{ "method_list": [ { "编号": "M7-1-1-01", "名称": "条件概率计算法", "类型": "解题方法", "适用场景": { "问题类型": "计算在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率", "识别特征": "问题中出现'在...条件下'、'已知...求...'等表述", "典型形式": "P(B|A)" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "识别条件事件A和目标事件B", "注意事项": "明确哪个是条件，哪个是要求的事件" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "计算P(A)和P(AB)", "注意事项": "P(AB)表示A和B同时发生的概率" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "运用条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)", "注意事项": "要求P(A)>0" } ], "数学思想": ["分类讨论思想", "样本空间缩减思想"], "解题策略": "通过缩小样本空间，在已知条件下求概率", "支撑知识点": [ "K7-1-1-01 条件概率", "K7-1-1-02 概率的乘法公式" ], "典型例题": ["T7-1-1-E01", "T7-1-1-E02", "T7-1-1-E03"], "常见错误": [ { "错误描述": "混淆条件概率与积事件概率", "原因": "对条件概率概念理解不清", "正确做法": "明确P(B|A)是在A发生的条件下B的概率，而P(AB)是A和B同时发生的概率" } ], "难度等级": 2, "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P49-53" }, { "编号": "M7-1-1-02", "名称": "样本空间缩减法", "类型": "解题方法", "适用场景": { "问题类型": "古典概型中的条件概率计算", "识别特征": "可以明确列举样本点的问题", "典型形式": "在已知某个事件发生的条件下求概率" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "以条件事件A为新的样本空间", "注意事项": "样本空间从Ω缩减到A" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "在新样本空间中计算目标事件的概率", "注意事项": "直接用n(AB)/n(A)计算" } ], "数学思想": ["样本空间缩减思想"], "解题策略": "直接在缩小的样本空间中计算概率", "支撑知识点": [ "K7-1-1-01 条件概率" ], "典型例题": ["T7-1-1-E01", "T7-1-1-E02"], "常见错误": [ { "错误描述": "在原样本空间中计算概率", "原因": "没有正确理解条件概率的本质", "正确做法": "必须以条件事件为新的样本空间" } ], "难度等级": 2, "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P50-52" }, { "编号": "M7-1-1-03", "名称": "概率的乘法公式应用法", "类型": "解题方法", "适用场景": { "问题类型": "计算多个事件同时发生的概率", "识别特征": "求P(AB)、P(ABC)等多事件的积概率", "典型形式": "顺序发生的多个事件的概率" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定事件的顺序关系", "注意事项": "明确哪个事件先发生" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "运用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)", "注意事项": "对于多个事件：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)" } ], "数学思想": ["分步计算思想"], "解题策略": "将复杂积事件分解为连续步骤的概率计算", "支撑知识点": [ "K7-1-1-02 概率的乘法公式" ], "典型例题": ["T7-1-1-E02", "T7-1-1-E03"], "常见错误": [ { "错误描述": "错误地认为P(AB)=P(A)P(B)", "原因": "混淆独立事件与一般事件", "正确做法": "只有当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)，否则要用条件概率" } ], "难度等级": 3, "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P51-53" }, { "编号": "M7-1-2-01", "名称": "全概率公式应用法", "类型": "解题方法", "适用场景": { "问题类型": "复杂事件的概率计算，需要分类讨论", "识别特征": "一个事件可以通过多种互斥的方式发生", "典型形式": "涉及多个来源或多种情况的问题" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定互斥的完备事件组A₁,A₂,...,Aₙ", "注意事项": "要求Aᵢ两两互斥，且并集为样本空间" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "计算每个P(Aᵢ)和P(B|Aᵢ)", "注意事项": "确保所有条件概率都正确计算" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "运用全概率公式P(B)=∑P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)", "注意事项": "求和时不要遗漏任何一种情况" } ], "数学思想": ["分类讨论思想", "完备性思想"], "解题策略": "将复杂问题分解为若干简单情况的概率加权求和", "支撑知识点": [ "K7-1-2-01 全概率公式", "K7-1-1-01 条件概率" ], "前置方法": ["M7-1-1-01 条件概率计算法"], "典型例题": ["T7-1-2-E04", "T7-1-2-E05"], "常见错误": [ { "错误描述": "遗漏某些分类或分类不互斥", "原因": "分类不完整或逻辑不清", "正确做法": "确保分类完备且互斥，可以用维恩图或树状图辅助" } ], "难度等级": 4, "教材位置": "选择性必修第7章7.1.2节 P54-61" }, { "编号": "M7-1-2-02", "名称": "贝叶斯公式应用法", "类型": "解题方法", "适用场景": { "问题类型": "已知结果求原因概率，逆概率问题", "识别特征": "已知某个事件发生，求其由某个原因引起的概率", "典型形式": "已知产品是次品，求来自某厂家的概率" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定原因事件Aᵢ和结果事件B", "注意事项": "明确哪个是原因，哪个是结果" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "计算先验概率P(Aᵢ)和似然概率P(B|Aᵢ)", "注意事项": "先验概率通常根据题意直接给出" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "运用贝叶斯公式P(Aᵢ|B)=P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B)", "注意事项": "其中P(B)用全概率公式计算" } ], "数学思想": ["逆向推理思想", "概率修正思想"], "解题策略": "通过结果修正对原因概率的估计", "支撑知识点": [ "K7-1-2-02 贝叶斯公式", "K7-1-2-01 全概率公式" ], "前置方法": ["M7-1-2-01 全概率公式应用法"], "典型例题": ["T7-1-2-E05", "T7-1-2-E06"], "常见错误": [ { "错误描述": "混淆先验概率和后验概率", "原因": "对贝叶斯公式理解不深", "正确做法": "先验概率是P(Aᵢ)，后验概率是P(Aᵢ|B)" } ], "难度等级": 5, "教材位置": "选择性必修第7章7.1.2节 P61-68" }, { "编号": "M7-2-1-01", "名称": "随机变量定义法", "类型": "建模方法", "适用场景": { "问题类型": "将随机试验结果数量化", "识别特征": "需要用数学符号表示随机结果", "典型形式": "定义X=...,表示某个随机变量" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "明确随机试验的样本空间", "注意事项": "列出所有可能的样本点" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "为每个样本点指定对应的数值", "注意事项": "确保映射关系明确且唯一" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "确定随机变量的取值范围", "注意事项": "分析所有可能的取值" } ], "数学思想": ["数量化思想", "映射思想"], "解题策略": "将定性问题转化为定量问题", "支撑知识点": [ "K7-2-1-01 随机变量的概念" ], "典型例题": ["T7-2-1-E01", "T7-2-1-E02"], "常见错误": [ { "错误描述": "映射关系不明确或存在歧义", "原因": "对随机变量定义理解不清", "正确做法": "确保每个样本点都有唯一确定的数值对应" } ], "难度等级": 2, "教材位置": "选择性必修第7章7.2节 P61-65" }, { "编号": "M7-2-2-01", "名称": "分布列构建法", "类型": "建模方法", "适用场景": { "问题类型": "求离散型随机变量的概率分布", "识别特征": "需要列出随机变量所有取值及其对应概率", "典型形式": "求X的分布列" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定随机变量的所有可能取值", "注意事项": "不要遗漏任何可能的取值" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "计算每个取值对应的概率", "注意事项": "可以使用古典概型、条件概率等方法" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "验证概率之和是否为1", "注意事项": "∑P(X=xᵢ)=1，这是检验正确性的重要标准" } ], "数学思想": ["完备性思想", "概率归一思想"], "解题策略": "系统分析所有可能情况及其概率", "支撑知识点": [ "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列" ], "典型例题": ["T7-2-2-E01", "T7-2-2-E02", "T7-2-2-E03"], "常见错误": [ { "错误描述": "遗漏某些取值或概率计算错误", "原因": "分析不够全面", "正确做法": "用树状图等工具确保分析完整，并验证概率和为1" } ], "难度等级": 3, "教材位置": "选择性必修第7章7.2.2节 P65-73" }, { "编号": "M7-3-1-01", "名称": "离散型随机变量均值计算法", "类型": "计算方法", "适用场景": { "问题类型": "计算离散型随机变量的期望值", "识别特征": "求E(X)或随机变量的平均取值", "典型形式": "已知分布列求均值" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定随机变量的分布列", "注意事项": "确保分布列正确且完整" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "运用期望公式E(X)=∑xᵢpᵢ", "注意事项": "每个取值乘以对应概率后求和" } ], "数学思想": ["加权平均思想"], "解题策略": "以概率为权重计算平均值", "支撑知识点": [ "K7-3-1-01 离散型随机变量的均值" ], "典型例题": ["T7-3-1-E01", "T7-3-1-E02", "T7-3-1-E03"], "常见错误": [ { "错误描述": "直接计算算术平均值", "原因": "忽略了概率权重", "正确做法": "必须用概率作为权重进行加权平均" } ], "难度等级": 2, "教材位置": "选择性必修第7章7.3.1节 P74-82" }, { "编号": "M7-3-2-01", "名称": "离散型随机变量方差计算法", "类型": "计算方法", "适用场景": { "问题类型": "计算离散型随机变量的方差或标准差", "识别特征": "求D(X)或σ(X)，反映离散程度", "典型形式": "已知分布列求方差" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "先计算期望E(X)", "注意事项": "方差计算需要期望值" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "运用方差公式D(X)=E(X²)-[E(X)]²", "注意事项": "这个公式通常比定义式更简便" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "计算标准差σ(X)=√D(X)", "注意事项": "标准差与原始数据单位相同" } ], "数学思想": ["离散程度度量思想"], "解题策略": "通过偏差平方的期望值度量离散程度", "支撑知识点": [ "K7-3-2-01 离散型随机变量的方差" ], "前置方法": ["M7-3-1-01 离散型随机变量均值计算法"], "典型例题": ["T7-3-2-E05", "T7-3-2-E06"], "常见错误": [ { "错误描述": "用算术方差代替概率方差", "原因": "混淆统计方差与概率方差", "正确做法": "必须使用概率加权计算方差" } ], "难度等级": 3, "教材位置": "选择性必修第7章7.3.2节 P82-88" }, { "编号": "M7-4-1-01", "名称": "二项分布识别法", "类型": "建模方法", "适用场景": { "问题类型": "判断随机变量是否服从二项分布", "识别特征": "独立重复试验，关注成功次数", "典型形式": "n次独立试验，每次成功概率p" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "识别伯努利试验（只有两种结果）", "注意事项": "每次试验只有成功或失败两种结果" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "验证各次试验的独立性", "注意事项": "各次试验结果互不影响" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "确定试验次数n和成功概率p", "注意事项": "n固定，p相同" }, { "步骤序号": 4, "步骤描述": "确认X表示n次试验中成功的次数", "注意事项": "X取值范围为0,1,2,...,n" } ], "数学思想": ["独立重复试验思想"], "解题策略": "识别二项分布的三个关键特征：n重伯努利试验、独立性、恒定成功概率", "支撑知识点": [ "K7-4-1-01 伯努利试验", "K7-4-1-02 二项分布" ], "典型例题": ["T7-4-1-E01", "T7-4-1-E02", "T7-4-1-E03"], "常见错误": [ { "错误描述": "混淆二项分布与超几何分布", "原因": "忽略抽样方式（有放回vs无放回）", "正确做法": "二项分布对应有放回抽样，超几何分布对应无放回抽样" } ], "难度等级": 3, "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P94-108" }, { "编号": "M7-4-1-02", "名称": "二项分布概率计算法", "类型": "计算方法", "适用场景": { "问题类型": "计算二项分布的概率", "识别特征": "X~B(n,p)，求P(X=k)", "典型形式": "n次试验中恰好k次成功的概率" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定参数n和p", "注意事项": "n为试验次数，p为每次成功概率" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "运用二项分布公式P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ", "注意事项": "注意组合数的计算" }, { "步骤序号": 3, "步骤描述": "计算区间概率时求和", "注意事项": "P(a≤X≤b)=∑ₖ₌ₐᵇP(X=k)" } ], "数学思想": ["组合计数思想", "独立事件乘法思想"], "解题策略": "结合组合数和独立事件概率计算", "支撑知识点": [ "K7-4-1-02 二项分布" ], "前置方法": ["M7-4-1-01 二项分布识别法"], "典型例题": ["T7-4-1-E01", "T7-4-1-E02", "T7-4-1-E03"], "常见错误": [ { "错误描述": "组合数计算错误或公式记错", "原因": "对二项分布公式不熟练", "正确做法": "熟练掌握Cₙᵏ的计算和二项分布公式" } ], "难度等级": 3, "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P99-108" }, { "编号": "M7-4-2-01", "名称": "超几何分布概率计算法", "类型": "计算方法", "适用场景": { "问题类型": "无放回抽样的概率计算", "识别特征": "从有限总体中无放回地抽取n件，求某属性的数量分布", "典型形式": "N件中有M件次品，抽取n件，求k件次品的概率" }, "方法步骤": [ { "步骤序号": 1, "步骤描述": "确定参数N（总数）、M（特殊属性数）、n（抽取数）", "注意事项": "明确各参数的含义" }, { "步骤序号": 2, "步骤描述": "运用超几何分布公式P(X=k)=CₘᵏC_{N-M}^{n-k}/Cᴺⁿ", "注意事项": "注意k的取值范围：max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}" } ], "数学思想": ["古典概型思想", "组合计数思想"], "解题策略": "基于古典概型，用组合数计算有利结果数和总结果数", "支撑知识点": [ "K7-4-2-01 超几何分布" ], "典型例题": ["T7-4-2-E04", "T7-4-2-E05", "T7-4-2-E06"], "常见错误": [ { "错误描述": "与二项分布混淆", "原因": "不区分有放回和无放回抽样", "正确做法": "超几何分布对应无放回抽样，二项分布对应有放回抽样" } ], "难度等级": 4, "教材位置": "选择性必修第7章7.4.2节 P109-116" }, { "编号": "M7-5-1-01", "名称": "正态分布标准化法", "类型": "计算方法", "适用场景": { "问题类型": "正态分布的概率计算", "识别特征": "X~N(μ,σ²)，求P(a