1250 lines
36 KiB
JSON
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JSON
{
|
||
"problem_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "T8-1-1-E01",
|
||
"名称": "空间几何体识别",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"来源": "教材P2 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "观察下列几何体，指出它们分别是棱柱、棱锥、棱台中的哪一种：(1) 长方体 (2) 四棱锥 (3) 正四棱台",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"分析几何体的底面数量和特征",
|
||
"观察侧棱与底面的关系",
|
||
"根据定义判断几何体类型"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析长方体",
|
||
"具体过程": "长方体有两个平行且全等的底面（都是矩形），侧面都是矩形，侧棱平行且相等，符合棱柱的定义"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析四棱锥",
|
||
"具体过程": "四棱锥有一个底面（四边形），四个侧面都是三角形，四条侧棱交于一个顶点，符合棱锥的定义"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析正四棱台",
|
||
"具体过程": "正四棱台有两个平行且相似但不全等的底面（都是正方形），侧面都是梯形，符合棱台的定义"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "(1) 棱柱 (2) 棱锥 (3) 棱台"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-1-01 空间几何体",
|
||
"K8-1-02 棱柱",
|
||
"K8-1-03 棱锥",
|
||
"K8-1-04 棱台"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-1-01 几何体结构特征分析法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"给出其他几何体图形，要求判断类型",
|
||
"根据描述画出对应的几何体"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆棱柱和棱台的底面特征",
|
||
"原因": "对平行且全等与平行且相似的概念理解不清",
|
||
"纠正方法": "棱柱的两底面全等，棱台的两底面相似但不全等"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-1-1-E02",
|
||
"名称": "正方体的结构特征",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 1,
|
||
"来源": "教材P3 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "正方体有多少条棱？多少个面？多少个顶点？每条棱的长度有什么关系？每个面的形状是什么？",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"分析正方体的基本结构",
|
||
"分类统计棱、面、顶点的数量",
|
||
"观察各部分的特征和关系"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析棱的数量和特征",
|
||
"具体过程": "正方体有12条棱，每条棱长度相等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析面的数量和特征",
|
||
"具体过程": "正方体有6个面，每个面都是正方形，6个面全等"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析顶点的数量",
|
||
"具体过程": "正方体有8个顶点"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "正方体有12条棱（长度都相等），6个面（都是正方形且全等），8个顶点"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-1-01 空间几何体",
|
||
"K8-1-02 棱柱"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-1-01 几何体结构特征分析法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"分析长方体、正四棱柱的结构特征",
|
||
"找出其他几何体的棱、面、顶点数量关系"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "计数错误或对特征描述不准确",
|
||
"原因": "观察不仔细，对正方体的对称性理解不够",
|
||
"纠正方法": "系统分类，按上下底面、侧面分别计数"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-1-2-E01",
|
||
"名称": "用斜二测画法画长方体",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"来源": "教材P6 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "用斜二测画法画出长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体的直观图。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"建立斜二测坐标系",
|
||
"按比例关系绘制底面",
|
||
"确定高度并完成直观图"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "建立坐标系",
|
||
"具体过程": "画x轴和y轴成45°角，z轴垂直水平面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "绘制底面",
|
||
"具体过程": "在x轴上取4cm，在y轴上取3cm/2=1.5cm，画矩形作为底面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定高度",
|
||
"具体过程": "从底面四个顶点分别向上作铅直线，长度取2cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "完成直观图",
|
||
"具体过程": "连接上底面的四个点，擦去被遮挡的线，用虚线表示"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "得到长方体的斜二测直观图"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-2-01 斜二测画法",
|
||
"K8-1-05 空间几何体的直观图"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-1-02 斜二测画法绘制步骤"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"绘制不同尺寸的长方体直观图",
|
||
"绘制正四棱锥的直观图"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "坐标轴角度或比例关系错误",
|
||
"原因": "对斜二测画法的规则掌握不牢",
|
||
"纠正方法": "记住x轴与y轴成45°，y方向长度减半，z方向长度不变"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-1-2-E02",
|
||
"名称": "正六棱柱的直观图",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P7 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "用斜二测画法画出底面边长为2cm，高为3cm的正六棱柱的直观图。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"先画正六边形的平面图",
|
||
"将平面图转换为斜二测图",
|
||
"确定高度并完成直观图"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "画正六边形的平面图",
|
||
"具体过程": "画边长为2cm的正六边形"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "转换为斜二测图",
|
||
"具体过程": "将正六边形按斜二测规则转换，水平线段长度不变，垂直线段长度减半"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定高度",
|
||
"具体过程": "从下底面各顶点向上作铅直线，长度取3cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "完成直观图",
|
||
"具体过程": "连接上底面各点，形成正六棱柱的直观图"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "得到正六棱柱的斜二测直观图"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-2-01 斜二测画法",
|
||
"K8-1-05 空间几何体的直观图",
|
||
"K8-1-02 棱柱"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-1-02 斜二测画法绘制步骤"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"绘制正五棱锥的直观图",
|
||
"绘制正四棱台的直观图"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "正六边形的绘制错误或比例关系混乱",
|
||
"原因": "对正六边形的结构不熟悉，斜二测转换规则应用不当",
|
||
"纠正方法": "先画好标准正六边形，再按规则转换"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-1-E01",
|
||
"名称": "圆柱的体积计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"来源": "教材P9 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "圆柱的底面半径为3cm，高为5cm，求圆柱的体积。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定圆柱的底面半径和高",
|
||
"计算底面积",
|
||
"应用体积公式计算"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定已知量",
|
||
"具体过程": "底面半径r=3cm，高h=5cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算底面积",
|
||
"具体过程": "底面积S=πr²=π×3²=9π(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用体积公式",
|
||
"具体过程": "体积V=Sh=9π×5=45π(cm³)"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "圆柱的体积为45π cm³"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-01 柱体的体积",
|
||
"K8-1-06 圆柱"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-2-01 柱体体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"已知圆柱的体积和底面半径，求高",
|
||
"已知圆柱的体积和高，求底面半径"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "公式应用错误或计算错误",
|
||
"原因": "对体积公式记忆不牢或π的处理不当",
|
||
"纠正方法": "记住V=Sh，圆柱底面积S=πr²"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-1-E02",
|
||
"名称": "长方体的体积计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 1,
|
||
"来源": "教材P9 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "长方体的长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm，求长方体的体积。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定长方体的底面和高",
|
||
"计算底面积",
|
||
"应用体积公式"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定底面和高",
|
||
"具体过程": "以长和宽作为底面的边长，高为3cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算底面积",
|
||
"具体过程": "底面积S=6×4=24(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算体积",
|
||
"具体过程": "体积V=Sh=24×3=72(cm³)"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "长方体的体积为72 cm³"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-01 柱体的体积",
|
||
"K8-1-02 棱柱"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-2-01 柱体体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"已知正方体的棱长，求体积",
|
||
"已知长方体的体积和两个边长，求第三边"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "底面积计算错误",
|
||
"原因": "对长方体的底面识别错误",
|
||
"纠正方法": "长方体的任何一个面都可以作为底面"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-2-E01",
|
||
"名称": "圆锥的体积计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"来源": "教材P11 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "圆锥的底面半径为4cm，高为6cm，求圆锥的体积。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定圆锥的底面半径和高",
|
||
"计算底面积",
|
||
"应用圆锥体积公式"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定已知量",
|
||
"具体过程": "底面半径r=4cm，高h=6cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算底面积",
|
||
"具体过程": "底面积S=πr²=π×4²=16π(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用体积公式",
|
||
"具体过程": "体积V=(1/3)Sh=(1/3)×16π×6=32π(cm³)"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "圆锥的体积为32π cm³"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-02 锥体的体积",
|
||
"K8-1-07 圆锥"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-2-02 锥体体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"已知圆锥的体积和底面半径，求高",
|
||
"求等底等高的圆柱和圆锥的体积比"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忘记系数1/3或计算错误",
|
||
"原因": "对圆锥体积公式记忆不牢",
|
||
"纠正方法": "记住圆锥体积是同底同高圆柱体积的1/3"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-2-E02",
|
||
"名称": "正四棱锥的体积计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"来源": "教材P11 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "正四棱锥的底面边长为6cm，高为8cm，求正四棱锥的体积。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定棱锥的底面边长和高",
|
||
"计算底面积（正方形）",
|
||
"应用锥体体积公式"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定已知量",
|
||
"具体过程": "底面边长a=6cm，高h=8cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算底面积",
|
||
"具体过程": "底面积S=a²=6²=36(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用体积公式",
|
||
"具体过程": "体积V=(1/3)Sh=(1/3)×36×8=96(cm³)"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "正四棱锥的体积为96 cm³"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-02 锥体的体积",
|
||
"K8-1-03 棱锥"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-2-02 锥体体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"已知正三棱锥的体积和底面边长，求高",
|
||
"求棱锥的高与体积的关系"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "底面积计算错误或忘记系数1/3",
|
||
"原因": "对正方形面积公式或锥体体积公式不熟",
|
||
"纠正方法": "正方形面积等于边长的平方，锥体体积公式V=(1/3)Sh"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-3-E01",
|
||
"名称": "圆台的体积计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P12 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "圆台上底面半径为2cm，下底面半径为4cm，高为6cm，求圆台的体积。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定圆台的上下底面半径和高",
|
||
"分别计算上下底面积",
|
||
"应用台体体积公式"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定已知量",
|
||
"具体过程": "上底面半径r₁=2cm，下底面半径r₂=4cm，高h=6cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算上下底面积",
|
||
"具体过程": "上底面积S₁=πr₁²=π×2²=4π(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算下底面积",
|
||
"具体过程": "下底面积S₂=πr₂²=π×4²=16π(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用体积公式",
|
||
"具体过程": "体积V=(1/3)h(S₁+S₂+√S₁S₂)=(1/3)×6×(4π+16π+√4π×16π)=(1/3)×6×(20π+8π)=56π(cm³)"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "圆台的体积为56π cm³"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-03 台体的体积",
|
||
"K8-1-08 圆台"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-2-03 台体体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"已知圆台的体积和上下底面半径，求高",
|
||
"求正四棱台的体积"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "公式记忆错误或计算错误",
|
||
"原因": "台体体积公式复杂，容易记错",
|
||
"纠正方法": "记住V=(1/3)h(S₁+S₂+√S₁S₂)，逐步计算"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-4-E01",
|
||
"名称": "球的表面积和体积计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"来源": "教材P13 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "球的半径为5cm，求球的表面积和体积。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定球的半径",
|
||
"应用球的表面积公式",
|
||
"应用球的体积公式"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定已知量",
|
||
"具体过程": "球的半径r=5cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算表面积",
|
||
"具体过程": "表面积S=4πr²=4π×5²=100π(cm²)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算体积",
|
||
"具体过程": "体积V=(4/3)πr³=(4/3)π×5³=(4/3)π×125=(500/3)π(cm³)"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "球的表面积为100π cm²，体积为(500/3)π cm³"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-04 球的表面积和体积",
|
||
"K8-1-09 球"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-3-01 球的表面积和体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"已知球的表面积，求体积",
|
||
"已知球的体积，求表面积"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆表面积和体积公式",
|
||
"原因": "对r的幂次记忆不清",
|
||
"纠正方法": "表面积S=4πr²（r平方），体积V=(4/3)πr³（r立方）"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-2-4-E02",
|
||
"名称": "球的实际应用问题",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"来源": "教材P14 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "一个球形容器的内径为20cm，求这个容器能装多少立方厘米的水。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"确定球的半径（注意内径的含义）",
|
||
"应用球的体积公式",
|
||
"给出实际意义的答案"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定已知量",
|
||
"具体过程": "内径20cm，所以半径r=10cm"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用体积公式",
|
||
"具体过程": "体积V=(4/3)πr³=(4/3)π×10³=(4/3)π×1000=(4000/3)π(cm³)"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "给出答案",
|
||
"具体过程": "容器能装(4000/3)π立方厘米的水"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "这个容器能装(4000/3)π cm³的水"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-3-04 球的表面积和体积",
|
||
"K8-1-09 球"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-3-01 球的表面积和体积计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"计算球的体积占外接正方体体积的比例",
|
||
"球的实际应用问题"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "直径和半径混淆",
|
||
"原因": "对内径概念理解不清",
|
||
"纠正方法": "内径=直径，半径=直径/2"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-3-1-E01",
|
||
"名称": "证明三点确定一个平面",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"来源": "教材P19 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "已知不共线的三点A、B、C，证明有且只有一个平面α，使得A、B、C都在平面α内。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用平面基本公理2",
|
||
"分析存在性和唯一性",
|
||
"完成证明"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用公理2",
|
||
"具体过程": "根据公理2，经过不共线的三点A、B、C，有且只有一个平面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析存在性",
|
||
"确实存在一个平面过这三点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析唯一性",
|
||
"具体过程": "这个平面是唯一的"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "有且只有一个平面α，使得A、B、C都在平面α内"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-4-01 平面",
|
||
"K8-4-02 平面的基本性质"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-4-01 平面基本性质应用法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"证明两条相交直线确定一个平面",
|
||
"证明直线和直线外一点确定一个平面"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "逻辑推理不严密",
|
||
"原因": "对平面公理的理解不够深入",
|
||
"纠正方法": "严格按照公理进行推理"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-3-1-E02",
|
||
"名称": "证明共面问题",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P20 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "已知直线l上有点A、B，直线m上有点C、D，且l与m相交于点P，证明A、B、C、D四点共面。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"分析已知的点线关系",
|
||
"应用平面基本公理",
|
||
"证明四点在同一平面内"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "确定平面",
|
||
"具体过程": "由于直线l与m相交于P，根据公理2，它们确定一个平面α"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "证明点在平面内",
|
||
"具体过程": "A、B在直线l上，所以A、B在平面α内；C、D在直线m上，所以C、D在平面α内"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"具体过程": "因此A、B、C、D四点都在平面α内，即四点共面"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "A、B、C、D四点共面"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-4-01 平面",
|
||
"K8-4-02 平面的基本性质"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-4-01 平面基本性质应用法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"证明其他共面问题",
|
||
"空间几何体的共面证明"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "逻辑跳跃，推理不完整",
|
||
"原因": "对平面公理应用不当",
|
||
"纠正方法": "严格按照步骤推理，确保每步都有依据"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-4-1-E01",
|
||
"名称": "证明直线与平面平行",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P24 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "已知直线l平行于平面α内的直线m，且l不在平面α内，证明l平行于平面α。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用直线与平面平行的判定定理",
|
||
"验证定理条件",
|
||
"完成证明"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用判定定理",
|
||
"具体过程": "根据直线与平面平行的判定定理，如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "验证条件",
|
||
"具体过程": "已知l不在平面α内，且l平行于α内的直线m，满足判定定理的条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"具体过程": "因此l平行于平面α"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "l平行于平面α"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-5-01 空间的平行关系",
|
||
"K8-5-03 直线与平面平行"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-5-01 空间平行关系判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"其他直线与平面平行的证明",
|
||
"平行关系的应用"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "条件验证不完整",
|
||
"原因": "对判定定理理解不清",
|
||
"纠正方法": "确保满足所有条件：直线在平面外，与平面内一条直线平行"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-4-1-E02",
|
||
"名称": "证明平面与平面平行",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P27 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "已知平面α内有两条相交直线a、b分别平行于平面β内的直线c、d，证明α平行于β。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用平面与平面平行的判定定理",
|
||
"分析相交直线的关系",
|
||
"完成证明"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用判定定理",
|
||
"具体过程": "如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "验证条件",
|
||
"具体过程": "平面α内有两条相交直线a、b，分别平行于平面β内的直线c、d，满足判定定理条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"具体过程": "因此α平行于β"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "α平行于β"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-5-01 空间的平行关系",
|
||
"K8-5-04 平面与平面平行"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-5-01 空间平行关系判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"其他平面与平面平行的证明",
|
||
"空间平行关系的综合应用"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略相交的条件",
|
||
"原因": "对判定定理理解不完整",
|
||
"纠正方法": "必须确保两条直线相交，否则结论不一定成立"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-4-1-E03",
|
||
"名称": "线面平行的性质应用",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P28 例3",
|
||
|
||
"题目描述": "已知直线l平行于平面α，点P在平面α内，过P作直线m，使m平行于l，求证m在平面α内。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用线面平行的性质定理",
|
||
"分析唯一性",
|
||
"完成证明"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用性质定理",
|
||
"具体过程": "根据线面平行的性质定理，如果一条直线与一个平面平行，那么过平面内一点且与这条直线平行的直线有且只有一条，并且这条直线在该平面内"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析条件",
|
||
"具体过程": "已知l平行于α，点P在α内，过P作直线m平行于l，满足性质定理的条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"具体过程": "因此m在平面α内"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "m在平面α内"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-5-01 空间的平行关系",
|
||
"K8-5-03 直线与平面平行"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-5-01 空间平行关系判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"线面平行性质的其他应用",
|
||
"平行关系的综合证明"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "性质定理应用错误",
|
||
"原因": "对线面平行的性质理解不清",
|
||
"纠正方法": "正确理解性质定理的条件和结论"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-5-1-E01",
|
||
"名称": "异面直线所成角的计算",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P33 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求直线A'B与BC所成的角。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"识别异面直线",
|
||
"通过平移使两直线相交",
|
||
"计算相交直线所成的角"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "识别异面直线",
|
||
"具体过程": "A'B与BC不在同一平面内，是异面直线"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "平移直线",
|
||
"具体过程": "将A'B平移到CC'的位置，即CC'∥A'B"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "计算角度",
|
||
"具体过程": "由于CC'与BC的夹角为90°，所以A'B与BC所成的角为90°"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "直线A'B与BC所成的角为90°"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-6-01 异面直线所成的角",
|
||
"K8-6-02 异面直线的判定"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-6-01 异面直线所成角的计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"其他异面直线所成角的计算",
|
||
"空间角度的综合应用"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "平移方向错误或角度计算错误",
|
||
"原因": "对异面直线概念理解不清",
|
||
"纠正方法": "正确理解平移方法，确保平移后方向不变"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-5-1-E02",
|
||
"名称": "异面直线判定",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"来源": "教材P34 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，判断EF与BC是否为异面直线。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"分析线段的位置关系",
|
||
"应用异面直线的定义",
|
||
"做出判断"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析线段位置",
|
||
"具体过程": "E在AB上，F在AD上，所以EF在平面ABD内"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析BC的位置",
|
||
"具体过程": "BC不在平面ABD内，BC与平面ABD交于点B"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用异面直线定义",
|
||
"具体过程": "EF在平面ABD内，BC与平面ABD相交但不与EF相交，所以EF与BC是异面直线"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "EF与BC是异面直线"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-6-01 异面直线所成的角",
|
||
"K8-6-02 异面直线的判定"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-6-01 异面直线所成角的计算法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"其他异面直线的判定",
|
||
"空间线段关系的分析"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "判断方法错误",
|
||
"原因": "对异面直线的定义理解不清",
|
||
"纠正方法": "异面直线即不在同一平面内的两条直线"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-5-2-E01",
|
||
"名称": "直线与平面垂直的证明",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P36 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "在正方体ABCD-A'B'C'D'中，证明A'A垂直于底面ABCD。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用直线与平面垂直的判定定理",
|
||
"在平面内找两条相交直线",
|
||
"证明垂直关系"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "选择平面内的两条相交直线",
|
||
"具体过程": "在底面ABCD内选择AB和AD，它们相交于点A"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "证明垂直关系",
|
||
"具体过程": "由于A'A垂直于AB，A'A垂直于AD（正方体的性质）"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用判定定理",
|
||
"具体过程": "A'A垂直于平面ABD内的两条相交直线AB和AD，所以A'A垂直于平面ABD"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "A'A垂直于底面ABCD"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-6-03 直线与平面垂直的判定",
|
||
"K8-6-04 直线与平面垂直的性质"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-6-02 直线与平面垂直的判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"其他线面垂直的证明",
|
||
"垂直关系的综合应用"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "选择的直线不相交或证明不完整",
|
||
"原因": "对判定定理理解不透彻",
|
||
"纠正方法": "必须选择平面内两条相交的直线"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-5-2-E02",
|
||
"名称": "线面垂直的性质应用",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P38 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "已知直线l垂直于平面α，直线m在平面α内，证明l垂直于m。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用线面垂直的定义",
|
||
"分析线与平面的关系",
|
||
"得出垂直结论"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用定义",
|
||
"具体过程": "根据线面垂直的定义，如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "分析条件",
|
||
"具体过程": "已知l垂直于α，m在α内，满足定义的条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"具体过程": "因此l垂直于m"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "l垂直于m"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-6-03 直线与平面垂直的判定",
|
||
"K8-6-04 直线与平面垂直的性质"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-6-02 直线与平面垂直的判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"线面垂直性质的其他应用",
|
||
"垂直关系的推理证明"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "定义应用不当",
|
||
"原因": "对线面垂直的定义理解不清",
|
||
"纠正方法": "正确理解线面垂直的定义和性质"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-5-3-E01",
|
||
"名称": "平面与平面垂直的证明",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P40 例1",
|
||
|
||
"题目描述": "在正方体ABCD-A'B'C'D'中，证明平面A'B'C垂直于底面ABCD。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用面面垂直的判定定理",
|
||
"在一个平面内找直线",
|
||
"证明线面垂直"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "选择平面内的直线",
|
||
"具体过程": "在平面A'B'C内选择A'B"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "证明线面垂直",
|
||
"具体过程": "由于A'B垂直于AB，A'B垂直于AD，所以A'B垂直于底面ABCD"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用判定定理",
|
||
"具体过程": "平面A'B'C内的直线A'B垂直于底面ABCD，所以平面A'B'C垂直于底面ABCD"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "平面A'B'C垂直于底面ABCD"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-6-05 平面与平面垂直的判定",
|
||
"K8-6-06 平面与平面垂直的性质"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-6-03 平面与平面垂直的判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"其他面面垂直的证明",
|
||
"空间垂直关系的综合应用"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "转化方向错误",
|
||
"原因": "对面面垂直的判定方法理解不清",
|
||
"纠正方法": "正确转化为线面垂直问题"
|
||
}
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "T8-5-3-E02",
|
||
"名称": "面面垂直的性质应用",
|
||
"类型": "例题",
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"来源": "教材P42 例2",
|
||
|
||
"题目描述": "已知平面α垂直于平面β，直线l在平面α内且垂直于两平面的交线，证明l垂直于平面β。",
|
||
|
||
"解题思路": [
|
||
"应用面面垂直的性质定理",
|
||
"分析条件关系",
|
||
"完成证明"
|
||
],
|
||
|
||
"详细解答": {
|
||
"步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤描述": "应用性质定理",
|
||
"具体过程": "根据面面垂直的性质定理，如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "验证条件",
|
||
"具体过程": "已知α垂直于β，l在α内且垂直于交线，满足性质定理的条件"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤描述": "得出结论",
|
||
"具体过程": "因此l垂直于平面β"
|
||
}
|
||
],
|
||
"最终答案": "l垂直于平面β"
|
||
},
|
||
|
||
"涉及知识点": [
|
||
"K8-6-05 平面与平面垂直的判定",
|
||
"K8-6-06 平面与平面垂直的性质"
|
||
],
|
||
|
||
"涉及方法": [
|
||
"M8-6-03 平面与平面垂直的判定法"
|
||
],
|
||
|
||
"变式练习": [
|
||
"面面垂直性质的其他应用",
|
||
"垂直关系的综合推理"
|
||
],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "性质定理应用不当",
|
||
"原因": "对面面垂直的性质理解不深",
|
||
"纠正方法": "正确理解性质定理的条件和结论"
|
||
}
|
||
]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |