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25 KiB
JSON
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{
|
||
"教材信息": {
|
||
"教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
|
||
"册数": "第一册",
|
||
"提取时间": "2025-11-06"
|
||
},
|
||
|
||
"knowledge_list": [
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "集合的概念",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "一些元素组成的总体叫做集合，简称集",
|
||
"关键要素": ["元素", "总体", "确定性"],
|
||
"符号表示": "用大写拉丁字母A, B, C...表示集合"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，需要使用集合的语言",
|
||
"核心特征": [
|
||
"元素的确定性：给定一个集合，元素在或不在集合中是确定的",
|
||
"元素的互异性：集合中元素不重复出现",
|
||
"元素的无序性：元素排列顺序无关"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "研究数学问题时需要明确研究对象和范围",
|
||
"特殊说明": "较小的数不能构成集合，因为组成它的元素不确定"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": [],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-1-1-02", "K1-1-1-03"],
|
||
"常见混淆": "集合与一般的数的概念不同",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.1节 P6"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "判断识别", "元素与集合关系"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "元素与集合的关系",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果a是集合A的元素，就说a属于集合A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A",
|
||
"关键要素": ["属于关系", "不属于关系"],
|
||
"符号表示": "a ∈ A（属于），a ∉ A（不属于）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "为了准确描述元素与集合之间的关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"属于关系是二元关系",
|
||
"关系是确定的，非此即彼"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断元素是否在给定集合中",
|
||
"特殊说明": "一个元素要么属于集合，要么不属于集合，不能同时属于或不属于"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "属于关系∈与包含关系⊆的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.1节 P6-7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["符号填空", "关系判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "常用数集及其记法",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "数学中一些常用的数集及其专用记法",
|
||
"关键要素": ["数集", "专用记法"],
|
||
"符号表示": {
|
||
"N": "非负整数集（自然数集）",
|
||
"N*或N+": "正整数集",
|
||
"Z": "整数集",
|
||
"Q": "有理数集",
|
||
"R": "实数集"
|
||
}
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "为了简洁地表示各类数的集合，便于数学表达",
|
||
"核心特征": [
|
||
"国际通用记法",
|
||
"来源于德文、法文等词的首字母"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "在数学表达中频繁使用这些数集",
|
||
"特殊说明": "N包含0，N*不包含0"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "N与N*的区别，Q与R的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.1节 P7"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["记法识别", "符号使用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "列举法",
|
||
"类型": "方法/表示",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法",
|
||
"关键要素": ["一一列举", "花括号"],
|
||
"符号表示": "{a, b, c, ...}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "当集合元素有限且较少时，列举法直观明了",
|
||
"核心特征": [
|
||
"直观性：所有元素清晰可见",
|
||
"有限性：适用于有限集",
|
||
"无序性：元素顺序不影响集合相等"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "适用于元素个数有限的集合",
|
||
"特殊说明": "元素相同的集合相等，与列举顺序无关"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "列举顺序不同但元素相同的集合是相等的",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.1节 P7-8"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["集合表示", "集合相等判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-1-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "描述法",
|
||
"类型": "方法/表示",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "利用集合中元素的共同特征来表示集合的方法",
|
||
"关键要素": ["共同特征", "条件描述"],
|
||
"符号表示": "{x ∈ A | P(x)} 或 {x|P(x)}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "当集合元素无限或较多时，描述法更加简洁有效",
|
||
"核心特征": [
|
||
"简洁性：用特征描述代替逐个列举",
|
||
"普适性：适用于无限集和有限集",
|
||
"准确性：明确元素满足的条件"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "适用于元素有共同特征的集合，特别是无限集",
|
||
"特殊说明": "竖线|也可用冒号:或分号;代替"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "描述法要准确表达元素的共同特征",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.1节 P8-9"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["集合表示", "特征描述"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-2-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "集合间的基本关系",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "集合之间的包含关系与相等关系",
|
||
"关键要素": ["包含关系", "相等关系"],
|
||
"符号表示": ["A ⊆ B", "A ⊂ B", "A = B"]
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "类比实数的大小关系，研究集合之间的关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"传递性：若A⊆B且B⊆C，则A⊆C",
|
||
"自反性：A⊆A",
|
||
"反对称性：若A⊆B且B⊆A，则A=B"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "比较和分析不同集合之间的关系",
|
||
"特殊说明": "包含关系是偏序关系"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-2-1-02", "K1-2-1-03", "K1-2-1-04"],
|
||
"常见混淆": "属于关系与包含关系的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.2节 P11-14"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["关系判断", "符号使用", "Venn图"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-2-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "子集",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集",
|
||
"关键要素": ["任意元素", "包含关系"],
|
||
"符号表示": "A ⊆ B（A包含于B）或 B ⊇ A（B包含A）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述集合之间的包含关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"任意性：A中每个元素都在B中",
|
||
"自反性：任何集合都是自身的子集"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断集合间的基础关系",
|
||
"特殊说明": "空集是任何集合的子集"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "子集与真子集的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.2节 P11-12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["关系判断", "证明题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-2-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "真子集",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果集合A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A，就称集合A是集合B的真子集",
|
||
"关键要素": ["真包含", "存在差异元素"],
|
||
"符号表示": "A ⊂≠ B 或 B ⊃≠ A"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "区分完全相等和严格包含的情况",
|
||
"核心特征": [
|
||
"严格性：A是B的子集但不等于B",
|
||
"非自反性：任何集合都不是自身的真子集"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "精确描述集合间的严格包含关系",
|
||
"特殊说明": "真子集关系不具有自反性"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-2-1-02"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "子集与真子集的符号和含义区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["关系判断", "计数问题"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-2-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "集合相等",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的",
|
||
"关键要素": ["元素相同", "顺序无关"],
|
||
"符号表示": "A = B"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "集合的本质是元素的汇集，与元素顺序无关",
|
||
"核心特征": [
|
||
"无序性：{1,2,3} = {3,2,1}",
|
||
"确定性：通过元素是否相同判断"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断两个集合是否表示同一个概念",
|
||
"特殊说明": "若A⊆B且B⊆A，则A=B"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "集合相等与数值相等的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.1-1.2节"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["集合相等判断", "化简证明"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-2-1-05",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "空集",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "不含任何元素的集合叫做空集",
|
||
"关键要素": ["不含元素", "特殊集合"],
|
||
"符号表示": "∅"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "为了处理某些情况下集合中没有元素的情况",
|
||
"核心特征": [
|
||
"唯一性：空集只有一个",
|
||
"子集性：空集是任何集合的子集"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "表示无解方程的解集等特殊情况",
|
||
"特殊说明": "规定空集是任何集合的子集"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01", "K1-2-1-02"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "空集∅与集合{0}的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.2节 P12"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["概念理解", "特殊情况处理"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-3-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "集合的基本运算",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "集合之间的并集、交集、补集运算",
|
||
"关键要素": ["运算", "新集合"],
|
||
"符号表示": ["∪", "∩", "∁"]
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "类比实数的加减乘除运算，建立集合间的运算关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"封闭性：运算结果仍是集合",
|
||
"可交换性：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "通过已知集合构造新的集合",
|
||
"特殊说明": "需要明确全集才能定义补集"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01", "K1-2-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-3-1-02", "K1-3-1-03", "K1-3-1-04"],
|
||
"常见混淆": "并集与交集的区别，补集与差集的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.3节 P14-18"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["运算计算", "性质应用", "Venn图"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-3-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "并集",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集",
|
||
"关键要素": ["属于A或属于B", "所有元素"],
|
||
"符号表示": "A ∪ B = {x|x ∈ A, 或 x ∈ B}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将两个集合合并成一个大集合",
|
||
"核心特征": [
|
||
"包含性：A ⊆ A∪B，B ⊆ A∪B",
|
||
"最小性：A∪B是同时包含A和B的最小集合"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要将两个集合的所有元素合并时",
|
||
"特殊说明": "公共元素在并集中只出现一次"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "并集∪与交集∩的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.3节 P14-15"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["并集计算", "数轴表示", "Venn图"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-3-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "交集",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集",
|
||
"关键要素": ["属于A且属于B", "公共元素"],
|
||
"符号表示": "A ∩ B = {x|x ∈ A, 且 x ∈ B}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "找出两个集合的公共部分",
|
||
"核心特征": [
|
||
"包含性：A∩B ⊆ A，A∩B ⊆ B",
|
||
"最大性：A∩B是同时包含于A和B的最大集合"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要找出两个集合的共同元素时",
|
||
"特殊说明": "当A∩B = ∅时，称A与B不相交"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "交集∩与并集∪的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.3节 P15-16"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["交集计算", "几何应用", "Venn图"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-3-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "补集",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集",
|
||
"关键要素": ["全集", "相对概念", "不属于A的元素"],
|
||
"符号表示": "∁ᵤA = {x|x ∈ U, 且x ∉ A}"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述在一个确定范围内不属于某集合的元素",
|
||
"核心特征": [
|
||
"相对性：补集依赖于全集的选择",
|
||
"互补性：A ∪ ∁ᵤA = U，A ∩ ∁ᵤA = ∅"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要描述在某范围内不满足某条件的元素时",
|
||
"特殊说明": "必须先确定全集才能定义补集"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-3-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "补集与差集的区别，补集的相对性",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.3节 P16-17"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["补集计算", "德摩根定律", "Venn图"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-4-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "充分条件与必要条件",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "描述命题中条件与结论之间的逻辑关系",
|
||
"关键要素": ["推出关系", "逻辑关系"],
|
||
"符号表示": ["p ⇒ q", "p是q的充分条件", "q是p的必要条件"]
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "分析数学命题中条件与结论的逻辑依赖关系",
|
||
"核心特征": [
|
||
"方向性：充分条件与必要条件有明确的方向",
|
||
"传递性：若p⇒q且q⇒r，则p⇒r"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "分析"若p，则q"形式命题的逻辑结构",
|
||
"特殊说明": "充分条件和必要条件可能同时成立"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-4-1-02", "K1-4-1-03", "K1-4-1-04"],
|
||
"常见混淆": "充分条件与必要条件的方向判断",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.4节 P21-27"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["关系判断", "逻辑推理", "实际应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-4-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "充分条件",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果"若p，则q"为真命题，那么p是q的充分条件",
|
||
"关键要素": ["p⇒q", "充分性"],
|
||
"符号表示": "p ⇒ q（p能推出q）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "条件p足以保证结论q的成立",
|
||
"核心特征": [
|
||
"充分性：有p就有q",
|
||
"非必要性：可能有其他条件也能推出q"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断某个条件是否能保证某个结论",
|
||
"特殊说明": "判定定理给出了充分条件"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-4-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "充分条件与必要条件的方向容易混淆",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.4.1节 P21-23"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["条件判断", "定理应用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-4-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "必要条件",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果"若p，则q"为真命题，那么q是p的必要条件",
|
||
"关键要素": ["p⇒q", "必要性"],
|
||
"符号表示": "q是p的必要条件（p成立必须有q）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "结论q是条件p成立的必要前提",
|
||
"核心特征": [
|
||
"必要性：没有q就没有p",
|
||
"非充分性：有q不一定有p"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "判断某个结论是否是某个条件的前提",
|
||
"特殊说明": "性质定理给出了必要条件"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-4-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "必要条件与充分条件的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.4.1节 P23-24"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["条件判断", "逻辑分析"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-4-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "充要条件",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "如果既有p⇒q，又有q⇒p，那么p是q的充要条件",
|
||
"关键要素": ["等价关系", "相互推出"],
|
||
"符号表示": "p ⇔ q"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "描述两个条件完全等价的情况",
|
||
"核心特征": [
|
||
"等价性：p与q可以相互推出",
|
||
"相互性：p是q的充要条件，q也是p的充要条件"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "描述数学定义中的等价条件",
|
||
"特殊说明": "数学定义通常给出充要条件"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-4-1-02", "K1-4-1-03"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "充要条件与充分不必要、必要不充分条件的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.4.2节 P24-27"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "核心",
|
||
"考查方式": ["等价证明", "定义理解", "分类判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-5-1-01",
|
||
"层次": "二级",
|
||
"名称": "量词与量词命题",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "全称量词和存在量词，以及含有这些量词的命题",
|
||
"关键要素": ["量词", "变量限定", "命题判断"],
|
||
"符号表示": ["∀", "∃"]
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "将含有变量的语句变为可以判断真假的命题",
|
||
"核心特征": [
|
||
"限定性：通过量词限定变量的取值范围",
|
||
"确定性：使含变量语句成为命题"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要表达含有变量的全称或存在性判断时",
|
||
"特殊说明": "量词命题的真假判断方法不同"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-1-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": ["K1-5-1-02", "K1-5-1-03", "K1-5-1-04"],
|
||
"常见混淆": "全称量词与存在量词的区别和使用",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.5节 P30-36"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["量词识别", "命题判断", "符号使用"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-5-1-02",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "全称量词",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "表示"所有""任意一个"等意思的量词，用符号∀表示",
|
||
"关键要素": ["全部", "任意", "每一个"],
|
||
"符号表示": "∀（读作'任意一个'）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "表达对某个范围内所有对象的普遍性判断",
|
||
"核心特征": [
|
||
"普遍性：涉及范围内的每一个元素",
|
||
"全部性：不允许有例外"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要表达某个性质对所有对象都成立时",
|
||
"特殊说明": "常见表达：所有、每一个、任意、一切"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-5-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "全称量词与存在量词的使用场景",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.5.1节 P30-33"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["量词识别", "命题表达", "真假判断"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-5-1-03",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "存在量词",
|
||
"类型": "概念/定义",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "表示"存在一个""至少有一个"等意思的量词，用符号∃表示",
|
||
"关键要素": ["存在", "至少一个", "有些"],
|
||
"符号表示": "∃（读作'存在一个'）"
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "表达某个范围内存在至少一个对象具有某性质",
|
||
"核心特征": [
|
||
"存在性：只需要找到至少一个满足条件的对象",
|
||
"非全部性：不要求所有对象都满足条件"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要表达存在性或特殊性判断时",
|
||
"特殊说明": "常见表达：存在、至少有一个、有些、有一个"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-5-1-01"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "存在量词与全称量词的区别",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.5.1节 P33-34"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["量词识别", "命题构造", "举反例"]
|
||
},
|
||
|
||
{
|
||
"编号": "K1-5-1-04",
|
||
"层次": "三级",
|
||
"名称": "量词命题的否定",
|
||
"类型": "定理/性质",
|
||
|
||
"核心内容": {
|
||
"定义": "对含有量词的命题进行否定的规则",
|
||
"关键要素": ["否定规则", "量词转换"],
|
||
"符号表示": {
|
||
"¬(∀x∈M, p(x))": "∃x∈M, ¬p(x)",
|
||
"¬(∃x∈M, p(x))": "∀x∈M, ¬p(x)"
|
||
}
|
||
},
|
||
|
||
"原理说明": {
|
||
"为什么这样定义": "建立量词命题的否定规律，便于逻辑推理",
|
||
"核心特征": [
|
||
"量词互换：全称量词变为存在量词，反之亦然",
|
||
"命题否定：对命题部分进行否定"
|
||
]
|
||
},
|
||
|
||
"适用条件": {
|
||
"必要性": "需要对量词命题进行否定或证明其逆否命题时",
|
||
"特殊说明": "否定后的命题与原命题真假相反"
|
||
},
|
||
|
||
"前置知识": ["K1-5-1-02", "K1-5-1-03"],
|
||
|
||
"关联内容": {
|
||
"包含的子知识点": [],
|
||
"常见混淆": "只否定命题部分而忘记转换量词",
|
||
"教材位置": "必修1 第1章1.5.2节 P33-36"
|
||
},
|
||
|
||
"重要程度": "重要",
|
||
"考查方式": ["命题否定", "真假判断", "逻辑推理"]
|
||
}
|
||
]
|
||
} |