{
  "method_list": [
    {
      "编号": "M3-1-1-01",
      "名称": "椭圆定义法求轨迹方程",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "求符合椭圆定义的点的轨迹方程",
        "识别特征": "题目中涉及点到两个定点距离之和为常数",
        "典型形式": "求满足|MF₁| + |MF₂| = 2a (2a > |F₁F₂|) 的点M的轨迹方程"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定两个定点F₁, F₂的坐标",
          "注意事项": "如果题目未给出，需要根据条件先求出焦点坐标"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "验证距离之和是否大于两定点间距离",
          "注意事项": "必须满足2a > |F₁F₂|，否则不是椭圆"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "设动点M(x,y)，根据定义写出等式",
          "注意事项": "正确使用距离公式写出√[(x-x₁)²+(y-y₁)²] + √[(x-x₂)²+(y-y₂)²] = 2a"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "化简整理成标准方程形式",
          "注意事项": "通过移项、平方、化简等步骤得到标准形式"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合", "转化思想"],
      "解题策略": "利用椭圆定义直接转化为代数方程",

      "支撑知识点": [
        "K3-1-1-01 椭圆的定义",
        "K3-1-1-02 椭圆的标准方程"
      ],

      "典型例题": ["T3-1-1-E01"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "忽略验证2a > |F₁F₂|的条件",
          "原因": "对椭圆定义理解不完整",
          "正确做法": "必须验证常数大于两焦点间距离"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P38 例1"
    },

    {
      "编号": "M3-1-1-02",
      "名称": "椭圆标准方程求解法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "根据已知条件求椭圆的标准方程",
        "识别特征": "题目给出椭圆的某些几何特征或参数关系",
        "典型形式": "已知焦点坐标、顶点坐标、离心率等求椭圆方程"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "判断焦点位置，确定标准方程形式",
          "注意事项": "焦点在x轴上用+号，在y轴上用+号，分母对应a²,b²"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据已知条件建立关于a,b的方程",
          "注意事项": "可能需要利用c²=a²-b²，e=c/a等关系式"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "求解方程组，确定参数a,b的值",
          "注意事项": "注意a>b>0的条件约束"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "写出椭圆的标准方程",
          "注意事项": "检查所有条件是否满足，确保方程正确"
        }
      ],

      "数学思想": ["方程思想", "分类讨论"],
      "解题策略": "根据几何特征建立方程，求解参数确定方程",

      "支撑知识点": [
        "K3-1-1-02 椭圆的标准方程",
        "K3-1-1-03 椭圆的几何性质",
        "K3-1-1-04 椭圆的离心率"
      ],

      "典型例题": ["T3-1-1-E02", "T3-1-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "焦点位置判断错误导致方程形式错误",
          "原因": "对标准方程的形式与焦点位置关系理解不清",
          "正确做法": "焦点在哪个轴上，哪个变量的分母就是a²"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P40 例2"
    },

    {
      "编号": "M3-1-1-03",
      "名称": "椭圆几何性质应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用椭圆的几何性质解决相关问题",
        "识别特征": "涉及椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质",
        "典型形式": "求椭圆上的点满足特定条件、比较椭圆形状等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "明确所考查的椭圆几何性质",
          "注意事项": "准确理解题目涉及的几何性质的含义"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据已知条件建立关于参数的方程",
          "注意事项": "可能需要结合多个性质建立方程组"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "求解方程或方程组",
          "注意事项": "注意参数的取值范围和约束条件"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "得出结论并验证",
          "注意事项": "检验结果是否符合所有给定条件"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合", "参数思想"],
      "解题策略": "利用几何性质建立数量关系，通过计算解决问题",

      "支撑知识点": [
        "K3-1-1-03 椭圆的几何性质",
        "K3-1-1-04 椭圆的离心率"
      ],

      "典型例题": ["T3-1-1-E04", "T3-1-1-E05"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆椭圆各参数的几何意义",
          "原因": "对a,b,c,e等参数理解不深",
          "正确做法": "明确a是半长轴，b是半短轴，c是半焦距，e是离心率"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P45 例3"
    },

    {
      "编号": "M3-2-1-01",
      "名称": "双曲线定义法求轨迹方程",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "求符合双曲线定义的点的轨迹方程",
        "识别特征": "题目中涉及点到两个定点距离之差的绝对值为常数",
        "典型形式": "求满足||MF₁| - |MF₂|| = 2a (0 < 2a < |F₁F₂|) 的点M的轨迹方程"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定两个定点F₁, F₂的坐标",
          "注意事项": "焦点坐标的确定是解题的关键第一步"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "验证距离之差的绝对值是否小于两定点间距离且大于0",
          "注意事项": "必须满足0 < 2a < |F₁F₂|，否则不是双曲线"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "设动点M(x,y)，根据定义写出等式",
          "注意事项": "注意绝对值符号的使用，正确写出距离公式"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "化简整理成标准方程形式",
          "注意事项": "通过平方、化简等步骤得到标准形式"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合", "分类讨论"],
      "解题策略": "利用双曲线定义直接转化为代数方程",

      "支撑知识点": [
        "K3-2-1-01 双曲线的定义",
        "K3-2-1-02 双曲线的标准方程"
      ],

      "典型例题": ["T3-2-1-E01"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "忽略绝对值符号或常数条件验证",
          "原因": "对双曲线定义理解不完整",
          "正确做法": "必须考虑绝对值且验证0 < 2a < |F₁F₂|"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P55 例1"
    },

    {
      "编号": "M3-2-1-02",
      "名称": "双曲线标准方程求解法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "根据已知条件求双曲线的标准方程",
        "识别特征": "题目给出双曲线的某些几何特征或参数关系",
        "典型形式": "已知焦点坐标、渐近线方程、离心率等求双曲线方程"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "判断焦点位置，确定标准方程形式",
          "注意事项": "注意双曲线标准方程中的减号位置"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据已知条件建立关于参数的方程",
          "注意事项": "常用关系式：c² = a² + b²，e = c/a，渐近线y = ±(b/a)x"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "求解方程组，确定参数a,b的值",
          "注意事项": "注意a > 0, b > 0的条件"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "写出双曲线的标准方程",
          "注意事项": "验证所得方程满足所有已知条件"
        }
      ],

      "数学思想": ["方程思想", "转化思想"],
      "解题策略": "根据几何特征建立方程，求解参数确定方程",

      "支撑知识点": [
        "K3-2-1-02 双曲线的标准方程",
        "K3-2-1-03 双曲线的几何性质",
        "K3-2-1-04 双曲线的渐近线",
        "K3-2-1-05 双曲线的离心率"
      ],

      "典型例题": ["T3-2-1-E02", "T3-2-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆椭圆和双曲线的参数关系式",
          "原因": "记忆不牢固，c² = a² - b²(椭圆)和c² = a² + b²(双曲线)混淆",
          "正确做法": "双曲线中c最大，满足c² = a² + b²"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P56 例2"
    },

    {
      "编号": "M3-2-1-03",
      "名称": "双曲线渐近线应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用双曲线渐近线解决相关问题",
        "识别特征": "涉及双曲线的渐近线方程或与渐近线相关的条件",
        "典型形式": "求双曲线方程、判断点与双曲线位置关系等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定渐近线方程",
          "注意事项": "标准位置时渐近线为y = ±(b/a)x"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据渐近线建立参数关系",
          "注意事项": "渐近线的斜率k = ±b/a"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "结合其他条件确定参数值",
          "注意事项": "需要其他条件如焦点坐标、离心率等来确定具体数值"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "写出双曲线方程并验证",
          "注意事项": "检查渐近线是否与所得方程一致"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合", "极限思想"],
      "解题策略": "利用渐近线的几何特征建立代数关系",

      "支撑知识点": [
        "K3-2-1-03 双曲线的几何性质",
        "K3-2-1-04 双曲线的渐近线"
      ],

      "典型例题": ["T3-2-1-E04", "T3-2-1-E05"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "渐近线方程与双曲线方程对应关系错误",
          "原因": "对渐近线的几何意义理解不清",
          "正确做法": "渐近线由双曲线方程中x²和y²的系数决定"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P61 例4"
    },

    {
      "编号": "M3-3-1-01",
      "名称": "抛物线定义法求轨迹方程",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "求符合抛物线定义的点的轨迹方程",
        "识别特征": "题目中涉及点到定点和定直线距离相等",
        "典型形式": "求满足|MF| = d(M,l) 的点M的轨迹方程"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定定点F的坐标和定直线l的方程",
          "注意事项": "焦点F不能在准线l上"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "设动点M(x,y)，根据定义写出距离相等关系",
          "注意事项": "正确使用点到点的距离公式和点到直线的距离公式"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "化简整理成标准方程形式",
          "注意事项": "通过平方、移项、化简得到四种标准形式之一"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "确定开口方向和参数p的值",
          "注意事项": "根据标准方程形式确定开口方向，p为正数"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合", "转化思想"],
      "解题策略": "利用抛物线定义直接转化为代数方程",

      "支撑知识点": [
        "K3-3-1-01 抛物线的定义",
        "K3-3-1-02 抛物线的标准方程"
      ],

      "典型例题": ["T3-3-1-E01"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "点到直线距离公式使用错误",
          "原因": "距离公式记忆不准确或计算错误",
          "正确做法": "点(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离为|Ax₀+By₀+C|/√(A²+B²)"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P66 例1"
    },

    {
      "编号": "M3-3-1-02",
      "名称": "抛物线标准方程求解法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "根据已知条件求抛物线的标准方程",
        "识别特征": "题目给出抛物线的某些几何特征",
        "典型形式": "已知焦点坐标、准线方程、开口方向等求抛物线方程"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定开口方向，选择对应的标准方程形式",
          "注意事项": "四种开口方向对应四种不同的标准形式"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据已知条件确定参数p的值",
          "注意事项": "p表示焦点到准线的距离，恒为正数"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "验证焦点和准线是否与所得方程一致",
          "注意事项": "检查焦点坐标和准线方程是否正确"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "写出抛物线的标准方程",
          "注意事项": "确保方程形式与开口方向对应正确"
        }
      ],

      "数学思想": ["对应思想", "分类讨论"],
      "解题策略": "根据几何特征确定参数和方程形式",

      "支撑知识点": [
        "K3-3-1-02 抛物线的标准方程",
        "K3-3-1-03 抛物线的几何性质"
      ],

      "典型例题": ["T3-3-1-E02", "T3-3-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "开口方向与方程形式对应错误",
          "原因": "对四种标准形式记忆混淆",
          "正确做法": "y² = ±2px(x轴开口)，x² = ±2py(y轴开口)"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P67 例2"
    },

    {
      "编号": "M3-3-1-03",
      "名称": "抛物线几何性质应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用抛物线的几何性质解决相关问题",
        "识别特征": "涉及抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等性质",
        "典型形式": "求抛物线上特殊点、判断位置关系、应用光学性质等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "明确所考查的抛物线几何性质",
          "注意事项": "准确理解题目涉及的几何性质"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据性质建立相应的数量关系",
          "注意事项": "可能需要结合坐标几何知识"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "利用代数方法求解问题",
          "注意事项": "注意结合图形直观分析"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "得出结论并进行验证",
          "注意事项": "检验结果的合理性"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合", "优化思想"],
      "解题策略": "利用几何性质建立数量关系，结合代数方法求解",

      "支撑知识点": [
        "K3-3-1-03 抛物线的几何性质"
      ],

      "典型例题": ["T3-3-1-E04", "T3-3-1-E05"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "忽略抛物线的特殊性质如离心率为1",
          "原因": "对抛物线的独特性质认识不足",
          "正确做法": "牢记抛物线离心率恒为1，这是与其他圆锥曲线的重要区别"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P69 例3"
    },

    {
      "编号": "M3-4-1-01",
      "名称": "圆锥曲线统一方程应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用圆锥曲线的统一定义和性质解决综合问题",
        "识别特征": "涉及椭圆、双曲线、抛物线之间的联系和统一性",
        "典型形式": "利用离心率、准线、焦半径等统一概念解决问题"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "识别题目涉及的圆锥曲线类型和共同特征",
          "注意事项": "找出不同圆锥曲线的共同性质"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "利用统一定义建立数量关系",
          "注意事项": "统一定义：|MF|/d = e (常数)"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据离心率的取值范围确定曲线类型",
          "注意事项": "0 < e < 1(椭圆)，e = 1(抛物线)，e > 1(双曲线)"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "综合运用各种性质解决问题",
          "注意事项": "灵活运用不同圆锥曲线的特性和共性"
        }
      ],

      "数学思想": ["统一思想", "分类讨论"],
      "解题策略": "从统一角度理解圆锥曲线，根据离心率分类讨论",

      "支撑知识点": [
        "K3-1-1-05 椭圆的另一种定义",
        "K3-3-1-01 抛物线的定义",
        "K3-2-1-05 双曲线的离心率"
      ],

      "典型例题": ["T3-4-1-E01", "T3-4-1-E02"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆不同圆锥曲线的离心率范围",
          "原因": "对离心率的几何意义理解不清",
          "正确做法": "椭圆e∈(0,1)，抛物线e=1，双曲线e>1"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P72 例1"
    },

    {
      "编号": "M3-5-1-01",
      "名称": "直线与圆锥曲线位置关系判断法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "判断直线与圆锥曲线的位置关系，求交点等",
        "识别特征": "涉及直线方程和圆锥曲线方程的联立",
        "典型形式": "判断相交、相切、相离，求交点坐标，求弦长等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "联立直线和圆锥曲线的方程",
          "注意事项": "将直线方程代入圆锥曲线方程"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "消元得到关于x(或y)的一元二次方程",
          "注意事项": "消元后要整理成标准形式ax²+bx+c=0"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "计算判别式Δ = b²-4ac的值",
          "注意事项": "Δ > 0相交，Δ = 0相切，Δ < 0相离"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "根据题目要求进一步求解",
          "注意事项": "可能需要求交点坐标、弦长等"
        }
      ],

      "数学思想": ["方程思想", "分类讨论"],
      "解题策略": "通过联立方程转化为判别式问题",

      "支撑知识点": [
        "K3-1-1-02 椭圆的标准方程",
        "K3-2-1-02 双曲线的标准方程",
        "K3-3-1-02 抛物线的标准方程"
      ],

      "典型例题": ["T3-5-1-E01", "T3-5-1-E02"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "消元过程计算错误或判别式计算错误",
          "原因": "代数运算不够熟练",
          "正确做法": "仔细检查每一步计算，特别是符号和系数"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P78 例1"
    },

    {
      "编号": "M3-5-1-02",
      "名称": "圆锥曲线弦长公式法",
      "类型": "计算技巧",

      "适用场景": {
        "问题类型": "求圆锥曲线被直线截得的弦长",
        "识别特征": "涉及直线与圆锥曲线相交求距离",
        "典型形式": "求椭圆、双曲线、抛物线的弦长"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "联立直线和圆锥曲线方程",
          "注意事项": "按照标准方法联立消元"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "设直线斜率为k，利用弦长公式",
          "注意事项": "弦长公式：|AB| = √(1+k²)·|x₁-x₂|"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "利用根与系数关系求|x₁-x₂|",
          "注意事项": "|x₁-x₂| = √[(x₁+x₂)²-4x₁x₂] = √(Δ)/|a|"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "计算弦长并化简",
          "注意事项": "最终结果要化简成最简形式"
        }
      ],

      "数学思想": ["整体思想", "转化思想"],
      "解题策略": "利用根与系数关系避免求交点坐标",

      "支撑知识点": [
        "K3-1-1-02 椭圆的标准方程",
        "K3-2-1-02 双曲线的标准方程",
        "K3-3-1-02 抛物线的标准方程",
        "根与系数关系"
      ],

      "典型例题": ["T3-5-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "弦长公式记忆错误或应用不当",
          "原因": "对弦长公式的推导理解不深",
          "正确做法": "弦长公式来自两点间距离公式和直线斜率的关系"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "选择性必修第一册 P81 例3"
    }
  ]
}