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JSON
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{
|
||
"章节信息": {
|
||
"章": "第六章",
|
||
"章名": "平面向量及其应用",
|
||
"节": "6.1-6.10",
|
||
"小节": "6.1.1-6.2.3等",
|
||
"页码范围": "8-100"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "平面向量的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "既有大小又有方向的量叫做向量，而只有大小没有方向的量称为数量",
|
||
"关键要素": ["大小", "方向"],
|
||
"符号表示": "印刷用黑体a，书写用a→"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "从物理量（力、位移、速度等）抽象出来，这些量都有大小和方向两个属性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"具有大小和方向两个基本属性",
|
||
"与数量（只有大小）相区别"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述既有大小又有方向的物理量和数学量",
|
||
"特殊说明": "向量与数量有本质区别"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["必修第一册 集合概念", "物理中的矢量概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-1-1-02 有向线段", "K6-1-1-03 向量的几何表示"],
|
||
"常见混淆": "数量与向量的区别，矢量与标量的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1节 P8-10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "判断识别", "实际应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "有向线段",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→",
|
||
"关键要素": ["起点", "方向", "长度"],
|
||
"符号表示": "AB→"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "用直观的几何图形表示向量，便于理解和操作",
|
||
"核心特征": [
|
||
"起点必须写在终点前面",
|
||
"包含三个要素：起点、方向、长度"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量的几何表示基础",
|
||
"特殊说明": "知道了起点、方向和长度，终点就唯一确定了"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "有向线段与普通线段的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.2节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["作图", "计算", "判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量的几何表示",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量可以用有向线段AB→来表示，有向线段的长度|AB→|表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向",
|
||
"关键要素": ["长度表示大小", "方向表示方向"],
|
||
"符号表示": "AB→或a"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样表示": "使向量有了直观形象，便于几何理解和运算",
|
||
"核心特征": [
|
||
"用线段长度表示向量大小",
|
||
"用箭头指向表示向量方向"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算和性质研究的基础",
|
||
"特殊说明": "可用字母a,b,c等表示向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念", "K6-1-1-02 有向线段"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "向量与有向线段的关系",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.2节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["表示方法", "图形理解", "运算基础"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量的长度（模）",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量AB→的大小称为向量AB→的长度（或称模），记作|AB→|",
|
||
"关键要素": ["大小", "非负性"],
|
||
"符号表示": "|AB→|或|a|"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么要有长度概念": "长度是向量的基本属性，用于向量的大小比较和运算",
|
||
"核心特征": [
|
||
"向量的长度是一个非负实数",
|
||
"长度为零的向量是零向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算和性质的重要参数",
|
||
"特殊说明": "向量的长度与向量的方向同样重要"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-03 向量的几何表示"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-1-1-05 零向量", "K6-1-1-06 单位向量"],
|
||
"常见混淆": "向量长度与向量的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.2节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算", "比较", "运算应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "零向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "长度为0的向量叫做零向量，记作0",
|
||
"关键要素": ["长度为零", "方向不确定"],
|
||
"符号表示": "0"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么引入零向量": "完善向量体系，便于向量运算的完备性",
|
||
"核心特征": [
|
||
"长度为0",
|
||
"方向可以是任意方向",
|
||
"与任意向量平行"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量减法和运算律的需要",
|
||
"特殊说明": "零向量的相反向量仍是零向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-04 向量的长度（模）"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "零向量与数字0的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.2节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["性质判断", "运算应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "单位向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量",
|
||
"关键要素": ["长度为1", "方向任意的"],
|
||
"符号表示": "e（通常用e表示单位向量）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么引入单位向量": "标准化向量，便于表示方向和进行向量运算",
|
||
"核心特征": [
|
||
"长度固定为1",
|
||
"可以是任意方向",
|
||
"用于表示特定方向"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "表示方向和向量标准化的基础",
|
||
"特殊说明": "同一方向可以有两个相反的单位向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-04 向量的长度（模）"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "单位向量与方向向量的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.2节 P10"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["识别", "构造", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-07",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "平行向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "方向相同或相反的非零向量叫做平行向量",
|
||
"关键要素": ["方向相同或相反", "非零向量"],
|
||
"符号表示": "a∥b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述向量间的方向关系，是向量共线概念的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"方向相同或相反",
|
||
"不包括零向量（另有规定）",
|
||
"是向量间的基本位置关系"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究向量位置关系的基础",
|
||
"特殊说明": "规定零向量与任意向量平行"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-1-1-08 共线向量"],
|
||
"常见混淆": "平行与共线的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.3节 P10-11"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["判断识别", "关系分析", "运算基础"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-08",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "共线向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "平行向量也叫做共线向量，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上",
|
||
"关键要素": ["可平移到同一直线", "方向关系"],
|
||
"符号表示": "a∥b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么叫共线向量": "因为平行向量可以通过平移使其在同一直线上表示",
|
||
"核心特征": [
|
||
"可以平移到同一直线",
|
||
"保持方向不变",
|
||
"便于几何理解"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量几何表示和运算的重要概念",
|
||
"特殊说明": "共线不要求有公共起点"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-07 平行向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "共线向量与平行向量的关系",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.3节 P11"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["判断", "作图", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-1-1-09",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "相等向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "长度相等且方向相同的向量叫做相等向量",
|
||
"关键要素": ["长度相等", "方向相同"],
|
||
"符号表示": "a = b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立向量等价关系，是向量运算的基础",
|
||
"核心特征": [
|
||
"大小和方向都相同",
|
||
"与起点位置无关",
|
||
"可用同一条有向线段表示"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量相等性质和运算的基础",
|
||
"特殊说明": "任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-04 向量的长度（模）", "K6-1-1-07 平行向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "相等向量与相同位置向量的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.1.3节 P11"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["判断识别", "运算应用", "性质证明"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "向量的加法运算",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "已知非零向量a,b，在平面内取任意一点A，作AB→=a，BC→=b，则向量AC→叫做a与b的和，记作a+b",
|
||
"关键要素": ["首尾相接", "和向量"],
|
||
"符号表示": "a+b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "从位移合成和力合成等物理现象抽象而来，符合实际应用需求",
|
||
"核心特征": [
|
||
"基于物理背景",
|
||
"可以用三角形法则作图",
|
||
"结果仍是向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算体系的基础运算",
|
||
"特殊说明": "零向量与任意向量的加法满足a+0=a"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念", "K6-1-1-03 向量的几何表示"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-2-1-02 向量加法的三角形法则", "K6-2-1-03 向量加法的平行四边形法则"],
|
||
"常见混淆": "向量加法与数量加法的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.1节 P14-17"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["作图", "计算", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量加法的三角形法则",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "在平面内任取一点A，作AB→=a，BC→=b，则向量AC→=a+b，这种求向量和的方法称为三角形法则",
|
||
"关键要素": ["首尾相接", "三角形"],
|
||
"几何表示": "AB→+BC→=AC→"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么使用三角形法则": "直观体现了向量合成的几何意义，便于理解和作图",
|
||
"核心特征": [
|
||
"第一个向量的终点作为第二个向量的起点",
|
||
"和向量从第一个向量起点指向第二个向量终点",
|
||
"位移的合成是三角形法则的物理模型"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量加法的基本作图方法",
|
||
"特殊说明": "适用于任意两个向量的加法"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-1-01 向量的加法运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "三角形法则与平行四边形法则的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.1节 P14-15"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["作图应用", "计算验证", "物理应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量加法的平行四边形法则",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "以同一点O为起点的两个已知向量a,b，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的向量OC→就是向量a与b的和",
|
||
"关键要素": ["同起点", "平行四边形", "对角线"],
|
||
"几何表示": "以OA,OB为邻边的平行四边形对角线OC→"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么使用平行四边形法则": "力的合成是平行四边形法则的物理模型，直观易懂",
|
||
"核心特征": [
|
||
"两个向量有共同起点",
|
||
"构成平行四边形的邻边",
|
||
"对角线表示和向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量加法的另一种重要方法",
|
||
"特殊说明": "与三角形法则本质上是一致的"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-1-01 向量的加法运算", "平行四边形性质"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "平行四边形法则与三角形法则的关系",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.1节 P15-16"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["作图应用", "物理应用", "证明题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量加法的运算律",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"交换律": "a+b=b+a",
|
||
"结合律": "(a+b)+c=a+(b+c)",
|
||
"性质": "向量加法满足交换律和结合律"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么成立": "可以通过几何作图验证，符合代数运算的基本性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"交换律：改变加法顺序结果不变",
|
||
"结合律：多个向量连加可以任意结合",
|
||
"简化向量运算"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量代数运算的基础",
|
||
"特殊说明": "使得向量运算更加灵活方便"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-1-01 向量的加法运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "向量加法运算律与实数加法运算律的异同",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.1节 P16"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算验证", "性质应用", "证明题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-2-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "相反向量",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a",
|
||
"关键要素": ["长度相等", "方向相反"],
|
||
"符号表示": "-a"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么引入相反向量": "为定义向量减法做准备，完善向量运算体系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"-(-a)=a",
|
||
"a+(-a)=(-a)+a=0",
|
||
"a与-b互为相反向量当且仅当a=-b"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量减法定义的基础",
|
||
"特殊说明": "零向量的相反向量仍是零向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "相反向量与反向向量的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.2节 P18-19"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "运算应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-2-02",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "向量的减法运算",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)",
|
||
"关键要素": ["加相反向量", "差的定义"],
|
||
"符号表示": "a-b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "类比数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数",
|
||
"核心特征": [
|
||
"减法可以转化为加法",
|
||
"结果仍是向量",
|
||
"是加法的逆运算"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "完善向量运算体系，解决向量差的问题",
|
||
"特殊说明": "向量的减法可以转化为向量的加法"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-1-01 向量的加法运算", "K6-2-2-01 相反向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-2-2-03 向量减法的几何意义"],
|
||
"常见混淆": "向量减法与向量加法的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.2节 P18-19"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算", "作图", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-2-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量减法的几何意义",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量",
|
||
"几何表示": "若OA→=a，OB→=b，则BA→=a-b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样表示": "通过向量加法的平行四边形法则推导得出，直观易懂",
|
||
"核心特征": [
|
||
"从b的终点指向a的终点",
|
||
"构成三角形OBA",
|
||
"便于几何作图和理解"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量减法的作图方法，便于几何应用",
|
||
"特殊说明": "两个向量要有共同的起点"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-2-02 向量的减法运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "a-b与b-a的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.2节 P18-19"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["作图", "计算", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-3-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "向量的数乘运算",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定为：(1)|λa|=|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反",
|
||
"关键要素": ["实数乘向量", "长度和方向的确定"],
|
||
"符号表示": "λa"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "类比数的乘法，从a+a+a等多次加法抽象而来，符合几何直观",
|
||
"核心特征": [
|
||
"结果是向量",
|
||
"长度是原向量长度的|λ|倍",
|
||
"方向由λ的符号决定"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量与数的结合，扩大向量运算范围",
|
||
"特殊说明": "当λ=0时，λa=0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念", "实数运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-2-3-02 向量数乘的运算律"],
|
||
"常见混淆": "数乘与数量乘法的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.3节 P20-23"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算", "作图", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-3-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量数乘的运算律",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"结合律": "λ(μa)=(λμ)a",
|
||
"分配律1": "(λ+μ)a=λa+μa",
|
||
"分配律2": "λ(a+b)=λa+λb"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么成立": "可以通过几何作图或代数推导验证，符合运算的基本性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"结合律：数乘的结合",
|
||
"分配律：数乘对加法的分配",
|
||
"简化向量线性运算"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量线性运算的基础",
|
||
"特殊说明": "适用于任意实数和向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-3-01 向量的数乘运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "分配律的两个形式的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.3节 P21"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算验证", "证明", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-3-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量共线的充要条件",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定理": "向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa",
|
||
"条件": "a≠0，b与a共线",
|
||
"结论": "存在唯一λ使b=λa"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么成立": "从向量数乘的几何意义和共线向量的定义推导得出",
|
||
"核心特征": [
|
||
"充要条件",
|
||
"λ的唯一性",
|
||
"a为非零向量"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断向量共线和表示共线向量的重要定理",
|
||
"特殊说明": "λ是唯一的实数"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-3-01 向量的数乘运算", "K6-1-1-08 共线向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "充要条件的理解和应用",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.3节 P23"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["证明", "应用", "参数求解"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-4-01",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量的夹角",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "已知两个非零向量a,b，O是平面上的任意一点，作OA→=a, OB→=b，则∠AOB=θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角",
|
||
"关键要素": ["同起点", "角度范围", "非零向量"],
|
||
"符号表示": "∠AOB或⟨a,b⟩"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么定义夹角": "为定义向量数量积做准备，描述向量间的方向关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"夹角范围为0到π",
|
||
"当θ=0时，a与b同向",
|
||
"当θ=π时，a与b反向"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量数量积定义的基础",
|
||
"特殊说明": "只适用于非零向量"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-01 平面向量的概念", "K6-1-1-03 向量的几何表示"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-2-4-02 向量垂直"],
|
||
"常见混淆": "向量夹角与直线夹角的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.4节 P24-26"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["计算", "判断", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-4-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量垂直",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果向量a与b的夹角是π/2，我们说a与b垂直，记作a⊥b",
|
||
"关键要素": ["夹角为直角", "相互垂直"],
|
||
"符号表示": "a⊥b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么引入垂直概念": "描述向量间的重要位置关系，是向量数量积的重要应用",
|
||
"核心特征": [
|
||
"夹角为90度",
|
||
"是向量间特殊的方向关系",
|
||
"在几何应用中非常重要"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量垂直判断和几何应用的基础",
|
||
"特殊说明": "垂直是向量间的重要位置关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-4-01 向量的夹角"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "向量垂直与直线垂直的关系",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.4节 P24"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["判断", "证明", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-4-03",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "向量的数量积",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=|a||b|cosθ",
|
||
"关键要素": ["数量结果", "长度乘积", "夹角余弦"],
|
||
"符号表示": "a·b"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "从物理中功的概念抽象而来，W=|F||s|cosθ，反映两向量的投影关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"结果是数量（标量）",
|
||
"与向量的长度和夹角有关",
|
||
"反映向量的投影关系"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量运算体系的重要组成部分，有广泛的应用",
|
||
"特殊说明": "规定零向量与任一向量的数量积为0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-1-1-04 向量的长度（模）", "K6-2-4-01 向量的夹角", "三角函数余弦"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K6-2-4-04 向量数量积的性质", "K6-2-4-05 向量数量积的运算律"],
|
||
"常见混淆": "数量积与向量积的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.4节 P24-28"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算", "性质应用", "几何应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-4-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量数量积的性质",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"性质1": "a·e = e·a = |a|cosθ（e为单位向量）",
|
||
"性质2": "a⊥b ⇔ a·b = 0",
|
||
"性质3": "当a与b同向时，a·b = |a||b|；当a与b反向时，a·b = -|a||b|",
|
||
"性质4": "a·a = |a|² 或 |a| = √(a·a)",
|
||
"性质5": "|a·b| ≤ |a||b|"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这些性质成立": "由向量数量积的定义和几何意义推导得出",
|
||
"核心特征": [
|
||
"反映向量的投影关系",
|
||
"提供了判断垂直的方法",
|
||
"建立了向量长度与数量积的关系"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量数量积计算和应用的基础",
|
||
"特殊说明": "这些性质在几何证明和计算中非常重要"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-4-03 向量的数量积", "K6-1-1-06 单位向量"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "各个性质的应用条件和范围",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.4节 P26-27"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["性质应用", "计算验证", "证明题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-4-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量数量积的运算律",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"交换律": "a·b = b·a",
|
||
"数乘结合律": "(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)",
|
||
"分配律": "(a+b)·c = a·c + b·c"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么成立": "可以通过向量投影或坐标运算验证，符合代数运算的基本性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"交换律：改变顺序结果不变",
|
||
"数乘结合律：实数可以提取",
|
||
"分配律：对向量加法的分配"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "向量数量积运算的基础，简化计算过程",
|
||
"特殊说明": "注意与向量乘法的区别，数量积不满足结合律"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-4-03 向量的数量积", "K6-2-3-01 向量的数乘运算"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "数量积运算律与实数乘法运算律的异同",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.4节 P27-28"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["计算验证", "证明", "应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K6-2-4-06",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "向量投影",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "向量a向向量b投影是指：过向量a的起点和终点分别作向量b所在直线的垂线，得到的新向量称为向量a在向量b上的投影向量",
|
||
"投影向量公式": "设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则投影向量为|a|cosθ·e"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么引入投影概念": "为理解向量数量积的几何意义，便于几何应用",
|
||
"核心特征": [
|
||
"投影向量与原向量b共线",
|
||
"投影向量的长度为|a|cosθ",
|
||
"方向由cosθ的符号决定"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "理解向量数量积几何意义的基础",
|
||
"特殊说明": "投影是数量积几何意义的关键"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K6-2-4-01 向量的夹角", "K6-1-1-06 单位向量", "K6-2-4-03 向量的数量积"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "投影向量与投影长度的区别",
|
||
"教材位置": "必修第二册 第6章6.2.4节 P25-26"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "几何应用", "计算"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |