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JSON
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{
|
||
"教材信息": {
|
||
"教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
|
||
"章节": "第三章 函数的概念与性质"
|
||
},
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数概念的定义",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设 A, B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数",
|
||
"关键要素": ["两个非空数集 A, B", "确定的对应关系 f", "对于 A 中任一 x，B 中有唯一 y 与之对应"],
|
||
"符号表示": "y = f(x), x ∈ A"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "函数概念的发展从变量关系到集合对应关系，用精确的数学语言描述变量间依赖关系",
|
||
"核心特征": ["映射的唯一性", "确定性", "数集到数集的对应"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述客观世界中变量间依赖关系的数学工具",
|
||
"特殊说明": "A、B 为非空实数集，对应关系 f 必须确定"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["集合概念", "实数集"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["定义域", "值域", "对应关系"],
|
||
"常见混淆": "函数与变量的区别，对应关系与表达式的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "函数定义判断", "实际问题建模"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的定义域",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域",
|
||
"关键要素": ["自变量的取值范围", "使函数式有意义的 x 的集合"],
|
||
"符号表示": "x ∈ A，A 为定义域"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "定义域规定了函数存在的范围，是函数的基本要素",
|
||
"核心特征": ["非空集合", "实数子集", "使函数式有意义的取值范围"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "没有定义域就无法确定函数",
|
||
"特殊说明": "实际问题中定义域可能受到实际背景限制"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["集合概念", "不等式求解"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["自然定义域", "实际定义域"],
|
||
"常见混淆": "定义域与值域的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["求定义域", "定义域的集合表示"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的值域",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数值的集合 {f(x)|x ∈ A} 叫做函数的值域",
|
||
"关键要素": ["所有函数值的集合", "对应关系的输出值范围"],
|
||
"符号表示": "值域 = {f(x)|x ∈ A}"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "值域描述了函数可能取到的所有值",
|
||
"核心特征": ["定义域的对应结果", "集合 B 的子集"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "了解函数的取值范围",
|
||
"特殊说明": "值域是集合 B 的子集，可能不等于 B"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["定义域", "对应关系"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["值域求法", "值域与最值关系"],
|
||
"常见混淆": "值域与定义域的区别，值域与集合 B 的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["求值域", "值域的集合表示", "值域应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的对应关系",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "按照某种确定的规则，将定义域中的每个元素对应到值域中的唯一元素",
|
||
"关键要素": ["确定性的规则", "映射的唯一性", "对应法则"],
|
||
"符号表示": "f 表示对应关系，y = f(x)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "对应关系是函数的核心，描述了变量间如何关联",
|
||
"核心特征": ["确定性", "唯一性", "法则性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "没有对应关系就没有函数",
|
||
"特殊说明": "对应关系可以用不同方式表示"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["映射概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["解析式表示", "图象表示", "表格表示"],
|
||
"常见混淆": "对应关系与函数表达式的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["对应关系的识别", "函数值的计算"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-05",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数相等的概念",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数",
|
||
"关键要素": ["定义域相同", "对应关系相同", "相同自变量对应相同函数值"],
|
||
"符号表示": "f₁(x) = f₂(x) 当且仅当 D₁ = D₂ 且 f₁(x) = f₂(x)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "函数由定义域和对应关系唯一确定",
|
||
"核心特征": ["定义域相同性", "对应关系一致性", "函数值相等性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断两个函数是否相同",
|
||
"特殊说明": "函数表达式的形式不同可能表示相同的函数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数定义", "定义域", "对应关系"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["函数的等价变形", "函数表达式的简化"],
|
||
"常见混淆": "对应关系相同但定义域不同，定义域相同但对应关系不同",
|
||
"教材位置": "3.1.1节例3"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["函数相等判断", "函数等价性分析"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的解析法表示",
|
||
"类型": "方法",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用解析式表示两个变量之间的对应关系的方法",
|
||
"关键要素": ["数学表达式", "自变量与因变量关系", "运算关系"],
|
||
"符号表示": "y = f(x) = 具体的数学表达式"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "解析法精确描述了数量关系，便于计算和分析",
|
||
"核心特征": ["精确性", "可计算性", "便于分析"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要精确描述函数关系时使用",
|
||
"特殊说明": "解析法可能无法表示所有函数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数概念", "代数运算"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["多项式函数", "有理函数", "根式函数"],
|
||
"常见混淆": "解析法与其他表示法的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.2节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["解析式书写", "实际问题建模", "函数值的计算"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的列表法表示",
|
||
"类型": "方法",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法",
|
||
"关键要素": ["表格形式", "离散数据点", "对应关系"],
|
||
"符号表示": "表格形式的数据对应"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "列表法直观展示离散数据，便于观察具体数值关系",
|
||
"核心特征": ["直观性", "离散性", "数值精确性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "处理离散数据或实验数据时使用",
|
||
"特殊说明": "列表法无法表示连续函数的所有信息"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数概念", "数据处理"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["数据表格", "统计图表", "实验数据"],
|
||
"常见混淆": "列表法与图象法的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.2节，问题4"
|
||
},
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["表格数据读取", "函数值查找", "数据关系分析"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的图象法表示",
|
||
"类型": "方法",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用图象表示两个变量之间的对应关系的方法",
|
||
"关键要素": ["坐标系中的图形", "点集表示", "几何直观"],
|
||
"符号表示": "函数图象 = {(x, y)|y = f(x), x ∈ 定义域}"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "图象法提供函数的几何直观，便于观察函数性质",
|
||
"核心特征": ["几何直观性", "连续性表示", "性质可视化"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要直观理解函数性质时使用",
|
||
"特殊说明": "图象法可能不够精确"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["坐标系", "函数概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["函数图象绘制", "图象性质分析", "几何意义"],
|
||
"常见混淆": "图象法与解析法的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.2节，问题3"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图象识别", "性质观察", "图象绘制"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-04",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "分段函数",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在定义域的不同子区间上具有不同解析式的函数",
|
||
"关键要素": ["分段定义", "不同区间不同表达式", "整体函数"],
|
||
"符号表示": "f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁; f₂(x), x ∈ D₂; ...}"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "分段函数描述了在不同条件下有不同的变化规律的现象",
|
||
"核心特征": ["区间分段", "表达式多样", "连续性可能"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述具有不同变化规律的函数时使用",
|
||
"特殊说明": "分段点处函数值需要特别关注"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数表示法", "区间概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["分段点", "连续性", "实际应用"],
|
||
"常见混淆": "分段函数与多个函数的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.2节例5"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["分段函数求值", "分段函数图象", "实际问题建模"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "区间的概念",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "表示实数集合的一种方法，包括闭区间、开区间、半开半闭区间",
|
||
"关键要素": ["端点", "包含关系", "无穷大表示"],
|
||
"符号表示": "[a, b], (a, b), [a, b), (a, b], (-∞, b), (a, +∞)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "区间提供了描述连续数集的简洁表示方法",
|
||
"核心特征": ["连续性表示", "端点明确", "简洁性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "表示连续数集时使用",
|
||
"特殊说明": "端点包含关系要明确区分"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["实数集", "不等式"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["闭区间", "开区间", "半开半闭区间", "无穷区间"],
|
||
"常见混淆": "开区间与闭区间的区别",
|
||
"教材位置": "3.1.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["区间表示", "区间运算", "定义域表示"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的单调性",
|
||
"类型": "性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数值随自变量变化而变化的趋势特征，包括单调递增和单调递减",
|
||
"关键要素": ["区间性", "大小关系", "函数值变化规律"],
|
||
"符号表示": "单调递增：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)；单调递减：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "单调性描述了函数的变化趋势，是函数的重要性质",
|
||
"核心特征": ["有序性", "一致性", "区间依赖性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析函数变化规律，求最值",
|
||
"特殊说明": "单调性是相对于特定区间而言的"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["不等式", "函数概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["单调递增", "单调递减", "单调区间"],
|
||
"常见混淆": "单调递增与严格单调递增的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["单调性证明", "单调区间判断", "应用题"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "单调递增函数",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I ⊆ D，如果 ∀ x₁, x₂ ∈ I，当 x₁ < x₂ 时，都有 f(x₁) < f(x₂)，那么就称函数 f(x) 在区间 I 上单调递增",
|
||
"关键要素": ["区间 I ⊆ D", "任意 x₁ < x₂", "f(x₁) < f(x₂)"],
|
||
"符号表示": "x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) 在区间 I 上"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "精确描述函数值随自变量增大而增大的特征",
|
||
"核心特征": ["严格性", "区间性", "保持性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述上升趋势的函数变化规律",
|
||
"特殊说明": "如果在整个定义域上单调递增，则称为增函数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["不等式性质", "函数单调性概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["增函数", "单调区间"],
|
||
"常见混淆": "单调递增与非减的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["单调递增证明", "单调递增判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "单调递减函数",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I ⊆ D，如果 ∀ x₁, x₂ ∈ I，当 x₁ < x₂ 时，都有 f(x₁) > f(x₂)，那么就称函数 f(x) 在区间 I 上单调递减",
|
||
"关键要素": ["区间 I ⊆ D", "任意 x₁ < x₂", "f(x₁) > f(x₂)"],
|
||
"符号表示": "x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) 在区间 I 上"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "精确描述函数值随自变量增大而减小的特征",
|
||
"核心特征": ["严格性", "区间性", "反向性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述下降趋势的函数变化规律",
|
||
"特殊说明": "如果在整个定义域上单调递减，则称为减函数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["不等式性质", "函数单调性概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["减函数", "单调区间"],
|
||
"常见混淆": "单调递减与非增的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["单调递减证明", "单调递减判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-04",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的最大值",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数 y = f(x) 的定义域为 D，如果存在实数 M 满足：① ∀ x ∈ D，都有 f(x) ≤ M；② ∃ x₀ ∈ D，使得 f(x₀) = M，那么 M 是函数 y = f(x) 的最大值",
|
||
"关键要素": ["存在性", "上界性", "可达性"],
|
||
"符号表示": "max{f(x)|x ∈ D} = M"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "最大值描述了函数能取到的最大数值",
|
||
"核心特征": ["全局性", "存在性", "唯一性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "优化问题中的极值求解",
|
||
"特殊说明": "最大值可能不存在，可能不唯一"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数值域", "不等式"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["最大值存在性", "最大值求解方法"],
|
||
"常见混淆": "最大值与极大值的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["最大值求解", "最大值存在性判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-05",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的最小值",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数 y = f(x) 的定义域为 D，如果存在实数 m 满足：① ∀ x ∈ D，都有 f(x) ≥ m；② ∃ x₀ ∈ D，使得 f(x₀) = m，那么 m 是函数 y = f(x) 的最小值",
|
||
"关键要素": ["存在性", "下界性", "可达性"],
|
||
"符号表示": "min{f(x)|x ∈ D} = m"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "最小值描述了函数能取到的最小数值",
|
||
"核心特征": ["全局性", "存在性", "唯一性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "优化问题中的极值求解",
|
||
"特殊说明": "最小值可能不存在，可能不唯一"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数值域", "不等式"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["最小值存在性", "最小值求解方法"],
|
||
"常见混淆": "最小值与极小值的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.1节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["最小值求解", "最小值存在性判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的奇偶性",
|
||
"类型": "性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数图象关于坐标轴或原点的对称性质，包括奇函数和偶函数",
|
||
"关键要素": ["定义域对称性", "函数值关系", "图象对称性"],
|
||
"符号表示": "奇函数：f(-x) = -f(x)；偶函数：f(-x) = f(x)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "奇偶性描述了函数的对称特征，简化函数研究",
|
||
"核心特征": ["对称性", "定义域要求", "函数值关系"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析函数对称性质，简化函数研究",
|
||
"特殊说明": "定义域必须关于原点对称"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数概念", "对称性", "负数概念"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["奇函数", "偶函数", "非奇非偶函数"],
|
||
"常见混淆": "奇偶性与单调性的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.2节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["奇偶性判断", "奇偶性证明", "对称性应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "偶函数",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀ x ∈ D，都有 -x ∈ D，且 f(-x) = f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数",
|
||
"关键要素": ["定义域关于原点对称", "f(-x) = f(x)", "图象关于 y 轴对称"],
|
||
"符号表示": "f(-x) = f(x)，∀x ∈ D"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "偶函数描述了函数关于 y 轴的对称特征",
|
||
"核心特征": ["对称性", "相等性", "图象特征"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究对称性函数的性质",
|
||
"特殊说明": "定义域必须关于原点对称"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数奇偶性", "对称性"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["图象对称性", "偶函数判定"],
|
||
"常见混淆": "偶函数与偶次函数的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.2节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["偶函数判断", "偶函数证明", "对称性应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-2-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "奇函数",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数 f(x) 的定义域为 D，如果 ∀ x ∈ D，都有 -x ∈ D，且 f(-x) = -f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数",
|
||
"关键要素": ["定义域关于原点对称", "f(-x) = -f(x)", "图象关于原点对称"],
|
||
"符号表示": "f(-x) = -f(x)，∀x ∈ D"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "奇函数描述了函数关于原点的中心对称特征",
|
||
"核心特征": ["中心对称性", "相反性", "图象特征"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究中心对称函数的性质",
|
||
"特殊说明": "定义域必须关于原点对称，奇函数必过原点（若定义域包含0）"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数奇偶性", "中心对称"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["图象中心对称", "奇函数判定"],
|
||
"常见混淆": "奇函数与奇次函数的区别",
|
||
"教材位置": "3.2.2节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["奇函数判断", "奇函数证明", "对称性应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "幂函数的定义",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数 y = x^α 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数",
|
||
"关键要素": ["幂的形式", "底数为自变量", "指数为常数"],
|
||
"符号表示": "y = x^α，α 为常数"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "幂函数描述了变量间的幂次关系，是重要的基本函数类型",
|
||
"核心特征": ["形式统一", "指数固定", "底数变化"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究幂次关系的基本模型",
|
||
"特殊说明": "α 可以是不同的实数，包括整数、分数、负数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数概念", "幂的运算"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["不同指数的幂函数", "幂函数分类"],
|
||
"常见混淆": "幂函数与指数函数的区别",
|
||
"教材位置": "3.3节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["幂函数识别", "幂函数性质分析"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "常见幂函数类型",
|
||
"类型": "分类",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "研究 α = 1, 2, 3, 1/2, -1 时的幂函数：y = x, y = x², y = x³, y = x^(1/2), y = x^(-1)",
|
||
"关键要素": ["特定指数值", "基本性质", "图象特征"],
|
||
"符号表示": "α ∈ {1, 2, 3, 1/2, -1} 时的 y = x^α"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "这些是基本的幂函数类型，具有代表性",
|
||
"核心特征": ["基本性", "代表性", "典型性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解幂函数的基本特征和变化规律",
|
||
"特殊说明": "不同指数值导致不同的函数性质"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["幂函数定义", "基本函数"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["一次函数", "二次函数", "三次函数", "平方根函数", "反比例函数"],
|
||
"常见混淆": "不同幂函数的性质区别",
|
||
"教材位置": "3.3节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["幂函数性质比较", "幂函数图象识别"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "幂函数的性质",
|
||
"类型": "性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等基本性质",
|
||
"关键要素": ["定义域特征", "奇偶性规律", "单调性变化"],
|
||
"符号表示": "不同 α 对应的不同性质"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "性质研究是函数分析的重要内容",
|
||
"核心特征": ["规律性", "分类性", "统一性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "深入理解幂函数的特征",
|
||
"特殊说明": "不同指数的幂函数性质不同"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["幂函数", "函数性质"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["定义域确定", "奇偶性判断", "单调性分析"],
|
||
"常见混淆": "不同幂函数性质的混淆",
|
||
"教材位置": "3.3节表3.3-1"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["性质总结", "性质比较", "性质应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "幂函数的共同点",
|
||
"类型": "规律",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "所有幂函数 y = x^α 都通过点 (1, 1) 的共同特征",
|
||
"关键要素": ["公共点", "统一性", "基本特征"],
|
||
"符号表示": "f(1) = 1^α = 1，∀α"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "反映了幂函数的内在统一性",
|
||
"核心特征": ["统一性", "必然性", "公共性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解幂函数的共同特征",
|
||
"特殊说明": "这是所有幂函数都有的性质"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["幂函数", "函数求值"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["函数值计算", "图象分析"],
|
||
"常见混淆": "与其他函数的共同点区别",
|
||
"教材位置": "3.3节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["幂函数求值", "图象特征分析"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-4-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的应用",
|
||
"类型": "方法",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "运用函数概念和性质解决实际问题的过程和方法",
|
||
"关键要素": ["实际问题建模", "函数模型建立", "数学求解"],
|
||
"符号表示": "实际问题 → 数学模型 → 求解 → 实际解答"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "函数是解决实际问题的重要工具",
|
||
"核心特征": ["实用性", "建模性", "求解性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "数学知识应用于实际问题",
|
||
"特殊说明": "需要理解实际问题的数学本质"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数概念", "函数性质", "实际问题分析"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["数学建模", "优化问题", "预测问题"],
|
||
"常见混淆": "数学解与实际解的区别",
|
||
"教材位置": "3.4节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["应用题", "建模题", "优化题"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K3-4-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "实际问题建模",
|
||
"类型": "方法",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "将实际问题转化为数学函数模型的过程",
|
||
"关键要素": ["问题分析", "变量识别", "关系建立"],
|
||
"符号表示": "实际问题 → 变量关系 → 函数解析式"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建模是连接数学与实际的桥梁",
|
||
"核心特征": ["抽象性", "转化性", "简化性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "解决实际问题的基础步骤",
|
||
"特殊说明": "需要合理简化假设"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["函数概念", "变量关系"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["变量设定", "约束条件", "目标函数"],
|
||
"常见混淆": "实际复杂性与模型简化性的平衡",
|
||
"教材位置": "3.4节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["建模过程", "函数建立", "合理性分析"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |