# 5.5 三角恒等变换
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换。观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角 $\alpha$ 的和（或差）的三角函数与这个任意角 $\alpha$ 的三角函数的恒等关系。如果把特殊角换为任意角 $\beta$，那么任意角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和（或差）的三角函数与 $\alpha, \beta$ 的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题。
## 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
### 1. 两角差的余弦公式
> **探究**
>
> 如果已知任意角 $\alpha, \beta$ 的正弦、余弦，能由此推出 $\alpha+\beta, \alpha-\beta$ 的正弦、余弦吗？
下面，我们来探究 $\cos(\alpha-\beta)$ 与角 $\alpha, \beta$ 的正弦、余弦之间的关系。
不妨令 $\alpha \neq 2k\pi+\beta, k \in \mathbb{Z}$.
如图5.5-1，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A(1,0)$，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $\alpha, \beta, \alpha-\beta$，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_1(\cos \alpha, \sin \alpha)$, $A_1(\cos \beta, \sin \beta)$, $P(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta))$.
连接 $A_1P_1, AP$. 若把扇形 $OAP$ 绕着点 $O$ 旋转 $\beta$ 角，则点 $A, P$ 分别与点 $A_1, P_1$ 重合。根据圆的旋转对称性可知，$\overgroup{AP}$ 与 $\overgroup{A_1P_1}$ 重合，从而 $\overgroup{AP}=\overgroup{A_1P_1}$，所以 $AP=A_1P_1$.
> 图 5.5-1
>
> （此处应为示意图，表示单位圆中角 $\alpha, \beta, \alpha-\beta$ 及其终边和对应的点 $A, P_1, A_1, P$）
> 任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性。
第五章 三角函数 215
根据两点间的距离公式，得
$ [\cos(\alpha-\beta)-1]^2+\sin^2 (\alpha-\beta) $
$ =(\cos \alpha-\cos\beta)^2+(\sin \alpha-\sin\beta)^2 $
化简得
$ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta. $
当 $\alpha=2k\pi+\beta(k\in\mathbb{Z})$ 时，容易证明上式仍然成立。
所以，对于任意角 $\alpha, \beta$ 有
> 平面上任意两点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 间的距离公式 $P_1P_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$
`cos(a-β)=cos acos ẞ+sin asin ẞ.`
$ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta. $ ($C_{(\alpha-\beta)}$)
此公式给出了任意角 $\alpha, \beta$ 的正弦、余弦与其差角 $\alpha-\beta$ 的余弦之间的关系，称为**差角余弦公式**，简记作 $C_{(\alpha-\beta)}$.
**例1** 利用公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 证明：
(1) $ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin \alpha; $
(2) $ \cos(\pi-\alpha)=-\cos \alpha. $
**证明:**
(1) $ \cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos \frac{\pi}{2}\cos \alpha + \sin \frac{\pi}{2}\sin \alpha $
$ =0+1\times \sin \alpha $
$ =\sin \alpha. $
(2) $ \cos(\pi-\alpha)=\cos \pi \cos \alpha + \sin \pi \sin \alpha $
$ =(-1)\times \cos \alpha +0 $
$ =-\cos \alpha. $
**例2** 已知 $\sin \alpha = \frac{4}{5}, \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi), \cos \beta = -\frac{5}{13}, \beta$ 是第三象限角, 求 $\cos(\alpha-\beta)$ 的值。
**解:** 由 $\sin \alpha = \frac{4}{5}, \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, 得
$ \cos \alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha} $
$ = -\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}. $
又由 $ \cos \beta = -\frac{5}{13}, \beta $ 是第三象限角，得
$ \sin \beta = -\sqrt{1-\cos^2\beta} $
$ = -\sqrt{1-(-\frac{5}{13})^2} = -\frac{12}{13}. $
所以
216 第五章 三角函数
```markdown
#
$$
\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
$$
$$
= \left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{4}{5} \times \left(-\frac{12}{13}\right)
$$
$$
= -\frac{33}{65}
$$
## 练习
1. 利用公式$C_{(\alpha-\beta)}$证明:
(1) $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\sin \alpha $;
(2) $ \cos(-\alpha)=\cos \alpha $.
2. 利用公式$C_{(\alpha-\beta)}$求$ \cos 15^{\circ} $的值.
3. 已知 $ \cos \alpha = -\frac{3}{5} $, $ \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) $, 求$ \cos\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) $的值.
4. 已知 $ \sin \theta = \frac{15}{17} $, $ \theta $是第二象限角, 求$ \cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right) $的值.
5. 已知 $ \sin \alpha = -\frac{2}{3} $, $ \alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) $, $ \cos \beta = \frac{3}{4} $, $ \beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) $, 求$ \cos(\beta-\alpha) $的值.
## 2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
> **? 思考**
>
> 由公式$C_{(\alpha-\beta)}$出发,你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?
下面以公式$C_{(\alpha-\beta)}$为基础来推导其他公式.
例如,比较 $ \cos(\alpha-\beta) $ 与 $ \cos(\alpha+\beta) $,并注意到$ \alpha+\beta $与$ \alpha-\beta $之间的联系: $ \alpha+\beta=\alpha-(-\beta) $,则由公式$C_{(\alpha-\beta)}$,有
$$
\cos(\alpha+\beta)=\cos[\alpha-(-\beta)] \\
=\cos \alpha \cos(-\beta)+\sin \alpha \sin(-\beta) \\
=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta.
$$
于是得到了两角和的余弦公式,简记作 $C_{(\alpha+\beta)}$.
> 这里用到的是加法和减法的联系,也可用换元的观点来考虑:由于公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 对于任意$ \alpha, \beta $都成立,那么把其中的$ \beta $换成$ -\beta $后,也一定成立.由此也可推得公式 $C_{(\alpha+\beta)}$.
> $$
> \cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta. \quad (C_{(\alpha+\beta)})
> $$
> **? 探究**
>
> 上面得到了两角和与差的余弦公式,我们知道,用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化,你能根据$C_{(\alpha+\beta)}$,$C_{(\alpha-\beta)}$及诱导公式五(或六),推导出用任意角$ \alpha, \beta $的正弦、余弦表示 $ \sin(\alpha+\beta) $, $ \sin(\alpha-\beta) $的公式吗?
第五章 三角函数 217
```
通过推导，可以得到：
$$
\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta, \quad (S_{(\alpha+\beta)}) \\
\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta. \quad (S_{(\alpha-\beta)})
$$
> 💡 **探究**
> 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从 $C_{(\alpha\pm\beta)}$, $S_{(\alpha\pm\beta)}$ 出发，推导出用任意角 $\alpha, \beta$ 的正切表示 $\tan(\alpha+\beta)$, $\tan(\alpha-\beta)$ 的公式吗？
通过推导，可以得到：
$$
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}, \quad (T_{(\alpha+\beta)}) \\
\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}. \quad (T_{(\alpha-\beta)})
$$
公式 $S_{(\alpha+\beta)}$, $C_{(\alpha+\beta)}$, $T_{(\alpha+\beta)}$ 给出了任意角 $\alpha, \beta$ 的三角函数值与其和角 $\alpha+\beta$ 的三角函数值之间的关系. 为方便起见，我们把这三个公式都叫做**和角公式**.
类似地，$S_{(\alpha-\beta)}$, $C_{(\alpha-\beta)}$, $T_{(\alpha-\beta)}$ 都叫做**差角公式**.
> 💡 **探究**
> 和（差）角公式中，$\alpha, \beta$ 都是任意角. 如果令 $\alpha$ 为某些特殊角，就能得到许多有用的公式. 你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？
**例3** 已知 $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$，$\alpha$ 是第四象限角，求 $\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)$, $\cos(\frac{\pi}{4}+\alpha)$, $\tan(\alpha-\frac{\pi}{4})$ 的值.
**解:** 由 $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$，$\alpha$ 是第四象限角，得
$$
\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5},
$$
所以
$$
\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}.
$$
于是有
$$
\begin{aligned}
\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)&=\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha-\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha \\
&=\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2} \times \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{10};
\end{aligned}
$$
218 第五章 三角函数
$$
\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos\alpha-\sin\frac{\pi}{4}\sin\alpha \\
=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{7\sqrt{2}}{10};
$$
$$
\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan\alpha\tan\frac{\pi}{4}} \\
=\frac{\tan\alpha-1}{1+\tan\alpha} \\
=\frac{\frac{3}{4}-1}{1+\left(-\frac{3}{4}\right)}=-7.
$$
> **? 思考**
> 由以上解答可以看到,在本题条件下有$\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$. 那么对于任意角$\alpha$, 此等式成立吗? 若成立, 你会用几种方法予以证明?
**例4** 利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1) $\sin 72^\circ\cos 42^\circ-\cos 72^\circ\sin 42^\circ$;
(2) $\cos 20^\circ\cos 70^\circ-\sin 20^\circ\sin 70^\circ$;
(3) $\frac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ}$.
**分析:** 和、差角公式把$\alpha\pm\beta$的三角函数式转化成了$\alpha,\beta$的三角函数式, 如果反过来, 从右到左使用公式, 就可以将上述三角函数式化简.
**解:** (1) 由公式$S_{(\alpha-\beta)}$, 得
$$
\sin 72^\circ\cos 42^\circ-\cos 72^\circ\sin 42^\circ \\
=\sin(72^\circ-42^\circ) \\
= \sin 30^\circ \\
= \frac{1}{2}.
$$
(2) 由公式$C_{(\alpha+\beta)}$, 得
$$
\cos 20^\circ\cos 70^\circ-\sin 20^\circ\sin 70^\circ \\
=\cos(20^\circ+70^\circ) \\
= \cos 90^\circ \\
=0.
$$
第五章 三角函数 219
(3) 由公式 $T_{(\alpha+\beta)}$ 及 $\tan 45^\circ=1$, 得
$$
\frac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ} = \frac{\tan 45^\circ+\tan 15^\circ}{1-\tan 45^\circ\tan 15^\circ}
$$
$$
=\tan(45^\circ+15^\circ)
$$
$$
=\tan 60^\circ
$$
$$
=\sqrt{3}.
$$
## 练习
1. 利用和(差)角公式,求下列各式的值:
(1) $\sin 15^\circ$; (2) $\cos 75^\circ$; (3) $\sin 75^\circ$; (4) $\tan 15^\circ$.
2. (1) 已知 $\cos \theta=-\frac{3}{5}$, $\theta \in(\frac{\pi}{2}, \pi)$, 求 $\sin(\theta+\frac{\pi}{3})$的值;
(2) 已知 $\sin \theta=-\frac{12}{13}$, $\theta$是第三象限角,求 $\cos(\frac{\pi}{6}+\theta)$的值;
(3) 已知 $\tan \alpha=3$, 求 $\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})$的值.
3. 求下列各式的值:
(1) $\sin 72^\circ\cos 18^\circ + \cos 72^\circ\sin 18^\circ$;
(2) $\cos 72^\circ\cos 12^\circ+\sin 72^\circ\sin 12^\circ$;
(3) $\frac{\tan 12^\circ+\tan 33^\circ}{1-\tan 12^\circ\tan 33^\circ}$;
(4) $\cos 74^\circ\sin 14^\circ-\sin 74^\circ\cos 14^\circ$;
(5) $\sin 34^\circ\sin 26^\circ-\cos 34^\circ\cos 26^\circ$;
(6) $\sin 20^\circ\cos 110^\circ+\cos 160^\circ\sin 70^\circ$.
4. 化简:
(1) $\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$;
(2) $\sqrt{3}\sin x+\cos x$;
(3) $\sqrt{2}(\sin x-\cos x)$;
(4) $\sqrt{2}\cos x-\sqrt{6}\sin x$.
5. 已知 $\sin(\alpha-\beta)\cos \alpha-\cos(\beta-\alpha)\sin \alpha=\frac{3}{5}$, $\beta$是第三象限角,求 $\sin(\beta+\frac{5\pi}{4})$的值.
---
## 3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
以公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 为基础,我们已经得到六个和(差)角公式,下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.
### 探究
你能利用 $S_{(\alpha\pm\beta)}$, $C_{(\alpha\pm\beta)}$, $T_{(\alpha\pm\beta)}$ 推导出 $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ 的公式吗?
通过推导,可以得到:
220 第五章 三角函数
$$
\begin{aligned}
\sin 2\alpha &= 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad &(\text{S}_{2\alpha}) \\
\cos 2\alpha &= \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha, \quad &(\text{C}_{2\alpha}) \\
\tan 2\alpha &= \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha} \quad &(\text{T}_{2\alpha})
\end{aligned}
$$
如果要求二倍角的余弦公式($\text{C}_{2\alpha}$)中仅含$\alpha$的正弦(余弦),那么又可得到:
$$
\begin{aligned}
\cos 2\alpha &= 1-2\sin^2 \alpha, \\
\cos 2\alpha &= 2\cos^2 \alpha - 1.
\end{aligned}
$$
以上这些公式都叫做**倍角公式**, 倍角公式给出了$\alpha$的三角函数与$2\alpha$ 的三角函数之间的关系.
> 这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去.
### 归纳
从和(差)角公式、倍角公式的推导过程可以发现,这些公式存在紧密的逻辑联系,请你进行归纳总结.
**例5** 已知 $\sin 2\alpha=\frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, 求 $\sin 4\alpha$, $\cos 4\alpha$, $\tan 4\alpha$ 的值.
**分析**: 已知条件给出了$2\alpha$的正弦函数值,由于$4\alpha$是$2\alpha$的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.
**解**: 由 $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, 得
$$
\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi.
$$
又
$$
\sin 2\alpha = \frac{5}{13},
$$
所以
$$
\cos 2\alpha = -\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\frac{12}{13};
$$
> “倍”是描述两个数量之间关系的, $2\alpha$是$\alpha$的二倍, $4\alpha$是$2\alpha$的二倍, $\frac{\alpha}{2}$是$\frac{\alpha}{4}$的二倍,这里蕴含着换元思想.
于是
$$
\begin{aligned}
\sin 4\alpha &= \sin[2 \times (2\alpha)] \\
&= 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \\
&= 2 \times \frac{5}{13} \times \left(-\frac{12}{13}\right) \\
&= -\frac{120}{169};
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\cos 4\alpha &= \cos[2 \times (2\alpha)] \\
&= 1-2\sin^2 2\alpha \\
&= 1-2 \times \left(\frac{5}{13}\right)^2 \\
&= 1-2 \times \frac{25}{169} \\
&= \frac{169-50}{169} \\
&= \frac{119}{169};
\end{aligned}
$$
第五章 三角函数 221
$ \tan 4\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha} $
$ = -\frac{120}{169} \times \frac{169}{119} = -\frac{120}{119} $
**例6** 在$ \triangle ABC $中，$ \cos A = \frac{4}{5} $，$ \tan B = 2 $，求$ \tan(2A+2B) $的值.
**解法1**: 在$ \triangle ABC $中,
由$ \cos A = \frac{4}{5} $，$ 0 < A < \pi $，得
$ \sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} $
所以
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} $
$ \tan 2A = \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{24}{7} $
又$ \tan B = 2 $,
所以
$ \tan 2B = \frac{2\tan B}{1-\tan^2 B} = \frac{2 \times 2}{1 - 2^2} = -\frac{4}{3} $
于是$ \tan(2A+2B) = \frac{\tan 2A + \tan 2B}{1 - \tan 2A \tan 2B} = \frac{\frac{24}{7} + \left(-\frac{4}{3}\right)}{1 - \frac{24}{7} \times \left(-\frac{4}{3}\right)} = \frac{44}{117} $
> ?
> $2A+2B$ 与 $A, B$ 之间能构成怎样的关系?
**解法2**: 在$ \triangle ABC $中,
由$ \cos A = \frac{4}{5} $，$ 0 < A < \pi $，得
$ \sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5} $
所以
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4} $
又$ \tan B = 2 $,
所以
$ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{4} + 2}{1 - \frac{3}{4} \times 2} = -\frac{11}{2} $
222 第五章 三角函数
所以
$$
\begin{align*}
\tan(2A+2B)&=\tan[2(A+B)] \\
&=\frac{2\tan(A+B)}{1-\tan^2(A+B)} \\
&=\frac{2\times\left(-\frac{11}{2}\right)}{1-\left(-\frac{11}{2}\right)^2} = \frac{44}{117}
\end{align*}
$$
---
### 练习
1. 已知 $\cos \frac{\alpha}{8}=-\frac{4}{5}$，$8\pi<\alpha<12\pi$，求 $\sin \frac{\alpha}{4}$，$\cos \frac{\alpha}{4}$，$\tan \frac{\alpha}{4}$ 的值。
2. 已知 $\sin(\alpha-\pi)=\frac{3}{5}$，求 $\cos 2\alpha$ 的值。
3. 已知 $\sin 2\alpha=-\sin \alpha$，$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，求 $\tan \alpha$ 的值。
4. 已知 $\tan 2\alpha=\frac{1}{3}$，求 $\tan \alpha$ 的值。
5. 求下列各式的值:
(1) $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$;
(2) $\cos^2 \frac{\pi}{8}-\sin^2 \frac{\pi}{8}$;
(3) $\frac{\tan 22.5^\circ}{1-\tan^2 22.5^\circ}$;
(4) $2\cos^2 22.5^\circ-1$.
---
第五章 三角函数 223
**转换失败**: 转换第228页失败，已重试3次
## 5.5.2 简单的三角恒等变换
学习了和(差)角公式、二倍角公式以后,我们就有了进行三角恒等变换的新工具,从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富.
### 例7 试以 $\cos \alpha$ 表示 $\sin^2 \frac{\alpha}{2}$, $\cos^2 \frac{\alpha}{2}$, $\tan^2 \frac{\alpha}{2}$.
> **思考**
> $\alpha$ 与 $\frac{\alpha}{2}$ 有什么关系?
**解**: $\alpha$ 是 $\frac{\alpha}{2}$ 的二倍角. 在倍角公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ 中, 以 $\alpha$ 代替 $2\alpha$, 以 $\frac{\alpha}{2}$ 代替 $\alpha$, 得
$$ \cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2} $$
所以
$$ \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2} \quad \text{①} $$
在倍角公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ 中, 以 $\alpha$ 代替 $2\alpha$, 以 $\frac{\alpha}{2}$ 代替 $\alpha$, 得
$$ \cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1 $$
所以
$$ \cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2} \quad \text{②} $$
> **提示**
> 例7的结果还可以表示为:
>
> $$ \sin \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} $$
>
> $$ \cos \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$
>
> $$ \tan \frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} $$
>
> 并称之为半角公式, 符号由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限决定.
将①②两个等式的左右两边分别相除, 得
$$ \tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha} $$
因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异, 而且还会存在所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差异, 所以进行三角恒等变换时, 常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 并以此为依据选择适当的公式. 这是三角恒等变换的一个重要特点.
### 例8 求证:
(1) $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
(2) $\sin \theta + \sin \varphi = 2\sin \frac{\theta + \varphi}{2} \cos \frac{\theta - \varphi}{2}$
> **思考**
> 这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同?
**证明**: (1) 因为
$$ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta $$
$$ \sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta $$
将以上两式的左右两边分别相加, 得
第五章 三角函数 225
$$ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin \alpha\cos \beta, $$
即
$$ \sin \alpha\cos \beta =\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]. $$
(2) 由 (1) 可得
$$ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin \alpha\cos \beta. \quad \text{①} $$
设 $\alpha+\beta=\theta, \alpha-\beta=\varphi,$
那么
$$ \alpha=\frac{\theta+\varphi}{2}, \beta=\frac{\theta-\varphi}{2}. $$
把 $\alpha,\beta$ 的值代入 ①, 即得
$$ \sin \theta+\sin \varphi=2\sin \frac{\theta+\varphi}{2} \cos \frac{\theta-\varphi}{2}. $$
> 如果不用 (1) 的结果, 如何证明?
例 8 的证明用到了换元的方法,如把 $\alpha+\beta$ 看作 $\theta$, $\alpha-\beta$ 看作 $\varphi$, 从而把包含 $\alpha,\beta$ 的三角函数式转化为 $\theta,\varphi$ 的三角函数式. 或者, 把 $\sin \alpha\cos \beta$ 看作 $x$, $\cos \alpha\sin \beta$ 看作 $y$, 把等式看作 $x,y$ 的方程, 则原问题转化为解方程 (组) 求 $x$. 它们都体现了化归思想.
---
## 练习
1. 求证: $ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}. $
2. 已知 $ \cos \theta=\frac{1}{3} $, 且 $270^\circ < \theta < 360^\circ$, 试求 $ \sin \frac{\theta}{2} $ 和 $ \cos \frac{\theta}{2} $ 的值.
3. 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 $ \frac{7}{25} $, 求这个三角形的一个底角的正切.
4. 求证:
(1) $ \cos \alpha\sin \beta =\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]; $
(2) $ \cos \alpha\cos \beta =\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)]; $
(3) $ \sin \alpha\sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]. $
5. 求证:
(1) $ \sin \theta-\sin \varphi=2\cos \frac{\theta+\varphi}{2} \sin \frac{\theta-\varphi}{2}; $
(2) $ \cos \theta+\cos \varphi=2\cos \frac{\theta+\varphi}{2} \cos \frac{\theta-\varphi}{2}; $
(3) $ \cos \theta-\cos \varphi=-2\sin \frac{\theta+\varphi}{2} \sin \frac{\theta-\varphi}{2}. $
---
226 第五章 三角函数
**转换失败**: 转换第231页失败，已重试3次
S = AB • BC
$$
S = AB \cdot BC
$$
$$
= \left( \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{3} \sin \alpha \right) \sin \alpha
$$
$$
= \sin \alpha \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{3} \sin^2 \alpha
$$
$$
= \frac{1}{2} \sin 2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{6} (1 - \cos 2\alpha)
$$
$$
= \frac{1}{2} \sin 2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{6} \cos 2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{6}
$$
$$
= \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\alpha + \frac{1}{2} \cos 2\alpha \right) - \frac{\sqrt{3}}{6}
$$
$$
= \frac{1}{\sqrt{3}} \sin \left( 2\alpha + \frac{\pi}{6} \right) - \frac{\sqrt{3}}{6}.
$$
由 $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$，得 $\frac{\pi}{6} < 2\alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$，所以当 $2\alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \frac{\pi}{6}$ 时，
$$
S_{\text{最大}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}.
$$
因此，当 $\alpha = \frac{\pi}{6}$ 时，矩形 $ABCD$ 的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$.
由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把 $y=a \sin x+b \cos x$ 转化为 $y=A \sin(x+\varphi)$ 的形式，这个过程中蕴含了化归思想.
## 练习
1. 求下列函数的周期，最大值和最小值：
(1) $y=5\cos x - 12\sin x$;
(2) $y=\cos x + 2\sin x$.
2. 要在半径为 $R$ 的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
3. 已知正 $n$ 边形的边长为 $a$，内切圆的半径为 $r$，外接圆的半径为 $R$. 求证 $R+r = \frac{a}{2\tan \frac{\pi}{2n}}$.
## 习题 5.5
### 复习巩固
1. 已知 $\sin \alpha = \frac{2}{3}$， $\cos \beta = -\frac{3}{4}$， $\alpha \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right)$， $\beta \in \left( \pi, \frac{3\pi}{2} \right)$，求 $\cos(\alpha-\beta)$ 的值.
228 第五章 三角函数
#
2. 已知 $\alpha$, $\beta$ 都是锐角, $\cos \alpha = \frac{1}{7}$, $\cos(\alpha + \beta) = -\frac{11}{14}$, 求 $\cos \beta$ 的值. (提示: $\beta = (\alpha + \beta) - \alpha$.)
3. 已知 $\sin(30^\circ + \alpha) = \frac{3}{5}$, $60^\circ < \alpha < 150^\circ$, 求 $\cos \alpha$ 的值.
4. 在 $\triangle ABC$ 中, $\cos A = \frac{12}{13}$, $\cos B = \frac{3}{5}$, 求 $\cos C$ 的值.
5. 已知 $\tan(\alpha + \beta) = 3$, $\tan(\alpha - \beta) = 5$, 求 $\tan 2\alpha$, $\tan 2\beta$ 的值.
6. 化简:
(1) $\sin 347^\circ \cos 148^\circ + \sin 77^\circ \cos 58^\circ$;
(2) $\sin 164^\circ \sin 224^\circ + \sin 254^\circ \sin 314^\circ$;
(3) $\sin(\alpha + \beta)\cos(\gamma - \beta) - \cos(\beta + \alpha)\sin(\beta - \gamma)$;
(4) $\sin(\alpha - \beta)\sin(\beta - \gamma) - \cos(\alpha - \beta)\cos(\gamma - \beta)$;
(5) $\frac{\tan \frac{5\pi}{4} + \tan \frac{5\pi}{12}}{1 - \tan \frac{5\pi}{12}}$;
(6) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - 2\sin \alpha \cos \beta}{2\sin \alpha \sin \beta + \cos(\alpha + \beta)}$.
7. 已知 $\sin \alpha = 0.8$, $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$, 求 $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ 的值.
8. 求证:
(1) $(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha)^2 = 1 - \sin 4\alpha$;
(2) $\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + \tan \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right) = 2\tan x$;
(3) $\frac{1 + \sin 2\varphi}{\cos \varphi + \sin \varphi} = \cos \varphi + \sin \varphi$;
(4) $\frac{2\sin \alpha \cos \alpha}{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha} = \frac{2\tan \alpha}{(1 - \tan \alpha)(1 + \tan \alpha)}$;
(5) $\frac{1 - \cos 2\theta}{1 + \cos 2\theta} = \tan^2 \theta$;
(6) $\frac{1 + \sin 2\theta - \cos 2\theta}{1 + \sin 2\theta + \cos 2\theta} = \tan \theta$.
9. 已知 $\sin(\alpha + \beta) = \frac{1}{2}$, $\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$, 求证:
(1) $\sin \alpha \cos \beta = 5\cos \alpha \sin \beta$;
(2) $\tan \alpha = 5\tan \beta$.
10. 已知 $\frac{1 - \tan \theta}{2 + \tan \theta} = 1$, 求证 $\tan 2\theta = -4\tan\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$.
11. 已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于 $\frac{3}{5}$, 求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切.
12. 化简:
(1) $3\sqrt{15} \sin x + 3\sqrt{5} \cos x$;
(2) $\frac{3}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$;
(3) $\sqrt{3}\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}$;
(4) $\frac{\sqrt{2}}{4}\sin\left(\frac{\pi}{4} - x\right) + \frac{\sqrt{6}}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)$.
## 综合运用
13. 在 $\triangle ABC$ 中, 已知 $\tan A$, $\tan B$ 是 $x$ 的方程 $x^2 + p(x+1) + 1 = 0$ 的两个实根, 求 $\angle C$.
14. 在 $\triangle ABC$ 中, $B = \frac{\pi}{4}$, $BC$ 边上的高等于 $\frac{1}{3}BC$, 则 $\cos A = (\quad)$.
(A) $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
(B) $\frac{\sqrt{10}}{10}$
(C) $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
(D) $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
第五章 三角函数 229
15. 求证:
(1) $3+\cos 4\alpha-4\cos 2\alpha=8\sin^4\alpha$;
(2) $\frac{\tan \alpha \tan 2\alpha}{\tan 2\alpha-\tan \alpha}+\sqrt{3} (\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=2\sin(2\alpha-\frac{\pi}{3})$.
16. 是否存在锐角 $\alpha, \beta$, 使 $\alpha+2\beta=\frac{2\pi}{3}$, $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta=2-\sqrt{3}$ 同时成立? 若存在, 求出 $\alpha, \beta$ 的度数; 若不存在, 请说明理由。
17. (1) 求函数 $f(x)=\sin(\frac{\pi}{3}+4x)+\sin(4x-\frac{\pi}{6})$ 的周期和单调递增区间;
(2) 求函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x(a^2+b^2\neq0)$ 的最大值和最小值。
## 拓广探索
18. 观察以下各等式:
$\sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ+\sin 30^\circ\cos 60^\circ=\frac{3}{4}$,
$\sin^2 20^\circ+\cos^2 50^\circ+\sin 20^\circ\cos 50^\circ=\frac{3}{4}$,
$\sin^2 15^\circ+\cos^2 45^\circ+\sin 15^\circ\cos 45^\circ=\frac{3}{4}$.
分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 并对等式的正确性作出证明。
19. 你能利用所给图形, 证明下列两个等式吗?
$\frac{1}{2}(\sin \alpha+\sin \beta)=\sin \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$;
$\frac{1}{2}(\cos \alpha+\cos \beta)=\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
*(此处应有几何图形, 描述如下: 一个以原点O为圆心的单位圆, 包含点A($\cos \alpha, \sin \alpha$)和点B($\cos \beta, \sin \beta$)在圆周上。图中还显示了点C($\cos \frac{1}{2}(\alpha+\beta), \sin \frac{1}{2}(\alpha+\beta)$)以及点M，并有线段OA, OB, OC, OM和从M到OC的垂线段，以及角$\frac{1}{2}(\beta-\alpha)$的标记。)*
(第19题)
20. 设 $f(\alpha)=\sin^x\alpha+\cos^x\alpha$, $x \in \{n | n=2k, k \in \mathbb{N}_{+}\}$. 利用三角变换, 估计 $f(\alpha)$ 在 $x=2, 4, 6$ 时的取值情况, 进而猜想 $x$ 取一般值时 $f(\alpha)$ 的取值范围。
230 第五章 三角函数
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**转换失败**: 转换第236页失败，已重试3次
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> **探究**
>
> 取 $\omega=2$, 图象有什么变化? 取 $\omega=\frac{1}{2}$ 呢? 取 $\omega=3, \omega=\frac{1}{3}$, 图象又有什么变化? 当 $\omega$ 取任意正数呢?
取 $\omega=2$ 时, 得到函数 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象.
进一步, 在单位圆上, 设以 $Q_1$ 为起点的动点, 当 $\omega=1$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_1 \text{ s}$, 当 $\omega=2$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_2 \text{ s}$. 因为 $\omega=2$ 时动点的转速是 $\omega=1$ 时的2倍, 所以 $x_2=\frac{1}{2}x_1$. 这样, 设 $G(x, y)$ 是函数 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 图象上的一点, 那么 $K(\frac{1}{2}x, y)$ 就是函数 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 图象上的相应点, 如图 5. 6-5 所示. 这说明, 把 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变), 就得到 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象.
$y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的周期为 $\pi$, 是 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的周期的 $\frac{1}{2}$.
同理, 当 $\omega=\frac{1}{2}$ 时, 动点的转速是 $\omega=1$ 时的 $\frac{1}{2}$, 以 $Q_1$ 为起点, 到达点 $P$ 的时间是 $\omega=1$ 时的2倍, 这样, 把 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 (纵坐标不变), 就得到 $y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$ 的图象. $y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$ 的周期为 $4\pi$, 是 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的周期的2倍.
> **说一说** $\omega=3, \omega=\frac{1}{3}$ 时的情况.
一般地, 函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的周期是 $\frac{2\pi}{\omega}$, 把 $y=\sin(x+\varphi)$ 图象上所有点的横坐标缩短(当 $\omega \ge 1$ 时)或伸长(当 $0 < \omega < 1$ 时)到原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍(纵坐标不变), 就得到 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象.
### 3. **探索 A(A>0)对** $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ **图象的影响**
下面通过数学实验探索 A 对函数图象的影响, 为了研究方便, 不妨令 $\omega=2, \varphi=\frac{\pi}{6}$.
当 $A=1$ 时, 如图 5.6-6, 可得 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象.
234 第五章 三角函数
**转换失败**: 转换第239页失败，已重试3次
> **❓ 思考**
>
> 你能总结一下从正弦函数图象出发，通过图象变换得到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ ($A>0$, $\omega>0$) 图象的过程与方法吗？
---
一般地，函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ ($A>0$, $\omega>0$) 的图象，可以用下面的方法得到：
1. 先画出函数 $y=\sin x$ 的图象；
2. 再把正弦曲线向左（或右）平移 $|\varphi|$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin(x+\varphi)$ 的图象；
3. 然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象；
4. 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍（横坐标不变），这时得到的曲线就是函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象。
这一过程的步骤如下：
```mermaid
graph TD
% Define nodes for the main transformation boxes (graphs or placeholders)
A["**正弦曲线 $y=\sin x$**
(图像如下)"]
B[""] % Empty box, representing the graph after Step 2
C[""] % Empty box, representing the graph after Step 3
D["**$y=A\sin(\omega x+\varphi)$**
(图像如下)"]
% Define nodes for the step labels (on the left side of the flow)
L1["**步骤1**"]
L2["**步骤2**"]
L3["**步骤3**"]
L4["**步骤4**"]
% Connect the main transformation flow vertically
A --> B
B --> C
C --> D
% Connect step labels to their corresponding boxes visually, simulating the original layout
L1 -.-> A
L2 -.-> B
L3 -.-> C
L4 -.-> D
% Define the side prompt box
P["**补全步骤2和3的函数及图象。**"]
% Styling to match the visual elements of the original PDF page
% (colors, borders, rounded corners for boxes and step labels)
classDef graphBox fill:#e6f3ff,stroke:#66b3ff,stroke-width:2px,rx:5px,ry:5px;
classDef emptyBox fill:#ffffff,stroke:#66b3ff,stroke-width:2px,rx:5px,ry:5px;
classDef stepLabelStyle fill:#ffffff,stroke:#66b3ff,stroke-width:1px,rx:3px,ry:3px;
classDef promptStyle fill:#ccedff,stroke:#66b3ff,stroke-width:2px,rx:10px,ry:10px;
class A,D graphBox;
class B,C emptyBox;
class L1,L2,L3,L4 stepLabelStyle;
class P promptStyle;
```
236 第五章 三角函数
从上述步骤可以清楚地看到，参数 $A, \omega, \varphi$ 是如何对函数图象产生影响的。
**例1** 画出函数 $y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$ 的简图。
**解:** 先画出函数 $y=\sin x$ 的图象；再把正弦曲线向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin(x-\frac{\pi}{6})$ 的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{3}$，得到函数 $y=\sin(3x-\frac{\pi}{6})$ 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 2 倍，这时的曲线就是函数 $y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$ 的图象，如图 5.6-7 所示。
图 5.6-7
下面用“五点法”画函数 $y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$ 在一个周期 ($T=\frac{2\pi}{3}$) 内的图象。
令 $X=3x-\frac{\pi}{6}$，则 $x=\frac{1}{3}(X+\frac{\pi}{6})$。列表 (**表 5.6-1**), 描点画图 (**图 5.6-8**)。
**表 5.6-1**
| **X** | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| :---- | :-: | :-------------: | :---: | :---------------: | :----: |
| **x** | $\frac{\pi}{18}$ | $\frac{2\pi}{9}$ | $\frac{7\pi}{18}$ | $\frac{5\pi}{9}$ | $\frac{13\pi}{18}$ |
| **y** | $0$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |
图 5.6-8
第五章 三角函数 237
**转换失败**: 转换第242页失败，已重试3次
$$h=110\left|\sin \frac{\pi}{48} \sin \left(\frac{\pi}{15} t-\frac{\pi}{48}\right)\right|, \quad 0 \le t \le 30.$$
当$\frac{\pi}{15} t-\frac{\pi}{48}=\frac{\pi}{2}$(或$\frac{3\pi}{2}$), 即$t \approx 7.8$(或22.8)时, $h$的最大值为$110\sin \frac{\pi}{48}\approx 7.2$.
所以, 甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2 m.
## 练习
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图, 并用信息技术检验:
(1) $y=\frac{1}{2}\sin x$;
(2) $y=\sin 3x$;
(3) $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$;
(4) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$.
2. 已知函数$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)$的图象为C.
(1) 为了得到函数$y=3\sin\left(x-\frac{\pi}{5}\right)$的图象, 只要把C上所有的点( ).
(A) 向右平行移动$\frac{\pi}{5}$个单位长度
(B) 向左平行移动$\frac{\pi}{5}$个单位长度
(C) 向右平行移动$\frac{2\pi}{5}$个单位长度
(D) 向左平行移动$\frac{2\pi}{5}$个单位长度
(2) 为了得到函数$y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)$的图象, 只要把C上所有的点( ).
(A) 横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,横坐标不变
(3) 为了得到函数$y=4\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)$的图象, 只要把C上所有的点( ).
(A) 横坐标伸长到原来的$\frac{4}{3}$倍,纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的$\frac{3}{4}$,纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的$\frac{4}{3}$倍,横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的$\frac{3}{4}$,横坐标不变
3. 函数$y=\frac{2}{3}\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4}\right)$的图象与正弦曲线有什么关系?
4. 函数$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$, $x \in [0, +\infty)$的图象与正弦曲线有什么关系?
---
第五章 三角函数 239
## 习题 5.6
# 复习巩固
1. 选择题
(1) 为了得到函数 $y=\cos(x+\frac{1}{3})$ 的图象, 只需把余弦曲线上所有的点 ( ).
(A) 向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
(B) 向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
(C) 向左平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度
(D) 向右平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度
(2) 为了得到函数 $y=\cos \frac{x}{5}$ 的图象, 只需把余弦曲线上所有的点( ).
(A) 横坐标伸长到原来的5倍, 纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$, 纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的5倍, 横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$, 横坐标不变
(3) 为了得到函数 $y=\frac{1}{4}\cos x$ 的图象, 只需把余弦曲线上所有的点( ).
(A) 横坐标伸长到原来的4倍, 纵坐标不变
(B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 纵坐标不变
(C) 纵坐标伸长到原来的4倍, 横坐标不变
(D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 横坐标不变
2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图, 并用信息技术检验:
(1) $y=4\sin \frac{1}{2}x$;
(2) $y=\frac{1}{2}\cos 3x$;
(3) $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$;
(4) $y=2\cos(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4})$.
3. 说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到 (注意定义域):
(1) $y=8\sin(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8})$, $x \in [0, +\infty)$;
(2) $y=\frac{1}{3}\sin(3x+\frac{\pi}{7})$, $x \in [0, +\infty)$.
240 第五章 三角函数
#
## 综合运用
4. 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0, 0<\varphi<\pi)$ 在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 $\underline{y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})}$。
* **图示描述 (第4题):**
一个直角坐标系，x轴和y轴交于原点 $O$。y轴上有标记 $2$ 和 $-2$。x轴上有标记 $-\frac{\pi}{12}$ 和 $\frac{5\pi}{12}$。
图象是一条正弦曲线，其最大值为 $y=2$，最小值为 $y=-2$。
曲线经过点 $(-\frac{\pi}{12}, 0)$ 且趋势向上，经过点 $(\frac{5\pi}{12}, 0)$ 且趋势向下。
在 $x=\frac{\pi}{6}$ 处曲线达到最大值 $y=2$。
* **解析过程:**
从图象可知振幅 $A=2$。
图象经过 $x=-\frac{\pi}{12}$ 和 $x=\frac{5\pi}{12}$ 两个相邻的零点，且在 $x=-\frac{\pi}{12}$ 处函数值从负变为正。
半周期为 $T/2 = \frac{5\pi}{12} - (-\frac{\pi}{12}) = \frac{6\pi}{12} = \frac{\pi}{2}$。
所以周期 $T = \pi$。
角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi} = 2$。
将 $A=2, \omega=2$ 代入 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$，得 $y=2\sin(2x+\varphi)$。
由于函数经过点 $(-\frac{\pi}{12}, 0)$，所以 $0 = 2\sin(2(-\frac{\pi}{12})+\varphi)$。
即 $\sin(-\frac{\pi}{6}+\varphi)=0$。
因为图象在 $x=-\frac{\pi}{12}$ 处向上穿越x轴，结合 $A>0, \omega>0$，所以 $-\frac{\pi}{6}+\varphi = 2k\pi$ (其中 $k$ 为整数)。
同时，在 $(-\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12})$ 之间，函数存在最大值 $y=2$。函数从 $y=0$ 开始上升。
因此，$\varphi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$。
根据条件 $0<\varphi<\pi$，取 $k=0$，得到 $\varphi=\frac{\pi}{6}$。
所以函数的解析式为 $y=2\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)$。
5. 将函数 $y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 后得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $y=g(x)$ 的解析式。
* **解答:**
函数 $y=f(x) = 3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$。
将图象向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位，意味着用 $x+\frac{\pi}{3}$ 替换 $x$。
所以，$g(x) = 3\sin\left(2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{4}\right)$
$g(x) = 3\sin\left(2x+\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right)$
$g(x) = 3\sin\left(2x+\frac{8\pi}{12}+\frac{3\pi}{12}\right)$
$g(x) = 3\sin\left(2x+\frac{11\pi}{12}\right)$
6. 某时钟的秒针端点 $A$ 到中心点 $O$ 的距离为 $5 \text{ cm}$，秒针绕点 $O$ 匀速旋转，当时间 $t=0$ 时，点 $A$ 与钟面上标 $12$ 的点 $B$ 重合。将 $A,B$ 两点间的距离 $d$(单位: $\text{cm}$) 表示成 $t$(单位: $\text{s}$) 的函数，则 $d=\underline{10\sin(\frac{\pi}{60}t)}$， $t \in [0, 60]$。
* **解答思路:**
秒针的周期为 $60 \text{ s}$，其角速度 $\omega = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}$。
设钟面中心 $O$ 为坐标原点 $(0,0)$。
点 $B$ 位于 $12$ 点位置，可以设其坐标为 $(0, 5)$。
当 $t=0$ 时，点 $A$ 与点 $B$ 重合，所以点 $A$ 的初始位置为 $(0, 5)$。
假设秒针顺时针旋转 (符合钟表习惯)，且从正 $y$ 轴方向开始计时为 $0$ 角。则在 $t$ 时刻，秒针 $OA$ 与 $y$ 轴正方向的夹角为 $\frac{\pi}{30}t$。
点 $A$ 的坐标可以表示为 $(5\sin(\frac{\pi}{30}t), 5\cos(\frac{\pi}{30}t))$。
$A,B$ 两点间的距离 $d$ 的平方为：
$d^2 = (5\sin(\frac{\pi}{30}t)-0)^2 + (5\cos(\frac{\pi}{30}t)-5)^2$
$d^2 = 25\sin^2(\frac{\pi}{30}t) + 25\cos^2(\frac{\pi}{30}t) - 50\cos(\frac{\pi}{30}t) + 25$
$d^2 = 25(\sin^2(\frac{\pi}{30}t) + \cos^2(\frac{\pi}{30}t)) - 50\cos(\frac{\pi}{30}t) + 25$
$d^2 = 25 - 50\cos(\frac{\pi}{30}t) + 25 = 50 - 50\cos(\frac{\pi}{30}t)$
利用倍角公式 $1-\cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$，令 $2\theta = \frac{\pi}{30}t$，则 $\theta = \frac{\pi}{60}t$。
$d^2 = 50\left(1-\cos\left(\frac{\pi}{30}t\right)\right) = 50\left(2\sin^2\left(\frac{\pi}{60}t\right)\right) = 100\sin^2\left(\frac{\pi}{60}t\right)$
$d = \sqrt{100\sin^2\left(\frac{\pi}{60}t\right)} = \left|10\sin\left(\frac{\pi}{60}t\right)\right|$
由于 $t \in [0, 60]$，则 $\frac{\pi}{60}t \in [0, \pi]$。在此区间内，$\sin\left(\frac{\pi}{60}t\right) \ge 0$。
因此， $d = 10\sin\left(\frac{\pi}{60}t\right)$。
7. 如图，一个半径为 $3 \text{ m}$ 的筒车按逆时针方向每分转 $1.5$ 圈，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为 $2.2 \text{ m}$。设筒车上的某个盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $d$(单位: $\text{m}$)(在水面下则 $d$ 为负数)，若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，则 $d$ 与时间 $t$(单位: $\text{s}$) 之间的关系为 $d=A\sin(\omega t+\varphi)+K(A>0, \omega>0, -\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2})$。
* **图示描述 (第7题):**
一个圆圈代表筒车，圆心标记为 $O$。圆周上有一点 $P$。一条水平线代表“水面”，位于圆心 $O$ 的下方。从 $P$ 点垂直向下画一条虚线到水面，这段距离标记为 $d$。
(1) 求 $A, \omega, \varphi, K$ 的值($\varphi$精确到 $0.0001$);
* **解答:**
筒车的半径为 $3 \text{ m}$，所以函数的振幅 $A = 3$。
筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度为 $2.2 \text{ m}$，所以函数的垂直位移 $K = 2.2$。
筒车每分转 $1.5$ 圈，其角速度 $\omega$ (单位为 $\text{rad/s}$) 为：
$\omega = 1.5 \text{ 转/分} \times \frac{2\pi \text{ rad}}{1 \text{ 转}} \times \frac{1 \text{ 分}}{60 \text{ s}} = \frac{3\pi}{60} \text{ rad/s} = \frac{\pi}{20} \text{ rad/s}$。
函数表达式为 $d=3\sin\left(\frac{\pi}{20}t+\varphi\right)+2.2$。
以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间，即 $t=0$ 时，$d=0$。
将 $t=0, d=0$ 代入函数表达式：
$0 = 3\sin(\varphi)+2.2$
$3\sin(\varphi) = -2.2$
$\sin(\varphi) = -\frac{2.2}{3} = -\frac{11}{15}$
由于题目要求 $-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$ 且 $\sin(\varphi) < 0$，所以 $\varphi$ 位于第四象限。
使用计算器求 $\varphi = \arcsin\left(-\frac{11}{15}\right) \approx -0.817478 \text{ rad}$。
精确到 $0.0001$，$\varphi \approx -0.8175 \text{ rad}$。
因此，$A=3, \omega=\frac{\pi}{20}, \varphi \approx -0.8175, K=2.2$。
(2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点(精确到 $0.01\text{ s}$)?
* **解答:**
盛水筒到达最高点时，$d$ 达到最大值。
最大值 $d_{max} = A+K = 3+2.2 = 5.2 \text{ m}$。
此时函数 $\sin\left(\frac{\pi}{20}t+\varphi\right)$ 达到最大值 $1$。
所以，$\frac{\pi}{20}t+\varphi = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (其中 $k$ 为整数)。
由于 $t=0$ 时 $\varphi \approx -0.8175$ (表示筒车刚出水面，仍在上升阶段)，我们寻找第一个 $t>0$ 使得其达到最高点。因此取 $k=0$。
$\frac{\pi}{20}t + (-0.817478) = \frac{\pi}{2}$
$\frac{\pi}{20}t = \frac{\pi}{2} + 0.817478$
$\frac{\pi}{20}t \approx 1.570796 + 0.817478 \approx 2.388274$
$t = \frac{20}{\pi} \times 2.388274$
$t \approx \frac{20}{3.1415926} \times 2.388274 \approx 15.20108 \text{ s}$。
精确到 $0.01 \text{ s}$，所以 $t \approx 15.20 \text{ s}$。
---
### 第五章 三角函数 241
#
## 5.7 三角函数的应用
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述。本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用。
**问题1** 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间 $t$（单位：s）与位移 $y$（单位：mm）之间的对应数据如表 5.7-1 所示，试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式。
**表 5.7-1**
| $t$ | 0.00 | 0.05 | 0.10 | 0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 | 0.40 | 0.45 | 0.50 | 0.55 | 0.60 |
| ------ | ----- | ----- | ----- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ----- | ----- | ----- |
| $y$ | -20.0 | -17.8 | -10.1 | 0.1 | 10.3 | 17.7 | 20.0 | 17.7 | 10.3 | 0.1 | -10.1 | -17.8 | -20.0 |
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移 $y$ 随时间 $t$ 的变化规律可以用函数 $y = A\sin(\omega t + \varphi)$ 来刻画。
> 请你查阅资料，了解振子的运动原理。
图 5.7-1
由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为 20 mm，因此 $A=20$；振子振动的周期为 0.6 s，即 $\frac{2\pi}{\omega}=0.6$，解得 $\omega=\frac{10\pi}{3}$；再由初始状态（$t=0$）振子的位移为 -20，
242 第五章 三角函数
得 $\sin \varphi = -1$，可取 $\varphi = -\frac{\pi}{2}$。所以振子位移关于时间的函数解析式为
$$y=20\sin\left(\frac{10\pi}{3} t - \frac{\pi}{2}\right), t \in [0, +\infty).$$
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等，这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动。在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 $y=A\sin(\omega x + \varphi)$，$x \in [0, +\infty)$ 表示，其中 $A \ge 0$，$\omega \ge 0$。描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
* $A$ 就是这个简谐运动的**振幅**，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
* 这个简谐运动的**周期**是 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
* 这个简谐运动的**频率**由公式 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
* $\omega x + \varphi$ 称为**相位**；$x=0$ 时的相位 $\varphi$ 称为**初相**。
**问题2** 图5.7-2(1)是某次实验测得的交变电流 $i$ (单位：A) 随时间 $t$ (单位：s) 变化的图象。将测得的图象放大，得到图5.7-2(2)。
> **请你查阅资料，了解交变电流的产生原理。**
(1) 求电流 $i$ 随时间 $t$ 变化的函数解析式；
(2) 当 $t=0, \frac{1}{600}, \frac{1}{150}, \frac{7}{600}, \frac{1}{60}$ 时，求电流 $i$。
图5.7-2
---
第五章 三角函数 243
由交变电流的产生原理可知, 电流 $i$ 随时间 $t$ 的变化规律可用 $i=A\sin(\omega t+\varphi)$ 来刻画, 其中 $\frac{\omega}{2\pi}$ 表示频率, $A$ 表示振幅, $\varphi$ 表示初相。
由图 5.7-2(2)可知, 电流最大值为 $5\text{ A}$, 因此 $A=5$; 电流变化的周期为 $\frac{1}{50}\text{ s}$, 频率为 $50\text{ Hz}$, 即 $\frac{\omega}{2\pi}=50$, 解得 $\omega=100\pi$; 再由初始状态 $(t=0)$ 的电流约为 $4.33\text{ A}$, 可得 $\sin\varphi=0.866$, 因此 $\varphi$ 约为 $\frac{\pi}{3}$. 所以电流 $i$ 随时间 $t$ 变化的函数解析式是
$$i=5\sin\left(100\pi t+\frac{\pi}{3}\right), t\in[0, +\infty).$$
当 $t=0$ 时, $i=\frac{5\sqrt{3}}{2}$;
当 $t=\frac{1}{600}$ 时, $i=5$;
当 $t=\frac{1}{150}$ 时, $i=0$;
当 $t=\frac{7}{600}$ 时, $i=-5$;
当 $t=\frac{1}{60}$ 时, $i=0$.
---
## 练习
1. 某简谐运动的图象如图所示 (第 1 题), 试根据图象回答下列问题:
(1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?
(2) 写出这个简谐运动的函数解析式.
```
(由于Markdown无法直接绘制复杂的数学曲线图，此处描述图的特征。原图是一个正弦波形图，横轴为xb，纵轴为yb，振幅为3，从原点O(0,0)开始上升，在x=1/2处达到第一个零点B，在x=3/2处达到第二个零点C。波峰在y=3，波谷在y=-3。)
```
2. 如图 (第 2 题), 一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线, 一端固定, 另一端悬挂一个沙漏. 让沙漏在偏离平衡位置一定角度 (最大偏角) 后在重力作用下在铅垂面內做周期摆动, 若线长为 $l\text{ cm}$, 沙漏摆动时离开平衡位置的位移 $s$ (单位: cm) 与时间 $t$ (单位: s) 的函数关系是
```
(由于Markdown无法直接绘制物理实验装置图，此处描述图的特征。原图展示了一个沙漏摆动并在下方木板上留下沙线轨迹的装置图，演示简谐运动。)
```
244 第五章 三角函数
$s=3\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\frac{\pi}{3}\right), t \in [0, +\infty)$.
1. (1) 当 $t=25$ 时, 求该沙漏的最大偏角 (精确到 $0.0001$ rad);
(2) 已知 $g=9.8\text{ m/s}^2$, 要使沙漏摆动的周期是 $1\text{ s}$, 线的长度应当是多少 (精确到 $0.1\text{ cm}$)?
3. 一台发电机产生的电流是正弦式电流, 电压和时间之间的关系如图所示, 由图象说出它的周期、频率和电压的最大值, 并求出电压 $U$ (单位: V) 关于时间 $t$ (单位: s) 的函数解析式.
> **图示描述 (第3题图):** 坐标系中，横轴表示时间 $t$，纵轴表示电压 $U$。图示为一正弦波形。
> * 波形振幅为 $3\text{ V}$，即最大电压为 $3\text{ V}$，最小电压为 $-3\text{ V}$。
> * 波形从原点 $(0,0)$ 开始上升。
> * 根据波形特征，一个完整周期约为 $2$ 个 $t$ 轴单位长度。
> * 图例：纵轴有刻度 $3, 1, 0, -3$；横轴有刻度 $0, 0, 0$ (表示主要时间点)。
(第3题)
匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象, 可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律. 在现实生活中也有大量运动变化现象, 仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点, 这些现象也可以借助三角函数近似地描述.
**例1** 如图5.7-3, 某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$.
1. 求这一天6~14时的最大温差;
2. 写出这段曲线的函数解析式.
**解:**
(1) 由图5.7-3可知, 这段时间的最大温差是 $20^\circ \text{C}$.
(2) 由图5.7-3可以看出, 从6~14时的图象是函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$ 的半个周期的图象, 所以
$A=\frac{1}{2}(30-10)=10$, $b=\frac{1}{2}(30+10)=20$.
因为 $\frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{\omega}=14-6$, 所以 $\omega=\frac{\pi}{8}$.
将 $A=10, b=20, \omega=\frac{\pi}{8}, x=6, y=10$ 代入①式 ($y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$), 可得 $\varphi=\frac{3\pi}{4}$.
综上, 所求解析式为
$y=10\sin\left(\frac{\pi}{8}x+\frac{3\pi}{4}\right)+20, x \in [6,14]$.
> **图示描述 (图 5.7-3):** 坐标系中，横轴表示时间 $x/\text{h}$，纵轴表示温度 $y/^\circ\text{C}$。
> * 曲线从 $x=6$ 时刻的最低点 $y=10^\circ\text{C}$ 开始。
> * 在 $x=10$ 时刻，曲线通过中线 $y=20^\circ\text{C}$。
> * 在 $x=14$ 时刻，曲线达到最高点 $y=30^\circ\text{C}$。
> * 此曲线段是正弦函数的一个半周期。
> * 图例：纵轴有刻度 $3, 2, 1, O$；横轴有刻度 $O, 6, x/\text{h}$。辅助虚线标示了 $y=10, y=20, y=30$ 和 $x=6, x=14$ 的位置。
图 5.7-3
一般地, 所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况, 因此应当特别注意自变量的变化范围.
第五章 三角函数 245
**例2** 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。表**5.7-2**是某港口某天的时刻与水深关系的预报。
**表5.7-2**
| 时刻 | 水深/m | 时刻 | 水深/m | 时刻 | 水深/m |
| :--- | :----- | :--- | :----- | :--- | :----- |
| 0:00 | 5.0 | 9:18 | 2.5 | 18:36 | 5.0 |
| 3:06 | 7.5 | 12:24 | 5.0 | 21:42 | 2.5 |
| 6:12 | 5.0 | 15:30 | 7.5 | 24:00 | 4.0 |
(1) 选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值(精确到 $0.001 \text{ m}$).
(2) 一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 $4 \text{ m}$，安全条例规定至少要有 $1.5 \text{ m}$ 的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口?在港口能待多久?
(3) 某船的吃水深度为 $4 \text{ m}$，安全间隙为 $1.5 \text{ m}$，该船这一天在 $2:00$ 开始卸货，吃水深度以 $0.3 \text{ m/h}$ 的速度减少，如果这条船一直卸货，那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等。为了安全，这条船需要在这一时刻前至少 $0.4 \text{ h}$ 停止卸货并驶离港口，那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口?
**分析:** 观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性。根据表 **5.7-2** 中的数据画出散点图，如图 **5.7-4**。从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+h$ 的函数来刻画，其中 $x$ 是时间，$y$ 是水深。根据数据可以确定 $A, \omega, \varphi, h$ 的值。
**解:** (1) 以时间 $x$ (单位: h) 为横坐标，水深 $y$ (单位: m) 为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图 (图 **5.7-4**)。根据图象，可以考虑用函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+h$ 刻画水深与时间之间的对应关系，从数据和图象可以得出:
$A=2.5, h=5, T=12.4, \varphi=0$;
由 $T=\frac{2\pi}{\omega}=12.4$，得
$\omega=\frac{5\pi}{31}$.
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数 $y=2.5\sin \frac{5\pi}{31}x+5$ 近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 (表 **5.7-3**):
```mermaid
graph TD
subgraph Scatter Plot (图 5.7-4)
direction LR
O --- x_axis;
O --- y_axis;
x_axis["x (时间)"];
y_axis["y (水深)"];
style O fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,rx:5px,ry:5px,font-weight:bold;
% Note: Mermaid does not directly support scatter plots.
% This is a symbolic representation of the axes and labels.
% The actual scatter plot with points is in the original PDF.
%
% Points shown in the original image:
% (0, 5), (3.1, 7.5), (6.2, 5), (9.3, 2.5), (12.4, 5), (15.5, 7.5), (18.6, 5), (21.7, 2.5), (24, 4)
% These points are visually represented in the original image's scatter plot.
end
```
图 **5.7-4**
246 第五章 三角函数
表5.7-3
| 时刻 | 0:00 | 1:00 | 2:00 | 3:00 | 4:00 | 5:00 | 6:00 | 7:00 | 8:00 | 9:00 | 10:00 | 11:00 |
| :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ |
| 水深/m | 5.000 | 6.213 | 7.122 | 7.497 | 7.245 | 6.428 | 5.253 | 4.014 | 3.023 | 2.529 | 2.656 | 3.372 |
| 时刻 | 12:00 | 13:00 | 14:00 | 15:00 | 16:00 | 17:00 | 18:00 | 19:00 | 20:00 | 21:00 | 22:00 | 23:00 |
| 水深/m | 4.497 | 5.748 | 6.812 | 7.420 | 7.420 | 6.812 | 5.748 | 4.497 | 3.372 | 2.656 | 2.529 | 3.023 |
(2) 货船需要的安全水深为 $4+1.5=5.5$ m, 所以当 $y \ge 5.5$ 时就可以进港. 令
$$2.5\sin\frac{5\pi}{31}x+5=5.5,$$
$$\sin\frac{5\pi}{31}x=0.2.$$
由计算器可得
> **科学计算器提示**
> 科学计算器上,有 $\sin^{-1}$、$\cos^{-1}$、$\tan^{-1}$ 三个键,在已知一个三角函数值时,可以利用它们求出对应的角.
$0.201~357~9208\approx0.201~4$.
如图5.7-5,在区间$[0, 12]$内,函数 $y=2.5\sin\frac{5\pi}{31}x+5$ 的图象与直线 $y=5.5$ 有两个交点 $A, B$, 因此
$$\frac{5\pi}{31}x\approx0.201~4, \text{ 或 }\pi-\frac{5\pi}{31}x\approx0.201~4.$$
*(注: 原始PDF中的图5.7-5是一个函数曲线图，无法直接转换为Mermaid语法。图中展示了函数 $y=2.5\sin\frac{5\pi}{31}x+5$ 的图像和直线 $y=5.5$，并标记了交点A, B, C, D。)*
解得
$x_A\approx0.397~5, x_B\approx5.802~5.$
由函数的周期性易得:
$x_C\approx12.4+0.397~5=12.797~5,$
$x_D\approx12.4+5.802~5=18.202~5.$
因此,货船可以在零时30分左右进港,5时45分左右出港;或在13时左右进港,18时左右出港.每次可以在港口停留5小时左右.
第五章 三角函数 247
(3) 设在 $x$ h 时货船的安全水深为 $y$ m, 那么 $y=5.5-0.3(x-2)(x \ge 2)$。在同一直角坐标系内画出这两个函数的图像，可以看到在 6~8 时之间两个函数图像有一个交点 (图 5.7-6)。
**图 5.7-6 描述:**
这是一个二维坐标系，x 轴和 y 轴。
x 轴从 0 开始向右延伸，y 轴从 0 开始向上和向下延伸。
y 轴上有刻度 2, 4, 6, 8。
图中有两条曲线：
一条蓝色曲线表示函数 $y$，看起来像一个开口向下的抛物线或一个部分的正弦波，在 $x \approx 3$ 处达到峰值，y 值约为 7。在曲线上方标有 $5\pi/3$。
另一条红色直线表示函数 $y - 0 - 2$，它从左上方延伸到右下方，斜率为负。
两条曲线在点 $P$ 处相交，点 $P$ 处有一条垂直的虚线向下延伸至 x 轴。
**(注：由于 Mermaid 语法无法精确绘制具有特定函数形式和复杂标注的数学函数图像，此处仅提供文字描述。原图中包含一个坐标系、两条曲线（一条可能为三角函数，另一条可能为线性函数），以及它们的交点 P，并标注了相关数值和坐标轴。)**
借助计算工具，用二分法可以求得点 $P$ 的坐标约为 $(7.016, 3.995)$，因此为了安全，货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口。
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。
具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题。实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术。
---
## 练习
1. 下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 $\frac{1}{2}$ 周期后，乙点的位置将移至何处？
**图 (第 1 题) 描述:**
这是一个二维坐标系，x 轴和 y 轴。
y 轴上有刻度 4 和 -4。
图示为一条向右传播的绳波（正弦波形），上方有一个指向右的箭头并标注 'v'，表示波的传播方向。
波形在原点 $O$ 开始，向上到达点 甲，继续向上到达点 乙（$y=4$ 的峰值），然后向下穿过 x 轴到达点 丙，继续向下到达点 丁（$y=-4$ 的谷值），再向上穿过 x 轴到达点 戊（$y=4$ 的峰值）。
**(注：此图为数学函数图像，描述了绳波在某一时刻的形状。Mermaid 语法无法精确绘制此类复杂的函数曲线和标注点位。)**
2. 自出生之日起，人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化。根据心理学家的统计，人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种。这些节律的时间周期分别为 23 天、28 天、33 天。每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段，以上三个节律周期的半数为临界日，这就是说 11.5 天、14 天、16.5 天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日。临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期。生日前一天是起始位置（平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力、情绪和智力曲线，并总结自己在什么时候应当控制情绪，在什么时候应当鼓励自己；在什么时候应当加强锻炼，在什么时候应当保持体力。
---
248 第五章 三角函数
## 习题 5.7
### 综合运用
1. 天上有些恒星的亮度是会变化的，其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化。下图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图。此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？
```
(图片描述：一个线图，横轴表示时间（天），从0到20；纵轴表示视星等，刻度从3.5（上方）到4.5（下方）。曲线呈周期性波动，最低点（最亮）为3.5等星，最高点（最暗）为4.5等星。一个完整的周期大约是5天。)
(第1题)
```
2. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在 $t$ s时相对于平衡位置的高度 $h$ (单位:cm) 由关系式 $h=2\sin(t+\frac{\pi}{4})$ 确定。以 $t$ 为横坐标，$h$ 为纵坐标，画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象，并回答下列问题：
```
(图片描述：一个垂直悬挂的弹簧，下方连接一个小球。旁边用箭头和文字标示：h > 0（小球在平衡位置上方），h = 0（小球在平衡位置），h < 0（小球在平衡位置下方）。)
(第2题)
```
(1) 小球在开始振动 (即 $t=0$) 时的位置在哪里？
(2) 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
(3) 经过多少时间小球往复运动一次？
(4) 每秒钟小球能往复振动多少次？
### 拓广探索
3. 北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗。请根据年鉴或其他参考资料，统计过去一年不同日期的日出和日落时间。
(1) 在同一直角坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；
(2) 某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当在几点前到达天安门广场？
4. 夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上，为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业单位拉闸限电，而到了零时以后，又出现电力过剩的情况，因此每天的用电也出现周期性的变化。为保证居民用电，电力部门提出了“削峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电。请调查你们地区每天的用电情况，制定一项“削峰平谷”的电价方案。
第五章 三角函数 249
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# 振幅、周期、频率、相位
人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为 24 小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于 24 小时的叫短周期运动，如心跳、脉搏每分 50~70 次、呼吸每分 16~24 次；大于 24 小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等。
声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波。每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数 $y = A\sin \omega t$。音有四要素：音调、响度、音长和音色，这都与正弦函数的参数有关。响度与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大。音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小，音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利。像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音。复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 $f$ 的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 $2f$、$3f$、$4f$ 等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来。所以我们听到的声音的函数是 $y = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{3}\sin 3x + \frac{1}{4}\sin 4x + \cdots$。
音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音。
周期函数产生了美妙的音乐！
250 第五章 三角函数
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**说明:**
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够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而建立正弦函数、余弦函数。因此，正弦函数、余弦函数的性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系。例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为 $2\pi$ 与正弦函数、余弦函数的周期为 $2\pi$ 是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的；等等。因此，在研究三角函数时，单位圆的作用非常重要。
周期性是三角函数最重要的性质，利用周期性，我们只要研究清楚三角函数在一个最小正周期内的性质即可；除了奇偶性外，三角函数还有非常丰富的对称性，诱导公式就是三角函数对称性的体现。利用周期性、奇偶性和诱导公式等可以发现，$x$ 轴上的点 $(k\pi, 0)(k\in\mathbb{Z})$ 都是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称中心，而直线 $x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$ 则都是正弦函数 $y=\sin x$ 的对称轴。对于余弦函数、正切函数可以得到类似的结论。
本章出现了大量三角公式，这些公式具有紧密的联系，其中，和（差）角公式具有一般意义，诱导公式、倍角公式等都可以看作它的特例。学习时要充分利用这种联系性，避免对公式的死记硬背。
三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象（运动），也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系，这种关系可以用以下框图表示：
```mermaid
graph TD
A[周期函数]
B[任意角三角函数]
C[锐角三角函数]
D[指数函数
对数函数
幂函数]
E[物理、生物、自然界
中的周期现象 (运动)]
F[解直角三角形]
B -- 推广 --> A
D -- 类比 --> B
B -- 联系 --> E
B -- 特殊化 --> C
C -- 联系 --> F
```
请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！
1. 从本章的学习中可以看到，弧度制的引入为三角函数的研究奠定了基础。你能概括一下引入弧度制的必要性吗？
252 第五章 三角函数
2. 回顾三角函数的定义方法，说说它与幂函数、指数函数的定义方法的共性和差异性。
3. 单位圆在三角函数的研究中有非常重要的作用，你能借助单位圆，自己归纳一下研究三角函数的图象与性质的过程与方法吗？
4. 两角差的余弦公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 不仅是和（差）角公式的基础，也可以看成诱导公式的一般化。你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？
5. 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 在刻画周期现象时有着非常重要的作用，其中参数 $\omega$，$\varphi$， $A$ 都有相应的实际意义，你能借助匀速圆周运动或其他周期现象（如简谐振动、单摆等），说明这些参数的意义，以及它们的变化对函数图象的影响吗？
6. 你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗？
## 复习参考题 5
### 复习巩固
1. 写出与下列各角终边相同的角的集合 $S$，并且把 $S$ 中适合不等式 $-2\pi \leq \beta < 4\pi$ 的元素 $\beta$ 写出来：
(1) $\frac{\pi}{4}$;
(2) $\frac{2}{3}\pi$;
(3) $\frac{12}{5}\pi$;
(4) $0$.
2. 一个扇形的弧长与面积的数值都是 $5$，求这个扇形中心角的度数（精确到 $1^\circ$）。
3. (1) 已知 $\cos \varphi = \frac{1}{4}$，求 $\sin \varphi$，$\tan \varphi$。
(2) 已知 $\sin x = 2\cos x$，求角 $x$ 的三个三角函数值。
4. 已知 $\tan \alpha = -\frac{1}{3}$，计算：
(1) $\frac{\sin \alpha + 2\cos \alpha}{5\cos \alpha - \sin \alpha}$;
(2) $\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}$;
(3) $\sin \alpha \cos \alpha$;
(4) $(\sin \alpha + \cos \alpha)^2$.
5. 计算（可用计算工具，第(2)(3)题精确到 $0.0001$）：
(1) $\sin \frac{25}{6}\pi + \cos \frac{25}{3}\pi + \tan(-\frac{25}{4}\pi)$;
(2) $\sin 2 + \cos 3 + \tan 4$;
(3) $\cos(\sin 2)$.
第五章 三角函数 253
6. 设 $\pi < x < 2\pi$，填表:
| $x$ | $\frac{7\pi}{6}$ | | | $\frac{7\pi}{4}$ |
| :------ | :--------------- | :-------- | :-------- | :--------------- |
| $\sin x$ | | $-1$ | | |
| $\cos x$ | | | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | |
| $\tan x$ | | | $\sqrt{3}$ | |
7. 求下列函数的最大值、最小值,并求使函数取得最大、最小值的 $x$ 的集合:
(1) $y = \sqrt{2} + \frac{\sin x}{\pi}$;
(2) $y = 3 - 2\cos x$.
8. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并指出分别由函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$ 的图象经过怎样的变换得到:
(1) $y = \frac{1}{2}\sin \left(3x - \frac{\pi}{3}\right)$;
(2) $y = -2\sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;
(3) $y = 1 - \sin \left(2x - \frac{\pi}{5}\right)$;
(4) $y = 3\sin \left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{3}\right)$.
9. (1) 用描点法画出函数 $y = \sin x, x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 的图象.
(2) 如何根据第 (1) 小题并运用正弦函数的性质,得到函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象?
(3) 如何根据第 (2) 小题并通过平行移动坐标轴,得到函数 $y = \sin(x+\varphi)+k, x \in [0, 2\pi]$ ($\varphi, k$ 都是常数)的图象?
10. 不通过画图,写出下列函数的振幅、周期、初相,并说明如何由正弦曲线得到它们的图象:
(1) $y = \sin \left(5x + \frac{\pi}{6}\right)$;
(2) $y = 2\sin \frac{1}{6}x$.
11. (1) 已知 $\alpha, \beta$ 都是锐角, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos(\alpha+\beta) = \frac{5}{13}$, 求 $\sin \beta$ 的值;
(2) 已知 $\cos \left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{3}{5}$, $\sin \left(\frac{5\pi}{4} + \beta\right) = -\frac{12}{13}$, $\alpha \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right)$, $\beta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, 求 $\sin(\alpha+\beta)$ 的值;
(3) 已知 $\alpha, \beta$ 都是锐角, $\tan \alpha = \frac{1}{7}$, $\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$, 求 $\tan(\alpha+2\beta)$ 的值.
12. (1) 证明 $\tan \alpha + \tan \beta = \tan(\alpha+\beta) - \tan \alpha \tan \beta \tan(\alpha+\beta)$;
(2) 求 $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ$ 的值;
(3) 若 $\alpha+\beta = \frac{3\pi}{4}$, 求 $(1 - \tan \alpha)(1 - \tan \beta)$ 的值;
(4) 求 $\frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 120^\circ}{\tan 20^\circ \tan 40^\circ}$ 的值.
13. 化简:
(1) $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$;
(2) $\sin 40^\circ(\tan 10^\circ - \sqrt{3})$.
254 第五章 三角函数
**转换失败**: 转换第259页失败，已重试3次
# 拓广探索
24. 已知 $\sin \beta + \cos \beta = \frac{1}{5}$，$\beta \in (0, \pi)$，
(1) 求 $\tan \beta$ 的值；
(2) 你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？
25. 如图，已知直线 $l_1 // l_2$，A 是 $l_1, l_2$ 之间的一定点，并且点 A 到 $l_1, l_2$ 的距离分别为 $h_1, h_2$。B 是直线 $l_2$ 上一动点，作 $AC \perp AB$，且使 AC 与直线 $l_1$ 交于点 C. 设 $\angle ABD = \alpha$。
*(图示说明：该图展示了两条平行线 $l_1$ 和 $l_2$。点 A 位于这两条平行线之间。从 A 点向 $l_1$ 作垂线，垂足为 E，垂线段 AE 的长度标记为 $h_1$。从 A 点向 $l_2$ 作垂线，垂足为 D，垂线段 AD 的长度标记为 $h_2$。点 B 位于直线 $l_2$ 上。连接 A 和 B 形成线段 AB。在 $l_1$ 上有一点 C，使得线段 AC 垂直于线段 AB ($\angle CAB = 90^\circ$)。角 $\angle ABD$ 被标记为 $\alpha$。图中清晰地描绘了三角形 $\triangle ABC$。)*
(1) 写出 $\triangle ABC$ 的面积 S 关于角 $\alpha$ 的函数解析式 $S(\alpha)$；
(2) 画出上述函数的图象；
(3) 由(2)中的图象求 $S(\alpha)$ 的最小值.
26. 英国数学家泰勒给出如下公式:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$
其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性. 比如，用
前三项计算 $\cos 0.3$，就得到 $\cos 0.3 \approx 1 - \frac{0.3^2}{2!} + \frac{0.3^4}{4!} \approx 0.955\ 337\ 5$.
试用你的计算工具计算 $\cos 0.3$，并与上述结果比较.
27. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.
(1) 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 $\theta$，$\delta$ 为此时太阳直射点的纬度，$\varphi$ 为当地的纬度值，那么这三个量满足 $\theta = 90^\circ - |\varphi - \delta|$.
*(图示说明：该图显示了地球的一个截面，中心为地心。一条垂直线代表地球自转轴，一条水平线代表赤道。太阳光线（标记为“太阳光”）以平行射线的形式从右侧入射。图中标记了三个角度：$\delta$ 表示太阳直射点的纬度（赤纬），是赤道面与直射光线方向之间的夹角；$\varphi$ 表示当地的纬度值，是赤道面与当地法线之间的夹角；$\theta$ 表示当地正午时的太阳高度角，是入射太阳光线与当地水平面之间的夹角。)*
某科技小组以某年春分 (太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间) 为初始时间，统计了连续 400 天太阳直射点的纬度平均值 (太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值)，下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角数据:
*(注：原文提及的数据表格未在提供的页面图像中显示。)*
256 第五章 三角函数
| 项目 | 观测站 |
| :----------------------- | :----------------------------------- |
| | A | B | C |
| 观测站所在纬度 $\varphi$/度 | 40.000 0 | 23.439 3 | 0.000 0 |
| 观测站正午太阳高度角 $\theta$/度 | 66.387 0 | 82.946 4 | 73.614 1 |
| 太阳直射点的纬度 $\delta$/度 | | | |
| 太阳直射点的纬度平均值/度 | | | |
1. 请根据数据完成上面的表格 (计算结果精确到 $0.0001$);
2. 设第 $x$ 天时太阳直射点的纬度平均值为 $y$. 该科技小组通过对数据的整理和分析, 推断 $y$ 与 $x$ 近似满足函数 $y=A\sin wx$, 其中 $A$ 为北回归线的纬度值, 约为 $23.4392911$, 试利用 (1) 中的数据, 估计 $w$ 的值 (精确到 $10^{-8}$);
3. 定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年, 求一个回归年对应的天数 (精确到 $0.0001$);
4. 利用 (3) 的结果, 估计每 $400$ 年中, 应设定多少个闰年, 可使这 $400$ 年与 $400$ 个回归年所含的天数最为接近 (精确到 $1$).
第五章 三角函数 257