977 lines
30 KiB
JSON
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30 KiB
JSON
{
|
||
"教材信息": {
|
||
"教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
|
||
"章节": "第五章 三角函数"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "任意角的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形",
|
||
"关键要素": ["射线", "旋转", "顶点"],
|
||
"符号表示": "∠AOB，其中O为顶点，OA为始边，OB为终边"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "推广角的概念，为研究周期性现象奠定基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"动态性：强调旋转过程",
|
||
"方向性：区分正角和负角",
|
||
"扩展性：角度可以超过360°"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究旋转运动和周期性变化的基础",
|
||
"特殊说明": "正角：逆时针旋转，负角：顺时针旋转"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-1-1-02", "K5-1-1-03"],
|
||
"常见混淆": "角的大小与角的终边位置的关系",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.1节 P168-169"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["角的概念理解", "正负角判断", "终边位置分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "象限角的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边落在第几象限，就称这个角为第几象限角",
|
||
"关键要素": ["顶点在原点", "始边在x轴正半轴", "终边所在象限"],
|
||
"符号表示": "α为第几象限角"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立角与坐标系的联系，便于研究三角函数性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"标准化：统一的角的位置标准",
|
||
"象限性：明确角所在的象限"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "确定三角函数符号的基础",
|
||
"特殊说明": "终边在坐标轴上的角不属于任何象限"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "象限角与终边相同的角的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.1节 P170"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["象限角判断", "终边位置确定"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "终边相同的角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "两个角的终边重合，则称这两个角终边相同",
|
||
"关键要素": ["终边重合", "顶点相同", "始边相同"],
|
||
"符号表示": "与α终边相同的角：α + k·360° (k∈Z)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "研究角的周期性，简化角的表示",
|
||
"核心特征": [
|
||
"周期性：相差360°的整数倍",
|
||
"等价性：三角函数值相等"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "简化角的表示，研究三角函数周期性",
|
||
"特殊说明": "终边相同的角有无数个"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "终边相同与角的大小相等",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.1节 P171"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["终边相同角表示", "集合表示"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "弧度制的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示",
|
||
"关键要素": ["弧长等于半径", "圆心角", "单位rad"],
|
||
"符号表示": "1 rad, 2π rad = 360°"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立角的弧度制，使角度计算更自然",
|
||
"核心特征": [
|
||
"自然性：弧长等于半径时的角度",
|
||
"无纲性：弧度是无量纲的量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "高等数学和物理中的角度表示",
|
||
"特殊说明": "弧度制使三角函数公式更简洁"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-1-2-02"],
|
||
"常见混淆": "弧度与角度的混用",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.1节 P172-174"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["弧度概念理解", "弧度与角度互换"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "弧度与角度的换算",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "弧度制与角度制之间的换算关系",
|
||
"关键要素": ["2π rad = 360°", "换算比例"],
|
||
"符号表示": "角度化弧度：角度值 × π/180，弧度化角度：弧度值 × 180/π"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立两种角度制的对应关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"线性关系：成正比例关系",
|
||
"可逆性：可以相互换算"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "在实际计算中进行角度单位的转换",
|
||
"特殊说明": "记住几个特殊角的对应关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "换算公式的分子分母位置",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.1节 P175"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["角度弧度换算", "特殊角记忆"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "任意角三角函数的定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设α是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r>0)，那么：sinα = y/r, cosα = x/r, tanα = y/x",
|
||
"关键要素": ["终边上的点", "坐标与距离", "比值定义"],
|
||
"符号表示": "sin α = y/r, cos α = x/r, tan α = y/x (x≠0)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将直角三角形中的三角函数推广到任意角",
|
||
"核心特征": [
|
||
"比值不变性：与终边上点的选择无关",
|
||
"几何直观性：具有明确的几何意义"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究任意角的三角函数性质",
|
||
"特殊说明": "tanα要求x≠0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-2-1-02", "K5-2-1-03"],
|
||
"常见混淆": "定义中的坐标与距离的关系",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.2节 P178-180"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["三角函数定义应用", "定义域求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "三角函数的几何意义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "三角函数在单位圆中的几何表示",
|
||
"关键要素": ["单位圆", "坐标表示", "长度表示"],
|
||
"符号表示": "单位圆：x² + y² = 1, sin α = 纵坐标y, cos α = 横坐标x, tan α = 过(1,0)的切线纵坐标"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用几何图形直观表示三角函数",
|
||
"核心特征": [
|
||
"直观性：在单位圆中有明确的几何意义",
|
||
"一致性：与定义完全一致"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解三角函数的性质和变化规律",
|
||
"特殊说明": "单位圆半径为1"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单位圆中各三角函数的几何表示",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.2节 P181-183"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["几何意义理解", "单位圆应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "同角三角函数的基本关系",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "同一个角的三角函数之间的关系",
|
||
"关键要素": ["平方关系", "商数关系"],
|
||
"符号表示": "sin²α + cos²α = 1（平方关系），tan α = sin α / cos α（商数关系）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立同角三角函数间的联系，简化计算",
|
||
"核心特征": [
|
||
"恒等性：对所有有意义的角都成立",
|
||
"实用性：简化三角函数表达式"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "三角函数式的化简和证明",
|
||
"特殊说明": "注意定义域的限制"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "公式的应用条件和变形",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.2节 P184-186"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["三角恒等式证明", "化简求值"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "诱导公式一（周期性）",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "终边相同的角的三角函数值相等",
|
||
"关键要素": ["终边相同", "三角函数值相等"],
|
||
"符号表示": "sin(α + 2kπ) = sin α, cos(α + 2kπ) = cos α, tan(α + 2kπ) = tan α (k∈Z)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "体现三角函数的周期性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"周期性：三角函数的周期为2π",
|
||
"不变性：函数值保持不变"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "将任意角转化为[0,2π)范围内的角",
|
||
"特殊说明": "k为任意整数"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "周期性与终边相同的关系",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.3节 P188"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["诱导公式应用", "三角函数求值"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "诱导公式二（π±α）",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "角π±α的三角函数与角α的三角函数的关系",
|
||
"关键要素": ["关于原点对称", "符号变化规律"],
|
||
"符号表示": "sin(π + α) = -sin α（正弦变号），cos(π + α) = -cos α（余弦变号），sin(π - α) = sin α（正弦不变），cos(π - α) = -cos α（余弦变号）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "利用对称关系简化三角函数计算",
|
||
"核心特征": [
|
||
"对称性：利用坐标对称关系",
|
||
"规律性：符号变化有规律可循"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "将钝角三角函数转化为锐角三角函数",
|
||
"特殊说明": "符号变化规律：奇变偶不变，符号看象限"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "符号变化的记忆方法",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.3节 P189-190"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["诱导公式应用", "符号判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "诱导公式三（-α）",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "负角的三角函数与正角三角函数的关系",
|
||
"关键要素": ["关于x轴对称", "奇偶性"],
|
||
"符号表示": "sin(-α) = -sin α（奇函数），cos(-α) = cos α（偶函数），tan(-α) = -tan α（奇函数）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "体现三角函数的奇偶性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"奇偶性：正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数",
|
||
"对称性：利用关于x轴的对称性"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理负角的三角函数计算",
|
||
"特殊说明": "体现了三角函数的奇偶性质"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "奇函数与偶函数的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.3节 P191"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["奇偶性判断", "负角三角函数计算"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-3-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "诱导公式四（π/2±α）",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "角π/2±α的三角函数与角α的三角函数的关系",
|
||
"关键要素": ["函数名互换", "符号变化"],
|
||
"符号表示": "sin(π/2 + α) = cos α（正弦变余弦），cos(π/2 + α) = -sin α（余弦变正弦）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "实现三角函数的相互转换",
|
||
"核心特征": [
|
||
"函数互换：正弦与余弦互换",
|
||
"符号确定：根据象限确定符号"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "三角函数的相互转换和简化",
|
||
"特殊说明": "配合'奇变偶不变，符号看象限'记忆"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "函数名互换的规律",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.3节 P192-193"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["诱导公式综合应用", "函数转换"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "正弦函数的图像",
|
||
"类型": "概念/图像",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y = sin x(x∈R)的图像叫做正弦曲线",
|
||
"关键要素": ["周期性", "波形特征", "关键点"],
|
||
"符号表示": "y = sin x"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "直观展示正弦函数的变化规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"波形性：连续的波形曲线",
|
||
"周期性：每2π重复一次",
|
||
"对称性：关于原点对称"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解正弦函数的性质和应用",
|
||
"特殊说明": "通过'五点法'可以快速作图"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01", "K3-1-2-03"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "正弦函数与余弦函数图像的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.4节 P195-197"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["图像绘制", "图像性质分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "余弦函数的图像",
|
||
"类型": "概念/图像",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y = cos x(x∈R)的图像叫做余弦曲线",
|
||
"关键要素": ["周期性", "波形特征", "关键点"],
|
||
"符号表示": "y = cos x"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "直观展示余弦函数的变化规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"波形性：连续的波形曲线",
|
||
"周期性：每2π重复一次",
|
||
"对称性：关于y轴对称"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解余弦函数的性质和应用",
|
||
"特殊说明": "余弦函数图像是正弦函数图像向左平移π/2个单位"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-4-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "余弦函数与正弦函数图像的关系",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.4节 P198-199"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图像绘制", "函数关系分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "正弦函数的性质",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "正弦函数y = sin x的基本性质",
|
||
"关键要素": ["定义域", "值域", "周期性", "奇偶性", "单调性"],
|
||
"符号表示": "定义域：R，值域：[-1, 1]，周期：2π，奇偶性：奇函数"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "系统总结正弦函数的特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"有界性：值域限制在[-1,1]",
|
||
"周期性：最小正周期为2π",
|
||
"对称性：奇函数，关于原点对称"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析正弦函数变化规律的基础",
|
||
"特殊说明": "在[2kπ-π/2, 2kπ+π/2]上单调递增"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-4-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单调区间与周期的关系",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.4节 P200-202"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "最值求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "余弦函数的性质",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "余弦函数y = cos x的基本性质",
|
||
"关键要素": ["定义域", "值域", "周期性", "奇偶性", "单调性"],
|
||
"符号表示": "定义域：R，值域：[-1, 1]，周期：2π，奇偶性：偶函数"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "系统总结余弦函数的特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"有界性：值域限制在[-1,1]",
|
||
"周期性：最小正周期为2π",
|
||
"对称性：偶函数，关于y轴对称"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析余弦函数变化规律的基础",
|
||
"特殊说明": "在[2kπ, 2kπ+π]上单调递减"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-4-1-02"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "余弦函数与正弦函数性质的异同",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.4节 P203-204"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "函数比较"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-3-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "正切函数的图像与性质",
|
||
"类型": "概念/图像",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y = tan x(x≠π/2+kπ)的图像和性质",
|
||
"关键要素": ["定义域", "值域", "周期性", "渐近线"],
|
||
"符号表示": "定义域：{x|x≠π/2+kπ, k∈Z}，值域：R，周期：π"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "了解正切函数的完整特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"无界性：值域为全体实数",
|
||
"周期性：最小正周期为π",
|
||
"渐近性：有垂直渐近线"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究斜率变化和周期现象",
|
||
"特殊说明": "在每个周期内都是单调递增的"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "正切函数与正弦、余弦函数的差异",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.4节 P205-207"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图像绘制", "性质应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "两角和与差的余弦公式",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "两个角的和与差的余弦函数公式",
|
||
"关键要素": ["两角和差", "余弦转换"],
|
||
"符号表示": "cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β，cos(α-β) = cos α cos β + sin α sin β"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将两角的和差转化为单角的三角函数",
|
||
"核心特征": [
|
||
"可逆性：可从左边推出右边，也可从右边推出左边",
|
||
"对称性：和差公式符号相反"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "三角函数恒等变换的基础",
|
||
"特殊说明": "注意符号规律"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-5-1-02"],
|
||
"常见混淆": "和差公式的符号记忆",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.5节 P210-212"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["公式应用", "三角恒等变换"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "两角和与差的正弦公式",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "两个角的和与差的正弦函数公式",
|
||
"关键要素": ["两角和差", "正弦转换"],
|
||
"符号表示": "sin(α+β) = sin α cos β + cos α sin β，sin(α-β) = sin α cos β - cos α sin β"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将两角的和差转化为单角的三角函数",
|
||
"核心特征": [
|
||
"可逆性：可双向推导",
|
||
"一致性：符号与和差一致"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "三角函数恒等变换的重要公式",
|
||
"特殊说明": "结合余弦公式可以推导其他公式"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-5-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "与余弦公式的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.5节 P213-214"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["公式记忆", "化简求值"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "两角和与差的正切公式",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "两个角的和与差的正切函数公式",
|
||
"关键要素": ["两角和差", "正切转换", "分式形式"],
|
||
"符号表示": "tan(α+β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α tan β)，tan(α-β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α tan β)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "由正弦和余弦公式推导而来",
|
||
"核心特征": [
|
||
"分式性：用分式表示",
|
||
"条件性：要求分母不为零"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "正切函数的恒等变换",
|
||
"特殊说明": "注意公式的定义域限制"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-5-1-01", "K5-5-1-02", "K5-2-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "分母符号的变化",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.5节 P215"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["公式应用", "条件判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-3-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "二倍角公式",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "二倍角的三角函数公式",
|
||
"关键要素": ["二倍角关系", "多种表达形式"],
|
||
"符号表示": "sin 2α = 2 sin α cos α，cos 2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α，tan 2α = 2tan α/(1 - tan²α)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将二倍角转化为单角三角函数",
|
||
"核心特征": [
|
||
"多样性：余弦二倍角有三种形式",
|
||
"应用性：在积分和微分中广泛应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "简化二倍角的三角函数表达式",
|
||
"特殊说明": "根据需要选择合适的余弦二倍角形式"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-5-1-01", "K5-5-1-02", "K5-5-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-5-3-02"],
|
||
"常见混淆": "余弦二倍角的三种形式选择",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.5节 P216-217"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["公式选择", "恒等变换"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-3-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "半角公式",
|
||
"类型": "公式/定理",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "半角的三角函数公式",
|
||
"关键要素": ["半角关系", "平方根形式"],
|
||
"符号表示": "sin(α/2) = ±√((1 - cos α)/2)，cos(α/2) = ±√((1 + cos α)/2)，tan(α/2) = ±√((1 - cos α)/(1 + cos α))"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将半角转化为整角的三角函数",
|
||
"核心特征": [
|
||
"开方性：涉及平方根运算",
|
||
"符号性：需要根据象限确定符号"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理半角的三角函数计算",
|
||
"特殊说明": "符号由半角所在的象限决定"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-5-3-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "符号的确定方法",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.5节 P218"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["半角计算", "符号判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-6-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数y=Asin(ωx+φ)的参数意义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y = Asin(ωx + φ)中各个参数的几何和物理意义",
|
||
"关键要素": ["振幅A", "角频率ω", "初相位φ"],
|
||
"符号表示": "A：振幅，决定最大值和最小值；ω：角频率，决定周期 T = 2π/|ω|；φ：初相位，决定图像的左右平移"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述简谐运动的完整特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"振幅性：A控制振动的幅度",
|
||
"周期性：ω控制振动的快慢",
|
||
"相位性：φ控制振动的起始位置"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析和描述各种周期性现象",
|
||
"特殊说明": "A>0，ω≠0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-4-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-6-1-02"],
|
||
"常见混淆": "各个参数的作用机制",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.6节 P222-224"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["参数分析", "物理意义理解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-6-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换",
|
||
"类型": "方法/变换",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "从y = sin x到y = Asin(ωx + φ)的图像变换过程",
|
||
"关键要素": ["振幅变换", "周期变换", "相位变换"],
|
||
"符号表示": "y = sin x → y = Asin(ωx + φ)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "理解复合变换对图像的影响",
|
||
"核心特征": [
|
||
"顺序性：变换顺序影响最终结果",
|
||
"组合性：多种变换的组合效果"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "绘制复杂三角函数图像的方法",
|
||
"特殊说明": "一般先相位变换，再周期变换，最后振幅变换"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-6-1-01", "K3-1-2-03"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "变换顺序对结果的影响",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.6节 P225-227"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图像变换", "参数求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-7-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "三角函数模型的建立",
|
||
"类型": "方法/建模",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "根据实际问题建立三角函数数学模型的方法",
|
||
"关键要素": ["问题分析", "模型选择", "参数确定", "模型验证"],
|
||
"符号表示": "实际问题 → 三角函数模型 → 参数求解 → 模型应用"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用数学方法描述和解决周期性现象",
|
||
"核心特征": [
|
||
"周期性：适用于具有周期特征的现象",
|
||
"预测性：可以预测未来的变化趋势"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理具有周期性变化规律的实际问题",
|
||
"特殊说明": "需要结合具体问题特点选择合适模型"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-6-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "模型选择的标准和参数确定方法",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.7节 P230-232"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["建模问题", "实际应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K5-7-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "三角函数在物理中的应用",
|
||
"类型": "应用/实例",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "三角函数在物理学中的典型应用",
|
||
"关键要素": ["简谐振动", "交流电", "波动现象"],
|
||
"符号表示": "物理量随时间的变化规律"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "三角函数是描述周期性物理现象的理想工具",
|
||
"核心特征": [
|
||
"普适性：适用于多种物理现象",
|
||
"精确性：能够精确描述物理过程"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究物理学中的周期性现象",
|
||
"特殊说明": "需要理解物理背景和数学形式的对应关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K5-6-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "物理量与数学参数的对应关系",
|
||
"教材位置": "必修1 第5章5.7节 P233-235"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["物理建模", "跨学科应用"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |