{ "章节信息": { "章": "第八章", "节": "8.1 成对数据的统计相关性，8.2 一元线性回归模型及其应用，8.3 列联表与独立性检验", "小节": "8.1.1 变量的相关关系，8.1.2 样本相关系数，8.2.1 一元线性回归模型，8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计，8.3.1 分类变量与列联表，8.3.2 独立性检验", "页码范围": "98-154" }, "method_list": [ { "编号": "M8-1-01", "名称": "散点图绘制法", "类型": "可视化方法", "目的": "直观展示两个变量之间的关系特征和分布模式", "步骤": [ "建立直角坐标系，通常以自变量为横轴，因变量为纵轴", "将成对数据$(x_i, y_i)$表示为坐标系中的点", "观察点的分布特征，识别关系模式" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-1-1-04 散点图", "核心思想": "通过几何直观展示变量间的统计关系", "数学依据": "坐标几何原理" }, "应用条件": { "数据要求": "成对的数值型数据", "样本容量": "至少需要5-10个数据点才能看出趋势", "变量类型": "连续型或离散型数值变量" }, "结果解释": { "正相关模式": "点分布从左下到右上的趋势", "负相关模式": "点分布从左上到右下的趋势", "线性相关": "点分布在一条直线附近", "非线性相关": "点分布在曲线附近", "无明显相关": "点分布杂乱无章" }, "关联知识": ["K8-1-1-01 相关关系", "K8-1-1-02 正相关与负相关", "K8-1-1-03 线性相关与非线性相关"], "注意事项": [ "坐标轴比例要适当，避免压缩或拉伸过度", "注意识别异常值对整体趋势的影响", "散点图只能展示关系，不能确定因果关系" ] }, { "编号": "M8-1-02", "名称": "样本相关系数计算法", "类型": "计算方法", "目的": "定量描述两个变量线性相关的程度和方向", "步骤": [ "计算变量X的样本均值$\\bar{x} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}x_i$", "计算变量Y的样本均值$\\bar{y} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n}y_i$", "计算协方差$S_{xy} = \\sum_{i=1}^{n}(x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y})$", "计算X的偏差平方和$S_{xx} = \\sum_{i=1}^{n}(x_i - \\bar{x})^2$", "计算Y的偏差平方和$S_{yy} = \\sum_{i=1}^{n}(y_i - \\bar{y})^2$", "代入公式计算相关系数$r = \\frac{S_{xy}}{\\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-1-2-01 样本相关系数", "核心思想": "通过标准化处理消除量纲影响，构造相关程度指标", "数学依据": "柯西不等式保证|r|≤1" }, "应用条件": { "数据要求": "成对的数值型数据", "样本容量": "一般要求n≥3", "变量特征": "变量应该是连续的，无明显异常值" }, "结果解释": { "取值范围": "-1 ≤ r ≤ 1", "相关方向": "r > 0为正相关，r < 0为负相关", "相关强度": "|r| > 0.8为强相关，0.5 < |r| ≤ 0.8为中度相关，|r| ≤ 0.5为弱相关", "无线性相关": "r = 0表示无线性相关（可能有非线性相关）" }, "关联知识": ["K8-1-1-02 正相关与负相关", "K8-1-1-03 线性相关与非线性相关"], "注意事项": [ "相关系数只反映线性相关程度，不反映非线性相关", "异常值会对相关系数产生较大影响", "相关不等于因果，需结合专业知识判断" ] }, { "编号": "M8-2-01", "名称": "最小二乘估计法", "类型": "参数估计方法", "目的": "估计一元线性回归模型的参数，找到最佳拟合直线", "步骤": [ "建立残差平方和函数$Q(a,b) = \\sum_{i=1}^{n}(y_i - bx_i - a)^2$", "对Q关于a求偏导并令其为0：$\\frac{\\partial Q}{\\partial a} = -2\\sum_{i=1}^{n}(y_i - bx_i - a) = 0$", "对Q关于b求偏导并令其为0：$\\frac{\\partial Q}{\\partial b} = -2\\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i - bx_i - a) = 0$", "解方程组得到：$\\hat{b} = \\frac{\\sum_{i=1}^{n}(x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y})}{\\sum_{i=1}^{n}(x_i - \\bar{x})^2}$", "计算：$\\hat{a} = \\bar{y} - \\hat{b}\\bar{x}$", "写出经验回归方程：$\\hat{y} = \\hat{b}x + \\hat{a}$" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-2-2-01 最小二乘估计", "核心思想": "使观测值与预测值偏差的平方和最小", "数学依据": "微积分极值理论，二次函数性质" }, "应用条件": { "模型假设": "变量间存在线性相关关系", "数据要求": "成对的数值型数据，样本容量n≥2", "误差假设": "随机误差相互独立，期望为0，方差相等" }, "结果解释": { "斜率$\\hat{b}$": "表示x每增加一个单位，y的平均变化量", "截距$\\hat{a}$": "表示x=0时y的预测值", "回归方程": "描述y随x变化的平均趋势", "拟合效果": "可通过残差图和决定系数评价" }, "关联知识": ["K8-2-1-01 一元线性回归模型", "K8-2-2-02 残差与残差分析"], "注意事项": [ "最小二乘估计对异常值敏感", "只适用于线性关系，非线性关系需要变换", "外推预测要谨慎，超出数据范围可能不准确" ] }, { "编号": "M8-2-02", "名称": "残差分析法", "类型": "模型诊断方法", "目的": "检验回归模型的拟合效果和模型假设的满足程度", "步骤": [ "计算每个观测点的预测值$\\hat{y}_i = \\hat{b}x_i + \\hat{a}$", "计算每个观测点的残差$e_i = y_i - \\hat{y}_i$", "绘制残差图：以自变量x为横坐标，残差e为纵坐标", "观察残差图的分布模式", "分析残差的随机性和方差齐性" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-2-2-02 残差与残差分析", "核心思想": "通过分析预测误差的特征评价模型质量", "统计依据": "如果模型合适，残差应具有随机性" }, "应用条件": { "前提条件": "已经建立回归模型并获得参数估计", "数据要求": "原始观测数据和对应的预测值", "分析工具": "散点图，统计图表" }, "结果解释": { "理想模式": "残差随机分布在0线上下，无明显模式", "方差齐性": "残差的变异程度在x的不同取值范围内基本一致", "非线性模式": "残差呈现曲线分布，说明需要非线性模型", "方差非齐性": "残差变异随x变化，需要方差稳定化变换", "异常值": "个别残差绝对值过大，需要检查数据质量" }, "关联知识": ["K8-2-2-01 最小二乘估计", "K8-2-2-03 决定系数R²"], "注意事项": [ "残差分析是模型诊断的重要工具，不能省略", "要注意残差图的尺度，避免误判", "结合其他诊断指标综合评价模型" ] }, { "编号": "M8-2-03", "名称": "决定系数计算法", "类型": "模型评价方法", "目的": "量化回归模型对因变量变异的解释程度", "步骤": [ "计算总平方和$SST = \\sum_{i=1}^{n}(y_i - \\bar{y})^2$", "计算残差平方和$SSE = \\sum_{i=1}^{n}(y_i - \\hat{y}_i)^2$", "计算回归平方和$SSR = SST - SSE$", "计算决定系数$R^2 = 1 - \\frac{SSE}{SST} = \\frac{SSR}{SST}$", "解释R²的统计意义" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-2-2-03 决定系数R²", "核心思想": "用回归平方和占总平方和的比例衡量模型解释力", "数学依据": "方差分解原理：总变异=回归变异+残差变异" }, "应用条件": { "适用模型": "一元线性回归模型", "数据要求": "有因变量的观测值和预测值", "计算基础": "基于最小二乘估计的结果" }, "结果解释": { "取值范围": "0 ≤ R² ≤ 1", "含义": "R²表示因变量变异中能被自变量解释的比例", "评价标准": "R² > 0.7为拟合较好，0.4 < R² ≤ 0.7为中等，R² ≤ 0.4为拟合较差", "特殊情况": "在一元线性回归中，R²等于相关系数的平方" }, "关联知识": ["K8-1-2-01 样本相关系数", "K8-2-2-01 最小二乘估计"], "注意事项": [ "R²越大不一定表示模型越好，要考虑实际意义", "增加自变量个数会提高R²，需要用调整R²进行比较", "R²不能反映预测的准确性，需要结合其他指标" ] }, { "编号": "M8-3-01", "名称": "2×2列联表构造法", "类型": "数据整理方法", "目的": "系统整理成对分类变量的数据，为独立性检验提供基础", "步骤": [ "确定两个分类变量X和Y及其类别", "设计2×2表格，行表示变量X的两个类别，列表示变量Y的两个类别", "统计数据频数：统计$(X_1,Y_1)$, $(X_1,Y_2)$, $(X_2,Y_1)$, $(X_2,Y_2)$的频数", "填写列联表：\n| | Y₁ | Y₂ | 行总和 |\n|---|---|---|---|\n| X₁ | a | b | a+b |\n| X₂ | c | d | c+d |\n| 列总和 | a+c | b+d | n=a+b+c+d |", "计算边际频数（行总和和列总和）" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-3-1-01 分类变量与2×2列联表", "核心思想": "通过交叉分类统计展示变量的联合分布", "统计依据": "频数统计原理，概率分布理论" }, "应用条件": { "变量要求": "两个分类变量，每个变量恰好有两个类别", "数据要求": "成对的分类观测数据", "样本容量": "总样本量n≥4，每个格子期望频数≥5" }, "结果解释": { "频数含义": "每个格子表示相应类别组合出现的频数", "边际分布": "行总和和列总和反映单个变量的分布", "关联模式": "通过频数分布可初步观察变量间的关联模式", "数据基础": "为独立性检验提供观测频数数据" }, "关联知识": ["K8-3-2-01 独立性检验"], "注意事项": [ "确保分类的互斥性和完备性", "注意样本容量要求，避免期望频数过小", "准确统计频数，避免分类错误" ] }, { "编号": "M8-3-02", "名称": "卡方独立性检验法", "类型": "假设检验方法", "目的": "检验两个分类变量是否相互独立", "步骤": [ "建立假设：\n 零假设 $H_0$：变量X和Y相互独立\n 备择假设 $H_1$：变量X和Y不独立", "选择检验水平α（通常取0.05或0.01）", "根据自由度df=1和检验水平α查找临界值$\\chi^2_\\alpha$", "计算卡方统计量：$\\chi^2 = \\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$", "做出判断：\n 若$\\chi^2 \\ge \\chi^2_\\alpha$，拒绝$H_0$\n 若$\\chi^2 < \\chi^2_\\alpha$，不能拒绝$H_0$", "得出结论并解释实际意义" ], "原理依据": { "理论基础": "K8-3-2-01 独立性检验", "核心思想": "基于小概率原理，比较观测频数与期望频数的差异", "统计依据": "卡方分布理论，大样本条件下的极限分布", "概率原理": "P(拒绝H₀|H₀为真) = α" }, "应用条件": { "数据要求": "2×2列联表数据", "样本条件": "总样本量n≥4，各格子期望频数≥5", "检验假设": "变量相互独立时的期望频数计算", "理论基础": "大样本条件下的卡方近似" }, "结果解释": { "拒绝H₀": "有统计学意义证据表明两个变量不独立，存在关联关系", "不能拒绝H₀": "没有足够证据表明两个变量不独立，不能排除独立性", "统计显著性": "结果具有统计学意义，但要注意实际意义", "关联强度": "检验只判断是否独立，不反映关联强度" }, "关联知识": ["K8-3-1-01 2×2列联表", "K8-3-2-02 临界值与检验水平"], "注意事项": [ "确保满足样本容量条件，否则需要精确检验", "检验结果只能说明是否独立，不能说明因果关系", "要注意检验水平的选择，平衡两类错误", "结合专业知识解释统计结果的实际意义" ] }, { "编号": "M8-3-03", "名称": "期望频数计算法", "类型": "计算方法", "目的": "在独立性假设下计算列联表的期望频数，为卡方检验提供基础", "步骤": [ "根据独立性假设：P(X=i,Y=j) = P(X=i)×P(Y=j)", "估计边际概率：$\\hat{P}(X=i) = \\frac{行i总和}{n}$，$\\hat{P}(Y=j) = \\frac{列j总和}{n}$", "计算期望频数：$E_{ij} = n \\times \\hat{P}(X=i) \\times \\hat{P}(Y=j) = \\frac{行i总和 \\times 列j总和}{n}$", "具体计算：\n $E_{11} = \\frac{(a+b)(a+c)}{n}$\n $E_{12} = \\frac{(a+b)(b+d)}{n}$\n $E_{21} = \\frac{(c+d)(a+c)}{n}$\n $E_{22} = \\frac{(c+d)(b+d)}{n}$" ], "原理依据": { "理论基础": "概率独立性理论", "核心思想": "独立性下联合概率等于边际概率的乘积", "统计依据": "最大似然估计，频率估计概率", "概率原理": "事件独立性定义" }, "应用条件": { "前提条件": "假设变量相互独立", "数据要求": "已知列联表的观测频数和边际频数", "计算基础": "基于观测数据的边际分布" }, "结果解释": { "期望频数含义": "在独立性假设下，各格子应有的理论频数", "与观测频数比较": "差异越大，独立性假设越不可信", "应用价值": "为卡方统计量计算提供期望值", "诊断作用": "检查小期望频数问题" }, "关联知识": ["K8-3-2-01 独立性检验", "K8-3-1-01 2×2列联表"], "注意事项": [ "期望频数是基于独立性假设的理论值", "小期望频数（<5）会影响卡方近似的效果", "期望频数总和等于观测频数总和", "期望频数用于计算卡方统计量，不是实际观测值" ] } ] }