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# 第二章
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## 直线和圆的方程
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在以往的几何学习中，我们常常通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法研究几何图形的形状、大小和位置关系，这种方法通常称为综合法。本章我们采用坐标法研究几何图形的性质，坐标法是解析几何中最基本的研究方法。
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解析几何是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的，它的基本内涵和方法是：通过坐标系，把几何的基本元素——点和代数的基本对象——数（有序数对或数组）对应起来，在此基础上建立曲线（点的轨迹）的方程，从而把几何问题转化为代数问题，再通过代数方法研究几何图形的性质。解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑，数学从此进入变量数学时期，它为微积分的创建奠定了基础。
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本章我们将在平面直角坐标系中，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，并通过直线的方程研究两条直线的位置关系、交点坐标以及点到直线的距离等，类似地，通过确定圆的几何要素，建立圆的方程，再通过圆的方程研究与圆相关的问题；最后应用直线和圆的方程解决一些实际问题。
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[图片描述: 在日落时分，一座宏伟的斜拉桥横跨水面。桥上有车辆行驶，桥身结构清晰可见，由主塔和多条拉索组成。天空呈现温暖的橙粉色调，水面平静，映照着落日的余晖。远处的岸边有树木的剪影。|标题: 夕阳下的斜拉桥|图片编号:1]
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# 2.1 直线的倾斜角与斜率
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我们知道,点是构成直线的基本元素,在平面直角坐标系中,可以用坐标表示点,那么,如何用坐标表示直线呢?为了用代数方法研究直线的有关问题,本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素,然后用代数方法把这些几何要素表示出来.
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## 2.1.1 倾斜角与斜率
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**? 思考**
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确定一条直线的几何要素是什么?对于平面直角坐标系中的一条直线$l$(图 2.1-1),如何利用坐标系确定它的位置?
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[图片描述:平面直角坐标系中，一条直线$l$通过原点O，与x轴正方向和y轴正方向相交。x轴和y轴在原点O处相交。|标题:图 2.1-1|图片1]
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我们知道,两点确定一条直线,一点和一个方向也可以确定一条直线.设$A, B$为直线上的两点,则$\vec{AB}$就是这条直线的方向向量,所以,两点确定一条直线可以归结为一点和一个方向确定一条直线.在平面直角坐标系中,经过一点$P$可以作无数条直线$l_1, l_2, l_3, \cdots$,它们组成一个直线束(图 2.1-2),这些直线的区别是什么?
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在平面直角坐标系中,我们规定水平直线的方向向右,其他直线向上的方向为这条直线的方向.因此,这些直线的区别是它们的方向不同.如何表示这些直线的方向?
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我们看到,这些直线相对于$x$轴的倾斜程度不同,也就是它们与$x$轴所成的角不同.因此,我们可以利用这样的角来表示这些直线的方向.
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[图片描述:平面直角坐标系中，原点为O，有一点P。多条直线($l_1, l_2, l_3, l'$)经过点P，形成一个直线束。每条直线与x轴正向之间形成一个倾斜角，例如$l_1$形成锐角$\alpha_1$，直线$l'$形成钝角$\alpha'$。图中还标注了$\alpha_2, \alpha_3$。|标题:图 2.1-2|图片2]
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当直线$l$与$x$轴相交时,我们以$x$轴为基准,$x$轴正向与直线$l$向上的方向之间所成的角$\alpha$叫做直线的**倾斜角** (angle of inclination).图 2.1-2 中直线$l_1$的倾斜角$\alpha_1$为锐角,直线$l'$的倾斜角$\alpha'$为钝角.当直线$l$与$x$轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为$0^\circ$.因此,直线的倾斜角$\alpha$的取值范围为
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$0^\circ \leq \alpha < 180^\circ.$
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这样，在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角，而且方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。因此，我们可以用倾斜角表示平面直角坐标系中一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向。
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下面我们进一步研究刻画直线倾斜程度的方法。
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设 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$ (其中 $x_1 \neq x_2$) 是直线 $l$ 上的两点。由两点确定一条直线可知，直线 $l$ 由点 $P_1, P_2$ 唯一确定。所以，可以推断，直线 $l$ 的倾斜角一定与 $P_1, P_2$ 两点的坐标有内在联系。
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### 探究
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在平面直角坐标系中，设直线 $l$ 的倾斜角为 $\alpha$。
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(1) 已知直线 $l$ 经过 $O(0,0)$，$P(\sqrt{3}, 1)$，$\alpha$ 与 $O, P$ 的坐标有什么关系？
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(2) 类似地，如果直线 $l$ 经过 $P_1(-1,1)$，$P_2(\sqrt{2},0)$，$\alpha$ 与 $P_1, P_2$ 的坐标又有什么关系？
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(3) 一般地，如果直线 $l$ 经过两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$，$x_1 \neq x_2$，那么 $\alpha$ 与 $P_1, P_2$ 的坐标有怎样的关系？
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下面我们利用向量法探究上述问题。
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对于问题 (1)，如图 2.1-3(1)，向量 $\vec{OP} = (\sqrt{3}, 1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角为 $\alpha$。由正切函数的定义，有
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$$
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\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}
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$$
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[图片描述: 这是一个二维平面直角坐标系，包含x轴和y轴，以及原点O。图中标示了点P的坐标为($\sqrt{3}$, 1)。从原点O到点P画有一条蓝色的有向线段OP。在x轴正方向与线段OP之间形成的夹角被标记为$\alpha$。|标题: 图2.1-3 (1)|图片编号: 1]
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[图片描述: 这是一个二维平面直角坐标系，包含x轴和y轴，以及原点O。图中标示了两个点：P1($-1,1$)和P2($\sqrt{2},0$)。一条浅蓝色的直线穿过P1和P2。在x轴正方向与这条直线之间形成一个夹角，被标记为$\alpha$。同时，从原点O画出一条粉色的有向线段OP，它平行于P1P2的直线，并且在x轴正方向与这条粉色线段OP之间形成的夹角也被标记为$\alpha$。|标题: 图2.1-3 (2)|图片编号: 2]
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图 2.1-3
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对于问题 (2)，如图 2.1-3(2)，$\vec{P_2P_1} = (-1-\sqrt{2}, 1-0) = (-1-\sqrt{2}, 1)$。平移向量 $\vec{P_2P_1}$ 到 $OP$，则点 $P$ 的坐标为 $(-1-\sqrt{2}, 1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角也是 $\alpha$。由正切函数的定义，有
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$$
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\tan \alpha = \frac{1}{-1-\sqrt{2}} = 1-\sqrt{2}
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$$
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一般地，如图 2.1-4，当向量 $\vec{P_1P_2}$ 的方向向上时，$\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$。平移向量 $\vec{P_1P_2}$ 到 $OP$，则点 $P$ 的坐标为 $(x_2-x_1, y_2-y_1)$，且直线 $OP$ 的倾斜角也是 $\alpha$。
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切函数的定义,有
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$tan\ \alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
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[图片描述: 坐标系中两条直线及倾斜角的示意图。左图：一条向上倾斜的直线穿过点P1和P2，向量P从P1向上指向P2，倾斜角$\alpha$在原点O和P1处标示。右图：一条向下倾斜的直线穿过点P1和P2，向量P从P1向下指向P2，倾斜角$\alpha$在原点O和P1处标示。两图中$\alpha$都表示直线与x轴正方向的夹角。|标题:图 2.1-4|图片1]
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同样,当向量$\vec{P_2P_1}$的方向向上时,如图 2.1-5, $\vec{P_2P_1}=(x_1-x_2, y_1-y_2)$,也有
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$tan\ \alpha=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
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[图片描述: 坐标系中两条直线及倾斜角的示意图。左图：一条向上倾斜的直线穿过点P2和P1，向量P从P2向上指向P1，倾斜角$\alpha$在原点O和P2处标示。右图：一条向下倾斜的直线穿过点P2和P1，向量P从P2向下指向，倾斜角$\alpha$在原点O和P2处标示。两图中$\alpha$都表示直线与x轴正方向的夹角。|标题:图 2.1-5|图片2]
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> **? 思考**
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> 当直线$P_1P_2$与$x$轴平行或重合时,上述式子还成立吗?为什么?
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综上可知,直线$l$的倾斜角$\alpha$与直线$l$上的两点 $P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$ ($x_1 \neq x_2$)的坐标有如下关系:
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$tan\ \alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ①
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我们把一条直线的倾斜角$\alpha$的正切值叫做这条直线的**斜率** (slope).斜率常用小写字母$k$表示,即
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> 日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=$\frac{铅直高度}{水平宽度}$；当直线的倾斜角为锐角时,直线的斜率与坡度是类似的.
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$k=tan\ \alpha.$ ②
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倾斜角是$90^\circ$的直线没有斜率,倾斜角不是$90^\circ$的直线都有斜率.例如,倾斜角$\alpha=30^\circ$时,这条直线的斜率
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$k=tan\ 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$;
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倾斜角$\alpha=120^\circ$时,这条直线的斜率
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> **?**
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> 当直线的倾斜角由$0^\circ$逐渐增大到$180^\circ$时,其斜率如何变化?为什么?
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$k=\tan 120^\circ=-\tan 60^\circ=-\sqrt{3}$.
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由正切函数的单调性，倾斜角不同的直线，其斜率也不同。因此，我们可以用斜率表示倾斜角不等于$90^\circ$的直线相对于$x$轴的倾斜程度，进而表示直线的方向。
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如果直线经过两点 $P_1(x_1, y_1)$，$P_2(x_2, y_2)$ $(x_1 \neq x_2)$，那么由①②可得如下的斜率公式:
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$$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
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我们发现，在平面直角坐标系中，倾斜角和斜率分别从形和数两个角度刻画了直线相对于$x$轴的倾斜程度。
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> **思考**
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> (1) 已知直线上的两点$A(a_1, a_2)$，$B(b_1, b_2)$，运用上述公式计算直线$AB$的斜率时，与$A,B$两点的顺序有关吗？
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> (2) 当直线平行于$y$轴，或与$y$轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
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我们知道，直线$P_1P_2$上的向量$\vec{P_1P_2}$以及与它平行的非零向量都是直线的方向向量。直线$P_1P_2$的方向向量$\vec{P_1P_2}$的坐标为
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$(x_2-x_1, y_2-y_1)$.
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当直线$P_1P_2$与$x$轴不垂直时，$x_1 \neq x_2$。此时向量$\frac{1}{x_2-x_1}\vec{P_1P_2}$也是直线$P_1P_2$的方向向量，且它的坐标为$\frac{1}{x_2-x_1}(x_2-x_1, y_2-y_1)$，即$(1, \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1})=(1, k)$，其中$k$是直线$P_1P_2$的斜率。因此，若直线$l$的斜率为$k$，它的一个方向向量的坐标为$(x, y)$，则$k=\frac{y}{x}$。
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**例 1** 如图2.1-6，已知$A(3, 2)$，$B(-4, 1)$，$C(0, -1)$，求直线$AB, BC, CA$的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。
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**解：** 直线$AB$的斜率$k_{AB} = \frac{1-2}{-4-3} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$;
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直线$BC$的斜率$k_{BC} = \frac{-1-1}{0-(-4)} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$;
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直线$CA$的斜率$k_{CA} = \frac{2-(-1)}{3-0} = \frac{3}{3} = 1$.
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由$k_{AB} > 0$及$k_{CA} > 0$可知，直线$AB$与$CA$的倾斜角均为锐角；由$k_{BC} < 0$可知，直线$BC$的倾斜角为钝角。
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[图片描述:一个直角坐标系，显示了三个点A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)以及连接这些点形成的线段AB、BC和CA，构成一个三角形。x轴的刻度从-4到3，y轴的刻度从-2到3。|标题:图2.1-6|图片1]
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## 练习
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1. 已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率:
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(1) $\alpha=30^\circ$;
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(2) $\alpha=45^\circ$;
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(3) $\alpha=\frac{2\pi}{3}$;
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(4) $\alpha=\frac{3\pi}{4}$
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2. 已知下列直线的斜率,求直线的倾斜角:
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(1) $k=0$;
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(2) $k=\sqrt{3}$;
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(3) $k=-\sqrt{3}$;
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(4) $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$
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3. 求经过下列两点的直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角:
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(1) $C(18, 8)$, $D(4, -4)$;
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(2) $P(0, 0)$, $Q(-1, 3)$.
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4. 已知$a, b, c$是两两不等的实数,求经过下列两点的直线的倾斜角:
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(1) $A(a, c)$, $B(b, c)$;
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(2) $C(a, b)$, $D(a, c)$;
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(3) $P(b, b+c)$, $Q(a, c+a)$.
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5. 经过$A(0, 2)$, $B(-1, 0)$两点的直线的方向向量为$(1, k)$,求$k$的值.
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### 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
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为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线,我们从确定直线位置的几何要素出发,引入直线的倾斜角,再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率,从数的角度刻画了直线相对于$x$轴的倾斜程度,并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式,从而把几何问题转化为代数问题.下面,我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系.
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> **? 思考**
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> 我们知道,平面中两条直线有两种位置关系:相交、平行,当两条直线$l_1$与直线$l_2$平行时,它们的斜率$k_1$与$k_2$满足什么关系?
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> 若没有特别说明,说“两条直线$l_1, l_2$”时,指两条不重合的直线.
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如图2.1-7,若$l_1 // l_2$,则$l_1$与$l_2$的倾斜角$\alpha_1$与$\alpha_2$相等,由$\alpha_1=\alpha_2$,可得$\tan \alpha_1=\tan \alpha_2$,即$k_1=k_2$.因此,若$l_1 // l_2$,则$k_1=k_2$.
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反之,当$k_1=k_2$时,$\tan \alpha_1=\tan \alpha_2$,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,$\alpha_1=\alpha_2$,因此$l_1 // l_2$.
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于是,对于斜率分别为$k_1, k_2$的两条直线$l_1, l_2$,有
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$$l_1 // l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2.$$
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[图片描述:平面直角坐标系中，y轴和x轴相交于原点O。有两条直线$l_1$和$l_2$平行于彼此，它们与x轴正方向的夹角分别为$\alpha_1$和$\alpha_2$，图中清晰显示$\alpha_1 = \alpha_2$。$l_1$和$l_2$均为斜向上方，呈现正斜率。|标题:图2.1-7|图片编号:1]
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显然,当$\alpha_1=\alpha_2=90^\circ$时,直线的斜率不存在,此时$l_1//l_2$. 若直线$l_1,l_2$重合,此时仍然有$k_1=k_2$.用斜率证明三点共线时,常常用到这个结论.
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**例2** 已知$A(2, 3)$, $B(-4, 0)$, $P(-3, 1)$, $Q(-1,2)$,试判断直线 $AB$ 与$PQ$的位置关系,并证明你的结论.
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**解**: 如图2.1-8,由已知可得
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直线$BA$的斜率$k_{BA} = \frac{3-0}{2-(-4)} = \frac{1}{2}$
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直线$PQ$的斜率$k_{PQ} = \frac{2-1}{-1-(-3)} = \frac{1}{2}$
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因为$k_{BA}=k_{PQ}$,所以直线$AB//PQ$.
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[图片描述:一个坐标系，包含两条直线。第一条直线通过点B(-4,0)和A(2,3)。第二条直线通过点P(-3,1)和Q(-1,2)。两条直线是平行的。x轴范围为-4到2，y轴范围为-1到4。|标题:图2.1-8|图片1]
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**例3** 已知四边形$ABCD$的四个顶点分别为$A(0, 0)$, $B(2, -1)$, $C(4, 2)$, $D(2, 3)$,试判断四边形$ABCD$ 的形状,并给出证明.
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**解**: 如图2.1-9,由已知可得
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$AB$边所在直线的斜率$k_{AB} = -\frac{1}{2}$
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$CD$边所在直线的斜率$k_{CD} = -\frac{1}{2}$
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$BC$边所在直线的斜率$k_{BC} = \frac{3}{2}$
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$DA$边所在直线的斜率$k_{DA} = \frac{3}{2}$.
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因为$k_{AB}=k_{CD}$,$k_{BC}=k_{DA}$,所以 $AB//CD$, $BC//DA$.
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因此四边形$ABCD$是平行四边形.
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[图片描述:一个坐标系，包含一个四边形ABCD。顶点A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)。x轴范围为0到5，y轴范围为-1到4。|标题:图2.1-9|图片2]
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显然,当两条直线相交时,它们的斜率不相等;反之,当两条直线的斜率不相等时,它们相交. 在相交的位置关系中,垂直是最特殊的情形. 当直线$l_1,l_2$垂直时,它们的斜率除了不相等外,是否还有特殊的数量关系?
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设两条直线$l_1,l_2$的斜率分别为$k_1,k_2$,则直线$l_1,l_2$ 的方向向量分别是 $\mathbf{a} = (1, k_1)$, $\mathbf{b}=(1, k_2)$,于是
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$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow \mathbf{a} \perp \mathbf{b} \Leftrightarrow \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \Leftrightarrow 1 \times 1+k_1k_2=0$,即$k_1k_2=-1$.
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也就是说,$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1k_2=-1$.
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当直线$l_1$或$l_2$的倾斜角为$90^\circ$时,若$l_1 \perp l_2$,则另一条直线的倾斜角为$0^\circ$;反之亦然.
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由上我们得到,如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于
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-1; 反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直，即
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$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1 k_2 = -1$.
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**例4** 已知$A(-6, 0)$, $B(3, 6)$, $P(0, 3)$, $Q(6, -6)$, 试判断直线 $AB$ 与 $PQ$ 的位置关系。
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**解:** 直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB} = \frac{6-0}{3-(-6)} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$,
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直线 $PQ$ 的斜率 $k_{PQ} = \frac{-6-3}{6-0} = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2}$.
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因为 $k_{AB} k_{PQ} = \frac{2}{3} \times (-\frac{3}{2}) = -1$, 所以直线 $AB \perp PQ$.
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**例5** 已知$A(5, -1)$, $B(1, 1)$, $C(2, 3)$三点,试判断$\triangle ABC$的形状.
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**分析:** 如图2.1-10, 猜想 $AB \perp BC$, $\triangle ABC$ 是直角三角形.
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**解:** 边 $AB$ 所在直线的斜率 $k_{AB} = \frac{1-(-1)}{1-5} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$, 边 $BC$ 所在直线的斜率 $k_{BC} = \frac{3-1}{2-1} = \frac{2}{1} = 2$.
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由 $k_{AB} k_{BC} = (-\frac{1}{2}) \times 2 = -1$, 得 $AB \perp BC$, 即 $\angle ABC = 90^\circ$.
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所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形.
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[图片描述: 坐标系中绘制了一个三角形ABC。A点位于(5, -1)，B点位于(1, 1)，C点位于(2, 3)。坐标轴显示x轴从O到5，y轴从-1到4。从图中可以看出AB和BC两条线段近似垂直。|标题:图2.1-10|图片编号:1]
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## 练习
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1. 判断下列各对直线是否平行或垂直:
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(1) 经过 $A(2, 3)$, $B(-1, 0)$ 两点的直线 $l_1$, 与经过点 $P(1, 0)$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l_2$;
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(2) 经过 $C(3, 1)$, $D(-2, 0)$ 两点的直线 $l_3$, 与经过点 $M(1, -4)$ 且斜率为 $-5$ 的直线 $l_4$.
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2. 试确定 $m$ 的值, 使过 $A(m, 1)$, $B(-1, m)$ 两点的直线与过 $P(1, 2)$, $Q(-5, 0)$ 两点的直线:
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(1) 平行;
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(2) 垂直.
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## 习题2.1
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## 复习巩固
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1. 已知直线斜率的绝对值等于 $1$, 求直线的倾斜角.
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2. 已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点是 $A(2,3)$, $B(1, -1)$, $C(-1, -2)$, $D(-2,2)$, 求四边形 $ABCD$ 的四条边所在直线的斜率.
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3. $m$ 为何值时,
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(1) 经过 $A(-m, 6)$, $B(1, 3m)$ 两点的直线的斜率是 $12$?
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(2) 经过 $A(m, 2)$, $B(-m, -2m-1)$ 两点的直线的倾斜角是 $60^\circ$?
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4. 已知 $A(1,2)$, $B(-1, 0)$, $C(3,4)$ 三点, 这三点是否在同一条直线上? 为什么?
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5. 判断下列不同的直线 $l_1$ 与 $l_2$ 是否平行:
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(1) $l_1$ 的斜率为 $2$, $l_2$ 经过 $A(1,2)$, $B(4,8)$ 两点;
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(2) $l_1$ 经过 $P(3, 3)$, $Q(-5,3)$ 两点, $l_2$ 平行于 $x$ 轴, 但不经过 $P,Q$ 两点;
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(3) $l_1$ 经过 $M(-1, 0)$, $N(-5,-2)$ 两点, $l_2$ 经过 $R(-4,3)$, $S(0,5)$ 两点.
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6. 判断下列直线 $l_1$ 与 $l_2$ 是否垂直:
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(1) $l_1$ 的斜率为 $-\frac{2}{3}$, $l_2$ 经过点 $A(1,1)$, $B(0,-\frac{1}{2})$;
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(2) $l_1$ 的倾斜角为 $45^\circ$, $l_2$ 经过 $P(-2,-1)$, $Q(3,-6)$ 两点;
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(3) $l_1$ 经过 $M(1, 0)$, $N(4,-5)$ 两点, $l_2$ 经过 $R(-6, 0)$, $S(-1, 3)$ 两点.
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## 综合运用
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7. 过 $A(m^2+2, m^2-3)$, $B(3-m-m^2, 2m)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45^\circ$, 求 $m$ 的值.
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8. 经过点 $P(0,-1)$ 作直线 $l$, 若直线 $l$ 与连接 $A(1,-2)$, $B(2,1)$ 两点的线段总有公共点, 求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 与斜率 $k$ 的取值范围, 并说明理由.
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9. 已知点 $M(2,2)$ 和 $N(5,-2)$, 点 $P$ 在 $x$ 轴上, 且 $\angle MPN$ 为直角, 求点 $P$ 的坐标.
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## 拓广探索
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10. 已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点是 $A(2,2+2\sqrt{2})$, $B(-2,2)$, $C(0,2-2\sqrt{2})$, $D(4,2)$, 求证: 四边形 $ABCD$ 为矩形.
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## 2.2 直线的方程
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我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线。这样，在平面直角坐标系中，给定一个点 $P_0(x_0, y_0)$ 和斜率 $k$ (或倾斜角)，就能唯一确定一条直线。也就是说，这条直线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 与点 $P_0$ 的坐标 $(x_0, y_0)$ 和斜率 $k$ 之间的关系是完全确定的。那么，这一关系如何表示呢？下面我们就来研究这个问题。
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### 2.2.1 直线的点斜式方程
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如图 2.2-1，直线 $l$ 经过点 $P_0(x_0, y_0)$，且斜率为 $k$。设 $P(x, y)$ 是直线 $l$ 上不同于点 $P_0$ 的任意一点，因为直线 $l$ 的斜率为 $k$，由斜率公式得
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$$
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k = \frac{y-y_0}{x-x_0}
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$$
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即
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$$
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y-y_0 = k(x-x_0).
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$$
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[图片描述:一个直角坐标系，横轴为 $x$ 轴，纵轴为 $y$ 轴，原点为 $O$。一条直线 $l$ 穿过坐标系，线上有两个点，一个标记为 $P_0$，另一个标记为 $P$。$P_0$ 位于 $P$ 的左下方。|标题:图 2.2-1|图片1]
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> **思考：**
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> 点 $P_0$ 的坐标 $(x_0, y_0)$ 满足关系式 $y-y_0 = k(x-x_0)$ 吗？
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由上述推导过程可知：
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(1) 直线 $l$ 上每一个点的坐标 $(x,y)$ 都满足关系式 $y-y_0=k(x-x_0)$; 反过来，我们还可以验证
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(2) 坐标满足关系式 $y-y_0=k(x-x_0)$ 的每一个点都在直线上。
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事实上，若点 $P_1(x_1, y_1)$ 的坐标 $x_1, y_1$ 满足关系式 $y-y_0=k(x-x_0)$，则
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$$
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y_1-y_0 = k(x_1-x_0).
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$$
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当 $x_1=x_0$ 时，$y_1=y_0$，这时点 $P_1$ 与 $P_0$ 重合，显然有点 $P_1$ 在直线上；
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当 $x_1 \neq x_0$ 时，有 $k=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$，这表明过点 $P_1, P_0$ 的直线 $l_1$ 的斜率为 $k$。因为直线 $l, l_1$ 的斜率都为 $k$，且都过
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> **知识点：建立直线的方程**
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> 建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标 $x$, 纵坐标 $y$ 所满足的关系式。
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点$P_0$，所以它们重合，所以，点$P_1$在直线$l$上。
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由(1)(2)可得：坐标满足关系式$y-y_0=k(x-x_0)$的点一定在直线$l$上；直线$l$上任意一点的坐标一定满足关系式$y-y_0=k(x-x_0)$。我们把方程
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$y-y_0=k(x-x_0)$
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称为过点$P_0(x_0, y_0)$，斜率为$k$的直线$l$的方程。
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方程$y-y_0=k(x-x_0)$由直线上一个定点$(x_0, y_0)$及该直线的斜率$k$确定，我们把它叫做直线的**点斜式方程**，简称**点斜式** (point slope form)。
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**? 思考**
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(1) 当直线$l$的倾斜角为$0^\circ$时，直线$l$的方程是什么？为什么？
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(2) 当直线$l$的倾斜角为$90^\circ$时，直线$l$的方程如何表示？为什么？
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当直线$l$的倾斜角为$0^\circ$时 (图 2.2-2)，$\tan 0^\circ=0$，即$k=0$，这时直线$l$与$x$轴平行或重合，直线$l$的方程是
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$y-y_0=0$，即$y=y_0$。
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[图片描述:一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y，原点为O。一条水平直线l穿过y轴上的某一点P0，且与y轴垂直，表示倾斜角为0度的直线。|标题:图 2.2-2|图片1] [图片描述:一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y，原点为O。一条垂直直线l穿过x轴上的某一点P0，且与x轴垂直，表示倾斜角为90度的直线。|标题:图 2.2-3|图片2]
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当直线$l$的倾斜角为$90^\circ$时 (图 2.2-3)，由于$\tan 90^\circ$无意义，直线没有斜率，这时直线$l$与$y$轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。又因为这时直线$l$上每一点的横坐标都等于$x_0$，所以它的方程是
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$x-x_0=0$，即$x=x_0$。
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**例 1** 直线$l$经过点$P_0(-2, 3)$，且倾斜角$\alpha=45^\circ$，求直线$l$的点斜式方程，并画出直线$l$。
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**解**: 直线$l$经过点$P_0(-2, 3)$，斜率$k=\tan 45^\circ=1$，代入点斜式方程得
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$y-3=x+2$。
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画图时，只需再找出直线$l$上的另一点$P_1(x_1, y_1)$，例如，取$x_1=-1$，则$y_1=4$，得点$P_1$的坐标为$(-1, 4)$，过$P_0$，$P_1$两点的直线即为所求，如图 2.2-4 所示。
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[图片描述:一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y，原点为O。坐标轴上标有刻度。一条直线l通过点P0(-2, 3)和P1(-1, 4)，呈现向上倾斜的趋势，表示斜率为1的直线。|标题:图 2.2-4|图片3]
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下面我们看点斜式的一种特殊情形：如果斜率为$k$的直线$l$过点$P_0(0, b)$，这时$P_0$是直线$l$与$y$轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
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$$y-b=k(x-0),$$
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即
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$$y=kx+b.$$
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> [图片描述:一个带有问号的黄色提示框，内有文本“截距是距离吗？”|标题:疑问提示|图片1]
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> 截距是距离吗?
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我们把直线$l$与$y$轴的交点$(0, b)$的纵坐标$b$叫做直线$l$在$y$轴上的**截距** (intercept). 这样，方程 $y=kx+b$ 由直线的斜率$k$与它在$y$轴上的截距$b$确定，我们把方程 $y=kx+b$ 叫做直线的**斜截式方程**，简称**斜截式** (slope intercept form)，其中，$k$和$b$均有明显的几何意义：$k$是直线的斜率，$b$是直线在$y$轴上的截距.
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> **思考**
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>
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> 方程 $y=kx+b$ 与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道，一次函数的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数 $y=kx+b$? 你能说出一次函数 $y=2x-1$, $y=3x$ 及 $y=-x+3$ 图象的特点吗?
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**例2** 已知直线$l_1: y=k_1x+b_1$, $l_2: y=k_2x+b_2$, 试讨论：(1) $l_1//l_2$ 的条件是什么？(2) $l_1 \perp l_2$ 的条件是什么？
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**分析**：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现 $l_1//l_2$ 或 $l_1 \perp l_2$ 时，$k_1, k_2$ 与 $b_1, b_2$ 应满足的关系.
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**解**：(1) 若 $l_1//l_2$，则 $k_1=k_2$，此时 $l_1, l_2$ 与 $y$ 轴的交点不同，即 $b_1 \neq b_2$；反之，若 $k_1=k_2$，且 $b_1 \neq b_2$，则 $l_1//l_2$.
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(2) 若 $l_1 \perp l_2$，则 $k_1k_2=-1$；反之，若 $k_1k_2=-1$，则 $l_1 \perp l_2$.
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由例2我们得到，对于直线 $l_1: y=k_1x+b_1$, $l_2: y=k_2x+b_2$,
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$$l_1//l_2 \Leftrightarrow k_1=k_2 \text{ 且 } b_1 \neq b_2;$$
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$$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow k_1k_2=-1.$$
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## 练习
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1. 写出下列直线的点斜式方程：
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(1) 经过点 $A(3,-1)$，斜率是$\sqrt{2}$;
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(2) 经过点 $B(-\sqrt{2},2)$，倾斜角是$30^\circ$;
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(3) 经过点 $C(0,3)$，倾斜角是$0^\circ$;
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(4) 经过点 $D(-4,-2)$, 倾斜角是 $\frac{2\pi}{3}$.
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**2. 填空题.**
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(1) 已知直线的点斜式方程是 $y-2=x-1$, 那么此直线的斜率是\_\_\_, 倾斜角是\_\_\_;
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(2) 已知直线的点斜式方程是 $y+2=\sqrt{3}(x+1)$, 那么此直线的斜率是\_\_\_, 倾斜角是\_\_\_.
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**3. 写出下列直线的斜截式方程:**
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(1) 斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 在 $y$ 轴上的截距是 $-2$;
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(2) 斜率是 $-2$, 在 $y$ 轴上的截距是 $4$.
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**4. 判断下列各对直线是否平行或垂直:**
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(1) $l_1: y=\frac{1}{2}x+3, l_2: y=\frac{1}{2}x-2$;
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(2) $l_1: y=\frac{5}{3}x, l_2: y=-\frac{3}{5}x$.
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## 2.2.2 直线的两点式方程
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[图片描述: 思考框，内含问号图标和文字“已知直线l经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)(其中x1≠x2, y1≠y2),因为两点确定一条直线,所以直线l是唯一确定的,也就是说,对于直线l上的任意一点P(x,y),它的坐标与点P1,P2的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？”|标题: 思考|图片编号: 1]
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由经过两点 $P_1, P_2$ 的直线的斜率公式可以求出直线 $l$ 的斜率, 因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题.
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当 $x_1 \neq x_2$ 时, 经过两点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 的直线的斜率 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$. 任取 $P_1, P_2$ 中的一点, 例如, 取点 $P_1(x_1, y_1)$, 由直线的点斜式方程, 得
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$$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1),$$
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当 $y_2 \neq y_1$ 时, 上式可写为
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$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
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[图片描述: 提问框，内含问号图标和文字“不利用点斜式方程, 你能求出两点式方程吗？”|标题: 提问|图片编号: 2]
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这就是经过两点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ (其中 $x_1 \neq x_2$, $y_1 \neq y_2$) 的直线的方程, 我们把它叫做直线的**两点式方程**, 简称**两点式**(two-point form).
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在 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 中, 如果 $x_1=x_2$ 或 $y_1=y_2$, 则直线 $P_1P_2$ 没有两点式方程. 当 $x_1=x_2$ 时, 直线 $P_1P_2$ 垂直于 $x$ 轴, 直线方程为 $x-x_1=0$, 即 $x=x_1$; 当 $y_1=y_2$ 时, 直线 $P_1P_2$ 垂直于 $y$ 轴, 直线方程为 $y-y_1=0$, 即 $y=y_1$.
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**例3** 如图2.2-5, 已知直线$l$与$x$轴的交点为$A(a,0)$, 与$y$轴的交点为$B(0,b)$, 其中$a \neq 0, b \neq 0$. 求直线$l$的方程.
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**解:** 将两点$A(a, 0)$, $B(0,b)$的坐标代入两点式, 得
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$$
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\frac{y-0}{b-0} = \frac{x-a}{0-a}
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$$
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即
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$$
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\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1
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$$
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[图片描述: 一个笛卡尔坐标系，包含x轴和y轴。一条直线$l$通过x轴上的点A和y轴上的点B。原点标记为O。直线$l$的斜率为负值。|标题:图2.2-5|图片编号:图1]
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我们把直线$l$与$x$轴的交点$(a,0)$的横坐标$a$叫做直线$l$在$x$轴上的截距, 此时直线$l$在$y$轴上的截距是$b$. 方程$\frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1$由直线$l$在两条坐标轴上的截距$a$与$b$确定, 我们把方程$\frac{x}{a} + \frac{y}{b}=1$叫做直线的**截距式方程**, 简称**截距式** (intercept form).
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||
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**例4** 已知$\triangle ABC$的三个顶点$A(-5,0)$, $B(3,-3)$, $C(0,2)$, 求边$BC$所在直线的方程, 以及这条边上的中线$AM$所在直线的方程.
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**解:** 如图2.2-6, 过$B(3,-3)$, $C(0,2)$的直线的两点式方程为
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$$
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\frac{y-2}{-3-2} = \frac{x-0}{3-0}
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$$
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整理得
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$$
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5x+3y-6=0
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$$
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这就是边$BC$所在直线的方程.
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边$BC$上的中线是顶点$A$与边$BC$中点$M$所连线段, 由中点坐标公式, 可得点$M$的坐标为
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$$
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\left(\frac{3+0}{2}, \frac{-3+2}{2}\right)
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$$
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即$(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$.
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[图片描述: 一个笛卡尔坐标系，包含x轴和y轴，并标有刻度。一个三角形ABC被绘制在坐标系中。顶点A位于(-5,0)，顶点B位于(3,-3)，顶点C位于(0,2)。线段BC的中点M被标出。从顶点A到中点M画了一条线段AM，表示三角形的中线。|标题:图2.2-6|图片编号:图2]
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过$A(-5,0)$, $M(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$两点的直线方程为
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$$
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\frac{y-0}{-\frac{1}{2}-0} = \frac{x+5}{\frac{3}{2}+5}
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$$
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整理可得
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$x+13y+5=0$
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这就是边 $BC$ 上中线 $AM$ 所在直线的方程。
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直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率，这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画。在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位。点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式。
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另外，利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一条直线”的含义。事实上，对于直线 $l$ 上的四个不同点 $P_i(x_i, y_i)$，$i=1,2,3,4$，由 $P_1, P_2$ 确定的直线方程与由 $P_3, P_4$ 确定的直线方程是同一个方程，你能给出证明吗？
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## 练习
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1. 求经过下列两点的直线的两点式方程:
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(1) $P_1(2, 1)$, $P_2(0, -3)$;
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(2) $A(0, 5)$, $B(5, 0)$.
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2. 根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形:
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(1) 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别是 $2, 3$;
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(2) 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别是 $-5, 6$.
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3. 根据下列条件，求直线的方程:
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(1) 过点 $(0, 5)$，且在两坐标轴上的截距之和为 $2$;
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(2) 过点 $(5, 0)$，且在两坐标轴上的截距之差为 $2$.
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## 2.2.3 直线的一般式方程
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观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于 $x,y$ 的二元一次方程。直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题。
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### 思考
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(1) 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 $x,y$ 的二元一次方程表示吗？
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(2) 任意一个关于 $x,y$ 的二元一次方程都表示一条直线吗？
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先看问题(1)。任意一条直线 $l$，在其上任取一点 $P_0(x_0, y_0)$，当直线 $l$ 的斜率为 $k$ 时（此时直线的倾斜角 $\alpha \neq 90^\circ$），其方程为
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$y-y_0=k(x-x_0)$
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> **分类讨论时，常按 $\alpha \neq 90^\circ$ 和 $\alpha = 90^\circ$ 分类，这样可以做到不重不漏。**
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这是关于 $x,y$ 的二元一次方程。
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当直线 $l$ 的斜率不存在，即直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha=90^\circ$ 时，直线的方程为
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$x-x_0=0$,
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上述方程可以认为是关于 $x, y$ 的二元一次方程，因为此时方程中 $y$ 的系数为 $0$。
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方程 $y-y_0=k(x-x_0)$ 和 $x-x_0=0$ 都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 $x, y$ 的二元一次方程表示。
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反之，对于任意一个二元一次方程
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$Ax+By+C=0 \quad (A, B \text{不同时为} 0)$,
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如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线。
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当 $B \ne 0$ 时，方程 $Ax+By+C=0$ 可变形为
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$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$,
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它表示过点 $(0, -\frac{C}{B})$，斜率为 $-\frac{A}{B}$ 的直线。
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当 $B=0$ 时，$A \ne 0$，方程 $Ax+By+C=0$ 可变形为
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$x = -\frac{C}{A}$,
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它表示过点 $(-\frac{C}{A}, 0)$，且垂直于 $x$ 轴的直线。
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由上可知，关于 $x, y$ 的二元一次方程都表示一条直线。
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我们把关于 $x, y$ 的二元一次方程
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$Ax+By+C=0$
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（其中 $A, B$ 不同时为 $0$）叫做直线的**一般式方程**，简称**一般式** (general form)。
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## 探究
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在方程 $Ax+By+C=0$ 中，$A, B, C$ 为何值时，方程表示的直线：
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1. 平行于 $x$ 轴?
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2. 平行于 $y$ 轴?
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3. 与 $x$ 轴重合?
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4. 与 $y$ 轴重合?
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**例5** 已知直线经过点 $A(6, -4)$，斜率为 $-\frac{4}{3}$，求直线的点斜式和一般式方程。
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**解:** 经过点 $A(6, -4)$，斜率为 $-\frac{4}{3}$ 的直线的点斜式方程是
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$y+4 = -\frac{4}{3}(x-6)$,
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化为一般式，得
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$4x+3y-12=0$.
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# 例6
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把直线$l$的一般式方程$x-2y+6=0$化为斜截式,求出直线$l$的斜率以及它在$x$轴与$y$轴上的截距,并画出图形.
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**分析:** 求直线$l$在$x$轴上的截距,即求直线$l$与$x$轴交点的横坐标,只要在直线$l$的方程中令$y=0$即可得$x$的值.
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**解:** 把直线$l$的一般式方程化为斜截式
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$$y = \frac{1}{2}x + 3$$
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因此,直线$l$的斜率$k=\frac{1}{2}$,它在$y$轴上的截距是3.
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在直线$l$的方程$x-2y+6=0$中,令$y=0$,得
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$$x=-6$$
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即直线$l$在$x$轴上的截距是$-6$.
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由上面可得直线$l$与$x$轴、$y$轴的交点分别为
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$A(-6,0)$, $B(0,3)$,
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过$A,B$两点作直线,就得直线$l$(图2.2-7).
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[图片描述: 直角坐标系中一条直线l，通过x轴上的点A(-6,0)和y轴上的点B(0,3)。y轴上有刻度2, 4, 6。|标题: 直线l及其截距|图片编号: 图1]
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> 在直角坐标系中画直线时,通常找出直线与两条坐标轴的交点,然后连接这两个点.
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结合例6,我们可以从几何角度看一个二元一次方程,即一个二元一次方程表示一条直线.
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在代数中,我们研究了二元一次方程的解.因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,所以这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成一条直线.
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平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁,这是笛卡儿的伟大贡献.在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.
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## 练习
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1. 根据下列条件,写出直线的方程,并把它化为一般式:
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(1) 经过点$A(8,-2)$,斜率是$-\frac{1}{2}$;
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(2) 经过点$B(4,2)$,平行于$x$轴;
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(3) 经过点$P_1(3,-2), P_2(5,-4)$;
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(4) 在$x$轴、$y$轴上的截距分别是$\frac{3}{2},-3$.
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2. 求下列直线的斜率以及在$y$轴上的截距,并画出图形:
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(1) $3x+y-5=0$;
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(2) $\frac{x}{4}-\frac{y}{5}=1$;
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(3) $x+2y=0$;
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(4) $7x-6y+4=0$.
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3. 已知直线$l$的方程是$Ax+By+C=0$.
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(1) 当$B \neq 0$时,直线$l$的斜率是多少?当$B=0$时呢?
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(2) 系数$A,B,C$取什么值时,方程$Ax+By+C=0$表示经过原点的直线?
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### 习题 2.2
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#### 复习巩固
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1. 写出满足下列条件的直线的方程:
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(1) 经过点 $A(8, -2)$, 斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$;
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(2) 经过点 $B(-2, 0)$, 且与 $x$ 轴垂直;
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(3) 斜率是 $-4$, 在 $y$ 轴上的截距是 $7$;
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(4) 经过 $A(-1, 8)$, $B(4, -2)$ 两点;
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(5) 在 $y$ 轴上的截距是 $2$, 且与 $x$ 轴平行;
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(6) 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别是 $4$, $-3$.
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2. 判断 $A(1, 3)$, $B(5, 7)$, $C(10, 12)$ 三点是否共线, 并说明理由.
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3. 已知两点 $A(7, -4)$, $B(-5, 6)$, 求线段 $AB$ 的垂直平分线的方程.
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4. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点 $A(8, 5)$, $B(4, -2)$, $C(-6, 3)$, 求经过两边 $AB$ 和 $AC$ 的中点的直线的方程.
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5. 一根弹簧, 挂 $4 \text{ N}$ 的物体时, 长 $20 \text{ cm}$. 在弹性限度内, 所挂物体的重量每增加 $1 \text{ N}$, 弹簧就伸长 $1.5 \text{ cm}$. 试写出弹簧的长度 $l$ (单位: cm) 与所挂物体重量 $G$ (单位: N) 之间关系的方程.
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6. 菱形的两条对角线分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴上, 其长度分别为 $8$ 和 $6$, 求菱形各边所在直线的方程.
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7. 求经过点 $P(2, 3)$, 并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
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8. 求满足下列条件的直线的方程:
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(1) 经过点 $A(3, 2)$, 且与直线 $4x+y-2=0$ 平行;
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(2) 经过点 $C(2, -3)$, 且平行于过 $M(1, 2)$ 和 $N(-1, -5)$ 两点的直线;
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(3) 经过点 $B(3, 0)$, 且与直线 $2x+y-5=0$ 垂直.
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#### 综合运用
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9. $\triangle ABC$ 的三个顶点是 $A(4, 0)$, $B(6, 7)$, $C(0, 3)$, 求:
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(1) 边 $BC$ 上的中线所在直线的方程;
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(2) 边 $BC$ 上的高所在直线的方程;
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(3) 边 $BC$ 的垂直平分线的方程.
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10. 求直线 $Ax+By+C=0$ ($A$, $B$ 不同时为 $0$) 的系数 $A$, $B$, $C$ 分别满足什么关系时, 这条直线有以下性质:
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(1) 与两条坐标轴都相交;
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(2) 只与 $x$ 轴相交;
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(3) 只与 $y$ 轴相交;
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(4) 是 $x$ 轴所在的直线;
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(5) 是 $y$ 轴所在的直线.
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11. 设点 $P_0(x_0, y_0)$ 在直线 $Ax+By+C=0$ 上, 求证: 这条直线的方程还可以写成 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$.
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12. 若直线$l$沿$x$轴向左平移3个单位长度,再沿$y$轴向上平移1个单位长度后,回到原来的位置.试求直线$l$的斜率.
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13. 一条光线从点$P(6,4)$射出,与$x$轴相交于点$Q(2,0)$,经$x$轴反射,求入射光线和反射光线所在直线的方程.
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### 拓广探索
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14. 已知直线$l_1, l_2$的方程分别是$l_1: A_1x+B_1y+C_1=0 (A_1, B_1$不同时为$0)$, $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0 (A_2, B_2$不同时为$0)$, 且$A_1A_2+B_1B_2=0$, 求证: $l_1 \perp l_2$.
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15. 画出直线$l: 2x-y+3=0$, 并在直线$l$外取若干点, 将这些点的坐标代入$2x-y+3$, 求它的值;观察有什么规律, 并把这个规律表示出来.
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## 探究与发现
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### 方向向量与直线的参数方程
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除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程,还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系,它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定,与直线的点斜式方程本质上是一致的.
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如图1,设直线$l$经过点$P_0(x_0, y_0)$, $\mathbf{v}=(m, n)$是它的一个方向向量, $P(x,y)$是直线$l$上的任意一点,则向量$\vec{P_0P}$与$\mathbf{v}$共线.根据向量共线的充要条件,存在唯一的实数$t$,使$\vec{P_0P}=t\mathbf{v}$,即$(x-x_0, y-y_0)=t(m, n)$,所以
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$$
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\begin{cases}
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x=x_0+mt, \\
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y=y_0+nt.
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\end{cases} \quad \text{①}
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$$
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[图片描述:一个二维坐标系，原点为O。一条直线l穿过点$P_0(x_0, y_0)$和点$P(x,y)$。从原点O引出一个向量v，方向与直线l平行。直线l的上方标记M，下方标记N。向量v起点在O点，终点位于第一象限。$P_0$点在x轴负方向，y轴负方向，P点在x轴正方向，y轴正方向，位于直线l上。|标题:图1|图片编号:1]
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在①中,实数$t$是对应点$P$的参变数,简称参数.由上可知,对于直线$l$上的任意一点$P(x,y)$,存在唯一实数$t$使①成立;反之,对于参数$t$的每一个确定的值,由①可以确定直线$l$上的一个点$P(x, y)$.我们把①称为**直线的参数方程**.
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从运动学角度看, $\vec{P_0P}=t\mathbf{v} (t>0)$可以看成质点$P$从点$P_0$出发,以速度$\mathbf{v}=(m,n)$做匀速直线运动,经过时间$t$后的位移,因此,质点$P$的运动轨迹是射线$P_0M$.类似地,你能刻画射线$P_0N$吗?由以上讨论,你能说说方程①的运动学意义吗?
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如果直线$l$与坐标轴不垂直,那么 $mn \neq 0$,由①可得
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$$
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\frac{x-x_0}{m} = t, \quad \frac{y-y_0}{n} = t,
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$$
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消去参数$t$,得
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$$
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||
\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n},
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$$
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即
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$$
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y-y_0 = \frac{n}{m}(x-x_0),
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$$
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这样就得到直线$l$的点斜式方程.
