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28 KiB
JSON
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{
|
||
"教材信息": {
|
||
"教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
|
||
"章节": "第三章 函数的概念与性质"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数概念的定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数",
|
||
"关键要素": ["两个非空数集", "确定的对应关系", "任意x对应唯一y"],
|
||
"符号表示": "f：A→B，y = f(x)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立两个变量之间的依赖关系，是现代数学的核心概念",
|
||
"核心特征": [
|
||
"非空性：定义域和值域都是非空数集",
|
||
"单值性：一个x只能对应一个y",
|
||
"确定性：对应关系是确定的"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述变量间依赖关系的基础",
|
||
"特殊说明": "A称为定义域，B称为值域的所在集合"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01", "K1-1-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-1-1-02", "K3-1-1-03", "K3-1-1-04"],
|
||
"常见混淆": "函数与一般对应关系的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P59-61"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "函数判断", "定义域求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的定义域",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数y=f(x)中自变量x的取值集合",
|
||
"关键要素": ["自变量", "取值集合"],
|
||
"符号表示": "D = {x | x∈A}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "明确函数的自变量取值范围，保证函数有意义",
|
||
"核心特征": [
|
||
"非空性：定义域不能为空集",
|
||
"确定性：定义域是明确的集合"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "确定函数有意义的前提条件",
|
||
"特殊说明": "实际问题要考虑实际意义"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "定义域与值域的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P61"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["求函数定义域", "实际问题定义域"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的值域",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "与定义域内的所有x值对应的函数值y的集合",
|
||
"关键要素": ["函数值", "对应值的集合"],
|
||
"符号表示": "R = {y | y=f(x), x∈D}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数值的取值范围，反映函数的变化范围",
|
||
"核心特征": [
|
||
"依赖性：值域依赖于定义域",
|
||
"集合性：是所有可能函数值的集合"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "了解函数的变化范围和取值特征",
|
||
"特殊说明": "值域是值域所在集合的子集"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K3-1-1-02"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "值域与值域所在集合的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P61"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["求函数值域", "值域范围判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的对应关系",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数中连接自变量和因变量的关系法则",
|
||
"关键要素": ["对应法则", "关系表达"],
|
||
"符号表示": "f"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "具体表达两个变量间的依赖关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"确定性：对应关系是确定的",
|
||
"单值性：一个x只能对应一个y"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "表达函数关系的核心要素",
|
||
"特殊说明": "对应关系可以用多种方式表示"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "对应关系与函数值的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P60"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["对应关系理解", "函数法则应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数相等的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果两个函数的定义域相同，并且定义域内的任意一个自变量对应的函数值都相等，那么这两个函数相等",
|
||
"关键要素": ["定义域相同", "对应函数值相等"],
|
||
"符号表示": "f=g 当且仅当 Df=Dg 且 ∀x∈Df, f(x)=g(x)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立函数相等的判断标准",
|
||
"核心特征": [
|
||
"定义域一致：必须具有相同的定义域",
|
||
"函数值一致：定义域内每点函数值相同"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断两个函数是否为同一函数",
|
||
"特殊说明": "表达式不同但函数可能相等"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K3-1-1-02"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "函数相等与表达式相等的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P62"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["函数相等判断", "函数等价性分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的解析法表示",
|
||
"类型": "方法/表示",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用数学表达式表示函数的对应关系",
|
||
"关键要素": ["数学表达式", "对应关系"],
|
||
"符号表示": "y = f(x) = 表达式"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用简洁的数学公式表达函数关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"精确性：准确表达函数关系",
|
||
"简洁性：形式简洁明了"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "函数关系可以用数学表达式表示时",
|
||
"特殊说明": "要注明定义域"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "解析法与函数表达式的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P63"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["解析式表示", "函数关系表达"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的列表法表示",
|
||
"类型": "方法/表示",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用表格形式表示函数的对应关系",
|
||
"关键要素": ["表格形式", "数值对应"],
|
||
"符号表示": "表格形式：x值和对应的y值"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "直观地展示自变量和函数值的对应关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"直观性：对应关系一目了然",
|
||
"有限性：适用于有限个数据点"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "函数关系中只有有限个数据点时",
|
||
"特殊说明": "不能表示无限多个点的函数"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "列表法与数据统计表的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P64"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["表格表示", "数据对应理解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的图象法表示",
|
||
"类型": "方法/表示",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "用图象表示函数的对应关系",
|
||
"关键要素": ["坐标系", "点集"],
|
||
"符号表示": "图象 = {(x,f(x)) | x∈定义域}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用几何图形直观表示函数关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"直观性：函数特征直观可见",
|
||
"几何性：体现函数的几何性质"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要直观展示函数性质时",
|
||
"特殊说明": "图象上的每个点都满足函数关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "函数图象与一般图形的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P65-66"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["图象识别", "函数性质分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "分段函数",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在函数定义域的不同部分，用不同的解析式表示的函数",
|
||
"关键要素": ["定义域分段", "不同解析式"],
|
||
"符号表示": "f(x) = {表达式1, 条件1; 表达式2, 条件2; ...}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用统一的函数关系描述实际中的分段现象",
|
||
"核心特征": [
|
||
"分段性：定义域分成若干部分",
|
||
"统一性：仍然是一个函数"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "函数关系在不同区间具有不同规律时",
|
||
"特殊说明": "是一个函数，不是多个函数"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K3-1-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "分段函数与多个函数的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P67"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["分段函数理解", "分段函数应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-2-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "区间的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "表示连续数集的一种简化记法",
|
||
"关键要素": ["连续数集", "简化记法"],
|
||
"符号表示": "闭区间[a,b]：{x | a ≤ x ≤ b}，开区间(a,b)：{x | a < x < b}，半开半闭区间[a,b)：{x | a ≤ x < b}，无穷区间(a,+∞)：{x | x > a}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "简化连续数集的表示方法",
|
||
"核心特征": [
|
||
"连续性：表示连续的数集",
|
||
"简洁性：比集合描述更简洁"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "表示连续的实数集合时",
|
||
"特殊说明": "区间端点要区分开闭"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "区间与一般数集的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.1节 P68"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["区间表示", "区间运算"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的单调性",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数值随自变量变化的规律性",
|
||
"关键要素": ["变化规律", "增减性"],
|
||
"符号表示": "单调递增或单调递减"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数值的变化趋势，是函数的重要性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"方向性：有明确的变化方向",
|
||
"区间性：单调性通常在某个区间内讨论"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析函数变化规律的基础",
|
||
"特殊说明": "单调性是函数的局部性质"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-2-1-02", "K3-2-1-03"],
|
||
"常见混淆": "单调性与函数值大小的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P74-76"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["单调性判断", "单调区间求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "单调递增函数",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "对于定义域I内任意两个自变量的值x1、x2，当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上是单调递增函数",
|
||
"关键要素": ["任意x1 < x2", "f(x1) < f(x2)"],
|
||
"符号表示": "∀x1, x2∈I, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数值随自变量增大而增大的规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"传递性：自变量大的函数值也大",
|
||
"一致性：在区间内保持相同的变化趋势"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断函数增减性的基础",
|
||
"特殊说明": "要求区间内任意两点都满足条件"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单调递增与函数值正负的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P75"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["单调递增判断", "单调递增区间求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "单调递减函数",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "对于定义域I内任意两个自变量的值x1、x2，当x1 < x2时，都有f(x1) > f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上是单调递减函数",
|
||
"关键要素": ["任意x1 < x2", "f(x1) > f(x2)"],
|
||
"符号表示": "∀x1, x2∈I, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数值随自变量增大而减小的规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"反向性：自变量大的函数值反而小",
|
||
"一致性：在区间内保持相同的减少趋势"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析函数减小时的变化规律",
|
||
"特殊说明": "同样要求区间内任意两点都满足条件"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单调递减与函数值为负的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P75"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["单调递减判断", "单调递减区间求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的最大值",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x) ≤ M；(2)存在x₀∈I，使得f(x₀) = M，那么称M是函数y=f(x)的最大值",
|
||
"关键要素": ["上界性", "可达性"],
|
||
"符号表示": "M = max{f(x) | x∈I}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "确定函数值的变化上限，是优化问题的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"上界性：所有函数值都不超过M",
|
||
"最优性：存在点达到这个最大值"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "求解优化问题，确定函数值的上限",
|
||
"特殊说明": "最大值可能不存在"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K3-1-1-03"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "最大值与上界的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P78"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["最大值求解", "最优化问题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "函数的最小值",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意x∈I，都有f(x) ≥ m；(2)存在x₀∈I，使得f(x₀) = m，那么称m是函数y=f(x)的最小值",
|
||
"关键要素": ["下界性", "可达性"],
|
||
"符号表示": "m = min{f(x) | x∈I}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "确定函数值的变化下限，是优化问题的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"下界性：所有函数值都不小于m",
|
||
"最优性：存在点达到这个最小值"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "求解优化问题，确定函数值的下限",
|
||
"特殊说明": "最小值可能不存在"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K3-1-1-03"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "最小值与下界的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P78"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["最小值求解", "最优化问题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-2-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的奇偶性",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "函数关于原点或y轴的对称性质",
|
||
"关键要素": ["对称性", "原点y轴"],
|
||
"符号表示": "奇函数或偶函数"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数图象的对称性质，是函数的重要几何特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"对称性：图象具有某种对称性",
|
||
"代数性：可以用代数等式描述"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析函数的对称性质，简化函数研究",
|
||
"特殊说明": "要求定义域关于原点对称"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-2-2-02", "K3-2-2-03"],
|
||
"常见混淆": "奇偶性与单调性的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P81-84"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["奇偶性判断", "奇偶函数性质应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "偶函数",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x) = f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数",
|
||
"关键要素": ["f(-x) = f(x)", "定义域关于原点对称"],
|
||
"符号表示": "∀x∈D, -x∈D且f(-x) = f(x)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数关于y轴对称的性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"对称性：函数图象关于y轴对称",
|
||
"不变性：自变量取相反值时函数值不变"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断函数是否关于y轴对称",
|
||
"特殊说明": "定义域必须关于原点对称"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "偶函数与关于y轴对称图形的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P82"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["偶函数判断", "偶函数性质应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-2-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "奇函数",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数",
|
||
"关键要素": ["f(-x) = -f(x)", "定义域关于原点对称"],
|
||
"符号表示": "∀x∈D, -x∈D且f(-x) = -f(x)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述函数关于原点对称的性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"对称性：函数图象关于原点对称",
|
||
"反对称性：自变量取相反值时函数值也相反"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断函数是否关于原点对称",
|
||
"特殊说明": "奇函数在x=0处有定义时必有f(0)=0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-2-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "奇函数与关于原点对称图形的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.2节 P83"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["奇函数判断", "奇函数性质应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "幂函数的定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "形如y = x^α的函数，其中x是自变量，α是常数",
|
||
"关键要素": ["底数为x", "指数α为常数"],
|
||
"符号表示": "y = x^α (α为常数)"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "研究幂函数性质是理解各类函数的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"幂形式：自变量作为底数",
|
||
"常指数：指数为固定常数"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究幂函数的性质和应用",
|
||
"特殊说明": "要考虑定义域和指数α的取值"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K2-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-3-1-02"],
|
||
"常见混淆": "幂函数与指数函数的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.3节 P90-91"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["幂函数识别", "幂函数基本性质"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "常见幂函数类型",
|
||
"类型": "概念/分类",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "几种常见的幂函数及其性质",
|
||
"关键要素": ["不同指数", "不同性质"],
|
||
"符号表示": "y = x（一次函数），y = x²（二次函数），y = x³（三次函数），y = x^(1/2)（根函数），y = x^(-1)（反比例函数）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "通过具体例子理解幂函数的性质特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"代表性：涵盖了主要的幂函数类型",
|
||
"典型性：各自具有典型的图象特征"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解不同幂函数的性质差异",
|
||
"特殊说明": "不同指数导致不同的函数性质"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "不同幂函数的图象特征",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.3节 P91-92"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["幂函数分类", "性质比较"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "幂函数的性质",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "幂函数在第一象限的共同性质和特征",
|
||
"关键要素": ["第一象限", "共同性质"],
|
||
"符号表示": "幂函数在(0,+∞)上的性质"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "归纳幂函数的共同规律，便于理解和使用",
|
||
"核心特征": [
|
||
"过点(1,1)：所有幂函数都过点(1,1)",
|
||
"第一象限：图象都在第一象限"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析幂函数的基本性质",
|
||
"特殊说明": "不同指数的幂函数在其他象限表现不同"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "不同幂函数性质的异同",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.3节 P93-94"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["幂函数性质应用", "图象分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-2-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "幂函数的共同点",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "所有幂函数都具有的共同特征",
|
||
"关键要素": ["共同特征", "幂函数特性"],
|
||
"符号表示": "幂函数的共同性质"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "总结幂函数的普遍规律",
|
||
"核心特征": [
|
||
"定义域：都包含(0,+∞)",
|
||
"过定点：都过点(1,1)",
|
||
"连续性：在定义域内连续"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "快速识别幂函数的基本特征",
|
||
"特殊说明": "这是所有幂函数的共同特点"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "共同点与各自特点的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.3节 P94"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["幂函数识别", "基本性质判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-4-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "函数的应用",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "将函数概念和方法用于解决实际问题",
|
||
"关键要素": ["实际问题", "函数模型"],
|
||
"符号表示": "实际问题中的函数关系"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "数学建模的基础，体现数学的实用性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"实用性：解决实际问题",
|
||
"模型性：建立函数模型"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要用数学方法解决实际问题时",
|
||
"特殊说明": "需要分析问题中的数量关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-4-1-02"],
|
||
"常见混淆": "函数应用与纯数学计算的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.4节 P100-101"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["实际应用", "建模问题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-4-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "实际问题建模",
|
||
"类型": "方法/步骤",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "将实际问题转化为函数模型的步骤和方法",
|
||
"关键要素": ["问题分析", "函数建立", "求解验证"],
|
||
"符号表示": "实际问题→函数模型→数学求解→实际答案"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "规范数学建模过程，提高解决实际问题的能力",
|
||
"核心特征": [
|
||
"系统性：完整的建模流程",
|
||
"实用性：直接解决实际问题"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "遇到可以用函数模型解决的实际问题时",
|
||
"特殊说明": "要注意实际意义的合理性"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01", "K3-4-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "建模过程与纯数学解题的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第3章3.4节 P102-105"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["建模题", "应用题求解"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |