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18 KiB
JSON
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JSON
{
|
||
"method_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "M5-1-1-01",
|
||
"名称": "平均变化率计算法",
|
||
"类型": "计算方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数在某区间上的平均变化率",
|
||
"识别特征": "给定函数和区间，求平均变化率",
|
||
"典型形式": "求函数f(x)从x₀到x₀+Δx的平均变化率"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "确定函数f(x)和区间[x₀, x₀+Δx]",
|
||
"注意事项": "明确起点x₀和区间长度Δx"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算函数值变化量Δy = f(x₀+Δx) - f(x₀)",
|
||
"注意事项": "注意函数值的准确计算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算平均变化率Δy/Δx",
|
||
"注意事项": "确保Δx≠0，化简结果"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["变化率思想", "平均思想"],
|
||
"解题策略": "通过差商计算函数在区间内的平均变化快慢",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-1-1-01 平均变化率"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-1-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆平均变化率和瞬时变化率",
|
||
"原因": "对概念理解不清",
|
||
"正确做法": "平均变化率对应区间，瞬时变化率对应点"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P64-69"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-1-1-02",
|
||
"名称": "导数定义求导法",
|
||
"类型": "计算方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "用导数定义求函数在某点的导数",
|
||
"识别特征": "要求用定义求导数，或简单函数求导",
|
||
"典型形式": "用导数定义求f'(x₀)"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "计算Δy = f(x₀+Δx) - f(x₀)",
|
||
"注意事项": "准确展开函数表达式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "求差商Δy/Δx",
|
||
"注意事项": "约分化简，消去Δx因子"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "求极限lim(Δx→0) Δy/Δx",
|
||
"注意事项": "直接代入Δx=0或用极限运算法则"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["极限思想", "逼近思想"],
|
||
"解题策略": "通过极限过程精确刻画瞬时变化率",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-1-1-02 导数的概念"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-1-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "直接对Δx=0代入导致0/0不定式",
|
||
"原因": "忽略极限过程，直接代入",
|
||
"正确做法": "先化简差商，再求极限"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P70-77"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-1-1-03",
|
||
"名称": "切线方程求解法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求曲线在某点处的切线方程",
|
||
"识别特征": "给定曲线和切点，求切线方程",
|
||
"典型形式": "求曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "求导数f'(x)",
|
||
"注意事项": "确保导数计算正确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算切点处的导数值k = f'(x₀)",
|
||
"注意事项": "切点横坐标x₀的准确代入"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "写出切线方程：y - f(x₀) = k(x - x₀)",
|
||
"注意事项": "可以使用点斜式或斜截式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "化简切线方程",
|
||
"注意事项": "整理成标准形式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["以直代曲思想", "局部线性化"],
|
||
"解题策略": "利用导数的几何意义，通过点斜式求切线方程",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-1-1-03 导数的几何意义",
|
||
"K5-1-2-02 切线的斜率"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-1-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆切点和导数值的关系",
|
||
"原因": "对导数几何意义理解不清",
|
||
"正确做法": "切点在曲线上，切线斜率等于该点导数"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P72-79"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-2-1-01",
|
||
"名称": "基本初等函数求导法",
|
||
"类型": "计算方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求基本初等函数的导数",
|
||
"识别特征": "常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数",
|
||
"典型形式": "求f(x) = c, x^α, a^x, log_a x, sin x, cos x等的导数"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "识别函数类型",
|
||
"注意事项": "准确判断是哪种基本初等函数"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "套用相应的导数公式",
|
||
"注意事项": "记忆准确的导数公式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "化简结果",
|
||
"注意事项": "注意特殊情况的化简"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["公式化思想", "模式识别"],
|
||
"解题策略": "直接套用基本导数公式，快速计算",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-2-1-01 基本初等函数的导数"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-2-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "记忆错误的导数公式",
|
||
"原因": "公式记忆不牢",
|
||
"正确做法": "系统记忆，通过练习巩固"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 2,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P77-86"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-2-2-01",
|
||
"名称": "导数四则运算法",
|
||
"类型": "计算方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求多个函数通过四则运算构成的复杂函数的导数",
|
||
"识别特征": "函数包含加、减、乘、除运算",
|
||
"典型形式": "求f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x)的导数"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "分析函数的结构，识别运算法则",
|
||
"注意事项": "确定使用和差、积还是商的法则"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "分别求各部分的导数",
|
||
"注意事项": "确保每个基本函数的导数正确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "应用相应的四则运算法则",
|
||
"注意事项": "注意符号和运算顺序"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "化简最终结果",
|
||
"注意事项": "约分、合并同类项"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["分解思想", "运算法则"],
|
||
"解题策略": "将复杂函数分解为基本函数，分别求导后组合",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-2-2-01 导数的四则运算法则",
|
||
"K5-2-1-01 基本初等函数的导数"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M5-2-1-01 基本初等函数求导法"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-2-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "商的法则符号错误或分子分母颠倒",
|
||
"原因": "公式记忆不准确",
|
||
"正确做法": "记住(f/g)' = (f'g - fg')/g²，分子是f'g减去fg'"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P86-92"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-2-3-01",
|
||
"名称": "复合函数求导的链式法则",
|
||
"类型": "计算方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求复合函数的导数",
|
||
"识别特征": "函数由两个或多个函数嵌套构成",
|
||
"典型形式": "求y = f(g(x))的导数"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "识别复合结构，确定内函数和外函数",
|
||
"注意事项": "正确分析函数的嵌套层次"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "设中间变量u = g(x)",
|
||
"注意事项": "明确中间变量和函数关系"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "分别求内函数和外函数的导数",
|
||
"注意事项": "du/dx和dy/du的计算"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "应用链式法则：dy/dx = dy/du × du/dx",
|
||
"注意事项": "将中间变量换回x的表达式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["链式思想", "分层处理"],
|
||
"解题策略": "逐层求导，层层相乘，化简结果",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-2-3-01 复合函数的导数"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M5-2-1-01 基本初等函数求导法", "M5-2-2-01 导数四则运算法"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-2-3-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "遗漏中间层，只求最外层导数",
|
||
"原因": "复合结构分析不清",
|
||
"正确做法": "逐层分析，确保每层都求导"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P92-99"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-3-1-01",
|
||
"名称": "利用导数判断函数单调性",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "判断函数的单调性或求单调区间",
|
||
"识别特征": "给定函数，要求判断单调性或求单调区间",
|
||
"典型形式": "求函数f(x)的单调区间"或"判断f(x)在区间上的单调性"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "求函数f(x)的导数f'(x)",
|
||
"注意事项": "确保求导正确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "解不等式f'(x) > 0和f'(x) < 0",
|
||
"注意事项": "注意定义域的限制"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定单调区间",
|
||
"注意事项": "f'(x) > 0对应增区间，f'(x) < 0对应减区间"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "检验特殊情况",
|
||
"注意事项": "检查f'(x) = 0的点及其附近的单调性"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["导数判别思想", "符号分析"],
|
||
"解题策略": "通过导数的正负判断函数的变化趋势",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-3-1-01 函数的单调性与导数的关系"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-3-1-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "忽略函数的定义域限制",
|
||
"原因": "只关注导数符号，忘记原函数定义域",
|
||
"正确做法": "单调区间必须在函数定义域内"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P89-99"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-3-2-01",
|
||
"名称": "函数极值求解法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数的极值或极值点",
|
||
"识别特征": "给定函数，要求求极值或极值点",
|
||
"典型形式": "求函数f(x)的极值"或"求f(x)的极值点"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "求导数f'(x)",
|
||
"注意事项": "确保求导正确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "求驻点：解方程f'(x) = 0",
|
||
"注意事项": "求出所有可能的极值点"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "用第一充分条件判断极值",
|
||
"注意事项": "检查驻点两侧导数的符号变化"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "计算极值",
|
||
"注意事项": "将极值点代入原函数求极值"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["极值思想", "临界点分析"],
|
||
"解题策略": "通过导数为零找到临界点，分析符号变化确定极值",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-3-2-01 函数的极值"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-3-2-E01"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "认为f'(x) = 0的点都是极值点",
|
||
"原因": "忽略充分条件的验证",
|
||
"正确做法": "必须验证导数在该点两侧是否变号"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P94-106"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-3-2-02",
|
||
"名称": "函数最值求解法",
|
||
"类型": "解题方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "求函数在闭区间上的最大值和最小值",
|
||
"识别特征": "给定函数和闭区间，求最值",
|
||
"典型形式": "求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "求函数在区间(a,b)内的所有极值",
|
||
"注意事项": "找出所有极值点和对应的极值"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "计算区间端点处的函数值f(a)和f(b)",
|
||
"注意事项": "不要遗漏端点值"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "比较所有候选值的大小",
|
||
"注意事项": "包括极值和端点值"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "确定最大值和最小值",
|
||
"注意事项": "最大值是候选值中最大的，最小值是最小的"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["比较思想", "全局最优"],
|
||
"解题策略": "通过比较所有可能的最值候选点，确定全局最值",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-3-2-02 函数的最大值与最小值"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M5-3-2-01 函数极值求解法"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-3-2-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "遗漏端点处的函数值比较",
|
||
"原因": "只关注极值，忘记端点",
|
||
"正确做法": "必须比较所有极值和两个端点值"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 4,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P106-114"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-3-2-03",
|
||
"名称": "实际优化问题建模法",
|
||
"类型": "应用方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "将实际问题转化为函数最值问题",
|
||
"识别特征": "涉及面积、体积、成本、利润等优化问题",
|
||
"典型形式": "求最大面积、最小成本、最大利润等"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "理解题意，确定优化目标",
|
||
"注意事项": "明确要求最大化还是最小化的量"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "选择适当的变量，建立函数关系",
|
||
"注意事项": "确定自变量和函数的正确对应关系"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "确定函数的定义域",
|
||
"注意事项": "根据实际意义确定变量的取值范围"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 4,
|
||
"步骤描述": "求函数的最值",
|
||
"注意事项": "应用最值求解方法"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 5,
|
||
"步骤描述": "检验结果的实际意义",
|
||
"注意事项": "确保结果符合实际情况"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["建模思想", "最优化思想"],
|
||
"解题策略": "将实际问题抽象为数学模型，应用最值理论求解",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-3-2-02 函数的最大值与最小值"
|
||
],
|
||
|
||
"前置方法": ["M5-3-2-02 函数最值求解法"],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-3-2-E03"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "建模时变量选择不当或关系建立错误",
|
||
"原因": "对实际问题的理解不够深入",
|
||
"正确做法": "仔细分析问题中的数量关系，选择合适的变量"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 5,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P106-114"
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "M5-1-2-01",
|
||
"名称": "瞬时速度计算法",
|
||
"类型": "应用方法",
|
||
|
||
"适用场景": {
|
||
"问题类型": "计算物体在某时刻的瞬时速度",
|
||
"识别特征": "位移函数和时间，求瞬时速度",
|
||
"典型形式": "已知位移函数s(t)，求t = t₀时的瞬时速度"
|
||
},
|
||
|
||
"方法步骤": [
|
||
{
|
||
"步骤序号": 1,
|
||
"步骤描述": "明确位移函数s(t)和时刻t₀",
|
||
"注意事项": "确认位移函数的形式"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 2,
|
||
"步骤描述": "求位移函数的导数s'(t)",
|
||
"注意事项": "导数计算要准确"
|
||
},
|
||
{
|
||
"步骤序号": 3,
|
||
"步骤描述": "计算瞬时速度v = s'(t₀)",
|
||
"注意事项": "将具体时刻代入导数表达式"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"数学思想": ["导数物理应用", "瞬时性思想"],
|
||
"解题策略": "利用导数的物理意义，将瞬时速度问题转化为求导问题",
|
||
|
||
"支撑知识点": [
|
||
"K5-1-2-01 瞬时速度",
|
||
"K5-1-1-02 导数的概念"
|
||
],
|
||
|
||
"典型例题": ["T5-1-1-E02"],
|
||
|
||
"常见错误": [
|
||
{
|
||
"错误描述": "混淆平均速度和瞬时速度",
|
||
"原因": "对速度概念理解不清",
|
||
"正确做法": "平均速度对应区间，瞬时速度对应时刻"
|
||
}
|
||
],
|
||
|
||
"难度等级": 3,
|
||
"教材位置": "选择性必修第一册 P60-69"
|
||
}
|
||
]
|
||
} |