{
  "method_list": [
    {
      "编号": "M7-1-1-01",
      "名称": "条件概率计算法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "计算在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率",
        "识别特征": "问题中出现'在...条件下'、'已知...求...'等表述",
        "典型形式": "P(B|A)"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "识别条件事件A和目标事件B",
          "注意事项": "明确哪个是条件，哪个是要求的事件"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "计算P(A)和P(AB)",
          "注意事项": "P(AB)表示A和B同时发生的概率"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "运用条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)",
          "注意事项": "要求P(A)>0"
        }
      ],

      "数学思想": ["分类讨论思想", "样本空间缩减思想"],
      "解题策略": "通过缩小样本空间，在已知条件下求概率",

      "支撑知识点": [
        "K7-1-1-01 条件概率",
        "K7-1-1-02 概率的乘法公式"
      ],

      "典型例题": ["T7-1-1-E01", "T7-1-1-E02", "T7-1-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆条件概率与积事件概率",
          "原因": "对条件概率概念理解不清",
          "正确做法": "明确P(B|A)是在A发生的条件下B的概率，而P(AB)是A和B同时发生的概率"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P49-53"
    },

    {
      "编号": "M7-1-1-02",
      "名称": "样本空间缩减法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "古典概型中的条件概率计算",
        "识别特征": "可以明确列举样本点的问题",
        "典型形式": "在已知某个事件发生的条件下求概率"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "以条件事件A为新的样本空间",
          "注意事项": "样本空间从Ω缩减到A"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "在新样本空间中计算目标事件的概率",
          "注意事项": "直接用n(AB)/n(A)计算"
        }
      ],

      "数学思想": ["样本空间缩减思想"],
      "解题策略": "直接在缩小的样本空间中计算概率",

      "支撑知识点": [
        "K7-1-1-01 条件概率"
      ],

      "典型例题": ["T7-1-1-E01", "T7-1-1-E02"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "在原样本空间中计算概率",
          "原因": "没有正确理解条件概率的本质",
          "正确做法": "必须以条件事件为新的样本空间"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P50-52"
    },

    {
      "编号": "M7-1-1-03",
      "名称": "概率的乘法公式应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "计算多个事件同时发生的概率",
        "识别特征": "求P(AB)、P(ABC)等多事件的积概率",
        "典型形式": "顺序发生的多个事件的概率"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定事件的顺序关系",
          "注意事项": "明确哪个事件先发生"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "运用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)",
          "注意事项": "对于多个事件：P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)"
        }
      ],

      "数学思想": ["分步计算思想"],
      "解题策略": "将复杂积事件分解为连续步骤的概率计算",

      "支撑知识点": [
        "K7-1-1-02 概率的乘法公式"
      ],

      "典型例题": ["T7-1-1-E02", "T7-1-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "错误地认为P(AB)=P(A)P(B)",
          "原因": "混淆独立事件与一般事件",
          "正确做法": "只有当A、B独立时，P(AB)=P(A)P(B)，否则要用条件概率"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.1节 P51-53"
    },

    {
      "编号": "M7-1-2-01",
      "名称": "全概率公式应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "复杂事件的概率计算，需要分类讨论",
        "识别特征": "一个事件可以通过多种互斥的方式发生",
        "典型形式": "涉及多个来源或多种情况的问题"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定互斥的完备事件组A₁,A₂,...,Aₙ",
          "注意事项": "要求Aᵢ两两互斥，且并集为样本空间"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "计算每个P(Aᵢ)和P(B|Aᵢ)",
          "注意事项": "确保所有条件概率都正确计算"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "运用全概率公式P(B)=∑P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)",
          "注意事项": "求和时不要遗漏任何一种情况"
        }
      ],

      "数学思想": ["分类讨论思想", "完备性思想"],
      "解题策略": "将复杂问题分解为若干简单情况的概率加权求和",

      "支撑知识点": [
        "K7-1-2-01 全概率公式",
        "K7-1-1-01 条件概率"
      ],

      "前置方法": ["M7-1-1-01 条件概率计算法"],

      "典型例题": ["T7-1-2-E04", "T7-1-2-E05"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "遗漏某些分类或分类不互斥",
          "原因": "分类不完整或逻辑不清",
          "正确做法": "确保分类完备且互斥，可以用维恩图或树状图辅助"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.2节 P54-61"
    },

    {
      "编号": "M7-1-2-02",
      "名称": "贝叶斯公式应用法",
      "类型": "解题方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "已知结果求原因概率，逆概率问题",
        "识别特征": "已知某个事件发生，求其由某个原因引起的概率",
        "典型形式": "已知产品是次品，求来自某厂家的概率"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定原因事件Aᵢ和结果事件B",
          "注意事项": "明确哪个是原因，哪个是结果"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "计算先验概率P(Aᵢ)和似然概率P(B|Aᵢ)",
          "注意事项": "先验概率通常根据题意直接给出"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "运用贝叶斯公式P(Aᵢ|B)=P(Aᵢ)P(B|Aᵢ)/P(B)",
          "注意事项": "其中P(B)用全概率公式计算"
        }
      ],

      "数学思想": ["逆向推理思想", "概率修正思想"],
      "解题策略": "通过结果修正对原因概率的估计",

      "支撑知识点": [
        "K7-1-2-02 贝叶斯公式",
        "K7-1-2-01 全概率公式"
      ],

      "前置方法": ["M7-1-2-01 全概率公式应用法"],

      "典型例题": ["T7-1-2-E05", "T7-1-2-E06"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆先验概率和后验概率",
          "原因": "对贝叶斯公式理解不深",
          "正确做法": "先验概率是P(Aᵢ)，后验概率是P(Aᵢ|B)"
        }
      ],

      "难度等级": 5,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.1.2节 P61-68"
    },

    {
      "编号": "M7-2-1-01",
      "名称": "随机变量定义法",
      "类型": "建模方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "将随机试验结果数量化",
        "识别特征": "需要用数学符号表示随机结果",
        "典型形式": "定义X=...,表示某个随机变量"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "明确随机试验的样本空间",
          "注意事项": "列出所有可能的样本点"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "为每个样本点指定对应的数值",
          "注意事项": "确保映射关系明确且唯一"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "确定随机变量的取值范围",
          "注意事项": "分析所有可能的取值"
        }
      ],

      "数学思想": ["数量化思想", "映射思想"],
      "解题策略": "将定性问题转化为定量问题",

      "支撑知识点": [
        "K7-2-1-01 随机变量的概念"
      ],

      "典型例题": ["T7-2-1-E01", "T7-2-1-E02"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "映射关系不明确或存在歧义",
          "原因": "对随机变量定义理解不清",
          "正确做法": "确保每个样本点都有唯一确定的数值对应"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.2节 P61-65"
    },

    {
      "编号": "M7-2-2-01",
      "名称": "分布列构建法",
      "类型": "建模方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "求离散型随机变量的概率分布",
        "识别特征": "需要列出随机变量所有取值及其对应概率",
        "典型形式": "求X的分布列"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定随机变量的所有可能取值",
          "注意事项": "不要遗漏任何可能的取值"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "计算每个取值对应的概率",
          "注意事项": "可以使用古典概型、条件概率等方法"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "验证概率之和是否为1",
          "注意事项": "∑P(X=xᵢ)=1，这是检验正确性的重要标准"
        }
      ],

      "数学思想": ["完备性思想", "概率归一思想"],
      "解题策略": "系统分析所有可能情况及其概率",

      "支撑知识点": [
        "K7-2-2-01 离散型随机变量的分布列"
      ],

      "典型例题": ["T7-2-2-E01", "T7-2-2-E02", "T7-2-2-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "遗漏某些取值或概率计算错误",
          "原因": "分析不够全面",
          "正确做法": "用树状图等工具确保分析完整，并验证概率和为1"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.2.2节 P65-73"
    },

    {
      "编号": "M7-3-1-01",
      "名称": "离散型随机变量均值计算法",
      "类型": "计算方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "计算离散型随机变量的期望值",
        "识别特征": "求E(X)或随机变量的平均取值",
        "典型形式": "已知分布列求均值"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定随机变量的分布列",
          "注意事项": "确保分布列正确且完整"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "运用期望公式E(X)=∑xᵢpᵢ",
          "注意事项": "每个取值乘以对应概率后求和"
        }
      ],

      "数学思想": ["加权平均思想"],
      "解题策略": "以概率为权重计算平均值",

      "支撑知识点": [
        "K7-3-1-01 离散型随机变量的均值"
      ],

      "典型例题": ["T7-3-1-E01", "T7-3-1-E02", "T7-3-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "直接计算算术平均值",
          "原因": "忽略了概率权重",
          "正确做法": "必须用概率作为权重进行加权平均"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.3.1节 P74-82"
    },

    {
      "编号": "M7-3-2-01",
      "名称": "离散型随机变量方差计算法",
      "类型": "计算方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "计算离散型随机变量的方差或标准差",
        "识别特征": "求D(X)或σ(X)，反映离散程度",
        "典型形式": "已知分布列求方差"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "先计算期望E(X)",
          "注意事项": "方差计算需要期望值"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "运用方差公式D(X)=E(X²)-[E(X)]²",
          "注意事项": "这个公式通常比定义式更简便"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "计算标准差σ(X)=√D(X)",
          "注意事项": "标准差与原始数据单位相同"
        }
      ],

      "数学思想": ["离散程度度量思想"],
      "解题策略": "通过偏差平方的期望值度量离散程度",

      "支撑知识点": [
        "K7-3-2-01 离散型随机变量的方差"
      ],

      "前置方法": ["M7-3-1-01 离散型随机变量均值计算法"],

      "典型例题": ["T7-3-2-E05", "T7-3-2-E06"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "用算术方差代替概率方差",
          "原因": "混淆统计方差与概率方差",
          "正确做法": "必须使用概率加权计算方差"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.3.2节 P82-88"
    },

    {
      "编号": "M7-4-1-01",
      "名称": "二项分布识别法",
      "类型": "建模方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "判断随机变量是否服从二项分布",
        "识别特征": "独立重复试验，关注成功次数",
        "典型形式": "n次独立试验，每次成功概率p"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "识别伯努利试验（只有两种结果）",
          "注意事项": "每次试验只有成功或失败两种结果"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "验证各次试验的独立性",
          "注意事项": "各次试验结果互不影响"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "确定试验次数n和成功概率p",
          "注意事项": "n固定，p相同"
        },
        {
          "步骤序号": 4,
          "步骤描述": "确认X表示n次试验中成功的次数",
          "注意事项": "X取值范围为0,1,2,...,n"
        }
      ],

      "数学思想": ["独立重复试验思想"],
      "解题策略": "识别二项分布的三个关键特征：n重伯努利试验、独立性、恒定成功概率",

      "支撑知识点": [
        "K7-4-1-01 伯努利试验",
        "K7-4-1-02 二项分布"
      ],

      "典型例题": ["T7-4-1-E01", "T7-4-1-E02", "T7-4-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆二项分布与超几何分布",
          "原因": "忽略抽样方式（有放回vs无放回）",
          "正确做法": "二项分布对应有放回抽样，超几何分布对应无放回抽样"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P94-108"
    },

    {
      "编号": "M7-4-1-02",
      "名称": "二项分布概率计算法",
      "类型": "计算方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "计算二项分布的概率",
        "识别特征": "X~B(n,p)，求P(X=k)",
        "典型形式": "n次试验中恰好k次成功的概率"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定参数n和p",
          "注意事项": "n为试验次数，p为每次成功概率"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "运用二项分布公式P(X=k)=Cₙᵏpᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ",
          "注意事项": "注意组合数的计算"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "计算区间概率时求和",
          "注意事项": "P(a≤X≤b)=∑ₖ₌ₐᵇP(X=k)"
        }
      ],

      "数学思想": ["组合计数思想", "独立事件乘法思想"],
      "解题策略": "结合组合数和独立事件概率计算",

      "支撑知识点": [
        "K7-4-1-02 二项分布"
      ],

      "前置方法": ["M7-4-1-01 二项分布识别法"],

      "典型例题": ["T7-4-1-E01", "T7-4-1-E02", "T7-4-1-E03"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "组合数计算错误或公式记错",
          "原因": "对二项分布公式不熟练",
          "正确做法": "熟练掌握Cₙᵏ的计算和二项分布公式"
        }
      ],

      "难度等级": 3,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.1节 P99-108"
    },

    {
      "编号": "M7-4-2-01",
      "名称": "超几何分布概率计算法",
      "类型": "计算方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "无放回抽样的概率计算",
        "识别特征": "从有限总体中无放回地抽取n件，求某属性的数量分布",
        "典型形式": "N件中有M件次品，抽取n件，求k件次品的概率"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "确定参数N（总数）、M（特殊属性数）、n（抽取数）",
          "注意事项": "明确各参数的含义"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "运用超几何分布公式P(X=k)=CₘᵏC_{N-M}^{n-k}/Cᴺⁿ",
          "注意事项": "注意k的取值范围：max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}"
        }
      ],

      "数学思想": ["古典概型思想", "组合计数思想"],
      "解题策略": "基于古典概型，用组合数计算有利结果数和总结果数",

      "支撑知识点": [
        "K7-4-2-01 超几何分布"
      ],

      "典型例题": ["T7-4-2-E04", "T7-4-2-E05", "T7-4-2-E06"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "与二项分布混淆",
          "原因": "不区分有放回和无放回抽样",
          "正确做法": "超几何分布对应无放回抽样，二项分布对应有放回抽样"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.4.2节 P109-116"
    },

    {
      "编号": "M7-5-1-01",
      "名称": "正态分布标准化法",
      "类型": "计算方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "正态分布的概率计算",
        "识别特征": "X~N(μ,σ²)，求P(a<X<b)",
        "典型形式": "正态分布下的区间概率"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "将正态分布标准化：Z=(X-μ)/σ",
          "注意事项": "Z服从标准正态分布N(0,1)"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "查标准正态分布表或使用计算工具",
          "注意事项": "需要掌握标准正态分布表的使用方法"
        },
        {
          "步骤序号": 3,
          "步骤描述": "计算区间概率P(a<X<b)=Φ((b-μ)/σ)-Φ((a-μ)/σ)",
          "注意事项": "Φ(x)为标准正态分布的分布函数"
        }
      ],

      "数学思想": ["标准化思想", "变量代换思想"],
      "解题策略": "通过标准化将一般正态分布转化为标准正态分布",

      "支撑知识点": [
        "K7-5-1-01 正态分布"
      ],

      "典型例题": ["T7-5-1-E01"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "标准化公式错误",
          "原因": "对标准化过程理解不深",
          "正确做法": "记住标准化公式Z=(X-μ)/σ，不是(X-μ)/σ²"
        }
      ],

      "难度等级": 4,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.5节 P117-128"
    },

    {
      "编号": "M7-5-1-02",
      "名称": "3σ原则应用法",
      "类型": "应用方法",

      "适用场景": {
        "问题类型": "正态分布的区间估计和异常值判断",
        "识别特征": "涉及质量控制、异常检测等问题",
        "典型形式": "判断某个值是否为异常值"
      },

      "方法步骤": [
        {
          "步骤序号": 1,
          "步骤描述": "计算μ±σ、μ±2σ、μ±3σ的区间",
          "注意事项": "分别对应68.27%、95.45%、99.73%的数据范围"
        },
        {
          "步骤序号": 2,
          "步骤描述": "判断观测值是否在[μ-3σ,μ+3σ]区间内",
          "注意事项": "超出该区间的值被认为是异常值"
        }
      ],

      "数学思想": ["统计推断思想", "质量控制思想"],
      "解题策略": "基于3σ原则进行异常值检测和质量控制",

      "支撑知识点": [
        "K7-5-1-02 3σ原则"
      ],

      "典型例题": ["T7-5-1-E02"],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "将3σ原则绝对化",
          "原因": "理解不深入，忽略概率含义",
          "正确做法": "3σ原则说明超出范围的概率很小(约0.27%)，但不是不可能"
        }
      ],

      "难度等级": 2,
      "教材位置": "选择性必修第7章7.5节 P124-128"
    }
  ]
}