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18 KiB
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{
|
||
"章节信息": {
|
||
"章": "第三章",
|
||
"节": "3.1 椭圆",
|
||
"小节": "3.1.1 椭圆及其标准方程，3.1.2 椭圆的简单几何性质",
|
||
"页码范围": "109-122"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "椭圆的定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆",
|
||
"焦点": "两个定点F1, F2称为椭圆的焦点",
|
||
"焦距": "两焦点间的距离称为椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "椭圆描述了到两个定点距离之和为常数的点的集合，这是椭圆的基本几何特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"到两个定点距离之和为常数",
|
||
"常数大于两定点间距离",
|
||
"具有对称性和封闭性"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究椭圆性质的基础",
|
||
"特殊说明": "常数必须大于|F1F2|，否则无轨迹"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["平面直角坐标系", "距离公式"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-1-1-02 椭圆的标准方程", "K3-1-1-03 椭圆的几何性质"],
|
||
"相关方法": ["轨迹方程求解", "几何作图"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.1.1节 P36"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "轨迹判断", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "椭圆的标准方程",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"焦点在x轴上": "$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} = 1 \\quad (a>b>0)$",
|
||
"焦点在y轴上": "$\\frac{y^2}{a^2} + \\frac{x^2}{b^2} = 1 \\quad (a>b>0)$",
|
||
"参数关系": "$c^2 = a^2 - b^2$，其中c为半焦距"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "利用椭圆定义，通过坐标系选择和代数化简得到标准形式",
|
||
"核心特征": [
|
||
"形式简洁对称",
|
||
"参数几何意义明确",
|
||
"便于研究性质"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "定量研究椭圆性质的基础",
|
||
"特殊说明": "焦点位置决定方程形式"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01 椭圆的定义", "距离公式", "代数化简"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-1-1-03 椭圆的几何性质"],
|
||
"相关方法": ["方程建立", "参数求解", "轨迹方程"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.1.1节 P38-40"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["方程建立", "参数计算", "标准方程求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "椭圆的几何性质",
|
||
"类型": "性质/特征",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"范围": "$-a \\le x \\le a$，$-b \\le y \\le b$",
|
||
"对称性": "关于x轴、y轴和原点对称",
|
||
"顶点": "$A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$, $B_1(0,-b)$, $B_2(0,b)$",
|
||
"轴": "长轴$A_1A_2$长为$2a$，短轴$B_1B_2$长为$2b$",
|
||
"离心率": "$e = \\frac{c}{a}$，$0<e<1$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么研究这些性质": "通过几何性质可以全面了解椭圆的形状特征和位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"有界性：椭圆位于矩形内",
|
||
"对称性：具有三条对称轴",
|
||
"离心率刻画扁平程度"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "椭圆几何应用的基础",
|
||
"特殊说明": "离心率越接近0，椭圆越接近圆；越接近1，椭圆越扁平"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-02 椭圆的标准方程"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["几何作图", "性质应用", "椭圆比较"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.1.2节 P42-47"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "参数计算", "几何分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "椭圆的离心率",
|
||
"类型": "概念/公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "椭圆的焦距与长轴长的比",
|
||
"公式": "$e = \\frac{c}{a}$",
|
||
"范围": "$0 < e < 1$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "离心率定量刻画了椭圆的扁平程度",
|
||
"核心特征": [
|
||
"刻画扁平程度",
|
||
"e越接近0越接近圆",
|
||
"e越接近1越扁平"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "比较椭圆形状的重要参数",
|
||
"特殊说明": "离心率是椭圆的固有性质，与坐标系选择无关"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01 椭圆的定义", "K3-1-1-02 椭圆的标准方程"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["形状比较", "参数计算", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.1.2节 P46"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["离心率计算", "形状比较", "几何分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-1-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "椭圆的另一种定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "点M与定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(0<e<1)的轨迹",
|
||
"公式": "$\\frac{|MF|}{d} = e = \\frac{c}{a}$",
|
||
"准线": "$x = \\pm \\frac{a^2}{c}$（焦点在x轴时）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "从距离比例的角度给出了椭圆的等价定义，揭示了椭圆与圆的统一性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"距离比为常数",
|
||
"常数小于1",
|
||
"准线概念引入"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解圆锥曲线统一性的需要",
|
||
"特殊说明": "这个定义与原始定义等价"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01 椭圆的定义", "点到直线距离公式"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["轨迹求解", "几何证明", "统一性研究"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.1.2节 P50-52"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "轨迹求解", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "双曲线的定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平面内与两个定点F1, F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线",
|
||
"焦点": "两个定点F1, F2称为双曲线的焦点",
|
||
"焦距": "两焦点间的距离称为双曲线的焦距"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "双曲线描述了到两个定点距离之差的绝对值为常数的点的集合",
|
||
"核心特征": [
|
||
"距离之差的绝对值为常数",
|
||
"常数小于两定点间距离",
|
||
"有两支，关于原点对称"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究双曲线性质的基础",
|
||
"特殊说明": "常数必须小于|F1F2|且大于0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-01 椭圆的定义", "绝对值概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-2-1-02 双曲线的标准方程", "K3-2-1-03 双曲线的几何性质"],
|
||
"相关方法": ["轨迹方程求解", "几何作图"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.2.1节 P53"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "轨迹判断", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "双曲线的标准方程",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"焦点在x轴上": "$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1 \\quad (a>0, b>0)$",
|
||
"焦点在y轴上": "$\\frac{y^2}{a^2} - \\frac{x^2}{b^2} = 1 \\quad (a>0, b>0)$",
|
||
"参数关系": "$c^2 = a^2 + b^2$，其中c为半焦距"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "利用双曲线定义，通过坐标系选择和代数化简得到标准形式",
|
||
"核心特征": [
|
||
"形式简洁",
|
||
"减号体现开口特征",
|
||
"参数关系与椭圆不同"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "定量研究双曲线性质的基础",
|
||
"特殊说明": "焦点位置决定方程形式"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-01 双曲线的定义", "距离公式", "代数化简"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-2-1-03 双曲线的几何性质"],
|
||
"相关方法": ["方程建立", "参数求解", "轨迹方程"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.2.1节 P54-56"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["方程建立", "参数计算", "标准方程求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "双曲线的几何性质",
|
||
"类型": "性质/特征",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"范围": "$x \\le -a$或$x \\ge a$，$y \\in \\mathbb{R}$",
|
||
"对称性": "关于x轴、y轴和原点对称",
|
||
"顶点": "$A_1(-a,0)$, $A_2(a,0)$",
|
||
"轴": "实轴$A_1A_2$长为$2a$，虚轴$B_1B_2$长为$2b$",
|
||
"渐近线": "$y = \\pm \\frac{b}{a}x$",
|
||
"离心率": "$e = \\frac{c}{a}$，$e>1$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么研究这些性质": "通过几何性质可以全面了解双曲线的形状特征和位置关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"无界性：双曲线向无限远处延伸",
|
||
"渐近线：控制双曲线的开口趋势",
|
||
"离心率刻画张口大小"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "双曲线几何应用的基础",
|
||
"特殊说明": "离心率越大，双曲线张口越大"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-02 双曲线的标准方程"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-2-1-04 双曲线的渐近线", "K3-2-1-05 双曲线的离心率"],
|
||
"相关方法": ["几何作图", "性质应用", "双曲线比较"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.2.2节 P57-63"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "参数计算", "几何分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "双曲线的渐近线",
|
||
"类型": "概念/公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "双曲线的两支向外延伸时逐渐接近但永不相交的直线",
|
||
"方程": "$y = \\pm \\frac{b}{a}x$（标准位置时）",
|
||
"几何特征": "双曲线与渐近线无限接近但永不相交"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "渐近线描述了双曲线在无穷远处的走向趋势",
|
||
"核心特征": [
|
||
"控制开口趋势",
|
||
"与双曲线永不相交",
|
||
"可由辅助矩形对角线确定"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究双曲线形状和趋势的重要工具",
|
||
"特殊说明": "等轴双曲线的渐近线互相垂直"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-02 双曲线的标准方程", "极限概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["渐近线求解", "图形绘制", "趋势分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.2.2节 P60-62"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["渐近线求解", "图形分析", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "双曲线的离心率",
|
||
"类型": "概念/公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "双曲线的焦距与实轴长的比",
|
||
"公式": "$e = \\frac{c}{a}$",
|
||
"范围": "$e > 1$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "离心率定量刻画了双曲线的张口大小",
|
||
"核心特征": [
|
||
"刻画张口大小",
|
||
"e越大张口越大",
|
||
"反映双曲线的形状特征"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "比较双曲线形状的重要参数",
|
||
"特殊说明": "离心率是双曲线的固有性质"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-01 双曲线的定义", "K3-2-1-02 双曲线的标准方程"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["形状比较", "参数计算", "几何应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.2.2节 P63"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["离心率计算", "形状比较", "几何分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-2-1-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "等轴双曲线",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "实轴和虚轴等长的双曲线",
|
||
"方程": "$x^2 - y^2 = a^2$（标准位置时）",
|
||
"特征": "$a = b$，渐近线$y = \\pm x$且互相垂直"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "等轴双曲线是双曲线的特殊情况，具有更简洁的性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"实轴虚轴相等",
|
||
"渐近线互相垂直",
|
||
"性质更加特殊"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究特殊双曲线性质的需要",
|
||
"特殊说明": "等轴双曲线的离心率$e = \\sqrt{2}$"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-2-1-02 双曲线的标准方程", "K3-2-1-04 双曲线的渐近线"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["特殊方程求解", "性质应用", "图形分析"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.2.2节 P62"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "基础",
|
||
"考查方式": ["特殊方程", "性质应用", "图形分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "抛物线的定义",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线",
|
||
"焦点": "定点F称为抛物线的焦点",
|
||
"准线": "定直线l称为抛物线的准线"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "抛物线是圆锥曲线中最简单的情况，描述了到定点和定直线距离相等的点的集合",
|
||
"核心特征": [
|
||
"到定点和定直线距离相等",
|
||
"只有一个焦点和一条准线",
|
||
"具有轴对称性"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究抛物线性质的基础",
|
||
"特殊说明": "定点不在定直线上"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-1-1-05 椭圆的另一种定义", "点到直线距离公式"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-3-1-02 抛物线的标准方程", "K3-3-1-03 抛物线的几何性质"],
|
||
"相关方法": ["轨迹方程求解", "几何作图"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.3节 P64"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "轨迹判断", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "抛物线的标准方程",
|
||
"类型": "公式",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"开口向右": "$y^2 = 2px \\quad (p>0)$，焦点$F(\\frac{p}{2},0)$，准线$x = -\\frac{p}{2}$",
|
||
"开口向左": "$y^2 = -2px \\quad (p>0)$，焦点$F(-\\frac{p}{2},0)$，准线$x = \\frac{p}{2}$",
|
||
"开口向上": "$x^2 = 2py \\quad (p>0)$，焦点$F(0,\\frac{p}{2})$，准线$y = -\\frac{p}{2}$",
|
||
"开口向下": "$x^2 = -2py \\quad (p>0)$，焦点$F(0,-\\frac{p}{2})$，准线$y = \\frac{p}{2}$"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样建立": "根据抛物线定义，通过适当的坐标系选择得到四种标准形式",
|
||
"核心特征": [
|
||
"形式简洁",
|
||
"参数p的几何意义明确",
|
||
"四种开口方向"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "定量研究抛物线性质的基础",
|
||
"特殊说明": "p表示焦点到准线的距离"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-3-1-01 抛物线的定义", "点到直线距离公式"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K3-3-1-03 抛物线的几何性质"],
|
||
"相关方法": ["方程建立", "参数求解", "轨迹方程"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.3节 P65-67"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["方程建立", "参数计算", "标准方程求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K3-3-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "抛物线的几何性质",
|
||
"类型": "性质/特征",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"范围": "根据开口方向确定",
|
||
"对称性": "关于对称轴对称",
|
||
"顶点": "坐标原点(0,0)",
|
||
"离心率": "$e = 1$",
|
||
"焦半径": "焦点到抛物线上点的距离"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么研究这些性质": "通过几何性质可以全面了解抛物线的形状特征",
|
||
"核心特征": [
|
||
"只有一个顶点",
|
||
"离心率恒为1",
|
||
"具有良好光学性质"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "抛物线几何应用的基础",
|
||
"特殊说明": "抛物线的离心率恒为1，这是与椭圆、双曲线的重要区别"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K3-3-1-02 抛物线的标准方程"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"相关方法": ["几何作图", "性质应用", "光学应用"],
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册第3章3.3节 P68-70"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "参数计算", "几何分析"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |