{
  "教材信息": {
    "教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
    "章节": "第一章 集合与常用逻辑用语"
  },

  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K1-1-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "集合的含义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "把一些元素组成的总体叫做集合",
        "关键要素": ["元素", "总体"],
        "符号表示": "用大写拉丁字母A, B, C...表示集合"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围",
        "核心特征": ["确定性", "互异性", "无序性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "集合中元素必须是确定的",
        "特殊说明": "集合中元素不重复出现"
      },

      "前置知识": [],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K1-1-1-02", "K1-1-1-03", "K1-1-1-04"],
        "常见混淆": "集合与元素的层次关系",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P10"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断能否构成集合", "元素与集合关系的判断"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "元素的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "把研究对象统称为元素",
        "关键要素": ["研究对象"],
        "符号表示": "用小写拉丁字母a, b, c...表示元素"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "元素是构成集合的基本单位",
        "核心特征": ["确定性", "互异性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "元素必须能够明确识别",
        "特殊说明": "同一集合中元素不重复"
      },

      "前置知识": [],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "属于关系与包含关系的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P10"
      },

      "重要程度": "基础",
      "考查方式": ["元素与集合关系的判断"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "属于关系",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果a是集合A的元素，就说a属于集合A",
        "关键要素": ["元素a", "集合A"],
        "符号表示": "a ∈ A"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "表示元素与集合的归属关系",
        "核心特征": ["归属性", "二元关系"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "a必须是确定的元素，A必须是确定的集合",
        "特殊说明": "属于关系是元素与集合的关系"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01", "K1-1-1-02"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "a ∈ A 与 {a} ⊆ A 的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P10"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断元素与集合的归属关系"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-1-04",
      "层次": "三级",
      "名称": "不属于关系",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A",
        "关键要素": ["元素a", "集合A"],
        "符号表示": "a ∉ A"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "表示元素与集合的非归属关系",
        "核心特征": ["排他性", "二元关系"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "a必须是确定的元素，A必须是确定的集合",
        "特殊说明": "不属于关系也是元素与集合的关系"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01", "K1-1-1-02", "K1-1-1-03"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "a ∉ A 与 a ⊈ A 的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P10"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断元素与集合的非归属关系"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-1-05",
      "层次": "三级",
      "名称": "常用数集的表示",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "数学中常用的数集及其专用符号",
        "关键要素": ["数集", "专用符号"],
        "符号表示": "N, N*, Z, Q, R"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "便于数学表达和交流",
        "核心特征": ["标准化", "专用性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "在不同数学问题中明确数的范围",
        "特殊说明": "N*和N+都表示正整数集"
      },

      "前置知识": [],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "N与N*的区别，Q与R的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P11-12"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["识别常用数集的符号", "判断数与数集的关系"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-1-06",
      "层次": "二级",
      "名称": "列举法",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来的方法",
        "关键要素": ["元素逐一列出", "花括号括起来"],
        "符号表示": "{a, b, c, ...}"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "适用于有限集合或元素较少的无限集合",
        "核心特征": ["直观性", "明确性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "集合中的元素能够全部列举出来",
        "特殊说明": "元素顺序不影响集合相等"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "列举法与描述法的应用场景",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P13"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["用列举法表示集合", "识别列举法表示的集合"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-1-07",
      "层次": "二级",
      "名称": "描述法",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "用集合中元素的共同特征表示集合的方法",
        "关键要素": ["元素的共同特征", "描述性语言"],
        "符号表示": "{x ∈ A | P(x)}"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "适用于无限集合或元素较多的集合",
        "核心特征": ["描述性", "概括性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "集合中元素具有共同特征",
        "特殊说明": "也可以用冒号或分号代替竖线"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "竖线前后含义的理解",
        "教材位置": "必修1 第1章1.1节 P14-16"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["用描述法表示集合", "将描述法转换为列举法"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "子集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集",
        "关键要素": ["任意元素", "包含关系"],
        "符号表示": "A ⊆ B (或 B ⊇ A)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述集合间的包含关系",
        "核心特征": ["传递性", "包含性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "A中的每个元素都在B中",
        "特殊说明": "任何一个集合都是它本身的子集"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K1-1-2-02", "K1-1-2-03"],
        "常见混淆": "子集与真子集的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.2节 P18-19"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断子集关系", "Venn图表示"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "真子集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果集合A ⊆ B，但存在元素x ∈ B，且x ∉ A，就称集合A是集合B的真子集",
        "关键要素": ["真包含", "存在差异元素"],
        "符号表示": "A ⊂neq B (或 B ⊃neq A)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述严格包含关系",
        "核心特征": ["严格性", "差异性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "A是B的子集且A≠B",
        "特殊说明": "真子集关系是严格的包含关系"
      },

      "前置知识": ["K1-1-2-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "子集与真子集的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.2节 P20"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["判断真子集关系", "子集个数的计算"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-2-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "集合相等的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等",
        "关键要素": ["相互包含", "元素相同"],
        "符号表示": "A = B"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述集合的同一性",
        "核心特征": ["双向性", "等价性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "A ⊆ B 且 B ⊆ A",
        "特殊说明": "构成元素相同的两个集合相等"
      },

      "前置知识": ["K1-1-2-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "集合相等与元素顺序无关",
        "教材位置": "必修1 第1章1.2节 P19"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断集合相等", "集合相等的证明"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-2-04",
      "层次": "三级",
      "名称": "空集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "不含任何元素的集合叫做空集",
        "关键要素": ["不含元素", "特殊集合"],
        "符号表示": "∅"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述不含任何元素的集合",
        "核心特征": ["唯一性", "特殊性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "集合中确实没有任何元素",
        "特殊说明": "空集是任何集合的子集"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "空集与{0}的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.2节 P20"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["识别空集", "空集作为子集的应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-3-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "并集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集",
        "关键要素": ["属于A或属于B", "元素合并"],
        "符号表示": "A ∪ B = {x|x ∈ A, 或 x ∈ B}"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "合并两个集合的所有元素",
        "核心特征": ["并合性", "无重复性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要合并两个集合",
        "特殊说明": "公共元素在并集中只出现一次"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "并集与集合的合并",
        "教材位置": "必修1 第1章1.3节 P27"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["求两个集合的并集", "并集的性质应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-3-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "交集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集",
        "关键要素": ["属于A且属于B", "公共部分"],
        "符号表示": "A ∩ B = {x|x ∈ A, 且 x ∈ B}"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "找出两个集合的公共元素",
        "核心特征": ["公共性", "双重性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要找出两个集合的公共元素",
        "特殊说明": "交集可能为空集"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "交集与并集的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.3节 P30"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["求两个集合的交集", "交集的性质应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-3-03",
      "层次": "二级",
      "名称": "全集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集",
        "关键要素": ["包含所有元素", "研究范围"],
        "符号表示": "U"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "确定研究问题的范围",
        "核心特征": ["完备性", "范围性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要明确研究范围",
        "特殊说明": "全集是相对的"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K1-1-3-04"],
        "常见混淆": "全集与绝对全集的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.3节 P32"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["确定全集的范围", "全集在补集运算中的应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-3-04",
      "层次": "二级",
      "名称": "补集的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集",
        "关键要素": ["全集中不属于A", "相对概念"],
        "符号表示": "CᵤA = {x|x ∈ U, 且 x ∉ A}"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述集合的补足部分",
        "核心特征": ["相对性", "互补性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要明确全集U",
        "特殊说明": "补集是相对于全集的概念"
      },

      "前置知识": ["K1-1-1-01", "K1-1-3-03"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "补集与余集的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.3节 P33"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["求集合的补集", "补集的性质应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-4-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "命题的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题",
        "关键要素": ["陈述句", "可判断真假"],
        "符号表示": ""
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "逻辑推理的基础",
        "核心特征": ["可判断性", "真值性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "必须是陈述句",
        "特殊说明": "疑问句、祈使句不是命题"
      },

      "前置知识": [],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K1-1-4-02", "K1-1-4-03"],
        "常见混淆": "命题与一般陈述句的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.4节 P42"
      },

      "重要程度": "基础",
      "考查方式": ["判断语句是否为命题", "命题真假的判断"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-4-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "充分条件的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果'若p，则q'为真命题，则称p是q的充分条件",
        "关键要素": ["p ⇒ q", "条件充分保证结论"],
        "符号表示": "p ⇒ q"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述条件对结论的充分性",
        "核心特征": ["推出性", "充分性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "由p能推出q",
        "特殊说明": "充分条件不唯一"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "充分条件与必要条件的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.4节 P43"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断充分条件关系", "充分条件的应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-4-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "必要条件的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果'若p，则q'为真命题，则称q是p的必要条件",
        "关键要素": ["p ⇒ q", "结论对条件的必要性"],
        "符号表示": "p ⇒ q"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述结论对条件的必要性",
        "核心特征": ["必要性", "基础性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "q不成立时p一定不成立",
        "特殊说明": "必要条件可能不充分"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-01", "K1-1-4-02"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "必要条件与充分条件的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.4节 P43"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断必要条件关系", "必要条件的应用"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-4-04",
      "层次": "二级",
      "名称": "充要条件的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "如果p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么p是q的充要条件",
        "关键要素": ["p ⇔ q", "相互推出"],
        "符号表示": "p ⇔ q"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述条件的充分必要性",
        "核心特征": ["等价性", "相互性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "p ⇒ q 且 q ⇒ p",
        "特殊说明": "充要条件具有等价性"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-02", "K1-1-4-03"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "充要条件与充分条件的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.4.2节 P52"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["判断充要条件关系", "充要条件的证明"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-5-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "全称量词的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "短语'所有的''任意一个'在逻辑中叫做全称量词",
        "关键要素": ["全部", "任意"],
        "符号表示": "∀"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "表示对整个集合的陈述",
        "核心特征": ["全体性", "普遍性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要描述集合中所有元素",
        "特殊说明": "常见的全称量词还有'一切''每一个''任给'等"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K1-1-5-02"],
        "常见混淆": "全称量词与存在量词的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.5.1节 P62"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["识别全称量词", "全称量词命题的表述"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-5-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "全称量词命题的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "含有全称量词的命题，叫做全称量词命题",
        "关键要素": ["全称量词", "命题"],
        "符号表示": "∀x ∈ M, p(x)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述对集合中所有元素的陈述",
        "核心特征": ["全称性", "命题性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "含有全称量词且可判断真假",
        "特殊说明": "可以用举反例的方法证伪"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-01", "K1-1-5-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "全称量词命题与一般命题的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.5.1节 P62"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["识别全称量词命题", "全称量词命题真假的判断"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-5-03",
      "层次": "二级",
      "名称": "存在量词的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "短语'存在一个''至少有一个'在逻辑中叫做存在量词",
        "关键要素": ["存在", "至少一个"],
        "符号表示": "∃"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "表示集合中至少存在一个元素",
        "核心特征": ["存在性", "部分性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要描述集合中存在元素",
        "特殊说明": "常见的存在量词还有'有些''有一个''对某些''有的'等"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-01"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K1-1-5-04"],
        "常见混淆": "存在量词与全称量词的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.5.1节 P66"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["识别存在量词", "存在量词命题的表述"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-5-04",
      "层次": "三级",
      "名称": "存在量词命题的定义",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "含有存在量词的命题，叫做存在量词命题",
        "关键要素": ["存在量词", "命题"],
        "符号表示": "∃x ∈ M, p(x)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述集合中至少存在一个元素的陈述",
        "核心特征": ["存在性", "命题性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "含有存在量词且可判断真假",
        "特殊说明": "可以用举例的方法证明"
      },

      "前置知识": ["K1-1-4-01", "K1-1-5-03"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "存在量词命题与一般命题的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.5.1节 P66"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["识别存在量词命题", "存在量词命题真假的判断"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-5-05",
      "层次": "二级",
      "名称": "全称量词命题的否定",
      "类型": "定理/性质",

      "核心内容": {
        "定义": "全称量词命题∀x ∈ M, p(x)的否定是存在量词命题∃x ∈ M, ¬p(x)",
        "关键要素": ["量词转换", "结论否定"],
        "符号表示": "¬(∀x ∈ M, p(x)) ⇔ ∃x ∈ M, ¬p(x)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "命题的否定与原命题真假相反",
        "核心特征": ["量词互换", "真假相反"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要对全称量词命题进行否定",
        "特殊说明": "全称量词变为存在量词，结论取反"
      },

      "前置知识": ["K1-1-5-02"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "否定整个命题与否定结论的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.5.2节 P73"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["写出全称量词命题的否定", "判断否命题的真假"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-5-06",
      "层次": "二级",
      "名称": "存在量词命题的否定",
      "类型": "定理/性质",

      "核心内容": {
        "定义": "存在量词命题∃x ∈ M, p(x)的否定是全称量词命题∀x ∈ M, ¬p(x)",
        "关键要素": ["量词转换", "结论否定"],
        "符号表示": "¬(∃x ∈ M, p(x)) ⇔ ∀x ∈ M, ¬p(x)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "命题的否定与原命题真假相反",
        "核心特征": ["量词互换", "真假相反"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "需要对存在量词命题进行否定",
        "特殊说明": "存在量词变为全称量词，结论取反"
      },

      "前置知识": ["K1-1-5-04"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "否定整个命题与否定结论的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章1.5.2节 P75"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["写出存在量词命题的否定", "判断否命题的真假"]
    },
    {
      "编号": "K1-1-3-05",
      "层次": "三级",
      "名称": "有限集合元素个数的计算公式",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "定义": "对任意两个有限集合A, B，有card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B)",
        "关键要素": ["有限集合", "元素个数计算"],
        "符号表示": "card(A ∪ B) = card(A) + card(B) - card(A ∩ B)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "避免重复计算公共元素",
        "核心特征": ["容斥原理", "互补性"]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "A, B都是有限集合",
        "特殊说明": "card表示集合中元素的个数"
      },

      "前置知识": ["K1-1-3-01", "K1-1-3-02"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "常见混淆": "card(A ∪ B)与card(A) + card(B)的区别",
        "教材位置": "必修1 第1章阅读与思考 P38-40"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["计算集合元素个数", "容斥原理的应用"]
    }
  ]
}