{
  "教材信息": {
    "教材名称": "普通高中数学 选择性必修 第二册",
    "章节": "第七章 随机变量及其分布",
    "节": "7.1 条件概率与全概率公式，7.2 离散型随机变量及其分布列，7.3 离散型随机变量的数字特征，7.4 二项分布与超几何分布，7.5 正态分布",
    "小节": "7.1.1 条件概率，7.1.2 全概率公式，7.2.1 离散型随机变量，7.2.2 离散型随机变量的分布列，7.3.1 离散型随机变量的均值，7.3.2 离散型随机变量的方差，7.4.1 二项分布，7.4.2 超几何分布，7.5.1 正态分布",
    "页码范围": "48-97"
  },
  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K7-1-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "条件概率",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "设A,B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A) = P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率",
      "公式": "$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$",
      "关键特征": "缩小样本空间，以A为新的样本空间计算B发生的概率",
      "为什么这样定义": "条件概率描述了在一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，是处理条件概率问题的基础",
      "核心特征": [
        "以已知事件为新的样本空间",
        "缩小了可能的结果范围",
        "反映了事件之间的条件依赖关系"
      ],
      "必要性": "解决条件概率计算的基础",
      "特殊说明": "要求P(A) > 0",
      "前置知识": [
        "概率的基本概念",
        "古典概型",
        "事件关系"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K7-1-1-02 概率的乘法公式",
        "K7-1-2-01 全概率公式",
        "K7-1-2-02 贝叶斯公式"
      ],
      "相关方法": [
        "树状图分析",
        "样本空间缩减法"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P49-57",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "条件概率计算",
        "实际应用问题",
        "条件概率与独立性关系"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-1-1-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "概率的乘法公式",
      "类型": "公式/定理",
      "公式": "对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB) = P(A)P(B|A)",
      "扩展": "P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)",
      "定义": "对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB) = P(A)P(B|A)",
      "为什么这样建立": "乘法公式将积事件的概率分解为两个概率的乘积，简化了复杂概率的计算",
      "核心特征": [
        "基于条件概率",
        "适用于事件积的概率计算",
        "可以推广到多个事件的乘积"
      ],
      "必要性": "计算积事件概率的重要工具",
      "特殊说明": "要求前一个事件的概率大于0",
      "前置知识": [
        "K7-1-1-01 条件概率"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "事件分解",
        "树状图"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P52-56",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "乘法公式应用",
        "多步概率计算",
        "独立事件判断"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-1-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "全概率公式",
      "类型": "公式/定理",
      "公式": "设A₁,A₂,...,Aₙ是一组两两互斥的事件，A₁∪A₂∪...∪Aₙ=Ω，且P(Aᵢ)>0(i=1,2,...,n)，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=∑P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)",
      "定义": "设A₁,A₂,...,Aₙ是一组两两互斥的事件，A₁∪A₂∪...∪Aₙ=Ω，且P(Aᵢ)>0(i=1,2,...,n)，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)=∑P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)",
      "为什么这样建立": "全概率公式通过将复杂事件分解为若干互斥简单事件的并，利用分类加法和条件概率计算复杂事件的概率",
      "核心特征": [
        "事件的互斥性要求",
        "完备性要求（并集为全集）",
        "加权平均的思想"
      ],
      "必要性": "解决复杂事件概率计算的重要方法",
      "特殊说明": "需要确定合适的分类标准",
      "前置知识": [
        "K7-1-1-01 条件概率",
        "K7-1-1-02 概率的乘法公式",
        "互斥事件概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K7-1-2-02 贝叶斯公式"
      ],
      "相关方法": [
        "分类讨论",
        "概率树图"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.2节 P54-61",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "全概率公式应用",
        "复杂概率计算",
        "多步骤问题分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-1-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "贝叶斯公式",
      "类型": "公式/定理",
      "公式": "P(Aᵢ|B) = \frac{P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)}{P(B)} = \frac{P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)}{∑_{k=1}^{n}P(Aₖ)P(B|Aₖ)}",
      "概念": "先验概率vs后验概率",
      "定义": "P(Aᵢ|B) = \frac{P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)}{P(B)} = \frac{P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)}{∑_{k=1}^{n}P(Aₖ)P(B|Aₖ)}",
      "为什么这样建立": "贝叶斯公式提供了在新信息下修正先验概率的方法，体现了学习型推理的思想",
      "核心特征": [
        "利用新信息更新概率",
        "先验概率到后验概率的转换",
        "条件概率的逆向应用"
      ],
      "必要性": "统计推断和决策分析的重要工具",
      "特殊说明": "要求P(B) > 0",
      "前置知识": [
        "K7-1-1-01 条件概率",
        "K7-1-2-01 全概率公式"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "概率修正",
        "统计推断"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.2节 P61-68",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "贝叶斯公式应用",
        "后验概率计算",
        "统计推断问题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-2-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "随机变量的概念",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，称为随机变量",
      "分类": "离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量",
      "为什么这样建立": "随机变量将随机试验的结果数量化，为使用数学工具研究随机现象奠定基础",
      "核心特征": [
        "取值依赖样本点",
        "可能取值明确",
        "便于表示随机事件"
      ],
      "必要性": "概率论和数理统计的基础概念",
      "特殊说明": "连续型随机变量取值充满某个区间",
      "前置知识": [
        "样本空间",
        "函数概念",
        "概率基础"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列"
      ],
      "相关方法": [
        "随机变量表示事件"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.2节 P61-65",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "随机变量识别",
        "取值范围判断",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-2-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "离散型随机变量的分布列",
      "类型": "概念/表示",
      "定义": "设离散型随机变量X的可能取值为x₁,x₂,...,xₙ，我们称X取每一个值xᵢ的概率P(X=xᵢ)=pᵢ(i=1,2,...,n)为X的概率分布列",
      "表格形式": "用表格表示X的取值和对应的概率",
      "性质": "pᵢ≥0且∑pᵢ=1",
      "为什么这样建立": "分布列全面刻画了离散型随机变量的取值规律",
      "核心特征": [
        "完整描述取值概率分布",
        "满足概率基本性质",
        "便于概率计算和分析"
      ],
      "必要性": "研究离散型随机变量的基础",
      "特殊说明": "只适用于离散型随机变量",
      "前置知识": [
        "K7-2-1-01 随机变量的概念",
        "概率概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K7-2-3-01 离散型随机变量的数字特征"
      ],
      "相关方法": [
        "概率计算",
        "统计分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.2.2节 P65-73",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "分布列建立",
        "概率计算",
        "分布列性质验证"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-2-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "两点分布",
      "类型": "分布类型",
      "定义": "只有两个可能结果的随机试验，用X表示事件A发生的次数，则X服从两点分布",
      "分布列": "P(X=0)=1-p，P(X=1)=p",
      "应用": "产品检验、硬币抛掷、性别判断等",
      "为什么重要": "两点分布是最简单的离散型分布，是理解复杂分布的基础",
      "核心特征": [
        "只有两个可能取值",
        "参数为成功概率p",
        "均值为p"
      ],
      "必要性": "伯努利试验的基础",
      "特殊说明": "适用于二元结果的随机试验",
      "前置知识": [
        "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "二元随机试验分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.2.2节 P68-70",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "两点分布识别",
        "参数p的确定",
        "应用分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-3-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "离散型随机变量的均值",
      "类型": "概念/公式",
      "定义": "E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xₙpₙ = ∑xᵢpᵢ",
      "意义": "随机变量取值的平均水平或分布的集中趋势",
      "性质": "E(aX+b) = aE(X) + b",
      "为什么这样定义": "均值反映了随机变量取值的加权平均，是描述随机变量集中趋势的重要数字特征",
      "核心特征": [
        "概率加权的平均值",
        "反映集中位置",
        "可用于比较不同分布的中心位置"
      ],
      "必要性": "随机变量比较和决策的基础",
      "特殊说明": "要求均值存在（绝对收敛）",
      "前置知识": [
        "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列",
        "加权平均概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K7-3-2-01 离散型随机变量的方差"
      ],
      "相关方法": [
        "期望计算",
        "决策分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.3.1节 P74-82",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "均值计算",
        "期望性质应用",
        "实际决策分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-3-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "离散型随机变量的方差",
      "类型": "概念/公式",
      "定义": "D(X) = ∑(xᵢ-E(X))²pᵢ，标准差σ(X) = √D(X)",
      "简化公式": "D(X) = E(X²) - [E(X)]²",
      "性质": "D(aX+b) = a²D(X)",
      "为什么这样定义": "方差和标准差度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映离散程度",
      "核心特征": [
        "描述离散程度",
        "方差单位是原变量的平方单位",
        "标准差与原变量单位相同"
      ],
      "必要性": "风险评估和稳定性分析的重要工具",
      "特殊说明": "要求均值存在",
      "前置知识": [
        "K7-3-1-01 离散型随机变量的均值",
        "偏差概念"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "风险评估",
        "精度分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.3.2节 P82-88",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "方差计算",
        "标准差应用",
        "离散程度比较"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-4-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "伯努利试验",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "只包含两个可能结果的试验",
      "n重伯努利试验": "独立重复进行n次的伯努利试验",
      "特征": "①同一试验重复n次；②各次试验结果相互独立",
      "为什么重要": "伯努利试验是二项分布的基础模型",
      "核心特征": [
        "二元结果",
        "独立性",
        "重复性"
      ],
      "必要性": "二项分布应用的前提",
      "特殊说明": "每次试验成功概率相同",
      "前置知识": [
        "独立事件概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K7-4-1-02 二项分布"
      ],
      "相关方法": [
        "独立重复试验分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P94-99",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "伯努利试验识别",
        "独立性质判断",
        "n重试验分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-4-1-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "二项分布",
      "类型": "分布类型",
      "定义": "在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p，用X表示事件A发生的次数，则X服从二项分布B(n,p)",
      "分布列": "P(X=k) = Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ，k=0,1,2,...,n",
      "参数": "n（试验次数），p（成功概率）",
      "为什么这样建立": "二项分布描述了独立重复试验中成功次数的分布规律",
      "核心特征": [
        "离散取值",
        "独立同分布",
        "组合数公式形式"
      ],
      "必要性": "独立重复试验的建模",
      "特殊说明": "要求各次试验独立且成功概率相同",
      "前置知识": [
        "K7-4-1-01 伯努利试验",
        "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列",
        "组合数"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "独立试验分析",
        "组合计算"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P99-108",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "二项分布识别",
        "参数确定",
        "概率计算",
        "均值方差计算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-4-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "超几何分布",
      "类型": "分布类型",
      "定义": "从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X服从超几何分布",
      "分布列": "P(X=k) = CᴹᵏC_{N-M}ⁿ⁻ᵏ/Cᴺⁿ，k=m,m+1,...,r",
      "参数": "N（总数），M（次品数），n（抽取数）",
      "为什么这样建立": "超几何分布描述了不放回抽样中次品数的分布规律",
      "核心特征": [
        "不放回抽样",
        "有限总体",
        "超几何分布形式"
      ],
      "必要性": "不放回抽样的概率建模",
      "特殊说明": "各次抽取不独立",
      "前置知识": [
        "古典概型",
        "组合数",
        "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "不放回抽样分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.2节 P109-116",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "超几何分布识别",
        "参数确定",
        "不放回抽样问题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-5-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "正态分布",
      "类型": "分布类型",
      "定义": "若随机变量X的概率密度函数为f(x) = 1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)²/(2σ²)，则称X服从正态分布N(μ,σ²)",
      "标准正态分布": "μ=0, σ=1时的正态分布",
      "参数意义": "μ为均值，σ²为方差",
      "为什么重要": "正态分布广泛存在于自然现象中，是概率统计的重要分布",
      "核心特征": [
        "连续型分布",
        "钟形密度曲线",
        "由两个参数完全确定"
      ],
      "必要性": "连续随机变量的重要分布模型",
      "特殊说明": "取值范围充满整个实轴",
      "前置知识": [
        "连续型随机变量",
        "密度函数",
        "指数函数"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "统计分析",
        "质量控制"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.5节 P117-128",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "正态分布识别",
        "参数估计",
        "概率区间计算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-5-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "3σ原则",
      "类型": "性质/应用",
      "内容": "P(μ-σ < X < μ+σ) ≈ 0.6827，P(μ-2σ < X < μ+2σ) ≈ 0.9545，P(μ-3σ < X < μ+3σ) ≈ 0.9973",
      "应用": "质量控制中认为异常值的判断标准",
      "定义": "关于3σ原则的定义。",
      "为什么这样建立": "3σ原则提供了正态分布中数据分散的量化标准",
      "核心特征": [
        "数据集中在均值附近",
        "异常值概率很小",
        "实用的质量控制标准"
      ],
      "必要性": "异常检测和质量控制",
      "特殊说明": "适用于近似正态分布的数据",
      "前置知识": [
        "K7-5-1-01 正态分布",
        "标准差概念"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "异常值检测",
        "质量控制"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.5节 P124-128",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "3σ原则应用",
        "异常值判断",
        "质量控制"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-2-3-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "随机变量的独立性",
      "类型": "概念/关系",
      "定义": "若P(AB) = P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立",
      "随机变量独立": "若对任意x,y，有P(X≤x,Y≤y) = P(X≤x)P(Y≤y)，则随机变量X与Y相互独立",
      "为什么重要": "独立性简化了概率计算，是概率论的重要概念",
      "核心特征": [
        "概率可分解为乘积",
        "事件间无影响",
        "随机变量的联合分布可分解"
      ],
      "必要性": "简化概率计算的重要假设",
      "特殊说明": "独立性比不相关更强",
      "前置知识": [
        "条件概率",
        "积事件概率"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "独立事件判断",
        "独立随机变量"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1节 P75-77",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "独立性判断",
        "概率计算简化",
        "独立随机变量分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-3-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "两点分布的均值",
      "类型": "公式/性质",
      "结果": "如果X服从两点分布，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，则E(X) = p",
      "解释": "一次伯努利试验中成功次数的期望值等于成功概率",
      "定义": "如果X服从两点分布，P(X=1)=p，P(X=0)=1-p，则E(X) = p",
      "为什么这样计算": "两点分布的均值直观上就是成功的概率",
      "核心特征": [
        "期望值等于参数p",
        "反映单次试验的平均成功次数"
      ],
      "必要性": "伯努利试验分析",
      "特殊说明": "只适用于二元结果试验",
      "前置知识": [
        "K7-2-2-02 两点分布",
        "K7-3-1-01 离散型随机变量的均值"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "伯努利试验分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.3.1节 P79",
      "重要程度": "基础",
      "考查方式": [
        "期望计算",
        "参数解释"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-4-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "二项分布的均值和方差",
      "类型": "公式/性质",
      "均值": "若X∼B(n,p)，则E(X) = np",
      "方差": "若X∼B(n,p)，则D(X) = np(1-p)",
      "定义": "若X∼B(n,p)，则E(X) = np, D(X) = np(1-p)",
      "为什么这样计算": "二项分布的均值和方差有简洁的公式，便于应用",
      "核心特征": [
        "期望与试验次数和概率成比例",
        "方差与期望和(1-p)有关",
        "便于计算和应用"
      ],
      "必要性": "二项分布应用的基础计算",
      "特殊说明": "适用于任何二项分布",
      "前置知识": [
        "K7-4-1-02 二项分布",
        "K7-3-1-01 均值",
        "K7-3-2-01 方差"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "期望方差计算",
        "二项分布应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P108-113",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "均值方差计算",
        "参数估计",
        "二项分布应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-4-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "超几何分布的均值",
      "类型": "公式/性质",
      "结果": "若X服从超几何分布h(n,N,M)，则E(X) = np，其中p = M/N为次品率",
      "定义": "若X服从超几何分布h(n,N,M)，则E(X) = np，其中p = M/N为次品率",
      "为什么这样计算": "超几何分布的均值等于抽样比例与总体规模的乘积",
      "核心特征": [
        "无放回抽样的期望",
        "与总体比例一致",
        "抽样代表性"
      ],
      "必要性": "无放回抽样的统计分析",
      "特殊说明": "适用于任何超几何分布",
      "前置知识": [
        "K7-4-2-01 超几何分布",
        "K7-3-1-01 均值",
        "比例概念"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "无放回抽样分析",
        "统计推断"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.2节 P116-121",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "均值计算",
        "抽样分析",
        "统计推断"
      ]
    },
    {
      "编号": "K7-5-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "正态分布的均值和方差",
      "类型": "公式/性质",
      "均值": "若X∼N(μ,σ²)，则E(X) = μ",
      "方差": "若X∼N(μ,σ²)，则D(X) = σ²",
      "标准差": "σ(X) = √D(X) = σ",
      "定义": "若X∼N(μ,σ²)，则E(X) = μ, D(X) = σ²",
      "为什么这样计算": "正态分布的参数就是其均值和方差",
      "核心特征": [
        "参数直接反映数字特征",
        "μ决定集中位置",
        "σ²决定离散程度"
      ],
      "必要性": "正态分布参数识别的基础",
      "特殊说明": "适用于任何正态分布",
      "前置知识": [
        "K7-5-1-01 正态分布",
        "K7-3-1-01 均值",
        "K7-3-2-01 方差"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "参数估计",
        "正态分布应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第7章7.5节 P128-131",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "参数确定",
        "均值方差计算",
        "正态分布应用"
      ]
    }
  ]
}