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从另外一个角度思考,因为直线$l$经过点$P_0(x_0, y_0)$,且它的一个方向向量为 $v=(m,n)$,所以直线$l$的斜率$k=\frac{n}{m}$,所以直线的方程为
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$$
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y-y_0 = \frac{n}{m}(x-x_0).
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||
$$
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想一想,直线的参数方程
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$$
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\begin{cases} x=x_0+mt, \\ y=y_0+nt \end{cases}
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$$
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中, $(m, n)$的几何意义是什么?
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## 2.3 直线的交点坐标与距离公式
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在平面几何中，我们对直线作了定性研究。引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式。这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等。
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### 2.3.1 两条直线的交点坐标
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> **③ 思考**
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> 已知两条直线
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> $l_1: A_1x+B_1y+C_1=0,$
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> $l_2: A_2x+B_2y+C_2=0$
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> 相交，它们的交点坐标与直线 $l_1, l_2$ 的方程有什么关系？你能由此得到求两条相交直线交点坐标的方法吗？
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设这两条直线的交点为$P$，则点$P$既在直线$l_1$上，也在直线$l_2$上。所以点$P$的坐标既满足直线$l_1$的方程 $A_1x+B_1y+C_1=0$，也满足直线$l_2$的方程 $A_2x+B_2y+C_2=0$，即点$P$的坐标是方程组
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$$
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\begin{cases}
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A_1x+B_1y+C_1=0,\\
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||
A_2x+B_2y+C_2=0
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||
\end{cases}
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$$
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||
的解。解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标。
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**例1** 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：
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$l_1: 3x+4y-2=0,$
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||
$l_2: 2x+y+2=0.$
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**解:** 解方程组
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$$
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||
\begin{cases}
|
||
3x+4y-2=0,\\
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||
2x+y+2=0
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||
\end{cases}
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||
$$
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得
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$$
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\begin{cases}
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x=-2, \\
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y=2.
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\end{cases}
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$$
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||
所以，$l_1$ 与 $l_2$ 的交点是 $M(-2, 2)$ (图 2.3-1).
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[图片描述: 描绘了一个二维笛卡尔坐标系，包含x轴和y轴。有两条直线：一条蓝色的直线标记为$l_1$，另一条红色的直线标记为$l_2$。这两条直线在点M处相交。根据图示，交点M的坐标大约在 $(-2, 2)$ 位置。x轴的刻度从-2到1，y轴的刻度从-2到2。 | 标题: 相互交的两条直线 | 图片编号: 图1]
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**例2** 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点的坐标:
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(1) $l_1: x-y=0$, $l_2: 3x+3y-10=0$;
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(2) $l_1: 3x-y+4=0$, $l_2: 6x-2y-1=0$;
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(3) $l_1: 3x+4y-5=0$, $l_2: 6x+8y-10=0$.
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||
**分析:** 解直线 $l_1$, $l_2$ 的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则 $l_1$ 与 $l_2$ 相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则 $l_1 // l_2$；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则 $l_1$ 与 $l_2$ 重合。
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**解:**
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(1) 解方程组
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$$
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\begin{cases}
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x-y=0, \\
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||
3x+3y-10=0,
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\end{cases}
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$$
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||
得
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$$
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\begin{cases}
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x=\frac{5}{3}, \\
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||
y=\frac{5}{3}.
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\end{cases}
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||
$$
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||
所以，$l_1$ 与 $l_2$ 相交，交点是 $M(\frac{5}{3}, \frac{5}{3})$。
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||
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||
(2) 解方程组
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||
$$
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\begin{cases}
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3x-y+4=0, \quad ① \\
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||
6x-2y-1=0, \quad ②
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||
\end{cases}
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||
$$
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||
① $\times$ 2 - ② 得 $9=0$，矛盾，这个方程组无解，所以 $l_1$ 与 $l_2$ 无公共点，$l_1 // l_2$。
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||
(3) 解方程组
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||
$$
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||
\begin{cases}
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||
3x+4y-5=0, \quad ① \\
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||
6x+8y-10=0, \quad ②
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||
\end{cases}
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||
$$
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||
① $\times$ 2 得 $6x+8y-10=0$.
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① 和 ② 可以化成同一个方程，即 ① 和 ② 表示同一条直线，$l_1$ 与 $l_2$ 重合。
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**❓ 思考**
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你能用直线的斜率判断上述各对直线的位置关系吗？比较用斜率判断和解方程组这两种方法，你有什么体会？
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# 练习
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1. 求下列两条直线的交点坐标,并画出图形:
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(1) $l_1: 2x+3y=12$, $l_2: x-2y=4$;
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(2) $l_1: x=2$, $l_2: 3x+2y-12=0$.
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2. 判断下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:
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(1) $l_1: 2x-3y=7$, $l_2: 4x+2y=1$;
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(2) $l_1: 2x-6y+4=0$, $l_2: y=\frac{x}{3}+\frac{2}{3}$;
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(3) $l_1: (\sqrt{2}-1)x+y=3$, $l_2: x+(\sqrt{2}+1)y=2$.
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3. 直线$l$经过原点,且经过直线$2x-2y-1=0$与直线$6x-4y+1=0$的交点,求直线$l$的方程.
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## 2.3.2 两点间的距离公式
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我们知道,在各种几何量中,直线段的长度是最基本的.因此,在解析几何中,最基本的公式自然是用平面内两点的坐标表示这两点间距离的公式.
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> **探究**
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> 如图2.3-2,已知平面内两点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, 如何求 $P_1, P_2$ 间的距离 $|P_1P_2|$?
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||
[图片描述:一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y，原点为O。图中有一条直线段连接了点$P_1$和点$P_2$。$P_1$位于第四象限（x轴正半轴下方），$P_2$位于第一象限。该图示直观地展示了平面内两点的位置。|标题:平面内两点的位置示意图|图1]
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我们用平面向量的知识来解决,如图2.3-3,由点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$, 得
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$\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1).$
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于是,
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$$|\vec{P_1P_2}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$
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由此得到 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 两点间的距离公式
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$$|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$$
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特别地,原点$O(0,0)$与任一点$P(x,y)$间的距离
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$$|OP|=\sqrt{x^2+y^2}.$$
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||
[图片描述:一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y，原点为O。图中有一条直线段连接了点$P_1$和点$P_2$。$P_1$位于第四象限，$P_2$位于第一象限。此图与图1类似，在此处用于辅助理解两点间距离公式的向量推导过程。|标题:利用向量推导距离公式的示意图|图2]
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## **? 思考**
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你能利用 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 构造直角三角形, 再用勾股定理推导两点间距离公式吗? 与向量法比较, 你有什么体会?
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### **例3**
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已知点 $A(-1, 2)$, $B(2, \sqrt{7})$, 在 $x$ 轴上求一点 $P$, 使 $|PA|=|PB|$, 并求 $|PA|$ 的值.
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**解**: 设所求点为 $P(x, 0)$, 则
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$|PA|=\sqrt{(x+1)^2+(0-2)^2} = \sqrt{x^2+2x+5}$,
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$|PB|=\sqrt{(x-2)^2+(0-\sqrt{7})^2} = \sqrt{x^2-4x+11}$.
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由 $|PA|=|PB|$, 得
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$x^2+2x+5=x^2-4x+11$.
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解得 $x=1$.
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所以, 所求点为 $P(1, 0)$, 且
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$|PA|=\sqrt{(1+1)^2+(0-2)^2}=2\sqrt{2}$.
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### **例4**
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用坐标法证明: 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
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**分析**: 首先要建立适当的平面直角坐标系, 用坐标表示有关的量, 然后进行代数运算, 最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系.
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**证明**: 如图2.3-4, 四边形 $ABCD$ 是平行四边形. 以顶点 $A$ 为原点, 边 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系.
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[图片描述: 一个平面直角坐标系中绘制了一个平行四边形 ABCD。原点O与点A重合。点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(a,0)，点D的坐标为(b,c)，点C的坐标为(a+b,c)。平行四边形的两条对角线AC和BD用线条连接。图中标注了y轴、x轴及O、A、B、C(a+b,c)、D(b,c)等点和坐标。|标题: 图2.3-4|图片编号: 图1]
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在 $\square ABCD$ 中, 点 $A$ 的坐标是 $(0, 0)$, 设点 $B$ 的坐标为 $(a, 0)$, 点 $D$ 的坐标为 $(b, c)$, 由平行四边形的性质, 得点 $C$ 的坐标为 $(a+b, c)$.
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> **?**
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> 如何由平行四边形的性质, 得到点 $C$ 的坐标为 $(a+b, c)$?
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由两点间的距离公式, 得
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$|AC|^2 = (a+b)^2+c^2$,
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$|BD|^2 = (b-a)^2+c^2$,
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$|AB|^2 = a^2$,
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$|AD|^2 = b^2+c^2$.
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所以
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$|AC|^2+ |BD|^2 = (a+b)^2+c^2 + (b-a)^2+c^2$
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$= a^2+2ab+b^2+c^2 + b^2-2ab+a^2+c^2$
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$= 2a^2+2b^2+2c^2 = 2(a^2+b^2+c^2)$,
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$|AB|^2+ |AD|^2 = a^2+b^2+c^2$.
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所以
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$|AC|^2+ |BD|^2 = 2( |AB|^2+ |AD|^2)$,
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即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
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## ? 思考
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在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题，你能回忆一下证明过程吗？比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会？
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上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为
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```mermaid
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graph LR
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A[第一步:建立坐标系, 用坐标表示有关的量] --> B[第二步:进行有关代数运算]
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B --> C[第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论]
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```
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## ? 思考
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根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗？
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## 练习
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1. 求下列两点间的距离：
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(1) $A(6, 0), B(-2, 0)$;
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(2) $C(0, -4), D(0, -1)$;
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(3) $P(6, 0), Q(0, -2)$;
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(4) $M(2, 1), N(5, -1)$.
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2. 已知$A(a, -5)$与$B(0, 10)$两点间的距离是17，求$a$的值。
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3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
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## 2.3.3 点到直线的距离公式
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### 探究
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如图2.3-5，已知点$P(x_0, y_0)$，直线$l: Ax+By+C=0$，如何求点$P$到直线$l$的距离？
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[图片描述: 该图片展示了一个二维直角坐标系，包含x轴、y轴和原点O。坐标系中有一个点P，其坐标为 $(x_0, y_0)$。还有一条直线 $l$，其方程为 $Ax+By+C=0$。从点P向直线 $l$ 引了一条垂线段，垂足标记为Q，并且用一个直角符号表示PQ垂直于 $l$。|标题: 几何图形：点到直线的垂线|图片编号: 1]
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点$P$到直线$l$的距离，就是从点$P$到直线$l$的垂线段 $PQ$ 的长度，其中$Q$是垂足(图2.3-5)。因此，求出垂足$Q$的坐标，利用两点间的距离公式求出$|PQ|$，就可以得到
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点$P$到直线$l$的距离.
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设 $A \neq 0, B \neq 0$. 由 $PQ \perp l$, 以及直线 $l$ 的斜率为 $-\frac{A}{B}$, 可得 $l$ 的垂线 $PQ$ 的斜率为 $\frac{B}{A}$, 因此, 垂线 $PQ$ 的方程为 $y-y_0 = \frac{B}{A}(x-x_0)$, 即 $Bx-Ay=Bx_0-Ay_0$.
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解方程组
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$$
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\begin{cases}
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Ax+By+C=0, \\
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Bx-Ay=Bx_0-Ay_0,
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\end{cases} \tag{1}
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$$
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得直线 $l$ 与 $PQ$ 的交点坐标, 即垂足 $Q$ 的坐标为
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$$
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\left( \frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2}, \frac{-ABx_0+A^2y_0-BC}{A^2+B^2} \right).
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$$
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于是
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$$
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\begin{aligned}
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|PQ| &= \sqrt{ \left( \frac{B^2x_0-ABy_0-AC}{A^2+B^2} - x_0 \right)^2 + \left( \frac{-ABx_0+A^2y_0-BC}{A^2+B^2} - y_0 \right)^2 } \\
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&= \sqrt{ \frac{(Ax_0+By_0+C)^2}{A^2+B^2} } = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
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\end{aligned}
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$$
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因此, 点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l: Ax+By+C=0$ 的距离
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$$
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d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
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$$
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可以验证, 当 $A=0$, 或 $B=0$ 时, 上述公式仍然成立.
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> **? 思考**
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> 上述方法中, 我们根据点到直线距离的定义, 将点到直线的距离转化为两点之间的距离, 思路自然但运算量较大. 反思求解过程, 你发现引起复杂运算的原因了吗? 由此能否给出简化运算的方法?
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在上述方法中, 若设垂足 $Q$ 的坐标为 $(x,y)$, 则
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$$
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|PQ|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}. \tag{2}
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$$
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对于②式, 你能给出它的几何意义吗? 结合方程组①, 能否直接求出 $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2$, 进而求出 $|PQ|$ 呢? 请你试一试!
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> **🔍 探究**
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> 我们知道, 向量是解决距离、角度问题的有力工具, 能否用向量方法求点到直线的距离?
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如图 2.3-6,点$P$到直线$l$的距离,就是向量 $\vec{PQ}$ 的模。
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设$M(x, y)$是直线$l$上的任意一点, $\mathbf{n}$ 是与直线$l$的方向向量垂直的单位向量,则$\vec{PQ}$是$\vec{PM}$在$\mathbf{n}$上的投影向量, $|\vec{PQ}| = |\vec{PM} \cdot \mathbf{n}|$。
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[图片描述:该图展示了一个二维坐标系。坐标系中有一条直线$l$，点$P_1$和$P_2$位于这条直线上。一个点$P(x_0, y_0)$位于直线$l$外部。从点$P$向直线$l$引垂线，垂足为$Q$。直线$l$上还标出了任意一点$M(x, y)$。图中还包含一个向量$\mathbf{n}$，它与直线$l$垂直，表示一个单位法向量。向量$\vec{PQ}$表示点$P$到直线$l$的距离。|标题:图2.3-6|图片编号:1]
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### **思考**
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如何利用直线$l$的方程得到与$l$的方向向量垂直的单位向量$\mathbf{n}$?
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设$P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$是直线$l: Ax+By+C=0$上的任意两点,则$\vec{P_1P_2}=(x_2-x_1, y_2-y_1)$是直线$l$的方向向量,把$Ax_1+By_1+C=0$, $Ax_2+By_2+C=0$两式相减,得$A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)=0$. 由平面向量的数量积运算可知,向量$(A, B)$与向量$(x_2-x_1, y_2-y_1)$垂直,向量$\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A, B)$就是与直线$l$的方向向量垂直的一个单位向量,我们取$\mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A, B)$,从而
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$$\vec{PM} \cdot \mathbf{n}=(x-x_0, y-y_0) \cdot \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A, B)$$
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$$= \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}[A(x-x_0)+B(y-y_0)]$$
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$$= \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(Ax+By-Ax_0-By_0).$$
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因为点$M(x, y)$在直线$l$上,所以$Ax+By+C=0$. 所以$Ax+By = -C$. 代入上式,得
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$$\vec{PM} \cdot \mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(-Ax_0-By_0-C).$$
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因此
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$$|\vec{PQ}|=|\vec{PQ}|=|\vec{PM} \cdot \mathbf{n}| = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$
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### **思考**
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比较上述两种方法,第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然;第二种方法利用向量投影,通过向量运算求出结果,简化了运算,除了上述两种方法,你还有其他推导方法吗?
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**例5** 求点 $P(-1, 2)$ 到直线 $l: 3x=2$ 的距离。
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**分析:** 将直线 $l$ 的方程写成 $3x-2=0$，再用点到直线的距离公式求解。
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> **直线 $l$ 有什么特性？由此你能给出简便解法吗？**
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**解:** 点 $P(-1, 2)$ 到直线 $l: 3x-2=0$ 的距离
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$d=\frac{|3 \times(-1)-2|}{\sqrt{3^2+0^2}}=\frac{|-3-2|}{\sqrt{9}}=\frac{|-5|}{3}=\frac{5}{3}.$
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**例6** 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别是 $A(1, 3)$, $B(3, 1)$, $C(-1,0)$，求 $\triangle ABC$ 的面积。
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**分析:** 由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边 $AB$ 的长和边 $AB$ 上的高即可。
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**解:** 如图2.3-7，设边 $AB$ 上的高为 $h$，则
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$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|AB|h.$
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[图片描述:在一个笛卡尔坐标系中，画有 $\triangle ABC$。点 $A$ 的坐标为 $(1,3)$，点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$，点 $C$ 的坐标为 $(-1,0)$。从点 $C$ 向边 $AB$ 作高，高线标记为 $h$，并用直角符号表示其与 $AB$ 垂直。坐标轴上标有关键刻度值，如 $x$ 轴上的 $-1, 0, 1$ 和 $y$ 轴上的 $1, 2, 3$。|标题:三角形 ABC 及其高|图片1]
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图2.3-7
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$|AB|=\sqrt{(3-1)^2+(1-3)^2}=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$
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边 $AB$ 上的高 $h$ 就是点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离。
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边 $AB$ 所在直线 $l$ 的方程为
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$\frac{y-3}{1-3}=\frac{x-1}{3-1},$
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即 $\frac{y-3}{-2}=\frac{x-1}{2}$, 简化为 $y-3=-(x-1)$，即 $y-3=-x+1$，所以 $x+y-4=0$。
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点 $C(-1,0)$ 到直线 $l: x+y-4=0$ 的距离
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$h=\frac{|-1+0-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-5|}{\sqrt{2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}.$
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> **你还有其他解法吗？**
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因此，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \frac{5}{\sqrt{2}}=5.$
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### 练习
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1. 求原点到下列直线的距离:
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(1) $l: 3x+2y-26=0$;
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(2) $l: x=y$.
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2. 求下列点到直线的距离:
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(1) $A(-2, 3)$, $l: 3x+4y+3=0$;
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(2) $B(1,0)$, $l: \sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0$;
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(3) $C(1,-2)$, $l: 4x+3y=0$.
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3. 已知点 $P(-1,2)$ 到直线 $l: 4x-3y+C=0$ 的距离为 $1$，求 $C$ 的值。
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### 2.3.4 两条平行直线间的距离
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前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式。关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的。
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两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长。
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> **③ 思考**
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> 已知两条平行直线 $l_1, l_2$ 的方程，如何求 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离？
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根据两条平行直线间距离的含义，在直线 $l_1$ 上任取一点 $P(x_0, y_0)$，点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l_2$ 的距离就是直线 $l_1$ 与直线 $l_2$ 间的距离，这样，求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离。
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**例 7** 已知两条平行直线 $l_1: 2x-7y-8=0$, $l_2: 6x-21y-1=0$，求 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离。
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**分析：** 在 $l_1$ 上选取一点，如 $l_1$ 与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到 $l_2$ 的距离，即 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离。
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**解：** 先求 $l_1$ 与 $x$ 轴的交点 $A$ 的坐标。容易知道，点 $A$ 的坐标为 $(4, 0)$。
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点 $A$ 到直线 $l_2$ 的距离
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$$
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d = \frac{|6 \times 4 - 21 \times 0 - 1|}{\sqrt{6^2 + 21^2}} = \frac{23}{3\sqrt{53}}
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$$
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> **?** 如何取点，可使计算简单？
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所以 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离为 $\frac{23\sqrt{53}}{159}$。
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**例 8** 求证：两条平行直线 $Ax+By+C_1=0$ 与 $Ax+By+C_2=0$ 间的距离为
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$$
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d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
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$$
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**分析：** 两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离。
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**证明：** 在直线 $Ax+By+C_1=0$ 上任取一点 $P(x_0, y_0)$，点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $Ax+By+C_2=0$ 的距离就是这两条平行直线间的距离，即
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$$
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d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
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$$
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因为点 $P(x_0, y_0)$ 在直线 $Ax+By+C_1=0$ 上，所以 $Ax_0+By_0+C_1=0$，即 $Ax_0+By_0 = -C_1$，因此
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$$
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d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|-C_1 + C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
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$$
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## 练习
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1. 求下列两条平行直线间的距离:
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(1) $l_1: 2x+3y-8=0$, $l_2: 2x+3y+18=0$;
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(2) $l_1: 3x+4y=10$, $l_2: 3x+4y=0$.
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2. 已知两条平行直线$l_1: 3x-4y+6=0$与$l_2: 3x-4y+C=0$间的距离为3,求$C$的值.
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3. 如图,已知直线$l_1: x-2y+1=0$与直线$l_2: x-2y+4=0$,在$l_1$上任取一点$A$,在$l_2$上任取一点$B$,连接$AB$,取$AB$的靠近点$A$的三等分点$C$,过点$C$作$l_1$的平行线$l_3$. 求$l_1$与$l_3$间的距离.
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[图片描述: 坐标系中显示三条平行直线 $l_1, l_2, l_3$。直线 $l_1$ 和 $l_2$ 位于 $l_3$ 的两侧，$l_3$ 位于 $l_1$ 和 $l_2$ 之间。点 $A$ 在 $l_1$ 上，点 $B$ 在 $l_2$ 上。线段 $AB$ 与 $l_1, l_2, l_3$ 相交。点 $C$ 在线段 $AB$ 上，表示 $AB$ 的靠近点 $A$ 的一个三等分点，并且直线 $l_3$ 经过点 $C$。|标题: 第3题图|图片编号: 图1]
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### 习题 2.3
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## 复习巩固
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1. 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:
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(1) $l_1: 2x-y+7=0$, $l_2: x+y=1$;
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(2) $l_1: x-3y-10=0$, $l_2: y=\frac{x+5}{3}$;
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(3) $l_1: 3x-5y+10=0$, $l_2: 9x-15y+30=0$.
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2. 求满足下列条件的直线$l$的方程:
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(1) 经过两条直线$2x-3y+10=0$和$3x+4y-2=0$的交点,且垂直于直线$3x-2y+4=0$;
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(2) 经过两条直线$2x+y-8=0$和$x-2y+1=0$的交点,且平行于直线$4x-3y-7=0$.
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3. 已知$A(1,2)$, $B(2, 0)$, $M(1, 0)$, $N(-4, 0)$, $P(0, 3)$, $Q(-1,1)$六个点,线段$AB$,$MN$,$PQ$能围成一个三角形吗?为什么?
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4. 已知$P(a, 2)$, $Q(-2, -3)$, $M(1, 1)$三点,且$|PQ|=|PM|$,求$a$的值.
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5.
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(1) 求在$x$轴上与点$A(5,12)$的距离为13的点的坐标;
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(2) 已知点$P$的横坐标是7,点$P$与点$N(-1,5)$间的距离等于10,求点$P$的纵坐标.
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6. 求点$P(-5,7)$到直线$12x+5y-3=0$的距离.
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7. 求两条平行直线$3x-2y-1=0$与$3x-2y+1=0$间的距离.
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8. $\square ABCD$的一组对边$AB$和$CD$所在直线的方程分别是$6x+8y-3=0$与$6x+8y+5=0$,过$\square ABCD$的两条对角线的交点作与$AB$所在直线的平行线$l$,求$l$与$CD$所在直线的距离.
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## 综合运用
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9. 三条直线$ax+2y+8=0$,$4x+3y=10$与$2x-y=10$相交于一点,求$a$的值.
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10. 已知$\triangle ABC$的顶点$A(5,1)$,边$AB$上的中线$CM$所在直线方程为$2x-y-5=0$,边$AC$上的高$BH$所在直线方程为$x-2y-5=0$.求:(1)顶点$C$的坐标;(2)直线$BC$的方程.
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11. 在$x$轴上求一点$P$,使以$A(1,2)$, $B(3,4)$和$P$为顶点的三角形的面积为10.
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12. 已知 $AO$ 是 $\triangle ABC$ 边 $BC$ 的中线,用坐标法证明 $|AB|^2 + |AC|^2 = 2(|AO|^2 + |OC|^2)$.
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13. 已知点 $A(a,6)$ 到直线 $3x-4y=2$ 的距离 $d$ 分别为下列各值:(1) $d=4$; (2) $d \ge 4$,求 $a$ 的取值范围.
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14. 已知 $A(-3, -4)$, $B(6,3)$ 两点到直线 $l: ax+y+1=0$ 的距离相等,求 $a$ 的值.
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15. $\square ABCD$ 的四条边所在直线的方程分别是 $l_1: x-4y+5=0$, $l_2: 2x+y-8=0$, $l_3: x-4y+14=0$, $l_4: 2x+y+1=0$,求 $\square ABCD$ 的面积.
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## 拓广探索
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16. 已知 $\lambda$ 为任意实数,当 $\lambda$ 变化时,方程
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$3x+4y-2+\lambda(2x+y+2)=0$
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表示什么图形?图形有何特点?
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17. 已知 $0<x<1$, $0<y<1$.
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(1)求证: $\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2+(1-y)^2} + \sqrt{(1-x)^2+y^2} + \sqrt{(1-x)^2+(1-y)^2} \ge 2\sqrt{2}$,并求使等式成立的条件.
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(2)说明上述不等式的几何意义.
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## ❓ 阅读与思考
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### 笛卡儿与解析几何
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解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要.法国数学家笛卡儿 (Descartes, 1596–1650) 是解析几何的创始人之一,他对当时的几何方法和代数方法进行比较,分析了它们各自的优缺点,他认为,没有任何东西比几何图形更容易印入人脑,用图形表达事物非常有益.但他对欧几里得几何中许多定理的证明需要某种奇巧的想法深感不安,他还批评古希腊人的几何过多地依赖图形,他看到了代数的力量,认为代数在提供广泛的方法论方面高于欧几里得的几何学,他认为,代数具有一般性,例如用字母代替数时,可以代表各种数:正数、负数和0;代数中的公式可以使解题过程机械化;代数具有作为一门普遍的科学方法的潜力.
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[图片描述:一幅17世纪法国哲学家和数学家笛卡儿的肖像画。画中笛卡儿面部轮廓分明，留着胡须，穿着深色服装，姿态严肃而沉思。|标题:笛卡儿|图片编号:1]
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笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来,他说:“我决心放弃那个仅仅是抽象的几何,这就是说,不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题.我这样做,是为了研究另一种几何,即目的在于解释自然现象的几何.”
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笛卡儿曾计划写一本书《*思想的指导法则*》，在书中他大胆地提出了一个解决一切问题的方案：把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程。可能不久他自己就发现这个设想过于大胆，根本无法实现，这本书没有写完就搁下了（在他去世后人们将它出版）。他的这个方案虽然失败了，但确有很多问题可以用列方程的方法来解。
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1637年笛卡儿发表了《*更好地指导推理和寻找科学真理的方法论*》，这是一本哲学的经典著作，包含了三个附录，《*几何学*》就是其中之一。《*几何学*》是笛卡儿所写的唯一一本数学书。笛卡儿在《*几何学*》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。于是后人就把这本《*几何学*》的发表作为解析几何创立的标志。
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笛卡儿最初所使用的坐标系中，两条坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且$y$轴并没有明显地出现。至于“坐标”“坐标系”“横坐标”“纵坐标”等名词，也都是后来人们逐渐使用的。虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，所以人们仍然把后来的直角坐标系，叫做笛卡儿直角坐标系。
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差不多与笛卡儿同时，另一位法国数学家费马（Fermat, 1601—1665）在自己的研究中也独立地形成了用方程表示曲线的思想。因此，费马和笛卡儿同为解析几何的创始人。
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[图片描述:一幅描绘法国数学家皮埃尔·德·费马的肖像画，画中他留着长发，身穿深色服装和白色领子，眼神专注。|标题:费马|图片编号:1]
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解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑，它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期。正如恩格斯在《*自然辩证法*》一书中所指出的：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”
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解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究。这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系，从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展。
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## 2.4 圆的方程
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多边形和圆是平面几何中的两类基本图形. 建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题. 类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
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### 2.4.1 圆的标准方程
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类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑确定一个圆的几何要素.
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> **? 思考**
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>
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> 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
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我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合. 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了. 由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程.
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如图2.4-1，在平面直角坐标系中，$☉A$ 的圆心 $A$ 的坐标为 $(a, b)$，半径为 $r$， $M(x, y)$ 为圆上任意一点，$☉A$ 就是以下点的集合
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$P=\{M||MA|=r\}.$
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根据两点间的距离公式，点 $M$ 的坐标 $(x, y)$ 满足的条件可以表示为
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[图片描述: 这是一个二维直角坐标系，包含x轴和y轴。坐标原点标记为O。圆心A位于坐标系的第一象限，其坐标为(a,b)。圆上任意一点M的坐标为(x,y)。从圆心A到点M有一条线段，表示圆的半径r。圆心A上方标有y轴方向，右侧标有x轴方向。|标题: 图2.4-1|图片编号: 图1]
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$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r,$
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两边平方，得
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$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.$ (1)
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由上述过程可知，若点 $M(x, y)$ 在$☉A$上，点 $M$ 的坐标就满足方程(1)；反过来，若点 $M$ 的坐标 $(x, y)$ 满足方程(1)，就说明点 $M$ 与圆心 $A$ 间的距离为 $r$，点 $M$ 就在$☉A$上. 这时，我们把方程(1)称为圆心为 $A(a, b)$，半径为 $r$ 的**圆的标准方程** (*standard equation of circle*).
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> **?**
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>
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> 圆心在坐标原点，半径为$r$的圆的标准方程是什么？
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**例1** 求圆心为 $A(2,-3)$, 半径为 $5$ 的圆的标准方程, 并判断点 $M_1(5, -7)$, $M_2(-2,-1)$ 是否在这个圆上.
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**分析:** 根据点的坐标与圆的方程的关系, 只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程, 就可以得到这个点是否在圆上.
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**解:** 圆心为 $A(2,-3)$, 半径为 $5$ 的圆的标准方程是
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$(x-2)^2+(y+3)^2=25$.
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把点 $M_1(5,-7)$ 的坐标代入方程 $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ 的左边, 得 $(5-2)^2+(-7+3)^2=25$, 左右两边相等, 点 $M_1$ 的坐标满足圆的方程, 所以点 $M_1$ 在这个圆上.
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把点 $M_2(-2,-1)$ 的坐标代入方程 $(x-2)^2+(y+3)^2=25$ 的左边, 得 $(-2-2)^2+(-1+3)^2=20$, 左右两边不相等, 点 $M_2$ 的坐标不满足圆的方程, 所以点 $M_2$ 不在这个圆上(图2.4-2).
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[图片描述:在一个笛卡尔坐标系中，X轴和Y轴相交于原点O。一个圆被绘制出来，其圆心标记为A(2,-3)。点M1(5,-7)位于圆周上。点M2(-2,-1)位于圆的内部。|标题:图2.4-2|图片编号:1]
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## 探究
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点 $M_0(x_0, y_0)$ 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 内的条件是什么? 在圆 $x^2+y^2=r^2$ 外的条件又是什么?
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**例2** $\triangle ABC$ 的三个顶点分别是 $A(5,1)$, $B(7, -3)$, $C(2,-8)$, 求 $\triangle ABC$ 的外接圆的标准方程.
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**分析:** 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆, 三角形有唯一的外接圆. 显然已知的三个点不在同一条直线上. 只要确定了 $a,b,r$, 圆的标准方程就确定了.
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> $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心是 $\triangle ABC$ 的外心, 即 $\triangle ABC$ 三边垂直平分线的交点.
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**解:** 设所求的方程是
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$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. ①
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因为 $A(5,1)$, $B(7, -3)$, $C(2,-8)$ 三点都在圆上, 所以它们的坐标都满足方程①. 于是
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$$
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\begin{cases}
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(5-a)^2+(1-b)^2=r^2, \\
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(7-a)^2+(-3-b)^2=r^2, \\
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(2-a)^2+(-8-b)^2=r^2,
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\end{cases}
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$$
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即
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$$
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\begin{cases}
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a^2+b^2-10a-2b+26=r^2, \\
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a^2+b^2-14a+6b+58=r^2, \\
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a^2+b^2-4a+16b+68=r^2.
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\end{cases}
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$$
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观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去$a^2$, $b^2$, $r^2$，得到关于$a$, $b$的二元一次方程组
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$$
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\begin{cases}
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a-2b=8, \\
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a+b=-1.
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\end{cases}
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$$
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解此方程组，得
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$$
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\begin{cases}
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a=2, \\
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b=-3.
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\end{cases}
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$$
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代入$(5-a)^2+(1-b)^2=r^2$， 得$r^2=25$.
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所以，$\triangle ABC$的外接圆的标准方程是
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$$(x-2)^2+(y+3)^2=25.$$
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**例3** 已知圆心为$C$的圆经过$A(1,1)$, $B(2,-2)$两点，且圆心$C$在直线$l:x-y+1=0$上，求此圆的标准方程.
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**分析:** 设圆心$C$的坐标为$(a,b)$.由已知条件可知，$|CA|=|CB|$，且$a-b+1=0$.由此可求出圆心坐标和半径.
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另外，因为线段$AB$是圆的一条弦，根据平面几何知识，$AB$的中点与圆心$C$的连线垂直于$AB$，由此可得到另一种解法.
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**解法1:** 设圆心$C$的坐标为$(a,b)$.因为圆心$C$在直线$l:x-y+1=0$上，所以
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$a-b+1=0$. (1)
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因为$A,B$是圆上两点，所以$|CA|=|CB|$.
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根据两点间距离公式，有
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$$\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2} =\sqrt{(a-2)^2+(b+2)^2},$$
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即
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$a-3b-3=0$. (2)
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由(1)(2)可得$a=-3$, $b=-2$.所以圆心$C$的坐标是
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$(-3,-2)$.
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圆的半径
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$r=|AC|=\sqrt{(1+3)^2+(1+2)^2} =5$.
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所以，所求圆的标准方程是
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$$(x+3)^2+(y+2)^2=25.$$
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[图片描述: 平面直角坐标系中，一个圆通过点A和点B，圆心为C。O是坐标原点，x轴和y轴相交于O。直线l经过圆心C并与y轴正半轴上的点相交。直线l'是线段AB的垂直平分线，也经过圆心C。点D是线段AB的中点。|标题:图2.4-3|图片编号:1]
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**解法2:** 如图1, 设线段$AB$的中点为$D$.由$A$, $B$两点的坐标为$(1, 1)$, $(2,-2)$，可得点$D$的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$,直线$AB$的斜率为$k_{AB}=\frac{-2-1}{2-1}=-3$.
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因此，线段$AB$的垂直平分线$l'$的方程是$y+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}(x-\frac{3}{2})$，即
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$x-3y-3=0$
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由垂径定理可知, 圆心$C$也在线段$AB$的垂直平分线上, 所以它的坐标是方程组
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$$
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\begin{cases}
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x-3y-3=0, \\
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x-y+1=0
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\end{cases}
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$$
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的解.
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解这个方程组, 得
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$$
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\begin{cases}
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x=-3, \\
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y=-2
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\end{cases}
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$$
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所以圆心$C$的坐标是$(-3,-2)$.
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圆的半径
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$r=|AC|=\sqrt{(1+3)^2+(1+2)^2}=5$.
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所以, 所求圆的标准方程是
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$(x+3)^2+(y+2)^2=25$.
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## 练习
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1. 写出下列圆的标准方程:
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(1) 圆心为$C(-3,4)$, 半径是$\sqrt{5}$;
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(2) 圆心为$C(-8,3)$, 且经过点$M(-5,-1)$.
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2. 已知圆的标准方程是$(x-3)^2+(y+2)^2=16$, 借助计算工具计算, 判断下列各点在圆上、圆外, 还是在圆内.
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(1) $M_1(4.30, -5.72)$;
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(2) $M_2(5.70, 1.08)$;
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(3) $M_3(3, -6)$.
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3. 已知$P_1(4,9)$, $P_2(6,3)$两点, 求以线段 $P_1P_2$ 为直径的圆的标准方程, 并判断点 $M(6,9)$, $N(3, 3)$, $Q(5,3)$ 在圆上、圆内, 还是在圆外.
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4. 已知$\triangle AOB$的三个顶点分别是点$A(4,0)$, $O(0, 0)$, $B(0,3)$, 求$\triangle AOB$的外接圆的标准方程.
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## 2.4.2 圆的一般方程
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> **? 思考**
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>
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> 我们知道, 方程$(x-1)^2+(y+2)^2=4$表示以$(1,-2)$为圆心, 2为半径的圆. 可以将此方程变形为$x^2+y^2-2x+4y+1=0$.
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> 一般地, 圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$可以变形为
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> $$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \quad (2)$$
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> 的形式, 反过来, 形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?
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例如, 对于方程$x^2+y^2-2x-4y+6=0$, 对其进行配方, 得$(x-1)^2+(y-2)^2=-1$.
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因为任意一个点的坐标$(x,y)$都不满足这个方程, 所以这个方程不表示任何图形. 所以, 形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程, 这表明, 形如(2)的方程不一定是圆的方程.
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> **探究**
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>
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> 方程$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 中的 $D, E, F$ 满足什么条件时, 这个方程表示圆?
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将方程(2)的左边配方, 并把常数项移到右边, 得
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$(x+\frac{D}{2})^2+(y+\frac{E}{2})^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$ ①
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(1) 当$D^2+E^2-4F>0$时, 比较方程①和圆的标准方程, 可以看出方程(2)表示以$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$为圆心, $\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$为半径的圆;
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(2) 当$D^2+E^2-4F=0$时, 方程(2)只有实数解$x=-\frac{D}{2}$, $y=-\frac{E}{2}$, 它表示一个点$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$;
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||
(3) 当$D^2+E^2-4F<0$时, 方程(2)没有实数解, 它不表示任何图形.
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||
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||
因此, 当$D^2+E^2-4F>0$时, 方程(2)表示一个圆. 我们把方程(2)叫做**圆的一般方程** (*general equation of circle*).
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> **思考**
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>
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> 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?
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**例4** 求过三点$O(0,0)$, $M_1(1,1)$, $M_2(4,2)$的圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径.
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**分析:** 将点$O, M_1, M_2$的坐标分别代入圆的一般方程, 可得一个三元一次方程组, 解方程组即可求出圆的方程.
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**解:** 设圆的方程是
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||
$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.$ ①
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||
因为$O,M_1,M_2$三点都在圆上, 所以它们的坐标都是方程①的解. 把它们的坐标依次代入方程①, 得到关于 $D, E, F$ 的一个三元一次方程组
|
||
$$
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||
\begin{cases}
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||
F=0, \\
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||
D+E+F+2=0, \\
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||
4D+2E+F+20=0.
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||
\end{cases}
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||
$$
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解这个方程组,得
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$$
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\begin{cases}
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||
D=-8, \\
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||
E=6, \\
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||
F=0.
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\end{cases}
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||
$$
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||
|
||
所以,所求圆的方程是
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$x^2+y^2-8x+6y=0$.
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由前面的讨论可知,所求圆的圆心坐标是$(4,-3)$,
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半径 $r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F} = 5$.
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> 与例2的方法比较, 你有什么体会?
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求圆的方程常用待定系数法,其大致步骤是:
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||
(1) 根据题意,选择标准方程或一般方程;
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(2) 根据条件列出关于 $a, b, r$ 或 $D, E, F$ 的方程组;
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||
(3) 解出 $a, b, r$ 或 $D, E, F$, 得到标准方程或一般方程.
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||
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||
**例5** 已知线段 $AB$ 的端点 $B$ 的坐标是$(4,3)$,端点 $A$ 在圆 $(x+1)^2+y^2=4$ 上运动,求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.
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||
|
||
**分析:** 如图2.4-4,点 $A$ 运动引起点 $M$ 运动,而点 $A$ 在已知圆上运动,点 $A$ 的坐标满足方程 $(x+1)^2+y^2=4$. 建立点 $M$ 与点 $A$ 坐标之间的关系,就可以利用点 $A$ 的坐标所满足的关系式得到点 $M$ 的坐标满足的关系式,求出点 $M$ 的轨迹方程.
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||
|
||
[图片描述:一个二维笛卡尔坐标系，X轴和Y轴相交于原点O。坐标系中有一个以原点O为圆心的蓝色圆。圆上有一个点A。从点A出发向右上方延伸一条线段AB，点B位于坐标系的右上方。线段AB上有一个点M，M是AB的中点。从点A到点M有一条虚线圆弧，表示点A和点M之间的关联运动。|标题:图2.4-4|图片1]
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||
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||
**解:** 设点 $M$ 的坐标是$(x,y)$,点 $A$ 的坐标是$(x_0, y_0)$.由于点 $B$ 的坐标是$(4,3)$,且 $M$ 是线段 $AB$ 的中点,所以
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||
$x=\frac{x_0+4}{2}$, $y=\frac{y_0+3}{2}$.
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||
|
||
于是有
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$x_0=2x-4$, $y_0=2y-3$. ①
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因为点 $A$ 在圆 $(x+1)^2+y^2=4$ 上运动,所以点 $A$ 的坐标满足圆的方程,即
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||
$(x_0+1)^2+y_0^2=4$. ②
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||
|
||
> 点M的轨迹方程是指点M的坐标$(x,y)$满足的关系式,轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中,我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
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把①代入②,得
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$(2x-4+1)^2+(2y-3)^2=4$,
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||
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||
整理,得
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$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=1.$
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这就是点 $M$ 的轨迹方程，它表示以$(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆。
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## 练习
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1. 求下列各圆的圆心坐标和半径:
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(1) $x^2+y^2-6x=0$;
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(2) $x^2+y^2+2by=0$;
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(3) $x^2+y^2-2ax-2\sqrt{3}ay+3a^2=0$.
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2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由:
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(1) $x^2+y^2=0$;
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(2) $x^2+y^2-2x+4y-6=0$;
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(3) $x^2+y^2+2ax-b^2=0$.
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3. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB=6, CD=3$, 且 $AB//CD, AD=BC$， $AB$ 与 $CD$ 间的距离为 $3$, $E$ 为 $AB$ 的中点，以点 $E$ 为原点建立如图所示 的平面直角坐标系，求等腰梯形 $ABCD$ 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径。
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[图片描述:平面直角坐标系中，x轴和y轴相交于原点O。一个圆形经过坐标轴上方，与x轴交于A点和B点。圆内有一个等腰梯形ABCD，其下底AB在x轴上，上底CD平行于x轴。E是AB的中点，且E点在y轴上。梯形的顶点D和C在圆上，并且关于y轴对称。y轴同时也是梯形ABCD的对称轴。|标题:第3题示意图|图片编号:1]
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## 习题 2.4
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### 复习巩固
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1. 求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形:
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(1) $x^2+y^2-2x-5=0$;
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(2) $x^2+y^2+2x-4y-4=0$;
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(3) $x^2+y^2+2ax=0$;
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(4) $x^2+y^2-2by-2b^2=0$.
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2. 求下列各圆的方程，并画出图形:
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(1) 圆心为点 $C(8, -3)$，且过点 $A(5, 1)$;
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(2) 过 $A(-1, 5)$, $B(5, 5)$, $C(6, -2)$ 三点。
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3. 已知圆 $C$ 经过原点和点 $A(2,1)$，并且圆心在直线 $l: x-2y-1=0$ 上，求圆 $C$ 的标准方程。
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4. 圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴上，并且过 $A(-1,1)$ 和 $B(1,3)$ 两点，求圆 $C$ 的方程。
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### 综合运用
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5. 已知圆的一条直径的端点分别是 $A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$，求证此圆的方程是 $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$.
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6. 平面直角坐标系中有 $A(0, 1), B(2, 1), C(3, 4), D(-1,2)$ 四点，这四点是否在同一个 圆上？为什么？
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7. 已知等腰三角形 $ABC$ 的一个顶点为 $A(4,2)$，底边的一个端点为 $B(3,5)$，求底边的另一个 端点 $C$ 的轨迹方程，并说明它是什么图形。
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8. 长为$2a$的线段$AB$的两个端点$A$和$B$分别在$x$轴和$y$轴上滑动,求线段$AB$的中点的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
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## 拓广探索
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9. 已知动点$M$与两个定点$O(0,0)$, $A(3,0)$的距离的比为$\frac{1}{2}$,求动点$M$的轨迹方程,并说明轨迹的形状.
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10. 在平面直角坐标系中,如果点$P$的坐标$(x,y)$满足
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$$
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\begin{cases}
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x=a+r\cos \theta, \\
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y=b+r\sin \theta,
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\end{cases}
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$$
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其中$\theta$为参数,$r\ge0$.证明:点$P$的轨迹是圆心为$(a,b)$,半径为$r$的圆.
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**阅读与思考**
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### 坐标法与数学机械化
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笛卡儿开创了解析几何思想方法的先河.解析几何坐标法的形成、发展和完善,使几何问题的求解或求证能通过坐标转化为代数方程求解,同时坐标法使计算机应用到几何定理的证明中成为可能.
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明确提出机器可以成为推理工具的思想,要追溯到17世纪德国数学家莱布尼茨(Leibniz, 1646—1716,微积分创始人之一),他受笛卡儿思想的启发,认为笛卡儿创立的解析几何,目的是将几何推理转化为计算.遗憾的是,由于当时的条件限制,计算仅仅是手工操作(手摇计算机),无法进行大量复杂的计算,所以用机器实现几何定理证明的想法无法实现.
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20世纪以后,计算机迅速发展.计算机的发明使一些数学家又开始探讨几何定理证明机械化的可能性.1950年,波兰数学家塔斯基得到一个引人注目的结论:一切初等几何范畴中的命题都可以用机械方法判定,由于他的判定方法太复杂,在实践中没有太大的进展.1959年,美籍华裔数学家王浩(1921—1995)在这方面做出了鼓舞人心的工作,他在计算机上只用了9分钟就证明了《数学原理》(罗素和怀特海著)中的350多个命题,并第一次明确提出了“走向数学的机械化”的口号.
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20世纪70年代以后,我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上作出了重大贡献,并创立了“吴方法”.吴文俊是我国最具国际影响的数学家之一,他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均
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有杰出的贡献。曾获得首届国家最高科学技术奖 (2000年)、首届国家自然科学一等奖 (1956年)、首届求是杰出科学家奖 (1994年)、邵逸夫数学奖 (2006年)、国际自动推理最高奖——埃尔布朗自动 推理杰出成就奖 (1997年) 等。“文华逾九章,拓扑 公式彪史册,俊杰胜十书,机器证明誉寰球。”是对 他一生工作的高度概括。
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吴文俊机器证明的思想,主要是从笛卡儿的坐 标法和中国古代解方程的计算方法而来的。他认为, 欧氏几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理,或 说在图形之间,或者是把数量关系归之于空间形式,
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[图片描述:一位面带微笑的年长中国男性肖像，他头发花白，身着深色夹克，内搭浅色衬衫。|标题:吴文俊(1919-2017), 中国科学院院士, 中国科学院数学与系统科学研究院研究员|图1]
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或者干脆排除数量关系。另一个体系刚好与之相反,是把空间形式转化成数量关 系来处理。这种考虑方式就是中国的传统,早在 11 世纪左右就已产生,当时引 进的概念叫天元、地元等,用现在的符号就相当于引进了 $x,y$ 等。用天元、地 元表示某一个几何事实,那么几何对象之间的相互关系就表示成天元、地元之间的 一种方程 (即 $x,y$ 之间的一种方程),即 17 世纪解析几何的坐标法。
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吴文俊认为,欧氏几何体系是非机械化的,把空间形式数量化是机械化的。 吴文俊说：“我从事几何定理证明时,首先取适当的坐标,于是几何定理的假设 与终结通常都成为多项式方程,称之为假设方程与终结方程。满足定理假设的几 何图象,就相当于假设方程组的一个解答或零点。要证明定理成立,就是要证明 假设方程的零点也使终结多项式为零。”由于计算机的发展与众多数学家 (特别 是以吴文俊为首的一批中国数学家)的努力,在 1976 年与 1977 年之交,几何定 理机器证明的梦想终于实现了。提出用计算机证明几何定理的“吴方法”,被认为 是自动推理领域的先驱性工作。进入 20 世纪 80 年代以后,吴文俊和他的同行把 几何定理机器证明的方法发展成为数学机械化方法。
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请你查阅有关资料,进一步了解吴文俊的事迹,了解我国数学家在数学机械 化方面的卓越贡献。
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## 2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
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在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系。前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系。下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系。
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### 2.5.1 直线与圆的位置关系
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我们知道，直线与圆有三种位置关系：
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1. 直线与圆相交，有两个公共点；
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2. 直线与圆相切，只有一个公共点；
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3. 直线与圆相离，没有公共点。
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> **? 思考**
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> 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
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下面，我们通过具体例子进行研究。
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**例1** 已知直线$l: 3x+y-6=0$和圆心为$C$的圆$x^2+y^2-2y-4=0$，判断直线$l$与圆$C$的位置关系；如果相交，求直线$l$被圆$C$所截得的弦长。
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**分析：**
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思路1：将判断直线$l$与圆$C$的位置关系转化为判断由它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解；若相交，可以由方程组解得两交点的坐标，利用两点间的距离公式求得弦长。
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思路2：依据圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系；若相交，则可利用勾股定理求得弦长。
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**解法1：** 联立直线$l$与圆$C$的方程，得
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$$
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\begin{align*}
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3x+y-6&=0, \tag{1} \\
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x^2+y^2-2y-4&=0. \tag{2}
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\end{align*}
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$$
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消去$y$，得$x^2-3x+2=0$，解得$x_1=2, x_2=1$。
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所以，直线$l$与圆$C$相交，有两个公共点。
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把$x_1=2$, $x_2=1$分别代入方程①，得$y_1=0$, $y_2=3$。
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所以，直线$l$与圆$C$的两个交点是$A(2,0)$, $B(1,3)$。
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因此$|AB| =\sqrt{(1-2)^2+(3-0)^2}=\sqrt{10}$。
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**解法2**: 圆$C$的方程$x^2+y^2-2y-4=0$可化为$x^2+(y-1)^2=5$，因此圆心$C$的坐标为$(0,1)$，半径为$\sqrt{5}$。圆心$C(0,1)$到直线$l$的距离
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$d=\frac{|3\times0+1-6|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{10}}<\sqrt{5}$.
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所以，直线$l$与圆$C$相交，有两个公共点。
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[图片描述:一个平面直角坐标系，x轴和y轴相交于原点O。一个圆C与一条直线l（紫色）相交于两点A和B。圆心为C。从圆心C向直线l作垂线，垂足为D。线段CD的长度表示圆心到直线的距离d。连接CB形成半径r。三角形CDB为直角三角形，其中CB为斜边r，CD为一条直角边d，DB为另一条直角边（弦长AB的一半）。|标题:图 2.5-1|图1]
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如图2.5-1，由垂径定理，得$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}=\sqrt{10}$。
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> 适当地利用已知图形的几何性质，有助于简化计算。
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通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线$l:Ax+By+C=0$与圆$C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组
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$$
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\begin{cases}
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Ax+By+C=0,\\
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(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
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\end{cases}
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$$
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的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系。若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长。
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我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径$r$，从而求得圆心到直线的距离$d$，通过比较$d$与$r$的大小，判断直线与圆的位置关系。若相交，则可利用勾股定理求得弦长。
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**? 思考**
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与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？
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**例2** 过点$P(2,1)$作圆 $O: x^2+y^2=1$的切线$l$，求切线的方程。
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**分析**: 如图2.5-2，容易知道，点$P(2,1)$位于圆 $O:x^2+y^2=1$外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切。我们设切线方程为$y-1=k(x-2)$，$k$为斜率，由直线与圆相切可求出$k$的值。
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[图片描述:一个平面直角坐标系，x轴和y轴相交于原点O。一个单位圆以原点O为圆心。圆外有一点P(2,1)。有两条直线（紫色）通过点P并与圆O相切。其中一条切线在x轴上方，另一条切线在x轴下方。|标题:图 2.5-2|图2]
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**解法1**: 设切线$l$的斜率为$k$，则切线$l$的方程为$y-1=k(x-2)$，即$kx-y+1-2k=0$。
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由圆心$(0,0)$到切线$l$的距离等于圆的半径1,得
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$$ \frac{|1-2k|}{\sqrt{k^2+1}} = 1 $$
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解得$k=0$或$\frac{4}{3}$.
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因此,所求切线$l$的方程为$y=1$,或$4x-3y-5=0$.
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**解法2**:设切线$l$的斜率为$k$,则切线$l$的方程为$y-1=k(x-2)$.
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因为直线$l$与圆相切,所以方程组
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$$ \begin{cases} y-1=k(x-2), \\ x^2+y^2=1 \end{cases} $$
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只有一组解.
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消元,得
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$$ (k^2+1)x^2+(2k-4k^2)x+4k^2-4k=0. \quad \textcircled{1} $$
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因为方程$\textcircled{1}$只有一个解,所以
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$$ \Delta=4k^2(1-2k)^2-16k(k^2+1)(k-1)=0, $$
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解得$k=0$或$\frac{4}{3}$.
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所以,所求切线$l$的方程为$y=1$,或$4x-3y-5=0$.
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### 练习
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1. 判断下列各组直线$l$与圆$C$的位置关系:
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(1) $l: x-y+1=0$, 圆$C: x^2+y^2=3$;
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(2) $l: 3x+4y+2=0$, 圆$C: x^2+y^2-2x=0$;
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(3) $l: x+y+3=0$, 圆$C: x^2+y^2+2y=0$.
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2. 已知直线 $4x+3y-35=0$与圆心在原点的圆$C$相切,求圆$C$的方程.
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3. 判断直线$2x-y+2=0$与圆$(x-1)^2+(y-2)^2=4$的位置关系;如果相交,求直线被圆截得的弦长.
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**例3** 图2.5-3 是某圆拱形桥—孔圆拱的示意图.圆拱跨度 $AB=20$ m,拱高 $OP=4$ m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱$A_2P_2$的高度(精确到0.01 m).
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[图片描述:一张示意图，展示了一个圆拱形桥梁。桥拱呈半圆形，底部有五个标记点A, A1, A2, O, A3, A4, B，其中O位于AB中点。拱顶为P点。有两根垂直于底部的支柱，一根在O点处支撑到P点（拱高OP），另一根在A2点处支撑到拱上的P2点。|标题:图2.5-3|图片编号:1]
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[图片描述:一张带有直角坐标系的圆拱形桥梁示意图。X轴沿桥梁底部AB，Y轴通过底部中点O和拱顶P。拱形呈半圆形。底部标记点A, A1, O, A3, A4, B。拱顶为P点，O点上方。A2点处有一根垂直于X轴的支柱A2P2。这个图示通过坐标系明确了桥梁的几何布局，便于进行数学计算。|标题:图2.5-4|图片编号:2]
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**分析**：建立如图 2.5-4 所示的直角坐标系，要得到支柱 $A_2P_2$ 的高度，只需求出点 $P_2$ 的纵坐标。
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**解**：建立如图 2.5-4 所示的直角坐标系，使线段 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$O$ 为坐标原点，圆心在 $y$ 轴上。由题意，点 $P, B$ 的坐标分别为 $(0, 4), (10, 0)$。设圆心坐标是 $(0, b)$，圆的半径是 $r$，那么圆的方程是
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$$x^2 + (y-b)^2 = r^2$$
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下面确定 $b$ 和 $r$ 的值。
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> ? 点 $O$ 是圆拱所在圆的圆心吗？
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因为 $P, B$ 两点都在圆上，所以它们的坐标 $(0, 4), (10, 0)$ 都满足方程 $x^2 + (y-b)^2 = r^2$。于是，得到方程组
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$$\begin{cases}
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0^2+(4-b)^2=r^2 \\
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10^2+(0-b)^2=r^2
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\end{cases}$$
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解得
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$$b=-10.5, r^2=14.5^2$$
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所以，圆的方程是
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$$x^2+(y+10.5)^2=14.5^2$$
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把点 $P_2$ 的横坐标 $x=-2$ 代入圆的方程，得
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$$(-2)^2+(y+10.5)^2=14.5^2$$
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即 $y+10.5 = \sqrt{14.5^2-(-2)^2}$ ($P_2$ 的纵坐标 $y>0$，平方根取正值)。所以
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$$y=\sqrt{14.5^2-(-2)^2}-10.5 \approx 14.36-10.5=3.86 \text{ (m)}$$
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**答**：支柱 $A_2P_2$ 的高度约为 $3.86 \text{ m}$。
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### ③ 思考
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如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点。
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**例 4** 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 $20 \text{ km}$ 的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西 $40 \text{ km}$ 处，港口位于小岛中心正北 $30 \text{ km}$ 处。如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
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**分析**：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离，如图 2.5-5，根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进而确定轮船是否有触礁危险。
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**解**：以小岛的中心为原点 $O$，东西方向为 $x$ 轴，建立
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[图片描述: 坐标系中，O为原点，x轴代表东西方向，y轴代表南北方向。有一个以O为圆心的圆形区域。y轴正半轴上有一个点标记为“港口”，x轴正半轴右侧有一个点标记为“轮船”，并有一条粉色箭头从“轮船”指向“港口”，表示轮船返港的路径。|标题: 图 2.5-5|图片编号: 图1]
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如图 2.5-5 所示的直角坐标系, 为了运算的简便, 我们取 10 km 为单位长度, 则港口所在位置的坐标为 $(0, 3)$, 轮船所在位置的坐标为 $(4, 0)$.
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这样, 受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
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$x^2+y^2=4;$
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轮船航线所在直线 $l$ 的方程为
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$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$, 即 $3x+4y-12=0.$
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联立直线 $l$ 与圆 $O$ 的方程, 得
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$$\begin{cases} 3x+4y-12=0, \\ x^2+y^2=4. \end{cases}$$
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消去 $y$, 得
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$25x^2-72x+80=0.$
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由 $\Delta=(-72)^2-4\times25\times80<0$, 可知方程组无解.
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所以直线 $l$ 与圆 $O$ 相离, 轮船沿直线返港不会有触礁危险.
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**? 思考**
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你还能用其他方法解决上述问题吗?
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用坐标法解决几何问题时, 先用坐标和方程表示相应的几何元素: 点、直线、圆, 将几何问题转化为代数问题; 然后通过代数运算解决代数问题; 最后解释代数运算结果的几何含义, 得到几何问题的结论. 这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”:
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* 第一步: 建立适当的平面直角坐标系, 用坐标和方程表示问题中的几何要素, 如点、直线、圆, 把平面几何问题转化为代数问题;
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* 第二步: 通过代数运算, 解决代数问题;
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* 第三步: 把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
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比较坐标法与向量法, 它们在解决几何问题时, 有什么异同点?
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**练习**
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1. 赵州桥的跨度是 37.4 m, 圆拱高约为 7.2 m. 求这座圆拱桥的拱圆的方程.
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[图片描述:一座古老的石拱桥横跨水面，桥身由多个拱形结构组成，在水中形成清晰的倒影。桥面上有栏杆。|标题:第1题|图片编号:图1]
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2. 某圆拱桥的水面跨度 20 m, 拱高 4 m. 现有一船, 宽 10 m, 水面以上高 3 m, 这条船能否从桥下通过?
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3. 在一个平面上, 机器人从与点 $C(5, -3)$ 的距离为 9 的地方绕点 $C$ 顺时针而行, 在行进过程中保持与点 $C$ 的距离不变. 它在行进过程中到过点 $A(-10, 0)$ 与 $B(0, 12)$ 的直线的最近距离和最远距离分别是多少?
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## 2.5.2 圆与圆的位置关系
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前面我们运用直线的方程、圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系。
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我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：
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1. 两圆相交，有两个公共点；
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2. 两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；
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3. 两圆相离，包括外离与内含，没有公共点。
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> **? 思考**
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> 类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？
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**例5** 已知圆 $C_1$: $x^2+y^2+2x+8y-8=0$，圆 $C_2$: $x^2+y^2-4x-4y-2=0$，试判断圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系。
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**分析:**
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思路1: 圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
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思路2: 借助图形，可以依据圆心距与两半径的和 $r_1+r_2$ 或两半径的差的绝对值 $|r_1-r_2|$ 的大小关系，判断两圆的位置关系。
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**解法1:** 将圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的方程联立，得到方程组
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$$
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\begin{cases}
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||
x^2+y^2+2x+8y-8=0 & \quad \text{(1)} \\
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||
x^2+y^2-4x-4y-2=0 & \quad \text{(2)}
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||
\end{cases}
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$$
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||
①－②，得
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$$
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x+2y-1=0 \quad \text{(3)}
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$$
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||
由③，得
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$$
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y=\frac{1-x}{2}
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$$
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> **?**
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> 画出圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 以及方程③表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？
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把上式代入①，并整理，得
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$$
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x^2-2x-3=0 \quad \text{(4)}
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$$
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方程④的根的判别式
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$$
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\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-3)=16>0
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$$
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所以，方程④有两个不相等的实数根 $x_1, x_2$。把 $x_1, x_2$ 分别代入方程③，得到 $y_1, y_2$。
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因此圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 有两个公共点 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，这两个圆相交。
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> **••**
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> 本题只要判断圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 是否有公共点，并不需求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根。
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**解法2**: 把圆 $C_1$ 的方程化成标准方程, 得
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$(x+1)^2+(y+4)^2=25,$
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圆 $C_1$ 的圆心是 $(-1,-4)$, 半径 $r_1=5.$
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把圆 $C_2$ 的方程化成标准方程, 得
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$(x-2)^2+(y-2)^2=10,$
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圆 $C_2$ 的圆心是 $(2,2)$, 半径 $r_2=\sqrt{10}.$
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圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的圆心距为
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$\sqrt{(-1-2)^2+(-4-2)^2}=3\sqrt{5}.$
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圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的两半径之和 $r_1+r_2=5+\sqrt{10}$, 两半径
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长之差 $r_1-r_2=5-\sqrt{10}.$
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[图片描述:在直角坐标系中，圆$C_1$和圆$C_2$相交于点A和点B。圆$C_1$的圆心在负y轴附近，圆$C_2$的圆心在第一象限。x轴和y轴经过原点O，O点位于两个圆的交集区域内。|标题:图2.5-6|图片编号:图1]
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因为 $5-\sqrt{10}<3\sqrt{5}<5+\sqrt{10}$, 即 $r_1-r_2<3\sqrt{5}<r_1+r_2$, 所以圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交
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(图 2.5-6), 它们有两个公共点 $A,B.$
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> **思考**
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>
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> 在解法1中, 如果两圆方程联立消元后得到的方程的 $\Delta=0$, 它说明什么?你能
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> 据此确定两圆是内切还是外切吗?如何判断两圆是内切还是外切呢?
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> 当 $\Delta<0$ 时, 两圆是什么位置关系?
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**例6** 已知圆 $O$ 的直径 $AB=4$, 动点 $M$ 与点 $A$ 的距离是它与点 $B$ 的距离的 $\sqrt{2}$ 倍.
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试探究点 $M$ 的轨迹, 并判断该轨迹与圆 $O$ 的位置关系.
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**分析**: 我们可以通过建立适当的平面直角坐标
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系, 求得满足条件的动点 $M$ 的轨迹方程, 从而得到
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点 $M$ 的轨迹; 通过研究它的轨迹方程与圆 $O$ 方程的
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关系, 判断这个轨迹与圆 $O$ 的位置关系.
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**解**: 如图 2.5-7, 以线段 $AB$ 的中点 $O$ 为原点,$AB$
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所在直线为 $x$ 轴, 线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴, 建立
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平面直角坐标系. 由 $AB=4$, 得 $A(-2, 0), B(2, 0).$
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设点 $M$ 的坐标为 $(x,y)$, 由 $|MA|=\sqrt{2} |MB|$, 得
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$\sqrt{(x+2)^2+y^2} =\sqrt{2}\times\sqrt{(x-2)^2+y^2},$
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化简, 得 $x^2-12x+y^2+4=0$, 即 $(x-6)^2+y^2=32.$
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所以点 $M$ 的轨迹是以 $P(6,0)$ 为圆心, 半径为 $4\sqrt{2}$
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的一个圆 (图 2.5-7).
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[图片描述:在直角坐标系中，以原点O为圆心，AB为直径的圆（虚线表示）与x轴相交于A和B两点。点P位于x轴正半轴上，距离原点O较远。点M位于第一象限，M点到A点和B点的连线形成一个三角形MAB。虚线圆的半径为OA或OB。|标题:图2.5-7|图片编号:图2]
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> 如果把本例中的“$\sqrt{2}$
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> 倍”改为“$k(k>0)$ 倍”,
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> 你能分析并解决这个问
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> 题吗?
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因为两圆的圆心距为 $|PO|=6$, 两圆的半径分别为 $r_1=2,r_2=4\sqrt{2}$, 又 $r_2-r_1<$
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$|PO|<r_2+r_1$, 所以点 $M$ 的轨迹与圆 $O$ 相交.
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## 练习
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1. 已知圆 $C_1: x^2+y^2=4$，圆 $C_2: x^2+y^2-8x-6y+16=0$，判断圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的位置关系。
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2. 已知圆 $C_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$，圆 $C_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$，证明圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 相交，并求圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的公共弦所在直线的方程。
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## 习题 2.5
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### 复习巩固
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1. 判断直线 $4x-3y=50$ 与圆 $x^2+y^2=100$ 的位置关系。如果有公共点，求出公共点的坐标。
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2. 求下列条件确定的圆的方程，并画出它们的图形:
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(1) 圆心为 $M(3,-5)$，且与直线 $x-7y+2=0$ 相切;
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(2) 圆心在直线 $y=x$ 上，半径为 $2$，且与直线 $y=6$ 相切;
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(3) 半径为 $\sqrt{13}$，且与直线 $2x-3y+6=0$ 相切于点 $(3,4)$.
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3. 求直线 $l: 3x-y-6=0$ 被圆 $C: x^2+y^2-2x-4y=0$ 截得的弦 $AB$ 的长.
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4. 求圆心在直线 $3x-y=0$ 上，与 $x$ 轴相切，且被直线 $x-y=0$ 截得的弦长为 $2\sqrt{7}$ 的圆的方程.
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5. 求与圆 $C: x^2+y^2-x+2y=0$ 关于直线 $l: x-y+1=0$ 对称的圆的方程.
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6. 正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$，在边 $BC$ 上取线段 $BE=\frac{a}{3}$，在边 $DC$ 的延长线上取 $CF=\frac{a}{2}$．试证明: 直线 $AE$ 与 $BF$ 的交点 $M$ 位于正方形 $ABCD$ 的外接圆上.
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7. 求经过点 $M(2,-2)$ 以及圆 $x^2+y^2-6x=0$ 与 $x^2+y^2=4$ 交点的圆的方程.
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### 综合运用
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8. 求圆心在直线 $x-y-4=0$ 上，并且经过圆 $x^2+y^2+6x-4=0$ 与圆 $x^2+y^2+6y-28=0$ 的交点的圆的方程.
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9. 求圆 $x^2+y^2-4=0$ 与圆 $x^2+y^2-4x+4y-12=0$ 的公共弦的长.
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10. 求经过点 $M(3,-1)$，且与圆 $C: x^2+y^2+2x-6y+5=0$ 相切于点 $N(1,2)$ 的圆的方程.
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11. 如图, 某台机器的三个齿轮, $A$ 与 $B$ 啮合, $C$ 与 $B$ 也啮合. 若 $A$ 轮的直径为 $200\text{ cm}$, $B$ 轮的直径为 $120\text{ cm}$, $C$ 轮的直径为 $250\text{ cm}$, 且 $\angle A=45^\circ$. 试建立适当的坐标系, 用坐标法求出 $A$, $C$ 两齿轮的中心距离 (精确到 $1\text{ cm}$).
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[图片描述:一张显示三个相互啮合的齿轮A、B、C的示意图。齿轮B位于下方，齿轮A和C分别位于B的上方两侧，与B相接触。A、B、C的中心点之间有连线形成一个三角形。|标题:第11题|图片编号:1]
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12. 已知 $A(-2, -2)$, $B(-2,6)$, $C(4,-2)$ 三点, 点 $P$ 在圆 $x^2+y^2=4$ 上运动, 求 $|PA|^2 + |PB|^2 + |PC|^2$ 的最大值和最小值.
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### 拓广探索
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13. 已知圆 $x^2+y^2=4$，直线 $l: y=x+b$。 $b$ 为何值时，圆上恰有三个点到直线 $l$ 的距离都等于 $1$？
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14. 如图，圆 $x^2+y^2=8$ 内有一点 $P_0(-1,2)$，$AB$ 为过点 $P_0$ 且倾斜角为 $\alpha$ 的弦。
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(1) 当 $\alpha=135^\circ$ 时，求 $AB$ 的长。
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(2) 是否存在弦 $AB$ 被点 $P_0$ 平分？若存在，写出直线 $AB$ 的方程；若不存在，请说明理由。
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[图片描述: 一个笛卡尔坐标系，原点为 O。有一个以原点为圆心的圆。在圆内部，有一个点 $P_0$。有两条线段穿过 $P_0$，其两端点 A 和 B 落在圆上，其中一条线段是蓝色的，另一条是品红色的。y轴标记为'y'，x轴标记为'x'。|标题: 第14题图|图片编号: 1]
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15. 已知点 $P(-2,-3)$ 和以点 $Q$ 为圆心的圆 $(x-4)^2+(y-2)^2=9$。
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(1) 画出以 $PQ$ 为直径，点 $Q'$ 为圆心的圆，再求出圆 $Q'$ 的方程；
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(2) 设圆 $Q$ 与圆 $Q'$ 相交于 $A, B$ 两点，直线 $PA, PB$ 是圆 $Q$ 的切线吗？为什么？
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(3) 求直线 $AB$ 的方程。
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# 小结
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## 一、本章知识结构
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```mermaid
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graph TD
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subgraph 直线概念与方程
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确定直线几何要素(点,方向) --> 倾斜角与斜率
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倾斜角与斜率 --> 点斜式方程
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倾斜角与斜率 --> 两点式方程
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点斜式方程 --> 直线一般式方程
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两点式方程 --> 直线一般式方程
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end
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subgraph 圆的几何与方程
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确定圆几何要素(圆心,半径) --> 圆标准方程
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圆标准方程 --> 圆一般方程
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end
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subgraph 距离与位置关系
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两点距离公式 --> 圆标准方程
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直线一般式方程 --> 点到直线距离_平行线距离
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点到直线距离_平行线距离 --> 两直线位置关系
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点到直线距离_平行线距离 --> 圆与圆位置关系
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圆一般方程 --> 圆与圆位置关系
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两直线位置关系 --> 直线与圆位置关系
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圆与圆位置关系 --> 直线与圆位置关系
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end
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```
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## 二、回顾与思考
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本章在平面直角坐标系中探究确定直线、圆的几何要素，并利用坐标表示这些几何要素，进而得到直线、圆上的点的坐标所满足的关系式，建立直线的方程、圆的方程；通过它们的方程，用代数方法研究有关几何问题，包括两条直线的位置关系，特别是两条直线的平行与垂直，两条直线的交点坐标，各种距离问题，以及直线与圆、圆与圆的位置关系等，在研究和解决这些问题的过程中，我们可以不断体会解析几何的基本思想方法——坐标法。
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坐标法是研究和解决几何问题的重要方法，它建立了几何与代数间的联系，体现了数形结合的思想方法。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”是:
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1. 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把平面几何问题转化为代数问题；
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2. 第二步：通过代数运算，解决代数问题；
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3. 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论。
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坐标法、综合法、向量法都是研究平面图形的重要方法，这些方法可以推广到空间中。
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请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
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```mermaid
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graph TD
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A[("空间直角坐标系与\n空间解析几何")]
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B["平面几何中的\n综合法"]
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C["平面解析几何:\n平面几何中的坐标法"]
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D["平面几何中的\n向量法"]
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E["直线与数轴"]
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C -- "推广" --> A
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B -- "类比" --> C
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C -- "类比" --> D
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C -- "特殊化" --> E
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style A stroke-dasharray: 5 5;
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```
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1. 在直角坐标系中，我们是如何探索确定直线位置的几何要素的？它与平面几何中确定直线位置的几何要素有什么差异？
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2. 直线的倾斜程度、倾斜角、斜率三者之间有什么关系？如何用直线上两点的坐标表示这条直线的斜率？直线的方向向量在刻画直线的倾斜角、斜率方面有什么作用？
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3. 你能叙述直线点斜式方程的建立过程吗？
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4. 写出直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，并指出这些方程中字母系数的几何意义。有人说，直线方程的其他形式都是点斜式方程的“推论”，对此你有什么看法？
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5. 你能写出两点间距离公式、点到直线的距离公式吗？比较用坐标法和向量法推导点到直线的距离公式的过程，你有何体会？
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6. 圆的方程有哪几种形式？你能说出它们各自的特点吗？
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7. 位置关系是图形间的一种重要关系，直线与直线、直线与圆、圆与圆各有哪些位置关系？我们是如何通过方程来研究这些位置关系的？你能说说用方程研究图形位置关系的基本思路与具体步骤吗？
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8. 坐标法是研究和解决平面几何问题的重要方法，你能举例说明用坐标法解决平面几何问题“三步曲”中的第一步、第二步和第三步的具体含义吗？
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9. 数形结合是重要的数学思想方法。坐标系把图形性质与代数运算有机结合起来，由此产生了解析几何这门学科。我们常说，两点间的距离公式是勾股定理的坐标表示，用“数”表示“形”，用“形”解释“数”，在解析几何的学习中经常遇到，你还能举出这方面的一些例子吗？
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# 复习参考题2
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## 复习巩固
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1. 选择题.
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(1) 直线 $3x+2y-1=0$ 的一个方向向量是 ( ).
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(A) $(2,-3)$
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(B) $(2,3)$
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(C) $(-3,2)$
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(D) $(3,2)$
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(2) 设直线 $l$ 的方程为 $x-y\sin\theta+2=0$, 则直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 的范围是 ( ).
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(A) $[0, \pi]$
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(B) $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$
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(C) $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$
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(D) $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}]$
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(3) 与直线 $3x-4y+5=0$ 关于 $x$ 轴对称的直线的方程为 ( ).
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(A) $3x+4y-5=0$
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(B) $3x+4y+5=0$
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(C) $3x-4y+5=0$
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(D) $3x-4y-5=0$
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2. 已知下列各组中的两个方程表示的直线平行, 求 $a$ 的值:
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(1) $2x+3y=a$, $4x+6y-3=0$;
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(2) $x+2ay-1=0$, $(3a-1)x-ay-1=0$;
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(3) $x+(1+a)y=2-a$, $2ax+4y=-16$.
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3. 已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直, 求 $a$ 的值:
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(1) $4ax+y=1$, $(1-a)x+y=-1$;
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(2) $2x+ay=2$, $ax+2y=1$;
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(3) $(3a+2)x+(1-4a)y+8=0$, $(5a-2)x+(a+4)y-7=0$.
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4. 求平行于直线 $x-y-2=0$, 且与它的距离为 $2\sqrt{2}$ 的直线的方程.
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5. 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是 $x+y-1=0$, $3x-y+4=0$, 且它的对角线的交点是 $M(3,3)$, 求这个平行四边形其他两边所在直线的方程.
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6. 求下列各圆的方程:
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(1) 圆心为 $M(-5,3)$, 且过点 $A(-8,-1)$;
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(2) 过 $A(-2,4)$, $B(-1,3)$, $C(2,6)$ 三点;
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(3) 圆心在直线 $3x+y-5=0$ 上, 且经过原点和点 $(3,-1)$.
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7. $m$ 为何值时, 方程 $x^2+y^2-4x+2my+2m^2-2m+1=0$ 表示圆? 并求半径最大时圆的方程.
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8. 判断圆 $x^2+y^2-6x+4y+12=0$ 与圆 $x^2+y^2-14x-2y+14=0$ 是否相切.
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## 综合运用
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9. 若函数 $y=f(x)$ 在 $x=a$ 及 $x=b$ 之间的一段图象可以近似地看作线段, 且 $a \le c \le b$, 求证:
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$$f(c) \approx f(a) + \frac{c-a}{b-a}[f(b)-f(a)]$$
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10. 求点 $P(-2,-1)$ 到直线 $l: (1+3\lambda)x+(1+\lambda)y-2-4\lambda=0$ ($\lambda$ 为任意实数) 的距离的最大值.
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11. 过点 $P(3,0)$ 有一条直线 $l$, 它夹在两条直线 $l_1: 2x-y-2=0$ 与 $l_2: x+y+3=0$ 之间的线段恰被点 $P$ 平分, 求直线 $l$ 的方程.
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12. 已知直线 $l: x-2y-8=0$ 和 $A(-2,0)$, $B(2,4)$ 两点, 若直线 $l$ 上存在点 $P$ 使得 $|PA|+|PB|$ 最小, 求点 $P$ 的坐标.
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13. 求圆 $x^2+y^2-10x-10y=0$ 与圆 $x^2+y^2-6x+2y-40=0$ 的公共弦长.
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14. 已知圆 $x^2+y^2=4$ 与圆 $x^2+y^2+4x-4y+4=0$ 关于直线 $l$ 对称, 求直线 $l$ 的方程.
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15. 求与圆 $C:(x+2)^2+(y-6)^2=1$ 关于直线 $3x-4y+5=0$ 对称的圆的方程.
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16. 求圆心在直线 $y=-2x$ 上, 并且经过点 $A(2,-1)$, 与直线 $x+y=1$ 相切的圆的方程.
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## 拓广探索
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17. 如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和, 那么它的对角线具有什么关系? 为什么?
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18. 求由曲线 $x^2+y^2= |x|+|y|$ 围成的图形的面积.
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19. 一条光线从点 $A(-2,3)$ 射出, 经 $x$ 轴反射后, 与圆 $C:(x-3)^2+(y-2)^2=1$ 相切, 求反射后光线所在直线的方程.
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20. 已知圆 $C: (x-1)^2+(y-2)^2=25$, 直线 $l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0$.
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(1) 求证: 直线 $l$ 恒过定点.
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(2) 直线 $l$ 被圆 $C$ 截得的弦何时最长、何时最短? 并求截得的弦长最短时 $m$ 的值以及最短弦长.
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