1850 lines
53 KiB
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{
|
||
"教材信息": {
|
||
"节": "8.1-8.6",
|
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"小节": "多个小节",
|
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"页码范围": "103-179",
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"教材名称": "数学必修2教科书",
|
||
"章节": "第八章-立体几何初步"
|
||
},
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"knowledge_list": [
|
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{
|
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"编号": "K8-1-01",
|
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"层次": "二级",
|
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"名称": "空间几何体",
|
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"类型": "概念/定义",
|
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"核心内容": {
|
||
"定义": "只考虑物体的形状和大小，不考虑其他因素，由物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体",
|
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"关键要素": [
|
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"形状",
|
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"大小",
|
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"空间图形"
|
||
],
|
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"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将现实世界的物体抽象为数学研究对象，便于研究其几何性质",
|
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"核心特征": [
|
||
"忽略材料、颜色等非几何属性",
|
||
"保留形状和大小特征",
|
||
"占据空间的一部分"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究立体几何的基础概念",
|
||
"特殊说明": "是立体几何研究的对象"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"平面几何基础知识"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [
|
||
"K8-1-02 多面体",
|
||
"K8-1-03 旋转体"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "几何体与实际物体的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P104"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"识别分类"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "多面体",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平面多边形",
|
||
"围成",
|
||
"封闭图形"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将具有平面表面的空间几何体进行分类",
|
||
"核心特征": [
|
||
"所有面都是平面多边形",
|
||
"有顶点、棱、面等元素"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究具有平面表面的几何体",
|
||
"特殊说明": "面包括多边形内部的平面部分"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-01 空间几何体",
|
||
"平面多边形概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [
|
||
"K8-1-04 棱柱",
|
||
"K8-1-05 棱锥",
|
||
"K8-1-06 棱台"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "多面体与旋转体的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P105"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"分类识别",
|
||
"性质应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "旋转体",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平面曲线",
|
||
"定直线（轴）",
|
||
"旋转",
|
||
"封闭曲面"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述通过旋转运动形成的空间几何体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"由旋转运动生成",
|
||
"具有旋转对称性",
|
||
"表面为旋转面"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究具有曲面的空间几何体",
|
||
"特殊说明": "定直线称为旋转体的轴"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-01 空间几何体",
|
||
"平面曲线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [
|
||
"K8-1-07 圆柱",
|
||
"K8-1-08 圆锥",
|
||
"K8-1-09 圆台",
|
||
"K8-1-10 球"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "旋转面与旋转体的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P105"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"识别生成方式",
|
||
"计算表面积体积"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "棱柱",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱",
|
||
"关键要素": [
|
||
"两个平行底面",
|
||
"四边形侧面",
|
||
"侧棱平行"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述具有平行底面和平行侧棱的特殊多面体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"底面全等且平行",
|
||
"侧面都是平行四边形",
|
||
"侧棱都平行且相等"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究柱形多面体",
|
||
"特殊说明": "底面可以是任意多边形"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-02 多面体",
|
||
"平行四边形概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"直棱柱",
|
||
"斜棱柱",
|
||
"正棱柱",
|
||
"平行六面体"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "棱柱与棱锥的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P105-106"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"体积计算",
|
||
"表面积计算",
|
||
"性质证明"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "棱锥",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥",
|
||
"关键要素": [
|
||
"多边形底面",
|
||
"三角形侧面",
|
||
"公共顶点"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述锥形多面体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"一个底面",
|
||
"所有侧面都是三角形",
|
||
"侧面有公共顶点"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究锥形多面体",
|
||
"特殊说明": "三棱锥又叫四面体"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-02 多面体",
|
||
"三角形概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"正棱锥",
|
||
"棱锥的高"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "棱锥与棱柱的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P106"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"体积计算",
|
||
"表面积计算",
|
||
"高线求解"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "棱台",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平行截面",
|
||
"棱锥截取",
|
||
