533 lines
16 KiB
JSON
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16 KiB
JSON
{
|
||
"method_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "M7-1-1-01",
|
||
"名称": "复数分类判断法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断复数类型或求参数使复数为特定类型",
|
||
"识别特征": "题目涉及复数的分类（实数、虚数、纯虚数）",
|
||
"典型形式": "z = a + bi，判断类型或求参数使满足条件"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定复数的实部和虚部",
|
||
"注意事项": "对于z = a + bi，实部为a，虚部为b"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "根据分类标准判断",
|
||
"注意事项": "实数：b = 0；虚数：b ≠ 0；纯虚数：a = 0且b ≠ 0"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "若涉及参数，建立方程求解",
|
||
"注意事项": "注意参数的取值范围和约束条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分类讨论思想"],
|
||
"解题策略": "抓住虚部是否为零的关键判断标准",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-1-1-02 复数的分类"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-1-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略纯虚数需要两个条件（实部为0且虚部不为0）",
|
||
"原因": "对纯虚数定义理解不完整",
|
||
"正确做法": "纯虚数必须同时满足实部为0和虚部不为0两个条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.1.1节 P76 例1"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-1-1-02",
|
||
"名称": "复数相等求解法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用复数相等条件求参数或解方程",
|
||
"识别特征": "两个复数相等，或含有复数的等式",
|
||
"典型形式": "a + bi = c + di，求未知数"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "将复数等式两边都化为标准形式a + bi",
|
||
"注意事项": "确保左右两边都是标准的代数形式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "利用复数相等条件建立方程组",
|
||
"注意事项": "实部相等且虚部相等，得到两个方程"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "解方程组求出未知数",
|
||
"注意事项": "注意验证解的合理性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["方程思想"],
|
||
"解题策略": "复数相等转化为实部相等和虚部相等两个条件",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-1-1-03 复数相等"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-1-1-P03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "只考虑实部相等或只考虑虚部相等",
|
||
"原因": "对复数相等条件理解不全",
|
||
"正确做法": "必须同时满足实部相等和虚部相等两个条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.1.1节 P76 练习第3题"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-1-2-01",
|
||
"名称": "复数模计算法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "计算复数的模或利用模的性质解题",
|
||
"识别特征": "求|z|或涉及复数模的计算、证明",
|
||
"典型形式": "z = a + bi，求|z|；或利用模的性质"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定复数的实部a和虚部b",
|
||
"注意事项": "复数必须是代数形式a + bi"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用模的公式计算",
|
||
"注意事项": "|a + bi| = √(a² + b²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "化简结果",
|
||
"注意事项": "结果是非负实数"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合思想"],
|
||
"解题策略": "利用模的几何意义（点到原点距离）帮助理解",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-1-2-02 复数的模"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-1-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "计算时忘记开平方或符号错误",
|
||
"原因": "对模的公式记忆不牢",
|
||
"正确做法": "|a + bi| = √(a² + b²)，注意结果是算术平方根"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.1.2节 P78-79 例2"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-1-2-02",
|
||
"名称": "共轭复数求法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求复数的共轭复数或利用共轭性质解题",
|
||
"识别特征": "涉及共轭复数的计算或性质应用",
|
||
"典型形式": "已知z = a + bi，求z̄；或利用共轭复数性质"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定复数的实部a和虚部b",
|
||
"注意事项": "复数必须是标准的代数形式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "保持实部不变，虚部取相反数",
|
||
"注意事项": "z̄ = a - bi"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "验证结果",
|
||
"注意事项": "实数的共轭复数是它本身"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["对称思想"],
|
||
"解题策略": "共轭复数在复平面上关于实轴对称",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-1-2-03 共轭复数"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-1-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "把共轭复数和相反数混淆",
|
||
"原因": "对概念理解不清",
|
||
"正确做法": "共轭复数是虚部取反，相反数是整个数取反"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 1,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.1.2节 P79"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-2-1-01",
|
||
"名称": "复数加减运算及几何意义",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复数加减运算或几何应用",
|
||
"识别特征": "复数的加法、减法计算，或向量加减的几何意义",
|
||
"典型形式": "z₁ ± z₂的计算；或几何图形中的向量运算"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "实部相加减，虚部相加减",
|
||
"注意事项": "(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "化简结果为标准形式",
|
||
"注意事项": "合并同类项，整理成a + bi形式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "几何意义：按向量加减法进行",
|
||
"注意事项": "加法用平行四边形法则，减法用三角形法则"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合思想", "向量思想"],
|
||
"解题策略": "复数加减对应向量加减，可以借助几何直观",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-2-1-01 复数的加法运算",
|
||
"K7-2-1-03 复数的减法运算",
|
||
"K7-2-1-02 复数加法的几何意义",
|
||
"K7-2-1-04 复数减法的几何意义"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-2-1-E01", "T7-2-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "实部和虚部交叉运算",
|
||
"原因": "运算法则记忆错误",
|
||
"正确做法": "实部与实部运算，虚部与虚部运算"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.2.1节 P82-84 例1、例2"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-2-2-01",
|
||
"名称": "复数乘除运算（代数形式）",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复数乘法或除法计算",
|
||
"识别特征": "两个复数相乘或相除",
|
||
"典型形式": "(a + bi)(c + di) 或 (a + bi) ÷ (c + di)"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "乘法：按多项式乘法展开",
|
||
"注意事项": "(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi²"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "利用i² = -1化简",
|
||
"注意事项": "将i²替换为-1"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "合并实部和虚部",
|
||
"注意事项": "分别合并实部项和虚部项"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "除法：分母实数化",
|
||
"注意事项": "分子分母同乘分母的共轭复数"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["多项式运算思想"],
|
||
"解题策略": "乘法类似多项式乘法，除法关键在分母实数化",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-2-2-01 复数的乘法运算",
|
||
"K7-2-2-03 复数的除法运算",
|
||
"K7-2-2-02 共轭复数的积"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-2-2-E03", "T7-2-2-E04", "T7-2-2-E05"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "i²的处理错误，或忘记合并同类项",
|
||
"原因": "计算不仔细，对运算法则掌握不牢",
|
||
"正确做法": "记住i² = -1，要合并同类项"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.2.2节 P84-86 例3-例6"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-2-2-02",
|
||
"名称": "复数除法分母实数化法",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复数除法计算",
|
||
"识别特征": "一个复数除以另一个复数",
|
||
"典型形式": "(a + bi) ÷ (c + di) 或 (a + bi)/(c + di)"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "写成分数形式",
|
||
"注意事项": "将被除数和除数写成分数形式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "分子分母同乘分母的共轭复数",
|
||
"注意事项": "分母c + di的共轭复数是c - di"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算分母：(c + di)(c - di) = c² + d²",
|
||
"注意事项": "分母变成实数c² + d²"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "计算分子并化简",
|
||
"注意事项": "分子按乘法法则计算后化简"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["有理化思想"],
|
||
"解题策略": "类似于分母有理化，关键是利用共轭复数的积为实数",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-2-2-03 复数的除法运算",
|
||
"K7-2-2-02 共轭复数的积"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-2-2-E05"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "共轭复数找错，或计算过程中符号错误",
|
||
"原因": "对共轭概念不清，计算不仔细",
|
||
"正确做法": "c + di的共轭复数是c - di，注意符号变化"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.2.2节 P85 例5"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-3-1-01",
|
||
"名称": "复数三角形式互化法",
|
||
"类型": "方法/技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复数代数形式与三角形式互化",
|
||
"识别特征": "需要在a + bi和r(cosθ + isinθ)之间转换",
|
||
"典型形式": "代数形式→三角形式 或 三角形式→代数形式"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "代数→三角：求模r = √(a² + b²)",
|
||
"注意事项": "r必须为正数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "代数→三角：求辐角θ",
|
||
"注意事项": "由cosθ = a/r，sinθ = b/r确定θ，注意象限"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "三角→代数：计算a = rcosθ，b = rsinθ",
|
||
"注意事项": "直接使用三角函数值计算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "写出最终形式",
|
||
"注意事项": "三角形式系数r必须为正"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合思想", "转换思想"],
|
||
"解题策略": "抓住模和辐角两个关键要素，注意三角形式的判定标准",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-3-1-01 复数的三角表示式",
|
||
"K7-3-1-02 代数形式与三角形式的互化"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-3-1-E01", "T7-3-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "三角形式系数为负，或辐角确定错误",
|
||
"原因": "对三角形式的判定标准不清，象限判断错误",
|
||
"正确做法": "三角形式r(cosθ + isinθ)中r > 0，根据点所在象限确定辐角"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.3.1节 P90-93 例1、例2"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-3-2-01",
|
||
"名称": "复数三角形式乘除运算",
|
||
"类型": "计算技巧",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复数三角形式的乘法或除法",
|
||
"识别特征": "两个或多个三角形式的复数进行乘除运算",
|
||
"典型形式": "r₁(cosθ₁ + isinθ₁) × r₂(cosθ₂ + isinθ₂)"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确认复数都是三角形式",
|
||
"注意事项": "确保每个复数都符合r(cosθ + isinθ)形式且r > 0"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用运算法则",
|
||
"注意事项": "乘法：模相乘，辐角相加；除法：模相除，辐角相减"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "化简结果",
|
||
"注意事项": "结果可以保持三角形式或化为代数形式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["模与辐角的独立运算思想"],
|
||
"解题策略": "模和辐角分别运算，乘法对应乘法和加法，除法对应除法和减法",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-3-1-01 复数的三角表示式",
|
||
"K7-3-1-02 代数形式与三角形式的互化"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T7-3-2-E03", "T7-3-2-E04", "T7-3-2-E05"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "模和辐角的运算混淆，或辐角计算错误",
|
||
"原因": "对运算法则记忆不清，角度计算能力弱",
|
||
"正确做法": "记住：模相乘除，辐角相加减"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "必修第二册 第7章7.3.2节 P93-96 例3-例5"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M7-应用-01",
|
||
"名称": "复数几何应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "复数在几何中的应用问题",
|
||
"识别特征": "涉及距离、轨迹、几何变换等几何概念",
|
||
"典型形式": "|z - z₀| = r；或向量的旋转、平移问题"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "将几何问题转化为复数问题",
|
||
"注意事项": "用复数表示点或向量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "利用复数的几何意义分析",
|
||
"注意事项": "距离对应模，角度对应辐角，运算对应向量运算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "进行复数运算",
|
||
"注意事项": "选择合适的运算形式（代数或三角）"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "将结果解释为几何结论",
|
||
"注意事项": "明确结果的几何意义"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["数形结合思想", "转换思想"],
|
||
"解题策略": "抓住复数与几何的一一对应关系，灵活运用代数和三角形式",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K7-1-2-01 复数的几何意义",
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"K7-1-2-02 复数的模",
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"K7-2-1-04 复数减法的几何意义"
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],
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"典型例题": ["T7-1-2-E03", "T7-3-2-E04"],
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"常见错误": [
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{
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"错误描述": "几何意义理解错误，或运算形式选择不当",
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"原因": "对复数几何意义掌握不牢，缺乏灵活运用能力",
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"正确做法": "根据问题特点选择合适的表示形式，充分利用几何直观"
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}
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],
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"难度等级": 4,
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"教材位置": "必修第二册 第7章多处例题"
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}
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]
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} |