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29 KiB
JSON
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{
|
||
"教材信息": {
|
||
"教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
|
||
"章节": "第五章 三角函数"
|
||
},
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "任意角的概念",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，没有旋转时形成零角",
|
||
"关键要素": ["正角（逆时针旋转）", "负角（顺时针旋转）", "零角（始边与终边重合）"],
|
||
"符号表示": "α, β, γ"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "为了描述现实世界中超出0°~360°范围的角的运动现象，如体操动作、齿轮旋转等",
|
||
"核心特征": ["角的旋转方向性", "角的无限可扩展性", "角的终边位置确定性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于刻画周期性运动变化现象",
|
||
"特殊说明": "当角的终边在坐标轴上时，不属于任何象限"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K4-1-1-01", "K4-1-1-02"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-1-1-02", "K5-1-1-03"],
|
||
"常见混淆": "正角与角度大小，负角与角度的绝对值",
|
||
"教材位置": "第五章第一节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念辨析", "角的判定", "实际应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "象限角的概念",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在第几象限，就说这个角是第几象限角",
|
||
"关键要素": ["顶点在原点", "始边在x轴正半轴", "终边所在象限"],
|
||
"符号表示": "第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "便于在坐标系中研究角的性质和三角函数",
|
||
"核心特征": ["坐标标准化", "象限分类", "终边位置决定"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "为三角函数的定义提供基础",
|
||
"特殊说明": "终边在坐标轴上的角不属于任何象限"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "角度大小与象限位置的关系",
|
||
"教材位置": "第五章第一节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["象限判定", "角度分类", "三角函数符号判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-1-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "终边相同的角",
|
||
"类型": "定理",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成集合S={β|β=α+k·360°, k∈Z}",
|
||
"关键要素": ["终边重合", "角度差为360°的整数倍", "集合表示"],
|
||
"符号表示": "S={β|β=α+k·360°, k∈Z}"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "体现角的周期性特征，便于研究三角函数的周期性",
|
||
"核心特征": ["周期性", "无限性", "等价性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于三角函数的计算和化简",
|
||
"特殊说明": "k为整数，正负零均可"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "终边相同与角度相等的区别",
|
||
"教材位置": "第五章第一节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["集合表示", "角度转换", "三角函数性质应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "弧度制的概念",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角",
|
||
"关键要素": ["弧长等于半径", "圆心角", "单位：弧度(rad)"],
|
||
"符号表示": "1 rad"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立角的十进制度量制度，统一角度和长度的单位",
|
||
"核心特征": ["长度与角度的统一", "十进制", "国际单位制"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "为建立任意角的三角函数概念奠定基础",
|
||
"特殊说明": "弧度制使三角函数成为实数集到实数集的对应"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-1-2-02"],
|
||
"常见混淆": "弧度与角度的换算",
|
||
"教材位置": "第五章第一节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["弧度制理解", "单位换算", "实际应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-1-2-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "弧度与角度的换算",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "180°=π rad，由此可得1°=π/180 rad，1 rad=(180/π)°",
|
||
"关键要素": ["换算关系", "π的作用", "互逆运算"],
|
||
"符号表示": "1°=π/180 rad≈0.01745 rad，1 rad≈57.30°=57°18′"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于圆周长公式和角度制的定义",
|
||
"核心特征": ["精确换算", "可逆性", "π的中心作用"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "在不同度量制度间转换",
|
||
"特殊说明": "计算器使用时注意角度单位设置"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-1-2-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "弧度制与角度制的混用",
|
||
"教材位置": "第五章第一节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["单位换算", "计算器使用", "精度要求"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "任意角三角函数的定义",
|
||
"类型": "定义",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设α是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则sinα=y，cosα=x，tanα=y/x(x≠0)",
|
||
"关键要素": ["单位圆", "坐标对应", "定义域限制"],
|
||
"符号表示": "sinα=y, cosα=x, tanα=y/x(x≠0)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将三角函数推广到任意角，建立统一的定义体系",
|
||
"核心特征": ["几何意义", "代数表示", "函数对应"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "正切函数要求x≠0，即α≠π/2+kπ(k∈Z)",
|
||
"特殊说明": "定义域：sinα,cosα∈R，tanα∈{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-01", "K5-1-2-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-2-1-02"],
|
||
"常见混淆": "锐角三角函数与任意角三角函数的关系",
|
||
"教材位置": "第五章第二节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["定义应用", "函数值计算", "几何理解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "三角函数的几何意义",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "正弦函数值等于单位圆上点的纵坐标，余弦函数值等于横坐标，正切函数值等于纵坐标与横坐标的比值",
|
||
"关键要素": ["单位圆模型", "坐标对应", "比值关系"],
|
||
"符号表示": "P(cosα,sinα)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "通过几何直观理解三角函数的本质",
|
||
"核心特征": ["几何直观", "坐标关系", "比值不变性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于理解三角函数的性质和图像",
|
||
"特殊说明": "不同半径的圆上比值保持不变"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单位圆上与一般圆上的对应关系",
|
||
"教材位置": "第五章第二节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["几何意义理解", "图形分析", "性质推导"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-2-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "同角三角函数的基本关系",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin²α+cos²α=1，tanα=sinα/cosα(cosα≠0)",
|
||
"关键要素": ["平方关系", "商的关系", "定义域限制"],
|
||
"符号表示": "sin²α+cos²α=1, tanα=sinα/cosα"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于单位圆上点的坐标满足的勾股定理",
|
||
"核心特征": ["恒等性", "相互转化", "定义域相关性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于三角函数式的化简、求值和证明",
|
||
"特殊说明": "商的关系要求cosα≠0"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "公式的变形应用，符号的确定",
|
||
"教材位置": "第五章第二节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["求值计算", "化简变形", "恒等证明"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "诱导公式一（周期性）",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα(k∈Z)",
|
||
"关键要素": ["周期性", "2π的整数倍", "函数值不变"],
|
||
"符号表示": "sin(α+2kπ)=sinα, cos(α+2kπ)=cosα, tan(α+2kπ)=tanα"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "体现三角函数的周期性特征，角的终边旋转2π后回到原位置",
|
||
"核心特征": ["周期性", "不变性", "几何直观"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于任意角三角函数的计算和化简",
|
||
"特殊说明": "k为任意整数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-1-1-03", "K5-2-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "周期性概念的理解",
|
||
"教材位置": "第五章第三节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["函数值计算", "化简变形", "周期性应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "诱导公式二（π±α）",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin(π+α)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα；sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα",
|
||
"关键要素": ["π的对称性", "符号变化规律", "名称：两角和差公式"],
|
||
"符号表示": "角加π：正切不变，正弦余弦变号；角减π：正弦不变，正切余弦变号"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于单位圆关于原点和y轴的对称性",
|
||
"核心特征": ["对称性", "符号规律", "几何直观"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于角的转换和三角函数计算",
|
||
"特殊说明": "体现了"奇变偶不变，符号看象限"的规律"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "符号变化规律的记忆",
|
||
"教材位置": "第五章第三节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["公式应用", "化简计算", "符号判断"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-1-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "诱导公式三（-α）",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα",
|
||
"关键要素": ["奇偶性", "负角变换", "符号变化"],
|
||
"符号表示": "正弦、正切为奇函数，余弦为偶函数"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于单位圆关于x轴的对称性",
|
||
"核心特征": ["奇偶性", "对称性", "函数性质"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于负角三角函数的计算和函数奇偶性判断",
|
||
"特殊说明": "体现了三角函数的奇偶性特征"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "奇函数与偶函数的区别",
|
||
"教材位置": "第五章第三节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["负角计算", "奇偶性判断", "化简变形"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-3-1-04",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "诱导公式四（π/2±α）",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin(π/2-α)=cosα, cos(π/2-α)=sinα；sin(π/2+α)=cosα, cos(π/2+α)=-sinα",
|
||
"关键要素": ["互余关系", "函数名称转换", "符号确定"],
|
||
"符号表示": "sin与cos的互化，正弦变余弦，余弦变正弦"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于单位圆关于直线y=x的对称性",
|
||
"核心特征": ["函数转换", "互余性", "符号规律"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于正弦与余弦函数的相互转换",
|
||
"特殊说明": "体现了"奇变偶不变，符号看象限"的完整规律"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-3-1-02"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "函数名称的转换和符号的确定",
|
||
"教材位置": "第五章第三节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["函数转换", "化简计算", "综合应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "正弦函数的图像",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y=sinx(x∈R)的图像称为正弦曲线，是一条连续光滑的波浪形曲线",
|
||
"关键要素": ["周期性", "波浪形状", "关键点：(0,0),(π/2,1),(π,0),(3π/2,-1),(2π,0)"],
|
||
"符号表示": "y=sinx, x∈R"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "通过单位圆上点的纵坐标随角度变化的规律绘制而成",
|
||
"核心特征": ["周期性", "有界性", "光滑连续"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于研究正弦函数的性质和实际应用",
|
||
"特殊说明": "五点法可以快速绘制简图"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01", "K5-3-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-4-2-01"],
|
||
"常见混淆": "正弦曲线与余弦曲线的位置关系",
|
||
"教材位置": "第五章第四节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["图像绘制", "性质分析", "实际应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "余弦函数的图像",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y=cosx(x∈R)的图像称为余弦曲线，是将正弦曲线向左平移π/2个单位得到的",
|
||
"关键要素": ["平移关系", "波形特征", "关键点：(0,1),(π/2,0),(π,-1),(3π/2,0),(2π,1)"],
|
||
"符号表示": "y=cosx, x∈R"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于余弦函数与正弦函数的关系cosx=sin(x+π/2)",
|
||
"核心特征": ["相位关系", "形状相同", "位置不同"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于研究余弦函数的性质和比较两个函数的关系",
|
||
"特殊说明": "与正弦函数具有相同的形状和周期"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-4-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "正弦曲线与余弦曲线的相位差",
|
||
"教材位置": "第五章第四节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图像关系", "性质比较", "变换分析"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "正弦函数的性质",
|
||
"类型": "性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等性质",
|
||
"关键要素": ["定义域：R", "值域：[-1,1]", "周期：2π", "奇函数", "单调区间", "最值"],
|
||
"符号表示": "y=sinx, x∈R"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于正弦函数的图像和几何意义分析得出",
|
||
"核心特征": ["周期性是核心性质", "有界性", "对称性", "单调变化规律"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于分析函数变化规律和解三角不等式",
|
||
"特殊说明": "在每个周期内性质重复出现"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-4-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单调区间的记忆和应用",
|
||
"教材位置": "第五章第四节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "单调性判断", "最值求解", "不等式求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-2-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "余弦函数的性质",
|
||
"类型": "性质",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最值等性质",
|
||
"关键要素": ["定义域：R", "值域：[-1,1]", "周期：2π", "偶函数", "单调区间", "最值"],
|
||
"符号表示": "y=cosx, x∈R"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于余弦函数的图像和与正弦函数的关系分析得出",
|
||
"核心特征": ["与正弦函数相似", "偶函数特征", "单调性差异"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于分析余弦函数的变化规律和实际应用",
|
||
"特殊说明": "单调区间与正弦函数有所不同"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-4-1-02"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "余弦函数与正弦函数单调性的区别",
|
||
"教材位置": "第五章第四节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "比较分析", "综合求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-4-3-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "正切函数的图像与性质",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y=tanx(x≠π/2+kπ,k∈Z)的图像称为正切曲线，由无穷多支形状相同的曲线组成",
|
||
"关键要素": ["定义域限制", "渐近线", "单调性", "无界性", "周期π"],
|
||
"符号表示": "y=tanx, x≠π/2+kπ,k∈Z"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于正切函数的定义tanα=y/x和几何意义绘制",
|
||
"核心特征": ["分支结构", "垂直渐近线", "单调递增", "周期性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于研究正切函数的变化规律和解三角方程",
|
||
"特殊说明": "在每个定义区间内单调递增，值域为全体实数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "正切函数与正弦余弦函数的图像差异",
|
||
"教材位置": "第五章第四节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图像特征", "性质应用", "方程求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "两角和与差的余弦公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ",
|
||
"关键要素": ["角的关系", "函数组合", "符号规律"],
|
||
"符号表示": "C(α-β), C(α+β)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "基于单位圆的旋转对称性和两点间距离公式推导",
|
||
"核心特征": ["基础性", "对称性", "可推广性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "是推导其他和差角公式的基础",
|
||
"特殊说明": "适用于任意角的和差"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-2-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-5-1-02", "K5-5-1-03"],
|
||
"常见混淆": "和差公式的符号记忆",
|
||
"教材位置": "第五章第五节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["公式推导", "计算应用", "化简证明"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "两角和与差的正弦公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ",
|
||
"关键要素": ["函数转换", "交叉乘积", "符号一致"],
|
||
"符号表示": "S(α+β), S(α-β)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "由余弦公式和诱导公式推导得出",
|
||
"核心特征": ["结构对称", "符号规律", "应用广泛"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于三角函数的和差变换和计算",
|
||
"特殊说明": "符号与角的和差保持一致"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-5-1-01", "K5-3-1-04"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "与余弦公式的结构区别",
|
||
"教材位置": "第五章第五节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["公式应用", "计算化简", "综合推导"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-1-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "两角和与差的正切公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)",
|
||
"关键要素": ["分式结构", "分母条件", "符号变化"],
|
||
"符号表示": "T(α+β), T(α-β)"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "由正弦余弦公式和正切定义推导得出",
|
||
"核心特征": ["有理运算", "条件限制", "对称结构"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于正切函数的和差计算",
|
||
"特殊说明": "要求分母不为零，即α±β≠π/2+kπ"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-5-1-01", "K5-5-1-02"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "分母中的符号和条件限制",
|
||
"教材位置": "第五章第五节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["公式应用", "条件判断", "综合计算"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "二倍角公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=1-2sin²α=2cos²α-1，tan2α=2tanα/(1-tan²α)",
|
||
"关键要素": ["倍数关系", "多种形式", "选择应用"],
|
||
"符号表示": "S₂α, C₂α, T₂α"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "在和差角公式中令β=α得到",
|
||
"核心特征": ["特殊化", "多形式", "灵活应用"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于倍角关系的计算和变形",
|
||
"特殊说明": "余弦二倍角公式有三种形式，根据需要选择"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-5-1-01", "K5-5-1-02", "K5-5-1-03"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-5-2-02"],
|
||
"常见混淆": "余弦二倍角公式的选择",
|
||
"教材位置": "第五章第五节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["公式选择", "灵活应用", "综合变形"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-5-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "半角公式",
|
||
"类型": "公式",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "sin²(α/2)=(1-cosα)/2，cos²(α/2)=(1+cosα)/2，tan²(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)",
|
||
"关键要素": ["半角关系", "平方形式", "符号确定"],
|
||
"符号表示": "由二倍角公式变形得到"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "在二倍角公式中用α/2代替α得到",
|
||
"核心特征": ["降幂功能", "符号选择", "转换关系"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于降幂和角度转换",
|
||
"特殊说明": "开方时需要根据α/2所在象限确定符号"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-5-2-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "符号的确定和公式的选择",
|
||
"教材位置": "第五章第五节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["降幂应用", "符号判断", "综合化简"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-6-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数y=Asin(ωx+φ)的参数意义",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "A为振幅，ω决定周期，φ为初相位，影响函数图像的形状和位置",
|
||
"关键要素": ["振幅A", "角频率ω", "初相位φ", "周期T=2π/|ω|"],
|
||
"符号表示": "y=Asin(ωx+φ), A>0, ω>0"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用于描述一般的简谐运动和周期现象",
|
||
"核心特征": ["物理意义", "几何变换", "参数作用"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "建立实际问题的数学模型",
|
||
"特殊说明": "参数的变化对图像有特定的几何意义"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-4-2-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K5-6-1-02"],
|
||
"常见混淆": "各参数对图像的具体影响",
|
||
"教材位置": "第五章第六节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["参数分析", "图像变换", "实际应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-6-1-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换",
|
||
"类型": "概念",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "由正弦曲线通过相位变换、周期变换、振幅变换得到",
|
||
"关键要素": ["平移变换", "伸缩变换", "变换顺序"],
|
||
"符号表示": "从y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的变换过程"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "通过图像变换理解参数的几何意义",
|
||
"核心特征": ["变换规律", "参数影响", "几何直观"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解函数性质和绘制图像",
|
||
"特殊说明": "变换顺序不同，过程可能不同但结果相同"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-6-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "变换顺序和参数的对应关系",
|
||
"教材位置": "第五章第六节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图像绘制", "变换分析", "参数求解"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-7-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "三角函数模型的建立",
|
||
"类型": "方法",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "根据实际问题的数据特征，选择合适的三角函数模型描述周期现象",
|
||
"关键要素": ["数据分析", "模型选择", "参数确定", "检验验证"],
|
||
"符号表示": "y=Asin(ωx+φ)+k等形式的函数"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将抽象的数学理论与实际应用相结合",
|
||
"核心特征": ["实用性", "周期性", "拟合性"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用于解决具有周期特征的实际问题",
|
||
"特殊说明": "需要根据具体问题确定模型的形式和参数"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-6-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "模型的选择和参数的确定",
|
||
"教材位置": "第五章第七节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["建模过程", "参数求解", "实际应用"]
|
||
},
|
||
{
|
||
"编号": "K5-7-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "三角函数在物理中的应用",
|
||
"类型": "应用",
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用三角函数描述简谐运动、波动、交流电等物理现象",
|
||
"关键要素": ["简谐运动", "波动现象", "交变电流", "物理参数"],
|
||
"符号表示": "位移、电流、电压等随时间变化的函数"
|
||
},
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "物理中的周期现象可以用三角函数精确描述",
|
||
"核心特征": ["周期性", "物理意义", "数学描述"]
|
||
},
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "用数学工具解决物理问题",
|
||
"特殊说明": "需要理解物理量的数学表示"
|
||
},
|
||
"前置知识": ["K5-7-1-01"],
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "物理量与数学参数的对应关系",
|
||
"教材位置": "第五章第七节"
|
||
},
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["物理建模", "参数解释", "综合应用"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |