{
  "教材信息": {
    "教材名称": "人教版高中数学必修第一册",
    "章节": "第二章 一元二次函数、方程和不等式"
  },

  "method_list": [
    {
      "编号": "M2-1-1-01",
      "名称": "作差比较法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "比较两个代数式或实数的大小",
        "识别特征": "需要比较A和B的大小时，计算A-B的值",
        "典型形式": "比较(a+x)(a+y)与(a+z)(a+w)的大小"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "计算两个要比较的量的差A-B",
          "注意事项": "注意代数运算的准确性，特别是符号变化"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "对差式进行化简整理，转化为易于判断符号的形式",
          "注意事项": "运用乘法公式、合并同类项等技巧化简"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据差式的符号确定大小关系：差为正则A>B，差为负则A<B，差为零则A=B",
          "注意事项": "基于实数大小关系的基本事实进行判断"
        }
      ],

      "数学思想": ["转化思想", "分类讨论思想"],
      "解题策略": "通过作差将大小比较转化为符号判断问题",

      "支撑知识点": ["K2-1-1-01"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "计算差时符号错误",
          "原因": "代数运算不熟练，特别是负号的处理",
          "正确做法": "仔细进行每一步运算，注意括号展开时的符号"
        },
        {
          "错误描述": "化简不彻底导致无法判断符号",
          "原因": "没有充分运用乘法公式等化简技巧",
          "正确做法": "将差式化简到能明显看出符号的形式"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "必修1 第2章2.1节 P42-43 例1"
    },

    {
      "编号": "M2-1-1-02",
      "名称": "不等式建模法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "将实际问题中的不等关系转化为数学不等式",
        "识别特征": "问题中包含'不超过'、'不少于'、'大于'、'小于'等关键词",
        "典型形式": "限速问题、范围限制、条件约束等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "认真阅读题目，找出所有的不等关系",
          "注意事项": "注意隐含条件，如变量的实际意义范围"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "设未知数表示相关量",
          "注意事项": "明确每个未知数的含义和单位"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据不等关系列出不等式或不等式组",
          "注意事项": "正确使用不等号：≥, ≤, >, <"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "检查所列不等式是否符合题意",
          "注意事项": "验证变量的取值范围是否合理"
        }
      ],

      "数学思想": ["数学建模思想", "符号化思想"],
      "解题策略": "将文字语言转化为数学语言，建立数学模型",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-01", "K2-1-2-02"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["某路段限速40km/h的不等式表示", "酸奶成分要求的不等式组"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "遗漏约束条件",
          "原因": "没有全面分析问题中的所有条件",
          "正确做法": "逐句分析题意，找出所有显性和隐性条件"
        },
        {
          "错误描述": "不等号方向错误",
          "原因": "对'不超过'、'不少于'等词语理解错误",
          "正确做法": "准确理解不等关系词汇的含义"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "必修1 第2章2.1节 P41-42 问题1"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-01",
      "名称": "不等式传递性应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用不等式的传递性进行大小比较或证明",
        "识别特征": "需要比较多个量的大小，或建立不等式链",
        "典型形式": "证明a>b>c或建立类似的不等式链"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定目标不等式和中间过渡量",
          "注意事项": "选择合适的中间量使不等式链能够建立"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "利用已知条件或已证不等式建立中间不等式",
          "注意事项": "确保每个不等式都有依据"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "应用不等式的传递性得出结论",
          "注意事项": "a>b, b>c ⇒ a>c"
        }
      ],

      "数学思想": ["传递性思想", "逻辑推理思想"],
      "解题策略": "通过中间量建立不等式传递链，证明目标不等式",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-02"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["证明c<b, b<a ⇒ c<a"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "中间不等式不成立",
          "原因": "缺乏充分的依据证明中间不等式",
          "正确做法": "每个不等式都要有严格的证明或已知条件支持"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "必修1 第2章2.1节 P45 性质2"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-02",
      "名称": "不等式移项法则",
      "类型": "计算技巧",

      "适用场景": {
        "问题类型": "不等式变形和化简",
        "识别特征": "需要将不等式中的项从一边移到另一边",
        "典型形式": "ax + b > c ⇒ ax > c - b"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定要移动的项",
          "注意事项": "明确是将哪一边的哪个项移到另一边"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "将该项改变符号后移到不等号另一边",
          "注意事项": "移项时要改变符号，但不变不等号方向"
        }
      ],

      "数学思想": ["变形思想"],
      "解题策略": "利用不等式两边同加同数性质实现移项",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-02"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["不等式a+b>c ⇒ a>c-b的推导"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "移项时忘记改变符号",
          "原因": "与等式移项混淆",
          "正确做法": "移项时要改变符号，这是代数运算的基本规则"
        }
      ],

      "难度等级": 1,
      "教材位置": "必修1 第2章2.1节 P45 性质3推论"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-03",
      "名称": "同向不等式相加法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "构造新的不等式或证明复合不等式",
        "识别特征": "两个同向不等式需要合并或构造新不等式",
        "典型形式": "a>b, c>d ⇒ a+c>b+d"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确认不等式是否同向",
          "注意事项": "必须是相同方向的不等式才能相加"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "将两个同向不等式相加",
          "注意事项": "左端加左端，右端加右端，不等号方向不变"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "化简得到新的不等式",
          "注意事项": "合并同类项，简化表达式"
        }
      ],

      "数学思想": ["叠加思想", "构造思想"],
      "解题策略": "通过同向不等式相加构造新的不等式",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-02"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["证明如果a>b, c>d, 那么a+c>b+d"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "不同向不等式相加",
          "原因": "忽略了不等式相加的条件",
          "正确做法": "确保相加的不等式同向，不同向的可以先变形"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "必修1 第2章2.1节 P45-46 性质5"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-04",
      "名称": "分析法证明不等式",
      "类型": "证明方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "证明不等式，特别是基本不等式及其变式",
        "识别特征": "从结论出发，寻找使结论成立的充分条件",
        "典型形式": "证明√ab ≤ (a+b)/2 (a>0,b>0)"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "写出要证明的不等式（结论）",
          "注意事项": "明确证明目标"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "寻找使结论成立的充分条件",
          "注意事项": "每步都要寻找上一步成立的充分条件"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "逐步推导直到得到明显成立的结论",
          "注意事项": "确保推导过程逻辑严密"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "逆推回去得到原不等式成立",
          "注意事项": "说明推理的可逆性"
        }
      ],

      "数学思想": ["分析法思想", "逻辑推理思想"],
      "解题策略": "执果索因，从结论寻找充分条件",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-04"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["基本不等式√ab ≤ (a+b)/2的证明"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "逻辑不严密",
          "原因": "忽略了推理的等价性或充分性",
          "正确做法": "确保每步推理都有充分依据，可逆推"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "必修1 第2章2.2节 P48-50"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-05",
      "名称": "基本不等式直接应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用基本不等式求最值或证明不等式",
        "识别特征": "问题中涉及两个正数的和与积的关系",
        "典型形式": "求a+b的最小值或ab的最大值"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确认使用条件：两个正数",
          "注意事项": "基本不等式只适用于正数"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "构造积为定值求和的最小值，或和为定值求积的最大值",
          "注意事项": "根据问题特点选择合适的形式"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "应用基本不等式：a+b ≥ 2√ab 或 ab ≤ ((a+b)/2)²",
          "注意事项": "正确应用不等式的方向"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "确定等号成立的条件，验证是否可以取到",
          "注意事项": "必须验证等号可以取到才能得到最值"
        }
      ],

      "数学思想": ["优化思想", "条件最值思想"],
      "解题策略": "构造满足基本不等式条件的形式，利用其求最值",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-04", "K2-1-2-05"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["求x+1/x(x>0)的最小值", "例2：积定和最小、和定积最大"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "忽略正数条件",
          "原因": "没有检查基本不等式的使用条件",
          "正确做法": "使用前必须确认涉及的数都是正数"
        },
        {
          "错误描述": "没有验证等号条件",
          "原因": "忽略了最值存在的条件",
          "正确做法": "必须验证等号成立的条件是否可以满足"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "必修1 第2章2.2节 P49-52 例1-4"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-06",
      "名称": "几何解释法",
      "类型": "证明方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "证明基本不等式或理解不等式的几何意义",
        "识别特征": "需要几何直观来理解或证明不等式",
        "典型形式": "利用圆、三角形等几何图形证明不等式"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "构造适当的几何图形",
          "注意事项": "图形要能准确反映不等式中的数量关系"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "分析图形中的几何关系",
          "注意事项": "找出相关的长度、角度等几何量"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "利用几何性质得出不等式",
          "注意事项": "将几何关系转化为代数不等式"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "分析等号成立的几何条件",
          "注意事项": "明确等号成立时的几何特征"
        }
      ],

      "数学思想": ["数形结合思想", "几何直观"],
      "解题策略": "通过几何图形的直观性理解不等式的本质",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-04"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["利用圆的几何图形解释基本不等式"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "几何图形构造不当",
          "原因": "图形不能准确反映不等式的数量关系",
          "正确做法": "选择能准确体现不等式几何意义的图形"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "必修1 第2章2.2节 P50-51 图2.2-1"
    },

    {
      "编号": "M2-1-2-07",
      "名称": "凑配法（凑定值法）",
      "类型": "计算技巧",

      "适用场景": {
        "问题类型": "应用基本不等式求最值时的变形技巧",
        "识别特征": "需要通过变形使和或积为定值",
        "典型形式": "将x+1/x变形，或构造常数项"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "分析表达式的结构，确定凑配目标",
          "注意事项": "明确要凑成和为定值还是积为定值"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "通过代数变形（如加常数、分解、合并）实现凑配",
          "注意事项": "保持等值变形，不改变原式的值"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "应用基本不等式求解",
          "注意事项": "检查变形后是否满足基本不等式条件"
        }
      ],

      "数学思想": ["变形思想", "构造思想"],
      "解题策略": "通过巧妙变形构造基本不等式的应用条件",

      "支撑知识点": ["K2-1-2-04", "K2-1-2-05"],
      "前置方法": ["M2-1-2-05"],

      "典型例题": ["求x+1/x-1(x>0)的最小值时的凑配技巧"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "凑配过程中改变了原式的值",
          "原因": "进行了不等值变形",
          "正确做法": "确保每步变形都是等值的"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "必修1 第2章2.2节 各例题"
    },

    {
      "编号": "M2-1-3-01",
      "名称": "函数图象法解一元二次不等式",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "求解一元二次不等式",
        "识别特征": "一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0",
        "典型形式": "x²-5x+6>0, 2x²+3x-5≤0等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "将不等式整理为标准形式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a>0）",
          "注意事项": "如果a<0，不等式两边同时乘以-1改变不等号方向"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "计算判别式Δ=b²-4ac的值",
          "注意事项": "准确计算Δ的值，判断其符号"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据Δ的值求解对应的二次方程ax²+bx+c=0",
          "注意事项": "Δ>0时有两个不同实根，Δ=0时有一个重根，Δ<0时无实根"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "画出二次函数y=ax²+bx+c的示意图，标出零点",
          "注意事项": "开口向上，根据零点位置画图"
        },
        {
          "步骤序号": 5,
          "步骤描述": "根据图象与x轴的位置关系确定不等式的解集",
          "注意事项": "大于零取两边，小于零取中间"
        }
      ],

      "数学思想": ["函数思想", "数形结合思想", "分类讨论思想"],
      "解题策略": "以函数零点为纽带，利用函数图象直观确定解集",

      "支撑知识点": ["K2-1-3-01", "K2-1-3-02", "K2-1-3-03", "K2-1-3-04"],
      "前置方法": [],

      "典型例题": ["例1：求x²-5x+6>0的解集", "例2：求9x²-6x+1>0的解集", "例3：求-x²+2x-3>0的解集"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "忘记将二次项系数化为正数",
          "原因": "直接对a<0的情况进行求解",
          "正确做法": "当a<0时，不等式两边乘以-1，改变不等号方向"
        },
        {
          "错误描述": "判别式计算错误",
          "原因": "计算时符号或数值错误",
          "正确做法": "仔细计算Δ=b²-4ac，特别注意负数的平方"
        },
        {
          "错误描述": "解集方向错误",
          "原因": "混淆了大于零和小于零对应的解集",
          "正确做法": "记住口诀：大于零取两边，小于零取中间"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "必修1 第2章2.3节 P56-59 例1-3"
    },

    {
      "编号": "M2-1-3-02",
      "名称": "一元二次不等式标准化求解法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "规范求解一元二次不等式的完整流程",
        "识别特征": "需要按照标准步骤系统求解一元二次不等式",
        "典型形式": "复杂的一元二次不等式求解"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "将原不等式化成ax²+bx+c>0（或<0）的形式，其中a>0",
          "注意事项": "确保二次项系数为正，不为零"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "计算判别式Δ=b²-4ac的值",
          "注意事项": "准确计算，注意符号"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据Δ的值分为三种情况求解对应方程",
          "注意事项": "Δ>0：两个不等实根；Δ=0：重根；Δ<0：无实根"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "根据不同情况写出不等式解集",
          "注意事项": "严格按照对应关系写出解集"
        }
      ],

      "数学思想": ["程序化思想", "分类讨论思想"],
      "解题策略": "按照标准化流程系统求解，避免遗漏",

      "支撑知识点": ["K2-1-3-05"],
      "前置方法": ["M2-1-3-01"],

      "典型例题": ["求解复杂一元二次不等式的完整流程"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "步骤不完整",
          "原因": "跳过某些步骤或顺序错误",
          "正确做法": "严格按照标准步骤执行"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "必修1 第2章2.3节 P57 图2.3-5"
    },

    {
      "编号": "M2-1-3-03",
      "名称": "不等式求解实际应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "利用一元二次不等式解决实际问题",
        "识别特征": "实际问题中涉及数量范围、取值限制等",
        "典型形式": "产值、产量、价格等的最优范围确定"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "认真审题，理解题意，找出关键条件",
          "注意事项": "明确问题背景和约束条件"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "设未知数，建立数学模型",
          "注意事项": "变量设定要合理，符合实际意义"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据条件建立一元二次不等式",
          "注意事项": "准确建立数量关系，正确使用不等号"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "求解一元二次不等式",
          "注意事项": "运用一元二次不等式求解方法"
        },
        {
          "步骤序号": 5,
          "步骤描述": "根据实际意义确定最终答案",
          "注意事项": "考虑变量的实际取值范围"
        }
      ],

      "数学思想": ["数学建模思想", "应用思想"],
      "解题策略": "将实际问题转化为数学问题，用不等式求解后再回到实际",

      "支撑知识点": ["K2-1-3-01", "K2-1-3-04", "K2-1-3-05"],
      "前置方法": ["M2-1-1-02", "M2-1-3-01"],

      "典型例题": ["例4：摩托车生产数量优化问题", "例5：汽车刹车速度问题", "问题2：杂志定价问题"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "建模不准确",
          "原因": "对实际问题的理解不深入",
          "正确做法": "仔细分析题意，准确建立数学模型"
        },
        {
          "错误描述": "忽略实际约束",
          "原因": "只考虑数学解，忽略实际限制",
          "正确做法": "结合实际情况对解进行筛选和调整"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "必修1 第2章2.3节 P57-62 例4-5"
    },

    {
      "编号": "M2-1-3-04",
      "名称": "函数值符号分析法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "确定函数值大于零、等于零、小于零的自变量取值范围",
        "识别特征": "问题要求确定函数值的符号分布",
        "典型形式": "求f(x)>0, f(x)=0, f(x)<0的解集"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "分析函数类型，确定求解方法",
          "注意事项": "对于二次函数使用一元二次不等式法"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "求f(x)=0的解（函数的零点）",
          "注意事项": "准确求解方程，确定函数的零点"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "根据函数图象特征确定不同符号对应的x的取值范围",
          "注意事项": "利用函数图象的直观性进行判断"
        }
      ],

      "数学思想": ["函数思想", "数形结合思想"],
      "解题策略": "通过零点将数轴分段，分析每段函数值的符号",

      "支撑知识点": ["K2-1-3-02", "K2-1-3-04"],
      "前置方法": ["M2-1-3-01"],

      "典型例题": ["练习2：确定二次函数值大于零、等于零、小于零的x取值范围"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "符号判断错误",
          "原因": "对函数图象的位置关系理解错误",
          "正确做法": "通过具体数值测试来验证符号判断"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "必修1 第2章2.3节 P58-59 练习2"
    },

    {
      "编号": "M2-1-3-05",
      "名称": "代数式有意义的条件确定法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "确定代数式有意义的自变量取值范围",
        "识别特征": "根号、分母等有定义域限制的表达式",
        "典型形式": "√f(x)有意义，1/f(x)有意义等"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "分析代数式的结构，找出限制条件",
          "注意事项": "根号下非负，分母非零等"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "根据限制条件建立不等式",
          "注意事项": "正确写出不等式，如根号下≥0"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "求解不等式，得到取值范围",
          "注意事项": "综合所有条件，取交集"
        }
      ],

      "数学思想": ["定义域思想", "条件约束思想"],
      "解题策略": "根据代数式的定义要求建立不等式约束",

      "支撑知识点": ["K2-1-3-01", "K2-1-3-05"],
      "前置方法": ["M2-1-3-01"],

      "典型例题": ["求使√x²+x-12有意义的x的取值范围", "求使√-2x²+12x-18有意义的x的取值范围"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "遗漏限制条件",
          "原因": "没有全面分析代数式的结构",
          "正确做法": "仔细检查每个部分，找出所有限制条件"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "必修1 第2章2.3节 P58-61 习题2.3第2题"
    }
  ]
}