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# 第六章
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## 平面向量及其应用
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在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等。还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由 $A$ 地向东南方向航行 $15 \text{ nmile}$ 到达 $B$ 地（速度的大小为 $10 \text{ n mile/h}$）。这里，如果仅指出“由 $A$ 地航行 $15 \text{ nmile}$”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达 $B$ 地了。这就是说，位移是既有大小又有方向的量。力、速度、加速度等也是这样的量，对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量。
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向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵。向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用。
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本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系，在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题。
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[图片描述: 一艘帆船在水面上航行，背景是海岸线和建筑群。图中叠加了一个以点 $A$ 为原点的坐标系，标示了北、南、西、东四个方向。从点 $A$ 出发有一条橙色的有向线段（向量），指向东南方向的点 $B$。该向量与垂直向下（南）方向的夹角标注为 $45^\circ$。此图演示了小船从 $A$ 地向东南方向位移到 $B$ 地，位移是兼具大小和方向的向量。|标题:小船的位移示意图|图片1]
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## 6.1 平面向量的概念
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我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量。本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征。
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### 6.1.1 向量的实际背景与概念
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在本章引言中，小船位移的大小是$A$, $B$两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向。又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2），物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。
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[图片描述:一个静止在水平表面上的方块，其下方有一个向下指向的箭头，标有G，表示物体受到的重力。|标题:图6.1-1|图片编号:1]
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[图片描述:一个部分浸没在水中的方块，其上方有一个向上指向的箭头，标有F，表示物体受到的浮力。|标题:图6.1-2|图片编号:2]
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力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性。我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……………中，可以抽象出只有大小的数量“1”。类似地，我们可以对力、位移、速度……………这些量进行抽象，形成一种新的量。
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> **?**
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> 物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？
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在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做**向量**（vector），而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量。
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### 6.1.2 向量的几何表示
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由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量。那么，该如何表示向量呢？
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我们仍以位移为例，小船以 A 为起点，B 为终点，我们可以用连接 A, B 两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点 B 处加上箭头表示小船行驶的方向，于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移。受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例(标度)画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
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通常，在线段 AB 的两个端点中，规定一个顺序，假设 A 为起点，B 为终点，我们就说线段 AB 具有方向，具有方向的线段叫做**有向线段** (directed line segment)(图 6.1-3)。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作$\vec{AB}$，线段 AB 的长度也叫做有向线段$\vec{AB}$的长度，记作$|\vec{AB}|$。
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> 表示有向线段时，起点一定要写在终点的前面。
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[图片描述:一个表示有向线段的图，从起点A指向终点B，用箭头表示方向。点A被标注为“起点”，点B被标注为“终点”。|标题:图 6.1-3|图片1]
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有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了。
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向量可以用有向线段$\vec{AB}$来表示，我们把这个向量记作向量$\vec{AB}$。有向线段的长度$|\vec{AB}|$表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。用有向线段表示向量，使向量有了直观形象。
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向量$\vec{AB}$的大小称为向量$\vec{AB}$的**长度** (或称模)，记作$|\vec{AB}|$。长度为 0 的向量叫做**零向量** (zero vector)，记作$\mathbf{0}$。长度等于 1 个单位长度的向量，叫做**单位向量** (unit vector)。
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> ①印刷用黑体$\mathbf{a}$，书写用$\vec{a}$。
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向量也可以用字母$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, …表示。
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**例 1** 在图 6.1-4 中，分别用向量表示 A 地至 B, C 两地的位移，并根据图中的比例尺，求出 A 地至 B, C 两地的实际距离(精确到 1km)。
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**解**:
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$\vec{AB}$表示 A 地至 B 地的位移，且$|\vec{AB}| \approx \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$;
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$\vec{AC}$表示 A 地至 C 地的位移，且$|\vec{AC}| \approx \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$.
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[图片描述:一个地图状的图，显示了A、B、C三个地理位置点，并标注了1:8 000 000的比例尺，背景显示陆地和水域，其中A点和B点位于陆地上，C点位于水边。|标题:图 6.1-4|图片2]
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### 6.1.3 相等向量与共线向量
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下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量。
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方向相同或相反的非零向量叫做**平行向量** (parallel vectors)。如图 6.1-5，用有向线段表示的向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$是两个平行向量。向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$平行，记作$\mathbf{a}//\mathbf{b}$。
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[图片描述:一个展示两个平行向量的图，向量a和向量b用带有箭头的线段表示，它们方向相同，其中向量a为品红色，向量b为青色。|标题:图 6.1-5|图片3]
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我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量$\mathbf{a}$，都有$\mathbf{0}//\mathbf{a}$。
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长度相等且方向相同的向量叫做**相等向量** (equal vectors). 如图 6.1-6, 用有向线段表示的向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 相等, 记作 $\mathbf{a}=\mathbf{b}$.
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任意两个相等的非零向量, 都可用同一条有向线段表示, 并且与有向线段的起点无关; 同时, 两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量, 因为向量完全由它的模和方向确定.
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[图片描述: 图中展示了两条有向线段，一条标记为a，另一条标记为b。这两条线段长度相等且方向平行向上，表示它们是相等的向量。|标题: 图6.1-6|图片编号: 1]
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如图 6.1-7, $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 是一组平行向量, 任作一条与 $\mathbf{a}$ 所在直线平行的直线 $l$, 在 $l$ 上任取一点 $O$, 则可在 $l$ 上分别作出 $\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, $\vec{OC}=\mathbf{c}$. 这就是说, 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上, 因此, 平行向量也叫做**共线向量** (collinear vectors).
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[图片描述: 图的上半部分展示了三条相互平行的有向线段，从上到下依次标记为a、b、c。下半部分是一条直线l，上面有四个点C、O、B、A，并展示了从O点出发的三条有向线段：$\vec{OC}$（向左，对应c）、$\vec{OB}$（向右，对应b）、$\vec{OA}$（向右，对应a），这表明平行向量可以在同一直线上表示。|标题: 图6.1-7|图片编号: 2]
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**例2** 如图 6.1-8, 设 $O$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的中心.
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(1) 写出图中的共线向量;
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(2) 分别写出图中与 $\vec{OA}$, $\vec{OB}$, $\vec{OC}$ 相等的向量.
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**解:** (1) $\vec{OA}$, $\vec{CB}$, $\vec{DO}$, $\vec{FE}$ 是共线向量;
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$\vec{OB}$, $\vec{DC}$, $\vec{EO}$, $\vec{AF}$ 是共线向量;
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$\vec{OC}$, $\vec{AB}$, $\vec{ED}$, $\vec{FO}$ 是共线向量.
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(2) $\vec{OA}=\vec{CB}=\vec{DO}$;
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$\vec{OB}=\vec{DC}=\vec{EO}$;
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$\vec{OC}=\vec{AB}=\vec{ED}=\vec{FO}$.
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[图片描述: 一个正六边形ABCDEF，中心点为O。从中心点O到各个顶点的向量（如$\vec{OA}$，$\vec{OB}$等）以及各边向量（如$\vec{AB}$，$\vec{BC}$等）被标示出来。有向线段的颜色不同，其中$\vec{OB}$，$\vec{OA}$，$\vec{OC}$以及一些与它们相等的向量为粉色，其余为蓝色。|标题: 图6.1-8|图片编号: 3]
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## 练习
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1. 下列量中哪些是向量?
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悬挂物受到的拉力, 压强, 摩擦力, 频率, 加速度.
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2. 画两条有向线段, 分别表示一个竖直向下、大小为 $18 N$ 的力和一个水平向左、大小为 $28 N$ 的力.(用 $1 \text{ cm}$ 长表示 $10 N$)
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3. 指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为 $0.5$)
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4. 将向量用具有同一起点 $O$ 的有向线段表示.
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(1) 当 $\vec{OM}$ 与 $\vec{ON}$ 是相等向量时, 判断终点 $M$ 与 $N$ 的位置关系;
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(2) 当 $\vec{OM}$ 与 $\vec{ON}$ 是平行向量, 且 $\left|\vec{OM}\right|=2\left|\vec{ON}\right|=1$ 时, 求向量 $\vec{MN}$ 的长度, 并判断 $\vec{MN}$ 的方向与 $\vec{ON}$ 的方向之间的关系.
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[图片描述: 一个方格纸上的坐标系，显示了三个向量。第一个向量从C点指向D点，是水平向右的。第二个向量从G点指向E点，是对角线向上向右的。第三个向量从H点指向F点，是垂直向上的。所有向量的起点和终点都在网格点上。|标题: (第3题)|图片编号: 4]
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# 习题 6.1
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## 复习巩固
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1. 在如图所示的坐标纸(规定小方格的边长为1)中,用直尺和圆规画出下列向量:
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(1) $|$\vec{OA}$|=4$,点$A$在点$O$正南方向;
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(2) $|$\vec{OB}$|=2\sqrt{2}$,点$B$在点$O$北偏西$45^\circ$方向;
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(3) $|$\vec{OC}$|=2$,点$C$在点$O$南偏西$30^\circ$方向.
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[图片描述:左侧是一个空白的10x10网格，用于在坐标纸上画向量，此网格位于“第1题”文字上方；右侧是一个带坐标网格的图形，其中包含一个平行四边形ABCD，其对角线交于点O，并清晰显示了向量$\vec{OA}$和$\vec{OB}$。此外，图中还有一条由点M开始，依次经过P, Q, R, S，最后到达T的折线MPQRST。此图是第2题的配图。|标题:第1题与第2题配图|图片1]
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2. 如图,点$O$是$\square ABCD$的对角线的交点,且$\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, $\vec{AB}=\mathbf{c}$,分别写出$\square ABCD$和折线$MPQRST$中与$\mathbf{a}$,$\mathbf{b}$,$\mathbf{c}$相等的向量.
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## 综合运用
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3. 判断下列结论是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”),并说明理由.
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(1) 若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$都是单位向量,则$\mathbf{a}=\mathbf{b}$. ( )
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(2) 方向为南偏西$60^\circ$的向量与北偏东$60^\circ$的向量是共线向量. ( )
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(3) 直角坐标平面上的$x$轴、$y$轴都是向量. ( )
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(4) 若$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$是平行向量,则$\mathbf{a}=\mathbf{b}$. ( )
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(5) 若用有向线段表示的向量$\vec{AM}$与$\vec{AN}$不相等,则点$M$与$N$不重合. ( )
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(6) 海拔、温度、角度都不是向量. ( )
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## 拓广探索
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4. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB=2BC=2$,$M$,$N$分别为边$AB$,$CD$的中点,在以$A$,$B$,$C$,$D$,$M$,$N$为起点和终点的所有有向线段表示的向量中,相等的向量共有多少对?
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[图片描述:一个矩形ABCD，其中AB是较长的边，BC是较短的边。M是边AB的中点，N是边CD的中点。图中画出了对角线AC和BD，以及连接AN, BN, MC, MD的线段。|标题:第4题配图|图片2]
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## 阅读与思考
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### 向量及向量符号的由来
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向量最初应用于物理学，被称为矢量。很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量。向量的概念萌芽于两千多年前，大约在公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德 (*Aristotle*, 公元前384—前322) 就知道了力可以表示成向量。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿 (*Isaac Newton*, 1643—1727)。
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向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它。1806 年，瑞士人阿尔冈 (*J. R. Argand*, 1768—1822) 以 $\vec{AB}$ 表示有向线段或向量。1827年，默比乌斯 (*A. F. Möbius*, 1790—1868) 以 $\vec{AB}$ 表示起点为 $A$，终点为 $B$ 的向量，这种用法被数学家广泛接受。另外，哈密顿 (*W. R. Hamilton*, 1805—1865)、吉布斯 (*J. W. Gibbs*, 1839—1903) 等人则以小写希腊字母表示向量。后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中；为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 等表示向量。这两种符号一直沿用至今。
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莱布尼茨 (*G. W. Leibniz*, 1646—1716) 曾经从位置几何学研究的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质。我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明。”莱布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论。
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向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的。1797年，丹麦测量学家韦塞尔 (*Caspar Wessel*, 1745—1818) 把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算。他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题，人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量。
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发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些学科或领域中各种问题的有力工具。
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你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？
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# 6.2 平面向量的运算
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我们知道, 数能进行运算, 因为有了运算而使数的威力无穷。那么, 向量是否也能像数一样进行运算呢? 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发, 引进了向量的运算。本节我们就来研究平面向量的运算, 探索其运算性质, 体会向量运算的作用。
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下面先学习向量的加法。
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## 6.2.1 向量的加法运算
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我们知道, 位移、力是向量, 它们可以合成, 能否从位移、力的合成中得到启发, 引进向量的加法呢?
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**? 思考**
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如图6.2-1, 某质点从点A经过点B 到点C, 这个质点的位移如何表示?
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[图片描述:一个三角形ABC。从顶点A指向B的边为粉色箭头，从顶点B指向C的边为蓝色箭头。从顶点A直接指向C的边为黑色箭头。此图示意一个质点从A点经过B点到达C点的两次位移，以及等效的直接位移。|标题:质点从A经B到C的位移示意图|图片编号:图6.2-1]
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物理知识告诉我们, 这个质点两次位移$\vec{AB}$, $\vec{BC}$的结果, 与从点A 直接到点C的位移$\vec{AC}$结果相同, 因此, 位移$\vec{AC}$可以看作位移$\vec{AB}$与$\vec{BC}$合成的, 数的加法启发我们, 从运算的角度看, $\vec{AC}$可以看作$\vec{AB}$与$\vec{BC}$的和, 即位移的合成可以看作向量的加法。
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如图6.2-2, 已知非零向量$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, 在平面内取任意一点A, 作$\vec{AB}=\boldsymbol{a}$, $\vec{BC}=\boldsymbol{b}$, 则向量$\vec{AC}$叫做$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的和, 记作$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$, 即$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$。
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[图片描述:包含两个并列的图形。左侧图形展示两个自由向量：一个粉色箭头表示向量a，一个蓝色箭头表示向量b，它们没有共同起点。右侧图形是一个三角形ABC，其中从A到B的边是粉色箭头，表示向量a；从B到C的边是蓝色箭头，表示向量b。从A到C的边是黑色箭头，表示向量AC。这个图示通过向量首尾相接的三角形法则解释了向量a和b的加法，即$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\vec{AC}$。|标题:向量加法的三角形法则示意图|图片编号:图6.2-2]
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求两个向量和的运算，叫做**向量的加法**，这种求向量和的方法，称为**向量加法的三角形法则**，位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
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我们再来看力的合成问题。
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> ③ 思考
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> 如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力$\boldsymbol{F_1}$与$\boldsymbol{F_2}$的作用，你能作出这个物体所受的合力$\boldsymbol{F}$吗？
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[图片描述:一个物体（灰色矩形）置于光滑平面上，其中心点O受到两个力F1和F2的作用。力F1沿水平向右方向，标注为OA。力F2沿斜向右上方向，标注为OB。|标题:图6.2-3|图片编号:1]
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我们知道，合力 $\boldsymbol{F}$ 在以 $OA$，$OB$ 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长。从运算的角度看，$\boldsymbol{F}$ 可以看作 $\boldsymbol{F_1}$ 与 $\boldsymbol{F_2}$ 的和，即力的合成可以看作向量的加法。
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如图6.2-4，以同一点$O$为起点的两个已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，以$OA$，$OB$ 为邻边作$\square OACB$，则以$O$为起点的向量$\overrightarrow{OC}$ ($\overrightarrow{OC}$是$\square OACB$ 的对角线)就是向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做**向量加法的平行四边形法则**，力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
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[图片描述:展示了向量加法的平行四边形法则。从同一点O引出两个向量a（沿OA）和b（沿OB），构成一个平行四边形OACB。向量a+b表示为从O点指向C点的对角线向量。|标题:图6.2-4|图片编号:2]
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> ? 思考
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> 向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
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对于零向量与任意向量$\boldsymbol{a}$，我们规定
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$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}.$
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**例1** 如图6.2-5，已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，求作向量$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.
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[图片描述:两个独立的向量a和b。向量a水平向右，向量b从中间向右下方倾斜。|标题:图6.2-5|图片编号:3]
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**作法1**: 在平面内任取一点$O$(图6.2-6(1))，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{b}$. 则$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.
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**作法2**: 在平面内任取一点$O$(图6.2-6(2))，作$\overrightarrow{OA}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{b}$.以$OA$，$OB$为邻边作$\square OACB$，连接$OC$，则$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.
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[图片描述:此图包含两个子图，演示了向量加法的两种作法。子图(1)展示了向量加法的三角形法则：从点O引出向量a到A，再从A引出向量b到B，则从O到B的向量即为a+b。子图(2)展示了向量加法的平行四边形法则：从点O引出向量a到A和向量b到B，以OA和OB为邻边构成平行四边形OACB，则从O到C的对角线向量即为a+b。|标题:图6.2-6|图片编号:4]
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💡 **探究**
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(1) 如果向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 吗？
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(2) 结合例1，探索 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$, $|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$ 之间的关系。
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一般地，我们有
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$|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}|+|\mathbf{b}|$,
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当且仅当 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 中有一个是零向量或 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 是方向相同的非零向量时，等号成立。
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根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算。
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💡 **探究**
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数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
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如图6.2-7(1)，作 $\vec{AB}=\mathbf{a}$, $\vec{AD}=\mathbf{b}$，以 $AB$, $AD$ 为邻边作 $\square ABCD$，容易发现 $\vec{BC}=\mathbf{b}$, $\vec{DC}=\mathbf{a}$，故 $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$。又 $\vec{AC}=\vec{AD}+\vec{DC}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$，所以 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{b}+\mathbf{a}$。
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[图片描述: 图6.2-7(1)展示了一个平行四边形ABCD，其中向量 $\vec{AB}$ 表示为 $\mathbf{a}$，向量 $\vec{AD}$ 表示为 $\mathbf{b}$。向量 $\vec{BC}$ 也标记为 $\mathbf{b}$，向量 $\vec{DC}$ 标记为 $\mathbf{a}$。对角线 $\vec{AC}$ 表示为 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$。图6.2-7(2)展示了一个由三个向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$ 构成的图形，其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 首尾相连形成 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$，然后 $\mathbf{c}$ 接在 $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 后面，最终的合成向量是 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}$。另一个路径是先将 $\mathbf{b}$ 和 $\mathbf{c}$ 首尾相连形成 $\mathbf{b}+\mathbf{c}$，然后 $\mathbf{a}$ 接在 $\mathbf{b}+\mathbf{c}$ 前面，最终的合成向量同样是 $\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$。此图用于说明向量加法的结合律。|标题:图6.2-7|图1]
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由图6.2-7(2)，你能否验证
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$(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\mathbf{c}=\mathbf{a}+(\mathbf{b}+\mathbf{c})$?
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综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。
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**例2** 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输。如图6.2-8，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 $15 \text{ km/h}$，同时江水的速度为向东 $6 \text{ km/h}$。
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(1) 用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
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[图片描述: 图6.2-8展示了一幅河流的剖面示意图。河流从左向右流动，由一条粉色的水平箭头表示，代表江水速度。河流底部有一个小船，从A点出发，船头向上垂直于河岸方向（由一条黑色的垂直箭头和“北”字指示）。|标题:图6.2-8|图2]
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(2) 求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到1°).
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**解**:(1) 如图6.2-9. $\vec{AD}$ 表示船速,$\vec{AB}$ 表示江水速度,以$\vec{AD}$,$\vec{AB}$ 为邻边作$\square ABCD$, 则$\vec{AC}$表示船实际航行的速度.
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(2) 在Rt$\triangle ABC$中, $|\vec{AB}|=6, |\vec{BC}|=15$, 于是
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$|\vec{AC}| =\sqrt{|\vec{AB}|^2+|\vec{BC}|^2} =\sqrt{6^2+15^2} =\sqrt{261}\approx 16.2.$
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因为 $\tan\angle CAB=\frac{|\vec{BC}|}{|\vec{AB}|}=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$, 所以利用计算工具可得$\angle CAB\approx 68^\circ$.
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因此,船实际航行速度的大小约为16.2 km/h, 方向与江水速度间的夹角约为68°.
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[图片描述:一个平行四边形ABCD。向量$\vec{AD}$和$\vec{BC}$用蓝色表示，表示船速和其大小；向量$\vec{AB}$用粉色表示，表示江水速度；向量$\vec{AC}$用黑色表示，表示船实际航行的速度，是向量$\vec{AD}$和$\vec{AB}$的合向量。|标题:图6.2-9|图片编号:图1]
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## 练习
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1. 如图,在下列各小题中,已知向量$a$, $b$, 分别用两种方法求作向量$a+b$.
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[图片描述:四组矢量图，每组包含两个向量$a$和$b$，它们的方向和相对位置不同，展示了用平行四边形法则或三角形法则进行向量加法$a+b$的作图。
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图(1)：向量$a$水平向右，向量$b$从$a$的起点斜向上方。
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图(2)：向量$a$水平向右，向量$b$从$a$的起点斜向左上方。
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图(3)：向量$a$水平向右，向量$b$从$a$的起点斜向右下方。
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图(4)：向量$a$水平向右，向量$b$从$a$的起点斜向左下方。|标题:第1题|图片编号:图2]
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2. 当向量$a$, $b$满足什么条件时, $|a+b|=|a|-|b|$ (或 $|b|-|a|)$?
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3. 根据图示填空:
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[图片描述:一个包含多个向量的复杂图形。有起点A，向量$a$从A指向B，向量$b$从B指向C，向量$c$从A指向C。此外，还有向量$d$从C指向D，向量$e$从D指向E，向量$f$从A指向D，向量$g$从E指向A。向量$a$和$b$是粉色，其他为蓝色或黑色。|标题:第3题|图片编号:图3]
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(1) $a+b=$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
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(2) $c+d=$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
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(3) $a+b+d=$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
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(4) $c+d+e=$ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_.
