{
  "章节信息": {
    "章": "第二章",
    "节": "2.1 直线的倾斜角与斜率",
    "小节": "2.1.1 倾斜角与斜率",
    "页码范围": "56-63"
  },

  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K2-1-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的倾斜角",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "当直线$l$与$x$轴相交时，我们以$x$轴为基准，$x$轴正向与直线$l$向上的方向之间所成的角$\\alpha$叫做直线的倾斜角",
        "范围": "$0^\\circ \\le \\alpha < 180^\\circ$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "倾斜角可以唯一确定直线的方向",
        "核心特征": [
          "倾斜角唯一确定",
          "方向相同的直线倾斜角相等",
          "倾斜角不等的直线方向不同"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "确定直线方向的需要",
        "特殊说明": "水平直线的倾斜角为$0^\\circ$"
      },

      "前置知识": [],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K2-1-1-02 直线的斜率"],
        "相关方法": ["方向判断", "位置关系分析"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P56"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["倾斜角理解", "方向分析", "几何应用"]
    },

    {
      "编号": "K2-1-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的斜率",
      "类型": "概念/定义",

      "核心内容": {
        "定义": "一条直线的倾斜角$\\alpha$的正切值叫做这条直线的斜率",
        "符号表示": "$k$",
        "公式": "$k = \\tan \\alpha$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "斜率用数值大小刻画了直线的倾斜程度",
        "核心特征": [
          "斜率可正可负可为零",
          "$\\alpha=90^\\circ$时斜率不存在",
          "斜率唯一确定非水平直线的方向"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "定量研究直线性质的需要",
        "特殊说明": "垂直于$x$轴的直线无斜率"
      },

      "前置知识": ["K2-1-1-01 直线的倾斜角"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["斜率计算", "位置关系判断", "倾斜角计算"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P57"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["斜率计算", "倾斜角求取", "位置关系判断"]
    },

    {
      "编号": "K2-1-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "斜率公式",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$",
        "条件": "$x_1 \\neq x_2$",
        "说明": "适用于任意两点确定的直线"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "通过两点坐标直接计算斜率，避免先求倾斜角",
        "核心特征": [
          "计算简便",
          "直接利用坐标",
          "避免了角度运算"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "斜率计算的基础方法",
        "特殊说明": "当$x_1 = x_2$时公式不适用"
      },

      "前置知识": ["K2-1-1-01 直线的倾斜角", "K2-1-1-02 直线的斜率", "K2-1-1-04 两点间距离公式"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["斜率计算", "位置关系分析", "几何性质证明"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P58"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["斜率计算", "几何应用", "代数运算"]
    },

    {
      "编号": "K2-1-1-04",
      "层次": "三级",
      "名称": "两点间距离公式",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$|P_1P_2| = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$",
        "特殊形式": "$|OP| = \\sqrt{x^2+y^2}$ (原点到点P的距离)"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "基于勾股定理推导",
        "核心特征": [
          "距离非负",
          "唯一确定",
          "几何意义明确"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "距离计算的基础",
        "特殊说明": "适用于平面内任意两点"
      },

      "前置知识": ["勾股定理", "坐标表示点"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["距离计算", "几何证明", "轨迹问题"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.2节 P77"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["距离计算", "几何证明", "应用题"]
    },

    {
      "编号": "K2-1-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条直线平行的判定",
      "类型": "定理/性质",

      "核心内容": {
        "定理": "对于斜率分别为$k_1, k_2$的两条直线$l_1, l_2$，有$l_1 // l_2 \\Leftrightarrow k_1=k_2$",
        "条件": "两条直线有斜率"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样判定": "平行直线倾斜角相等，从而斜率相等",
        "核心特征": [
          "充要条件",
          "代数判定方法",
          "简化了几何证明"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "判断直线平行关系",
        "特殊说明": "不包括垂直直线"
      },

      "前置知识": ["K2-1-1-02 直线的斜率"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["平行证明", "位置关系判断", "几何应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.2节 P60"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["平行判断", "几何证明", "代数推理"]
    },

    {
      "编号": "K2-1-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条直线垂直的判定",
      "类型": "定理/性质",

      "核心内容": {
        "定理": "如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1，即$l_1 \\perp l_2 \\Leftrightarrow k_1 k_2 = -1$",
        "条件": "两条直线都有斜率"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样判定": "利用方向向量垂直的数量积为零",
        "核心特征": [
          "充要条件",
          "代数判定方法",
          "斜率乘积为-1"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "判断垂直关系",
        "特殊说明": "不包括斜率不存在的直线"
      },

      "前置知识": ["K2-1-1-02 直线的斜率", "向量数量积"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["垂直证明", "几何性质判断", "向量应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.2节 P61"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["垂直判断", "几何证明", "代数运算"]
    },

    {
      "编号": "K2-2-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的点斜式方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$y-y_0 = k(x-x_0)$",
        "参数": "点$P_0(x_0, y_0)$和斜率$k$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "利用斜率定义和两点坐标关系",
        "核心特征": [
          "一个点和斜率确定一条直线",
          "所有满足方程的点都在直线上",
          "是其他形式方程的基础"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "直线方程的基础形式",
        "特殊说明": "倾斜角为$90^\\circ$时不能用"
      },

      "前置知识": ["K2-1-1-02 直线的斜率", "K2-1-1-04 两点间距离公式"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K2-2-1-02 直线的斜截式方程"],
        "相关方法": ["直线方程建立", "几何问题求解"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.1节 P64"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["方程建立", "几何应用", "代数运算"]
    },

    {
      "编号": "K2-2-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的斜截式方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$y = kx + b$",
        "参数": "斜率$k$和$y$轴截距$b$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "点斜式的特殊形式，$P_0$在$y$轴上",
        "核心特征": [
          "直观性强",
          "与一次函数形式一致",
          "系数几何意义明确"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "常用的直线方程形式",
        "特殊说明": "倾斜角为$90^\\circ$时不能用"
      },

      "前置知识": ["K2-2-1-01 直线的点斜式方程"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["直线方程转换", "函数图像分析", "应用题"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.1节 P66"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["方程应用", "图像分析", "实际应用"]
    },

    {
      "编号": "K2-2-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的两点式方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$\\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$",
        "条件": "$x_1 \\neq x_2$, $y_1 \\neq y_2$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "利用斜率公式和点斜式推导",
        "核心特征": [
          "直接使用两点坐标",
          "不需先求斜率",
          "适用性广"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "已知两点时最直接的方法",
        "特殊说明": "特殊情况需要用其他形式"
      },

      "前置知识": ["K2-1-1-03 斜率公式", "K2-2-1-01 点斜式方程"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K2-2-2-02 直线的截距式方程"],
        "相关方法": ["直线方程建立", "几何应用", "坐标法"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.2节 P67"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["方程建立", "几何应用", "坐标变换"]
    },

    {
      "编号": "K2-2-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的截距式方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$",
        "参数": "$x$轴截距$a$和$y$轴截距$b$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "利用两点式方程的特殊情况",
        "核心特征": [
          "几何意义明显",
          "作图方便",
          "截距概念直观"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "截距存在的直线",
        "特殊说明": "$a \\neq 0, b \\neq 0$"
      },

      "前置知识": ["K2-2-2-01 直线的两点式方程"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["图形分析", "截距计算", "实际应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.2节 P69"
      },

      "重要程度": "基础",
      "考查方式": ["方程应用", "几何分析", "图形绘制"]
    },

    {
      "编号": "K2-2-3-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的一般式方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$Ax + By + C = 0$",
        "条件": "$A, B$不同时为0"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样统一": "所有直线方程都可化为这种形式",
        "核心特征": [
          "形式统一",
          "涵盖所有情况",
          "便于代数运算"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "理论研究的需要",
        "特殊说明": "包括垂直直线"
      },

      "前置知识": ["各种直线方程形式", "代数运算"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["方程转换", "位置关系研究", "代数推理"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.3节 P70"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["方程转换", "代数运算", "理论证明"]
    },

    {
      "编号": "K2-3-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条直线的交点坐标",
      "类型": "公式/方法",

      "核心内容": {
        "方法": "解两条直线方程组成的方程组",
        "步骤": "1.联立方程组；2.解方程组；3.得到交点坐标"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样求解": "交点同时在两条直线上",
        "核心特征": [
          "代数方法",
          "精确求解",
          "适用于所有相交直线"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "研究直线相交的基础",
        "特殊说明": "无解表示平行，无数解表示重合"
      },

      "前置知识": ["直线的一般式方程", "线性方程组解法"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K2-3-1-02 点到直线的距离公式"],
        "相关方法": ["位置关系研究", "几何应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.1节 P75"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["交点计算", "几何应用", "代数推理"]
    },

    {
      "编号": "K2-3-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "点到直线的距离公式",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$",
        "参数": "点$P(x_0, y_0)$和直线$Ax + By + C = 0$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样计算": "利用向量和投影思想",
        "核心特征": [
          "通用性强",
          "计算相对简单",
          "几何意义明确"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "距离计算的基础",
        "特殊说明": "适用于任意点和直线"
      },

      "前置知识": ["点到直线距离的定义", "向量投影", "向量模长"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K2-3-3-01 两条平行直线间的距离"],
        "相关方法": ["距离计算", "位置关系判断", "几何应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.3节 P79"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["距离计算", "几何证明", "应用题"]
    },

    {
      "编号": "K2-3-3-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条平行直线间的距离",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$d = \\frac{|C_1 - C_2|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$",
        "参数": "平行直线$Ax + By + C_1 = 0$和$Ax + By + C_2 = 0$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样计算": "转化为点到直线的距离",
        "核心特征": [
          "计算简便",
          "几何意义明确",
          "适用于平行直线"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "平行线距离计算",
        "特殊说明": "不适用于相交直线"
      },

      "前置知识": ["K2-3-2-01 点到直线的距离公式"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["距离计算", "位置关系研究", "几何应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.4节 P83"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["距离计算", "几何应用", "实际应用"]
    },

    {
      "编号": "K2-4-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "圆的标准方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$",
        "参数": "圆心$C(a, b)$和半径$r$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "基于圆的定义和距离公式",
        "核心特征": [
          "几何意义明确",
          "形式简洁",
          "便于理解"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "圆的基础方程形式",
        "特殊说明": "包含所有圆"
      },

      "前置知识": ["两点间距离公式", "圆的定义"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": ["K2-4-2-01 圆的一般方程"],
        "相关方法": ["圆的几何性质研究", "位置关系判断"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.4.1节 P87"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["圆的方程建立", "几何应用", "轨迹问题"]
    },

    {
      "编号": "K2-4-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "圆的一般方程",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$",
        "条件": "$D^2 + E^2 - 4F > 0$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "标准方程展开整理得到",
        "核心特征": [
          "形式统一",
          "涵盖所有圆",
          "便于代数分析"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "理论研究需要",
        "特殊说明": "等号时表示点，小于0时无意义"
      },

      "前置知识": ["圆的标准方程", "代数配方法"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["圆的方程转换", "位置关系研究", "几何性质分析"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.4.2节 P90"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["方程转换", "圆的性质研究", "代数推理"]
    },

    {
      "编号": "K2-5-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线与圆的位置关系",
      "类型": "定理/性质",

      "核心内容": {
        "相交关系": "有两个公共点",
        "相切关系": "只有一个公共点",
        "相离关系": "没有公共点"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样分类": "基于公共点个数",
        "核心特征": [
          "可以用方程组解的个数判断",
          "几何意义明确",
          "研究方法统一"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "几何图形间的基本关系",
        "特殊说明": "不重合的直线与圆"
      },

      "前置知识": ["直线方程", "圆的方程"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["位置关系判定", "几何应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.1节 P96"
      },

      "重要程度": "核心",
      "考查方式": ["位置关系判断", "几何证明", "应用题"]
    },

    {
      "编号": "K2-5-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "圆与圆的位置关系",
      "类型": "定理/性质",

      "核心内容": {
        "相交关系": "有两个公共点",
        "相切关系": "只有一个公共点（包括外切和内切）",
        "相离关系": "没有公共点（包括外离和内含）"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样分类": "基于公共点个数",
        "核心特征": [
          "可以用方程组解的个数判断",
          "圆心距与半径关系分析",
          "几何意义明确"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "圆与圆的基本关系",
        "特殊说明": "不重合的圆"
      },

      "前置知识": ["圆的方程", "圆心距公式", "圆的半径"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["位置关系判定", "几何应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.2节 P101"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["位置关系判断", "几何证明", "代数推理"]
    },

    {
      "编号": "K2-5-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线与圆相交的弦长公式",
      "类型": "公式",

      "核心内容": {
        "公式": "弦长$=2\\sqrt{r^2 - d^2}$",
        "参数": "圆半径$r$和圆心到直线的距离$d$"
      },

      "原理说明": {
        "为什么这样计算": "利用垂径定理和勾股定理",
        "核心特征": [
          "几何直观",
          "计算简便",
          "适用于所有相交情况"
        ]
      },

      "适用条件": {
        "必要性": "相交时的长度计算",
        "特殊说明": "$d < r$"
      },

      "前置知识": ["垂径定理", "勾股定理", "点到直线距离"],

      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": ["几何证明", "长度计算", "实际应用"],
        "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.1节 P97"
      },

      "重要程度": "重要",
      "考查方式": ["长度计算", "几何证明", "应用题"]
    }
  ]
}