"两个平行底面"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述截头锥形多面体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"由棱锥截得",
|
||
"两个底面平行且相似",
|
||
"侧面都是梯形"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究台形多面体",
|
||
"特殊说明": "原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-05 棱锥",
|
||
"平行截面概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"棱台的高",
|
||
"正棱台"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "棱台与棱柱、棱锥的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P106"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"体积计算",
|
||
"表面积计算"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-07",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "圆柱",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱",
|
||
"关键要素": [
|
||
"矩形旋转",
|
||
"旋转轴",
|
||
"旋转面"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述柱形旋转体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"由矩形旋转生成",
|
||
"两个圆形底面",
|
||
"一个曲面侧面"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究柱形旋转体",
|
||
"特殊说明": "旋转轴叫做圆柱的轴"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-03 旋转体",
|
||
"矩形性质"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"圆柱的轴",
|
||
"底面",
|
||
"侧面",
|
||
"母线"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "圆柱与棱柱的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P108"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"表面积公式S=2πr(r+l)",
|
||
"体积公式V=πr²h"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-08",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "圆锥",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥",
|
||
"关键要素": [
|
||
"直角三角形旋转",
|
||
"旋转轴",
|
||
"顶点"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述锥形旋转体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"由直角三角形旋转生成",
|
||
"一个圆形底面",
|
||
"一个顶点"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究锥形旋转体",
|
||
"特殊说明": "旋转轴是圆锥的高"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-03 旋转体",
|
||
"直角三角形"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"圆锥的轴",
|
||
"底面",
|
||
"侧面",
|
||
"母线"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "圆锥与棱锥的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P108"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"表面积公式S=πr(r+l)",
|
||
"体积公式V=1/3πr²h"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-09",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "圆台",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平行截面",
|
||
"圆锥截取",
|
||
"两个平行圆面"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述截头锥形旋转体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"由圆锥截得",
|
||
"两个圆形底面平行",
|
||
"侧面为曲面"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究台形旋转体",
|
||
"特殊说明": "原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-08 圆锥",
|
||
"平行截面概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"圆台的母线",
|
||
"圆台的高"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "圆台与圆柱、圆锥的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P109"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"表面积公式",
|
||
"体积公式"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-1-10",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "球",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球",
|
||
"关键要素": [
|
||
"半圆旋转",
|
||
"直径为轴",
|
||
"球面",
|
||
"球体"
|
||
],
|
||
"符号表示": "球O"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述球形几何体",
|
||
"核心特征": [
|
||
"由半圆旋转生成",
|
||
"完全对称",
|
||
"表面到球心距离相等"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究球形几何体",
|
||
"特殊说明": "半圆的圆心叫做球的球心"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-1-03 旋转体",
|
||
"半圆概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"球心",
|
||
"半径",
|
||
"直径"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "球面与球体的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.1节 P109"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"表面积公式S=4πR²",
|
||
"体积公式V=4/3πR³"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "斜二测画法",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "利用平行投影画直观图的方法，其中x轴与y轴的夹角为45°，x轴方向长度不变，y轴方向长度减半",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平行投影",
|
||
"45°角",
|
||
"长度比例"
|
||
],
|
||
"符号表示": "无"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "在平面上表示空间图形，具有立体感",
|
||
"核心特征": [
|
||
"直观性",
|
||
"可操作性",
|
||
"规则简单"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "绘制空间几何体的直观图",
|
||
"特殊说明": "也适用于圆的直观图绘制（椭圆）"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"平行投影概念",
|
||
"坐标系知识"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [
|
||
"平面图形斜二测画法",
|
||
"几何体斜二测画法"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "斜二测与正等测的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.2节 P114"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": [
|
||
"画图应用",
|
||
"空间想象能力"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "棱柱体积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "V棱柱 = Sh",
|
||
"参数说明": {
|
||
"S": "底面积",
|
||
"h": "高（两底面之间的距离）"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为棱柱体积公式的计算方法。S表示底面积，h表示高（两底面之间的距离）"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用祖暅原理，与等底面积等高的长方体比较体积",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"构造等底面积等高的长方体",
|
||
"应用祖暅原理",
|
||
"体积相等"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "直棱柱、斜棱柱等各种棱柱",
|
||
"必要性": "所有棱柱都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"多边形面积计算",
|
||
"距离概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"V长方体=abc",
|
||
"V圆柱=πr²h"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "高与侧棱的区别（斜棱柱）",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.1节 P121"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"体积计算",
|
||
"公式应用",
|
||
"实际问题解决"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "棱锥体积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "V棱锥 = 1/3 Sh",
|
||
"参数说明": {
|
||
"S": "底面积",
|
||
"h": "高（顶点到底面的距离）"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为棱锥体积公式的计算方法。S表示底面积，h表示高（顶点到底面的距离）"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用等底面积等高的三棱柱分割成三个等体积的三棱锥",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"构造三棱柱",
|
||
"分割成三个三棱锥",
|
||
"证明体积相等"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "各种底面形状的棱锥",
|
||
"必要性": "所有棱锥都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-3-01 棱柱体积公式",
|
||
"相似形知识"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"V圆锥=1/3πr²h"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "棱锥高与斜高的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.1节 P121"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"体积计算",
|
||
"公式应用",
|
||
"高线求解"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "棱台体积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "V棱台 = 1/3 h(S'+√(S'S)+S)",
|
||
"参数说明": {
|
||
"S'": "上底面面积",
|
||
"S": "下底面面积",
|
||
"h": "高（两底面之间的距离）"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为棱台体积公式的计算方法。S'表示上底面面积，S表示下底面面积，h表示高（两底面之间的距离）"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用两个棱锥体积差得到",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"构造完整棱锥",
|
||
"计算大棱锥体积",
|
||
"减去小棱锥体积"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "由平行截面截得的棱台",
|
||
"必要性": "所有棱台都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-3-02 棱锥体积公式",
|
||
"相似多边形性质"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"V圆台=1/3πh(r'²+r'r+r²)"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "上下底面的识别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.1节 P122"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": [
|
||
"体积计算",
|
||
"公式应用",
|
||
"参数求解"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "圆柱表面积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "S圆柱 = 2πr(r+l)",
|
||
"参数说明": {
|
||
"r": "底面半径",
|
||
"l": "母线长（等于高）"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为圆柱表面积公式的计算方法。r表示底面半径，l表示母线长（等于高）"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用展开图，表面积=两个底面积+侧面积",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"底面积=2πr²",
|
||
"侧面展开为矩形=2πrl",
|
||
"总和为2πr(r+l)"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "任意半径和高的圆柱",
|
||
"必要性": "所有圆柱都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"圆面积公式",
|
||
"矩形面积公式"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"S圆锥=πr(r+l)",
|
||
"S圆台=π(r'²+r²+(r'+r)l)"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "母线长与高的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.2节 P123"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"表面积计算",
|
||
"实际问题应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "圆锥表面积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "S圆锥 = πr(r+l)",
|
||
"参数说明": {
|
||
"r": "底面半径",
|
||
"l": "母线长"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为圆锥表面积公式的计算方法。r表示底面半径，l表示母线长"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用展开图，表面积=底面积+侧面积",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"底面积=πr²",
|
||
"侧面展开为扇形=πrl",
|
||
"总和为πr(r+l)"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "任意半径和母线长的圆锥",
|
||
"必要性": "所有圆锥都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"圆面积公式",
|
||
"扇形面积公式"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"S圆柱=2πr(r+l)",
|
||
"S圆台=π(r'²+r²+(r'+r)l)"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "母线长与高的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.2节 P123"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"表面积计算",
|
||
"母线长度求解"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "球表面积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "S球 = 4πR²",
|
||
"参数说明": {
|
||
"R": "球的半径"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为球表面积公式的计算方法。R表示球的半径"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用极限思想和积分方法（教材未给出详细推导）",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"分割球面",
|
||
"极限求和"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "任意半径的球",
|
||
"必要性": "所有球都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"圆面积公式",
|
||
"球的概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"V球=4/3πR³"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "球面与球体的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.2节 P124"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"表面积计算",
|
||
"半径求解",
|
||
"实际问题应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-3-07",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "球体积公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"公式": "V球 = 4/3 πR³",
|
||
"参数说明": {
|
||
"R": "球的半径"
|
||
},
|
||
"定义": "该公式为球体积公式的计算方法。R表示球的半径"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"推导过程": "利用球的表面积和祖暅原理，将球分割成小棱锥求和",