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4. 如图,四边形$ABCD$ 是平行四边形,点$P$在$CD$上,判断下列各式是否正确(正确的在括号内打“√”,错误的打“×”).
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[图片描述:一个平行四边形ABCD，点P位于CD边上。向量$\vec{AD}$、$\vec{AB}$、$\vec{BC}$、$\vec{CD}$用蓝色箭头表示，形成平行四边形的边。点P在CD上，向量$\vec{DP}$用红色箭头表示，向量$\vec{PA}$也用红色箭头表示。此外，还有从B到P的黑色箭头$\vec{BP}$。|标题:第4题|图片编号:图4]
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(1) $\vec{DA}+\vec{DP}=\vec{PA}$. ( )
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(2) $\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BP}=\vec{DP}$. ( )
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(3) $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CP}=\vec{PA}$. ( )
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5. 有一条东西向的小河,一艘小船从河南岸的渡口出发渡河,小船航行速度的大小为15 km/h,方向为北偏西30°,水流的速度为向东7.5 km/h,求小船实际航行速度的大小与方向.
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## 6.2.2 向量的减法运算
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> **? 思考**
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> 在数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.类比数的减法,向量的减法与加法有什么关系?如何定义向量的减法法则?
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与数 $x$ 的相反数是 $-x$ 类似,我们规定,与向量 $\vec{a}$ 长度相等,方向相反的向量,叫做 $\vec{a}$ 的**相反向量**,记作 $-\vec{a}$.由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 $\vec{a}$ 和 $-\vec{a}$ 互为相反向量,于是
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$$-(-\vec{a})=\vec{a}.$$
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我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.
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由两个向量和的定义易知
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$$\vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\vec{0},$$
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即任意向量与其相反向量的和是零向量. 这样,如果 $\vec{a}, \vec{b}$ 互为相反向量,那么
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$$\vec{a}=-\vec{b}, \vec{b}=-\vec{a}, \vec{a}+\vec{b}=\vec{0}.$$
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向量 $\vec{a}$ 加上 $\vec{b}$ 的相反向量,叫做 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的差,即
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$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$
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求两个向量差的运算叫做**向量的减法**.
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我们看到,向量的减法可以转化为向量的加法来进行:减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
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> **© 探究**
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> 向量减法的几何意义是什么?
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如图 6.2-10, 设 $\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OD} = -\vec{b}$, 连接 $AB$, 由向量减法的定义知
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$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}.$$
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在四边形 $OCAB$ 中, $OB \parallel CA$, 所以 $OCAB$ 是平行四边形, 所以
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$$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}=\vec{a}-\vec{b}.$$
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由此,我们得到 $\vec{a}-\vec{b}$ 的作图方法.
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[图片描述:该图展示了向量减法的几何意义。从原点O出发有向量$\vec{a}$ (OA) 和 $\vec{b}$ (OB)。向量$-\vec{b}$ (OD) 与 $\vec{b}$ 等长反向。通过向量加法的平行四边形法则，$\vec{a} + (-\vec{b})$ 得到了向量 $\overrightarrow{OC}$。图中明确标示 $\overrightarrow{OC} = \vec{a} + (-\vec{b})$。同时，从B点指向A点的向量 $\overrightarrow{BA}$ 也被标示为 $\vec{a}-\vec{b}$。整个图形构成了一个平行四边形 OCAB，进一步说明了 $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OC}$。|标题:图6.2-10 向量减法作图|图1]
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如图 6.2-11, 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$, 在平面内任取一点 $O$, 作
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$\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, 则 $\vec{BA}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$. 即 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 可以表示为从向量 $\mathbf{b}$ 的终点指向向量 $\mathbf{a}$ 的终点的向量,这是向量减法的几何意义.
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[图片描述:图示向量a和向量b，以及如何通过将向量a和向量b的起点都放在O点，然后从向量b的终点B指向向量a的终点A来得到向量a-b，形成一个三角形OBA。向量OA表示a，向量OB表示b，向量BA表示a-b。|标题:图6.2-11 向量减法的几何表示|图片编号:图1]
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**思考**
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(1) 在图 6.2-11 中,如果从 $\mathbf{a}$ 的终点到 $\mathbf{b}$ 的终点作向量,那么所得向量是什么?
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(2) 如果改变图 6.2-11 中向量 $\mathbf{a}$ 的方向,使 $\mathbf{a} // \mathbf{b}$, 怎样作出 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$ 呢?
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**例3** 如图6.2-12(1),已知向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$, $\mathbf{d}$, 求作向量 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$, $\mathbf{c}-\mathbf{d}$.
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[图片描述:图6.2-12 (1)显示了四个任意向量a, b, c, d的起始状态，它们都从同一点发出。图6.2-12 (2)展示了如何通过选择一个公共起点O来构造向量a-b和c-d。将向量OA表示a，OB表示b，OC表示c，OD表示d。然后从B指向A的向量BA表示a-b，从D指向C的向量DC表示c-d。|标题:图6.2-12 向量减法的作图实例|图片编号:图2]
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**作法**: 如图6.2-12(2),在平面内任取一点 $O$, 作 $\vec{OA}=\mathbf{a}$, $\vec{OB}=\mathbf{b}$, $\vec{OC}=\mathbf{c}$, $\vec{OD}=\mathbf{d}$. 则
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$$\vec{BA}=\mathbf{a}-\mathbf{b},$$
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$$\vec{DC}=\mathbf{c}-\mathbf{d}.$$
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**例4** 如图6.2-13,在 $\square ABCD$ 中, $\vec{AB}=\mathbf{a}$, $\vec{AD}=\mathbf{b}$, 你能用 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 表示向量 $\vec{AC}$, $\vec{DB}$ 吗?
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**解**: 由向量加法的平行四边形法则,我们知道
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$$\vec{AC}=\mathbf{a}+\mathbf{b}.$$
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同样,由向量的减法,知
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$$\vec{DB}=\vec{AB}-\vec{AD}=\mathbf{a}-\mathbf{b}.$$
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[图片描述:图示一个平行四边形ABCD。其中，边AB表示向量a，边AD表示向量b。对角线AC和DB也清晰地绘制出来。|标题:图6.2-13 平行四边形中的向量表示|图片编号:图3]
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**练习**
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1. 如下页图,在各小题中,已知 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, 分别求作 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$.
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[图片描述:本图包含四个子图，分别展示了两向量$a$和$b$之间的不同相对位置和方向。
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(1) 向量$a$垂直向上，向量$b$水平向右，两者起点重合，形成直角。
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(2) 向量$a$斜向右上，向量$b$斜向左下，两者起点重合，方向相反且不在同一直线上。
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(3) 向量$a$和向量$b$均水平向右，且平行同向，$a$位于$b$上方。
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(4) 向量$a$水平向右，向量$b$水平向左，两者平行反向，$a$位于$b$上方。|标题:第1题|图1]
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2. 填空:
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$\vec{AB} - \vec{AD} = \underline{\hspace{2cm}}$ ; $\vec{BA} - \vec{BC} = \underline{\hspace{2cm}}$ ; $\vec{BC} - \vec{BA} = \underline{\hspace{2cm}}$ ;
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$\vec{OD} - \vec{OA} = \underline{\hspace{2cm}}$ ; $\vec{OA} - \vec{OB} = \underline{\hspace{2cm}}$.
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3. 作图验证: $-(a+b)=-a-b$.
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## 6.2.3 向量的数乘运算
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> **探究**
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> 已知非零向量 $a$，作出 $a+a+a$ 和 $(-a)+(-a)+(-a)$。它们的长度和方向分别是怎样的？
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如图 6.2-14，$\vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AB} + \vec{BC} = a+a+a$。类比数的乘法，我们把 $a+a+a$ 记作 $3a$，即 $\vec{OC}=3a$。显然 $3a$ 的方向与 $a$ 的方向相同，$3a$ 的长度是 $a$ 的长度的 $3$ 倍，即 $|3a|=3|a|$。
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[图片描述:图6.2-14展示了向量加法的链式表示，用于说明向量的数乘。
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上方一行从点O开始，依次经过点A、B，到达点C。其中向量$\vec{OA}=a$，向量$\vec{AB}=a$，向量$\vec{BC}=a$。这表示了三个同向向量$a$的首尾相连，其和向量为$\vec{OC} = a+a+a$。
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下方一行从点N开始，依次经过点M、Q，到达点P。其中向量$\vec{NM}=-a$，向量$\vec{MQ}=-a$，向量$\vec{QP}=-a$。这表示了三个反向向量$-a$的首尾相连，其和向量为$\vec{NP} = (-a)+(-a)+(-a)$。
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这些图示直观地说明了向量数乘 $3a$ 和 $-3a$ 的构成及其与原向量方向和长度的关系。|标题:图6.2-14|图2]
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类似地，由图 6.2-14 可知，$\vec{PN} = \vec{PQ} + \vec{QM} + \vec{MN} = (-a) + (-a) + (-a)$，我们把 $(-a) + (-a) + (-a)$ 记作 $-3a$，即 $\vec{PN}=-3a$。显然 $-3a$ 的方向与 $a$ 的方向相反，$-3a$ 的长度是 $a$ 的长度的 $3$ 倍，即 $|-3a|=3|a|$。
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一般地，我们规定实数 $\lambda$ 与向量 $a$ 的积是一个向量，这种运算叫做 **向量的数乘** (**scalar multiplication of vectors**)，记作 $\lambda a$，它的长度与方向规定如下：
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(1) $|\lambda a| = |\lambda||a|$;
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(2) 当 $\lambda > 0$ 时，$\lambda a$ 的方向与 $a$ 的方向相同；当 $\lambda < 0$ 时，$\lambda a$ 的方向与 $a$ 的方向相反。
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由 (1) 可知，当 $\lambda=0$ 时，$\lambda a=0$。
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由 (1)(2) 可知，$(-1)a=-a$。
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> **?**
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> 你对零向量、相反向量有什么新的认识？
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? **思考**
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如果把非零向量 $\boldsymbol{a}$ 的长度伸长到原来的 3.5 倍，方向不变得到向量 $\boldsymbol{b}$，向量 $\boldsymbol{b}$ 该如何表示？向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 之间的关系怎样？
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根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的。设 $\lambda, \mu$ 为实数，那么
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(1) $\lambda(\mu\boldsymbol{a})=(\lambda\mu)\boldsymbol{a}$;
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(2) $(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}=\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}$;
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(3) $\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$.
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> ? 你能证明这些运算律吗？
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特别地，我们有
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$(-\lambda)\boldsymbol{a}=-(\lambda\boldsymbol{a})=\lambda(-\boldsymbol{a})$,
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$\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}$.
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向量的加、减、数乘运算统称为向量的**线性运算**。向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$，以及任意实数 $\lambda, \mu_1, \mu_2$，恒有
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$\lambda(\mu_1\boldsymbol{a}\pm\mu_2\boldsymbol{b})=\lambda\mu_1\boldsymbol{a}\pm\lambda\mu_2\boldsymbol{b}$.
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**例 5** 计算:
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(1) $(-3)\times4\boldsymbol{a}$;
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(2) $3(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})-2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})-\boldsymbol{a}$;
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(3) $(2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})-(3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.
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**解:**
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(1) 原式 $=(-3\times4)\boldsymbol{a}=-12\boldsymbol{a}$;
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(2) 原式 $=3\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}=5\boldsymbol{b}$;
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(3) 原式 $=2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}-3\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c}$.
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**例 6** 如图 6.2-15，$\square ABCD$ 的两条对角线相交于点 $M$，且 $\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b}$，用 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示 $\overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB}, \overrightarrow{MC}$ 和 $\overrightarrow{MD}$。
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**解:** 在 $\square ABCD$ 中,
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$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$,
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$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
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由平行四边形的两条对角线互相平分，得
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$\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=-\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$,
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$\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{1}{2}\boldsymbol{b}$.
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[图片描述:一个平行四边形ABCD，其对角线AC和BD相交于点M。向量 $\overrightarrow{AB}$ 用紫色表示为 $\boldsymbol{a}$，向量 $\overrightarrow{AD}$ 用蓝色表示为 $\boldsymbol{b}$。对角线AC和BD也用蓝色线条绘制。|标题:图 6.2-15|图片编号:1]
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$\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b},$
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$\vec{MD} = -\frac{1}{2}\vec{DB} = -\frac{1}{2}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{b}.$
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## 练习
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1. 任画一向量 $\mathbf{e}$, 分别求作向量 $\mathbf{a}=4\mathbf{e}, \mathbf{b}=-4\mathbf{e}.$
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2. 点 $C$ 在线段 $AB$ 上, 且 $\frac{AC}{CB} = \frac{5}{2}$, 则 $\vec{AC}=\_\_\_\_\_\_\vec{AB}, \vec{BC}=\_\_\_\_\_\_\vec{AB}.$
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3. 把下列各小题中的向量 $\mathbf{b}$ 表示为实数与向量 $\mathbf{a}$ 的积:
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(1) $\mathbf{a}=3\mathbf{e}, \mathbf{b}=6\mathbf{e};$
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(2) $\mathbf{a}=8\mathbf{e}, \mathbf{b}=-14\mathbf{e};$
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(3) $\mathbf{a}=-\frac{2}{3}\mathbf{e}, \mathbf{b}=\frac{1}{3}\mathbf{e};$
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(4) $\mathbf{a}=-\frac{3}{4}\mathbf{e}, \mathbf{b}=-\frac{2}{3}\mathbf{e}.$
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## 💡 探究
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引入向量数乘运算后, 你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?
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可以发现, 实数与向量的积与原向量共线.
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事实上, 对于向量 $\mathbf{a}(\mathbf{a} \neq \mathbf{0}), \mathbf{b}$, 如果有一个实数 $\lambda$, 使 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$, 那么由向量数乘的定义可知 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线.
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反过来, 已知向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线, 且向量 $\mathbf{b}$ 的长度是向量 $\mathbf{a}$ 的长度的 $\mu$ 倍, 即 $|\mathbf{b}| = \mu|\mathbf{a}|$, 那么当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同方向时, 有 $\mathbf{b}=\mu\mathbf{a}$; 当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 反方向时, 有 $\mathbf{b}=-\mu\mathbf{a}.$
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综上, 我们有如下定理:
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**向量 $\mathbf{a}(\mathbf{a} \neq \mathbf{0})$ 与 $\mathbf{b}$ 共线的充要条件是: 存在唯一一个实数 $\lambda$, 使 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}.**$
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根据这一定理, 设非零向量 $\mathbf{a}$ 位于直线 $l$ 上, 那么对于直线 $l$ 上的任意一个向量 $\mathbf{b}$, 都存在唯一的一个实数 $\lambda$, 使 $\mathbf{b}=\lambda\mathbf{a}$. 也就是说, 位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.
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**例7** 如图6.2-16, 已知任意两个非零向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$, 试作 $\vec{OA}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \vec{OB}=\mathbf{a}+2\mathbf{b}, \vec{OC}=\mathbf{a}+3\mathbf{b}$. 猜想 A,B,C 三点之间的位置关系, 并证明你的猜想.
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[图片描述: 画面中展示了两个从同一原点出发的非零向量，一个标记为 $\mathbf{a}$，另一个标记为 $\mathbf{b}$。它们的方向不同，形成一个夹角，形象地表示了任意两个非零向量。|标题: 图6.2-16|图片编号:1]
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**分析**: 判断三点之间的位置关系, 主要是看这三点是否共线, 为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上. 在本题中, 应用向量知识判断 A, B, C 三点是否共线, 可以通过判断向量 $\vec{AC}, \vec{AB}$ 是否共线, 即是否存在 $\lambda$, 使 $\vec{AC}=\lambda\vec{AB}$ 成立.
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**解：**
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分别作向量$\vec{OA}$，$\vec{OB}$，$\vec{OC}$，过点A，C作直线AC（图6.2-17）。观察发现，不论向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$怎样变化，点B始终在直线AC上，猜想A，B，C三点共线。
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事实上，因为
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$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}=\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{b}$，
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$\vec{AC}=\vec{OC}-\vec{OA}=\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=2\boldsymbol{b}$，
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所以 $\vec{AC}=2\vec{AB}$。
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因此，A，B，C三点共线。
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[图片描述:该图展示了从原点O出发的几个向量。向量$\boldsymbol{a}$沿一条斜向右上的线段延伸，向量$\boldsymbol{b}$与它有一定夹角。在直线上有三个点A, B, C。点O到A的向量为$\vec{OA} = \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$，点O到B的向量为$\vec{OB} = \boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$，点O到C的向量为$\vec{OC} = \boldsymbol{a} + 3\boldsymbol{b}$。点A、B、C共线，且线段AB的方向与向量$\boldsymbol{b}$方向一致，线段BC的方向也与向量$\boldsymbol{b}$方向一致。|标题:图6.2-17|图1]
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**例8** 已知$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$是两个不共线的向量，向量 $\boldsymbol{b}-t\boldsymbol{a}$，$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$共线，求实数$t$的值。
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**解：**
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由$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，易知向量$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$为非零向量。由向量$\boldsymbol{b}-t\boldsymbol{a}$，$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$共线，可知存在实数$\lambda$，使得
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$\boldsymbol{b}-t\boldsymbol{a}=\lambda\left(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}\right)$
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即
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$\left(t+\frac{1}{2}\lambda\right)\boldsymbol{a}=\left(\frac{3}{2}\lambda+1\right)\boldsymbol{b}$。
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由$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$不共线，必有$t+\frac{1}{2}\lambda=0$且$\frac{3}{2}\lambda+1=0$。否则，不妨设$t+\frac{1}{2}\lambda \neq 0$，则$\boldsymbol{a}=\frac{\frac{3}{2}\lambda+1}{t+\frac{1}{2}\lambda}\boldsymbol{b}$。由两个向量共线的充要条件知，$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$共线，与已知矛盾。
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由
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$$
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\begin{cases}
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t+\frac{1}{2}\lambda=0 \\
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\frac{3}{2}\lambda+1=0
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\end{cases}
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$$
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解得$t=\frac{1}{3}$。
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因此，当向量$\boldsymbol{b}-t\boldsymbol{a}$，$\frac{1}{2}\boldsymbol{a}-\frac{3}{2}\boldsymbol{b}$共线时，$t=\frac{1}{3}$。
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## 练习
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1. 判断下列各小题中的向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$是否共线：
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(1) $\boldsymbol{a}=-2\boldsymbol{e}$，$\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{e}$；
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(2) $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=-2\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2$。
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2. 化简：
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(1) $5(3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})+4(2\boldsymbol{b}-3\boldsymbol{a})$；
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(2) $\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})-\frac{1}{4}(3\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b})-\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$；
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(3) $(x+y)\boldsymbol{a}-(x-y)\boldsymbol{a}$。
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3. 已知$\boldsymbol{e}_1$，$\boldsymbol{e}_2$是两个不共线的向量，$\boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_1-2\boldsymbol{e}_2$，$\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{e}_1+k\boldsymbol{e}_2$。若$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$是共线向量，求实数$k$的值。
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## 6.2.4 向量的数量积
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前面我们学习了向量的加、减运算。类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？
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在物理课中我们学过功的概念。一般地，如果一个物体在力$\vec{F}$的作用下产生位移$\vec{s}$（图6.2-18），那么力$\vec{F}$所做的功
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$$W=|\vec{F}||\vec{s}|\cos \theta$$
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其中$\theta$是$\vec{F}$与$\vec{s}$的夹角。
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[图片描述:描绘了一辆卡车在力$\vec{F}$的作用下产生位移$\vec{s}$的场景。力$\vec{F}$与位移$\vec{s}$之间的夹角为$\theta$。|标题:图6.2-18|图1]
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功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看作两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。
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因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念。
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已知两个非零向量$\vec{a}$, $\vec{b}$（图6.2-19），$O$是平面上的任意一点，作$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$，则$\angle AOB=\theta$（$0 \le \theta \le \pi$）叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的**夹角**。
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[图片描述:两个非零向量$\vec{a}$和$\vec{b}$从同一点$O$发出，形成一个夹角$\theta$。其中$\vec{OA}$表示向量$\vec{a}$，$\vec{OB}$表示向量$\vec{b}$。|标题:图6.2-19|图2]
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显然，当$\theta=0$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$同向；当$\theta=\pi$时，$\vec{a}$与$\vec{b}$反向。
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如果$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角是$\frac{\pi}{2}$，我们说$\vec{a}$与$\vec{b}$**垂直**，记作$\vec{a} \perp \vec{b}$。
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已知两个非零向量$\vec{a}$与$\vec{b}$，它们的夹角为$\theta$，我们把数量$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$叫做向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的**数量积**（或**内积** (inner product)），记作$\vec{a} \cdot \vec{b}$，即
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$$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$$
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[图片描述:一个蓝色信息框，提示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的夹角可以记作$\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$。|标题:提示框|图3]
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规定：零向量与任一向量的数量积为$0$。
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对比向量的线性运算，我们发现，向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。
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**例9** 已知$|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=4$, $\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角$\theta=\frac{2\pi}{3}$，求$\vec{a} \cdot \vec{b}$。
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**解**：$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$
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$$=5 \times 4 \times \cos \frac{2\pi}{3}$$
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$$=5 \times 4 \times (-\frac{1}{2})$$
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$$=-10$$
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**例10** 设$|\mathbf{a}|=12$, $|\mathbf{b}|=9$, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=-54\sqrt{2}$, 求$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角$\theta$.
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**解:** 由$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$, 得
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$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{-54\sqrt{2}}{12\times9} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
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因为$\theta \in [0, \pi]$, 所以$\theta=\frac{3\pi}{4}$.
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如图6.2-20(1), 设$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$是两个非零向量, $\overrightarrow{AB}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{CD}=\mathbf{b}$, 我们考虑如下的变换:过$\overrightarrow{AB}$的起点A和终点B, 分别作$\overrightarrow{CD}$所在直线的垂线, 垂足分别为$A_1$, $B_1$, 得到$\overrightarrow{A_1B_1}$, 我们称上述变换为向量$\mathbf{a}$向向量$\mathbf{b}$**投影**(project), $\overrightarrow{A_1B_1}$叫做向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的**投影向量**.
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[图片描述:图示了两种向量投影的几何表示。子图（1）展示了向量$\mathbf{a}$ ($\overrightarrow{AB}$)向向量$\mathbf{b}$ ($\overrightarrow{CD}$)投影的过程：从A点和B点向向量$\mathbf{b}$所在的直线作垂线，垂足分别为$A_1$和$B_1$，形成的向量$\overrightarrow{A_1B_1}$即为投影向量。子图（2）展示了从同一起点O出发的向量$\mathbf{a}$ ($\overrightarrow{OM}$)和向量$\mathbf{b}$ ($\overrightarrow{ON}$)的投影：从M点向向量$\mathbf{b}$所在的直线作垂线，垂足为$M_1$，形成的向量$\overrightarrow{OM_1}$即为投影向量。|标题:向量投影示意图|图片编号:图1]
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如图6.2-20(2), 我们可以在平面内任取一点$O$, 作$\overrightarrow{OM}=\mathbf{a}$, $\overrightarrow{ON}=\mathbf{b}$. 过点$M$作直线$ON$的垂线, 垂足为$M_1$, 则$\overrightarrow{OM_1}$就是向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影向量.
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**探究**
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如图6.2-20(2), 设与$\mathbf{b}$方向相同的单位向量为$\mathbf{e}$, $\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角为$\theta$, 那么$\overrightarrow{OM_1}$与$\mathbf{e}$, $\mathbf{a}$, $\theta$之间有怎样的关系?
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显然, $\overrightarrow{OM_1}$与$\mathbf{e}$共线, 于是
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$\overrightarrow{OM_1}=\lambda\mathbf{e}$.
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下面我们探究$\lambda$与$\mathbf{a}$, $\theta$的关系, 进而给出$\overrightarrow{OM_1}$的明确表达式. 我们分$\theta$为锐角、直角、钝角以及$\theta=0, \theta=\pi$等情况进行讨论.
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当$\theta$为锐角(图6.2-21(1))时, $\overrightarrow{OM_1}$与$\mathbf{e}$方向相同, $\lambda=|\overrightarrow{OM_1}|=|\mathbf{a}|\cos\theta$, 所以
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$\overrightarrow{OM_1}=|\overrightarrow{OM_1}|\mathbf{e}=|\mathbf{a}|\cos\theta\mathbf{e}$;
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当$\theta$为直角(图6.2-21(2))时, $\lambda=0$, 所以
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$\overrightarrow{OM_1}=\mathbf{0}=|\mathbf{a}|\cos\frac{\pi}{2}\mathbf{e}$;
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当$\theta$为钝角(图6.2-21(3))时, $\vec{OM_1}$与$e$方向相反,所以
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$\lambda = -|\vec{OM_1}| = -|a| \cos \angle MOM_1$
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$= -|a| \cos(\pi - \theta) = |a| \cos \theta$,
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即
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$\vec{OM_1} = |a| \cos \theta e$;
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[图片描述:这三幅图展示了向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影$\vec{OM_1}$。所有向量的起点都在O点。$\mathbf{b}$向量从O点沿水平正方向延伸至N点，其单位向量为$\mathbf{e}$。点M是向量$\mathbf{a}$的终点。点$M_1$是M在向量$\mathbf{b}$所在直线上的垂足，定义$\vec{OM_1}$为投影向量。图(1)中，向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角$\theta$为锐角（小于90度），投影向量$\vec{OM_1}$与$\mathbf{b}$方向相同。图(2)中，向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角$\theta$为直角（90度），此时M点恰好在O点的正上方，垂足$M_1$与O点重合，投影向量$\vec{OM_1}$为零向量。图(3)中，向量$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角$\theta$为钝角（大于90度），投影向量$\vec{OM_1}$与$\mathbf{b}$方向相反。这三幅图共同说明了向量投影的几何定义及其与夹角的关系。|标题:图6.2-21 向量投影示意图|图片编号1]
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当$\theta=0$时, $\lambda=|a|$, 所以
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$\vec{OM_1} = |a|e = |a| \cos 0 e$;
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当$\theta=\pi$时, $\lambda=-|a|$, 所以
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$\vec{OM_1} = -|a|e = |a| \cos \pi e$.
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从上面的讨论可知, 对于任意的$\theta \in [0, \pi]$, 都有
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$\vec{OM_1} = |a| \cos \theta e$.
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<div style="background-color: #e0f2f7; padding: 10px; border-radius: 5px;">
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**探究**
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从上面的探究我们看到, 两个非零向量**a**与**b**相互平行或垂直时, 向量**a**在向量**b**上的投影向量具有特殊性. 这时, 它们的数量积又有怎样的特殊性?
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</div>
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由向量数量积的定义,可以得到向量数量积的如下重要性质.
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设**a**, **b**是非零向量, 它们的夹角是$\theta$, $e$是与**b**方向相同的单位向量, 则
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1. $a \cdot e = e \cdot a = |a| \cos \theta$.
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2. $a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$.
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3. 当**a**与**b**同向时, $a \cdot b = |a||b|$; 当**a**与**b**反向时, $a \cdot b = -|a||b|$. 特别地, $a \cdot a = |a|^2$ 或 $|a| = \sqrt{a \cdot a}$.
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此外, 由$|\cos \theta| \leq 1$ 还可以得到
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4. $|a \cdot b| \leq |a||b|$.
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<div style="float: right; width: 40%; margin-left: 20px; background-color: #fff3e0; padding: 10px; border-radius: 5px; border: 1px solid #ffcc80; margin-top: 15px;">
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如果$a \cdot b = 0$, 是否有$a=0$, 或$b=0$?
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</div>
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<div style="float: right; width: 40%; margin-left: 20px; background-color: #e3f2fd; padding: 10px; border-radius: 5px; border: 1px solid #90caf9; margin-top: 15px;">
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$a \cdot a$ 常常记作$a^2$.
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</div>
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## 练习
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1. 已知 $|p|=8$， $|q|=6$， $p$ 和 $q$ 的夹角是 $60^\circ$，求 $p \cdot q$.
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2. 已知 $\triangle ABC$ 中，$\vec{AB}=\mathbf{a}$，$\vec{AC}=\mathbf{b}$，当 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}<0$ 或 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$ 时，试判断 $\triangle ABC$ 的形状.
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3. 已知 $|\mathbf{a}|=6$，$\mathbf{e}$ 为单位向量，当向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{e}$ 的夹角分别等于 $45^\circ$，$90^\circ$，$135^\circ$ 时，求向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{e}$ 上的投影向量.
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与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算是否满足一些运算律.
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## 探究
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类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？
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由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
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对于向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 和实数 $\lambda$，有
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(1) $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$;
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(2) $(\lambda \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})=\mathbf{a} \cdot(\lambda \mathbf{b})$;
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(3) $(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}=\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}+\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$.
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下面我们利用向量投影证明分配律 (3).
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**证明:** 如图 6.2-22，任取一点 $O$，作 $\vec{OA}=\mathbf{a}$， $\vec{OB}=\mathbf{b}$， $\vec{OC}=\mathbf{c}$， $\vec{OD}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$.
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设向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角分别为 $\theta_1$，$\theta_2$，$\theta$，它们在向量 $\mathbf{c}$ 上的投影向量分别为 $\vec{OA_1}$，$\vec{OB_1}$，$\vec{OD_1}$，与 $\mathbf{c}$ 方向相同的单位向量为 $\mathbf{e}$，则
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$\vec{OA_1}=|\mathbf{a}| \cos \theta_1 \mathbf{e}$,
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$\vec{OB_1}=|\mathbf{b}| \cos \theta_2 \mathbf{e}$,
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$\vec{OD_1}=|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \cos \theta \mathbf{e}$.
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[图片描述:一个坐标系，原点为O。有一条水平的轴表示向量c的方向，同时也是单位向量e的方向。从原点O出发有三个向量：向量a（OA），向量b（OB），以及向量a+b（OD）。其中，向量OD是向量OA和向量OB的对角线，形成了平行四边形OABD。点A、B、D分别向向量c所在的直线作垂线，垂足分别为A1、B1、D1。图中标记了向量a与c的夹角$\theta_1$，向量b与c的夹角$\theta_2$，以及向量a+b与c的夹角$\theta$。图中明确指出a=BD，且显示了投影线和垂足。|标题:图6.2-22|图片编号:1]
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因为 $\mathbf{a}=\vec{BD}$，所以 $\vec{OA_1}=\vec{B_1 D_1}$. 于是
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$\vec{OD_1}=\vec{OB_1}+\vec{B_1D_1}=\vec{OB_1}+\vec{OA_1}$,
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即
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$|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \cos \theta \mathbf{e}=|\mathbf{a}| \cos \theta_1 \mathbf{e} +|\mathbf{b}| \cos \theta_2 \mathbf{e}$.
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整理,得
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$$
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(|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \cos \theta - |\mathbf{a}| \cos \theta_1 - |\mathbf{b}| \cos \theta_2)\mathbf{e}=0
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$$
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所以
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$$
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|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \cos \theta - |\mathbf{a}| \cos \theta_1 - |\mathbf{b}| \cos \theta_2=0
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$$
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||
即
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$$
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|\mathbf{a}+\mathbf{b}| \cos \theta = |\mathbf{a}| \cos \theta_1 + |\mathbf{b}| \cos \theta_2
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$$
|
||
所以
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$$
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||
|\mathbf{a}+\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos \theta = |\mathbf{a}| |\mathbf{c}| \cos \theta_1 + |\mathbf{b}| |\mathbf{c}| \cos \theta_2
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$$
|
||
因此
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$$
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(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot \mathbf{c} = \mathbf{a}\cdot \mathbf{c} + \mathbf{b}\cdot \mathbf{c}
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$$
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> ### ③ 思考
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> 设$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, $\mathbf{c}$是向量, $(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})$一定成立吗? 为什么?
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**例11** 我们知道,对任意$a, b\in\mathbf{R}$, 恒有
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$$
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(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, \quad (a+b)(a-b)=a^2-b^2
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$$
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||
对任意向量$\mathbf{a},\mathbf{b}$, 是否也有下面类似的结论?
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1. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})^2 = \mathbf{a}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{b}^2$;
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2. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b}) = \mathbf{a}^2-\mathbf{b}^2$.
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**解:**
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1. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})^2=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}+\mathbf{b})$
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$= \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} + \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot \mathbf{a} + \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$
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$= \mathbf{a}^2 + 2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^2$
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||
2. $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b}) = \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} - \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot \mathbf{a} - \mathbf{b}\cdot \mathbf{b}$
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||
$= \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2$
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||
因此,上述结论是成立的.
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**例12** 已知$|\mathbf{a}|=6, |\mathbf{b}|=4$, $\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角为$60^\circ$, 求$(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-3\mathbf{b})$.
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**解:**
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$$
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(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot (\mathbf{a}-3\mathbf{b})
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$$
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$$
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= \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} - 3\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} + 2\mathbf{b}\cdot \mathbf{a} - 6\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}
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$$
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$$
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= |\mathbf{a}|^2 - \mathbf{a}\cdot \mathbf{b} - 6|\mathbf{b}|^2
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$$
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$$
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= |\mathbf{a}|^2 - |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta - 6|\mathbf{b}|^2
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$$
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||
$$
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= 6^2 - 6\times4\times \cos 60^\circ - 6\times4^2
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$$
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$$
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= 36 - 24 \times \frac{1}{2} - 6 \times 16
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$$
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$$
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= 36 - 12 - 96
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$$
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$$
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= 24 - 96
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$$
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$$
|
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= -72
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$$
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**例13** 已知$|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=4$, 且$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$不共线.当$k$为何值时,向量$\mathbf{a}+k\mathbf{b}$与$\mathbf{a}-k\mathbf{b}$互相垂直?
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**解:** $\vec{a}+k\vec{b}$ 与 $\vec{a}-k\vec{b}$ 互相垂直的充要条件是
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$(\vec{a}+k\vec{b})\cdot(\vec{a}-k\vec{b})=0$,
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即
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$\vec{a}^2-k^2\vec{b}^2=0$.
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因为 $\vec{a}^2=3^2=9$, $\vec{b}^2=4^2=16$,
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所以 $9-16k^2=0$.
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解得 $k=\pm\frac{3}{4}$.
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也就是说,当 $k=\pm\frac{3}{4}$ 时, $\vec{a}+k\vec{b}$ 与 $\vec{a}-k\vec{b}$ 互相垂直.
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### 练习
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1. 已知 $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=2$, $|\vec{c}|=3$, 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{6}$, 向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$, 计算:
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(1) $(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$;
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(2) $\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})$.
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2. 已知 $|\vec{a}|=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=1$, 且 $\vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{a}+2\vec{b}$ 互相垂直, 求证 $\vec{a}\perp\vec{b}$.
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3. 求证: $(\vec{a}+\vec{b})^2 - (\vec{a}-\vec{b})^2 = 4\vec{a}\cdot\vec{b}$.
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### 习题 6.2
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#### 复习巩固
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1. 如果 $\vec{a}$ 表示“向东走 10 km”, $\vec{b}$ 表示“向西走 5 km”, $\vec{c}$ 表示“向北走 10 km”, $\vec{d}$ 表示“向南走 5 km”, 那么下列向量具有什么意义?
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(1) $\vec{a}+\vec{a}$;
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(2) $\vec{a}+\vec{b}$;
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(3) $\vec{a}+\vec{c}$;
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(4) $\vec{b}+\vec{d}$;
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(5) $\vec{b}+\vec{c}+\vec{b}$;
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(6) $\vec{d}+\vec{a}+\vec{d}$.
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2. 一架飞机向北飞行 300 km, 然后改变方向向西飞行 400 km, 求飞机飞行的路程及两次位移的合成.
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3. 一艘船垂直于对岸航行, 航行速度的大小为 16 km/h, 同时河水流速的大小为 4 km/h. 求船实际航行的速度的大小与方向(精确到 1°).
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4. 化简:
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(1) $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$;
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(2) $(\vec{AB}+\vec{MB})+\vec{BO}+\vec{OM}$;
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(3) $\vec{OA}+\vec{OC}+\vec{BO}+\vec{CO}$;
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(4) $\vec{AB}-\vec{AC}+\vec{BD}-\vec{CD}$;
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(5) $\vec{OA}-\vec{OD}+\vec{AD}$;
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(6) $\vec{AB}-\vec{AD}-\vec{DC}$;
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(7) $\vec{NQ}+\vec{QP}+\vec{MN}-\vec{MP}$.
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5. 作图验证:
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(1) $\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})+\frac{1}{2}(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{a}$;
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(2) $\frac{1}{2}(\mathbf{a}+\mathbf{b})-\frac{1}{2}(\mathbf{a}-\mathbf{b})=\mathbf{b}$.
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6. (1) 已知向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$, 求作向量 $\mathbf{c}$, 使 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$.
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(2) (1) 中表示 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 的有向线段能构成三角形吗?
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7. 已知 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 为两个非零向量,
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(1) 求作向量 $\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{a}-\mathbf{b}$;
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(2) 当向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 成什么位置关系时, 满足 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$ ? (不要求证明)
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8. 化简:
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(1) $5(2\mathbf{a}-2\mathbf{b})+4(2\mathbf{b}-3\mathbf{a})$;
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(2) $6(\mathbf{a}-3\mathbf{b}+\mathbf{c})-4(-\mathbf{a}+\mathbf{b}-\mathbf{c})$;
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(3) $\frac{1}{2}[(3\mathbf{a}-2\mathbf{b})+5\mathbf{a}-\frac{1}{3}(6\mathbf{a}-9\mathbf{b})]$;
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(4) $(x-y)(\mathbf{a}+\mathbf{b})-(x-y)(\mathbf{a}-\mathbf{b})$.
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9. 如图, $\vec{AM}=\frac{1}{3}\vec{AB}$, $\vec{AN}=\frac{1}{3}\vec{AC}$. 求证 $\vec{MN}=\frac{1}{3}\vec{BC}$.
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[图片描述:三角形ABC，点M在边AB上，点N在边AC上。图中展示了向量$\vec{AM}$（从A指向M）、$\vec{AN}$（从A指向N）、$\vec{NM}$（从N指向M）和$\vec{BC}$（从B指向C）。点M大约在AB的$\frac{1}{3}$处，点N大约在AC的$\frac{1}{3}$处。|标题:第9题图|图1]
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10. 填空:
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(1) 若 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=2, |\mathbf{b}|=3$, 则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$ 的最大值为______, 最小值为______;
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(2) 当不共线的向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 满足______时, $\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 平分 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角.
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11. (1) 已知 $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=4$, 且 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角 $\theta=150^{\circ}$, 求 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}, (\mathbf{a}+\mathbf{b})^2, |\mathbf{a}+\mathbf{b}|$;
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(2) 已知 $|\mathbf{a}|=2, |\mathbf{b}|=5$, 且 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-3$, 求 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|, |\mathbf{a}-\mathbf{b}|$.
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12. 求证:
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$(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot(\lambda\mathbf{b})$.
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## 综合运用
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13. 根据下列各小题中的条件, 分别判断四边形 $ABCD$ 的形状, 并给出证明:
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(1) $\vec{AD}=\vec{BC}$;
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(2) $\vec{AD}=\frac{1}{3}\vec{BC}$;
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(3) $\vec{AB}=\vec{DC}$, 且 $|\vec{AB}|=|\vec{AD}|$.
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14. 在 $\triangle ABC$ 中, $\vec{AD}=\frac{1}{4}\vec{AB}$, $DE // BC$, 且与边 $AC$ 相交于点 $E$,
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$\triangle ABC$ 的中线 $AM$ 与 $DE$ 相交于点 $N$. 设 $\vec{AB}=\mathbf{a}, \vec{AC}=\mathbf{b}$, 用 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$
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分别表示向量 $\vec{AE}, \vec{BC}, \vec{DE}, \vec{DB}, \vec{EC}, \vec{DN}, \vec{AN}$.
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15. 如图, 在任意四边形 $ABCD$ 中, $E, F$ 分别为 $AD, BC$ 的中点, 求
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证: $\vec{AB}+\vec{DC}=2\vec{EF}$.
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[图片描述:一个四边形ABCD，点E是边AD的中点，点F是边BC的中点。图中展示了从A指向B的向量$\vec{AB}$（粉色），从D指向C的向量$\vec{DC}$（粉色），以及从E指向F的向量$\vec{EF}$（蓝色）。|标题:第15题图|图2]
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16. 飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行 1400 km 到达乙地, 再从乙地沿
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南偏东75°的方向飞行 1400 km 到达丙地. 画出飞机飞行的位移示意
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图, 并说明丙地在甲地的什么方向? 丙地距甲地多远?
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17. (1) 如图(1), 在 $\triangle ABC$ 中, 计算 $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CA}$;
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(2) 如图(2), 在四边形 $ABCD$ 中, 计算 $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}+\vec{DA}$;
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(3) 如图(3), 在 $n$ 边形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$ 中, $\vec{A_1A_2}+\vec{A_2A_3}+\vec{A_3A_4}+\cdots+\vec{A_{n-1}A_n}+\vec{A_nA_1}=?$
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证明你的结论.
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[图片描述: 包含三个几何图形。图(1)是一个三角形 $ABC$，其中显示了向量 $\vec{AB}$ (粉色箭头), $\vec{BC}$ (蓝色箭头) 和 $\vec{CA}$ (黑色箭头), 形成一个闭合路径。图(2)是一个四边形 $ABCD$，显示了向量 $\vec{AB}$ (粉色箭头), $\vec{BC}$ (蓝色箭头), $\vec{CD}$ (黑色箭头) 和 $\vec{DA}$ (蓝色箭头), 形成一个闭合路径。图(3)是一个 $n$ 边形 $A_1A_2A_3\cdots A_n$，显示了向量 $\vec{A_1A_2}, \vec{A_2A_3}, \vec{A_3A_4}, \vec{A_4A_5}, \dots, \vec{A_nA_1}$ (均为蓝色箭头), 形成一个闭合路径。|标题: 第17题|图片编号: 1]
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18. 已知 $|\boldsymbol{a}|=4$, $|\boldsymbol{b}|=3$, 且 $(2\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b})\cdot(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=61$, 求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$.
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19. 已知 $|\boldsymbol{a}|=8$, $|\boldsymbol{b}|=10$, 且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=16$, 求 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角 $\theta$ (精确到 $1^\circ$). (可用计算工具)
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20. 已知 $\boldsymbol{a}$ 是非零向量, $\boldsymbol{b}\neq \boldsymbol{c}$, 求证:
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$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{c} \iff \boldsymbol{a} \perp (\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$.
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**拓广探索**
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21. 已知 $\triangle ABC$ 的外接圆圆心为 $O$, 且 $2\vec{AO}=\vec{AB}+\vec{AC}$, $|\vec{OA}|=|\vec{AB}|$, 则向量 $\vec{BA}$ 在向量 $\vec{BC}$ 上的投影向量为 ( ).
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(A) $\frac{1}{4}\vec{BC}$
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(B) $\frac{\sqrt{3}}{4}\vec{BC}$
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(C) $-\frac{1}{4}\vec{BC}$
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(D) $-\frac{\sqrt{3}}{4}\vec{BC}$
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22. 如图, $O$ 是平行四边形 $ABCD$ 外一点, 用 $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ 表示 $\vec{OD}$.
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[图片描述: 一个平行四边形 $ABCD$。平行四边形外部有一个点 $O$。从点 $O$ 到平行四边形的每个顶点都画有粉色箭头向量：$\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$。|标题: 第22题|图片编号: 2]
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23. 已知 $O$ 为四边形 $ABCD$ 所在平面内一点, 且向量 $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}, \vec{OD}$ 满足等式 $\vec{OA}+\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{OD}$.
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(1) 作出满足条件的四边形 $ABCD$.
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(2) 四边形 $ABCD$ 有什么特点? 请证明你的猜想.
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24. 如图, 在 $\odot C$ 中, 是不是只需知道 $\odot C$ 的半径或弦 $AB$ 的长度, 就可
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以求出 $\vec{AB}\cdot \vec{AC}$ 的值?
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[图片描述: 一个圆，圆心为 $C$。圆周上有两点 $A$ 和 $B$。从圆心 $C$ 到点 $A$ 有一个粉色箭头向量 $\vec{CA}$。从点 $A$ 到点 $B$ 有一个粉色箭头向量 $\vec{AB}$。|标题: 第24题|图片编号: 3]
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# 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
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上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢?
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## 6.3.1 平面向量基本定理
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我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力。如图 6.3-1，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力 $F$ 分解为多组大小、方向不同的分力.
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由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量 $a$ 分解为两个向量，使向量 $a$ 是这两个向量的和呢?
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[图片描述:一个表示力F分解的平行四边形图。向量F从原点出发，指向右上角。它被分解为两个分力，一个水平向右，一个斜向上。这三个向量共同构成一个平行四边形，其中F是其对角线。分力用虚线表示其平行边，以完成平行四边形。|标题:图6.3-1|图片编号:1]
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**探究**
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如图 6.3-2 (1)，设 $e_1$，$e_2$ 是同一平面内两个不共线的向量，$a$ 是这一平面内与 $e_1$，$e_2$ 都不共线的向量。如图 6.3-2 (2)，在平面内任取一点 $O$，作 $\vec{OA}=e_1$，$\vec{OB}=e_2$，$\vec{OC}=a$。将 $a$ 按 $e_1$，$e_2$ 的方向分解，你有什么发现?
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[图片描述:图6.3-2包含两个子图。(1) 展示了三个向量 $e_1$ (斜向上)、$e_2$ (水平向右)和 $a$ (斜向上更陡)，它们从一个共同的起点出发。向量 $e_1$ 和 $e_2$ 不共线，向量 $a$ 与 $e_1$ 和 $e_2$ 均不共线。(2) 展示了向量分解的几何构造。以点 O 为原点，绘制向量 $\vec{OA} = e_1$ 和 $\vec{OB} = e_2$。然后绘制向量 $\vec{OC} = a$。从点 C 作平行于 $\vec{OB}$ 的直线，与直线 OA 相交；从点 C 作平行于 $\vec{OA}$ 的直线，与直线 OB 相交。点 A, B, C 分别是向量 $e_1$, $e_2$, $a$ 的终点。此构造旨在将向量 $a$ 分解为沿 $e_1$ 和 $e_2$ 方向的分量。|标题:图6.3-2|图片编号:2]
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如图 6.3-3, 过点 C 作平行于直线 $OB$ 的直线，与直线 $OA$ 交于点 $M$; 过点 C 作平行于直线 $OA$ 的直线，与直线 $OB$ 交于点 $N$，则 $\vec{OC}=\vec{OM}+\vec{ON}$. 由 $\vec{OM}$ 与 $e_1$ 共线，$\vec{ON}$ 与 $e_2$ 共线可得，存在实数 $\lambda_1$，$\lambda_2$，使得 $\vec{OM}=\lambda_1 e_1$，$\vec{ON}=\lambda_2 e_2$，所以 $a=\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$. 也就是说，与 $e_1$，$e_2$ 都不共线的向量 $a$ 都可以表示成 $\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$ 的形式。
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当 $a$ 是与 $e_1$ 或 $e_2$ 共线的非零向量时，$a$ 也可以表示成 $\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$ 的形式；当 $a$ 是零向量时，$a$ 同样可以表示成 $\lambda_1 e_1+\lambda_2 e_2$ 的形式。(为什么?)
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[图片描述:一个平行四边形OACB，点O是原点。向量$\vec{OA}$表示为$e_1$，向量$\vec{OB}$表示为$e_2$。对角线$\vec{OC}$表示为向量$a$。点M和N是辅助点，用于示意向量分解。|标题:图6.3-3 向量的分解示意图|图片1]
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<div style="float: right; border: 1px solid #ccc; padding: 10px; margin-left: 15px; background-color: #f0f8ff;">
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利用信息技术工具,
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可以动态地展示$a=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$.
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</div>
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上述讨论表明,平面内任一向量$a$都可以按$e_1, e_2$的方向分解,表示成$\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$的形式,而且这种表示形式是唯一的. 事实上,如果$a$还可以表示成$\mu_1 e_1 + \mu_2 e_2$的形式,那么$\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 = \mu_1 e_1 + \mu_2 e_2$. 可得$(\lambda_1 - \mu_1)e_1 + (\lambda_2 - \mu_2)e_2 = \mathbf{0}$. 由此式可以推出$\lambda_1 - \mu_1, \lambda_2 - \mu_2$全为$0$ (假设$\lambda_1 - \mu_1, \lambda_2 - \mu_2$不全为$0$,不妨假设$\lambda_1 - \mu_1 \neq 0$,则$e_1 = \frac{\lambda_2 - \mu_2}{\lambda_1 - \mu_1} e_2$. 由此可得$e_1, e_2$共线,这与已知$e_1, e_2$不共线矛盾),即$\lambda_1=\mu_1, \lambda_2=\mu_2$.
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也就是说,有且只有一对实数$\lambda_1, \lambda_2$,使$a=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$.
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综上,我们得到如下定理:
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**平面向量基本定理** 如果$e_1, e_2$是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量$a$,有且只有一对实数$\lambda_1, \lambda_2$,使
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$a=\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2$.
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若$e_1, e_2$不共线,我们把$\{e_1, e_2\}$叫做表示这一平面内所有向量的一个**基底** (base). 由平面向量基本定理可知,任一向量都可以由同一个基底唯一表示,这为我们研究问题带来了极大的方便.
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**例1** 如图6.3-4, $\vec{OA}$, $\vec{OB}$不共线,且$\vec{AP}=t\vec{AB}$ ($t \in \mathbf{R}$), 用$\vec{OA}$, $\vec{OB}$表示$\vec{OP}$.
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[图片描述:一个三角形OAB，点P位于边AB上。图中显示了从O点出发的向量$\vec{OA}$、$\vec{OB}$以及$\vec{OP}$。|标题:图6.3-4 向量加法示意图|图片2]
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**解:** 因为$\vec{AP}=t\vec{AB}$,
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所以$\vec{OP}=\vec{OA}+\vec{AP}$
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$= \vec{OA}+t\vec{AB}$
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$= \vec{OA}+t(\vec{OB}-\vec{OA})$
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$= \vec{OA}+t\vec{OB}-t\vec{OA}$
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$= (1-t)\vec{OA}+t\vec{OB}$.
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<div style="float: right; border: 1px solid #ccc; padding: 10px; margin-left: 15px; background-color: #fcf8e3;">
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**?** 观察$\vec{OP}=(1-t)\vec{OA}+t\vec{OB}$,你有什么发现?
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</div>
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**例2** 如图6.3-5, $CD$ 是$\triangle ABC$ 的中线, $CD = \frac{1}{2}AB$, 用向量方法证明$\triangle ABC$ 是直角三角形.
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[图片描述:一个三角形ABC，其中CD是连接顶点C与对边AB中点D的线段，表示中线。|标题:图6.3-5 三角形及中线示意图|图片3]
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**分析:** 由平面向量基本定理可知, 任一向量都可由同一个基底表示. 本题可取$\{\vec{CD}, \vec{DA}\}$为基底, 用它表示$\vec{CA}, \vec{CB}$. 证明$\vec{CA} \cdot \vec{CB}=0$, 可得$\vec{CA} \perp \vec{CB}$, 从而证得$\triangle ABC$ 是
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直角三角形.
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**证明**: 如图6.3-6, 设$\vec{CD}=\boldsymbol{a}$, $\vec{DA}=\boldsymbol{b}$, 则$\vec{CA}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$, $\vec{DB}=-\boldsymbol{b}$, 于是$\vec{CB}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$.
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$\vec{CA} \cdot \vec{CB}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^2-\boldsymbol{b}^2$.
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[图片描述:一个三角形ABC，D点在边AB上。绘制了向量$\vec{CD}$（粉色箭头从C到D）和向量$\vec{DB}$（蓝色箭头从D到B）。线段CA和CB也分别用粉色和蓝色突出显示。|标题:图6.3-6|图片编号:1]
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因为$CD=\frac{1}{2}AB$,
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所以$CD=DA$.
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因为 $\boldsymbol{a}^2=CD^2$, $\boldsymbol{b}^2=DA^2$,
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所以 $\vec{CA} \cdot \vec{CB}=0$.
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因此 $\vec{CA} \perp \vec{CB}$.
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于是$\triangle ABC$是直角三角形.
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> 向量的数量积是否为零,是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
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## 练习
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1. 如图,AD, BE,CF 是$\triangle ABC$ 的三条中线,$\vec{CA}=\boldsymbol{a}$, $\vec{CB}=\boldsymbol{b}$. 用$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示$\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{BE}, \vec{CF}$.
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[图片描述:一个三角形ABC。三条中线AD、BE、CF相交于一点。D是BC的中点，E是AC的中点，F是AB的中点。|标题:(第1题)|图片编号:2]
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[图片描述:一个平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O。E是OA的中点，F是OC的中点，G是CD上的一个三等分点（靠近D）。图中显示了表示向量关系的多个线段和箭头。|标题:(第2题)|图片编号:3]
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2. 如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点O, $\vec{AB}=\boldsymbol{a}$, $\vec{AD}=\boldsymbol{b}$,点E,F分别是OA,OC的中点,G是CD的三等分点($DG=\frac{1}{3}CD$).
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(1)用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示$\vec{DE}, \vec{FB}, \vec{OG}$;
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(2)能由(1)得出$\vec{DE}, \vec{BF}$的关系吗?
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3. 如图,在$\triangle ABC$中,$AD=\frac{1}{4}AB$,点$E,F$分别是$AC, BC$的中点. 设$\vec{AB}=\boldsymbol{a}$, $\vec{AC}=\boldsymbol{b}$.
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(1)用$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$表示$\vec{CD}, \vec{EF}$.
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(2)如果$\angle A=60^\circ$, $AB=2AC$, $\vec{CD}, \vec{EF}$有什么关系?用向量方法证明你的结论.
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[图片描述:一个三角形ABC。点D在边AB上，点E在边AC上，点F在边BC上。从A到D有一条向下的箭头，表示向量$\vec{AD}$。从E到F有一条向右的箭头，表示向量$\vec{EF}$。|标题:(第3题)|图片编号:4]
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## 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
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给定平面内两个不共线的向量 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2$,由平面向量基本定理可知,平面上的任意向量$\boldsymbol{a}$,均可分解为两个向量$\lambda_1\boldsymbol{e}_1, \lambda_2\boldsymbol{e}_2$, 即$\boldsymbol{a}=\lambda_1\boldsymbol{e}_1+\lambda_2\boldsymbol{e}_2$,其中向量$\lambda_1\boldsymbol{e}_1$与$\boldsymbol{e}_1$共线,向
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量 $\lambda_2e_2$ 与 $e_2$ 共线.
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不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作**正交分解**。如图6.3-7，重力 $G$ 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解，正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形。
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[图片描述:一个木块放置在倾斜的平面上，重力 $G$ 垂直向下。重力 $G$ 被分解为两个分力：一个平行于斜面向下的力 $F_1$，表示使木块沿斜面下滑的力；另一个垂直于斜面向上的力 $F_2$，表示斜面对木块的压力。|标题:图6.3-7 重力在斜面上的正交分解|图片1]
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在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来方便。
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> **? 思考**
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> 我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示，那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？
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如图6.3-8，在平面直角坐标系中，设与 $x$ 轴、$y$ 轴方向相同的两个单位向量分别为 $i, j$，取 $\{i, j\}$ 作为基底。对于平面内的任意一个向量 $a$，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 $x, y$，使得
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$a = xi + yj$.
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[图片描述:在平面直角坐标系中，原点O处有单位向量 $i$ 沿 $x$ 轴正方向，单位向量 $j$ 沿 $y$ 轴正方向。一个向量 $a$ 从原点O出发，其终点由 $x, y$ 坐标确定，表示为 $a = xi + yj$。|标题:图6.3-8 平面向量的基底表示|图片2]
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这样，平面内的任一向量 $a$ 都可由 $x, y$ 唯一确定，我们把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $a$ 的坐标，记作
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$a=(x, y)$. $\textcircled{1}$
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其中，$x$ 叫做 $a$ 在 $x$ 轴上的坐标，$y$ 叫做 $a$ 在 $y$ 轴上的坐标，$\textcircled{1}$ 叫做**向量 $a$ 的坐标表示**。
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显然，$i=(1, 0)$, $j=(0, 1)$, $\mathbf{0}=(0, 0)$.
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如图6.3-9，在直角坐标平面中，以原点 $O$ 为起点作 $\vec{OA}=a$，则点 $A$ 的位置由向量 $a$ 唯一确定。
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[图片描述:在平面直角坐标系中，以原点O为起点绘制向量 $a$，其终点为 $A(x,y)$。向量 $a$ 的横坐标和纵坐标分别对应其终点A的 $x$ 和 $y$ 坐标。图示了从原点到 $A(x,y)$ 的向量以及其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的投影。|标题:图6.3-9 向量与点的坐标关系|图片3]
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设 $\vec{OA}=xi+yj$，则向量 $\vec{OA}$ 的坐标 $(x, y)$ 就是终点 $A$ 的坐标；反过来，终点 $A$ 的坐标 $(x, y)$ 也就是向量 $\vec{OA}$ 的坐标，因为 $\vec{OA}=a$，所以终点 $A$ 的坐标 $(x, y)$ 就是向量 $a$ 的坐标。这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。
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**例3** 如图6.3-10, 分别用基底$\{i,j\}$表示向量$a, b, c, d$, 并求出它们的坐标.
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**解:** 由图6.3-10可知, $a=\vec{AA_1}+\vec{AA_2}=2i+3j$,
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所以 $a=(2,3)$.
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同理,
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$b=-2i+3j=(-2,3)$,
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$c=-2i-3j=(-2,-3)$,
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$d=2i-3j=(2,-3)$.
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[图片描述: 笛卡尔坐标系中，原点O处有基底向量$i$和$j$。向量$a$从原点出发，其终点A处通过虚线连接到x轴上的2和y轴上的3，表示其坐标为(2,3)，并标示出A1和A2点。向量$b$从原点出发，终点在第二象限，坐标为(-2,3)。向量$c$从原点出发，终点在第三象限，坐标为(-2,-3)。向量$d$从原点出发，终点在第四象限，坐标为(2,-3)。整个图示了向量$a, b, c, d$在坐标系中的表示。|标题:图6.3-10|图片编号:1]
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### 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
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> **? 思考**
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>
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> 已知$a=(x_1, y_1)$, $b=(x_2, y_2)$, 你能得出$a+b, a-b$的坐标吗?
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>
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> $a+b=(x_1i+y_1j)+(x_2i+y_2j)$
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> $=x_1i+x_2i+y_1j+y_2j$
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> $=(x_1+x_2)i+(y_1+y_2)j$,
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> 即
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> $a+b=(x_1+x_2, y_1+y_2)$.
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>
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> 同理可得
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> $a-b=(x_1-x_2, y_1-y_2)$.
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>
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> 这就是说, 两个向量和(**差**)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(**差**).
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**例4** 已知$a=(2, 1)$, $b=(-3, 4)$, 求$a+b, a-b$ 的坐标.
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**解:** $a+b=(2,1)+(-3, 4)=(-1, 5)$,
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$a-b=(2,1)-(-3,4)=(5, -3)$.
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> **探究**
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>
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> 如图6.3-11, 已知$A(x_1,y_1)$, $B(x_2, y_2)$, 你能得出$\vec{AB}$的坐标吗?
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>
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> [图片描述: 笛卡尔坐标系中，显示了原点O、x轴和y轴。点A的坐标为$(x_1, y_1)$，点B的坐标为$(x_2, y_2)$。从点A指向点B的向量$\vec{AB}$被一条带箭头的线段表示。|标题:图6.3-11|图片编号:2]
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如图6.3-12, 作向量$\vec{OA}, \vec{OB}$, 则
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$\vec{AB}=\vec{OB}-\vec{OA}$
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$=(x_2, y_2)-(x_1, y_1)$
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$=(x_2-x_1, y_2-y_1)$.
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因此, **一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标**.
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[图片描述: Cartesian coordinate system with origin O. Point A at $(x_1, y_1)$ and B at $(x_2, y_2)$. Vectors $\vec{OA}$ (blue) and $\vec{OB}$ (blue) originate from O. Vector $\vec{AB}$ (magenta) connects A to B, illustrating vector subtraction to find $\vec{AB}$.|标题:图6.3-12|图片编号:1]
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**例5** 如图6.3-13, 已知$\square ABCD$的三个顶点$A, B, C$的坐标分别是$(-2, 1), (-1, 3), (3, 4)$, 求顶点$D$的坐标.
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**解法1**: 如图6.3-13, 设顶点$D$的坐标为$(x,y)$.
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因为 $\vec{AB}=(-1-(-2), 3-1)=(1, 2)$,
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$\vec{DC}=(3-x, 4-y)$,
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又$\vec{AB}=\vec{DC}$,
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所以 $(1,2)=(3-x, 4-y)$.
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即$\begin{cases} 1=3-x, \\ 2=4-y, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=2, \\ y=2. \end{cases}$
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所以顶点$D$的坐标为$(2,2)$.
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[图片描述: Cartesian coordinate system showing a parallelogram ABCD. Points are A(-2,1), B(-1,3), C(3,4), and D(2,2). The vertices are connected to form a parallelogram. This diagram visually represents the setup for finding the fourth vertex of a parallelogram given three vertices using coordinate geometry.|标题:图6.3-13|图片编号:2]
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**解法2**: 如图6.3-14, 由向量加法的平行四边形法则可知
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$\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{BC}$
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$=(-2-(-1), 1-3)+(3-(-1),4-3)$
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$=(3,-1)$,
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而
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$\vec{OD}=\vec{OB}+\vec{BD}$
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$=(-1,3)+(3,-1)$
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$=(2, 2)$.
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所以顶点$D$的坐标为$(2,2)$.
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[图片描述: Cartesian coordinate system showing parallelogram ABCD with points A(-2,1), B(-1,3), C(3,4), D(2,2). Vectors $\vec{BA}$ (blue) and $\vec{BC}$ (blue) originate from B. Vector $\vec{BD}$ (magenta) is the diagonal from B to D, representing the sum of $\vec{BA}$ and $\vec{BC}$ by the parallelogram rule. This illustrates the vector addition method to find the coordinates of vertex D.|标题:图6.3-14|图片编号:3]
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> **你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗?**
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### 练习
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1. 在下列各小题中,已知向量$\mathbf{a}, \mathbf{b}$的坐标,分别求$\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{a}-\mathbf{b}$的坐标:
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(1) $a=(-2, 4)$, $b=(5,2)$;
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(2) $a=(4,3)$, $b=(-3,8)$;
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(3) $a=(2, 3)$, $b=(-2,-3)$;
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(4) $a=(3,0)$, $b=(0, 4)$.
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2. 在下列各小题中,已知$A,B$两点的坐标,分别求$\vec{AB},\vec{BA}$的坐标:
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(1) $A(3,5), B(6,9)$;
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(2) $A(-3, 4), B(6,3)$;
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(3) $A(0, 3), B(0,5)$;
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(4) $A(3,0), B(8,0)$.
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3. 若点$A(0,1), B(1, 0), C(1, 2), D(2,1)$,则$\vec{AB}$与$\vec{CD}$有什么位置关系?证明你的猜想.
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**6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示**
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> **思考**
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>
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> 已知 $a=(x, y)$，你能得出 $\lambda a$ 的坐标吗？
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>
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> $\lambda a = \lambda (xi + yj) = \lambda xi + \lambda yj$,
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>
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> 即
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>
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> $\lambda a = (\lambda x, \lambda y)$.
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>
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> 这就是说，**实数与向量的积的坐标**等于用**这个实数乘原来向量的相应坐标**。
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**例 6** 已知 $a=(2, 1)$, $b=(-3, 4)$，求 $3a+4b$ 的坐标。
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**解**: $3a+4b = 3(2, 1) + 4(-3, 4) = (6, 3) + (-12, 16)$
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$= (-6, 19)$.
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||
> **探究**
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>
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> 如何用坐标表示两个向量共线的条件？
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>
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> 设 $a=(x_1, y_1)$, $b=(x_2, y_2)$，其中 $b \neq 0$。我们知道，$a$, $b$ 共线的充要条件是存在实数 $\lambda$，使
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>
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> $a = \lambda b$.
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>
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> 如果用坐标表示，可写为
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>
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> $(x_1, y_1) = \lambda (x_2, y_2)$,
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>
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> 即
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>
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> $$
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> \begin{cases}
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> x_1 = \lambda x_2 \\
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> y_1 = \lambda y_2
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> \end{cases}
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> $$
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>
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||
> 消去 $\lambda$，得
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||
>
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> $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
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>
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> 这就是说，向量 $a$, $b$ 共线的充要条件是
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>
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> $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$.
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**例 7** 已知 $a=(4, 2)$, $b=(6, y)$，且 $a // b$，求 $y$.
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**解**: 因为 $a // b$,
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所以 $4y - 2 \times 6 = 0$.
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解得 $y=3$.
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**例8** 已知$A(-1, -1)$, $B(1, 3)$, $C(2, 5)$, 判断$A, B, C$三点之间的位置关系.
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**解:** 在平面直角坐标系中作出$A, B, C$三点 (图 6.3-15).
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观察图形, 我们猜想$A, B, C$三点共线, 下面来证明.
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因为 $\vec{AB}=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4),$
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$\vec{AC}=(2-(-1), 5-(-1))=(3, 6),$
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又 $2\times6-4\times3=0,$
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所以 $\vec{AB}//\vec{AC}.$
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又直线$AB$, 直线$AC$有公共点$A,$
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所以$A, B, C$三点共线.
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[图片描述: 坐标系中描绘了点A(-1,-1), B(1,3), C(2,5)，并用一条虚线连接这三点，显示它们共线。x轴从-1到2，y轴从-1到5。|标题: 图6.3-15|图片编号: 图1]
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**例9** 设$P$是线段 $P_1P_2$ 上的一点, 点$P_1,P_2$的坐标分别是 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$.
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(1) 当$P$是线段 $P_1P_2$的中点时, 求点$P$ 的坐标;
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(2) 当$P$是线段$P_1P_2$的一个三等分点时, 求点$P$的坐标.
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**解:** (1) 如图6.3-16, 由向量的线性运算可知
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$\vec{OP}=\frac{1}{2}(\vec{OP_1}+\vec{OP_2})=(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}).$
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所以, 点$P$的坐标是$(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}).$
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[图片描述: 坐标系中，原点为O，P1和P2是任意两点，P是线段P1P2的中点。图中画出了向量OP1、OP2和OP，P1、P、P2位于一条直线l上。|标题: 图6.3-16|图片编号: 图2]
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||
|
||
> 若点$P_1,P_2$的坐标分别为$(x_1, y_1),(x_2, y_2)$, 线段$P_1P_2$的中点$P$的坐标为$(x,y)$, 则
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||
> $$ \begin{cases} x = \frac{x_1+x_2}{2}, \\ y = \frac{y_1+y_2}{2}. \end{cases} $$
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||
> 此公式为线段$P_1P_2$的中点坐标公式.
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||
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||
(2) 如图6.3-17, 当点$P$是线段 $P_1P_2$的一个三等分点时, 有两种情况, 即$\vec{P_1P}=\frac{1}{2}\vec{PP_2}$或$\vec{P_1P}=2\vec{PP_2}$.
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[图片描述: 页面提及图6.3-17，但未提供该图。该图应展示点P作为线段P1P2的三等分点时的两种情况。|标题: 图6.3-17|图片编号: 图3]
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||
如果$\vec{P_1P}=\frac{1}{2}\vec{PP_2}$ (图6.3-17(1)), 那么
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$\vec{OP}=\vec{OP_1}+\vec{P_1P}=\vec{OP_1}+\frac{1}{3}\vec{P_1P_2}$
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$=\vec{OP_1}+\frac{1}{3}(\vec{OP_2}-\vec{OP_1})=\frac{2}{3}\vec{OP_1}+\frac{1}{3}\vec{OP_2}$
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$=(\frac{2x_1+x_2}{3}, \frac{2y_1+y_2}{3})$
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即点 $P$ 的坐标是$(\frac{2x_1+x_2}{3}, \frac{2y_1+y_2}{3})$。
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[图片描述: 这是一个包含两个子图的坐标系。每个子图都显示了原点O、x轴、y轴，以及一条直线l，直线上有三个点P1、P和P2。从原点O到P1、P2和P都有对应的向量。
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||
子图(1)中，P点位于P1和P2之间，P1P的长度大约是PP2长度的一半，表明P点将P1P2线段分为1:2的比例。向量OP由向量OP1和OP2的线性组合得到。
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子图(2)中，P点也位于P1和P2之间，但P1P的长度大约是PP2长度的两倍，表明P点将P1P2线段分为2:1的比例。向量OP同样由向量OP1和OP2的线性组合得到。|标题: 图6.3-17|图片编号: 图1]
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同理, 如果 $\vec{P_1P}=2\vec{PP_2}$ (图6.3-17(2)), 那么点 $P$ 的坐标是$(\frac{x_1+2x_2}{3}, \frac{y_1+2y_2}{3})$。
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### 探究
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如图6.3-18, 线段 $P_1P_2$ 的端点 $P_1, P_2$ 的坐标分别是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$, 点 $P$ 是直线 $P_1P_2$ 上的一点。当 $\vec{P_1P}=\lambda \vec{PP_2}$ 时, 点 $P$ 的坐标是什么?
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[图片描述: 这是一个坐标系，显示了原点O、x轴、y轴，以及一条直线l。直线上有三个点P1、P和P2，其中P点位于P1和P2之间。从原点O到P1、P2和P分别有对应的向量。此图旨在展示点P将线段P1P2按比例λ分割的情形，即向量P1P与向量PP2共线，且长度之比为λ。|标题: 图6.3-18|图片编号: 图2]
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### 练习
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1. 已知 $\mathbf{a}=(3, 2), \mathbf{b}=(0,-1)$, 求 $-2\mathbf{a}+4\mathbf{b}, 4\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ 的坐标.
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2. 当 $x$ 为何值时, $\mathbf{a}=(2,3)$ 与 $\mathbf{b}=(x,-6)$ 共线?
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3. 若点 $A(-2,-3), B(2, 2), C(-1, 3), D(-7,-4.5)$, 则 $\vec{AB}$ 与 $\vec{CD}$ 是否共线?
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4. 求线段 $AB$ 的中点坐标:
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(1) $A(2, 1), B(4,3)$;
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(2) $A(-1,2), B(3, 6)$;
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(3) $A (5, -4), B (3, -6)$.
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5. 已知点 $O(0,0)$, 向量 $\vec{OA}=(2, 3)$, $\vec{OB}=(6, -3)$, 点 $P$ 是线段 $AB$ 的三等分点, 求点 $P$ 的坐标.
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## 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
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**探究**
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已知 $a=(x_1, y_1)$, $b=(x_2, y_2)$，怎样用 $a$ 与 $b$ 的坐标表示 $a \cdot b$ 呢?
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因为 $a=x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}$, $b=x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}$,
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所以 $a \cdot b=(x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}) \cdot (x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j})=x_1x_2 i^2+x_1y_2\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}+y_1x_2\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}+y_1y_2 j^2$.
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又 $\mathbf{i} \cdot \mathbf{i}=1$, $\mathbf{j} \cdot \mathbf{j}=1$, $\mathbf{i} \cdot \mathbf{j}=\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}=0$,
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所以 $a \cdot b=x_1x_2+y_1y_2$.
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||
这就是说，**两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和**。
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||
由此可得
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(1) 若 $a=(x, y)$, 则 $|a|^2=x^2+y^2$, 或 $|a|=\sqrt{x^2+y^2}$.
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如果表示向量 $a$ 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, 那么
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$a=(x_2-x_1, y_2-y_1)$,
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$|a|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.
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(2) 设 $a, b$ 是非零向量, $a=(x_1, y_1)$, $b=(x_2, y_2)$, 则
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$a \perp b \Leftrightarrow x_1x_2+y_1y_2=0$.
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**例10** 若点 $A(1, 2)$, $B(2, 3)$, $C(-2, 5)$，则 $\triangle ABC$ 是什么形状? 证明你的猜想。
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**解**：如图6.3-19,在平面直角坐标系中画出点 $A, B, C$，我们发现 $\triangle ABC$ 是直角三角形。证明如下。
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因为 $\vec{AB}=(2-1, 3-2)=(1, 1)$,
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||
$\vec{AC}=(-2-1, 5-2)=(-3, 3)$,
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所以 $\vec{AB} \cdot \vec{AC}=1 \times (-3)+1 \times 3=0$.
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于是 $\vec{AB} \perp \vec{AC}$.
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因此，$\triangle ABC$ 是直角三角形。
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[图片描述:平面直角坐标系中描绘了点A(1,2), B(2,3), C(-2,5)。从点A出发，绘制了向量$\vec{AB}$（由A指向B）和向量$\vec{AC}$（由A指向C）。向量$\vec{AB}$从(1,2)指向(2,3)呈粉红色，向量$\vec{AC}$从(1,2)指向(-2,5)呈蓝色。坐标轴清晰标记，x轴刻度从-2到3，y轴刻度从1到5。|标题: 图6.3-19|图片1]
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设 $a, b$ 都是非零向量, $a=(x_1, y_1)$, $b=(x_2, y_2)$, $\theta$ 是 $a$ 与 $b$ 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
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$$ \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}} $$
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**例 11** 设 $\mathbf{a}=(5, -7)$, $\mathbf{b}=(-6, -4)$, 求 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 及 $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ 的夹角 $\theta$ (精确到 $1^\circ$).
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**解:** $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 5 \times (-6) + (-7) \times (-4)$
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$= -30 + 28$
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$= -2$.
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因为 $|\mathbf{a}| = \sqrt{5^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$, $|\mathbf{b}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$，所以用计算器计算可得：
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$\cos \theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|} = \frac{-2}{\sqrt{74} \times \sqrt{52}} \approx -0.03$.
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利用计算工具可得 $\theta \approx 92^\circ$.
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**例 12** 用向量方法证明两角差的余弦公式
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$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
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**证明:** 如图 6.3-20，在平面直角坐标系 $Oxy$ 内作单位圆 $O$，以 $x$ 轴的非负半轴为始边作角 $\alpha, \beta$，它们的终边与单位圆 $O$ 的交点分别为 $A, B$。则
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$\overrightarrow{OA} = (\cos \alpha, \sin \alpha)$, $\overrightarrow{OB} = (\cos \beta, \sin \beta)$.
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[图片描述: 图6.3-20展示了在单位圆中表示两个角 $\alpha$ 和 $\beta$ 的两种情况。
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图(1)中，单位圆内有坐标轴 $x$ 和 $y$ 轴，原点 $O$。从原点引出两个向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$，它们分别与 $x$ 轴正半轴形成角 $\alpha$ 和 $\beta$。$\alpha$ 终边在第二象限，$\beta$ 终边在第一象限。向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 之间的夹角标记为 $\theta$。在此配置下，可以推导出 $\theta = \alpha - \beta$ (或 $\alpha = \beta + \theta$)。
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图(2)中，单位圆内有坐标轴 $x$ 和 $y$ 轴，原点 $O$。从原点引出两个向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$，它们分别与 $x$ 轴正半轴形成角 $\alpha$ 和 $\beta$。$\beta$ 终边在第二象限，$\alpha$ 终边在第一象限。向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 之间的夹角标记为 $\theta$。在此配置下，可以推导出 $\theta = \beta - \alpha$ (或 $\alpha = \beta - \theta$)。|标题:图6.3-20 向量表示两角差的余弦公式|图片编号:图1]
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由向量数量积的坐标表示，有：
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$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
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设 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 的夹角为 $\theta$，则
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$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}| \cos \theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \cos \theta$.
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所以，
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$\cos \theta = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
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另一方面，由图 6.3-20 (1) 可知，$\alpha = 2k\pi + \beta + \theta$；由图 6.3-20 (2) 可知，$\alpha = 2k\pi + \beta - \theta$。于是 $\alpha - \beta = 2k\pi \pm \theta$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。所以：
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$\cos(\alpha - \beta) = \cos(2k\pi \pm \theta) = \cos(\pm \theta) = \cos \theta$.
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于是，
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$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.
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> 运用向量工具进行探索，过程多么简洁啊！
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## 练习
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1. 已知$\mathbf{a}=(-3, 4)$, $\mathbf{b}=(5, 2)$,求$|\mathbf{a}|$, $|\mathbf{b}|$, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$.
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2. 已知$\mathbf{a}=(2, 3)$, $\mathbf{b}=(-2, 4)$, $\mathbf{c}=(-1, -2)$. 求$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$, $(\mathbf{a}+\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})$, $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})$, $(\mathbf{a}+\mathbf{b})^2$.
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3. 已知$\mathbf{a}=(3, 2)$, $\mathbf{b}=(5, -7)$, 利用计算工具, 求$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$的夹角$\theta$ (精确到$1^\circ$).
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## 习题 6.3
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### 复习巩固
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1. [图片描述: 描绘了一个三角形ABC。点D位于边AB上，使得AD是AB的三分之一。点E是线段CD的中点。图中用箭头标示了向量$\vec{AB}$、$\vec{AC}$、$\vec{CD}$和$\vec{AE}$。|标题: 第1题|图1]
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如图,在$\triangle ABC$中, $AD=\frac{1}{3}AB$, 点$E$是$CD$的中点. 设$\vec{AB}=\mathbf{a}$, $\vec{AC}=\mathbf{b}$, 用$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$表示$\vec{CD}$, $\vec{AE}$.
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2. 已知作用在坐标原点的三个力分别为$\mathbf{F}_1=(3, 4)$, $\mathbf{F}_2=(2, -5)$, $\mathbf{F}_3=(3, 1)$, 求作用在原点的合力$\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\mathbf{F}_3$的坐标.
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3. 在下列各小题中,已知向量$\mathbf{a}$的坐标,以及表示$\mathbf{a}$的有向线段$\vec{AB}$的起点$A$的坐标,求终点$B$的坐标:
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(1) $\mathbf{a}=(-2, 1)$, $A(0, 0)$;
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(2) $\mathbf{a}=(1, 3)$, $A(-1, 5)$;
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(3) $\mathbf{a}=(-2, -5)$, $A(3, 7)$.
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4. 已知$\Box ABCD$的顶点$A(-1, -2)$, $B(3, -1)$, $C(5, 6)$, 求顶点$D$的坐标.
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5. 已知点$O(0, 0)$, $A(1, 2)$, $B(-1, 3)$, 且$\vec{OA'}=2\vec{OA}$, $\vec{OB'}=3\vec{OB}$, 求点$A'$, $B'$及向量$\vec{A'B'}$的坐标.
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6. 已知点$A(1, 1)$, $B(-1, 5)$, 且$\vec{AC}=\frac{1}{2}\vec{AB}$, $\vec{AD}=2\vec{AB}$, $\vec{AE}=-\frac{1}{2}\vec{AB}$, 求点$C$, $D$, $E$的坐标.
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7. 你认为下列各组点具有什么样的位置关系?证明你的猜想.
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(1) $A(1, 2)$, $B(-3, -4)$, $C(2, 3.5)$;
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(2) $P(-1, 2)$, $Q(0.5, 0)$, $R(5, -6)$;
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(3) $E(9, 1)$, $F(1, -3)$, $G(8, 0.5)$.
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8. 分别在平面直角坐标系中作出下列各组点,猜想以$A, B, C$为顶点的三角形的形状,然后给出证明:
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(1) $A(-1, -4)$, $B(5, 2)$, $C(3, 4)$;
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(2) $A(-2, -3)$, $B(19, 4)$, $C(-1, -6)$;
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(3) $A(2, 5)$, $B(5, 2)$, $C(10, 7)$.
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9. 已知$|\mathbf{a}|=3$, $\mathbf{b}=(1, 2)$, 且$\mathbf{a} \parallel \mathbf{b}$, 求$\mathbf{a}$的坐标.
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10. 已知$\mathbf{a}=(4, 2)$, 求与$\mathbf{a}$垂直的单位向量的坐标.
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**综合运用**
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11. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，点 $E$ 是 $AB$ 的中点，点 $F, G$ 分别是 $AD, BC$ 的三等分点 ($\vec{AF}=\frac{1}{3}\vec{AD}$, $\vec{BG}=\frac{1}{3}\vec{BC}$). 设 $\vec{AB}=\vec{a}$, $\vec{AD}=\vec{b}$,
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[图片描述: 一张描绘平行四边形ABCD的几何图。其中，点E位于AB的中点。点F位于AD边上，使得AF是AD的三分之一。点G位于BC边上，使得BG是BC的三分之一。图中从E点分别引出了向量EF和EG。这个图示有助于理解向量的表示和计算，特别是如何通过基向量$\vec{a}$和$\vec{b}$来表达其他向量。|标题: 第11题|图片编号: 图1]
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(1) 用 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 表示 $\vec{EF}$, $\vec{EG}$.
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(2) 如果 $\left|\vec{b}\right|=\frac{3}{2}\left|\vec{a}\right|$, $\vec{EF}$, $\vec{EG}$ 有什么位置关系?用向量方法证明你的结论。
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12. 已知点 $O(0, 0)$, $A(1, 2)$, $B(4, 5)$, $\vec{OP}=\vec{OA}+t \vec{AB}$. 当 $t=1, \frac{1}{2}, -2, 2$ 时，分别求点 $P$ 的坐标。
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13. 已知 $A(2, 3)$, $B(4, -3)$，点 $P$ 在线段 $AB$ 的延长线上，且 $\left|\vec{AP}\right|=\frac{3}{2}\left|\vec{PB}\right|$，求点 $P$ 的坐标。
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14. 求证：以 $A(1,0)$, $B(5, -2)$, $C(8, 4)$, $D(4, 6)$ 为顶点的四边形是一个矩形。
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**拓广探索**
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15. 如图，设 $Ox, Oy$ 是平面内相交成 $60^\circ$ 角的两条数轴，$\vec{e_1}$, $\vec{e_2}$ 分别是与 $x$ 轴、$y$ 轴正方向同向的单位向量. 若向量 $\vec{OP}=x\vec{e_1}+y\vec{e_2}$，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{OP}$ 在坐标系 $Oxy$ 中的坐标. 设 $\vec{OP}=3\vec{e_1}+2\vec{e_2}$,
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[图片描述: 一个非直角坐标系Oxy，x轴和y轴之间夹角为60度。在x轴正方向上有一个单位向量$\vec{e_1}$，在y轴正方向上有一个单位向量$\vec{e_2}$。图上描绘了从原点O到点P的向量$\vec{a}$（即$\vec{OP}$），并通过平行四边形法则展示了向量$\vec{OP}$如何由沿x轴和y轴方向的分量合成。点P的坐标(x, y)是其在Oxy坐标系下的表示。这个图示形象地解释了在非正交基底下的向量分解和坐标概念。|标题: 第15题|图片编号: 图2]
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(1) 计算 $\left|\vec{OP}\right|$ 的大小；
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(2) 根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理.
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16. 用向量方法证明：对于任意的 $a, b, c, d \in \mathbf{R}$, 恒有不等式 $(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)$.
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# 6.4 平面向量的应用
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前面我们学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算。本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用，同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。
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## 6.4.1 平面几何中的向量方法
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由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决，下面通过两个具体实例，说明向量方法在平面几何中的应用。
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> 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标。
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**例1** 如图6.4-1, $DE$ 是$\triangle ABC$ 的中位线,用向量方法证明:$DE//BC, DE=\frac{1}{2}BC$.
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[图片描述:一个三角形ABC，其中D是AB边的中点，E是AC边的中点。线段DE（洋红色）连接D和E，线段BC（青色）是三角形的底边。|标题:图6.4-1|图片1]
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**分析:** 初中证明这个结论时要加辅助线，有一定难度。如果用向量方法证明这个结论，可以取$\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\}$为基底，用$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{DE}, \overrightarrow{BC}$，证明$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$即可。
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**证明:** 如图6.4-2, 因为 $DE$ 是$\triangle ABC$的中位线, 所以
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$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
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从而$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})$.
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又$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$,
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所以$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.
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于是$DE//BC, DE=\frac{1}{2}BC$.
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[图片描述:一个三角形ABC，其中D是AB边的中点，E是AC边的中点。线段DE（洋红色）具有从D指向E的向量箭头，线段BC（青色）具有从B指向C的向量箭头。|标题:图6.4-2|图片2]
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平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度问题, 而平面向量的运算, 特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角, 因此我们可以用向量方法解决某些几何问题. 用向量方法解决几何问题时, 通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素, 然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系, 最后再把运算结果“翻译”成几何关系, 便得到几何问题的结论.
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用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:
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1. 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中涉及的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题;
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2. 通过向量运算, 研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题;
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3. 把运算结果“翻译”成几何关系.
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**例2** 如图6.4-3, 已知平行四边形 $ABCD$, 你能发现对角线 $AC$ 和 $BD$ 的长度与两条邻边 $AB$ 和 $AD$ 的长度之间的关系吗?
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[图片描述:一个平行四边形ABCD，对角线AC和BD已画出，顶点顺时针或逆时针依次标记为A、B、C、D。|标题:图6.4-3 平行四边形ABCD及其对角线|图片1]
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**分析**: 平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差, 我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系.
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**解**: 第一步, 建立平面几何与向量的联系, 用向量表示问题中的几何元素, 将平面几何问题转化为向量问题:
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如图 6.4-4, 取 $\{ \vec{AB}, \vec{AD} \}$ 为基底, 设 $ \vec{AB} = \mathbf{a}, \vec{AD} = \mathbf{b} $, 则
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[图片描述:一个平行四边形ABCD，对角线AC和BD已画出，顶点顺时针或逆时针依次标记为A、B、C、D。此图用于表示向量基底和向量分解。|标题:图6.4-4 平行四边形ABCD及其对角线|图片2]
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$ \vec{AC} = \mathbf{a} + \mathbf{b}, \vec{DB} = \mathbf{a} - \mathbf{b} $.
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第二步, 通过向量运算, 研究几何元素之间的关系:
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$ \vec{AC}^2 = (\mathbf{a} + \mathbf{b})^2 = \mathbf{a}^2 + 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^2 $,
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$ \vec{DB}^2 = (\mathbf{a} - \mathbf{b})^2 = \mathbf{a}^2 - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^2 $.
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上面两式相加, 得 $ \vec{AC}^2 + \vec{DB}^2 = 2(\mathbf{a}^2 + \mathbf{b}^2) $.
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第三步, 把运算结果“翻译”成几何关系:
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$ AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2) $.
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> 你能用自然语言叙述这个关系式的意义吗?
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## 练习
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1. 证明: 等腰三角形的两个底角相等.
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2. 如下页图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 $a$, $E$ 是 $AB$ 的中点, $F$ 是 $BC$ 边上靠近点 $B$ 的三等分点, $AF$ 与 $DE$ 交于点 $M$, 求 $ \angle EMF $ 的余弦值.
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3. 如图,在$\triangle ABC$中,点$O$是$BC$的中点,过$O$的直线分别交直线$AB,AC$于不同的两点$M,N$. 设$\vec{AB}=m\vec{AM}$, $\vec{AC}=n\vec{AN}$,求$m+n$的值.
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[图片描述: 这是一个矩形或正方形ABCD。点E在边AB上。一条线段DE被绘制。另一条线段EF被绘制，其中M是DE和EF的交点，F在边BC上。|标题: 第2题|图片编号: 图1]
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[图片描述: 这是一个三角形ABC。点O是边BC的中点。一条直线穿过点O，与边AB相交于点M，与边AC相交于点N。|标题: 第3题|图片编号: 图2]
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## 6.4.2 向量在物理中的应用举例
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下面,我们再来感受一下向量在物理中的应用.
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**例3** 在日常生活中,我们有这样的经验:两个人共提一个旅行包,两个拉力夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种现象吗?
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**分析**: 不妨以两人共提旅行包为例,只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系,就可以获得问题的数学解释.
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**解**: 先来看共提旅行包的情况,如图6.4-5,设作用在旅行包上的两个拉力分别为$\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$,为方便起见,我们不妨设$|\vec{F_1}|=|\vec{F_2}|$. 另设$\vec{F_1}$,$\vec{F_2}$的夹角为$\theta$,旅行包所受的重力为$\vec{G}$. 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
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$$|\vec{F_1}| = \frac{|\vec{G}|}{2\cos\frac{\theta}{2}}$$
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[图片描述: 一个向量图，展示了两个力$\vec{F_1}$和$\vec{F_2}$的合力。$\vec{F_1}$和$\vec{F_2}$从同一点发出，它们之间的夹角为$\theta$。通过虚线构建了一个平行四边形，其对角线代表合力$\vec{F}$。图中还标示了一个直角，辅助理解力的分解或合成。一个向下的向量$\vec{G}$表示重力，它与合力$\vec{F}$方向相反并平衡。|标题: 图 6.4-5|图片编号: 图3]
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这里,$|\vec{G}|$为定值.分析上面的式子,我们发现,当$\theta$由0逐渐变大到$\pi$时, $\frac{\theta}{2}$由0逐渐变大到$\frac{\pi}{2}$, $\cos\frac{\theta}{2}$的值由大逐渐变小,此时$|\vec{F_1}|$由小逐渐变大;反之,当$\theta$由$\pi$逐渐变小到0时, $\frac{\theta}{2}$由$\frac{\pi}{2}$逐渐变小到0, $\cos\frac{\theta}{2}$的值由小逐渐变大,此时$|\vec{F_1}|$由大逐渐变小.这就是说,$\vec{F_1}$,$\vec{F_2}$之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 同理,在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.
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### 探究
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(1) 当$\theta$为何值时, $|\vec{F_1}|$最小? 最小值是多少?
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(2) $|\vec{F_1}|$能等于$|\vec{G}|$吗? 为什么?
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事实上,要使$|\mathbf{F}_1|$最小,只需$\cos \frac{\theta}{2}$最大,此时 $\cos \frac{\theta}{2}=1$,可得$\theta=0$. 于是$|\mathbf{F}_1|$的最小值为 $\frac{|\mathbf{G}|}{2}$. 若要使$|\mathbf{F}_1|=|\mathbf{G}|$, 只需 $\cos \frac{\theta}{2}=\frac{1}{2}$, 此时$\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{3}$, 即$\theta=\frac{2\pi}{3}$.
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**例4** 如图6.4-6,一条河两岸平行,河的宽度$d=500 \text{ m}$,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行. 已知船的速度$\mathbf{v}_1$的大小为$|\mathbf{v}_1|=10 \text{ km/h}$,水流速度$\mathbf{v}_2$的大小为$|\mathbf{v}_2|=2 \text{ km/h}$,那么当航程最短时,这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1 min)?
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[图片描述: 一条河流，两岸平行，河中有船只在行驶，并有向右的水流箭头。A点在船只所在的河岸，B点在对岸。船只从A点出发，驶向对岸B点。|标题: 图6.4-6|图片1]
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**分析**: 如果水是静止的,那么船只要取垂直于河岸的方向行驶,就能使航程最短,此时所用时间也是最短的. 考虑到水的流速,要使航程最短,船的速度与水流速度的合速度$\mathbf{v}$必须垂直于河岸.
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**解**: 设点B是河对岸一点,$AB$与河岸垂直,那么当这艘船实际沿着$AB$方向行驶时,船的航程最短.
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如图6.4-7,设$\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2$,则
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$|\mathbf{v}|=\sqrt{|\mathbf{v}_1|^2 - |\mathbf{v}_2|^2} = \sqrt{10^2 - 2^2} = \sqrt{100-4} = \sqrt{96} \text{ (km/h)}$.
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此时,船的航行时间
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$t=\frac{d}{|\mathbf{v}|}=\frac{0.5}{\sqrt{96}} \times 60 \approx 3.1 \text{ (min)}$.
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所以,当航程最短时,这艘船行驶完全程需要 3.1 min.
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[图片描述: 向量分解图，显示船的相对速度$\mathbf{v}_1$，水流速度$\mathbf{v}_2$，以及它们的合速度$\mathbf{v}$。$\mathbf{v}_1$方向斜向上，$\mathbf{v}_2$方向水平向右，$\mathbf{v}$方向竖直向上。构成一个直角三角形，其中$\mathbf{v}_1$是斜边，$\mathbf{v}$和$\mathbf{v}_2$是直角边。A点是起点，B点是终点。|标题: 图6.4-7|图片2]
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## 练习
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1. 一物体在力$\mathbf{F}$的作用下,由点$A(20, 15)$移动到点$B(7, 0)$. 已知$\mathbf{F}=(4,-5)$,求$\mathbf{F}$对该物体所做的功.
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2. 如图,一滑轮组中有两个定滑轮$A, B$,在从连接点$O$出发的三根绳的端点处,挂着3个重物,它们所受的重力分别为$4 \text{ N}, 4 \text{ N}$和$4\sqrt{3} \text{ N}$. 此时整个系统恰处于平衡状态,求$\angle AOB$的大小.
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[图片描述: 一个滑轮组，包含两个定滑轮A和B悬挂在顶部，下方有一连接点O。从O点向下连接一个$4\sqrt{3} \text{ N}$的重物。从O点向左上方连接到滑轮A，再向下悬挂一个$4 \text{ N}$的重物。从O点向右上方连接到滑轮B，再向下悬挂一个$4 \text{ N}$的重物。|标题: (第2题)|图片3]
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3. 若平面上的三个力$\mathbf{F}_1, \mathbf{F}_2, \mathbf{F}_3$作用于一点,且处于平衡状态,已知
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$|\mathbf{F}_1|=1 \text{ N}, |\mathbf{F}_2|=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} \text{ N}, \mathbf{F}_1$与$\mathbf{F}_2$的夹角为$45^\circ$,求:
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(1) $\mathbf{F}_3$的大小;
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(2) $\mathbf{F}_3$与$\mathbf{F}_1$夹角的大小.
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## 6.4.3 余弦定理、正弦定理
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一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系，对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了 SSS, SAS, ASA, AAS 等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？
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下面我们利用向量方法研究这个问题。
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### 1. 余弦定理
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我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？
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> **探究**
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> 在 $\triangle ABC$ 中，三个角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$，怎样用 $a, b$ 和 $C$ 表示 $c$?
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因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究。
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如图 6.4-8, 设 $\vec{CB}=\mathbf{a}$, $\vec{CA}=\mathbf{b}$, $\vec{AB}=\mathbf{c}$, 那么
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$\mathbf{c}=\mathbf{a}-\mathbf{b}$. (1)
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[图片描述: 描绘了三角形ABC，其中C点是向量的公共起点。向量 $\mathbf{a}$（红色）从C指向B，向量 $\mathbf{b}$（蓝色）从C指向A。向量 $\mathbf{c}$（黑色）从A指向B，形成三角形的第三边。此图直观地展示了向量关系 $\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}$，即 $\mathbf{c} = \mathbf{a} - \mathbf{b}$。|标题:图 6.4-8|图1]
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我们的研究目标是用 $|\mathbf{a}|, |\mathbf{b}|$ 和 $C$ 表示 $|\mathbf{c}|$, 联想到数量积的性质 $\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = |\mathbf{c}|^2$, 可以考虑用向量 $\mathbf{c}$ (即 $\mathbf{a}-\mathbf{b}$) 与其自身作数量积运算。
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由(1)得
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$|\mathbf{c}|^2 = \mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a}-\mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a}-\mathbf{b})$
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$= \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$
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$= a^2 + b^2 - 2|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos C$.
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所以
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$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.
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同理可得
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$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$,
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$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$.
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> 从这里的推导过程，你感受到向量运算的力量了吗？
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于是,我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理:
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**余弦定理** (cosine theorem) 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即
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$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
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$$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca \cos B$$
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$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
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> ? 你能用其他方法证明
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> 余弦定理吗?
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利用余弦定理,我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.
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> **③ 思考**
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> 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系. 应用余弦定理,我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题,怎么确定呢?
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由余弦定理,可以得到如下推论:
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$$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$
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$$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$$
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$$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$
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> 余弦定理及其推论把
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> 用“SAS”和“SSS”判
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> 定三角形全等的方法从数
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> 量化的角度进行了刻画.
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利用推论,可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角.
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从余弦定理及其推论可以看出,三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.
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> **③ 思考**
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> 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,你能说说这两个定理之间的关系吗?
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如果$\triangle ABC$中有一个角是直角,例如, $C=90^\circ$,这时 $\cos C=0$. 由余弦定理可得 $c^2 = a^2 + b^2$,这就是勾股定理,由此可见,余弦定理是勾股定理的推广,而勾股定理是余弦定理的特例.
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一般地,三角形的三个角$A,B,C$和它们的对边$a,b,c$叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做**解三角形** (solving a triangle).
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**例5** 在$\triangle ABC$中,已知$b=60 \text{ cm}$, $c=34 \text{ cm}$, $A=41^\circ$,解这个三角形(角度精确到$1^\circ$,边长精确到$1 \text{ cm}$).
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解: 由余弦定理, 得
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$$
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a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A
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$$
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$$
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= 60^2 + 34^2 - 2 \times 60 \times 34 \times \cos 41^\circ
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$$
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$$
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\approx 1676.78,
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$$
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所以
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$$
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a \approx 41(\text{cm}).
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$$
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由余弦定理的推论, 得
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$$
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\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca} \approx \frac{34^2 + 41^2 - 60^2}{2 \times 34 \times 41} = -\frac{763}{2\,788}
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$$
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利用计算器, 可得 $B \approx 106^\circ$.
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所以 $C = 180^\circ - (A+B) \approx 180^\circ - (41^\circ + 106^\circ) = 33^\circ$.
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**例6** 在$\triangle ABC$中, $a=7, b=8$, 锐角 $C$ 满足 $\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{14}$, 求 $B$ (精确到 $1^\circ$).
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**分析:** 由条件可求 $\cos C$, 再利用余弦定理及其推论可求出 $B$ 的值.
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**解:** 因为 $\sin C=\frac{3\sqrt{3}}{14}$, 且 $C$ 为锐角,
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所以
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$$
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\cos C=\sqrt{1-\sin^2 C} = \sqrt{1-\left(\frac{3\sqrt{3}}{14}\right)^2} = \frac{13}{14}.
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$$
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由余弦定理, 得
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$$
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c^2= a^2+b^2-2ab\cos C=49+64-2\times7\times8\times\frac{13}{14}=9,
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$$
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所以 $c=3$.
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进而
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$$
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\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} = \frac{3^2+7^2-8^2}{2\times3\times7} = -\frac{1}{7}.
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$$
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利用计算器, 可得
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$$
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B \approx 98^\circ.
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$$
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## 练习
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1. (1) 在$\triangle ABC$中, 已知$b=12.9 \text{ cm}$, $c=15.4 \text{ cm}$, $A=42.3^\circ$, 解这个三角形 (角度精确到$0.1^\circ$, 边长精确到$0.1 \text{ cm}$);
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(2) 在$\triangle ABC$中, 已知$a=5, b=2, C=\frac{\pi}{3}$, 求$c$.
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2. 在$\triangle ABC$中, 已知$a=2, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{3}+1$, 解这个三角形.
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3. 在$\triangle ABC$中, 已知$b=5, c=2$, 锐角$A$满足$\sin A=\frac{\sqrt{231}}{20}$, 求$C$ (精确到$1^\circ$).
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2. 正弦定理
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<div style="background-color:#E8F5E9; border-left: 5px solid #66BB6A; padding: 15px; margin-bottom: 20px;">
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<div style="font-weight: bold; font-size: 1.2em; color: #388E3C; display: flex; align-items: center;">
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<span style="font-size: 1.5em; margin-right: 8px;">🔍</span> 探究
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</div>
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余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
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在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论，实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系。从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为：在 $\triangle ABC$ 中，设 $A$ 的对边为 $a$， $B$ 的对边为 $b$，求 $A, B, a, b$ 之间的定量关系。如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在 $\triangle ABC$ 中，已知 $A, B, a$，求 $b$”的问题。
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我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手，根据锐角三角函数，在 $Rt\triangle ABC$ 中(如图6.4-9)，有
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$$ \sin A = \frac{a}{c}, $$
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$$ \sin B = \frac{b}{c}. $$
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[图片描述: 这是一个直角三角形ABC，其中角C为直角。顶点A在上方，顶点B在右下方，顶点C在左下方。直角边BC被标记为a，直角边AC被标记为b，斜边AB被标记为c。|标题: 图6.4-9|图片编号: 1]
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显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立。观察发现，它们有一个共同元素 $c$，利用它把两个式子联系起来，可得
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$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = c. $$
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又因为 $\sin C = \sin 90^\circ = 1$，所以上式可以写成边与它的对角的正弦的比相等的形式，即
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$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. $$
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对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究。我们希望获得 $\triangle ABC$ 中的边 $a, b, c$ 与它们所对角 $A, B, C$ 的正弦之间的关系式。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究。
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</div>
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<div style="background-color:#FFFDE7; border-left: 5px solid #FFCC80; padding: 15px; margin-bottom: 20px;">
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<div style="font-weight: bold; font-size: 1.2em; color: #FF9800; display: flex; align-items: center;">
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<span style="font-size: 1.5em; margin-right: 8px;">❓</span> 思考
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</div>
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向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化？
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由诱导公式 $\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha$ 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。
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</div>
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下面先研究锐角三角形的情形。
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[图片描述: 一个锐角三角形ABC。顶点A、B、C逆时针排列。从A点引出一个单位向量$\vec{j}$，垂直于边AC并指向三角形内部。从C点引出一个单位向量$\vec{m}$，垂直于边CB并指向三角形内部。|标题: 图6.4-10|图片编号: 1]
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如图6.4-10,在锐角$\triangle ABC$中,过点A作与$\vec{AC}$垂直的单位向量$\vec{j}$,则$\vec{j}$与$\vec{AB}$的夹角为$\frac{\pi}{2}$-A,$\vec{j}$与$\vec{CB}$的夹角为$\frac{\pi}{2}$-C.
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因为$\vec{AC}+\vec{CB}=\vec{AB}$,所以
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$ \vec{j} \cdot (\vec{AC}+\vec{CB})=\vec{j} \cdot \vec{AB}. $
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由分配律,得
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$ \vec{j} \cdot \vec{AC}+\vec{j} \cdot \vec{CB}=\vec{j} \cdot \vec{AB}, $
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即
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$ |\vec{j}||\vec{AC}|\cos \frac{\pi}{2}+|\vec{j}||\vec{CB}|\cos (\frac{\pi}{2}-C)=|\vec{j}||\vec{AB}|\cos (\frac{\pi}{2}-A), $
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也即
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$ a \sin C=c \sin A. $
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所以
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$ \frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}. $
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同理,过点C作与$\vec{CB}$垂直的单位向量$\vec{m}$,可得
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$ \frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. $
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因此
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$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. $
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当$\triangle ABC$是钝角三角形时,不妨设A为钝角(如图6.4-11).
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[图片描述: 一个钝角三角形ABC。顶点A、B、C逆时针排列，其中角A是钝角。从A点引出一个单位向量$\vec{j}$，垂直于边AC并指向三角形外部（与AC的延长线垂直）。|标题: 图6.4-11|图片编号: 2]
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过点A作与$\vec{AC}$垂直的单位向量$\vec{j}$,则$\vec{j}$与$\vec{AB}$的夹角为A-$\frac{\pi}{2}$,$\vec{j}$与$\vec{CB}$的夹角为$\frac{\pi}{2}$-C.仿照上述方法,同样可得
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$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. $
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综上,我们得到下面的定理:
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**正弦定理 (sine theorem)** 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
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$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. $
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> 这个公式表达形式的统一性、对称性,不仅使结果更和谐优美,而且更突显了三角形边角关系的本质.
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正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个定量关系. 利用正弦定理,不仅可以解决“已知两角和一边,解三角形”的问题,还可以解决“已
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知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题。
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以上我们利用向量方法获得了正弦定理、余弦定理。事实上，探索和证明这两个定理的方法很多，有些方法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方法吗？
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**例7** 在$\triangle ABC$中，已知 $A=15^\circ$， $B=45^\circ$， $c=3+\sqrt{3}$，解这个三角形。
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**解**：由三角形内角和定理，得
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$C=180^\circ-(A+B)=180^\circ-(15^\circ+45^\circ)=120^\circ$.
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由正弦定理，得
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$a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{(3+\sqrt{3})\sin 15^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{(3+\sqrt{3})\sin(45^\circ-30^\circ)}{\sin 120^\circ}$
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$= \frac{(3+\sqrt{3}) (\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ)}{\sin 120^\circ}$
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$= \frac{(3+\sqrt{3}) \times (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$,
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$b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{(3+\sqrt{3})\sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$
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$= \frac{(3+\sqrt{3})\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$.
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**例8** 在$\triangle ABC$中，已知 $B=30^\circ$， $b=\sqrt{2}$，$c=2$，解这个三角形。
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**分析**：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理。
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**解**：由正弦定理，得
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$\sin C = \frac{c \sin B}{b} = \frac{2 \sin 30^\circ}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
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因为$c>b$，$B=30^\circ$，
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所以 $30^\circ<C<180^\circ$.
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于是$C=45^\circ$，或$C=135^\circ$。
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> **为什么角C有两个值？**
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(1) 当$C=45^\circ$时，$A=105^\circ$。
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此时
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$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 105^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2}\sin(60^\circ+45^\circ)}{\sin 30^\circ}$
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$= \frac{\sqrt{2} (\sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ)}{\sin 30^\circ}$
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$\frac{\sqrt{2} \times (\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2})}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}+1.$
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(2) 当$C=135^\circ$时,$A=15^\circ$.
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此时
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$a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{\sqrt{2} \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{2} \sin (45^\circ-30^\circ)}{\sin 30^\circ}$
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$= \frac{\sqrt{2} (\sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ)}{\sin 30^\circ}$
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$= \frac{\sqrt{2} \times (\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2})}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}-1.$
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由三角函数的性质可知,在区间$(0, \pi)$内,余弦函数单调递减,所以利用余弦定理求角,只有一解;正弦函数在区间$(0, \frac{\pi}{2})$内单调递增,在区间$(\frac{\pi}{2}, \pi)$内单调递减,所以利用正弦定理求角,可能有两解.
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**练习**
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1. 完成下列解三角形问题(角度精确到$1^\circ$,边长精确到$1$ cm):
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(1)在$\triangle ABC$中,已知$A=60^\circ$, $B=45^\circ$, $c=20$ cm;
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(2)在$\triangle ABC$中,已知$a=20$ cm, $b=11$ cm, $B=30^\circ$.
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2. (1)在$\triangle ABC$中,已知$a=2, c=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, $A=120^\circ$,求$b$和$C$;
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(2)在$\triangle ABC$中,已知$b=2$, $A=45^\circ$, $C=75^\circ$,求$c$.
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3. 在$\triangle ABC$中,已知 $\cos A=\frac{4}{5}$, $B=\frac{\pi}{3}$, $b=\sqrt{3}$, 求$a, c$.
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**3. 余弦定理、正弦定理应用举例**
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在实践中,我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题.解决这类问题,通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
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具体测量时,我们常常遇到“不能到达”的困难,这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是,题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他的条
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[图片描述:一张绿色的精密光学测量仪器，带有望远镜和刻度盘，底部有用于安装的底座，通常用于测量角度和距离。|标题:经纬仪|图片1]
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件，事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情境与条件限制下的恰当方案。
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**例9** 如图6.4-12, A, B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A, B两点间距离的方法,并求出A, B间的距离。
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**分析**: 若测量者在A, B 两点的对岸取定一点C(称作测量基点),则在点C处只能测出$\angle ACB$的大小,因而无法解决问题,为此,可以再取一点D,测出线段CD的长,以及$\angle ACD$, $\angle CDB$, $\angle BDA$,这样就可借助正弦定理和余弦定理算出距离了。
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[图片描述: 一条河流将陆地分隔，河流远岸标示了A、B两点，两点之间有一条虚线连接，表示需要测量的距离。|标题: 测量河对岸两点A、B的距离示意图|图片1]
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**解**: 如图6.4-13, 在A, B两点的对岸选定两点C, D, 测得 $CD = a$, 并且在 C, D 两点分别测得$\angle BCA = \alpha$, $\angle ACD=\beta$, $\angle CDB=\gamma$, $\angle BDA=\delta$.
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在$\triangle ADC$ 和$\triangle BDC$中,由正弦定理,得
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$AC = \frac{a \sin(\gamma+\delta)}{\sin[180^\circ-(\beta+\gamma+\delta)]} = \frac{a \sin(\gamma+\delta)}{\sin(\beta+\gamma+\delta)}$
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$BC = \frac{a \sin \gamma}{\sin[180^\circ-(\alpha+\beta+\gamma)]} = \frac{a \sin \gamma}{\sin(\alpha+\beta+\gamma)}$
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于是,在$\triangle ABC$中,由余弦定理可得A, B 两点间的距离
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$AB = \sqrt{AC^2+BC^2-2AC \times BC \cos \alpha}$
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$AB = \sqrt{\frac{a^2 \sin^2 (\gamma+\delta)}{\sin^2 (\beta+\gamma+\delta)} + \frac{a^2 \sin^2 \gamma}{\sin^2 (\alpha+\beta+\gamma)} - \frac{2a^2 \sin(\gamma+\delta)\sin \gamma \cos \alpha}{\sin(\beta+\gamma+\delta)\sin(\alpha+\beta+\gamma)}}$
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[图片描述: 一条河流将陆地分隔。在河的远岸有A、B两点，在近岸有C、D两点，CD作为基线。图示了连接A、B、C、D的辅助线，以及$\angle BCA = \alpha$, $\angle ACD = \beta$, $\angle CDB = \gamma$, $\angle BDA = \delta$ 等角度。这是一个通过基线和角度测量来计算对岸距离的几何图示。|标题: 利用基线和角度测量A、B两点距离的几何模型|图片2]
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**? 思考**
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在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点间距离的方法吗?
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在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线,如例9中的CD. 为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度,一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
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下面看一个测量高度的问题.
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**例10** 如图6.4-14,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度.
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[图片描述: 一座高大建筑物的侧视图，其顶部为A点，底部为B点（不可到达）。地面上有两观测点C和D。从C点和D点分别观测A点，形成仰角。图中水平线DH和CG表示观测者的视线高度，与建筑物垂直线AB平行。仰角$\angle ACE = \alpha$ 和 $\angle ADE = \beta$ 被标注。G和H是观测点C和D在地面上的投影点。|标题: 测量建筑物高度AB的示意图|图片3]
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**分析**: 由锐角三角函数知识可知，只要获得一点$C$ ($C$点到地面的距离可求) 到建筑物的顶部$A$的距离$CA$，并测出由点$C$观察$A$的仰角，就可以计算出建筑物的高度。为此，应再选取一点$D$，构造另一个含有$CA$的$\triangle ACD$，并进行相关的长度和角度的测量，然后通过解三角形的方法计算出$CA$。
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**解**: 如图6.4-14，选择一条水平基线$HG$，使$H,G,B$三点在同一条直线上。在$G,H$两点用测角仪器测得$A$的仰角分别是$\alpha,\beta,CD=a$，测角仪器的高是$h$。那么，在$\triangle ACD$中，由正弦定理，得
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$AC = \frac{a \sin \beta}{\sin(\alpha - \beta)}$
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> ?
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> 在实际操作时，使$H,G,B$三点共线不是一件容易的事情。你有什么替代方案吗？
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所以，这座建筑物的高度为
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$AB=AE+h$
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$=AC \sin \alpha+h$
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$=\frac{a \sin \alpha \sin \beta}{\sin(\alpha-\beta)}+h$
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下面再来看一个测量角度的问题。
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**例11** 位于某海域$A$处的甲船获悉，在其正东方向相距$20 \text{ n mile}$的$B$处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西$30^\circ$，且与甲船相距$7 \text{ n mile}$的$C$处的乙船。那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线 (由观测点看目标的视线) 的方向是北偏东多少度 (精确到$1^\circ$)? 需要航行的距离是多少海里 (精确到$1\text{ n mile}$)?
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**分析**: 首先应根据“正东方向”“南偏西$30^\circ$”“目标方向线”等信息，画出示意图。
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**解**: 根据题意，画出示意图 (图6.4-15)。由余弦定理，得
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[图片描述:一个三角形，顶点为A、B、C。A点上方有表示“北”的方向箭头。B点在A点正东方向，AB距离为20 n mile。C点在A点南偏西30度方向，AC距离为7 n mile。从A点向西偏南30度方向有一条虚线，从A点向南有一条虚线，在A点，北方向线和AC线之间标有30度角。C点连接B点，形成三角形ABC。|标题:图6.4-15|图片1]
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$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos 120^\circ$
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$= 20^2 + 7^2 - 2 \times 20 \times 7 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 589$.
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> 由于题目中没有给出图形，因此正确理解题意、画出示意图，是解决问题的重要环节。
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于是
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$BC \approx 24\text{ (n mile)}$.
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由正弦定理,得
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$$
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\frac{\sin C}{20} = \frac{\sin 120^\circ}{24}
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$$
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于是
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$$
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\sin C = \frac{20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{24} = \frac{5\sqrt{3}}{12}
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$$
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由于 $0^\circ < C < 90^\circ$,
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所以 $C \approx 46^\circ$.
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因此,乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东 $46^\circ + 30^\circ = 76^\circ$，大约需要航行 $24 \text{ n mile}$.
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## 练习
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1. 如图,一艘船向正北航行,航行速度的大小为$32.2 \text{ n mile/h}$,在$A$处看灯塔$S$在船的北偏东$20^\circ$的方向上. $30 \text{ min}$后,船航行到$B$处,在$B$处看灯塔在船的北偏东$65^\circ$的方向上. 已知距离此灯塔$6.5 \text{ n mile}$以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
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[图片描述:一幅几何图示，描绘了一艘船的导航场景。船从A点向正北方向航行至B点。图中的向上箭头指示北方向。从A点观察，灯塔S位于船的北偏东20°方向。从B点观察，灯塔S位于船的北偏东65°方向。图中标注了这些角度，并用虚线连接了船的位置与灯塔。|标题:(第1题)|图片编号:1]
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2. 如图,在山脚$A$测得山顶$P$的仰角为$\alpha$,沿倾斜角为$\beta$的斜坡向上走$a \text{ m}$到达$B$处,在$B$处测得山顶$P$的仰角为$\gamma$. 求证: 山高$h = \frac{a \sin \alpha \sin(\gamma - \beta)}{\sin(\gamma - \alpha)}$.
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[图片描述:一幅几何图示，展示了测量山高的几何关系。山顶为P，山脚为A。一个人从A点沿倾斜角为$\beta$的斜坡向上走$a$米到达B点。从A点测量P点的仰角为$\alpha$，从B点测量P点的仰角为$\gamma$。图中用虚线和直角符号辅助表示了高度和水平距离，以及点Q作为P点在水平面上的投影。|标题:(第2题)|图片编号:2]
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3. 如图,一艘海轮从$A$出发,沿北偏东$75^\circ$的方向航行$67.5 \text{ n mile}$后到达海岛$B$,然后从$B$出发,沿北偏东$32^\circ$的方向航行$54 \text{ n mile}$后到达海岛$C$. 如果下次航行直接从$A$出发到达$C$,那么这艘船应该沿怎样的方向航行,需要航行的距离是多少? (角度精确到$0.1^\circ$,距离精确到$0.01 \text{ n mile}$)
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[图片描述:一幅几何图示，描绘了海轮从A点到C点的两次航行路径。从A点出发，船沿北偏东75°方向航行67.5海里到达B点。随后，从B点出发，船沿北偏东32°方向航行54海里到达C点。图中标注了北方向的箭头，以及两次航行中的方向角和距离，形成一个A-B-C的折线路径。|标题:(第3题)|图片编号:3]
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### 习题 6.4
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## 复习巩固
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1. 若非零向量$\vec{AB}$与$\vec{AC}$满足($\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$ + $\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$) $\cdot$ $\vec{BC}$ = 0, 且$\frac{\vec{AB}}{|\vec{AB}|}$ $\cdot$ $\frac{\vec{AC}}{|\vec{AC}|}$ = $\frac{1}{2}$, 则$\triangle ABC$为( ).
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(A) 三边均不相等的三角形
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(B) 直角三角形
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(C) 底边和腰不相等的等腰三角形
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(D) 等边三角形
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2. 已知$O, N, P$在$\triangle ABC$所在平面内,满足$|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|$, $\vec{NA}+\vec{NB}+\vec{NC}=\vec{0}$, 且$\vec{PA} \cdot \vec{PB}=\vec{PB} \cdot \vec{PC}=\vec{PC} \cdot \vec{PA}$, 则点$O, N, P$依次是$\triangle ABC$的( ).
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(A) 重心, 外心, 垂心
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(B) 重心, 外心, 内心
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(C) 外心, 重心, 垂心
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(D) 外心, 重心, 内心
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> 垂心是三角形三条高所在直线的交点。
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3. 用向量法证明:直径所对的圆周角是直角.
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4. 两个粒子$A, B$从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为$\vec{s_A}=(4,3)$, $\vec{s_B}=(2, 10)$.
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(1) 写出此时粒子$B$相对粒子$A$的位移$\vec{s}$;
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(2) 计算$\vec{s}$在$\vec{s_A}$上的投影向量.
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5. 一个人在静水中游泳时,速度的大小为$2\sqrt{3}$ km/h.当他在水流速度的大小为2 km/h的河中游泳时,
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(1) 如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的大小为多少?
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(2) 他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的大小为多少?
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6. 在$\triangle ABC$中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1 cm):
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(1) $a=49$ cm, $b=26$ cm, $C=107^\circ$;
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(2) $a=9$ cm, $b=10$ cm, $c=15$ cm.
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7. 在$\triangle ABC$中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1 cm):
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(1) $A=70^\circ$, $C=30^\circ$, $c=20$ cm;
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(2) $b=26$ cm, $c=15$ cm, $C=23^\circ$.
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8. 如图,测量河对岸的塔高$AB$时,可以选取与塔底$B$在同一水平面内的两个测量基点$C$与$D$.现测得$\angle BCD=\alpha$, $\angle BDC=\beta$, $CD=s$,在点$C$测得塔顶$A$的仰角为$\theta$,求塔高$AB$.
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[图片描述:一个描绘了测量河对岸塔高AB的场景。塔位于河岸B点，塔顶为A点。河岸的另一侧有测量基点C和D。C、D和B在同一水平面上。图中显示了角$\angle BCD = \alpha$，$\angle BDC = \beta$。从点C测得塔顶A的仰角为$\theta$。河流从画面左侧流向右侧，分隔了塔所在的一岸和测量基点所在的一岸。图示为第8题的辅助图。|标题:第8题|图片编号:图1]
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9. 在气象台$A$的正西方向300km处有一台风中心,它正向东北方向移动,移动速度的大小为40 km/h,距台风中心 250 km以内的地区都将受到影响,若台风中心的这种移动趋势不变,气象台所在地是否会受到台风的影响?如果会,大约多长时间后受到影响?持续时间有多长(精确到1 min)?
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10. 你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?
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## 综合运用
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11. 已知对任意平面向量$\vec{AB}=(x,y)$，把$\vec{AB}$绕其起点沿逆时针方向旋转$\theta$角得到向量$\vec{AP} = (x\cos\theta -y\sin\theta, x\sin\theta+y\cos\theta)$，叫做把点$B$绕点$A$沿逆时针方向旋转$\theta$角得到点$P$. 已知平面内点$A(1,2)$，点$B(1+\sqrt{2},2-2\sqrt{2})$，把点$B$绕点$A$沿顺时针方向旋转$\frac{\pi}{4}$后得到点$P$，求点$P$的坐标.
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12. 如图，在$\triangle ABC$中，已知$AB=2, AC=5, \angle BAC=60^{\circ}$，$BC$，$AC$ 边上的两条中线$AM,BN$相交于点$P$，求$\angle MPN$的余弦值.
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[图片描述:一个三角形ABC，顶点A在左下，B在上，C在右下。边BC上有一点M，边AC上有一点N。线段AM和线段BN是三角形的中线，它们在P点相交。|标题:第12题示意图|图片编号:1]
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13. 一条河的两岸平行，河的宽度$d=500m$，一艘船从河岸边的$A$处出发到河对岸。已知船在静水中的速度$v_1$的大小为$|v_1|=10 \text{ km/h}$，水流速度$v_2$的大小为$|v_2|=2 \text{ km/h}$. 如果要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小，此时我们分三种情况讨论：
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(1) 当船逆流行驶，与水流成钝角时；
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(2) 当船顺流行驶，与水流成锐角时；
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(3) 当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时。
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请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间，判断是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时所用时间最短。
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14. 一条东西方向的河流两岸平行，河宽$250m$，水流的速度为向东$2\sqrt{3} \text{ km/h}$. 一艘小货船准备从河的南岸码头$A$处出发，航行到位于河对岸$B$（$AB$与河的方向垂直）的正西方向并且与$B$相距$250\sqrt{3}m$的码头$C$处卸货。若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为$6 \text{ km/h}$，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行速度的大小。
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15. $\triangle ABC$ 的三边分别为$a,b,c$，边$BC, CA, AB$ 上的中线分别记为$m_a,m_b,m_c$，利用余弦定理证明
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$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}$$
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$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}$$
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$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$$
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16. 在$\triangle ABC$中，求证:$c(a\cos B-b\cos A)=a^2-b^2$.
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17. 证明: 设三角形的外接圆的半径是$R$，则$a=2R\sin A, b=2R\sin B, c=2R\sin C$.
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18. 利用第10题的结论，证明三角形的面积公式
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$$S=\frac{1}{2}a^2\frac{\sin B\sin C}{\sin A}$$
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拓广探索
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19. 如图，在 $\square ABCD$ 中，点 $E,F$ 分别是 $AD, DC$ 边的中点，$BE,BF$ 分别与 $AC$ 交于 $R,T$ 两点，你能发现 $AR,RT,TC$ 之间的关系吗？用向量方法证明你的结论。
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[图片描述: 描绘了一个平行四边形 $ABCD$。点 $E$ 位于边 $AD$ 上，点 $F$ 位于边 $DC$ 上。线段 $BE$ 与对角线 $AC$ 相交于点 $R$，线段 $BF$ 与对角线 $AC$ 相交于点 $T$。对角线 $AC$ 标示为浅蓝色，线段 $BE$ 和 $BF$ 标示为品红色。|标题: 第19题|图片编号: 图1]
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20. 已知 $\triangle ABC$ 的三个角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a, b, c$，设 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$，求证：
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(1) 三角形的面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$;
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(2) 若 $r$ 为三角形的内切圆半径，则 $r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$;
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(3) 把边 $BC, AC, AB$ 上的高分别记为 $h_a, h_b, h_c$，则
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$h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
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$h_b=\frac{2}{b}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$,
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$h_c=\frac{2}{c}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
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21. 如图，为了测量两山顶 $M,N$ 间的距离，飞机沿水平方向在 $A,B$ 两点进行测量，$A, B, M,N$ 在同一个铅垂平面内，请设计一个测量方案，包括:
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(1) 指出要测量的数据(用字母表示，并标示在图中);
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(2) 用文字和公式写出计算 $M,N$ 间的距离的步骤。
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[图片描述: 显示了测量两山顶 $M$ 和 $N$ 之间距离的场景。一条水平线段 $AB$ 代表一个测量基线，上方有一架小飞机。点 $M$ 是左侧山峰的顶点，点 $N$ 是右侧山峰的顶点。$A, B, M, N$ 位于同一铅垂平面内。|标题: 第21题|图片编号: 图2]
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22. 已知 $a,b,c$ 分别为 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 的对边，且 $a\cos C+\sqrt{3}a\sin C-b-c=0$.
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(1) 求 $A$;
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(2) 若 $a=2$，且 $\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt{3}$，求 $b,c$.
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23. 根据实际需要，利用本节所学的知识完成一次有关测量的实习作业，并写出实习报告(包括测量问题、测量工具、测得数据和计算过程及结论).
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## 阅读与思考
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### 海伦和秦九韶
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古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展。三角术是人们为了建立定量的天文学，以便用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。
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在解三角形的问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边 $a, b, c$ 直接求出三角形的面积。据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了公式
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$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
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这里 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$。
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但现在人们常常以古希腊的数学家海伦（Heron, 约1世纪）的名字命名这个公式，因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，公式的证明在海伦的著作《测量仪器》和《度量术》中可以找到。海伦公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美，大家很容易记住它。
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海伦是古希腊的数学家，他还是一位优秀的测绘工程师。他的代表作是《度量术》，此书讨论平面图形的面积、立体图形的体积，以及把图形分成几部分，使所分成的各部分的面积或体积的比等于给定的比。《测量仪器》是他的另一本代表作，其中描述的一种仪器，功能相当于现代的经纬仪，在此书中他还讨论了许多测量问题，如怎样挖隧道，从山的两侧开始，找准方向，使隧道准确会合；确定两点间高度的差；测量可望不可即的两点之间的距离；还有各种高度和距离的测量问题。
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我国南宋著名数学家秦九韶（约1202—约1261）也发现了与海伦公式等价的从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”。在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步，欲知为田几何。”这道题实际上就是已知三角形的三边长，求三角形的面积。《数书九章》中的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式，就是
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$$S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[c^2 a^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2}\right)^2\right]}$$
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秦九韶独立推出了“三斜求积”公式。它虽然与海伦公式形式上不一样，但两者完全等价，从中可以充分说明我国古代学者已具有很高的数学水平。
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秦九韶是我国古代数学家的杰出代表之一，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，尤其是系统总结和发展了高次方程的数值解法与一次同余问题的解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，对数学发展产生了广泛的影响。秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家，他被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
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# 小结
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## 一、本章知识结构
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graph TD
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A[实际背景] --> B[向量的概念]
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B --> C[向量的运算及其几何意义]
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C --> D[向量的加、减运算及其几何意义]
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C --> E[向量的数乘运算及其几何意义]
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C --> F[向量的数量积及其几何意义]
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D --> G[平面向量基本定理及坐标表示]
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E --> G
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F --> G
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G --> H[平面向量的应用]
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## 二、回顾与思考
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向量是刻画现实世界中“既有大小又有方向的量”的数学工具。本章我们类比数及其运算，学习了向量及其运算，以及向量运算的几何意义，并用向量方法解决了一些几何问题、物理问题，特别是用向量方法研究了任意三角形的边角关系，得到了正弦定理、余弦定理。其研究的内容、过程是：向量现实背景、几何背景——向量的概念——向量的运算和运算律—相关知识的联系—实际应用。
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我们通过分析位移、力、速度等了解了向量的实际背景，引入了向量概念。其中，位移是向量的最佳现实模型。定义向量概念时，我们首先明确了向量的内涵（大小、方向），并用有向线段表示向量，然后认识了单位向量、零向量等“特殊”向量，明确了两个向量的平行、相等、共线等“特殊关系”，这里，明确数学对象的内涵及表示是定义一个数学对象的基本要求。
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向量的运算，是“带方向的量的运算”。这里，如何对方向进行运算是核心问题。“位移的合成”很好地解释了“两个方向之和”，以此为背景我们定义了向量加法的三角形法则；而以“力的合成”为背景定义了向量加法的平行四边形法则。“定义了一种运算就要研究运算律”，向量加法满足交换律、结合律，而交换律就是“平行四边形的两组对边分别平行且相等”的向量表达式。
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类比数$a$的整数倍$na$是$n$个$a$相加的总和，可以把$n$个向量$a$相加的总和写为$na$。一般地，实数$\lambda$与向量$a$的乘积$\lambda a$是一个向量，它所满足的运算律$(1) \lambda a+\mu a=(\lambda+\mu)a$，$(2) \lambda(\mu a)=(\lambda\mu)a$，$(3) \lambda(a+b)=\lambda a+\lambda b$与实数乘法的运算律有所差异。这里有两个特别有用的结论：一是$k(a+b)=ka+kb$是“相似三角形对应边的比等于相似比”的代数化形式；二是$\lambda a$与$a$共线，由此，两个非零向量$a,b$共线（平行）的充要条件是$a=\lambda b$。其实，联系数轴概念，如果设$e$是与数轴$Ox$的方向相同的单位向量，数轴上任意一点$P$的坐标为$x$，那么$\vec{OP}=xe$；反之也对。
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以物理中力做功为背景，我们定义了两个向量的数量积，并研究了它的运算律，其中分配律是非常重要的。向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，不是向量。向量数量积与距离、夹角等紧密相联，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题。
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为了彻底实现几何的代数化，需要进一步研究平面上点的向量表示问题。对于平面$\alpha$上任意一点$P$，可以利用向量的加法和数乘向量，把平面$\alpha$上的向量$\vec{OP}$表示为$k_1 a+k_2 b$（其中向量$a,b$不共线），从而使它成为可运算的对象。在解决几何问题时，这种表示发挥了基础性作用，因此我们把它叫做平面向量基本定理。特别地，我们以$\{i,j\}$为基底，建立了平面直角坐标系$Oxy$中的向量$\vec{OA}$与点$A$的坐标间的一一对应。
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通过本章的学习我们发现，与集合是一种特殊的运算对象类似，向量也是一种不同于实数的运算对象，而向量运算与实数运算既有差别又有共性。在定义向量的运算法则，探索其相应的运算律时，我们总是类比数及其运算来发现和提出问题。因此，本章的学习对于提高我们对数学运算的认识水平，理解数学运算和逻辑推理的关系等，都有很大的帮助。
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用向量方法解决平面几何问题，其特色是仅用向量加法法则（称为“向量回路”）、向量数乘的意义及其运算律、向量数量积的意义和运算律（特别是相互垂直的向量数量积为0），以及平面向量基本定理等4条基本法则、定理，与平面几何有大量基本事实、定理比较，向量法在解决某些几何问题时简捷得多，例如，利用“三角形回路”$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$和数量积，我们非常快捷地得到了余弦定理。
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平面向量及其运算与空间向量及其运算紧密联系，与数及其运算也直接相关，在其他学科（特别是物理）中也有广泛应用。这种联系我们可以用下面的框图表示。
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[图片描述:该流程图展示了向量及其运算在不同维度和相关概念之间的关系。中心节点是“平面上的向量及其运算”，它通过向上指向的“推广”关系与“空间中的向量及其运算”相连，表明空间向量是平面向量概念的推广或更一般的形式。同时，通过向下指向的“特殊化”关系与“直线上的向量及其运算”相连，表明直线向量是平面向量的特殊情况。在类比关系方面，“平面上的向量及其运算”分别通过“类比”关系与“复数及其运算”、“力”和“有向线段”相连，提示这些概念在某些性质上具有相似性。“直线上的向量及其运算”也通过“类比”关系与“实数及其运算”相连。其中，“空间中的向量及其运算”、“复数及其运算”和“实数及其运算”的边框为虚线，可能表示它们是作为参照或更广义的概念。|标题:向量概念及运算关系图|图1]
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```mermaid
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graph TD
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A["空间中的向量及其运算"]
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B["平面上的向量及其运算"]
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C["直线上的向量及其运算"]
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D["复数及其运算"]
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E["实数及其运算"]
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F["力"]
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G["有向线段"]
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A -- 推广 --> B
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B -- 特殊化 --> C
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D -- 类比 --> B
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E -- 类比 --> C
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B -- 类比 --> F
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B -- 类比 --> G
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style A stroke-dasharray: 5 5
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style D stroke-dasharray: 5 5
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style E stroke-dasharray: 5 5
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```
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请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧!
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1. 向量的概念是什么? 用有向线段如何表示一个向量?
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2. 你能说说向量的加法、减法、向量的数乘运算、向量的数量积是如何定义的吗?
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3. 运算律是运算的灵魂，你能通过实例，说明向量的加法、向量的数乘运算、向量的数量积有哪些运算律吗? 这些运算律的几何意义是什么? 这些运算律与数的运算律的联系与区别是什么?
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4. 平面向量基本定理是什么? 这个定理的意义是什么? 你能说说什么是向量的坐标表示吗?
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5. 你能用向量的坐标表示描述向量共线的条件吗? 你能用向量的坐标表示描述向量的长度及两个向量的夹角吗?
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6. 用向量方法解决平面几何问题要经过哪些步骤? 要注意哪些问题? 你能通过实例说明如何选择基底吗?
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7. 你能通过实例，说明向量在物理中的应用吗?
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8. 回顾用向量方法推导正弦定理、余弦定理的过程，你能总结一下其中的思想方法吗?
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## 复习参考题 6
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### 复习巩固
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1. 判断下列命题是否正确(正确的在括号内打“√”，错误的打“×”).
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(1) $ \vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0} $. ( )
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(2) $ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} $. ( )
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(3) $ \vec{AB} - \vec{AC} = \vec{BC} $. ( )
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(4) $ 0 \vec{AB} = \vec{0} $. ( )
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## 2. 选择题
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(1) 如果 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 是两个单位向量, 那么下列四个结论中正确的是 ( ).
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(A) $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$
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(B) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=1$
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(C) $\boldsymbol{a}^2 \neq \boldsymbol{b}^2$
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(D) $|\boldsymbol{a}|^2 = |\boldsymbol{b}|^2$
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(2) 对于任意两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$, 下列命题中正确的是 ( ).
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(A) 若 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|>|\boldsymbol{b}|$, 且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向, 则 $\boldsymbol{a}>\boldsymbol{b}$
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(B) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \le |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$
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(C) $|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \ge |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|$
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(D) $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}| \le ||\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}||$
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(3) 在四边形 $ABCD$ 中, 若 $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$, 则 ( ).
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(A) 四边形 $ABCD$ 是矩形
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(B) 四边形 $ABCD$ 是菱形
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(C) 四边形 $ABCD$ 是正方形
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(D) 四边形 $ABCD$ 是平行四边形
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(4) 设 $\boldsymbol{a}$ 是非零向量, $\lambda$ 是非零实数, 下列结论中正确的是 ( ).
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(A) $\boldsymbol{a}$ 与 $-\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相反
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(B) $|-\lambda \boldsymbol{a}| \ge |\boldsymbol{a}|$
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(C) $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda^2 \boldsymbol{a}$ 的方向相同
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(D) $|-\lambda \boldsymbol{a}| = |\lambda| \boldsymbol{a}$
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(5) 设 $M$ 是 $\square ABCD$ 的对角线的交点, $O$ 为任意一点, 则 $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = (\quad)$.
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(A) $\vec{OM}$
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(B) $2\vec{OM}$
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(C) $3\vec{OM}$
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(D) $4\vec{OM}$
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(6) 在下列各组向量中, 可以作为基底的是 ( ).
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(A) $\boldsymbol{e}_1=(0, 0)$, $\boldsymbol{e}_2=(1, -2)$
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(B) $\boldsymbol{e}_1=(-1, 2)$, $\boldsymbol{e}_2=(5, 7)$
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(C) $\boldsymbol{e}_1=(3, 5)$, $\boldsymbol{e}_2=(6, 10)$
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(D) $\boldsymbol{e}_1=(2, -3)$, $\boldsymbol{e}_2=(\frac{1}{2}, -\frac{3}{4})$
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3. 已知六边形 $ABCDEF$ 为正六边形, 且 $\vec{AC}=\boldsymbol{a}$, $\vec{BD}=\boldsymbol{b}$, 分别用 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$ 表示 $\vec{DE}$, $\vec{AD}$, $\vec{BC}$, $\vec{EF}$, $\vec{FA}$, $\vec{AB}$, $\vec{CE}$.
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4. 已知平面直角坐标系中, 点 $O$ 为原点, $A(-3, -4)$, $B(5, -12)$.
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(1) 求 $\vec{AB}$ 的坐标及 $|\vec{AB}|$ 的值;
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(2) 若 $\vec{OC}=\vec{OA}+\vec{OB}$, $\vec{OD}=\vec{OA}-\vec{OB}$, 求 $\vec{OC}$ 与 $\vec{OD}$ 的坐标;
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(3) 求 $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$ 的值.
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5. 已知点 $A(1,1)$, $B(-1, 0)$, $C(0, 1)$. 若 $\vec{AB}=\vec{CD}$, 则点 $D$ 的坐标是什么?
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6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, 0)$, $\boldsymbol{b}=(1, 1)$, $\boldsymbol{c}=(-1,0)$, 求满足 $\boldsymbol{c}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$ 的 $\lambda$ 和 $\mu$ 的值.
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7. 已知 $\triangle ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(1,1)$, $B(4, 1)$, $C(4,5)$, 求 $\cos A$, $\cos B$, $\cos C$ 的值.
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8. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, 0)$, $\boldsymbol{b}=(1,1)$. 当 $\lambda$ 为何值时, $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 垂直?
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9. 已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $30^\circ$, $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3}$, $|\boldsymbol{b}|=2$, 求 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$, $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的值.
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10. 如图, 支座 $A$ 受 $F_1$, $F_2$ 两个力的作用, 已知 $F_1$ 与水平线成 $\theta$ 角, $|F_1|=40\text{ N}$, $F_2$ 沿水平方向, $|F_2|=70\text{ N}$, $F_1$ 与 $F_2$ 的合力 $F$ 的大小为 $100\text{ N}$, 求 $\cos\theta$ 以及 $F$ 与 $F_2$ 的夹角 $\beta$ 的余弦值.
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[图片描述:该图展示了在点A处受力分析的平行四边形法则。力$F_1$从A点向上偏右，与水平线夹角为$\theta$。力$F_2$从A点水平向右。合力$F$是$F_1$和$F_2$形成的平行四边形的对角线，从A点出发。点B表示$F_1$的终点，点D表示$F_2$的终点，点C是平行四边形的第四个顶点，使得$\vec{AB} = F_1$，$\vec{AD} = F_2$，$\vec{AC} = F$。在图中，角$\beta$表示合力$F$与力$F_2$之间的夹角。虚线表示平行四边形的辅助边。|标题:第10题|图片编号:图1]
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11. 在$\triangle ABC$中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到$1'$,边长精确到$0.01\text{ cm}$):
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(1) $a=12 \text{ cm}$, $b=5 \text{ cm}$, $A=120^\circ$;
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(2) $a=6 \text{ cm}$, $b=8 \text{ cm}$, $A=30^\circ$;
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(3) $a=7 \text{ cm}$, $b=23 \text{ cm}$, $C=130^\circ$;
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(4) $a=2 \text{ cm}$, $b=3 \text{ cm}$, $c=4 \text{ cm}$.
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12. 海中有一座小岛,周围$3\text{ n mile}$内有暗礁.一艘海轮由西向东航行,望见该岛在北偏东$75^\circ$;海轮航行$8\text{ n mile}$以后,望见该岛在北偏东$55^\circ$.如果这艘海轮不改变航向继续前进,有没有触礁的危险?
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### 综合运用
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13. **选择题**
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(1) 已知$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$是不共线的向量,且$\vec{AB}=\boldsymbol{a}+5\boldsymbol{b}$, $\vec{BC}=-2\boldsymbol{a}+8\boldsymbol{b}$, $\vec{CD}=3(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$,则( )
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(A) A, B, D三点共线
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(B) A, B, C三点共线
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(C) B, C, D三点共线
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(D) A, C, D三点共线
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(2) 已知正方形 $ABCD$ 的边长为1,$\vec{AB}=\boldsymbol{a}$, $\vec{BC}=\boldsymbol{b}$, $\vec{AC}=\boldsymbol{c}$,则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=$ ( )
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(A) 0
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(B) 3
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(C) $\sqrt{2}$
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(D) $2\sqrt{2}$
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(3) 已知$\vec{OA}=\boldsymbol{a}$, $\vec{OB}=\boldsymbol{b}$, $\vec{OC}=\boldsymbol{c}$, $\vec{OD}=\boldsymbol{d}$,且四边形 $ABCD$ 为平行四边形,则( )
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(A) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}=0$
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(B) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}=0$
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(C) $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}-\boldsymbol{d}=0$
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(D) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}+\boldsymbol{d}=0$
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(4) 若$\boldsymbol{e}_1$, $\boldsymbol{e}_2$是夹角为$60^\circ$的两个单位向量,则$\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2$与$\boldsymbol{b}=-3\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2$的夹角为( )
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(A) $30^\circ$
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(B) $60^\circ$
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(C) $120^\circ$
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(D) $150^\circ$
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(5) 已知等边三角形 $ABC$ 的边长为1, $\vec{BC}=\boldsymbol{a}$, $\vec{CA}=\boldsymbol{b}$, $\vec{AB}=\boldsymbol{c}$,那么$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}=$ ( )
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(A) 3
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(B) -3
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(C) $\frac{3}{2}$
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(D) $-\frac{3}{2}$
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(6) 若向量$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$两两的夹角相等,且$|\boldsymbol{a}|=1$, $|\boldsymbol{b}|=1$, $|\boldsymbol{c}|=3$,则$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|=$ ( )
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(A) 2
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(B) 5
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(C) 2或5
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(D) $\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$
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14. 已知$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$, $\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{d}$为非零向量,证明下列结论,并解释其几何意义.
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(1) $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \Leftrightarrow |\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$;
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(2) 若$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{c}$, $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{d}$,则$|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}| \Leftrightarrow \boldsymbol{c} \perp \boldsymbol{d}$.
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15. 已知$\triangle P_1P_2P_3$,向量$\vec{OP_1}$, $\vec{OP_2}$, $\vec{OP_3}$满足条件$\vec{OP_1}+\vec{OP_2}+\vec{OP_3}=\boldsymbol{0}$, $|\vec{OP_1}|=|\vec{OP_2}|=|\vec{OP_3}|$. 求证: $\triangle P_1P_2P_3$是等边三角形.
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16. 如图,已知$\vec{OA}=\boldsymbol{a}$, $\vec{OB}=\boldsymbol{b}$,任意点 M关于点A的对称点为S,点S关于点B的对称点为N,用$\boldsymbol{a}$, $\boldsymbol{b}$表示向量$\vec{MN}$.(本题可以运用信息技术发现规律)
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[图片描述:图片展示了以O为原点的平面向量图。有指向A和B的向量$\boldsymbol{a}$和$\boldsymbol{b}$。M是一个任意点。S是M关于A的对称点，这意味着A是MS的中点。N是S关于B的对称点，这意味着B是SN的中点。图中标出了O, A, B, M, S, N这些点，并用线条连接，表示了向量关系。其中，从O指向A的向量是$\boldsymbol{a}$ (粉色), 从O指向B的向量是$\boldsymbol{b}$ (粉色)。连接M到A、A到S、S到B、B到N的线段以及M到N的线段。|标题:(第16题)|图1]
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17. 一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地, 然后由B地向南偏东30°方向骑行了6km到达C地, 再从C地向北偏东30°骑行了16km到达D地, 求这个人由A地到D地的位移(角度精确到1°).
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## 拓广探索
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18. 设计一种借助两个观察点$C, D$(其中$C, D$之间的距离是$d$)测量航船的航向与速度的方法.
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19. 如图, 直线$l$与$\triangle ABC$的边$AB, AC$分别相交于点$D, E$. 设$AB=c, BC=a, CA=b, \angle ADE=\theta$, 请用向量方法探究$\theta$与$\triangle ABC$的边和角之间的等量关系.
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[图片描述: 几何图形，一个三角形ABC，其顶点分别为A、B、C。一条直线l穿过三角形，与边AB交于点D，与边AC交于点E。在D点处，角ADE被标记为θ。|标题:(第19题)|图片编号:图1]
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# 用向量法研究三角形的性质
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我们知道，向量集数与形于一身，每一种向量运算都有相应的几何意义。例如，向量加法和三角形、平行四边形有密切联系，数乘向量和平行、图形的相似有密切联系，而向量的数量积与距离、夹角有密切联系。向量运算与几何图形性质的这种内在联系，使我们自然地想到：利用向量运算研究几何图形的性质，是否会更加方便、简捷呢？
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在前面的学习中我们看到，“有了运算，向量的力量无限”。实际上，通过向量运算证明某些几何图形的性质，比平面几何的“从图形的已知性质推出待证的性质”简便多了。例如，平面几何中证明勾股定理时，需要添加辅助线、构造正方形等，不仅复杂，而且不容易想到。但用向量法，我们有：
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如图1，在Rt$\triangle ABC$中，$\angle C=90^\circ$。根据向量的加法法则，有
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$\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}$
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所以 $AB^2 = AC^2 + CB^2 + 2 \vec{AC} \cdot \vec{CB}$。
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因为 $\vec{CB} \perp \vec{AC}$，
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所以 $\vec{AC} \cdot \vec{CB} = 0$。
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因此 $AB^2 = AC^2 + CB^2$。
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[图片描述:一个直角三角形ABC，其中直角在C点。边AC用紫色线段表示，边CB用蓝色线段表示，斜边AB用黑色线段表示。图中A点位于上方，C点位于左下方，B点位于右下方。C到A有向上的紫色箭头，C到B有向右的蓝色箭头，A到B有斜向右下的黑色箭头。|标题:图1|图片编号:1]
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这个证明仅仅用到了“三角形回路(向量加法)”和数量积运算，而且证明过程是程序化的，充分体现了向量运算的作用，确实简单多了。
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下面请同学们以向量为工具，展开一次数学探究之旅吧。
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## 一、探究的内容: 用向量法研究三角形的性质
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三角形是简单而重要的平面图形，它是平面几何研究的主角。初中我们对三角形进行了较深入的研究，获得了许多性质。在数学研究中，常常用新的工具、新的方法对已研究过的对象进行再研究，这不仅可以站在新的高度重新审视研究对象，加深对数学对象的认识，而且可以有所发现。因此，以向量为工具对三角形进行再研究是非常有意义的。
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1. 回顾初中研究三角形的过程，从研究的思路、内容、方法等角度进行梳理，并列出已经得到的结论。
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2. 用向量方法对已证的结论进行证明，总结用向量方法处理几何问题的基本程序，并与平面几何中的推理论证过程进行比较，阐述各自的特点。
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### 3. 用向量方法证明以往未加证明或你自己新发现的结论.
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例如,在八年级,我们曾经学过三角形的中线,知道“三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心”. 而物理学知识告诉我们,重心是物体各部分所受重力的合力的作用点,形状规则且密度均匀的物体的重心就是它的几何中心.“重心”是几何学和物理学的共同研究对象,应该是很重要的,但我们对它知之甚少,那么,它到底有哪些神秘的性质呢?
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其实,从严谨性的角度看,三角形的两条中线相交于一点是肯定的,但第三条中线是否经过这个交点是需要证明的.下面我们就用向量方法来探究它是否成立.
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如图2,在$\triangle ABC$ 中,$D,E,F$分别是$BC,CA,AB$的中点,设$BE,CF$ 交于一点$O$,连接$AO,OD$.
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[图片描述:一个三角形ABC。点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点。中线BE和CF相交于点O。中线AD也穿过点O。|标题:图2|图片编号:1]
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取$\vec{OB},\vec{OC}$为基底,并设$\vec{EO}=t_1 \vec{OB},\vec{FO}=t_2 \vec{OC}$,则
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$\vec{EC}=\vec{EO}+\vec{OC}=t_1 \vec{OB}+\vec{OC}$;
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$\vec{FB}=\vec{FO}+\vec{OB}=t_2 \vec{OC}+\vec{OB}$.
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所以
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$\vec{BC}=\vec{AC}-\vec{AB}=2\vec{EC}-2\vec{FB}$
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$=2(t_1 \vec{OB}+\vec{OC})-2(t_2 \vec{OC}+\vec{OB})$
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$=2(t_1-1)\vec{OB}-2(t_2-1)\vec{OC}$.
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又因为$\vec{BC}=\vec{OC}-\vec{OB}$,所以由平面向量基本定理,得
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$$
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\begin{cases}
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2(t_1-1)=-1, \\
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2(t_2-1)=-1.
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\end{cases}
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$$
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> 基底可以有不同的选择,你可以选择其他基底试一试.
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解得
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$t_1=\frac{1}{2},t_2=\frac{1}{2}.$
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所以
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$\vec{EO}=\frac{1}{2}\vec{OB},\vec{FO}=\frac{1}{2}\vec{OC}.$
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因此
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$\vec{AO}=\vec{FO}-\vec{FA}=\vec{FO}+\vec{FB}$
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$=\vec{FO}+\vec{FO}+\vec{OB}=\vec{OC}+\vec{OB}$,
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$\vec{OD}=\vec{BD}-\vec{BO}=\frac{1}{2}\vec{BC}+\vec{OB}$
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$=\frac{1}{2}(\vec{OC}-\vec{OB})+\vec{OB}=\frac{1}{2}(\vec{OC}+\vec{OB}).$
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于是
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$\vec{AO}=2\vec{OD}.$
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这样, $\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{OD}$ 共线, 即 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的 $BC$ 边上的中线, 且过 $BE, CF$ 的交点 $O$.
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所以,“三角形的三条中线交于一点”成立.
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另外, 你有没有发现, $\overrightarrow{EO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{FO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{DO} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$。这表明: **三角形的重心分每条中线为 $1:2$ 的两条线段**, 即三角形的重心是中线的三等分点, 这样, 我们在证明三角形的三条中线交于一点的过程中,“顺便”得到了三角形的一个重要性质. 是不是很有趣?
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如果把眼光聚焦在三角形的边、外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等, 你还可以发现更多的性质.
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## 二、对探究活动的要求
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以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动.
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建议按如下步骤完成:
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1. 小组集体讨论探究方案,确定研究思路;
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2. 小组成员各自开展独立探究,并以专题作业的形式撰写研究报告;
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3. 小组内进行交流讨论,完善研究成果,并形成一份小组研究报告;
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4. 全班进行成果交流、评价.
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## 三、研究报告的参考形式
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用向量法研究三角形的性质
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| 年级 | 班 | 完成时间: |
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| :--- | :--- | :-------- |
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| 1. 本课题组的成员姓名 | | |
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| 2. 发现的数学结论及发现过程概述 | | |
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| 3. 证明思路及其形成过程描述 | | |
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1. 结论的证明或否定
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2. 用向量方法探索几何图形性质的一般步骤
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3. 收获与体会
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