967 lines
28 KiB
JSON
967 lines
28 KiB
JSON
{
|
||
"method_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "M4-1-1-01",
|
||
"名称": "观察法求数列通项公式",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求数列的通项公式",
|
||
"识别特征": "数列的前几项有明显的规律",
|
||
"典型形式": "给出数列的前几项：2, 4, 6, 8, ..."
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "观察数列各项的变化规律",
|
||
"注意事项": "注意相邻项之间的关系，如差值、比值等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "寻找项数n与项值an之间的关系",
|
||
"注意事项": "尝试用代数式表达这种关系"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "写出通项公式",
|
||
"注意事项": "验证前几项是否正确"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["观察归纳", "模式识别"],
|
||
"解题策略": "观察规律，建立关系",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-1-1-04 数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-1-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "规律观察不全面",
|
||
"原因": "只看前几项就下结论",
|
||
"正确做法": "多看几项，验证规律的正确性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P9"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-1-1-02",
|
||
"名称": "递推法求数列通项公式",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "已知递推公式求通项公式",
|
||
"识别特征": "题目给出相邻项间的关系式",
|
||
"典型形式": "an+1 = an + d, a1 = ..."
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析递推公式的类型",
|
||
"注意事项": "判断是一阶递推还是高阶递推"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "选择合适的求解方法",
|
||
"注意事项": "累加法、累乘法、构造法等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "逐步推导通项公式",
|
||
"注意事项": "注意初始条件的应用"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "验证结果",
|
||
"注意事项": "将通项公式代入递推关系验证"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["递推思想", "构造思想"],
|
||
"解题策略": "化递推为显式",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-1-1-05 数列的递推公式",
|
||
"K4-1-1-04 数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-1-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "初始条件处理不当",
|
||
"原因": "忽略递推的起始条件",
|
||
"正确做法": "严格按初始条件确定第一项"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P10-12"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-1-1-03",
|
||
"名称": "累加法求通项公式",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "an+1 - an = f(n)型递推公式",
|
||
"识别特征": "相邻项的差是关于n的函数",
|
||
"典型形式": "an+1 = an + n² 或 an+1 - an = 2n+1"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "写出递推关系式",
|
||
"注意事项": "确保形式为an+1 - an = f(n)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "列出前n-1个等式",
|
||
"注意事项": "从a2-a1, a3-a2, ..., an-an-1"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "将所有等式相加",
|
||
"注意事项": "中间项会相互抵消"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "化简得到通项公式",
|
||
"注意事项": "注意初始值a1的代入"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["累加思想", "消元思想"],
|
||
"解题策略": "逐项累加，中间抵消",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-1-1-05 数列的递推公式",
|
||
"K4-1-1-04 数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M4-1-1-02 递推法求数列通项公式"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-1-1-E03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "项数计算错误",
|
||
"原因": "在累加时多加或少加了一项",
|
||
"正确做法": "仔细检查项数，确保从第1项到第n项"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P11"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-1-1-04",
|
||
"名称": "累乘法求通项公式",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "an+1/an = f(n)型递推公式",
|
||
"识别特征": "相邻项的比是关于n的函数",
|
||
"典型形式": "an+1 = an · 2ⁿ 或 an+1/an = n/(n+1)"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "写出递推关系式",
|
||
"注意事项": "确保形式为an+1/an = f(n)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "列出前n-1个等式",
|
||
"注意事项": "从a2/a1, a3/a2, ..., an/an-1"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "将所有等式相乘",
|
||
"注意事项": "中间项会相互约分"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "化简得到通项公式",
|
||
"注意事项": "注意初始值a1的代入"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["累乘思想", "约分思想"],
|
||
"解题策略": "逐项相乘，中间约分",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-1-1-05 数列的递推公式",
|
||
"K4-1-1-04 数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M4-1-1-02 递推法求数列通项公式"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-1-1-E04"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "约分不彻底",
|
||
"原因": "没有注意到所有可以约分的项",
|
||
"正确做法": "仔细检查每一项，确保充分约分"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P11"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-2-1-01",
|
||
"名称": "等差数列判断法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断数列是否为等差数列",
|
||
"识别特征": "需要判断数列的性质",
|
||
"典型形式": "判断数列{an}是否为等差数列"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "计算相邻两项的差",
|
||
"注意事项": "计算an+1 - an (n ≥ 1)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "观察差值是否为常数",
|
||
"注意事项": "需要验证多组相邻项的差"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"注意事项": "如果差值为常数，则是等差数列"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["定义验证", "归纳推理"],
|
||
"解题策略": "验证定义，得出结论",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-2-1-01 等差数列的概念"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-2-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "只验证一组相邻项",
|
||
"原因": "以偏概全，验证不充分",
|
||
"正确做法": "验证多组相邻项，确保规律普遍性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P18"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-2-1-02",
|
||
"名称": "等差数列通项公式应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求等差数列的特定项或参数",
|
||
"识别特征": "已知等差数列的某些条件",
|
||
"典型形式": "已知a1, d, 求an 或已知an, a1, 求d"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定已知量和未知量",
|
||
"注意事项": "明确a1, d, n, an中哪些已知，哪些未知"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "选择合适的公式",
|
||
"注意事项": "通项公式：an = a1 + (n-1)d"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "代入已知量求解",
|
||
"注意事项": "注意代数运算的准确性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["方程思想", "公式应用"],
|
||
"解题策略": "代公式，解方程",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-2-1-02 等差数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-2-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "项数n计算错误",
|
||
"原因": "混淆第n项和n个项的概念",
|
||
"正确做法": "第n项对应n，第1项对应n=1"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P18-19"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-2-2-01",
|
||
"名称": "等差数列前n项和公式应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求等差数列的前n项和",
|
||
"识别特征": "涉及等差数列的和的计算",
|
||
"典型形式": "求Sn 或涉及Sn的问题"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定已知条件",
|
||
"注意事项": "明确已知a1, an, d, n中的哪些量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "选择合适的和公式",
|
||
"注意事项": "已知首末项用公式1，已知首项公差用公式2"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "代入计算",
|
||
"注意事项": "注意公式的选择和代数运算"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["公式应用", "分类讨论"],
|
||
"解题策略": "据条件选公式，代入求值",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-2-2-01 等差数列的前n项和公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-2-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "公式选择不当",
|
||
"原因": "没有根据已知条件选择合适的公式",
|
||
"正确做法：已知a1和an时用公式1，已知a1和d时用公式2"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P23-27"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-2-2-02",
|
||
"名称": "等差数列性质应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用等差数列性质解题",
|
||
"识别特征": "涉及等差数列的内在性质",
|
||
"典型形式": "利用等差中项、项的和性质等"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "识别题目涉及的等差数列性质",
|
||
"注意事项": "如等差中项、对称性、线性性质等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用相应性质建立关系",
|
||
"注意事项": "确保性质应用的正确性"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求解问题",
|
||
"注意事项": "结合其他知识点综合求解"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["性质应用", "整体思想"],
|
||
"解题策略": "识性质，用性质",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-2-1-01 等差数列的概念",
|
||
"K4-1-2-01 等差中项"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-2-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "性质应用错误",
|
||
"原因": "混淆等差数列与等比数列的性质",
|
||
"正确做法": "明确区分等差和等比的不同性质"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P27-28"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-3-1-01",
|
||
"名称": "等比数列判断法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断数列是否为等比数列",
|
||
"识别特征": "需要判断数列是否具有等比性质",
|
||
"典型形式": "判断数列{an}是否为等比数列"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "计算相邻两项的比",
|
||
"注意事项": "计算an+1/an (n ≥ 1，an ≠ 0)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "观察比值是否为常数",
|
||
"注意事项": "需要验证多组相邻项的比"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"注意事项": "如果比值为常数且不为0，则是等比数列"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["定义验证", "归纳推理"],
|
||
"解题策略": "验证定义，得出结论",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-3-1-01 等比数列的概念"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-3-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略项不为零的条件",
|
||
"原因": "忘记等比数列定义中要求各项不为零",
|
||
"正确做法": "检查所有项是否都不为零"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P33"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-3-1-02",
|
||
"名称": "等比数列通项公式应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求等比数列的特定项或参数",
|
||
"识别特征": "已知等比数列的某些条件",
|
||
"典型形式": "已知a1, q, 求an 或已知an, a1, 求q"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定已知量和未知量",
|
||
"注意事项": "明确a1, q, n, an中哪些已知，哪些未知"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用通项公式",
|
||
"注意事项": "通项公式：an = a1·q^(n-1)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "代入已知量求解",
|
||
"注意事项": "注意指数运算的准确性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["公式应用", "指数运算"],
|
||
"解题策略": "代公式，解方程",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-3-1-02 等比数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-3-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "指数计算错误",
|
||
"原因": "混淆q^(n-1)和q^n",
|
||
"正确做法": "第n项对应指数n-1，第1项对应指数0"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P34"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-3-2-01",
|
||
"名称": "等比数列前n项和公式应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求等比数列的前n项和",
|
||
"识别特征": "涉及等比数列的和的计算",
|
||
"典型形式": "求Sn 或涉及Sn的问题"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定公比q的值",
|
||
"注意事项": "关键步骤，必须确定q≠1还是q=1"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "选择合适的和公式",
|
||
"注意事项": "q=1时用Sn=na1，q≠1时用公式1或公式2"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "代入计算",
|
||
"注意事项": "注意分母不为零的条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分类讨论", "公式应用"],
|
||
"解题策略": "先定公比，再选公式",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-3-2-01 等比数列的前n项和公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-3-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略q=1的特殊情况",
|
||
"原因": "没有讨论公比q=1的情况",
|
||
"正确做法：必须先判断q是否为1，再选择公式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P39-41"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-3-2-02",
|
||
"名称": "等比数列性质应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用等比数列性质解题",
|
||
"识别特征": "涉及等比数列的内在性质",
|
||
"典型形式": "利用等比中项、项的积性质等"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "识别题目涉及的等比数列性质",
|
||
"注意事项": "如等比中项、对称性、指数性质等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用相应性质建立关系",
|
||
"注意事项": "确保性质应用的正确性"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求解问题",
|
||
"注意事项": "结合其他知识点综合求解"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["性质应用", "整体思想"],
|
||
"解题策略": "识性质，用性质",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-3-1-01 等比数列的概念",
|
||
"K4-3-1-03 等比中项"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-3-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "性质应用错误",
|
||
"原因": "混淆等比数列与等差数列的性质",
|
||
"正确做法": "明确区分等比和等差的不同性质"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P41-42"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-4-1-01",
|
||
"名称": "数学归纳法证明步骤",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用数学归纳法证明与正整数有关的命题",
|
||
"识别特征": "命题涉及所有正整数n",
|
||
"典型形式": "证明：对于所有n≥n0，命题P(n)成立"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "归纳奠基(验证起始点)",
|
||
"注意事项": "验证当n=n0时命题成立，必不可少"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "归纳假设(假设n=k时成立)",
|
||
"注意事项": "明确写出假设：假设n=k(k≥n0)时命题成立"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "归纳递推(证明n=k+1时成立)",
|
||
"注意事项": "利用归纳假设证明n=k+1时命题成立"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"注意事项": "说明由数学归纳法可知，命题对所有n≥n0成立"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["归纳思想", "递推思想"],
|
||
"解题策略": "奠基-假设-递推-结论",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-4-1-01 数学归纳法的基本原理"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-4-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "缺少奠基步骤",
|
||
"原因": "认为只要递推成立即可，忽略了起始点的验证",
|
||
"正确做法": "必须验证起始点，确保基础成立"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P49-52"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-4-1-02",
|
||
"名称": "数学归纳法证明等差数列通项公式",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用数学归纳法证明等差数列通项公式",
|
||
"识别特征": "证明等差数列an = a1 + (n-1)d",
|
||
"典型形式": "证明等差数列{an}的通项公式为..."
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "归纳奠基：验证n=1时公式成立",
|
||
"注意事项": "当n=1时，左边=a1，右边=a1+(1-1)d=a1"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "归纳假设：假设n=k时公式成立",
|
||
"注意事项": "假设ak = a1 + (k-1)d"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "归纳递推：证明n=k+1时公式成立",
|
||
"注意事项": "利用等差数列定义：ak+1 = ak + d"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "代入化简：得出k+1时的公式",
|
||
"注意事项": "ak+1 = [a1 + (k-1)d] + d = a1 + kd"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"注意事项": "由数学归纳法，公式对所有n≥1成立"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["归纳思想", "递推思想"],
|
||
"解题策略": "奠基-假设-递推-结论",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-4-1-01 数学归纳法的基本原理",
|
||
"K4-4-1-02 数学归纳法的简单应用",
|
||
"K4-2-1-02 等差数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M4-4-1-01 数学归纳法证明步骤"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-4-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "递推步骤不严谨",
|
||
"原因": "没有充分利用等差数列的定义",
|
||
"正确做法：必须明确使用等差数列定义ak+1 = ak + d"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P53-54"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-4-1-03",
|
||
"名称": "数学归纳法证明等比数列通项公式",
|
||
"类型": "证明方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用数学归纳法证明等比数列通项公式",
|
||
"识别特征": "证明等比数列an = a1·q^(n-1)",
|
||
"典型形式": "证明等比数列{an}的通项公式为..."
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "归纳奠基：验证n=1时公式成立",
|
||
"注意事项": "当n=1时，左边=a1，右边=a1·q^(1-1)=a1"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "归纳假设：假设n=k时公式成立",
|
||
"注意事项": "假设ak = a1·q^(k-1)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "归纳递推：证明n=k+1时公式成立",
|
||
"注意事项": "利用等比数列定义：ak+1 = ak·q"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "代入化简：得出k+1时的公式",
|
||
"注意事项": "ak+1 = [a1·q^(k-1)]·q = a1·q^k"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"注意事项": "由数学归纳法，公式对所有n≥1成立"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["归纳思想", "递推思想"],
|
||
"解题策略": "奠基-假设-递推-结论",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-4-1-01 数学归纳法的基本原理",
|
||
"K4-4-1-02 数学归纳法的简单应用",
|
||
"K4-3-1-02 等比数列的通项公式"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M4-4-1-01 数学归纳法证明步骤"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-4-1-E03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "指数运算错误",
|
||
"原因": "在递推过程中指数计算出错",
|
||
"正确做法：仔细计算q^(k-1)·q = q^k"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P54-55"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-1-2-01",
|
||
"名称": "等差中项应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用等差中项解题",
|
||
"识别特征": "涉及三个数成等差数列或求等差中项",
|
||
"典型形式": "a, G, b成等差数列 或 求a和b的等差中项"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "识别等差中项关系",
|
||
"注意事项": "确认三个数成等差数列的关系"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "应用等差中项公式",
|
||
"注意事项": "2G = a + b 或 G = (a + b)/2"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算求解",
|
||
"注意事项": "注意代数运算的准确性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["中点思想", "平均思想"],
|
||
"解题策略": "识中项，用公式",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-1-2-01 等差中项"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-1-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "公式记忆错误",
|
||
"原因": "混淆等差中项和等比中项的公式",
|
||
"正确做法：等差中项：2G = a + b，等比中项：G² = ab"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P18"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-3-1-04",
|
||
"名称": "等比中项应用法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "利用等比中项解题",
|
||
"识别特征": "涉及三个数成等比数列或求等比中项",
|
||
"典型形式": "a, G, b成等比数列 或 求a和b的等比中项"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "识别等比中项关系",
|
||
"注意事项": "确认三个数成等比数列的关系"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "检查条件ab > 0",
|
||
"注意事项": "等比中项存在的前提条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用等比中项公式",
|
||
"注意事项": "G² = ab 或 G = ±√(ab)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "计算求解",
|
||
"注意事项": "注意等比中项可能有正负两个值"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["中点思想", "几何平均"],
|
||
"解题策略": "识中项，验条件，用公式",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-3-1-03 等比中项"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-3-1-E04"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略存在条件",
|
||
"原因": "忘记等比中项要求ab > 0",
|
||
"正确做法：必须先验证ab > 0，才能求等比中项"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P33"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M4-1-1-05",
|
||
"名称": "数列求和的基本方法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求数列的前n项和",
|
||
"识别特征": "直接计算数列的和",
|
||
"典型形式": "求Sn = a1 + a2 + ... + an"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析数列类型",
|
||
"注意事项": "判断是否为等差、等比或其他特殊数列"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "选择求和方法",
|
||
"注意事项": "等差用倒序相加，等比用错位相减"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用相应公式",
|
||
"注意事项": "注意公式的适用条件"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["求和思想", "分类讨论"],
|
||
"解题策略": "辨类型，选方法，用公式",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K4-1-1-06 数列的前n项和",
|
||
"K4-2-2-01 等差数列的前n项和公式",
|
||
"K4-3-2-01 等比数列的前n项和公式"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T4-1-1-E05"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "方法选择不当",
|
||
"原因": "没有准确判断数列类型",
|
||
"正确做法：仔细分析数列特征，选择最合适的求和方法"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P11-12"
|
||
}
|
||
]
|
||
} |