|
||
"关键步骤": [
|
||
"分割球面为n个小网格",
|
||
"连接球心得n个小棱锥",
|
||
"体积和=1/3×S球×R"
|
||
],
|
||
"核心特征": []
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"适用范围": "任意半径的球",
|
||
"必要性": "所有球都适用"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-3-06 球表面积公式",
|
||
"K8-3-02 棱锥体积公式"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关公式": [
|
||
"S球=4πR²"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "半径与直径的区分",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.3.2节 P125"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"体积计算",
|
||
"半径求解",
|
||
"实际问题应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平面是向四周无限延展的几何概念，类似于直线向两端无限延伸",
|
||
"关键要素": [
|
||
"无限延展",
|
||
"没有厚度",
|
||
"平直"
|
||
],
|
||
"符号表示": "平面α、平面β等"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "从现实物体中抽象出来的几何概念",
|
||
"核心特征": [
|
||
"无限延展性",
|
||
"平直性",
|
||
"理想化"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "立体几何的基础概念",
|
||
"特殊说明": "用平行四边形表示平面"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"点、直线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [
|
||
"K8-4-02 平面的基本性质",
|
||
"K8-4-03 确定平面的条件"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "平面与平面的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.1节 P131"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"概念理解",
|
||
"性质应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面基本事实1",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"不共线三点",
|
||
"存在唯一性"
|
||
],
|
||
"符号表示": "A,B,C不共线 ⇒ 有唯一平面ABC",
|
||
"定义": "过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "这是空间几何的基本公理，是几何推理的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"确定性",
|
||
"唯一性",
|
||
"不共线性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "确定平面的基本方法",
|
||
"特殊说明": "也叫\"不共线三点确定一个平面\""
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-01 平面概念",
|
||
"点的概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面基本事实2",
|
||
"平面基本事实3"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "与共线三点的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.1节 P132"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"确定平面",
|
||
"几何证明",
|
||
"逻辑推理"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面基本事实2",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"直线上两点",
|
||
"在平面内",
|
||
"直线在平面内"
|
||
],
|
||
"符号表示": "A∈l, B∈l, A∈α, B∈α ⇒ l⊂α",
|
||
"定义": "如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "利用直线的\"直\"刻画平面的\"平\"，用直线的无限延伸刻画平面的无限延展",
|
||
"核心特征": [
|
||
"充分性",
|
||
"包含性",
|
||
"延展性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断直线是否在平面内",
|
||
"特殊说明": "可以用直线的平直性判断平面"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-01 平面概念",
|
||
"直线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面基本事实1",
|
||
"平面基本事实3"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "直线与平面相交的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.1节 P132"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"位置关系判断",
|
||
"几何证明"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-04",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面基本事实3",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"两个平面",
|
||
"一个公共点",
|
||
"唯一公共直线"
|
||
],
|
||
"符号表示": "P∈α, P∈β ⇒ α∩β=l, P∈l",
|
||
"定义": "如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "说明平面相交的本质特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"相交性",
|
||
"唯一性",
|
||
"公共性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究平面与平面的位置关系",
|
||
"特殊说明": "平面相交必定交于一条直线"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-01 平面概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面基本事实1",
|
||
"平面基本事实2"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "重合平面与相交平面的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.1节 P133"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平面关系判断",
|
||
"交线求解",
|
||
"几何证明"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-05",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "异面直线",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线",
|
||
"关键要素": [
|
||
"两条直线",
|
||
"不同在任一平面内",
|
||
"不相交"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a与b异面"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述空间中既不平行也不相交的直线位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"空间性",
|
||
"不共面性",
|
||
"无交点"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究空间直线的位置关系",
|
||
"特殊说明": "异面直线没有交点且不平行"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-01 平面概念",
|
||
"平行线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"相交直线",
|
||
"平行直线",
|
||
"异面直线所成的角"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "异面直线与平行直线的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.2节 P136"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"位置关系判断",
|
||
"异面直线识别",
|
||
"角度计算"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-06",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "空间直线位置关系",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"分类": "空间两条直线的位置关系有三种：相交直线、平行直线、异面直线",
|
||
"关键要素": [
|
||
"相交：有且只有一个公共点",
|
||
"平行：在同一平面内无公共点",
|
||
"异面：不同在任一平面内"
|
||
],
|
||
"符号表示": "相交：a∩b=P；平行：a∥b；异面：a与b异面",
|
||
"定义": "关于 空间直线位置关系 的定义。"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样分类": "全面描述空间中两条直线的位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"完备性",
