note/work/AI/jpkc/math-5.1.md

第五章

三角函数

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等，这些现象都可以用三角函数刻画。

前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律。本章我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化规律的三角函数。

三角函数是怎样的函数？它具有哪些特性？如何利用三角函数模型刻画各种周期性变化现象？本章我们就来研究这些问题。

---

（图示说明：月相变化示意图）

该图示描绘了月球围绕地球公转过程中，在太阳光照射下，从地球上观察到的月相变化，清晰地展示了不同月相的名称和对应的形态。

• 中心: 图示中央为地球。
• 月球轨道: 月球沿一圆形轨道围绕地球逆时针方向公转。
• 太阳光: 从图示右侧射向地球和月球，由三个箭头和文字“太”、“阳”、“光”指示。
• 主要月相及顺序（逆时针）:
  1. 新月 (朔)：月球位于地球和太阳之间，面向地球的一面未被照亮，从地球上观察几乎不可见。
  2. 蛾眉月 (上)：新月之后，月球亮面逐渐增大，呈现出细小的月牙形状。
  3. 上弦月: 月球、地球和太阳大致成90度角，从地球上看月球呈现右半边亮的半圆形。
  4. 凸月 (上)：上弦月之后，月球亮面继续增大，形成凸起状。
  5. 满月 (望)：月球位于地球的另一侧，与太阳相对，面向地球的一面被太阳完全照亮，呈圆形。
  6. 凸月 (下)：满月之后，月球亮面开始减小。
  7. 下弦月: 月球、地球和太阳再次大致成90度角，从地球上看月球呈现左半边亮的半圆形。
  8. 蛾眉月 (下)：下弦月之后，月球亮面进一步减小，再次呈现月牙状，直至回到新月。

---

5.1 任意角和弧度制

图 5.1-1

圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图 5.1-1，\odot O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点 P 的位置变化呢？

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.在图 5.1-1 中，射线的端点是圆心 $O$，它从起始位置 OA 按逆时针方向旋转到终止位置 $OP$，形成一个角 $\alpha$，射线 OA,OP 分别是角 \alpha 的始边和终边.当角 \alpha 确定时，终边 OP 的位置就确定了.这时，射线 OP 与 \odot O 的交点 P 也就确定了，由此想到，可以借助角 \alpha 的大小变化刻画点 P 的位置变化.

由初中知识可知，射线 OA 绕端点 O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到 0^\circ \sim 360^\circ 范围内的角，如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了.所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围.

5.1.1 任意角

现实生活中随处可见超出 0^\circ \sim 360^\circ 范围的角.例如，体操中有“前空翻转体 540 度”“后空翻转体 720 度”这样的动作名称，这里不仅有超出 0^\circ \sim 360^\circ 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图 5.1-2 是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向，这样，OA 绕点 O 旋转所成的角与 O'B 绕点 O' 旋转所成的角就会有不同的方向.因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广.

我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.

图 5.1-2

为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角 $\alpha$”或“$\angle \alpha$”可以简记成“$\alpha$”.

168 第五章 三角函数

如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，这样，零角的始边与终边重合。如果 \alpha 是零角，那么 $\alpha=0^\circ$。图 5.1-3(1)中的角是一个正角，它等于 $750^\circ$；图 5.1-3(2)中，正角 $\alpha=210^\circ$，负角 $\beta=-150^\circ$，$\gamma=-660^\circ$。正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角。

Figure 5.1-3: 角度的表示
(1) 射线 OA 逆时针旋转 $750^\circ$ 到 OB，形成一个正角。
(2) 射线 OA 逆时针旋转 $210^\circ$ 到 B2，形成正角 $\alpha=210^\circ$。
    射线 OA 顺时针旋转 $150^\circ$ 到 B1，形成负角 $\beta=-150^\circ$。
    射线 OA 顺时针旋转 $660^\circ$ 到 B2，形成负角 $\gamma=-660^\circ$。

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。设角 \alpha 由射线 OA 绕端点 O 旋转而成，角 \beta 由射线 O'A'绕端点 O'旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 $\alpha=\beta$。

设 \alpha, \beta 是任意两个角。我们规定，把角 \alpha 的终边旋转角 $\beta$，这时终边所对应的角是 $\alpha+\beta$。

类似于实数 a 的相反数是 $-a$，我们引入任意角 \alpha 的相反角的概念。如图 5.1-4，我们把射线 OA 绕端点 O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。角 \alpha 的相反角记为 $-\alpha$。于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有

$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$。

这样，角的减法可以转化为角的加法。

Figure 5.1-4: 互为相反角
(1) 射线 OA 逆时针旋转形成角 $\alpha$ (终止于 B1)，顺时针旋转形成角 $-\alpha$ (终止于 B2)。
(2) 射线 OA 顺时针旋转形成角 $-\alpha$ (终止于 B2)，逆时针旋转形成角 $\alpha$ (终止于 B1)。

Figure 5.1-5: 直角坐标系中的角
在直角坐标系中，以原点 O 为顶点，x 轴非负半轴为始边：
- 一个 $30^\circ$ 角，终边在第一象限。
- 一个 $-120^\circ$ 角，终边在第三象限。

我们通常在直角坐标系内讨论角。为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。例如，图 5.1-5 中的 30^\circ 角、-120^\circ 角分别是第一象限角和第三象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。

**?** 你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗?

第五章 三角函数 169

---

## 探究

将角按照上述方法放在直角坐标系中后, 给定一个角, 就有唯一的一条终边与之对应. 反之, 对于直角坐标系内任意一条射线 OB (图 5.1-6), 以它为终边的角是否唯一? 如果不唯一, 那么终边相同的角有什么关系?

而所有与$270^\circ$角终边相同的角构成集合 S_2 = \{\beta | \beta = 270^\circ + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\}, 于是，终边在$y$轴上的角的集合 $S = S_1 \cup S_2$ $= {\beta | \beta = 90^\circ + 2k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}} \cup {\beta | \beta = 90^\circ + 180^\circ + 2k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}}$ $= {\beta | \beta = 90^\circ + 2k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}} \cup {\beta | \beta = 90^\circ + (2k+1)180^\circ, k \in \mathbb{Z}}$ = \{\beta | \beta = 90^\circ + n \cdot 180^\circ, n \in \mathbb{Z}\}.

例3 写出终边在直线 y=x 上的角的集合 S. S 中满足不等式 -360^\circ \le \beta < 720^\circ 的元素 \beta 有哪些?

解: 如图 5.1-8, 在直角坐标系中画出直线 y=x, 可以发现它与$x$轴的夹角是45^\circ, 在$0^\circ \sim 360^\circ$范围内, 终边在直线 y=x 上的角有两个: 45^\circ, 225^\circ. 因此, 终边在直线 y=x 上的角的集合 $S = {\beta | \beta = 45^\circ + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}} \cup$ ${\beta | \beta = 225^\circ + k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}}$ = \{\beta | \beta = 45^\circ + n \cdot 180^\circ, n \in \mathbb{Z}\}.

S中适合不等式 -360^\circ \le \beta < 720^\circ 的元素 \beta 有 $45^\circ - 2 \times 180^\circ = -315^\circ$ $45^\circ - 1 \times 180^\circ = -135^\circ$ $45^\circ + 0 \times 180^\circ = 45^\circ$ $45^\circ + 1 \times 180^\circ = 225^\circ$ $45^\circ + 2 \times 180^\circ = 405^\circ$ 45^\circ + 3 \times 180^\circ = 585^\circ.

图 5.1-8

练习

1. (口答) 锐角是第几象限角? 第一象限角一定是锐角吗? 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2. (口答) 今天是星期三, 那么 7k (k \in \mathbb{Z}) 天后的那一天是星期几? 7k (k \in \mathbb{Z}) 天前的那一天是星期几? 100 天后的那一天是星期几?
3. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合, 始边与 x 轴的非负半轴重合, 作出下列各角, 并指出它们是第几象限角: (1) 420^\circ; (2) -75^\circ; (3) 855^\circ; (4) -510^\circ.
4. 在 0^\circ \sim 360^\circ 范围内, 找出与下列各角终边相同的角, 并指出它们是第几象限角: (1) -54^\circ 18'; (2) 395^\circ 8'; (3) -1190^\circ 30'.
5. 写出与下列各角终边相同的角的集合, 并找出集合中适合不等式 -720^\circ \le \beta < 360^\circ 的元素 \beta: (1) 1303^\circ 18'; (2) -225^\circ.

第五章 三角函数 171

5.1.2 弧度制

度量长度可以用米、英尺等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制。不同的单位制能给解决问题带来方便。角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

我们知道，角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的 $\frac{1}{360}$，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制。

如图 5.1-9 所示，射线 OA 绕端点 O 旋转到 OB 形成角 $\alpha$。在旋转过程中，射线 OA 上的一点 $P$（不同于点 $O$）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 $\alpha$。

设 $\alpha = n^{\circ}$，$OP = r$，点 P 所形成的圆弧 \overparen{PP_1} 的长为 $l$。由初中所学知识可知 $l = \frac{n \pi r}{180}$，于是

\frac{l}{r} = n \frac{\pi}{180}

图 5.1-9

探究

如图 5.1-10 所示，在射线 OA 上任取一点 $Q$（不同于点 $O$），$OQ = r_1$。在旋转过程中，点 Q 所形成的圆弧 \overparen{QQ_1} 的长为 $l_1$。l_1 与 r_1 的比值是多少？你能得出什么结论？

图 5.1-10

可以发现，圆心角 \alpha 所对的弧长与半径的比值，只与 \alpha 的大小有关，也就是说，这个比值随 \alpha 的确定而唯一确定。这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度 (radian) 的角，弧度单位用符号 rad 表示，读作弧度。

我们把半径为 1 的圆叫做单位圆。如图 5.1-11 所示，在单位圆 O 中，\overparen{AB} 的长等于 $1$，\angle AOB 就是 1 弧度的角。

根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 \alpha rad，那么

|\alpha| = \frac{l}{r}

图 5.1-11

172 第五章 三角函数

其中，a 的正负由角 a 的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于 2\pi 或小于 -2\pi 的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 $0$。

---

角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算。如何换算呢？

---

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是 $0$）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同，因为周角的弧度数是 $2\pi$，而在角度制下的度数是 $360$，所以

360^\circ = 2\pi \text{ rad}, \quad 180^\circ = \pi \text{ rad},

1^\circ = \frac{\pi}{180} \text{ rad} \approx 0.017\ 45 \text{ rad}.

反过来有

1 \text{ rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^\circ \approx 57.30^\circ = 57^\circ 18'.

一般地，只需根据

公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年，在他的**一部划时代著作《无穷小分析概论》**中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于 2\pi 弧度，1弧度等于周角的 $\frac{1}{2\pi}$，这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算。

graph TD
    A["$180^\circ = \pi \\text{ rad}$"] --> B["$1^\circ = \\frac{\pi}{180} \\text{ rad} \\approx 0.017\\ 45 \\text{ rad}$"]
    A --> C["$1 \\text{ rad} = \\left(\\frac{180}{\pi}\\right)^\\circ \\approx 57.30^\\circ$"]

就可以进行弧度与角度的换算了。

例4 按照下列要求，把 67^\circ 30' 化成弧度： (1) 精确值； (2) 精确到 0.001 的近似值。

解： (1) 因为 $67^\circ 30' = \left(\frac{135}{2}\right)^\circ$，所以

67^\circ 30' = \frac{135}{2} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad} = \frac{3}{8}\pi \text{ rad}.

第五章 三角函数 173

以下是PDF页面转换为Markdown格式的内容：

(2) 利用计算器有 （操作步骤：将计算器设置为弧度模式（通常是 SHIFT MENU 2 2），然后输入 67°30′，再通过 OPTN 2 1 (角度单位转换到弧度) 进行计算） 计算结果为 1.178 097 245. 因此, 67^\circ30' \approx 1.178 \text{ rad}.

例 5 将 3.14 \text{ rad} 换算成角度 (用度数表示, 精确到 0.001). 解: 利用计算器有 （操作步骤：将计算器设置为度数模式（通常是 SHIFT MENU 2 1），然后输入 3.14，再通过 OPTN 2 2 (角度单位转换到度) 进行计算） 计算结果为 179.908 747 7. 因此, 3.14 \text{ rad} \approx 179.909^\circ.

今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写, 而只写该角所对应的弧度数. 例如, 角 \alpha=2 就表示 \alpha 是 2 \text{ rad} 的角; \sin\frac{\pi}{3} 就表示 \frac{\pi}{3} \text{ rad} 的角的正弦, 即 \sin\frac{\pi}{3}=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.

填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:

度	0^\circ	30^\circ	45^\circ	60^\circ	90^\circ	120^\circ	135^\circ	150^\circ	180^\circ	270^\circ	360^\circ
弧度	0	\frac{\pi}{6}	\frac{\pi}{4}	\frac{\pi}{3}	\frac{\pi}{2}	\frac{2\pi}{3}	\frac{3\pi}{4}	\frac{5\pi}{6}	\pi	\frac{3\pi}{2}	2\pi

角的概念推广后, 在弧度制下, 角的集合与实数集 \mathbf{R} 之间建立起一一对应的关系: 每一个角都有唯一的一个实数 (等于这个角的弧度数) 与它对应; 反过来, 每一个实数也都有唯一的一个角 (即弧度数等于这个实数的角) 与它对应 (图 5.1-12).

graph LR
    subgraph 角的集合
        A[正角]
        B[零角]
        C[负角]
    end

    subgraph 实数集R
        D[正实数]
        E[0]
        F[负实数]
    end

    A <--> D
    B <--> E
    C <--> F

图 5.1-12

例 6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式: (1) l=\alpha R; (2) S=\frac{1}{2}\alpha R^2; (3) S=\frac{1}{2}lR. 其中 R 是圆的半径, \alpha(0<\alpha<2\pi) 为圆心角, l 是扇形的弧长, S 是扇形的面积. 证明: 由公式 |\alpha|=\frac{l}{r} 可得 l=\alpha R. 下面证明 (2)(3).

174 第五章 三角函数

半径为R, 圆心角为$n^\circ$的扇形的弧长公式和面积公式分别是 l = \frac{n\pi R}{180}, S = \frac{n\pi R^2}{360}

将$n^\circ$转换为弧度,得 \alpha = \frac{n\pi}{180}

于是, S = \frac{1}{2}\alpha R^2

将$l=\alpha R$代入上式,即得 S = \frac{1}{2}lR

显然,弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了.在今后的学习中,我们还将进一步看到弧度制带来的便利.

练习

1. 把下列角度化成弧度: (1) 22^\circ 30^\prime; (2) -210^\circ; (3) 1200^\circ.
2. 把下列弧度化成角度: (1) \frac{\pi}{12}; (2) -\frac{4\pi}{3}; (3) \frac{3\pi}{10}.
3. 用弧度表示: (1) 终边在 x 轴上的角的集合; (2) 终边在 y 轴上的角的集合.
4. 利用计算工具比较下列各对值的大小: (1) \cos 0.75^\circ 和 \cos 0.75; (2) \tan 1.2^\circ 和 \tan 1.2.
5. 分别用角度制、弧度制下的弧长公式,计算半径为$1$m的圆中,$60^\circ$的圆心角所对的弧的长度(可用计算工具).
6. 已知半径为$120$mm的圆上,有一条弧的长是$144$mm,求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数.

习题 5.1

复习巩固

1. 在$0^\circ \sim 360^\circ$范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是哪个象限的角: (1) -265^\circ; (2) -1000^\circ; (3) -843^\circ 10^\prime; (4) 3900^\circ.

第五章 三角函数 175

2. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 -360^\circ \le \beta < 360^\circ 的元素 \beta: (1) 60^\circ; (2) -75^\circ; (3) -824^\circ30'; (4) 475^\circ; (5) 90^\circ; (6) 270^\circ; (7) 180^\circ; (8) 0^\circ.

3. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合。

4. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？

5. 把下列角度化成弧度: (1) 36^\circ; (2) -150^\circ; (3) 1095^\circ; (4) 1440^\circ.

6. 把下列弧度化成角度 (第(3)(4)题精确到 0.01^\circ): (1) -\frac{7}{6}\pi; (2) -\frac{10}{3}\pi; (3) 1.4; (4) \frac{2}{3}.

综合运用

7. 选择题 (1) 已知 \alpha 是锐角，那么 2\alpha 是 ( )。 (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 小于 180^\circ 的正角 (D) 第一或第二象限角 (2) 已知 \alpha 是第一象限角，那么 \frac{\alpha}{2} 是 ( )。 (A) 第一象限角 (B) 第二象限角 (C) 第一或第二象限角 (D) 第一或第三象限角

8. 要在半径 OA=100\text{ cm} 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 AB 的长为 $112\text{ cm}$，那么圆心角 \angle AOB 是多少度 (可用计算工具，精确到 1^\circ)?

9. 已知弧长 50\text{ cm} 的弧所对圆心角为 $200^\circ$，求这条弧所在的圆的半径 (可用计算工具，精确到 1\text{ cm})。

拓广探索

10. 每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积 $S_1$。 (1) 假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 $S_2$，求 S_1 与 S_2 的比值; (2) 要使 S_1 与 S_2 的比值为 $0.618$，则扇子的圆心角应为几度 (精确到 1^\circ)?

11. (1) 时间经过 4\text{ h} (时)，时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ (2) 有人说，钟的时针和分针一天内会重合 24 次，你认为这种说法是否正确？请说明理由。 (提示: 从午夜零时算起，假设分针走了 t\text{ min} 会与时针重合，一天内分针和时针会重合 n 次，利用分针与时针转动的速度，建立 t 关于 n 的函数解析式，并求解。)

12. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿。 (1) 当大轮转动一周时，求小轮转动的角度; (2) 如果大轮的转速为 180\text{ r/min} (转/分)，小轮的半径为 $10.5\text{ cm}$，那么小轮周上一点每 1\text{ s} 转过的弧长是多少？

176 第五章 三角函数

5.2 三角函数的概念

图 5.2-1

在弧度制下,我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题,不失一般性,先研究单位圆上点的运动.现在的任务是:

如图 5.2-1,单位圆 \odot O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向旋转,建立一个数学模型,刻画点 P 的位置变化情况.

5.2.1 三角函数的概念

根据研究函数的经验,我们利用直角坐标系来研究上述问题.

图 5.2-2

如图 5.2-2,以单位圆的圆心 O 为原点,以射线 OA 为 x 轴的非负半轴,建立直角坐标系,点 A 的坐标为 (1,0),点 P 的坐标为 (x,y).射线 OA 从 x 轴的非负半轴开始,绕点 O 按逆时针方向旋转角 \alpha,终止位置为 OP.

探究

当 \alpha=\frac{\pi}{6} 时,点 P 的坐标是什么? 当 \alpha=\frac{\pi}{2} 或 \frac{2\pi}{3} 时,点 P 的坐标又是什么? 它们是唯一确定的吗?

一般地,任意给定一个角 \alpha,它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标能唯一确定吗?

利用勾股定理可以发现,当 \alpha=\frac{\pi}{6} 时,点 P 的坐标是 (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}); 当 \alpha=\frac{\pi}{2} 或 \frac{2\pi}{3} 时,点 P 的坐标分别是 (0,1) 和 (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}).它们都是唯一确定的.

一般地,任意给定一个角 \alpha \in \mathbf{R},它的终边 OP 与单位圆交点 P 的坐标,无论是横坐标 x 还是纵坐标 y,都是唯一确定的.所以,点 P 的横坐标 $x$、纵坐标 y 都是角 \alpha 的函数.下面给出这些函数的定义.

设 \alpha 是一个任意角, \alpha \in \mathbf{R},它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x,y).

第五章 三角函数 177

(1) 把点 P 的纵坐标 y 叫做 \alpha 的正弦函数 (sine function), 记作 \sin \alpha, 即 y = \sin \alpha;

(2) 把点 P 的横坐标 x 叫做 \alpha 的余弦函数 (cosine function), 记作 \cos \alpha, 即 x = \cos \alpha;

(3) 把点 P 的纵坐标与横坐标的比值 \frac{y}{x} 叫做 \alpha 的正切, 记作 \tan \alpha, 即 \frac{y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0).

可以看出, 当 \alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z}) 时, \alpha 的终边在 y 轴上, 这时点 P 的横坐标 x 等于 0, 所以 \frac{y}{x} = \tan \alpha 无意义. 除此之外, 对于确定的角 \alpha, \frac{y}{x} 的值也是唯一确定的. 所以, \frac{y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0) 也是以角为自变量, 以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为正切函数 (tangent function).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 (trigonometric function), 通常将它们记为:

• 正弦函数 y = \sin x, x \in \mathbf{R};
• 余弦函数 y = \cos x, x \in \mathbf{R};
• 正切函数 y = \tan x, x \in \{x | x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbf{Z}) \}.

**探究**

在初中我们学了锐角三角函数, 知道它们都是以锐角为自变量, 以比值为函数值的函数. 设 x \in (0, \frac{\pi}{2}), 把按锐角三角函数定义求得的锐角 x 的正弦记为 z_1, 并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为 y_1. z_1 与 y_1 相等吗? 对于余弦、正切也有相同的结论吗?

例 1 求 \frac{5\pi}{3} 的正弦、余弦和正切值.

解: 在直角坐标系中, 作 \angle AOB = \frac{5\pi}{3} (图 5.2-3). 易知 \angle AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}). 所以, \sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2},

图 5.2-3

178 第五章 三角函数

 \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} 

 \tan \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} 

例2 如图5.2-4所示，设$\alpha$是一个任意角，它的终边上任意一点$P$(不与原点$O$重合)的坐标为$(x,y)$，点$P$与原点的距离为$r$。求证：$\sin \alpha = \frac{y}{r}$，$\cos \alpha = \frac{x}{r}$，$\tan \alpha = \frac{y}{x}$。

• 图5.2-4描述: 这是一个二维直角坐标系，原点为$O$。一条射线从原点$O$出发，与$x$轴正半轴逆时针方向形成角$\alpha$，射线上有一点$P(x,y)$。

分析： 观察图5.2-5，由$\triangle OMP \sim \triangle OM_0 P_0$，根据三角函数的定义可以得到证明。

证明： 如图5.2-5所示，设角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P_0(x_0,y_0)$。分别过点$P,P_0$作$x$轴的垂线$PM,P_0M_0$，垂足分别为$M,M_0$，则

 P_0M_0=|y_0|, \quad PM=|y| 

 OM_0=|x_0|, \quad OM=|x| 

 \triangle OMP \sim \triangle OM_0 P_0 

• 图5.2-5描述: 这是一个二维直角坐标系，原点为$O$，包含一个以原点为圆心的单位圆。角$\alpha$的终边穿过单位圆上的点$P_0(x_0,y_0)$和圆外任意一点$P(x,y)$。从$P$和$P_0$分别向$x$轴作垂线，垂足分别为$M$和$M_0$。形成了两个相似的直角三角形$\triangle OMP$和$\triangle OM_0 P_0$。

于是

 \frac{P_0M_0}{1} = \frac{PM}{r} 

即

 |y_0| = \frac{|y|}{r} 

因为$y_0$与$y$同号，所以

 y_0 = \frac{y}{r} 

即

 \sin \alpha = \frac{y}{r} 

同理可得

 \cos \alpha = \frac{x}{r}, \quad \tan \alpha = \frac{y}{x} 

根据勾股定理，$r=\sqrt{x^2+y^2}$。由例2可知，只要知道角$\alpha$终边上任意一点$P$的坐标，就可以求得角$\alpha$的各个三角函数值，并且这些函数值不会随$P$点位置的改变而改变。

---

练习

1. 利用三角函数定义，求$0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$的三个三角函数值。

第五章 三角函数 179

2. 利用三角函数定义, 求 \frac{7\pi}{6} 的三个三角函数值。
3. 已知角 \theta 的终边过点 P(-12, 5), 求角 \theta 的三角函数值。
4. 已知点 P 在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动, 角速度为 $1 \text{ rad/s}$。求 2 \text{ s} 时点 P 所在的位置。

---

学习了三角函数的定义, 接下来研究它们的一些性质。

探究

根据任意角的三角函数定义, 先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表 5.2-1, 再将这三种函数的值在各象限的符号填入图 5.2-6 中的括号。

表 5.2-1

三角函数	定义域
\sin \alpha
\cos \alpha
\tan \alpha

图 5.2-6 (此处为示意 \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha 在各象限符号的坐标系图, 需要在括号内填写符号)

• \sin \alpha 示意图: y轴 ^ | (+)( ) ----O-----> x轴 ( ) ( ) \sin \alpha

• \cos \alpha 示意图: y轴 ^ | ( ) ( ) ----O-----> x轴 ( ) ( ) \cos \alpha

• \tan \alpha 示意图: y轴 ^ | ( ) ( ) ----O-----> x轴 ( ) ( ) \tan \alpha

例 3 求证: 角 \theta 为第三象限角的充要条件是

\begin{cases}
\sin \theta < 0, \quad \text{①} \\
\tan \theta > 0. \quad \text{②}
\end{cases}

证明: 先证充分性, 即如果①②式都成立, 那么 \theta 为第三象限角。 因为①式 \sin \theta < 0 成立, 所以 \theta 角的终边可能位于第三或第四象限, 也可能与 y 轴的负半轴重合; 又因为②式 \tan \theta > 0 成立, 所以 \theta 角的终边可能位于第一或第三象限。 因为①②式都成立, 所以 \theta 角的终边只能位于第三象限. 于是角 \theta 为第三象限角。 必要性请同学们自己证明。

由三角函数的定义, 可以知道: 终边相同的角的同一三角函数的值相等。 由此得到一组公式:

公式一

\begin{aligned}
\sin(\alpha + k \cdot 2\pi) &= \sin \alpha, \\
\cos(\alpha + k \cdot 2\pi) &= \cos \alpha, \\
\tan(\alpha + k \cdot 2\pi) &= \tan \alpha,
\end{aligned}

其中 $k \in \mathbf{Z}$。

由公式一可知, 三角函数值有“周而复始”的变化规律, 即角 \alpha 的终边每绕原点旋转一周, 函数值将重复出现。

180 第五章 三角函数

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求 0 \sim 2\pi (或 0^\circ \sim 360^\circ) 角的三角函数值。

例4 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证: (1) \cos 250^\circ; (2) \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right); (3) \tan(-672^\circ); (4) \tan 3\pi.

解: (1) 因为 250^\circ 是第三象限角，所以 \cos 250^\circ < 0; (2) 因为 -\frac{\pi}{4} 是第四象限角，所以 \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) < 0; (3) 因为 $\tan(-672^\circ) = \tan(48^\circ - 2 \times 360^\circ) = \tan 48^\circ$，而 48^\circ 是第一象限角，所以 \tan(-672^\circ) > 0; (4) 因为 \tan 3\pi = \tan(\pi+2\pi) = \tan \pi, 而 \pi 的终边在 x 轴上，所以 \tan \pi = 0.

请同学们自己完成用计算工具验证。

例5 求下列三角函数值: (1) \sin 1480^\circ 10^\prime (精确到 0.001); (2) \cos \frac{9\pi}{4}; (3) \tan\left(-\frac{11\pi}{6}\right).

可以直接利用计算工具求三角函数的值，用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制。

解: (1) $\sin 1480^\circ 10^\prime = \sin(40^\circ 10^\prime + 4 \times 360^\circ)$ = \sin 40^\circ 10^\prime \approx 0.645; (2) \cos \frac{9\pi}{4} = \cos\left(\frac{\pi}{4}+2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}; (3) \tan\left(-\frac{11\pi}{6}\right) = \tan\left(\frac{\pi}{6}-2\pi\right) = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.

第五章 三角函数 181

练习

1. 填表:

\alpha	2\pi	\frac{13\pi}{6}	-\pi	-\frac{4\pi}{3}	\frac{15\pi}{4}
\sin \alpha
\cos \alpha
\tan \alpha

2. (口答)设$\alpha$是三角形的一个内角,在 \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha, $\tan \frac{\alpha}{2}$中,哪些有可能取负值?

3. 确定下列三角函数值的符号: (1) \sin 156^{\circ}; (2) \cos \frac{16}{5}\pi; (3) \cos(-450^{\circ}); (4) \tan(-\frac{17}{8}\pi); (5) \sin(-\frac{4\pi}{3}); (6) \tan 556^{\circ}.

4. 对于①\sin \theta>0, ②\sin \theta<0, ③\cos \theta>0, ④\cos \theta<0, ⑤\tan \theta>0 与 ⑥\tan \theta<0,选择恰当的关系式序号填空: (1) 角$\theta$为第一象限角的充要条件是_______; (2) 角$\theta$为第二象限角的充要条件是_______; (3) 角$\theta$为第三象限角的充要条件是_______; (4) 角$\theta$为第四象限角的充要条件是_______.

5. 求下列三角函数值(可用计算工具,第(1)题精确到0.000~1): (1) \cos 1~109^{\circ}; (2) \tan \frac{19\pi}{3}; (3) \sin(-1~050^{\circ}); (4) \tan(-\frac{31\pi}{4}).

---

5.2.2 同角三角函数的基本关系

探究

公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等,那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢?

因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的,所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知,我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.

如图5.2-7,设点$P(x,y)$是角$\alpha$的终边与单位圆的交点,过$P$作$x$轴的垂线,交$x$轴于M,则$\triangle OMP$是直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有

182 第五章 三角函数

$OM^2 + MP^2 = 1.$ 因此, x^2 + y^2 = 1, 即 \boxed{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.}

显然, 当 \alpha 的终边与坐标轴重合时, 这个公式也成立. 根据三角函数的定义, 当 \alpha \ne k\pi + \frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z}) 时, 有 \boxed{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha.}

图 5.2-7

这就是说, 同一个角 \alpha 的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角 \alpha 的正切.

例 6 已知 \sin \alpha = -\frac{3}{5}, 求 \cos \alpha, \tan \alpha 的值. 解: 因为 \sin \alpha < 0, \sin \alpha \ne -1, 所以 \alpha 是第三或第四象限角. 由 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 得 \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.

如果 \alpha 是第三象限角, 那么 \cos \alpha < 0. 于是 $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}.$ 从而 \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{3}{4}.

如果是第四象限角, 那么 \cos \alpha = \frac{4}{5}, \tan \alpha = -\frac{3}{4}.

例 7 求证: $\frac{\cos x}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x}.$ 证法 1: 由 \cos x \ne 0, 知 \sin x \ne -1, 所以 1 + \sin x \ne 0, 于是 左边$= \frac{\cos x (1 + \sin x)}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)}$ $= \frac{\cos x (1 + \sin x)}{1 - \sin^2 x}$ $= \frac{\cos x (1 + \sin x)}{\cos^2 x}$ = \frac{1 + \sin x}{\cos x} = 右边.

今后, 除特殊注明外, 我们假定三角恒等式是在 使两边都有意义的情况下 的恒等式.

第五章 三角函数 183

所以，原式成立。 证法2：因为 $(1-\sin x)(1+\sin x)$ $=1-\sin^2x=\cos^2x$ =\cos x \cos x, 且 1-\sin x \neq 0, $\cos x \neq 0$，所以

\frac{\cos x}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{\cos x}

---

练习

1. 已知 $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$，且 \alpha 为第三象限角，求 \sin \alpha, \tan \alpha 的值。
2. 已知 $\tan \varphi = -\sqrt{3}$，求 \sin \varphi, \cos \varphi 的值。
3. 已知 $\sin \theta = 0.35$，求 \cos \theta, \tan \theta 的值（精确到 $0.01$）。
4. 化简： (1) \cos \theta \tan \theta; (2) \frac{2 \cos^2 \alpha - 1}{1 - 2 \sin^2 \alpha}; (3) (1+\tan^2 \alpha) \cos^2 \alpha.
5. 求证：\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.

---

习题 5.2

复习巩固

1. 用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）： (1) -\frac{17\pi}{3}; (2) \frac{21\pi}{4}; (3) -\frac{23\pi}{6}; (4) 1500^{\circ}.
2. 已知角 \alpha 的终边上有一点 P 的坐标是 $(3a, 4a)$，其中 $a \neq 0$，求 \sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha 的值。
3. 计算： (1) 6\sin(-90^{\circ})+3\sin 0^{\circ}-8\sin 270^{\circ}+12\cos 180^{\circ}; (2) 10\cos 270^{\circ}+4\sin 0^{\circ}+9\tan 0^{\circ}+15\cos 360^{\circ}; (3) 2\cos \frac{\pi}{2}-\tan \frac{\pi}{4}+\frac{3}{4}\tan^2 \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{6}+\cos^2 \frac{\pi}{6}+\sin \frac{3\pi}{2}; (4) \sin^2 \frac{\pi}{3}+\cos^4 \frac{3\pi}{2}-\tan^2 \frac{\pi}{3}.
4. 化简： (1) a\sin 0^{\circ}+b\cos 90^{\circ}+c\tan 180^{\circ}; (2) -p^2\cos 180^{\circ}+q^2 \sin 90^{\circ}-2pq\cos 0^{\circ}.

184 第五章 三角函数

(3) a^2\cos 2\pi-b^2 \sin \frac{3\pi}{2}+ab\cos \pi-ab\sin \frac{\pi}{2}; (4) m\tan 0+n\cos \frac{1}{2}\pi-p\sin \pi-q\cos \frac{3}{2}\pi-r\sin 2\pi.

5. 确定下列三角函数值的符号: (1) \sin 186^{\circ}; (2) \tan 505^{\circ}; (3) \sin 7.6\pi; (4) \tan\left(-\frac{23\pi}{4}\right); (5) \cos 940^{\circ}; (6) \cos\left(-\frac{59\pi}{17}\right).

6. (1) 已知 \sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}, 且 \alpha 为第四象限角, 求 \cos \alpha, \tan \alpha 的值; (2) 已知 \cos \alpha=-\frac{5}{13}, 且 \alpha 为第二象限角, 求 \sin \alpha, \tan \alpha 的值; (3) 已知 \tan \alpha=-\frac{3}{4}, 求 \sin \alpha, \cos \alpha 的值; (4) 已知 \cos \alpha=0.68, 求 \sin \alpha, \tan \alpha 的值 (精确到 0.01).

综合运用

7. 根据下列条件求函数 f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-4\cos 2x+3\cos\left(x+\frac{3\pi}{4}\right) 的值: (1) x=\frac{\pi}{4}; (2) x=\frac{3\pi}{4}.

8. 确定下列式子的符号: (1) \tan 125^{\circ}\sin 273^{\circ}; (2) \frac{\tan 108^{\circ}}{\cos 305^{\circ}}; (3) \sin \frac{5\pi}{4}\cos \frac{4\pi}{5}\tan \frac{11\pi}{6}; (4) \frac{\cos \frac{5\pi}{6}\tan \frac{11\pi}{6}}{\sin \frac{2\pi}{3}}.

9. 求下列三角函数值 (可用计算工具, 第(1)(3)(4)题精确到 0.0001): (1) \sin\left(-\frac{67\pi}{12}\right); (2) \tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right); (3) \cos 398^{\circ}13'; (4) \tan 766^{\circ}15'.

10. 求证: (1) 角 \theta 为第二或第三象限角的充要条件是 \sin \theta\tan \theta<0; (2) 角 \theta 为第三或第四象限角的充要条件是 \cos \theta\tan \theta<0; (3) 角 \theta 为第一或第四象限角的充要条件是 \frac{\sin \theta}{\tan \theta}>0; (4) 角 \theta 为第一或第三象限角的充要条件是 \sin \theta\cos \theta>0.

11. 已知 \sin x=-\frac{1}{3}, 求 \cos x, \tan x 的值.

12. 已知 \tan \alpha=\sqrt{3}, \pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi, 求 \cos \alpha-\sin \alpha 的值.

形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法；后3卷中，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础，对16世纪的数学家产生了极大影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响。

由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数，而且函数值也限定在正数范围内，因而不能推出应有的三角公式，导致计算的困难。后来，哥白尼的学生雷提库斯 (G. J. Rheticus, 1514—1576) 将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来。他还采用了六个函数 (正弦、余弦、正切、余切、正割、余割)，制定了更为精确的正弦、正切、正割表，这些工作都极大推进了三角学的发展。实际上，由于天文学研究的需要，制定更加精确的三角函数表一直是数学家奋斗的目标，这大大推动了三角学的发展。

法国数学家韦达 (F. Viete, 1540—1603) 所做的平面三角与球面三角系统化工作，使得三角学得到进一步发展。他总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等。他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。对球面直角三角形，他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则，并将这套公式表示成了代数形式，这是非常重要的工作。

16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支。后来，在微积分、物理学的研究和应用 (如对振动、声音传播等的研究) 中，三角学又找到了新的用武之地。

5.3 诱导公式

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系。我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。

探究1

如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角 \alpha 的终边与单位圆交于点 $P_1$。

1. 作 P_1 关于原点的对称点 $P_2$，以 OP_2 为终边的角 \beta 与角 \alpha 有什么关系? 角 \beta, \alpha 的三角函数值之间有什么关系?
2. 如果作 P_1 关于 x 轴(或 y 轴)的对称点 $P_3$(或 P_4), 那么又可以得到什么结论?

图5.3-1

下面，借助单位圆的对称性进行探究。 如图5.3-2，以 OP_2 为终边的角 \beta 都是与角 \pi+\alpha 终边相同的角，即 $\beta = 2k\pi + (\pi+\alpha)(k \in \mathbb{Z})$。因此，只要探究角 \pi+\alpha 与 \alpha 的三角函数值之间的关系即可。 设 P_1(x_1, y_1), $P_2(x_2, y_2)$。因为 P_2 是点 P_1 关于原点的对称点，所以 x_2 = -x_1, y_2 = -y_1. 根据三角函数的定义，得 \sin \alpha = y_1, \cos \alpha = x_1, \tan \alpha = \frac{y_1}{x_1}; \sin(\pi+\alpha) = y_2, \cos(\pi+\alpha) = x_2, \tan(\pi+\alpha) = \frac{y_2}{x_2}. 从而得

角 \pi+\alpha 还可以看作是角 \alpha 的终边按逆时针方向旋转角 \pi 得到的。

图5.3-2

188 第五章 三角函数

公式二

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin \alpha,$ $\cos(\pi+\alpha)=-\cos \alpha,$ \tan(\pi+\alpha)=\tan \alpha.

如图 5.3-3, 作 P_1 关于 x 轴的对称点 P_3, 则以 OP_3 为终边的角为 -\alpha, 并且有

图 5.3-3

公式三

$\sin(-\alpha)=-\sin \alpha,$ $\cos(-\alpha)=\cos \alpha,$ \tan(-\alpha)=-\tan \alpha.

如图 5.3-4, 作 P_1 关于 y 轴的对称点 P_4, 则以 OP_4 为终边的角为 \pi-\alpha, 并且有

公式四

$\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha,$ $\cos(\pi-\alpha)=-\cos \alpha,$ \tan(\pi-\alpha)=-\tan \alpha.

图 5.3-4

请你类比公式二, 证明公式三和公式四.

例1 利用公式求下列三角函数值: (1) \cos 225^\circ; (2) \sin \frac{8\pi}{3}; (3) \sin\left(-\frac{16\pi}{3}\right); (4) \tan(-2040^\circ).

解: (1) $\cos 225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)$ \qquad = -\cos 45^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2};

(2) $\sin \frac{8\pi}{3}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)$ $\qquad = \sin \frac{2\pi}{3} = \sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$ \qquad = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2};

第五章 三角函数 189

(3)

\begin{aligned}
\sin\left(-\frac{16\pi}{3}\right)&=-\sin\frac{16\pi}{3} \\
&=-\sin\left(5\pi+\frac{\pi}{3}\right) \\
&=-\left(-\sin\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2};
\end{aligned}

(4)

\begin{aligned}
\tan(-2040^\circ)&=-\tan 2040^\circ \\
&=-\tan(6\times360^\circ-120^\circ) \\
&=\tan 120^\circ=\tan(180^\circ-60^\circ) \\
&=-\tan 60^\circ=-\sqrt{3}.
\end{aligned}

❓ 思考 由例1,你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?

利用公式一~公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进行:

graph LR
    A[任意负角的三角函数] -->|用公式三或一| B[任意正角的三角函数]
    B -->|用公式一| C[0 ~ 2π的角的三角函数]
    C -->|用公式二或四| D[锐角的三角函数]

数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题,数学家制作了锐角三角函数表,并通过公式一~公式四,按上述步骤解决了问题. 现在,我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值,所以这些公式的“求值”作用已经不重要了,但它们所体现的三角函数的对称性,在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用.

例2 化简

\frac{\cos(180^\circ+\alpha)\sin(\alpha+360^\circ)}{\tan(-\alpha-180^\circ)\cos(-180^\circ+\alpha)}.

解:

\begin{aligned}
\tan(-\alpha-180^\circ)&=\tan[-(180^\circ+\alpha)] \\
&=-\tan(180^\circ+\alpha) \\
&=-\tan \alpha,
\end{aligned}

\begin{aligned}
\cos(-180^\circ+\alpha)&=\cos[-(180^\circ-\alpha)] \\
&=\cos(180^\circ-\alpha) \\
&=-\cos \alpha,
\end{aligned}

190 第五章 三角函数

所以

原式=\frac{-\cos \alpha \sin \alpha}{(-\tan \alpha)(-\cos \alpha)} = -\cos \alpha.

练习

1. 将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上: (1) \cos \frac{13}{9}\pi = \underline{\hspace{3cm}} ; (2) \sin(1+\pi) = \underline{\hspace{3cm}} ; (3) \sin(-\frac{\pi}{5}) = \underline{\hspace{3cm}} ; (4) \tan(-70^\circ 6') = \underline{\hspace{3cm}} ; (5) \cos \frac{6\pi}{7} = \underline{\hspace{3cm}} ; (6) \tan 1000^\circ 21' = \underline{\hspace{3cm}} .

2. 利用公式求下列三角函数值: (1) \cos(-420^\circ); (2) \sin(-\frac{7}{6}\pi); (3) \tan(-1140^\circ); (4) \cos(-\frac{77}{6}\pi); (5) \tan 315^\circ; (6) \sin(-\frac{11}{4}\pi).

3. 化简: (1) \sin(-\alpha-180^\circ)\cos(-\alpha)\sin(-\alpha+180^\circ); (2) \cos^3(-\alpha)\sin(2\pi+\alpha)\tan^3(-\alpha-\pi).

4. 填表:

\alpha	\frac{4\pi}{3}	-\frac{5\pi}{4}	\frac{5\pi}{3}	-\frac{7\pi}{4}	-\frac{8\pi}{3}	\frac{11\pi}{4}
\sin \alpha
\cos \alpha
\tan \alpha

下面在探究1的基础上继续探究.

探究2

作 P_1 关于直线 y=x 的对称点 P_5, 以 OP_5 为终边的角 \gamma 与角 \alpha 有什么关系? 角 \gamma 与角 \alpha 的三角函数值之间有什么关系?

如图5.3-5, 以 OP_5 为终边的角 \gamma 都是与角 \frac{\pi}{2}-\alpha 终边相同的角, 即 \gamma=2k\pi+(\frac{\pi}{2}-\alpha) (k \in \mathbb{Z}). 因此, 只要探究角 \frac{\pi}{2}-\alpha 与 \alpha 的三角函数值之间的关系即可.

第五章 三角函数 191

设$P_5(x_5, y_5)$，由于$P_5$是点$P_1$关于直线$y=x$的对称点，可以证明

x_5=y_1, y_5=x_1. \quad \text{①}

根据三角函数的定义，得

\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=y_5, \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=x_5.

从而得

公式五

sin(π/2 - α) = cos α
cos(π/2 - α) = sin α

图 5.3-5

思考与讨论 你能利用平面几何的知识，就图 5.3-5 所示的情况证明①式吗？其他情况呢？

---

探究3

作$P_5$关于$y$轴的对称点，又能得到什么结论？

---

类似地，可得

公式六

sin(π/2 + α) = cos α
cos(π/2 + α) = -sin α

思考与讨论 角 \frac{\pi}{2}+\alpha 的终边与角 \alpha 的终边具有怎样的对称性？据此你将如何证明公式六？

利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。 公式一~公式六都叫做诱导公式。

例3 证明: (1) \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha; (2) \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha.

证明: (1) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]$ \qquad = -\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = -\cos \alpha;

192 第五章 三角函数

(2) $\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha)=\cos \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]$ = -\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\sin \alpha.

例4 化简 解: 原式

 \frac{\sin(2\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)\cos(\frac{11\pi}{2}-\alpha)}{\cos(\pi-\alpha)\sin(3\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)\sin(\frac{9\pi}{2}+\alpha)} 

 = \frac{(-\sin \alpha)(-\cos \alpha)(-\sin \alpha)\cos\left[5\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]}{(-\cos \alpha)\sin(\pi-\alpha)[-\sin(\pi+\alpha)]\sin\left[4\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\right]} 

 = \frac{-\sin^2 \alpha \cos \alpha \left[-\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]}{(-\cos \alpha)\sin \alpha[- (-\sin \alpha)]\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)} 

 = -\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\tan \alpha. 

例5 已知 \sin(53^\circ-\alpha)=\frac{1}{5}, 且-270^\circ<\alpha<-90^\circ, 求 \sin(37^\circ+\alpha) 的值.

分析: 联系条件与结论, 注意到 (53^\circ-\alpha)+(37^\circ+\alpha)=90^\circ, 由此可利用诱导公式解决问题.

解: 因为 (53^\circ-\alpha)+(37^\circ+\alpha)=90^\circ, 所以由诱导公式五, 得 $\sin(37^\circ+\alpha)=\sin[90^\circ-(53^\circ-\alpha)]$ = \cos(53^\circ-\alpha)

因为 -270^\circ<\alpha<-90^\circ, 所以 143^\circ<53^\circ-\alpha<323^\circ.

由 \sin(53^\circ-\alpha)=\frac{1}{5}>0, 得 143^\circ<53^\circ-\alpha<180^\circ.

所以 $\cos(53^\circ-\alpha)=-\sqrt{1-\sin^2(53^\circ-\alpha)}$ = -\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}.

所以 \sin(37^\circ+\alpha)=-\frac{2\sqrt{6}}{5}.

第五章 三角函数 193

练习

1. 用诱导公式求下列三角函数值 (可用计算工具, 第(3)(4)(6)题精确到 0.000~1): (1) \cos \frac{65}{6}\pi; (2) \sin \left(-\frac{31}{4}\pi\right); (3) \cos (-1182^\circ 13'); (4) \sin 670^\circ 39'; (5) \tan \left(-\frac{26\pi}{3}\right); (6) \tan 580^\circ 21'.

2. 证明: (1) \cos \left(\frac{5}{2}\pi - \alpha\right) = \sin \alpha; (2) \cos \left(\frac{7}{2}\pi + \alpha\right) = \sin \alpha; (3) \sin \left(\frac{9}{2}\pi - \alpha\right) = \cos \alpha; (4) \sin \left(\frac{11}{2}\pi - \alpha\right) = -\cos \alpha.

3. 化简: (1) \frac{\cos \left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}{\sin \left(\frac{5\pi}{2} + \alpha\right)} - \sin(\alpha - 2\pi)\cos(2\pi - \alpha); (2) \cos^2 (-\alpha) - \frac{\tan(2\pi + \alpha)}{\cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}; (3) \frac{\cos(\alpha - 3\pi)\cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right)}{\sin^2 \left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right)}.

---

习题 5.3

复习巩固

1. 用诱导公式求下列三角函数值 (可用计算工具, 第(2)(3)(4)(5)题精确到 0.0001): (1) \cos \left(-\frac{17\pi}{4}\right); (2) \sin (-1574^\circ); (3) \sin (-2160^\circ 52'); (4) \cos (-1751^\circ 36'); (5) \cos 1615^\circ 8'; (6) \sin \left(-\frac{26\pi}{3}\right).

2. 求证: (1) \sin(360^\circ - \alpha) = -\sin \alpha; (2) \cos(360^\circ - \alpha) = \cos \alpha; (3) \tan(360^\circ - \alpha) = -\tan \alpha.

3. 化简: (1) 1 + \sin(\alpha - 2\pi)\sin(\pi + \alpha) - 2\cos^2(-\alpha); (2) \sin(-1071^\circ)\sin 99^\circ + \sin(-171^\circ)\sin(-261^\circ).

4. 在单位圆中, 已知角 \alpha 的终边与单位圆的交点为 P\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right), 分别求角 \pi + \alpha, -\alpha, \frac{\pi}{2} + \alpha 的正弦、余弦函数值.

194 第五章 三角函数

综合运用

5. 已知 $\sin\left(\frac{7\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{3}{5}$，那么 \cos\alpha= ( ). (A) $-\frac{4}{5}$ (B) $-\frac{3}{5}$ (C) $\frac{3}{5}$ (D) \frac{4}{5}

6. 已知 $\sin(\pi+\alpha)=-\frac{1}{2}$，计算: (1) \sin(5\pi-\alpha); (2) \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right); (3) \cos\left(\alpha-\frac{3\pi}{2}\right); (4) \tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right).

7. 在$\triangle ABC$中，试判断下列关系是否成立，并说明理由. (1) \cos(A+B)=\cos C; (2) \sin(A+B)=\sin C; (3) \sin\frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2}; (4) \cos\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}.

8. 已知 $\sin\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=\frac{1}{3}$，且 $0<x<\frac{\pi}{2}$，求 \sin\left(\frac{\pi}{6}+x\right) 和 \cos\left(\frac{2\pi}{3}+x\right) 的值.

拓广探索

9. 化简下列各式，其中 n\in\mathbb{Z}: (1) \sin\left(\frac{n\pi}{2}+\alpha\right); (2) \cos\left(\frac{n\pi}{2}-\alpha\right).

10. 借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？

第五章 三角函数 195

5.4 三角函数的图象与性质

前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论。

我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 $sin(x \pm 2\pi) = sin x, cos(x \pm 2\pi) = cos x$ 来表示。这说明，自变量每增加（减少）$2\pi$，正弦函数值、余弦函数值将重复出现。利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

下面先研究函数 y=sin x, x \in \mathbf{R} 的图象，从画函数 y=sin x, x \in [0, 2\pi] 的图象开始。

思考

在$[0, 2\pi]$上任取一个值$x_0$，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 $sin x_0$，并画出点 T(x_0, sin x_0)?

如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点$O$为圆心的单位圆，$\odot O$与$x$轴正半轴的交点为$A(1, 0)$。在单位圆上，将点$A$绕着点$O$旋转$x_0$弧度至点$B$，根据正弦函数的定义，点$B$的纵坐标$y_0=sin x_0$。由此，以$x_0$为横坐标，$y_0$为纵坐标画点，即得到函数图象上的点$T(x_0, sin x_0)$。

196 第五章 三角函数

若把$x$轴上从$0$到$2\pi$这一段分成$12$等份,使$x_0$的值分别为0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \dots, 2\pi, 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周$12$等分,再按上述画点 T(x_0, \sin x_0) 的方法,就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图 5.4-2).

图 5.4-2

事实上,利用信息技术,可使$x_0$在区间$[0,2\pi]$上取到足够多的值而画出足够多的点 T(x_0, \sin x_0),将这些点用光滑的曲线连接起来,可得到比较精确的函数$y=\sin x, x\in [0,2\pi]$的图象(图 5.4-3).

图 5.4-3

? 思考

根据函数$y=\sin x, x\in [0, 2\pi]$的图象,你能想象函数$y=\sin x, x\in \mathbf{R}$的图象吗?

由诱导公式一可知,函数$y=\sin x, x\in [2k\pi, 2(k+1)\pi], k\in \mathbf{Z}$且$k\ne 0$的图象与 $y=\sin x, x\in [0,2\pi]$的图象形状完全一致. 因此将函数$y=\sin x, x\in [0,2\pi]$的图象 不断向左、向右平移(每次移动$2\pi$个单位长度),就可以得到正弦函数y=\sin x, x\in \mathbf{R} 的图象(图 5.4-4).

正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve),是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.

第五章 三角函数 197

图 5.4-4

? 思考

在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

观察图5.4-3，在函数 y=\sin x, x \in [0, 2\pi] 的图象上，以下五个点： (0, 0), (\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -1), (2\pi, 0)

在确定图象形状时起关键作用。描出这五个点，y=\sin x, x \in [0, 2\pi] 的图象形状就基本确定了。因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图，这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的。

由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数。下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象。

? 思考

你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

对于函数 $y=\cos x$，由诱导公式 \cos x = \sin(x+\frac{\pi}{2}) 得，

y=\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right), x \in \mathbf{R}.

而函数

y=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right), x \in \mathbf{R}

你能说明理由吗？ 的图象可以通过正弦函数

y=\sin x, x \in \mathbf{R}

的图象向左平移 \frac{\pi}{2} 个单位长度而得到，所以，将正弦函数的图象向左平移 \frac{\pi}{2} 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4-5所示。

---

198 第五章 三角函数

---

图 5.4-5: y=\cos x 和 y=\sin x 的图像

(这是一个图像描述，Mermaid语法无法直接绘制此类型的函数图，因此进行文字描述)

该图展示了两个三角函数的连续光滑曲线：

• 实线（粉/紫红色）： y=\sin x, x\in\mathbb{R}
• 虚线（粉/紫红色）： y=\cos x, x\in\mathbb{R}

X轴刻度： ..., -4\pi, -\frac{7\pi}{2}, -3\pi, -\frac{5\pi}{2}, -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, O, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi, \frac{7\pi}{2}, 4\pi, ...

Y轴刻度： y, 1, -1

---

余弦函数$y=\cos x, x\in\mathbf{R}$的图象叫做余弦曲线 (cosine curve). 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

---

探究

类似于用“五点法”画正弦函数图象,找出余弦函数在区间$[-\pi, \pi]$上相应的五个关键点,将它们的坐标填入表5.4-1,然后画出 $y = \cos x, x \in [-\pi, \pi]$的简图.

表 5.4-1

x
\cos x

---

例 1 画出下列函数的简图: (1) y=1+\sin x, x\in[0, 2\pi]; (2) y=-\cos x, x\in[0, 2\pi].

解: (1) 按五个关键点列表:

x	0	\frac{\pi}{2}	\pi	\frac{3\pi}{2}	2\pi
\sin x	0	1	0	-1	0
1+\sin x	1	2	1	0	1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来 (图 5.4-6):

---

图 5.4-6: y=1+\sin x 和 y=\sin x 在 [0, 2\pi] 上的图像

(这是一个图像描述，Mermaid语法无法直接绘制此类型的函数图，因此进行文字描述)

该图展示了两个三角函数在区间 [0, 2\pi] 上的图像：

• 实线（粉/紫红色）带点： y=1+\sin x, x\in[0, 2\pi]
• 虚线（蓝色）带点： y=\sin x, x\in[0, 2\pi]

X轴刻度： O, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, x

Y轴刻度： y, 2, 1, -1

---

第五章 三角函数 199

(2) 按五个关键点列表:

x	0	\frac{\pi}{2}	\pi	\frac{3\pi}{2}	2\pi
\cos x	1	0	-1	0	1
-\cos x	-1	0	1	0	-1

描点并将它们用光滑的曲线连接起来 (图 5.4-7):

(此处应为图像，图中描绘了函数 y=\cos x 和 y=-\cos x 在 x \in [0, 2\pi] 区间上的图像。其中一条曲线（紫色实线）表示 $y=-\cos x, x \in [0, 2\pi]$，另一条曲线（蓝色虚线）表示 $y=\cos x, x \in [0, 2\pi]$。)

图 5.4-7

? 思考

你能利用函数 y=\sin x, x \in [0, 2\pi] 的图象,通过图象变换得到 y=1+\sin x, x \in [0, 2\pi] 的图象吗?同样地,利用函数 y=\cos x, x \in [0, 2\pi] 的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数 y=-\cos x, x \in [0, 2\pi] 的图象?

练习

1. 在同一直角坐标系中,画出函数 y=\sin x, x \in [0, 2\pi], $y=\cos x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 的图象,通过观察两条曲线,说出它们的异同.
2. 用五点法分别画下列函数在 [-\pi, \pi] 上的图象: (1) y=-\sin x; (2) y=2-\cos x.
3. 想一想函数 y=|\sin x| 与 y=\sin x 的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.
4. (多项选择题) 函数 y=1+\cos x, x \in \left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right) 的图象与直线 y=t (t 为常数)的交点可能有( ). (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 (E) 4个

200 第五章 三角函数

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

探究 类比以往对函数性质的研究,你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质?观察它们的图象,你能发现它们具有哪些性质?

根据研究函数的经验,我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等.另外,三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型,与此对应的性质是特别而重要的.

1.周期性

观察正弦函数的图象,可以发现,在图象上,横坐标每隔 2\pi 个单位长度,就会出现纵坐标相同的点,这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律.实际上,这一点既可从定义中看出,也能从诱导公式 \sin(x+2k\pi)=\sin x (k \in \mathbb{Z}) 中得到反映,即自变量 x 的值增加 2\pi 整数倍时所对应的函数值,与 x 所对应的函数值相等,数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律.

一般地,设函数 f(x) 的定义域为 D, 如果存在一个非零常数 T, 使得对每一个 x \in D 都有 x+T \in D, 且

f(x+T)=f(x),

那么函数 f(x) 就叫做周期函数 (periodic function). 非零常数 T 叫做这个函数的周期 (period).

周期函数的周期不止一个,例如, 2\pi, 4\pi, 6\pi, \dots 以及 -2\pi, -4\pi, -6\pi, \dots 都是正弦函数的周期. 事实上, \forall k \in \mathbb{Z} 且 k \neq 0, 常数 2k\pi 都是它的周期.

如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期.

根据上述定义,我们有: 正弦函数是周期函数, 2k\pi(k \in \mathbb{Z} 且 k \neq 0) 都是它的周期, 最小正周期是 2\pi. 类似地,余弦函数也是周期函数, 2k\pi(k \in \mathbb{Z} 且 k \neq 0) 都是它的周期, 最小正周期是 2\pi.¹

---

例2 求下列函数的周期:

(1) y=3\sin x, x \in \mathbb{R}; (2) y=\cos 2x, x \in \mathbb{R}; (3) y=2\sin(\frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6}), x \in \mathbb{R}.

第五章 三角函数 201

分析: 通常可以利用三角函数的周期性,通过代数变形,得出等式 f(x+T)=f(x) 而求出相应的周期。 对于(2), 应从余弦函数的周期性出发,通过代数变形得出 \cos 2(x+T)=\cos 2x, x \in \mathbf{R}; 对于(3), 应从正弦函数的周期性出发,通过代数变形得出 \sin \left[\frac{1}{2}(x+T)-\frac{\pi}{6}\right]=\sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right), x \in \mathbf{R}.

解: (1) \forall x \in \mathbf{R}, 有 $\quad 3\sin(x+2\pi)=3\sin x.$ 由周期函数的定义可知,原函数的周期为 2\pi.

(2) 令 z=2x, 由 x \in \mathbf{R} 得 z \in \mathbf{R}, 且 y=\cos z 的周期为 2\pi, 即 $\quad \cos(z+2\pi)=\cos z,$ $\quad \cos (2x+2\pi)=\cos 2x,$ 于是 $\quad \cos 2(x+\pi)=\cos 2x, x \in \mathbf{R}.$ 所以 由周期函数的定义可知,原函数的周期为 \pi.

(3) 令 z=\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}, 由 x \in \mathbf{R} 得 z \in \mathbf{R}, 且 y=2\sin z 的周期为 2\pi, 即 $\quad 2\sin(z+2\pi)=2\sin z,$ 于是 $\quad 2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right),$ 所以 $\quad 2\sin\left[\frac{1}{2}(x+4\pi)-\frac{\pi}{6}\right]=2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right).$ 由周期函数的定义可知,原函数的周期为 4\pi.

? 思考 回顾例2的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗?

2. 奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线,可以看到正弦曲线关于原点$O$对称,余弦曲线关于$y$轴对称.这个事实,也可由诱导公式 $\quad \sin(-x)=-\sin x, \cos(-x)=\cos x$ 得到,所以 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.

? 思考 知道一个函数具有周期性和奇偶性,对研究它的图象与性质有什么帮助?

202 第五章 三角函数

转换失败: 转换第207页失败，已重试3次

转换失败: 转换第208页失败，已重试3次

正弦函数在每一个闭区间 \left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi\right](k \in \mathbb{Z}) 上都单调递增, 其值从 -1 增大到 1; 在每一个闭区间 \left[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right](k \in \mathbb{Z}) 上都单调递减, 其值从 1 减小到 -1.

类似地, 观察余弦函数在一个周期区间 (如 [-\pi, \pi]) 上函数值的变化规律, 将看到的函数值的变化情况填入表 5.4-3:

表 5.4-3

x	-\pi	\nearrow	-\frac{\pi}{2}	\nearrow	0	\nearrow	\frac{\pi}{2}	\nearrow	\pi
\cos x

由此可得, 函数 y=\cos x, x \in [-\pi, \pi] 在区间 __________ 上单调递增, 其值从 -1 增大到 1; 在区间 __________ 上单调递减, 其值从 1 减小到 -1. 由余弦函数的周期性可得, 余弦函数在每一个闭区间 __________ 上都单调递增, 其值从 -1 增大到 1; 在每一个闭区间 __________ 上都单调递减, 其值从 1 减小到 -1.

4. 最大值与最小值

从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到, 正弦函数当且仅当 x= __________ 时取得最大值 1, 当且仅当 x= __________ 时取得最小值 -1; 余弦函数当且仅当 x= __________ 时取得最大值 1, 当且仅当 x= __________ 时取得最小值 -1.

例 3 下列函数有最大值、最小值吗? 如果有, 请写出取最大值、最小值时自变量 x 的集合, 并求出最大值、最小值. (1) y=\cos x+1, x \in \mathbb{R}; (2) y=-3\sin 2x, x \in \mathbb{R}. 解: 容易知道, 这两个函数都有最大值、最小值. (1) 使函数 y=\cos x+1, x \in \mathbb{R} 取得最大值的 x 的集合, 就是使函数 y=\cos x, x \in \mathbb{R} 取得最大值的 x 的集合 \quad \{x|x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}; 使函数 y=\cos x+1, x \in \mathbb{R} 取得最小值的 x 的集合, 就是使函数 y=\cos x, x \in \mathbb{R} 取得最小值的 x 的集合 \quad \{x|x=(2k+1)\pi, k \in \mathbb{Z}\}.

第五章 三角函数 205

函数$y=\cos x+1, x \in \mathbf{R}$的最大值是1+1=2; 最小值是-1+1=0.

(2) 令z=2x, 使函数$y=-3\sin z, z \in \mathbf{R}$取得最大值的$z$的集合, 就是使$y=\sin z, z \in \mathbf{R}$取得最小值的$z$的集合 \{z|z=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in \mathbf{Z}\}. 由2x=z=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, 得x=-\frac{\pi}{4}+k\pi. 所以, 使函数$y=-3\sin 2x, x \in \mathbf{R}$取得最大值的$x$的集合是 \{x|x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbf{Z}\}.

同理, 使函数$y=-3\sin 2x, x \in \mathbf{R}$取得最小值的$x$的集合是 \{x|x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbf{Z}\}.

函数$y=-3\sin 2x, x \in \mathbf{R}$的最大值是3, 最小值是-3.

例4 不通过求值,比较下列各组数的大小: (1) \sin(-\frac{\pi}{18}) 与 \sin(-\frac{\pi}{10}); (2) \cos(-\frac{23\pi}{5}) 与 \cos(-\frac{17\pi}{4}).

分析: 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小,为此,先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较大小.

解: (1) 因为 -\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{10}<-\frac{\pi}{18}<0, 正弦函数$y=\sin x$在区间 $[-\frac{\pi}{2}, 0]$上单调递增,所以 \sin(-\frac{\pi}{18})>\sin(-\frac{\pi}{10}).

(2) \cos(-\frac{23\pi}{5})=\cos \frac{23\pi}{5}=\cos \frac{3\pi}{5}, \cos(-\frac{17\pi}{4})=\cos \frac{17\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}. 因为0<\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{5}<\pi, 且函数$y=\cos x$在区间$[0, \pi]$上单调递减,所以 \cos \frac{\pi}{4}>\cos \frac{3\pi}{5}, 即 \cos(-\frac{17\pi}{4})>\cos(-\frac{23\pi}{5}).

? 你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗?试一试。

206 第五章 三角函数

例5 求函数y=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right), $x \in [-2\pi, 2\pi]$的单调递增区间.

分析: 令z=\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}, x \in [-2\pi, 2\pi], 当自变量$x$的值增大时, $z$的值也随之增大, 因此若函数$y=\sin z$在某个区间上单调递增, 则函数$y=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right)$在相应的区间上也一定单调递增.

解: 令z=\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}, x \in [-2\pi, 2\pi], 则z \in \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right].

因为y=\sin z, $z \in \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right]$的单调递增区间是\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], 且由

-\frac{\pi}{2} \le \frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2},

得-\frac{5\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{3}.

所以, 函数y=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right), $x \in [-2\pi, 2\pi]$的单调递增区间是\left[-\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right].

---

? 思考

你能求出函数y=\sin\left(-\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right), $x \in [-2\pi, 2\pi]$的单调递增区间吗?

---

练习

1. 观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的$x$所在的区间: (1) \sin x>0; (2) \sin x<0; (3) \cos x>0; (4) \cos x<0.

2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并求出最大值、最小值. (1) y=2\sin x, x \in \mathbf{R}; (2) y=2-\cos \frac{x}{3}, x \in \mathbf{R}.

3. 下列关于函数y=4\sin x, $x \in [0, 2\pi]$的单调性的叙述,正确的是 ( ). (A) 在$[0, \pi]$上单调递增, 在$[\pi, 2\pi]$上单调递减 (B) 在$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$上单调递增, 在$\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$上单调递减 (C) 在$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$及$\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$上单调递增, 在$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$上单调递减 (D) 在$\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$上单调递增, 在$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$及$\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$上单调递减

4. 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) \cos \frac{2}{7}\pi 与 \cos\left(-\frac{3\pi}{5}\right); (2) \sin 250^\circ 与 \sin 260^\circ.

5. 求函数y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right), $x \in [0, \pi]$的单调递减区间.

---

第五章 三角函数 207

转换失败: 转换第212页失败，已重试3次

转换失败: 转换第213页失败，已重试3次

2. 奇偶性

由诱导公式

 \tan(-x) = -\tan x, x \in \mathbb{R}, \text{ 且 } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} 

可知，正切函数是奇函数。

(?) 思考 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图像及其他性质会有什么帮助？

(🔍) 探究 如何画出函数 y=\tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) 的图像？

可以先考察函数 y=\tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) 的图像与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展。

如图 5.4-9，设 $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$，在直角坐标系中画出角 x 的终边与单位圆的交点 $B(x_0, y_0)$，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 $M$；过点 A(1, 0) 作 x 轴的垂线与角 x 的终边交于点 $T$，则

 \tan x=\frac{y_0}{x_0}=\frac{MB}{OM}=\frac{AT}{OA}=AT. 

由此可见，当 x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) 时，线段 AT 的长度就是相应角 x 的正切值。我们可以利用线段 AT 画出函数 y=\tan x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) 的图像，如图 5.4-10 所示。

观察图 5.4-10 可知，当 x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) 时，随着 x 的增大，线段 AT 的长度也在增大，而且当 x 趋向于 \frac{\pi}{2} 时，AT 的长度

210 第五章 三角函数

趋向于无穷大。相应地，函数 y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2}) 的图象从左向右呈不断上升趋势， 且向右上方无限逼近直线 $x=\frac{\pi}{2}$。

探究

你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征？

根据正切函数是奇函数，只要画 y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2}) 的图象关于原点的对称图形，就可得到 y=\tan x, x \in (-\frac{\pi}{2}, 0] 的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数 y=\tan x, x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) 的图象向左、右平移，每次平移 \pi 个单位，就可得到正切函数 y=\tan x, x \in \mathbf{R}, x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbf{Z} 的图象，我们把它叫做正切曲线 (tangent curve) (图 5.4-11)。

从图 5.4-11 可以看出，正切曲线是由被与 y 轴平行的一系列直线 x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbf{Z} 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的。

3. 单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间 (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) 上单调递增。 由正切函数的周期性可得，

第五章 三角函数 211

正切函数在每一个区间$\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi\right)(k\in\mathbf{Z})$上都单调递增。

4. 值域

当$x\in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$时，$\tan x$在$(-\infty, +\infty)$内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值。 因此，正切函数的值域是实数集 R。

例 6 求函数$y=\tan\left(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\right)$的定义域、周期及单调区间。 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论。 解：自变量$x$的取值应满足 \frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\neq k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbf{Z}, 即 x\neq 2k+\frac{1}{3}, k\in\mathbf{Z}. 所以，函数的定义域是$\left{x\left|x\neq 2k+\frac{1}{3}, k\in\mathbf{Z}\right.\right}$。 设$z=\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}$，又$\tan(z+\pi)=\tan z$， 所以 \tan\left[\left(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\right)+\pi\right]=\tan\left(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\right), 即 \tan\left[\frac{\pi}{2}(x+2)+\frac{\pi}{3}\right]=\tan\left(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\right). 因为$\forall x\in \left{x\left|x\neq 2k+\frac{1}{3}, k\in\mathbf{Z}\right.\right}$都有 \tan\left[\frac{\pi}{2}(x+2)+\frac{\pi}{3}\right]=\tan\left(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}\right), 所以，函数的周期为 2。 由$-\frac{\pi}{2}+k\pi < \frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbf{Z}$解得 -\frac{5}{3}+2k < x < \frac{1}{3}+2k, k\in\mathbf{Z}. 因此，函数的单调递增区间为$\left(-\frac{5}{3}+2k, \frac{1}{3}+2k\right), k\in\mathbf{Z}$。

212 第五章 三角函数

练习

1. 借助函数 y=\tan x 的图象解不等式 \tan x \ge -1, x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi).
2. 观察正切曲线, 写出满足下列条件的 x 值的范围: (1) \tan x > 0; (2) \tan x = 0; (3) \tan x < 0.
3. 求函数 y=\tan 3x 的定义域.
4. 求下列函数的周期: (1) y=\tan 2x, x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} (k \in \mathbb{Z}); (2) y=5\tan \frac{x}{2}, x \ne (2k+1)\pi (k \in \mathbb{Z}).
5. 不通过求值, 比较下列各组中两个正切值的大小: (1) \tan (-52^\circ) 与 \tan (-47^\circ); (2) \tan \frac{13\pi}{4} 与 \tan \frac{17\pi}{5}.

习题 5.4

复习巩固

1. 画出下列函数的简图: (1) y=1-\sin x, x \in [0, 2\pi]; (2) y=3\cos x+1, x \in [0, 2\pi].
2. 求下列函数的周期: (1) y=\sin^2 \frac{x}{3}, x \in \mathbb{R}; (2) y=\frac{1}{2}\cos 4x, x \in \mathbb{R}.
3. 下列函数中, 哪些是奇函数? 哪些是偶函数? 哪些既不是奇函数, 也不是偶函数? (1) y=|\sin x|; (2) y=1-\cos 2x; (3) y=-3\sin 2x; (4) y=1+2\tan x.
4. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量 x 的集合, 并求出最大值、最小值: (1) y=1-\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{3}x, x \in \mathbb{R}; (2) y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4}), x \in \mathbb{R}; (3) y=-\frac{3}{2}\cos(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}), x \in \mathbb{R}; (4) y=\frac{1}{2}\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}), x \in \mathbb{R}.
5. 利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小: (1) \sin 103^\circ 15' 与 \sin 164^\circ 30'; (2) \cos(-\frac{3}{10}\pi) 与 \cos(-\frac{4}{9}\pi); (3) \sin 508^\circ 与 \sin 144^\circ; (4) \cos \frac{47}{10}\pi 与 \cos \frac{44}{9}\pi.
6. 求下列函数的单调区间: (1) y=1+\sin x, x \in [0, 2\pi]; (2) y=-\cos x, x \in [0, 2\pi].
7. 求函数 y=-\tan(x+\frac{\pi}{6})+2 的定义域.
8. 求函数 y=\tan(2x-\frac{\pi}{3}), x \ne \frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k \in \mathbb{Z}) 的周期.

第五章 三角函数 213

9. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小: (1) \tan\left(-\frac{\pi}{5}\right) 与 \tan\left(-\frac{3\pi}{7}\right); (2) \tan 1519^\circ 与 \tan 1493^\circ; (3) \tan \frac{9}{11}\pi 与 \tan\left(-\frac{3}{11}\pi\right); (4) \tan \frac{7\pi}{8} 与 \tan \frac{\pi}{6}.

综合运用

10. 求下列函数的值域: (1) y=\sin x, x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]; (2) y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right), x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right].
11. 根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的 x 的取值集合: (1) \sin x \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x \in \mathbf{R}); (2) \sqrt{2}+2\cos x \geq 0(x \in \mathbf{R}).
12. 下列四个函数中,以 \pi 为最小正周期,且在区间\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) 上单调递减的是 ( ). (A) $y=|\sin x|$ (B) $y=\cos x$ (C) $y=\tan x$ (D) y=\cos \frac{x}{2}
13. 若 x 是斜三角形的一个内角,写出使下列不等式成立的 x 的集合: (1) 1+\tan x \leq 0; (2) \tan x-\sqrt{3} \geq 0.
14. 求函数 y=-\tan\left(2x-\frac{3\pi}{4}\right) 的单调区间.
15. 已知函数 y=f(x) 是定义在 \mathbf{R} 上周期为 2 的奇函数,若 f(0.5)=1, 求 f(1), f(3.5) 的值.
16. 已知函数 f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), x \in \mathbf{R}, (1) 求 f(x) 的最小正周期; (2) 求 f(x) 在区间 \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

拓广探索

17. 在直角坐标系中,已知 \odot O 是以原点 O 为圆心,半径长为 2 的圆,角 x(\text{rad}) 的终边与 \odot O 的交点为 B,求点 B 的纵坐标 y 关于 x 的函数解析式,并借助信息技术画出其图象.
18. 已知函数 y=f(x)(x \in \mathbf{R}) 是周期函数,周期为 2,其部分图象如图所示, (图示：一个周期为2的函数图象，在x轴上标注有-1, O, 1，y轴上标注有1。图像从(-1,0)点开始，上升到(0,1)点，再下降到(1,0)点，然后重复此模式，形成一系列V形波。y轴最大值为1。) (第18题) (1) 写出函数 y=f(x) 的解析式; (2) 画出函数 y=f(x+1) 的图象.
19. 容易知道,正弦函数 y=\sin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心,除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,那么对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,那么对称轴的方程是什么?你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.

214 第五章 三角函数

---

1. 证明从略. 同学们可以从函数图象上观察出这一结论. 今后本书中所涉及的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期. ↩︎