相加法推导",
|
||
"核心特征": [
|
||
"倒序相加法的巧妙",
|
||
"平均数性质",
|
||
"两种公式的互补性"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "数列求和的基础",
|
||
"特殊说明": "公式1适用于已知首末项，公式2适用于已知首项和公差"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-2-1-01 等差数列的概念", "K4-2-1-02 等差数列的通项公式", "代数化简"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["求和计算", "性质分析", "实际应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.2.2节 P23-27"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["前n项和计算", "参数求解", "公式选择"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "等比数列的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列",
|
||
"公比": "这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母$q$表示（$q \\neq 0$）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "等比数列描述了等比增长的规律，常见于自然界的指数增长现象",
|
||
"核心特征": [
|
||
"等比变化",
|
||
"指数增长/衰减",
|
||
"恒定的比率关系"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究指数增长/衰减过程",
|
||
"特殊说明": "公比不能为0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01 数列的概念", "除法运算", "常数比值"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-3-1-02 等比数列的通项公式", "K4-3-2-01 等比数列的前n项和公式"],
|
||
"相关方法": ["增长率分析", "复利计算", "指数模型建立"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.3.1节 P32-33"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["等比数列判断", "公比计算", "增长趋势分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-3-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "等比数列的通项公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "$a_n = a_1 q^{n-1} \\quad (n \\ge 1)",
|
||
"参数": "$a_1$为首项，$q$为公比"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "利用等比数列的定义和代数推导得到",
|
||
"核心特征": [
|
||
"指数形式",
|
||
"参数唯一确定等比数列",
|
||
"适用于无限项数列"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "定量研究等比数列性质的基础",
|
||
"特殊说明": "适用于所有等比数列"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-3-1-01 等比数列的概念", "指数运算", "代数推导"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-3-2-01 等比数列的前n项和公式"],
|
||
"相关方法": ["指数计算", "增长率计算", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.3.1节 P34"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["通项公式计算", "增长率计算", "指数应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-3-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "等比数列的前n项和公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式1": "$S_n = \\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \\quad (q \\neq 1)$",
|
||
"公式2": "$S_n = \\frac{a_1 - a_n q}{1-q} \\quad (q \\neq 1)$",
|
||
"特殊情况": "$q=1$时，$S_n = na_1$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "利用错位相减法巧妙推导",
|
||
"核心特征": [
|
||
"错位相减法",
|
||
"指数增长/衰减的求和",
|
||
"两种公式的互补性"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "等比数列求和的基础",
|
||
"特殊说明": "$q=1$时$S_n = na_1$"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-3-1-02 等比数列的通项公式", "代数化简"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["求和计算", "增长率分析", "实际应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.3.2节 P39-41"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["前n项和计算", "增长率分析", "模型应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K4-4-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "数学归纳法的基本原理",
|
||
"类型": "概念/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"基本步骤": "1. 归纳奠基(证明$n=n_0$时命题成立)；2. 归纳递推(假设$n=k$时命题成立，证明$n=k+1$时命题也成立)",
|
||
"结论": "命题对从$n_0$开始的所有正整数$n$都成立"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么需要两步缺一不可": "第一步保证基础成立，第二步保证递推关系成立",
|
||
"核心特征": [
|
||
"有限步证明无限命题",
|
||
"递推关系保证连续性",
|
||
"避免无限验证"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "证明与正整数有关的命题",
|
||
"特殊说明": "适用于所有正整数，证明过程必须是数学严格的"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["逻辑推理", "代数运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K4-4-1-02 数学归纳法的应用", "K4-4-1-03 数学归纳法的简单应用"],
|
||
"相关方法": ["数学证明", "规律验证", "性质证明"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.4节 P49-52"
|
||
},
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"重要程度": "核心",
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||
"考查方式": ["归纳法应用", "证明书写", "逻辑推理"]
|
||
},
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|
||
{
|
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"编号": "K4-4-1-02",
|
||
"层次": "三级",
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"名称": "数学归纳法的简单应用",
|
||
"类型": "方法/技巧",
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||
|
||
"核心内容": {
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||
"等差数列通项公式证明": "用数学归纳法证明等差数列通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$",
|
||
"等比数列通项公式证明": "用数学归纳法证明等比数列通项公式$a_n=a_1q^{n-1}$",
|
||
"求和公式证明": "用数学归纳法证明前n项和公式"
|
||
},
|
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|
||
"原理说明": {
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"为什么需要数学归纳法": "归纳法提供了严谨的数学证明方法",
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||
"核心特征": [
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"严谨性",
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||
"普遍性",
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||
"递推性"
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||
]
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||
},
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"适用条件": {
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||
"必要性": "确保结论的正确性",
|
||
"特殊说明": "必须验证基础情形并建立递推关系"
|
||
},
|
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"前置知识": ["K4-4-1-01 数学归纳法的基本原理", "逻辑推理", "代数运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["数学证明", "规律验证", "性质研究"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.4节 P53-56"
|
||
},
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||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["归纳法应用", "证明书写", "逻辑推理"]
|
||
},
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||
{
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||
"编号": "K4-1-2-01",
|
||
"层次": "二级",
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||
"名称": "等差中项",
|
||
"类型": "概念/公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a, G, b$成等差数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等差中项",
|
||
"公式": "$2G = a + b$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "等差中项是两个数项的算术平均",
|
||
"核心特征": [
|
||
"几何意义：等差中项是$a$和$b$的中点坐标",
|
||
"代数意义：等差中项是两数的平均值",
|
||
"与平均数的关系：等差中项就是两个数的平均数"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理等差数列相关问题时",
|
||
"特殊说明": "等差中项不唯一"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-2-1-01 等差数列的概念", "算术平均"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["平均数计算", "等差数列性质", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.2.1节 P18"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["等差中项计算", "平均数计算", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
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||
"编号": "K4-3-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "等比中项",
|
||
"类型": "概念/公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在$a$与$b$中间插入一个数$G$，使$a, G, b$成等比数列，那么$G$叫做$a$与$b$的等比中项",
|
||
"公式": "$G^2 = ab$",
|
||
"条件": "$ab > 0$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "等比中项是两个数列的几何中点坐标",
|
||
"核心特征": [
|
||
"几何意义：等比中项是$a$和$b$的中点坐标",
|
||
"代数意义：等比中项是两数的几何平均",
|
||
"对数关系：$G = \\sqrt{ab}$"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理等比数列相关问题时",
|
||
"特殊说明": "需要$ab > 0$且$a \\neq 0$"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K4-3-1-01 等比数列的概念", "几何中点", "算术平均", "几何平均"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["几何中点计算", "几何平均数计算", "比例关系分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第4章4.3.1节 P33"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["等比中项计算", "几何平均数", "比例关系"]
|
||
}
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||
]
|
||
} |