{ "章节": "第二章-直线和圆的方程", "节": "2.1 直线的倾斜角与斜率", "小节": "2.1.1 倾斜角与斜率", "页码范围": "56-63", "knowledge_list": [ { "编号": "K2-1-1-01", "层次": "三级", "名称": "直线的倾斜角", "类型": "概念/定义", "定义": "当直线$l$与$x$轴相交时，我们以$x$轴为基准，$x$轴正向与直线$l$向上的方向之间所成的角$\\alpha$叫做直线的倾斜角", "范围": "$0^\\circ \\le \\alpha < 180^\\circ$", "为什么这样定义": "倾斜角可以唯一确定直线的方向", "核心特征": [ "倾斜角唯一确定", "方向相同的直线倾斜角相等", "倾斜角不等的直线方向不同" ], "必要性": "确定直线方向的需要", "特殊说明": "水平直线的倾斜角为$0^\\circ$", "前置知识": [], "包含的子知识点": [ "K2-1-1-02 直线的斜率" ], "相关方法": [ "方向判断", "位置关系分析" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P56", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "倾斜角理解", "方向分析", "几何应用" ] }, { "编号": "K2-1-1-02", "层次": "三级", "名称": "直线的斜率", "类型": "概念/定义", "定义": "一条直线的倾斜角$\\alpha$的正切值叫做这条直线的斜率", "符号表示": "$k$", "公式": "$k = \\tan \\alpha$", "为什么这样定义": "斜率用数值大小刻画了直线的倾斜程度", "核心特征": [ "斜率可正可负可为零", "$\\alpha=90^\\circ$时斜率不存在", "斜率唯一确定非水平直线的方向" ], "必要性": "定量研究直线性质的需要", "特殊说明": "垂直于$x$轴的直线无斜率", "前置知识": [ "K2-1-1-01 直线的倾斜角" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "斜率计算", "位置关系判断", "倾斜角计算" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P57", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "斜率计算", "倾斜角求取", "位置关系判断" ] }, { "编号": "K2-1-1-03", "层次": "三级", "名称": "斜率公式", "类型": "公式", "公式": "$k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$", "条件": "$x_1 \\neq x_2$", "说明": "适用于任意两点确定的直线", "定义": "该公式为斜率公式的计算方法。", "为什么这样定义": "通过两点坐标直接计算斜率，避免先求倾斜角", "核心特征": [ "计算简便", "直接利用坐标", "避免了角度运算" ], "必要性": "斜率计算的基础方法", "特殊说明": "当$x_1 = x_2$时公式不适用", "前置知识": [ "K2-1-1-01 直线的倾斜角", "K2-1-1-02 直线的斜率", "K2-1-1-04 两点间距离公式" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "斜率计算", "位置关系分析", "几何性质证明" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P58", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "斜率计算", "几何应用", "代数运算" ] }, { "编号": "K2-1-1-04", "层次": "三级", "名称": "两点间距离公式", "类型": "公式", "公式": "$|P_1P_2| = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$", "特殊形式": "$|OP| = \\sqrt{x^2+y^2}$ (原点到点P的距离)", "定义": "该公式为两点间距离公式的计算方法。", "为什么这样定义": "基于勾股定理推导", "核心特征": [ "距离非负", "唯一确定", "几何意义明确" ], "必要性": "距离计算的基础", "特殊说明": "适用于平面内任意两点", "前置知识": [ "勾股定理", "坐标表示点" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "距离计算", "几何证明", "轨迹问题" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.2节 P77", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "距离计算", "几何证明", "应用题" ] }, { "编号": "K2-1-2-01", "层次": "三级", "名称": "两条直线平行的判定", "类型": "定理/性质", "定理": "对于斜率分别为$k_1, k_2$的两条直线$l_1, l_2$，有$l_1 // l_2 \\Leftrightarrow k_1=k_2$", "条件": "两条直线有斜率", "定义": "对于斜率分别为$k_1, k_2$的两条直线$l_1, l_2$，有$l_1 // l_2 \\Leftrightarrow k_1=k_2$", "为什么这样判定": "平行直线倾斜角相等，从而斜率相等", "核心特征": [ "充要条件", "代数判定方法", "简化了几何证明" ], "必要性": "判断直线平行关系", "特殊说明": "不包括垂直直线", "前置知识": [ "K2-1-1-02 直线的斜率" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "平行证明", "位置关系判断", "几何应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.2节 P60", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "平行判断", "几何证明", "代数推理" ] }, { "编号": "K2-1-2-02", "层次": "三级", "名称": "两条直线垂直的判定", "类型": "定理/性质", "定理": "如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1，即$l_1 \\perp l_2 \\Leftrightarrow k_1 k_2 = -1$", "条件": "两条直线都有斜率", "定义": "如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1，即$l_1 \\perp l_2 \\Leftrightarrow k_1 k_2 = -1$", "为什么这样判定": "利用方向向量垂直的数量积为零", "核心特征": [ "充要条件", "代数判定方法", "斜率乘积为-1" ], "必要性": "判断垂直关系", "特殊说明": "不包括斜率不存在的直线", "前置知识": [ "K2-1-1-02 直线的斜率", "向量数量积" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "垂直证明", "几何性质判断", "向量应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.2节 P61", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "垂直判断", "几何证明", "代数运算" ] }, { "编号": "K2-2-1-01", "层次": "三级", "名称": "直线的点斜式方程", "类型": "公式", "公式": "$y-y_0 = k(x-x_0)$", "参数": "点$P_0(x_0, y_0)$和斜率$k$", "定义": "该公式为直线的点斜式方程的计算方法。", "为什么这样建立": "利用斜率定义和两点坐标关系", "核心特征": [ "一个点和斜率确定一条直线", "所有满足方程的点都在直线上", "是其他形式方程的基础" ], "必要性": "直线方程的基础形式", "特殊说明": "倾斜角为$90^\\circ$时不能用", "前置知识": [ "K2-1-1-02 直线的斜率", "K2-1-1-04 两点间距离公式" ], "包含的子知识点": [ "K2-2-1-02 直线的斜截式方程" ], "相关方法": [ "直线方程建立", "几何问题求解" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.1节 P64", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "方程建立", "几何应用", "代数运算" ] }, { "编号": "K2-2-1-02", "层次": "三级", "名称": "直线的斜截式方程", "类型": "公式", "公式": "$y = kx + b$", "参数": "斜率$k$和$y$轴截距$b$", "定义": "该公式为直线的斜截式方程的计算方法。", "为什么这样定义": "点斜式的特殊形式，$P_0$在$y$轴上", "核心特征": [ "直观性强", "与一次函数形式一致", "系数几何意义明确" ], "必要性": "常用的直线方程形式", "特殊说明": "倾斜角为$90^\\circ$时不能用", "前置知识": [ "K2-2-1-01 直线的点斜式方程" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "直线方程转换", "函数图像分析", "应用题" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.1节 P66", "重要程度": "重要", "考查方式": [ "方程应用", "图像分析", "实际应用" ] }, { "编号": "K2-2-2-01", "层次": "三级", "名称": "直线的两点式方程", "类型": "公式", "公式": "\\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$", "条件": "$x_1 \\neq x_2$, $y_1 \\neq y_2$", "定义": "该公式为直线的两点式方程的计算方法。", "为什么这样建立": "利用斜率公式和点斜式推导", "核心特征": [ "直接使用两点坐标", "不需先求斜率", "适用性广" ], "必要性": "已知两点时最直接的方法", "特殊说明": "特殊情况需要用其他形式", "前置知识": [ "K2-1-1-03 斜率公式", "K2-2-1-01 点斜式方程" ], "包含的子知识点": [ "K2-2-2-02 直线的截距式方程" ], "相关方法": [ "直线方程建立", "几何应用", "坐标法" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.2节 P67", "重要程度": "重要", "考查方式": [ "方程建立", "几何应用", "坐标变换" ] }, { "编号": "K2-2-2-02", "层次": "三级", "名称": "直线的截距式方程", "类型": "公式", "公式": "\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$", "参数": "$x$轴截距$a$和$y$轴截距$b$", "定义": "该公式为直线的截距式方程的计算方法。", "为什么这样建立": "利用两点式方程的特殊情况", "核心特征": [ "几何意义明显", "作图方便", "截距概念直观" ], "必要性": "截距存在的直线", "特殊说明": "$a \\neq 0, b \\neq 0$", "前置知识": [ "K2-2-2-01 直线的两点式方程" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "图形分析", "截距计算", "实际应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.2节 P69", "重要程度": "基础", "考查方式": [ "方程应用", "几何分析", "图形绘制" ] }, { "编号": "K2-2-3-01", "层次": "三级", "名称": "直线的一般式方程", "类型": "公式", "公式": "$Ax + By + C = 0$", "条件": "$A, B$不同时为0", "定义": "该公式为直线的一般式方程的计算方法。", "为什么这样统一": "所有直线方程都可化为这种形式", "核心特征": [ "形式统一", "涵盖所有情况", "便于代数运算" ], "必要性": "理论研究的需要", "特殊说明": "包括垂直直线", "前置知识": [ "各种直线方程形式", "代数运算" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "方程转换", "位置关系研究", "代数推理" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.3节 P70", "重要程度": "重要", "考查方式": [ "方程转换", "代数运算", "理论证明" ] }, { "编号": "K2-3-1-01", "层次": "三级", "名称": "两条直线的交点坐标", "类型": "公式/方法", "方法": "解两条直线方程组成的方程组", "步骤": "1.联立方程组；2.解方程组；3.得到交点坐标", "定义": "该公式/方法为两条直线的交点坐标的计算方法。", "为什么这样求解": "交点同时在两条直线上", "核心特征": [ "代数方法", "精确求解", "适用于所有相交直线" ], "必要性": "研究直线相交的基础", "特殊说明": "无解表示平行，无数解表示重合", "前置知识": [ "直线的一般式方程", "线性方程组解法" ], "包含的子知识点": [ "K2-3-1-02 点到直线的距离公式" ], "相关方法": [ "位置关系研究", "几何应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.1节 P75", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "交点计算", "几何应用", "代数推理" ] }, { "编号": "K2-3-2-01", "层次": "三级", "名称": "点到直线的距离公式", "类型": "公式", "公式": "$d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + 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"该公式为圆的标准方程的计算方法。", "为什么这样定义": "基于圆的定义和距离公式", "核心特征": [ "几何意义明确", "形式简洁", "便于理解" ], "必要性": "圆的基础方程形式", "特殊说明": "包含所有圆", "前置知识": [ "两点间距离公式", "圆的定义" ], "包含的子知识点": [ "K2-4-2-01 圆的一般方程" ], "相关方法": [ "圆的几何性质研究", "位置关系判断" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.4.1节 P87", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "圆的方程建立", "几何应用", "轨迹问题" ] }, { "编号": "K2-4-2-01", "层次": "三级", "名称": "圆的一般方程", "类型": "公式", "公式": "$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$", "条件": "$D^2 + E^2 - 4F > 0$", "定义": "该公式为圆的一般方程的计算方法。", "为什么这样建立": "标准方程展开整理得到", "核心特征": [ "形式统一", "涵盖所有圆", "便于代数分析" ], "必要性": "理论研究需要", "特殊说明": "等号时表示点，小于0时无意义", "前置知识": [ "圆的标准方程", "代数配方法" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "圆的方程转换", "位置关系研究", "几何性质分析" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.4.2节 P90", "重要程度": "重要", "考查方式": [ "方程转换", "圆的性质研究", "代数推理" ] }, { "编号": "K2-5-1-01", "层次": "三级", "名称": "直线与圆的位置关系", "类型": "定理/性质", "相交关系": "有两个公共点", "相切关系": "只有一个公共点", "相离关系": "没有公共点", "定义": "关于直线与圆的位置关系的定义。", "为什么这样分类": "基于公共点个数", "核心特征": [ "可以用方程组解的个数判断", "几何意义明确", "研究方法统一" ], "必要性": "几何图形间的基本关系", "特殊说明": "不重合的直线与圆", "前置知识": [ "直线方程", "圆的方程" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "位置关系判定", "几何应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.1节 P96", "重要程度": "核心", "考查方式": [ "位置关系判断", "几何证明", "应用题" ] }, { "编号": "K2-5-2-01", "层次": "三级", "名称": "圆与圆的位置关系", "类型": "定理/性质", "相交关系": "有两个公共点", "相切关系": "只有一个公共点（包括外切和内切）", "相离关系": "没有公共点（包括外离和内含）", "定义": "关于圆与圆的位置关系的定义。", "为什么这样分类": "基于公共点个数", "核心特征": [ "可以用方程组解的个数判断", "圆心距与半径关系分析", "几何意义明确" ], "必要性": "圆与圆的基本关系", "特殊说明": "不重合的圆", "前置知识": [ "圆的方程", "圆心距公式", "圆的半径" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "位置关系判定", "几何应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.2节 P101", "重要程度": "重要", "考查方式": [ "位置关系判断", "几何证明", "代数推理" ] }, { "编号": "K2-5-1-02", "层次": "三级", "名称": "直线与圆相交的弦长公式", "类型": "公式", "公式": "弦长$=2\\sqrt{r^2 - d^2}$", "参数": "圆半径$r$和圆心到直线的距离$d$", "定义": "该公式为直线与圆相交的弦长公式的计算方法。", "为什么这样计算": "利用垂径定理和勾股定理", "核心特征": [ "几何直观", "计算简便", "适用于所有相交情况" ], "必要性": "相交时的长度计算", "特殊说明": "$d < r$", "前置知识": [ "垂径定理", "勾股定理", "点到直线距离" ], "包含的子知识点": [], "相关方法": [ "几何证明", "长度计算", "实际应用" ], "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.1节 P97", "重要程度": "重要", "考查方式": [ "长度计算", "几何证明", "应用题" ] } ] }