{
  "教材信息": {
    "节": "10.1-10.3",
    "小节": "多个小节",
    "页码范围": "234-275",
    "教材名称": "数学必修2教科书",
    "章节": "第十章-概率"
  },
  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K10-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "随机现象",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性的现象",
        "关键要素": [
          "偶然性",
          "频率稳定性",
          "大量重复观测"
        ],
        "符号表示": "无"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述现实世界中不确定但具有统计规律的现象",
        "核心特征": [
          "不确定性",
          "统计规律性",
          "可观测性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率论研究的对象",
        "特殊说明": "需要通过大量观测才能发现规律"
      },
      "前置知识": [
        "现象观察",
        "数据分析基础"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [
          "K10-1-02 随机试验",
          "K10-1-03 概率"
        ],
        "常见混淆": "随机现象与完全无规律现象的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章引言 P234"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "概念理解",
        "现象识别",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "随机试验",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "对随机现象的实现和对它的观察，常用字母E表示",
        "关键要素": [
          "可重复性",
          "结果明确性",
          "随机性"
        ],
        "符号表示": "E (试验)"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "研究随机现象的操作方法",
        "核心特征": [
          "重复性",
          "确定性",
          "随机性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率研究的基础操作",
        "适用范围": "具有三个特点的试验：(1)可重复进行(2)结果明确可知且不止一个(3)每次出现一个结果但事先不确定"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-01 随机现象"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "样本空间",
          "随机事件"
        ],
        "常见混淆": "随机试验与普通观察的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P235"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "试验设计",
        "特征识别",
        "条件判断"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-03",
      "层次": "二级",
      "名称": "样本点",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "随机试验E的每个可能的基本结果",
        "关键要素": [
          "基本结果",
          "不可再分",
          "单一性"
        ],
        "符号表示": "ω (样本点)"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "构成样本空间的基本单位",
        "核心特征": [
          "基本性",
          "确定性",
          "完备性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "构建概率模型的基础",
        "特殊说明": "样本点是试验的最小结果单位"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-02 随机试验"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "样本空间",
          "基本事件"
        ],
        "常见混淆": "样本点与事件的关系",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P235"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "样本点列举",
        "结果分析",
        "空间构建"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-04",
      "层次": "二级",
      "名称": "样本空间",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "全体样本点的集合，表示为Ω",
        "关键要素": [
          "全体样本点",
          "集合形式",
          "完备性"
        ],
        "符号表示": "Ω"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "包含试验所有可能结果的集合",
        "核心特征": [
          "完备性",
          "确定性",
          "有限性(在本章)"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率计算的参照系",
        "特殊说明": "本章只讨论有限样本空间"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-03 样本点",
        "集合概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "随机事件",
          "有限样本空间"
        ],
        "常见混淆": "样本空间与事件的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P235"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "空间构建",
        "样本点计数",
        "问题分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-05",
      "层次": "二级",
      "名称": "有限样本空间",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "样本点只有有限个的样本空间",
        "关键要素": [
          "有限性",
          "可数性",
          "明确性"
        ],
        "符号表示": "Ω = {ω₁, ω₂, ..., ωₙ}"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "古典概型的基础条件",
        "核心特征": [
          "有限个样本点",
          "明确边界",
          "可列举性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "古典概型的前提条件",
        "特殊说明": "是本章主要讨论的样本空间类型"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-04 样本空间",
        "有限集合概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "古典概型",
          "等可能性"
        ],
        "常见混淆": "有限与无限样本空间的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P235"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "类型判断",
        "条件识别",
        "应用分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-06",
      "层次": "二级",
      "名称": "随机事件",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "样本空间Ω的子集，表示试验中可能发生的结果",
        "关键要素": [
          "子集",
          "可能性",
          "发生性"
        ],
        "符号表示": "A, B, C... (事件)"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "用集合论方法描述随机现象",
        "核心特征": [
          "集合性",
          "可能性",
          "可描述性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率论研究的核心对象",
        "特殊说明": "包括必然事件和不可能事件"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-04 样本空间",
        "子集概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "基本事件",
          "必然事件",
          "不可能事件"
        ],
        "常见混淆": "事件与样本点的关系",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P236"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "事件识别",
        "集合表示",
        "关系分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-07",
      "层次": "三级",
      "名称": "基本事件",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "只包含一个样本点的事件",
        "关键要素": [
          "单一样本点",
          "不可再分",
          "基础性"
        ],
        "符号表示": "{ωᵢ}"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "最简单的随机事件",
        "核心特征": [
          "单一性",
          "基础性",
          "原子性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "构成复杂事件的基础",
        "特殊说明": "基本事件之间互斥"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "K10-1-03 样本点"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "样本点",
          "复合事件"
        ],
        "常见混淆": "基本事件与样本点的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P236"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "基本事件识别",
        "事件分解",
        "概率计算基础"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-08",
      "层次": "三级",
      "名称": "必然事件",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "在每次试验中总会发生的事件，即样本空间本身",
        "关键要素": [
          "必然发生",
          "全样本空间",
          "概率为1"
        ],
        "符号表示": "Ω"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "确定性事件的集合表示",
        "核心特征": [
          "确定性",
          "完备性",
          "最大事件"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率理论的基础事件",
        "特殊说明": "不具有随机性"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "K10-1-04 样本空间"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "不可能事件",
          "对立事件"
        ],
        "常见混淆": "必然事件与普通事件的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P237"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "事件识别",
        "性质应用",
        "概率计算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-09",
      "层次": "三级",
      "名称": "不可能事件",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "在每次试验中都不会发生的事件，即空集",
        "关键要素": [
          "永不发生",
          "空集",
          "概率为0"
        ],
        "符号表示": "∅"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "确定性事件的另一个极端",
        "核心特征": [
          "不可能性",
          "空集性",
          "最小事件"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率理论的基础事件",
        "特殊说明": "不具有随机性"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "空集概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "必然事件",
          "互斥事件"
        ],
        "常见混淆": "不可能事件与小概率事件的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.1节 P237"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "事件识别",
        "性质应用",
        "概率计算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-10",
      "层次": "二级",
      "名称": "事件的包含关系",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A，记作A⊆B",
        "关键要素": [
          "蕴含关系",
          "充分条件",
          "子集关系"
        ],
        "符号表示": "A ⊆ B"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件间的逻辑关系",
        "核心特征": [
          "传递性",
          "自反性",
          "反对称性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "分析事件间逻辑关系的基础",
        "特殊说明": "对应集合的包含关系"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "集合包含关系"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "事件相等",
          "概率单调性"
        ],
        "常见混淆": "包含关系与发生概率的关系",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.2节 P238"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "关系判断",
        "逻辑分析",
        "概率比较"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-11",
      "层次": "二级",
      "名称": "事件的相等",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "若事件A包含事件B，且事件B包含事件A，则称事件A与事件B相等，记作A=B",
        "关键要素": [
          "相互包含",
          "等价性",
          "相同性"
        ],
        "符号表示": "A = B"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述完全相同的两个事件",
        "核心特征": [
          "等价性",
          "对称性",
          "传递性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "事件表示的简化",
        "特殊说明": "相等事件包含相同的样本点"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-10 事件的包含关系"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "集合相等",
          "事件表示"
        ],
        "常见混淆": "相等与等概率的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.2节 P238"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "相等判断",
        "表示简化",
        "逻辑分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-12",
      "层次": "二级",
      "名称": "并事件（和事件）",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "事件A与事件B至少有一个发生的事件，记作A∪B或A+B",
        "关键要素": [
          "至少一个",
          "或关系",
          "并集运算"
        ],
        "符号表示": "A ∪ B 或 A + B"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件的或关系",
        "核心特征": [
          "包含性",
          "可交换性",
          "可结合性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "复杂事件的构建",
        "特殊说明": "对应集合的并集运算"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "集合并集概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "交事件",
          "概率加法公式"
        ],
        "常见混淆": "并事件与互斥事件的关系",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.2节 P239"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "事件构建",
        "概率计算",
        "逻辑分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-13",
      "层次": "二级",
      "名称": "交事件（积事件）",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "事件A与事件B同时发生的事件，记作A∩B或AB",
        "关键要素": [
          "同时发生",
          "且关系",
          "交集运算"
        ],
        "符号表示": "A ∩ B 或 AB"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件的且关系",
        "核心特征": [
          "同时性",
          "可交换性",
          "可结合性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "复杂事件的构建",
        "特殊说明": "对应集合的交集运算"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "集合交集概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "并事件",
          "独立性"
        ],
        "常见混淆": "交事件与互斥事件的关系",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.2节 P239"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "事件构建",
        "概率计算",
        "逻辑分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-14",
      "层次": "二级",
      "名称": "互斥事件（互不相容）",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "事件A与事件B不能同时发生，即A∩B=∅",
        "关键要素": [
          "不能同时",
          "互不相容",
          "交集为空"
        ],
        "符号表示": "A ∩ B = ∅"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件间的不相容关系",
        "核心特征": [
          "排斥性",
          "无交集",
          "独立发生"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率加法公式的前提",
        "特殊说明": "互斥事件的概率可以相加"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-13 交事件",
        "K10-1-09 不可能事件"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "对立事件",
          "概率加法公式"
        ],
        "常见混淆": "互斥与对立的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.2节 P240"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "关系判断",
        "概率计算",
        "事件分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-15",
      "层次": "二级",
      "名称": "对立事件",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "事件A与事件B有且仅有一个发生，即A∪B=Ω且A∩B=∅，事件B称为事件A的对立事件，记作Ā",
        "关键要素": [
          "有且仅一个",
          "互补性",
          "覆盖全集"
        ],
        "符号表示": "Ā (A的对立事件)"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件的互补关系",
        "核心特征": [
          "互补性",
          "完备性",
          "互斥性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率计算的重要工具",
        "特殊说明": "对立事件必然互斥，但互斥事件不一定对立"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-14 互斥事件",
        "K10-1-08 必然事件"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "互斥事件",
          "对立事件概率"
        ],
        "常见混淆": "互斥与对立的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.2节 P241"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "关系判断",
        "概率计算",
        "事件分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-16",
      "层次": "二级",
      "名称": "概率",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "对随机事件发生可能性大小的度量，事件A的概率用P(A)表示",
        "关键要素": [
          "可能性大小",
          "数值度量",
          "0≤P≤1"
        ],
        "符号表示": "P(A)"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "量化随机事件的可能性",
        "核心特征": [
          "数值性",
          "有序性",
          "规范性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率论的核心概念",
        "特殊说明": "概率是事件的可能性大小的数值表示"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "数值概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "古典概率",
          "频率",
          "概率性质"
        ],
        "常见混淆": "概率与频率的关系",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.3节 P248"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "概念理解",
        "性质应用",
        "数值计算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-17",
      "层次": "二级",
      "名称": "古典概型",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "具有有限性和等可能性两个特征的随机试验的概率模型",
        "关键要素": [
          "有限样本点",
          "等可能性",
          "可计算性"
        ],
        "符号表示": "古典概率模型"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "最基本且可精确计算的概率模型",
        "核心特征": [
          "有限性",
          "等可能性",
          "可计算性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "精确概率计算的基础",
        "适用范围": "样本点有限且每个样本点出现概率相等的情况"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-05 有限样本空间",
        "K10-1-16 概率"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "古典概率",
          "概率计算"
        ],
        "常见混淆": "等可能性的判断",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.3节 P250"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "模型判断",
        "概率计算",
        "条件分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-18",
      "层次": "二级",
      "名称": "古典概率",
      "类型": "公式",
      "核心内容": {
        "公式": "P(A) = k/n = n(A)/n(Ω)",
        "参数说明": {
          "k": "事件A包含的样本点个数",
          "n": "样本空间包含的样本点总数",
          "n(A)": "事件A的样本点数",
          "n(Ω)": "样本空间的样本点数"
        },
        "定义": "该公式为古典概率的计算方法。k表示事件A包含的样本点个数，n表示样本空间包含的样本点总数，n(A)表示事件A的样本点数，n(Ω)表示样本空间的样本点数"
      },
      "原理说明": {
        "推导过程": "基于等可能性，每个样本点概率为1/n，事件A概率为其包含样本点数之和",
        "关键步骤": [
          "确定样本空间",
          "计算样本点总数",
          "确定事件包含的样本点",
          "计算比值"
        ],
        "核心特征": []
      },
      "适用条件": {
        "适用范围": "有限样本空间且等可能的情况",
        "必要性": "古典概型"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-17 古典概型",
        "K10-1-16 概率"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "概率计算",
          "样本点计数"
        ],
        "常见混淆": "等可能性的误判",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.3节 P251"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "概率计算",
        "公式应用",
        "问题求解"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-1-19",
      "层次": "二级",
      "名称": "概率的基本性质",
      "类型": "定理/性质",
      "核心内容": {
        "性质列表": [
          "性质1：对任意事件A，都有P(A)≥0",
          "性质2：P(Ω)=1，P(∅)=0",
          "性质3：若A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)",
          "性质4：若A与B对立，则P(B)=1-P(A)",
          "性质5：若A⊆B，则P(A)≤P(B)",
          "性质6：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)"
        ],
        "定义": "关于概率的基本性质的定义。"
      },
      "原理说明": {
        "推导基础": "基于概率定义和集合运算",
        "核心思想": "概率具有非负性、规范性、可加性等基本性质",
        "核心特征": []
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "概率计算和推导的基础",
        "特殊说明": "性质3可推广到多个两两互斥事件"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-16 概率",
        "K10-1-14 互斥事件",
        "K10-1-15 对立事件"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "概率计算",
          "事件关系"
        ],
        "常见混淆": "互斥与对立在性质应用中的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.1.4节 P254-256"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "性质应用",
        "概率计算",
        "推导证明"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "相互独立事件",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立",
        "关键要素": [
          "概率乘积",
          "独立性条件",
          "无影响关系"
        ],
        "符号表示": "P(AB) = P(A)P(B)"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件间无影响的统计关系",
        "核心特征": [
          "对称性",
          "无影响性",
          "概率乘积性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "简化概率计算的重要条件",
        "特殊说明": "独立事件一般不是互斥的(除非某个事件概率为0或1)"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-13 交事件",
        "K10-1-16 概率"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "互斥事件",
          "独立事件性质"
        ],
        "常见混淆": "独立与互斥的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.2节 P262"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "独立性判断",
        "概率计算",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "独立事件的对立独立性",
      "类型": "定理/性质",
      "核心内容": {
        "定理": "若事件A与事件B相互独立，则A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也都相互独立",
        "关键要素": [
          "对立事件",
          "保持独立性",
          "四对独立关系"
        ],
        "符号表示": "P(A)P(B̄)=P(AB̄), P(Ā)P(B)=P(ĀB), P(Ā)P(B̄)=P(ĀB̄)",
        "定义": "若事件A与事件B相互独立，则A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也都相互独立"
      },
      "原理说明": {
        "推导过程": "利用概率性质P(A)=P(AB)+P(AB̄)和独立性定义推导",
        "关键步骤": [
          "利用概率加法公式",
          "代入独立性条件",
          "推导出新的独立关系"
        ],
        "核心特征": []
      },
      "适用条件": {
        "适用范围": "概率计算中简化复杂事件",
        "必要性": "事件A与B相互独立"
      },
      "前置知识": [
        "K10-2-01 相互独立事件",
        "K10-1-15 对立事件"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "独立性",
          "概率计算"
        ],
        "常见混淆": "独立关系的传递性误解",
        "教材位置": "必修2 第10章10.2节 P264"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "性质应用",
        "概率计算",
        "逻辑推导"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-3-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "频率",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "在n次重复试验中，事件A发生的次数nA与试验次数n的比值，记作fn(A)",
        "关键要素": [
          "重复试验",
          "发生次数",
          "比值计算"
        ],
        "符号表示": "fₙ(A) = nₐ/n"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "描述事件在试验中发生的相对频率",
        "核心特征": [
          "随机性",
          "有界性",
          "经验性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "估计概率的基础",
        "特殊说明": "频率具有随机性，不同试验结果可能不同"
      },
      "前置知识": [
        "K10-1-02 随机试验",
        "K10-1-06 随机事件"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "概率",
          "频率稳定性"
        ],
        "常见混淆": "频率与概率的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.3.1节 P267"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "频率计算",
        "概念理解",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-3-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "频率的稳定性",
      "类型": "定理/性质",
      "核心内容": {
        "定理": "随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fₙ(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)",
        "关键要素": [
          "试验次数增大",
          "频率趋于稳定",
          "稳定于概率"
        ],
        "符号表示": "lim(n→∞)fₙ(A) = P(A)",
        "定义": "随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fₙ(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)"
      },
      "原理说明": {
        "理论基础": "大数定律",
        "核心思想": "大量重复试验中，频率会收敛到概率",
        "核心特征": []
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "用频率估计概率的理论基础",
        "特殊说明": "稳定性是统计规律，不是数学确定性"
      },
      "前置知识": [
        "K10-3-01 频率",
        "K10-1-16 概率"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "大数定律",
          "概率估计"
        ],
        "常见混淆": "频率稳定等于频率相等",
        "教材位置": "必修2 第10章10.3.1节 P269"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "概念理解",
        "稳定性分析",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K10-3-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "随机模拟",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "利用随机数进行模拟试验，快速进行大量重复试验的方法",
        "关键要素": [
          "随机数",
          "模拟试验",
          "蒙特卡洛方法"
        ],
        "符号表示": "无"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样成立": "用计算机生成的伪随机数模拟真实随机过程",
        "核心特征": [
          "高效性",
          "可重复性",
          "大规模性"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "当实际试验困难或耗时长的替代方案",
        "特殊说明": "计算器或计算机产生的是伪随机数"
      },
      "前置知识": [
        "K10-3-01 频率",
        "随机数概念"
      ],
      "关联内容": {
        "相关概念": [
          "蒙特卡洛方法",
          "伪随机数"
        ],
        "常见混淆": "随机模拟与真实试验的区别",
        "教材位置": "必修2 第10章10.3.2节 P272"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "方法应用",
        "模拟设计",
        "结果分析"
      ]
    }
  ]
}