|
||
"互斥性",
|
||
"空间性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析空间几何结构的基础",
|
||
"特殊说明": "异面直线是空间特有的位置关系"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-05 异面直线",
|
||
"平行线概念",
|
||
"相交线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"直线与平面位置关系",
|
||
"平面与平面位置关系"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "平行直线与异面直线的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.2节 P136"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"位置关系判断",
|
||
"几何证明",
|
||
"空间想象"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-07",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "直线与平面位置关系",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"分类": "直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行",
|
||
"关键要素": [
|
||
"在平面内：无数个公共点",
|
||
"相交：有且只有一个公共点",
|
||
"平行：没有公共点"
|
||
],
|
||
"符号表示": "l⊂α；l∩α=P；l∥α",
|
||
"定义": "关于 直线与平面位置关系 的定义。"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样分类": "全面描述直线与平面的位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"完备性",
|
||
"互斥性",
|
||
"实用性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究空间几何关系的基础",
|
||
"特殊说明": "直线在平面外包括相交和平行两种情况"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-01 平面概念",
|
||
"直线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"空间直线位置关系",
|
||
"平面与平面位置关系"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "直线在平面外与平行的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.2节 P136"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"位置关系判断",
|
||
"几何证明",
|
||
"性质应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-4-08",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面与平面位置关系",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"分类": "两个平面的位置关系有两种：平行、相交",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平行：没有公共点",
|
||
"相交：有一条公共直线"
|
||
],
|
||
"符号表示": "α∥β；α∩β=l",
|
||
"定义": "关于 平面与平面位置关系 的定义。"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样分类": "全面描述两个平面的位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"完备性",
|
||
"互斥性",
|
||
"直观性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究空间几何结构的基础",
|
||
"特殊说明": "平面重合视为同一平面"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-01 平面概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"空间直线位置关系",
|
||
"直线与平面位置关系"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "平行平面与重合平面的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.4.2节 P137"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"位置关系判断",
|
||
"几何证明",
|
||
"性质应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-5-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平行线的传递性",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"a∥c",
|
||
"b∥c",
|
||
"a∥b"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a∥c, b∥c ⇒ a∥b",
|
||
"定义": "平行于同一条直线的两条直线平行"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "这是空间中的基本事实，平行关系的传递性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"传递性",
|
||
"空间性",
|
||
"普适性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断直线平行关系的重要依据",
|
||
"特殊说明": "空间中仍然成立"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"平行线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"直线与平面平行判定定理",
|
||
"平面与平面平行判定定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "与相交直线的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.5.1节 P140"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平行关系证明",
|
||
"几何推理"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-5-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "直线与平面平行判定定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"直线a在平面外",
|
||
"直线b在平面内",
|
||
"a∥b",
|
||
"a∥α"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a⊄α, b⊂α, a∥b ⇒ a∥α",
|
||
"定义": "如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "将空间问题转化为平面问题研究",
|
||
"核心特征": [
|
||
"转化性",
|
||
"充分性",
|
||
"实用性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断直线与平面平行的主要方法",
|
||
"特殊说明": "体现了化归思想"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-5-01 平行线的传递性",
|
||
"直线与平面位置关系"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"直线与平面平行性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "充分条件与必要条件的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.5.2节 P143"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平行关系证明",
|
||
"几何推理",
|
||
"综合应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-5-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "直线与平面平行性质定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"直线a∥平面α",
|
||
"平面β包含直线a",
|
||
"β∩α=b",
|
||
"a∥b"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a∥α, a⊂β, α∩β=b ⇒ a∥b",
|
||
"定义": "一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "由直线与平面平行得出直线与直线平行",
|
||
"核心特征": [
|
||
"存在性",
|
||
"唯一性",
|
||
"可构造性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "由线面平行得到线线平行",
|
||
"特殊说明": "提供了作平行线的方法"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-5-02 直线与平面平行判定定理"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面与平面平行性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "性质定理与判定定理的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.5.2节 P144"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平行关系证明",
|
||
"几何作图",
|
||
"综合推理"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-5-04",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面与平面平行判定定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"平面β内有两条相交直线a,b",
|
||
"a∥α, b∥α",
|
||
"β∥α"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a⊂β, b⊂β, a∩b=P, a∥α, b∥α ⇒ β∥α",
|
||
"定义": "如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "由线面平行判断面面平行",
|
||
"核心特征": [
|
||
"充分性",
|
||
"相交性",
|
||
"确定性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断平面与平面平行的主要方法",
|
||
"特殊说明": "必须是两条相交直线"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-5-02 直线与平面平行判定定理"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面与平面平行性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "两条平行直线不能判定平面平行",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.5.3节 P147"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平面平行证明",
|
||
"几何推理",
|
||
"综合应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-5-05",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面与平面平行性质定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"α∥β",
|
||
"γ与α、β都相交",
|
||
"γ∩α=a",
|
||
"γ∩β=b",
|
||
"a∥b"
|
||
],
|
||
"符号表示": "α∥β, γ∩α=a, γ∩β=b ⇒ a∥b",
|
||
"定义": "两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "由面面平行得到线线平行",
|
||
"核心特征": [
|
||
"传递性",
|
||
"交线性",
|
||
"平行性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "由平面平行得到直线平行",
|
||
"特殊说明": "提供了证明直线平行的新途径"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-5-04 平面与平面平行判定定理"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"直线与平面平行性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "需要第三个平面与两个平行平面都相交",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.5.3节 P148"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平行关系证明",
|
||
"综合推理",
|
||
"几何证明"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "异面直线所成的角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "经过空间任一点O分别作直线a'∥a, b'∥b，把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角",
|
||
"关键要素": [
|
||
"平移",
|
||
"相交直线",
|
||
"角度"
|
||
],
|
||
"符号表示": "∠(a,b)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "通过平移把异面直线转化为相交直线研究",
|
||
"核心特征": [
|
||
"平移不变性",
|
||
"角度唯一性",
|
||
"转化思想"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "刻画异面直线的相对位置",
|
||
"特殊说明": "取值范围：0°≤α≤90°"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-4-05 异面直线",
|
||
"角的概念",
|
||
"平行线性质"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"异面直线垂直",
|
||
"直线与平面所成的角"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "异面直线所成的角与交角的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.1节 P153"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"角度计算",
|
||
"空间想象",
|
||
"几何应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "异面直线垂直",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果两条异面直线所成的角是直角，那么这两条异面直线互相垂直",
|
||
"关键要素": [
|
||
"异面直线",
|
||
"所成角为90°",
|
||
"垂直关系"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a⊥b"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述异面直线的特殊位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"角度为90°",
|
||
"垂直性",
|
||
"空间性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究空间垂直关系的基础",
|
||
"特殊说明": "异面直线垂直但无交点"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-01 异面直线所成的角",
|
||
"垂直概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"直线与平面垂直",
|
||
"平面与平面垂直"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "异面垂直与相交垂直的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.1节 P154"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"垂直关系证明",
|
||
"角度计算",
|
||
"综合应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "直线与平面垂直判定定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"直线l",
|
||
"平面α内两条相交直线m,n",
|
||
"l⊥m, l⊥n",
|
||
"l⊥α"
|
||
],
|
||
"符号表示": "m⊂α, n⊂α, m∩n=P, l⊥m, l⊥n ⇒ l⊥α",
|
||
"定义": "如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "将空间垂直关系转化为平面垂直关系研究",
|
||
"核心特征": [
|
||
"充分性",
|
||
"相交性",
|
||
"判定性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断直线与平面垂直的主要方法",
|
||
"特殊说明": "必须是两条相交直线"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-02 异面直线垂直",
|
||
"直线与平面位置关系"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"直线与平面垂直性质定理",
|
||
"平面与平面垂直判定定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "一条直线不能判定垂直",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.2节 P160"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"垂直关系证明",
|
||
"几何推理",
|
||
"综合应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-04",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "直线与平面垂直性质定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"直线a⊥α",
|
||
"直线b⊥α",
|
||
"a∥b"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a⊥α, b⊥α ⇒ a∥b",
|
||
"定义": "垂直于同一个平面的两条直线平行"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "体现了垂直关系蕴含平行关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"传递性",
|
||
"唯一性",
|
||
"对立统一性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "由垂直关系得到平行关系",
|
||
"特殊说明": "揭示了平行与垂直的内在联系"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-03 直线与平面垂直判定定理"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面与平面垂直性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "与平行线传递性的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.2节 P167"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"平行关系证明",
|
||
"综合推理",
|
||
"几何证明"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-05",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "直线与平面所成的角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角",
|
||
"关键要素": [
|
||
"斜线",
|
||
"射影",
|
||
"角度"
|
||
],
|
||
"符号表示": "∠(l,α)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "刻画直线相对于平面的倾斜程度",
|
||
"核心特征": [
|
||
"最小性",
|
||
"唯一性",
|
||
"直观性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述直线与平面相对位置",
|
||
"特殊说明": "取值范围：0°≤θ≤90°"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-03 直线与平面垂直",
|
||
"斜线概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"斜线",
|
||
"射影",
|
||
"垂线"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "与异面直线所成角的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.2节 P169"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": [
|
||
"角度计算",
|
||
"空间想象",
|
||
"几何应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-06",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "二面角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角",
|
||
"关键要素": [
|
||
"棱",
|
||
"两个半平面",
|
||
"角"
|
||
],
|
||
"符号表示": "二面角α-l-β"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述两个平面相对位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"两面性",
|
||
"棱线性",
|
||
"角度性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究平面与平面位置关系",
|
||
"特殊说明": "类似于平面角的定义"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"半平面概念",
|
||
"平面与平面位置关系"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"二面角的平面角",
|
||
"直二面角"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "二面角与平面角的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.3节 P163"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": [
|
||
"二面角计算",
|
||
"位置关系描述",
|
||
"几何应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-07",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "二面角的平面角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角",
|
||
"关键要素": [
|
||
"棱上点O",
|
||
"垂直射线OA,OB",
|
||
"角度"
|
||
],
|
||
"符号表示": "∠AOB"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将二面角转化为平面角度量",
|
||
"核心特征": [
|
||
"垂直性",
|
||
"唯一性",
|
||
"可度量性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "度量二面角的大小",
|
||
"特殊说明": "平面角的大小与点O在棱上的位置无关"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-06 二面角",
|
||
"垂直概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"直二面角",
|
||
"平面与平面垂直"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "二面角与其平面角的关系",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.3节 P163"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"二面角计算",
|
||
"几何证明",
|
||
"综合应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-08",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面与平面垂直",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直",
|
||
"关键要素": [
|
||
"两平面相交",
|
||
"二面角为90°",
|
||
"垂直"
|
||
],
|
||
"符号表示": "α⊥β"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述平面的特殊位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"相交性",
|
||
"直角性",
|
||
"垂直性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究垂直平面关系",
|
||
"特殊说明": "平面垂直必定相交"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-07 二面角的平面角",
|
||
"直二面角概念"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关概念": [
|
||
"平面与平面垂直判定定理",
|
||
"平面与平面垂直性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "平面垂直与平行的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.3节 P167"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"垂直关系证明",
|
||
"角度计算",
|
||
"几何应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-09",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面与平面垂直判定定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"直线a⊂α",
|
||
"a⊥β",
|
||
"α⊥β"
|
||
],
|
||
"符号表示": "a⊂α, a⊥β ⇒ α⊥β",
|
||
"定义": "如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "由线面垂直判定面面垂直",
|
||
"核心特征": [
|
||
"充分性",
|
||
"包含性",
|
||
"垂直性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断平面垂直的主要方法",
|
||
"特殊说明": "体现了垂直关系的传递性"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-03 直线与平面垂直判定定理"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"平面与平面垂直性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "判定定理与性质定理的区别",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.3节 P184"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"垂直关系证明",
|
||
"几何推理",
|
||
"综合应用"
|
||
]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K8-6-10",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面与平面垂直性质定理",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"关键要素": [
|
||
"α⊥β",
|
||
"α∩β=l",
|
||
"a⊂α",
|
||
"a⊥l",
|
||
"a⊥β"
|
||
],
|
||
"符号表示": "α⊥β, α∩β=l, a⊂α, a⊥l ⇒ a⊥β",
|
||
"定义": "两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样成立": "由面面垂直得到线面垂直",
|
||
"核心特征": [
|
||
"必要性",
|
||
"交线性",
|
||
"垂直性"
|
||
]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "由平面垂直得到直线垂直",
|
||
"特殊说明": "直线必须垂直于两平面的交线"
|
||
},
|
||
"前置知识": [
|
||
"K8-6-09 平面与平面垂直判定定理"
|
||
],
|
||
"关联内容": {
|
||
"相关定理": [
|
||
"直线与平面垂直性质定理"
|
||
],
|
||
"常见混淆": "性质定理与判定定理的应用条件",
|
||
"教材位置": "必修2 第8章8.6.3节 P196"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": [
|
||
"垂直关系证明",
|
||
"综合推理",
|
||
"几何证明"
|
||
]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |