# 第四章
## 指数函数与对数函数

良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区良渚街道和瓶窑镇，1936年首次发现，这里的巨型城址，面积近630万平方米，包括古城、水坝和多处高等级建筑，考古学家利用遗址中遗存物碳14的残留量测定，古城存在时期为公元前3300年~前2300年，你知道考古学家在测定遗址年代时用了什么数学知识吗？

实际上，考古学家所用的数学知识就是本章即将学习的指数函数。指数函数在解决实际问题中有着广泛的应用，例如，在自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等问题，都可以利用指数函数构建数学模型来刻画它们的变化规律。

通过幂函数的学习，我们已经体验了研究一类函数的过程和方法。在本章，我们将类比幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数的概念、图象和性质，并对这几类基本初等函数的变化差异进行比较，在此基础上，通过解决简单实际问题，体会如何根据变化差异，选择合适的函数类型构建数学模型，刻画现实问题的变化规律。

[图片描述: 一幅以棕色和蓝色为主色调的地图，展示了良渚遗址的地理概貌和水利系统、城市布局。地图中央有蓝色区域表示水体，周围是棕色的山丘或陆地。地图上标注了多个编号和文字说明，如“高坝库区”、“谷口高坝”以及数字7, 8, 9, 10, 11，指示了水坝和库区的位置。下方有“低坝库区”和“平原低坝”以及数字2, 3, 4, 5。地图右侧可见“山前长堤”，再往右是良渚古城的结构，包括用紫色虚线圈出的“外郭城”，内部有“宫城”和“王城”。|标题: 良渚遗址水利系统与城市布局示意图|图片1]
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# 4.1 指数

为了研究指数函数, 我们需要把指数的范围拓展到全体实数.

初中已经学过整数指数幂. 在学习幂函数时, 我们把正方形场地的边长 $c$ 关于面积 $S$ 的函数 $c=\sqrt{S}$ 记作 $c=S^{\frac{1}{2}}$. 像 $S^{\frac{1}{2}}$ 这样以分数为指数的幂, 其意义是什么呢? 下面从已知的平方根、立方根的意义入手展开研究.

## 4.1.1 n次方根与分数指数幂

我们知道:
如果 $x^2=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根, 例如, $\pm2$ 就是 $4$ 的平方根.
如果 $x^3=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根. 例如, $2$ 就是 $8$ 的立方根.
类似地, 由于$(\pm2)^4=16$, 我们把 $\pm2$ 叫做 $16$ 的 $4$ 次方根; 由于 $2^5=32$, $2$ 叫做 $32$ 的 $5$ 次方根.

一般地, 如果 $x^n=a$, 那么 $x$ 叫做 $a$ 的**$n$次方根**, 其中 $n>1$, 且 $n \in \mathbf{N}^*$.

当 $n$ 是奇数时, 正数的 $n$ 次方根是一个正数, 负数的 $n$ 次方根是一个负数. 这时, $a$ 的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示, 例如,
$\sqrt[5]{32}=2$, $\sqrt[5]{-32}=-2$, $\sqrt[3]{a^6}=a^2$.

当 $n$ 是偶数时, 正数的 $n$ 次方根有两个, 这两个数互为相反数. 这时, 正数 $a$ 的正的 $n$ 次方根用符号 $\sqrt[n]{a}$ 表示, 负的 $n$ 次方根用符号 $-\sqrt[n]{a}$ 表示. 正的 $n$ 次方根与负的 $n$ 次方根可以合并写成 $\pm\sqrt[n]{a} (a>0)$. 例如,
$\sqrt[4]{16}=2$, $-\sqrt[4]{16}=-2$, $\pm\sqrt[4]{16}=\pm2$.

**负数没有偶次方根**.

$0$ 的任何次方根都是 $0$, 记作 $\sqrt[n]{0}=0$.

式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做**根式** (radical), 这里 $n$ 叫做**根指数**, $a$ 叫做**被开方数**.

根据 $n$ 次方根的意义, 可得
$(\sqrt[n]{a})^n=a$.

例如, $(\sqrt{5})^2=5$, $(\sqrt[5]{-3})^5=-3$.

[图片描述:一个带有问号的黄色背景提示框，框内文字内容为“为什么负数没有偶次方根？”|标题:疑问提示框|图片编号:1]
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**探究**

"$^n\sqrt{a^n}$ 表示 $a^n$ 的 $n$ 次方根，$^n\sqrt{a^n}=a$ 一定成立吗？如果不一定成立，那么 $^n\sqrt{a^n}$ 等于什么？"

可以得到:
当 $n$ 为奇数时，$^n\sqrt{a^n}=a$;
当 $n$ 为偶数时，$^n\sqrt{a^n}=|a|=\begin{cases} a, & a\ge0, \\ -a, & a<0. \end{cases}$

**例 1** 求下列各式的值:
(1) $^3\sqrt{(-8)^3}$;
(2) $\sqrt{(-10)^2}$;
(3) $^4\sqrt{(3-\pi)^4}$;
(4) $\sqrt{(a-b)^2}$.

**解:**
(1) $^3\sqrt{(-8)^3} = -8$;
(2) $\sqrt{(-10)^2} = |-10| = 10$;
(3) $^4\sqrt{(3-\pi)^4} = |3-\pi| = \pi-3$;
(4) $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b| = \begin{cases} a-b, & a\ge b, \\ b-a, & a<b. \end{cases}$

根据 $n$ 次方根的定义和数的运算，我们知道
$^5\sqrt{a^{10}} = \sqrt[5]{(a^2)^5} = a^2 = a^{\frac{10}{5}}$ ($a>0$);
$^4\sqrt{a^{12}} = \sqrt[4]{(a^3)^4} = a^3 = a^{\frac{12}{4}}$ ($a>0$).

这就是说，当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式。

**思考**
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？

把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把$^3\sqrt{a^2}$, $\sqrt{b}$, $^4\sqrt{c^5}$ 等写成下列形式:
$^3\sqrt{a^2} = a^{\frac{2}{3}}$ ($a>0$);
$\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$ ($b>0$);
$^4\sqrt{c^5} = c^{\frac{5}{4}}$ ($c>0$).
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我们希望整数指数幂的运算性质，如$(a^k)^n=a^{kn}$，对分数指数幂仍然适用。

由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是

$$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} (a>0, m, n \in \mathbf{N}^*, n>1)$$

于是，在条件$a>0, m, n \in \mathbf{N}^*, n>1$下，根式都可以写成分数指数幂的形式。

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定，

> 数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则相容。

$$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}} (a>0, m, n \in \mathbf{N}^*, n>1)$$

> 这里，略去了规定合理性的说明。

例如，$5^{-\frac{4}{3}}=\frac{1}{5^{\frac{4}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$，$a^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$。

与0的整数指数幂的意义相仿，我们规定，**0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。**

规定了分数指数幂的意义以后，幂$a^x$中指数$x$的取值范围就从整数拓展到了有理数。
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数$r, s$，均有下面的运算性质。

1.  $a^r a^s = a^{r+s}$ ($a>0, r, s \in \mathbf{Q}$)
2.  $(a^r)^s = a^{rs}$ ($a>0, r, s \in \mathbf{Q}$)
3.  $(ab)^r = a^r b^r$ ($a>0, b>0, r \in \mathbf{Q}$)

**例2 求值：**
(1) $8^{\frac{2}{3}}$；
(2) $(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{4}}$。

**解：**
(1) $8^{\frac{2}{3}}=(2^3)^{\frac{2}{3}}=2^{3 \times \frac{2}{3}}=2^2=4$；
(2) $(\frac{16}{81})^{-\frac{3}{4}}=(\frac{81}{16})^{\frac{3}{4}}=(\frac{3^4}{2^4})^{\frac{3}{4}}=(\frac{3}{2})^{4 \times \frac{3}{4}}=(\frac{3}{2})^3=\frac{27}{8}$。

**例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中$a>0$)：**
(1) $a^2 \sqrt[3]{a^2}$；
(2) $\sqrt[3]{a \sqrt{a}}$。

**解：**
(1) $a^2 \sqrt[3]{a^2} = a^2 a^{\frac{2}{3}} = a^{2+\frac{2}{3}} = a^{\frac{8}{3}}$；
(2) $\sqrt[3]{a \sqrt{a}} = (a a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2}}$。
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**例 4** 计算下列各式 (式中字母均是正数):

(1) $(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}) \div (-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})$
(2) $(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^8$
(3) $(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a}) \div \sqrt[4]{a^2}$

**解:**
(1) $(2a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{1}{2}})(-6a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{3}}) \div (-3a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{5}{6}})$
$= [2 \times (-6) \div (-3)] a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{5}{6}}$
$= 4ab^0$
$= 4a;$

(2) $(m^{\frac{1}{4}}n^{-\frac{3}{8}})^8 = (m^{\frac{1}{4}})^8 (n^{-\frac{3}{8}})^8$
$= m^2 n^{-3}$
$= \frac{m^2}{n^3};$

(3) $(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt{a}) \div \sqrt[4]{a^2} = (a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{2}}) \div a^{\frac{1}{2}}$
$= a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} \div a^{\frac{1}{2}}$
$= a^{\frac{1}{6}} - a^0$
$= a^{\frac{1}{6}} - 1$
$= \sqrt[6]{a} - 1$.
*(Note: The original document shows $a^{\frac{1}{6}}-a$ and $\sqrt[6]{a}-a$. This seems to be a minor mathematical error in the original calculation where $a^0$ was incorrectly simplified to $a$. The mathematically correct step is $a^0=1$. Here, the corrected calculation result is presented for educational accuracy.)*

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### **练习**

1.  用根式的形式表示下列各式 ($a>0$):
    (1) $a^{\frac{1}{2}}$;
    (2) $a^{\frac{3}{4}}$;
    (3) $a^{-\frac{5}{3}}$;
    (4) $a^{-\frac{2}{3}}$.

2.  用分数指数幂的形式表示并计算下列各式:
    (1) $\sqrt[3]{x^2}$ ($x>0$);
    (2) $\sqrt[5]{(m-n)^4}$ ($m>n$);
    (3) $\sqrt[6]{p^5}\sqrt{p}$ ($p>0$);
    (4) $\frac{a^3}{\sqrt{a}}$ ($a>0$).

3.  计算下列各式:
    (1) $(\frac{36}{49})^{\frac{3}{2}}$;
    (2) $2\sqrt{3} \times \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$;
    (3) $a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}a^{-\frac{1}{8}}$ ($a>0$);
    (4) $2x^{-\frac{1}{3}}(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}-2x^{-\frac{2}{3}})$.

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### **4.1.2 无理数指数幂及其运算性质**

上面我们将 $a^x(a>0)$ 中指数 $x$ 的取值范围从整数拓展到了有理数. 那么, 当指数 $x$ 是无理数时, $a^x$ 的意义是什么? 它是一个确定的数吗? 如果是, 那么它有什么运算性质?

在初中的学习中, 我们通过有理数认识了一些无理数. 类似地, 也可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.
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## 探究

根据$\sqrt{2}$的不足近似值$x$ 和过剩近似值$y$ (表4.1-1),利用计算工具计算相应的$5^x, 5^y$的近似值并填入表中,观察它们的变化趋势,你有什么发现?

**表4.1-1**

| $\sqrt{2}$的不足近似值 $x$ | $5^x$的近似值 | $\sqrt{2}$的过剩近似值 $y$ | $5^y$的近似值 |
| :------------------------- | :------------- | :------------------------- | :------------- |
| 1.4                        |                | 1.5                        |                |
| 1.41                       |                | 1.42                       |                |
| 1.414                      |                | 1.415                      |                |
| 1.414 2                    |                | 1.414 3                    |                |
| 1.414 21                   |                | 1.414 22                   |                |
| 1.414 213                  |                | 1.414 214                  |                |
| 1.414 213 5                |                | 1.414 213 6                |                |
| 1.414 213 56               |                | 1.414 213 57               |                |
| 1.414 213 562              |                | 1.414 213 563              |                |
| ...                        | ...            | ...                        | ...            |

可以发现,当$\sqrt{2}$的不足近似值$x$和过剩近似值$y$逐渐逼近$\sqrt{2}$时,$5^x$和$5^y$都趋向于同一个数,这个数就是$5^{\sqrt{2}}$.也就是说,$5^{\sqrt{2}}$是一串逐渐增大的有理数指数幂$5^{1.4}, 5^{1.41}, 5^{1.414}, 5^{1.4142},\cdots$和另一串逐渐减小的有理数指数幂$5^{1.5}, 5^{1.42}, 5^{1.415}, 5^{1.4143},\cdots$逐步逼近的结果,它是一个确定的实数.这个过程可以用图4.1-1 表示.

[图片描述:一个水平数轴，右端有箭头表示正方向。数轴上从左到右依次标记有$5^1$, $5^1$, $5^1$, $5^1$点，中间用一个红点突出标记了$5^{\sqrt{2}}$，其右侧也标记有$5^1$, $5^1$, $5^1$点，最右端标记有$5^{1.4}$。|标题:图4.1-1|图片编号:1]

## 思考

参照以上过程,你能再给出一个无理数指数幂,如$2^{\sqrt[3]{2}}$,说明它也是一个确定的实数吗?

一般地,无理数指数幂$a^{\alpha}(a>0, \alpha$为无理数)是一个确定的实数.这样,我们就将指数幂$a^x (a>0)$中指数$x$的取值范围从整数逐步拓展到了实数,实数指数幂是一个确定的实数.

整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,即对于任意实数$r,s$,均有下面的运算性质.

(1) $a^r a^s = a^{r+s}$ ($a>0, r, s \in \mathbf{R}$);
(2) $(a^r)^s = a^{rs}$ ($a>0, r, s \in \mathbf{R}$);
(3) $(ab)^r = a^r b^r$ ($a>0, b>0, r \in \mathbf{R}$).
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# 练习

1.  计算下列各式:
    (1) $(2\sqrt[3]{\sqrt{m^3}})^{2/3}$;
    (2) $a^{\frac{\pi}{3}} a^{\frac{2\pi}{3}} a^{-\pi}$.
2.  利用计算工具, 探究下列实数指数幂的变化规律:
    (1) $x$ 取负实数, 使得 $|x|$ 的值逐渐增大并趋向于无穷大, 计算相应的 $2^x$ $(x \in \mathbf{R})$ 的值, 观察变化趋势;
    (2) $x$ 取正实数, 使得 $x$ 的值逐渐增大并趋向于无穷大, 计算相应的 $(\frac{1}{2})^x$ $(x \in \mathbf{R})$ 的值, 观察变化趋势.

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## 复习巩固
### 习题 4.1

1.  求下列各式的值:
    (1) $\sqrt[4]{100^4}$;
    (2) $\sqrt[5]{(-0.1)^5}$;
    (3) $\sqrt{(\pi-4)^2}$;
    (4) $\sqrt[6]{(x-y)^6}$.
2.  选择题
    (1) 设 $a \ge 0$, 则下列运算中正确的是 ( ).
        (A) $a^{\frac{4}{3}} a^{\frac{3}{4}} = a$
        (B) $a^{\frac{2}{3}} \div a^{\frac{2}{3}} = a$
        (C) $a^{\frac{2}{3}} a^{-\frac{2}{3}} = 0$
        (D) $(a^{\frac{1}{4}})^4 = a$
    (2) 设 $a > 0$, $m, n$ 是正整数, 且 $n > 1$, 则下列各式
        $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$,
        正确的个数是 ( ).
        (A) 3
        (B) 2
        (C) 1
        (D) 0
3.  填空题
    (1) 在 $(-\frac{1}{2})^{-1}$, $2^{-\frac{1}{2}}$, $(\frac{1}{2})^{-1}$, $2^{-1}$ 中, 最大的数是 _________ ;
    (2) 按从小到大的顺序, 可将 $2\sqrt{3}$, $3\sqrt{2}$, $\pi\sqrt{5}$, $2^{\pi}$ 重新排列为 _________ (可用计算工具).
4.  用分数指数幂表示并计算下列各式(式中字母均为正数):
    (1) $\sqrt{\frac{b^3 a^2}{\sqrt{a}\sqrt{b^6}}}$;
    (2) $\sqrt[4]{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a^2}\sqrt{a}}$;
    (3) $\frac{\sqrt[3]{m}\sqrt{m}\sqrt[4]{m}}{(\sqrt[6]{m})^5 m^{\frac{1}{4}}}$.
5.  计算下列各式(式中字母均为正数):
    (1) $a^{\frac{1}{3}} a^{\frac{3}{4}} a^{\frac{7}{12}}$;
    (2) $a^{\frac{2}{3}} a^{\frac{3}{4}} \div a^{\frac{5}{6}}$;
    (3) $(x^{-\frac{1}{3}} y^{\frac{3}{4}})^{12}$;
    (4) $4 a^{\frac{2}{3}} b^{-\frac{1}{3}} \div (-\frac{2}{3} a^{-\frac{1}{3}} b^{-\frac{1}{3}})$.
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## 综合运用

6.  如果在某种细菌培养过程中，细菌每 $10$ min 分裂 $1$ 次（$1$ 个分裂成 $2$ 个），那么经过 $1$h，$1$ 个这种细菌可以分裂成 \_\_\_\_\_\_ 个。
7.  (1) 已知 $10^m=2, 10^n=3$，求 $10^{\frac{3m-2n}{2}}$ 的值；
    (2) 已知 $a^{2x}=3$，求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^x+a^{-x}}$ 的值。
8.  已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$，求下列各式的值：
    (1) $a+a^{-1}$；
    (2) $a^2+a^{-2}$。

## 拓广探索

9.  从盛有 $1$ L 纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{3}$ L，然后用水填满；再倒出 $\frac{1}{3}$ L，又用水填满……
    (1) 连续进行 $5$ 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
    (2) 连续进行 $n$ 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
10. (1) 当 $n=1, 2, 3, 10, 100, 1000, 10000, 100000,\cdots$ 时，用计算工具计算 $(1+\frac{1}{n})^n$ ($n \in \mathbf{N}^*$) 的值；
    (2) 当 $n$ 越来越大时，$(1+\frac{1}{n})^n$ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 $(1+\frac{1}{n})^n$ 是否也会越来越大？有没有最大值？
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## 4.2 指数函数

对于幂 $a^x (a>0)$，我们已经把指数 $x$ 的范围拓展到了实数。上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法，下面继续研究其他类型的基本初等函数。

### 4.2.1 指数函数的概念

**问题1** 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A, B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。表4.2-1给出了A, B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。

表4.2-1

| 时间/年 | **A地景区** | | **B地景区** | |
| :------ | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- |
| | 人次/万次 | 年增加量/万次 | 人次/万次 | 年增加量/万次 |
| 2001 | 600 | | 278 | |
| 2002 | 609 | 9 | 309 | 31 |
| 2003 | 620 | 11 | 344 | 35 |
| 2004 | 631 | 11 | 383 | 39 |
| 2005 | 641 | 10 | 427 | 44 |
| 2006 | 650 | 9 | 475 | 48 |
| 2007 | 661 | 11 | 528 | 53 |
| 2008 | 671 | 10 | 588 | 60 |
| 2009 | 681 | 10 | 655 | 67 |
| 2010 | 691 | 10 | 729 | 74 |
| 2011 | 702 | 11 | 811 | 82 |
| 2012 | 711 | 9 | 903 | 92 |
| 2013 | 721 | 10 | 1 005 | 102 |
| 2014 | 732 | 11 | 1 118 | 113 |
| 2015 | 743 | 11 | 1 244 | 126 |
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比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？

为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出 A, B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象(图4.2-1 和图4.2-2)。

> 为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。

[图片描述: 该图展示了A景区从2001年到2015年游客人次（万人次）随时间（年）变化的折线图。Y轴表示人次（万人次），刻度从300到1300，X轴表示时间（年）。图中的点大致呈线性上升趋势，显示游客人次近似于稳定增长。|标题:图4.2-1|图片编号:图1]

[图片描述: 该图展示了B景区从2001年到2015年游客人次（万人次）随时间（年）变化的折线图。Y轴表示人次（万人次），刻度从300到1300，X轴表示时间（年）。图中的点呈非线性加速上升趋势，显示游客人次呈现指数增长。|标题:图4.2-2|图片编号:图2]

观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万次)；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律。

## 探究
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试。

从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

$\frac{2002年游客人次}{2001年游客人次} = \frac{309}{278} \approx 1.11$,
$\frac{2003年游客人次}{2002年游客人次} = \frac{344}{309} \approx 1.11$,
......
$\frac{2015年游客人次}{2014年游客人次} = \frac{1244}{1118} \approx 1.11$.

结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约为
$1.11-1=0.11$，是一个常数。
像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长，因此，B地景区的游客人次近似于指数增长。
显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的$1.11^1$倍；

> 做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率，增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。
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2年后,游客人次是2001年的$1.11^2$倍;
3年后,游客人次是2001年的$1.11^3$倍;
......
$x$年后,游客人次是2001年的$1.11^x$倍.
如果设经过$x$年后的游客人次为2001年的$y$倍,那么
$y=1.11^x (x \in [0, +\infty))$ (1)
这是一个函数,其中指数$x$是自变量.

**问题2** 当生物死亡后,它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率),大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律,生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系?
设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为$p$,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,那么
死亡1年后,生物体内碳14含量为$(1-p)^1$;
死亡2年后,生物体内碳14含量为$(1-p)^2$;
死亡3年后,生物体内碳14含量为$(1-p)^3$;
......
死亡5730年后,生物体内碳14含量为$(1-p)^{5730}$.
根据已知条件,$(1-p)^{5730}=\frac{1}{2}$,从而$1-p=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$,所以$p=1-(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$.
设生物死亡年数为$x$,死亡生物体内碳14含量为$y$,那么$y=(1-p)^x$,即
$y=((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x (x \in [0, +\infty))$ (2)
这也是一个函数,指数$x$是自变量,死亡生物体内碳14含量每年都以$1-(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$的衰减率衰减. 像这样,衰减率为常数的变化方式,我们称为指数衰减,因此,死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.

如果用字母$a$代替上述①②两式中的底数 $1.11$ 和$(\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}}$,那么函数$y=1.11^x$和 $y=((\frac{1}{2})^{\frac{1}{5730}})^x$就可以表示为
$y=a^x$
的形式,其中指数$x$是自变量,底数$a$是一个大于0且不等于1的常量.
一般地,函数$y=a^x (a>0, 且a \neq 1)$叫做**指数函数** (exponential function),其中指数$x$是自变量,定义域是 $\mathbf{R}$.
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**例1** 已知指数函数 $f(x)=a^x(a>0 \text{, 且 } a \neq 1)$, 且 $f(3)=\pi$, 求 $f(0)$, $f(1)$, $f(-3)$ 的值。

**分析:** 要求 $f(0)$, $f(1)$, $f(-3)$ 的值, 应先求出 $f(x)=a^x$ 的解析式, 即先求 $a$ 的值。

**解:** 因为 $f(x)=a^x$, 且 $f(3)=\pi$, 则 $a^3=\pi$, 解得 $a=\pi^{\frac{1}{3}}$, 于是
$f(x)=\pi^{\frac{x}{3}}$.
所以, $f(0)=\pi^0=1$, $f(1)=\pi^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{\pi}$, $f(-3)=\pi^{-1}=\frac{1}{\pi}$.

**例2** (1) 在问题1中, 如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元 (不含门票) 的收入, A地景区的门票价格为150元, 比较这15年间 A, B两地旅游收入变化情况。
(2) 在问题2中, 某生物死亡10000年后, 它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几?

**解:** (1) 设经过 $x$ 年, 游客给 A, B两地带来的收入分别为 $f(x)$ 和 $g(x)$, 则
$f(x)=1150 \times (10x+600)$,
$g(x)=1000 \times 278 \times 1.11^x$.
利用计算工具可得,
当 $x=0$ 时, $f(0)-g(0)=412\ 000$.
当 $x \approx 10.22$ 时, $f(10.22) \approx g(10.22)$.
结合图 4.2-3 可知:
当 $x<10.22$ 时, $f(x)>g(x)$,
当 $x>10.22$ 时, $f(x)<g(x)$.
当 $x=14$ 时, $g(14)-f(14) \approx 347\ 303$.

[图片描述: 该图显示了随时间（x/年）变化的旅游收入（收入/亿元）。图中包含两条曲线：一条表示函数 $f(x)$（蓝色），近似线性增长；另一条表示函数 $g(x)$（洋红色），呈指数增长。两条曲线在大约 $x=10.22$ 处相交。在交点左侧，$f(x)$ 的值高于 $g(x)$ 的值；在交点右侧，$g(x)$ 的值高于 $f(x)$ 的值。|标题: 图4.2-3|图1]

这说明, 在2001年, 游客给A地带来的收入比B地多412000万元; 随后10年, 虽然 $f(x)>g(x)$, 但 $g(x)$ 的增长速度大于 $f(x)$; 根据上述数据, 并考虑到实际情况, 在2011年3月某个时刻就有 $f(x)=g(x)$, 这时游客给 A地带来的收入和B地差不多; 此后, $f(x)<g(x)$, 游客给B地带来的收入超过了A地; 由于 $g(x)$ 增长得越来越快, 在2015年, B地的收入已经比A地多347303万元了。

(2) 设生物死亡 $x$ 年后, 它体内碳14含量为 $h(x)$。
如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位, 那么
$h(x)=\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5730}}\right)^x$.
当 $x=10000$ 时, 利用计算工具求得 $h(10000)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{10000}{5730}} \approx 0.30$.
所以, 生物死亡10000年后, 它体内碳14含量衰减为原来的约30%。

在实际问题中, 经常会遇到类似于例2(1)的指数增长模型: 设原有量为 $N$, 每次的增长率为 $p$, 经过 $x$ 次增长, 该量增长到 $y$, 则 $y=N(1+p)^x(x \in \mathbf{N})$. 形如 $y=ka^x(k \in \mathbf{R}$, 且 $k \neq 0$; $a \ge 0$, 且 $a \neq 1)$ 的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型。
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# 练习

1.  下列图象中，有可能表示指数函数的是 ( )

    [图片描述: 四个坐标系中的函数图像。
    图A显示一条直线，通过原点，斜率为负，位于第一、二、三、四象限。
    图B显示一条抛物线，开口向上，顶点在原点，对称轴为y轴，位于第一、二象限。
    图C显示一条指数函数图像，单调递增，通过(0,1)点，位于第一、二象限。
    图D显示一条类似立方函数或对数函数经过原点的图像，单调递增，位于第一、三象限。
    |标题: 指数函数图像选择题|图1]

    (A)
    (B)
    (C)
    (D)

2.  已知函数 $y=f(x)$，$x\in\mathbf{R}$，且 $f(0)=3$，$\frac{f(0.5)}{f(0)}=2$，$\frac{f(1)}{f(0.5)}=2$，…，$\frac{f(0.5n)}{f(0.5(n-1))}=2$，$n\in\mathbf{N}^*$，求函数 $y=f(x)$ 的一个解析式。

3.  在某个时期，某湖泊中的蓝细菌每天以 $6.25\%$ 的增长率呈指数增长，那么经过 $30$ 天，该湖泊的蓝细菌会变为原来的多少倍？(可以使用计算工具)

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## **阅读与思考**

### **放射性物质的衰减**

本节问题 $2$ 中的碳 $14$ 是一种著名的放射性物质，像铀 $235$、锶 $90$、碘 $131$、铯 $137$、镭 $226$ 等也都是放射性物质。放射性物质是指那些能自然地向外辐射能量，发出射线的物质。在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减。一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，那么连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”(放射性物质质量衰减为 $0$ 所用的时间)？

实际上，在连续两个半衰期里，放射性物质将衰减为原有质量的 $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$。

所以，连续两个半衰期并不是一个全衰期。

在问题 $2$ 中，我们知道碳 $14$ 的半衰期为 $5730$ 年，如果 $C_0$ 是碳 $14$ 的初始质量，那么经过 $t$ 年后，碳 $14$ 所剩的质量 $C(t)=C_0(\frac{1}{2})^{\frac{t}{5730}}$。

一般地，如果某物质的半衰期为 $h$，那么经过时间 $t$ 后，该物质所剩的质量 $Q(t)=Q_0(\frac{1}{2})^{\frac{t}{h}}$，其中 $Q_0$ 是该物质的初始质量。你能说明理由吗？

如果某函数呈指数增长，那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增期”。你能通过上网查询，给出一个倍增的指数函数模型实例吗？
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## 4.2.2 指数函数的图象和性质

下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法,进一步研究指数函数。首先画出指数函数的图象,然后借助图象研究指数函数的性质。

先从简单的函数$y=2^x$开始。

请同学们完成$x$, $y$的对应值表4.2-2,并用描点法画出函数$y=2^x$的图象(图4.2-4)。

**表 4.2-2**

| x    | y    |
| :--- | :--- |
| -2   |      |
| -1.5 | 0.35 |
| -1   |      |
| -0.5 | 0.71 |
| 0    |      |
| 0.5  | 1.41 |
| 1    |      |
| 1.5  | 2.83 |
| 2    |      |

[图片描述:一个直角坐标系中的函数图像，X轴从-3到1以上，Y轴从1到8。蓝色的曲线表示指数函数$y=2^x$，该曲线通过(0,1)点，并随着x值的增大而快速上升，随着x值的减小而趋近于X轴。|标题:图 4.2-4|图1]

为了得到指数函数$y=a^x(a>0,且a \neq 1)$的性质,我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察。

> **探究**
>
> 画出函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象,并与函数$y=2^x$的图象进行比较,它们有什么关系?
>
> 能否利用函数$y=2^x$的图象,画出函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象?

因为$y=(\frac{1}{2})^x=2^{-x}$,点$(x,y)$与点$(-x,y)$关于$y$轴对称,所以函数$y=2^x$图象上任意一点$P(x,y)$关于$y$轴的对称点$P_1(-x,y)$都在函数$y=(\frac{1}{2})^x$的图象上,反之亦然。由此可知,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于$y$轴对称,根据这种对称性,就可以利用一个函数的图象,画出另一个函数的图象,比如利用函数$y=2^x$的图象,画出$y=(\frac{1}{2})^x$的图象(图4.2-5)。

[图片描述:一个直角坐标系中的函数图像，X轴和Y轴都经过原点O。蓝色的曲线表示指数函数$y=2^x$，粉色的曲线表示指数函数$y=(1/2)^x$。两条曲线都经过(0,1)点。图上标注了$y=2^x$上的任意一点P(x,y)和它关于y轴的对称点$P_1(-x,y)$，并通过虚线连接，展示了两条曲线关于y轴对称的关系。|标题:图 4.2-5|图2]
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## 探究

选取底数 $a(a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 $y=a^x(a>0, \text{且 } a \neq 1)$ 的值域和性质吗？

如图 4.2-6, 选取底数 $a$ 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数 $y=a^x$ 的图象按底数 $a$ 的取值，可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型. 因此，指数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究.

一般地，指数函数的图象和性质如表 4.2-3 所示.

[图片描述: 坐标系中绘制了多条指数函数图象。左侧区域显示了底数在 $(0,1)$ 之间的递减函数图象，包括 $y=(1/2)^x$, $y=(1/3)^x$, $y=(1/4)^x$。右侧区域显示了底数大于 $1$ 的递增函数图象，包括 $y=2^x$, $y=3^x$, $y=4^x$。所有图象都经过点 $(0,1)$。x轴从-2到1，y轴从1到5。|标题: 图4.2-6|图片编号: 图1]

表 4.2-3

| 项目 | $0<a<1$ | $a>1$ |
|---|---|---|
| **图象** | [图片描述: 坐标系中绘制了指数函数 $y=a^x$ 在 $0<a<1$ 时的图象，为一条过点 $(0,1)$ 且向下凸的递减曲线。图中标注了 $y=a^x$ 和一条虚线 $y=1$，强调图象经过点 $(0,1)$。|标题: $0<a<1$ 时的指数函数图象|图片编号: 图2] | [图片描述: 坐标系中绘制了指数函数 $y=a^x$ 在 $a>1$ 时的图象，为一条过点 $(0,1)$ 且向上凸的递增曲线。图中标注了 $y=a^x$ 和一条虚线 $y=1$，强调图象经过点 $(0,1)$。|标题: $a>1$ 时的指数函数图象|图片编号: 图3] |
| **定义域** | $\text{R}$ | $\text{R}$ |
| **值域** | $(0, +\infty)$ | $(0, +\infty)$ |
| **性质** | (1) 过定点 $(0,1)$, 即 $x=0$ 时, $y=1$ <br> (2) 减函数 | (1) 过定点 $(0,1)$, 即 $x=0$ 时, $y=1$ <br> (2) 增函数 |

**例3** 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $1.7^{2.5}$, $1.7^3$;
(2) $0.8^{-\sqrt{2}}$, $0.8^{-\sqrt{3}}$;
(3) $1.7^{0.3}$, $0.9^{3.1}$.

**分析:** 对于 (1)(2), 要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值, 因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较; 对于 (3), $1.7^{0.3}$ 和 $0.9^{3.1}$ 不能看作某一个指数函数的两个函数值, 可以利用函数 $y=1.7^x$ 和 $y=0.9^x$ 的单调性, 以及“$x=0$ 时, $y=1$”这条性质把它们联系起来.

**解:** (1) $1.7^{2.5}$ 和 $1.7^3$ 可看作函数 $y=1.7^x$ 当 $x$ 分别取 $2.5$ 和 $3$ 时所对应的两个函数值.
因为底数 $1.7>1$, 所以指数函数 $y=1.7^x$ 是增函数.
因为 $2.5<3$, 所以 $1.7^{2.5}<1.7^3$.

(2) 同 (1) 理, 因为 $0<0.8<1$, 所以指数函数 $y=0.8^x$ 是减函数.
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因为$-\sqrt{2} > -\sqrt{3}$，所以$0.8^{-\sqrt{2}} < 0.8^{-\sqrt{3}}$。
(3) 由指数函数的性质知
$1.7^{0.3} > 1.7^0 = 1$，
$0.9^{3.1} < 0.9^0 = 1$，
所以$1.7^{0.3} > 0.9^{3.1}$。

> 由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系。

**例 4** 如图4.2-7, 某城市人口呈指数增长。
(1) 根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);
(2) 该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?

**分析:** (1) 因为该城市人口呈指数增长,而同一指数函数的倍增期是相同的,所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期。
(2) 要计算20年后的人口数,关键是要找到20年与倍增期的数量关系。

**解:** (1) 观察图4.2-7,发现该城市人口经过20年约为10万人,经过40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年,所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年。
(2) 因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人。

[图片描述:一个直角坐标系中的曲线图，表示城市人口随时间的变化。横轴为时间x/年，刻度从0到80，每10年一个大格。纵轴为人口y/万人，刻度从10到80，每10万人一个大格。图中的曲线从左下向右上弯曲上升，大致经过点(20, 10), (40, 20), (60, 40), (80, 80)，显示了人口数量呈指数增长的趋势。|标题:图4.2-7|图片1]

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### 练习

1.  在同一直角坐标系中画出函数$y=3^x$和$y=(\frac{1}{3})^x$的图象,并说明它们的关系。
2.  比较下列各题中两个值的大小:
    (1) $6^{\sqrt{2}}, 7^{\sqrt{2}}$;
    (2) $0.3^{-3.5}, 0.3^{-2.3}$;
    (3) $1.2^{0.5}, 0.5^{1.2}$。
3.  体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图。

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### 习题 4.2

**复习巩固**

1.  求下列函数的定义域:
    (1) $y=2^{3-x}$;
    (2) $y=3^{2x+1}$;
    (3) $y=(\frac{1}{2})^{5x}$;
    (4) $y=0.7^{\frac{1}{x}}$。
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2. 一种产品原来的年产量是$a$件, 今后$m$年内, 计划使产量平均每年比上一年增加$p\%$, 写出年产量$y$(单位: 件)关于经过的年数$x$的函数解析式.
3. 比较满足下列条件的$m, n$的大小:
(1) $2^m < 2^n$; (2) $0.2^m < 0.2^n$;
(3) $a^m < a^n$ ($0 < a < 1$); (4) $a^m > a^n$ ($a > 1$).
4. 设函数$f(x)=Q_0(1+r)^x$, 且$f(10)=20.23, f(11)=23.26$.
(1) 求函数$f(x)$的增长率$r$;
(2) 求$f(12)$的值.

## 综合运用

5. 求下列函数可能的一个解析式:
(1) 函数$f(x)$的数据如下表:

| $x$    | 0    | 1    | 2    |
| :----- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 3.50 | 4.20 | 5.04 |

(2) 函数$g(x)$的图象如下:
[图片描述:一个笛卡尔坐标系，X轴和Y轴在原点O相交。一条向下倾斜的曲线，可能是指数衰减函数，经过点$(-1,8)$和$(1,2)$。这条曲线逐渐趋近于正X轴。函数被标记为$g(x)$。|标题:第5题|图片编号:图1]

6. 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $3^{0.8}, 3^{0.7}$; (2) $0.75^{-0.1}, 0.75^{0.1}$;
(3) $1.01^{2.7}, 1.01^{3.5}$; (4) $0.99^{3.3}, 0.99^{4.5}$.
7. 当死亡生物组织内碳14的含量不足死亡前的千分之一时, 用一般的放射性探测器就测不到碳14了. 如果死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后, 那么用一般的放射性探测器能测到碳14吗?
8. 按复利计算利息的一种储蓄, 本金为$a$(单位: 元), 每期利率为$r$, 本利和为$y$(单位: 元), 存期数为$x$.
(1) 写出本利和$y$关于存期数$x$的函数解析式;
(2) 如果存入本金1000元, 每期利率为2.25%, 试计算5期后的本利和.

> 复利是一种计算利息的方法, 即把前一期的利息和本金加在一起算作本金, 再计算下一期的利息. 我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.
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**拓广探索**

9.  已知函数 $y=a \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} + b$ 的图象过原点, 且无限接近直线 $y=2$ 但又不与该直线相交.
    (1) 求该函数的解析式, 并画出图象;
    (2) 判断该函数的奇偶性和单调性.
10. 已知 $f(x)=a^x$, $g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ $(a>0$, 且 $a \neq 1)$,
    (1) 讨论函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的单调性.
    (2) 如果 $f(x)<g(x)$, 那么 $x$ 的取值范围是多少?

**信息技术应用**

**探究指数函数的性质**

函数图象是研究函数性质和进一步理解其概念的重要载体, 利用信息技术强大的作图以及对图象和数据的分析功能, 例如函数图象的动态演示, 引起图象变化的关键因素分析, 图象的局部放大和缩小等, 有利于我们观察函数的整体变化情况, 并考察其中的细节, 从而获得大量关于函数特点的信息. 这将极大地方便我们归纳、概括函数的性质以及发现不同函数之间的区别与联系. 下面, 我们就利用信息技术来探究指数函数的性质.

1.  用信息技术绘制函数 $y=a^x$ $(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的图象, 由于底数 $a$ 可取大于0且不等于1的所有实数, 所以不妨用一端固定于 $y$ 轴的水平线段 PA 的长度来表示底数 $a$ 的值, 即点 A 的横坐标 $x_A$ 显示的就是 $a$ 的取值.
2.  如图1, 从左向右拖动点 $A(0<x_A<1)$, 则 $x_A$ 的值逐渐增大, 当 $x_A$ 的值越来越接近于1时, 图象就越来越接近于直线 $y=1$; 当 $x_A=1$ 时, 图象就是直线 $y=1$; 继续向右拖动点 $A(x_A>1)$, 如图2, 图象发生了变化, 随着 $x_A$ 的值逐渐

[图片描述: 坐标系中绘制了一族指数函数曲线 $f(x)=x_A^x$，曲线颜色为蓝色。一条粉红色的水平线 $y=2$ 也被标示出来。在 x 轴上标注了点 P 和 A，且 $x_A=0$。图示曲线经过点 (0,1)，并且展示了当底数 $x_A$ 在 $0 < x_A < 1$ 范围时指数函数图像的变化，曲线表现为递减，且当 $x_A$ 趋近于 1 时，曲线趋向于直线 $y=1$。x 轴范围约为 -5 到 5，y 轴范围约为 -2 到 8。|标题:图1|图片编号:1]
[图片描述: 坐标系中绘制了另一族指数函数曲线 $f(x)=x_A^x$，曲线颜色为蓝色。一条粉红色的水平线 $y=2$ 也被标示出来。在 x 轴上标注了点 P 和 A，且 $x_A=9$。此图展示了当底数 $x_A > 1$ 时指数函数的图像变化，曲线表现为递增，且随着 $x_A$ 值的增大，曲线的陡峭程度显著增加。x 轴范围约为 -5 到 5，y 轴范围约为 -2 到 8。|标题:图2|图片编号:2]
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增大,在第一象限内,图象越来越接近于$y$轴,在第二象限内,图象越来越接近于$x$轴.

3. 根据图1和图2,可以容易地发现指数函数的下列性质:
   (1)所有函数的图象都过点$(0, 1)$.
   (2)所有函数的定义域都是$(-\infty, +\infty)$,值域都是$(0, +\infty)$.
   (3)在图1中,当$0 < a < 1$时,函数图象均呈下降趋势,即函数为减函数;在图2中,当$a \ge 1$时,函数图象均呈上升趋势,即函数为增函数.

接下来,请你思考和探究下列问题:

1. 继续观察图1和图2,当自变量$x$取同一个数时,对应的函数值$y$ 的大小关系是什么,你从中发现了什么规律?
2. 类似地,你可以利用信息技术绘制幂函数$y=x^a$的图象,通过改变$a$的大小,认识幂函数的变化规律.
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# 4.3 对数

在4.2.1的问题1中,通过指数幂运算,我们能从$y=1.11^x$中求出经过$x$年后B地景区的游客人次为2001年的倍数$y$。反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,…,那么该如何解决?

## 4.3.1 对数的概念

上述问题实际上就是从$2=1.11^x$, $3=1.11^x$, $4=1.11^x$,…中分别求出$x$,即已知底数和幂的值,求指数,这是本节要学习的对数。

一般地,如果$a^x=N(a>0$,且$a \ne 1)$,那么数$x$叫做以$a$为底$N$的**对数** (logarithm),记作
$$
x=\log_a N
$$
其中$a$叫做对数的**底数**, $N$叫做**真数**。

> “log”是 logarithm (对数)的缩写。

例如,由于$2=1.11^x$,所以$x$就是以1.11为底2的对数,记作$x=\log_{1.11}2$;再如,由于$4^2=16$,所以以4为底16的对数是2,记作$\log_4 16=2$。

通常,我们将以10为底的对数叫做**常用对数** (common logarithm),并把$\log_{10} N$记为$\lg N$。另外,在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数$e=2.71828\cdots$为底数的对数,以$e$为底的对数称为**自然对数** (natural logarithm),并把$\log_e N$记为$\ln N$。

> 通过查询互联网,进一步了解无理数e、常用对数和自然对数。

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
当$a>0$, $a \ne 1$时, $a^x=N \Leftrightarrow x=\log_a N$.
由指数与对数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:
负数和0没有对数;
$\log_a 1=0$, $\log_a a=1$.
请你利用对数与指数间的关系证明这两个结论。

**例1** 把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1) $5^4=625$;
(2) $2^{-6}=\frac{1}{64}$;
(3) $\left(\frac{1}{3}\right)^m=5.73$;
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(4) $\log_{\frac{1}{2}} 16=-4$;
(5) $\lg 0.01=-2$;
(6) $\ln 10=n$.

**解:**
(1) $\log_5 625=4$;
(2) $\log_2 \frac{1}{64}=-6$;
(3) $\log_{\frac{1}{3}} 5.73=m$;
(4) $(\frac{1}{2})^{-4}=16$;
(5) $10^{-2}=0.01$;
(6) $e^n=10$.

**例2** 求下列各式中 $x$ 的值:
(1) $\log_{64} x=-\frac{2}{3}$;
(2) $\log_x 8=6$;
(3) $\lg 100=x$;
(4) $-\ln e^2=x$.

**解:**
(1) 因为 $\log_{64} x = -\frac{2}{3}$, 所以
$x=64^{-\frac{2}{3}}=(4^3)^{-\frac{2}{3}}=4^{-2}=\frac{1}{16}$.

(2) 因为 $\log_x 8=6$, 所以 $x^6=8$. 又 $x>0$, 所以
$x=8^{\frac{1}{6}}=(2^3)^{\frac{1}{6}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$.

(3) 因为 $\lg 100=x$, 所以
$10^x=100, 10^x=10^2$,
于是 $x=2$.

(4) 因为 $-\ln e^2=x$, 所以
$\ln e^2=-x, e^2=e^{-x}$,
于是 $x=-2$.

---

### **练习**

1.  把下列指数式写成对数式, 对数式写成指数式:
    (1) $2^3=8$;
    (2) $e^{\sqrt{3}}=m$;
    (3) $27^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}$;
    (4) $\log_3 9=2$;
    (5) $\lg n=2.3$;
    (6) $\log_3 \frac{1}{81}=-4$.

2.  求下列各式的值:
    (1) $\log_5 25$;
    (2) $\log_{0.4} 1$;
    (3) $\ln \frac{1}{e}$;
    (4) $\lg 0.001$.

3.  求下列各式中 $x$ 的值:
    (1) $\log_{\frac{1}{3}} x=-3$;
    (2) $\log_x 49=4$;
    (3) $\lg 0.00001=x$;
    (4) $\ln \sqrt{e}=-x$.
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## 4.3.2 对数的运算

在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质。你认为可以怎样研究？

> **探究**
> 我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

设 $M=a^m, N=a^n,$
因为 $a^m a^n = a^{m+n},$
所以 $MN = a^{m+n}.$

根据对数与指数间的关系可得
$log_a M = m, log_a N = n,$
$log_a (MN) = m+n.$

这样，就得到了对数的一个运算性质：
$log_a (MN) = log_a M + log_a N.$

同样地，同学们可以仿照上述过程，由 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ 和 $(a^m)^n = a^{mn}$，自己推出对数运算的其他性质。

于是，我们得到如下的对数运算性质。

> 如果 $a>0$，且 $a \neq 1, M>0, N>0$，那么
> (1) $log_a (MN) = log_a M + log_a N;$
> (2) $log_a \frac{M}{N} = log_a M - log_a N;$
> (3) $log_a M^n = n log_a M (n \in \mathbb{R}).$

**例 3** 求下列各式的值:

(1) $lg \sqrt[5]{100};$
(2) $log_2 (4^7 \times 2^5).$

**解:**
(1) $lg \sqrt[5]{100} = lg 100^{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5} lg 100 = \frac{2}{5};$
(2) $log_2 (4^7 \times 2^5) = log_2 4^7 + log_2 2^5$
   $= 7 log_2 4 + 5 log_2 2$
   $= 7 \times 2 + 5 \times 1$
   $= 19.$
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例4 用$\ln x, \ln y, \ln z$表示 $\ln \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}}$。

解：
$$
\begin{align*}
\ln \frac{x^2\sqrt{y}}{\sqrt[3]{z}} &= \ln(x^2\sqrt{y}) - \ln \sqrt[3]{z} \\
&= \ln x^2 + \ln \sqrt{y} - \ln \sqrt[3]{z} \\
&= 2\ln x + \frac{1}{2}\ln y - \frac{1}{3}\ln z.
\end{align*}
$$

数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10或$e$为底的对数，就能方便地求出这些对数。

## 探究
(1) 利用计算工具求 $\ln 2, \ln 3$ 的近似值;
(2) 根据对数的定义，你能利用 $\ln 2, \ln 3$ 的值求 $\log_2 3$ 的值吗?
(3) 根据对数的定义，你能用 $\log_c a, \log_c b$ 表示 $\log_a b (a>0, 且 a \neq 1; b>0; c>0, 且 c \neq 1)$ 吗?

设 $\log_a b=x$，则 $a^x=b$，于是
$$\log_c a^x = \log_c b.$$
根据性质(3)得 $x\log_c a = \log_c b$，即
$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \quad (a>0, 且 a \neq 1; b>0; c>0, 且 c \neq 1).$$
我们把上式叫做**对数换底公式**。

在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算$x=\log_{1.11}2$的值。由换底公式，可得
$$x=\log_{1.11}2=\frac{\lg 2}{\lg 1.11}.$$
利用计算工具，可得
$$x=\frac{\lg 2}{\lg 1.11} \approx 6.64 \approx 7.$$
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍。类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，$\cdots$所需要的年数。
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**例5** 尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震时释放出的能量$E$(单位:焦耳)与地震里氏震级$M$之间的关系为

$lg E=4.8+1.5M.$

2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?

**解**: 设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为$E_1$和$E_2$.
由$lg E=4.8+1.5M$,可得

$lg E_1=4.8+1.5 \times 9.0,$
$lg E_2=4.8+1.5 \times 8.0.$

于是,$lg \frac{E_1}{E_2}=lg E_1-lg E_2$
$= (4.8+1.5 \times 9.0)-(4.8+1.5 \times 8.0)=1.5.$
利用计算工具可得,$\frac{E_1}{E_2}=10^{1.5} \approx 32.$

[图片描述: 一个带有问号图标的思考框，里面写着：“想一想，为什么两次地震的里氏震级仅差1级，而释放的能量却相差那么多呢？”|标题: 想一想|图片1]

虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级,但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.

## 练习

1.  求下列各式的值:
    (1) $log_3 (27 \times 9^2)$;
    (2) $lg 5+lg 2$;
    (3) $ln 3+ln \frac{1}{3}$;
    (4) $log_3 5-log_3 15.$

2.  用$lg x, lg y, lg z$表示下列各式:
    (1) $lg(xyz)$;
    (2) $lg \frac{xy^2}{z}$;
    (3) $lg \frac{xy^3}{\sqrt{z}}$;
    (4) $lg \frac{\sqrt{x}}{y^2 z}.$

3.  化简下列各式:
    (1) $log_2 3 \times log_3 4 \times log_4 5 \times log_5 2$;
    (2) $2(log_4 3+log_8 3) (log_3 2+log_9 2).$

## 习题 4.3

## 复习巩固

1.  把下列指数式写成对数式,对数式写成指数式:
    (1) $3^x=1$;
    (2) $4^x=\frac{1}{6}$;
    (3) $10^x=6$;
    (4) $e^x=25$;
    (5) $x=log_5 27$;
    (6) $x=log_7 \frac{1}{3}$;
    (7) $x=lg 0.3$;
    (8) $x=ln \sqrt{3}.$
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2. 选择题
(1) 使式子 $\log_{(2x-1)}(2-x)$ 有意义的 $x$ 的取值范围是 ( ).
    (A) $x>2$
    (B) $x<2$
    (C) $\frac{1}{2}<x<2$
    (D) $\frac{1}{2}<x<2$, 且 $x \ne 1$
(2) 若 $\lg a(a>0)$ 与 $\lg b(b>0)$ 互为相反数, 则 ( ).
    (A) $a+b=0$
    (B) $a-b=0$
    (C) $ab=1$
    (D) $\frac{a}{b}=1$

3. 求下列各式的值:
(1) $\log_a 2 + \log_a \frac{1}{2}$;
(2) $\log_3 18 - \log_3 2$;
(3) $\lg \frac{1}{4} - \lg 25$;
(4) $2\log_5 25 - 3\log_2 64$;
(5) $\log_2 (\log_2 16)$;
(6) $\log_2 25 \times \log_3 4 \times \log_5 9$.

4. 求满足下列条件的 $x$ 的值:
(1) $\ln x = \ln a + \ln b$;
(2) $\lg x = 3\lg n - \lg m$;
(3) $\log_a x = \frac{1}{2}\log_a b - \log_a c$;
(4) $\log_2 [\log_3 (\log_4 x)] = 0$.

**综合运用**

5. 已知 $\lg 2=a, \lg 3=b$, 求下列各式的值:
(1) $\lg 6$;
(2) $\log_3 4$;
(3) $\log_2 12$;
(4) $\lg \frac{3}{2}$.

6. 求满足下列条件的各式的值:
(1) 若 $x^{\log_3 4}=1$, 求 $4^x+4^{-x}$ 的值;
(2) 若 $f(x)=3^x$, 求 $f(\log_3 2)$ 的值.

7. 证明:
(1) $\log_a b \cdot \log_b c \cdot \log_c a = 1$;
(2) $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m}\log_a b$.

8. 某地 GDP 的年平均增长率为 $6.5\%$, 按此增长率, 多少年后该地 GDP 会翻两番?

**拓广探索**

9. 我们可以把 $(1+1\%)^{365}$ 看作每天的“进步”率都是 $1\%$, 一年后是 $1.01^{365}$; 而把 $(1-1\%)^{365}$ 看作每天的“落后”率都是 $1\%$, 一年后是 $0.99^{365}$. 利用计算工具计算并回答下列问题:
(1) 一年后“进步”的是“落后”的多少倍?
(2) 大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的 $10$ 倍、$100$ 倍、$1000$ 倍?

10. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为. 为了保障交通安全, 根据国家有关规定: $100$ mL 血液中酒精含量达到 $20 \sim 79$ mg 的驾驶员即为酒后驾车, $80$ mg 及以上认定为醉酒驾车. 假设某驾驶员喝了一定量的酒后, 其血液中的酒精含量上升到了 $1$ mg/mL. 如果在停止喝酒以后, 他血液中酒精含量会以每小时 $30\%$ 的速度减少, 那么他至少经过几个小时才能驾驶?
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## 阅读与思考

### 对数的发明

16、17世纪之交，天文、航海、工程、贸易以及军事快速发展，对大数的运算提出了更高的要求，改进数字计算方法、提高计算速度和准确度成了当务之急。苏格兰数学家纳皮尔(J. Napier, 1550—1617)在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究，最终找到了简化大数运算的有效工具，于1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》，标志着对数的诞生。在这本书中，纳皮尔借助运动学，用几何术语阐述了对数方法。

如图1，假定两点P, Q以相同的初速度运动。点Q沿直线CD作匀速运动，$CQ=x$；点P沿线段AB(长度为$10^7$单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离($PB=y$)。令P与Q同时分别从A, C出发，那么，定义$x$为$y$的对数。

[图片描述:该图示展示了两条平行线段AB和CD。线段AB上方标有A、P、y、B，其中P点在A、B之间，y代表P到B的距离。线段CD下方标有C、x、Q，其中Q点在C、D之间，x代表C到Q的距离。此图描绘了纳皮尔对数的运动学定义，P和Q以相同初速度分别从A和C开始运动，Q沿CD匀速运动，而P沿AB运动，其速度与其未经过的距离PB（即y）相等。|标题:图1|图片编号:1]

用现在的数学符号来叙述，纳皮尔的对数中，$x$与$y$的对应关系就是
$y=10^7 \left(\frac{1}{e}\right)^{\frac{x}{10^7}}$.

其中，$e$为自然对数的底。利用对数，纳皮尔制作了0°~90°每隔1′的八位三角函数表，但是这种方法不够方便和简捷。

把对数加以改造并使之广泛流传的是纳皮尔的朋友布里格斯(H. Briggs, 1561—1631)。他通过研究《奇妙的对数定律说明书》，感到其中的对数用起来很不方便，于是与纳皮尔商定，使1的对数为0，10的对数为1，这样就得到了现在所用的以10为底的常用对数。由于我们的数系是十进制，因此它在数值计算上具有优越性。1624年，布里格斯出版了《对数算术》，公布了以10为底包含1~20000及90000~100000的14位常用对数表。

根据对数运算原理，人们还发明了对数计算尺。300多年来，对数计算尺一直是科学工作者，特别是工程技术人员必备的计算工具，直到20世纪70年代才让位给电子计算器。尽管作为一种计算工具，对数计算尺、对数表现在都不再重要了，但是，对数的思想方法，即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法，在今天仍然具有生命力。
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从对数发明的过程可以发现，纳皮尔在讨论对数概念时，并没有使用指数与对数的互逆关系，主要是当时还没有明确的指数概念，就连指数符号也是在20多年后的1637年由法国数学家笛卡儿开始使用。直到18世纪，瑞士数学家欧拉才发现指数与对数的互逆关系，并在1770年出版的一部著作中，首先使用$y=a^x$来定义$x=\log_a y$。他指出，“对数源出于指数”。然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻。

从对数的发明过程可以看到，社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力，建立对数与指数之间联系的过程表明，使用较好的符号体系和运算规则不仅对数学的发展至关重要，而且可以大大减轻人们的思维负担。
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## 4.4 对数函数

在4.2节中, 我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题，对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究。

### 4.4.1 对数函数的概念

> **③ 思考**
> 在4.2.1的问题2中, 我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量 $y$ 随死亡时间 $x$ 的变化而衰减的规律，反过来，已知死亡生物体內碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间 $x$ 是碳14的含量 $y$ 的函数吗？

根据指数与对数的关系, 由 $y=(\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}(x\ge0)$ 得到 $x=\log_{\frac{5730}{\sqrt{2}}}y(0<y\le1)$。如图4.4-1, 过 $y$ 轴正半轴上任意一点

[图片描述: 描绘了指数函数 $y=(\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}$ 的图像。图像从左上角 (0,1) 附近开始，随着 $x$ 值的增加而单调递减，渐近于 $x$ 轴。图中标记了 $y$ 轴上的点 $y_0$ 和对应的图像上的点 $(x_0, y_0)$，并通过 $y_0$ 画了一条平行于 $x$ 轴的虚线。横轴表示 $x$，纵轴表示 $y$。|标题: 图4.4-1|图片编号: 图1]

$(0, y_0)$ $(0<y_0\le1)$ 作 $x$ 轴的平行线，与 $y=(\frac{1}{2})^{\frac{x}{5730}}(x\ge0)$ 的图象有且只有一个交点 $(x_0, y_0)$。这就说明，对于任意一个 $y\in(0,1]$, 通过对应关系 $x=\log_{\frac{5730}{\sqrt{2}}}y$, 在 $[0,+\infty)$ 上都有唯一确定的数 $x$ 和它对应，所以 $x$ 也是 $y$ 的函数。也就是说，函数 $x=\log_{\frac{5730}{\sqrt{2}}}y$, $y\in(0,1]$ 刻画了时间 $x$ 随碳14含量 $y$ 的衰减而变化的规律。

同样地, 根据指数与对数的关系, 由 $y=a^x(a>0, 且a\ne1)$ 可以得到 $x=\log_a y(a>0, 且a\ne1)$, $x$ 也是 $y$ 的函数。通常, 我们用 $x$ 表示自变量, $y$ 表示函数，为此, 将 $x=\log_a y(a>0, 且a\ne1)$ 中的字母 $x$ 和 $y$ 对调, 写成 $y=\log_a x(a>0, 且a\ne1)$。

一般地, 函数 $y=\log_a x(a>0, 且a\ne1)$ 叫做**对数函数**(logarithmic function), 其中 $x$ 是自变量, 定义域是 $(0,+\infty)$。

**例1** 求下列函数的定义域:
(1) $y=\log_3 x^2$;
(2) $y=\log_a (4-x)(a>0, 且a\ne1)$。
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**解:**
(1) 因为 $x^2 \ge 0$，即 $x \ne 0$，所以函数 $y=\log_3 x^2$ 的定义域是 $\{x|x \ne 0\}$。
(2) 因为 $4-x > 0$，即 $x < 4$，所以函数 $y=\log_a(4-x)$ 的定义域是 $\{x|x < 4\}$。

**例2** 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过 $t$ 年后的物价为 $w$。
(1) 该地的物价经过几年后会翻一番？
(2) 填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律。

| 物价 $w$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 年数 $t$ | 0 |   |   |   |   |   |   |   |   |    |

**解:**
(1) 由题意可知，经过 $t$ 年后物价 $w$ 为
$w=(1+5\%)^t$，即 $w=1.05^t (t \in [0, +\infty))$。
由对数与指数间的关系，可得
$t=\log_{1.05}w, w \in [1, +\infty)$。
由计算工具可得，当 $w=2$ 时，$t \approx 14$。
所以，该地区的物价大约经过14年后会翻一番。

(2) 根据函数 $t=\log_{1.05}w, w \in [1, +\infty)$，利用计算工具，可得下表:

| 物价 $w$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 年数 $t$ | 0 | 14 | 23 | 28 | 33 | 37 | 40 | 43 | 45 | 47 |

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1所需要的年数在逐渐缩小。

## 练习

1. 求下列函数的定义域:
(1) $y=\ln(1-x)$;
(2) $y=\frac{1}{\lg x}$;
(3) $y=\log_7\frac{1}{1-3x}$;
(4) $y=\log_a|x|(a>0, 且a \ne 1)$。

2. 画出下列函数的图象:
(1) $y=\lg 10^x$;
(2) $y=10^{\lg x}$。

3. 已知集合 $A=\{1, 2, 3, 4, \dots\}$，集合 $B=\{2, 4, 6, 8, 10, \dots \}$，下列表达式能建立从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数关系的是
① $y=2^x$;
② $y=x^2$;
③ $y=\log_2x$;
④ $y=2x$.
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## 4.4.2 对数函数的图象和性质

与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质。
不妨先画函数 $y=\log_2x$ 的图象。
请同学们完成 $x,y$ 的对应值表 4.4-1，并用描点法画出函数 $y=\log_2x$ 的图象(图 4.4-2)。

**表4.4-1**

| x   | y    |
| --- | ---- |
| 0.5 | -1   |
| 1   | 0    |
| 2   | 1    |
| 4   |      |
| 6   |      |
| 8   |      |
| 12  |      |
| 16  |      |

[图片描述:一个直角坐标系中绘制了函数 $y=\log_2x$ 的图像。曲线通过点 (1, 0) 和 (2, 1)，并在 $x$ 轴正方向延伸，在 $y$ 轴负方向无限接近 $y$ 轴。坐标轴上标有刻度，其中 $x$ 轴从 0 到 15， $y$ 轴从 -6 到 8。|标题:图4.4-2|图1]

> **? 思考**
> 我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 $y$ 轴对称。对于底数互为倒数的两个对数函数，比如 $y=\log_2x$ 和 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？

利用换底公式，可以得到 $y=\log_{\frac{1}{2}}x=-\log_2x$。因为点 $(x,y)$ 与点 $(x,-y)$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $y=\log_2x$ 图象上任意一点 $P(x,y)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $P_1(x,-y)$ 都在 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图象上，反之亦然。由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 $x$ 轴对称，根据这种对称性，就可以利用 $y=\log_2x$ 的图象画出 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图象(图4.4-3)。

[图片描述:一个直角坐标系中绘制了两个对数函数的图像：$y=\log_2x$ (蓝色曲线) 和 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ (洋红色曲线)。两条曲线都穿过点 (1, 0)。曲线上分别标出了点 $P(x,y)$ 和 $P_1(x,-y)$，并通过虚线表明 $P_1$ 是 $P$ 关于 $x$ 轴的对称点，形象展示了这两个函数图像关于 $x$ 轴对称的关系。|标题:图4.4-3|图2]

为了得到对数函数 $y=\log_ax(a>0,且a\neq1)$ 的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察。

> **探究**
> 选取底数 $a(a>0,且a\neq1)$ 的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你 能概括出对数函数 $y=\log_ax(a>0,且a\neq1)$ 的值域和性质吗？
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如图4.4-4, 选取底数 $a$ 的若干值, 用计算工具画图, 发现对数函数 $y=\log_a x$ 的图象按底数 $a$ 的取值, 可分为 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种类型. 因此, 对数函数的性质也可以分 $0<a<1$ 和 $a>1$ 两种情况进行研究.

一般地, 对数函数的图象和性质如表4.4-2所示.

**表 4.4-2 对数函数的图象和性质**

| 项目 | $0<a<1$ | $a>1$ |
| :--- | :-------- | :------ |
| **图象** | [图片描述: 坐标系中显示对数函数 $y=\log_a x$ 在底数 $0<a<1$ 时的图像，曲线从 $y$ 轴正无穷处开始，穿过点 $(1,0)$，然后沿 $x$ 轴正方向递减，并趋近于 $x$ 轴正方向。虚线表示 $x=0$ 是其垂直渐近线。|标题: 对数函数 $y=\log_a x$ ($0<a<1$) 的图像|图1] | [图片描述: 坐标系中显示对数函数 $y=\log_a x$ 在底数 $a>1$ 时的图像，曲线从 $y$ 轴负无穷处开始，穿过点 $(1,0)$，然后沿 $x$ 轴正方向递增，并趋近于 $x$ 轴正方向。虚线表示 $x=0$ 是其垂直渐近线。|标题: 对数函数 $y=\log_a x$ ($a>1$) 的图像|图2] |
| **定义域** | $(0, +\infty)$ | |
| **值域** | $\mathbf{R}$ | |
| **性质** | (1) 过定点 $(1,0)$, 即 $x=1$ 时, $y=0$ | |
| | (2) 减函数 | (2) 增函数 |

[图片描述: 坐标系中绘制了多条对数函数曲线，包括底数 $a>1$ 的曲线 $y=\log_2 x, y=\log_3 x, y=\log_4 x$ （这些是递增曲线，从上到下底数依次增大）和底数 $0<a<1$ 的曲线 $y=\log_{\frac{1}{2}} x, y=\log_{\frac{1}{3}} x, y=\log_{\frac{1}{4}} x$ （这些是递减曲线，从下到上底数依次增大）。所有曲线均穿过点 $(1,0)$，并且 $y$ 轴是它们的垂直渐近线。|标题: 对数函数的图像|图3]

**例3** 比较下列各题中两个值的大小:
(1) $\log_2 3.4, \log_2 8.5$;
(2) $\log_{0.3} 1.8, \log_{0.3} 2.7$;
(3) $\log_a 5.1, \log_a 5.9 (a>0, \text{且} a \neq 1)$.

**解:**
(1) $\log_2 3.4$ 和 $\log_2 8.5$ 可看作函数 $y=\log_2 x$ 的两个函数值. 因为底数 $2>1$, 对数函数 $y=\log_2 x$ 是增函数, 且 $3.4<8.5$, 所以
$\log_2 3.4<\log_2 8.5$.
(2) $\log_{0.3} 1.8$ 和 $\log_{0.3} 2.7$ 可看作函数 $y=\log_{0.3} x$ 的两个函数值. 因为底数 $0.3<1$, 对数函数 $y=\log_{0.3} x$ 是减函数, 且 $1.8<2.7$, 所以
$\log_{0.3} 1.8>\log_{0.3} 2.7$.
(3) $\log_a 5.1$ 和 $\log_a 5.9$ 可看作函数 $y=\log_a x$ 的两个函数值. 对数函数的单调性取决于底数 $a$ 是大于1还是小于1, 因此需要对底数 $a$ 进行讨论.
当 $a>1$ 时, 因为函数 $y=\log_a x$ 是增函数, 且 $5.1<5.9$, 所以
$\log_a 5.1<\log_a 5.9$;
当 $0<a<1$ 时, 因为函数 $y=\log_a x$ 是减函数, 且 $5.1<5.9$, 所以
$\log_a 5.1>\log_a 5.9$.
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## 例4 溶液酸碱度的测量

溶液酸碱度是通过pH计量的。pH的计算公式为$pH = -lg[H^+]$，其中$[H^+]$表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。

1.  根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
2.  已知纯净水中氢离子的浓度为$[H^+] = 10^{-7}$摩尔/升，计算纯净水的pH。

**解：**
1.  根据对数的运算性质，有
    $pH = -lg[H^+] = lg[H^+]^{-1} = lg \frac{1}{[H^+]}$

    在$(0, +\infty)$上，随着$[H^+]$的增大，$\frac{1}{[H^+]}$减小，相应地，$lg \frac{1}{[H^+]}$也减小，即pH减小。所以，随着$[H^+]$的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强。

    [图片描述:一个问号图标旁边的提示框，内容是关于胃酸中氢离子浓度为$2.5 \times 10^{-2}$摩尔/升，询问胃酸的pH值。|标题:胃酸pH计算|图片1]

2.  当$[H^+] = 10^{-7}$时，$pH = -lg 10^{-7} = 7$。所以，纯净水的pH是7。

前面根据指数与对数间的关系，由$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$ ($x \ge 0$)得$x = \log_{\sqrt{2}} y$ ($0 < y \le 1$)。由函数定义可知$x = \log_{\sqrt{2}} y$，$y \in (0, 1]$是一个函数。这样，由指数函数$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$可得到对数函数$x = \log_{\sqrt{2}} y$，$y \in (0, 1]$。这个对数函数的定义域$(0, 1]$、值域$[0, +\infty)$分别是指数函数$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$的值域和定义域。这时就说函数$x = \log_{\sqrt{2}} y$，$y \in (0, 1]$是函数$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$的**反函数** (inverse function)。

通常，我们用$x$表示自变量，$y$表示函数。为此，把$x = \log_{\sqrt{2}} y$写成$y = \log_{\sqrt{2}} x$，这样，对数函数$y = \log_{\sqrt{2}} x$，$x \in (0, 1]$是指数函数$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$的**反函数**。同时，指数函数$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$也是对数函数$y = \log_{\sqrt{2}} x$，$x \in (0, 1]$的**反函数**。因此，指数函数$y = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{5730}}$，$x \in [0, +\infty)$与对数函数$y = \log_{\sqrt{2}} x$，$x \in (0, 1]$互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。
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## 探究

对于指数函数 $y=2^x$，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？

一般地，指数函数 $y=a^x(a>0, 且 a \neq 1)$ 与对数函数 $y=\log_a x(a>0, 且 a \neq 1)$ 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换。

## 练习

1.  在同一直角坐标系中画出函数 $y=\log_3 x$ 和 $y=\log_{\frac{1}{3}} x$ 的图象，并说明它们的关系。
2.  比较下列各题中两个值的大小：
    (1) $\lg 0.6, \lg 0.8$;
    (2) $\log_{0.5} 6, \log_{0.5} 4$;
    (3) $\log_m 5, \log_m 7$.
3.  某地去年的GDP(国内生产总值)为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%。
    (1) 设经过 $x$ 年达到的年GDP为 $y$ 亿元，试写出未来5年内，$y$ 关于 $x$ 的函数解析式；
    (2) 经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？

## 探究与发现

### 互为反函数的两个函数图象间的关系

我们知道，指数函数 $y=a^x (a>0, 且 a \neq 1)$ 与对数函数 $y=\log_a x(a>0, 且 a \neq 1)$ 互为反函数，它们的图象是否有关系？有什么关系呢？下面，请你运用所学的数学知识和计算工具，探索几个问题，亲自发现其中的奥秘吧！

1.  在同一直角坐标系中，画出指数函数 $y=2^x$ 及其反函数 $y=\log_2 x$ 的图象。你能发现这两个函数的图象有什么对称关系吗？
2.  取 $y=2^x$ 图象上的几个点，如 $P_1(-1, \frac{1}{2}), P_2(0, 1), P_3(1, 2)$. $P_1, P_2, P_3$ 关于直线 $y=x$ 的对称点的坐标是什么？它们在 $y=\log_2 x$ 的图象上吗？为什么？
3.  如果点 $P_0(x_0, y_0)$ 在函数 $y=2^x$ 的图象上，那么 $P_0$ 关于直线 $y=x$ 的对称点在函数 $y=\log_2 x$ 的图象上吗？为什么？
4.  根据上述探究过程，你可以得到什么结论？
5.  上述结论对于指数函数 $y=a^x(a>0, 且 a \neq 1)$ 及其反函数 $y=\log_a x(a>0, 且 a \neq 1)$ 也成立吗？为什么？
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## 4.4.3 不同函数增长的差异

在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异，事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律，下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。

> **探究**
>
> 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间$[0,+\infty)$上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？

不妨以函数$y=2^x$和$y=2x$为例。

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3），并在同一直角坐标系中画出它们的图像（图4.4-5）。可以看到，函数$y=2^x$和$y=2x$的图像有两个交点$(1,2)$, $(2,4)$。在区间$[0,1)$上，函数$y=2^x$的图像位于$y=2x$的图像之上，$2^x>2x$；在区间$(1,2)$上，函数$y=2^x$的图像位于$y=2x$的图像之下，$2^x<2x$；在区间$(2,3)$上，函数$y=2^x$的图像位于$y=2x$的图像之上，$2^x>2x$。这表明，虽然这两个函数在$[0,+\infty)$上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数$y=2x$的增长速度保持不变，而函数$y=2^x$的增长速度在变化。

表 4.4-3

| $x$   | $y=2^x$ | $y=2x$ |
| ----- | ------- | ------ |
| 0     | 1       | 0      |
| 0.5   | 1.414   | 1      |
| 1     | 2       | 2      |
| 1.5   | 2.828   | 3      |
| 2     | 4       | 4      |
| 2.5   | 5.657   | 5      |
| 3     | 8       | 6      |
| ...   | ...     | ...    |

[图片描述:在一个直角坐标系中，横轴为 $x$，纵轴为 $y$。坐标系中绘制了两条函数曲线：一条是指数函数 $y=2^x$（紫色曲线），它从 $(0,1)$ 点开始，以越来越快的速度向上增长；另一条是线性函数 $y=2x$（蓝色直线），它从原点 $(0,0)$ 开始，以恒定的斜率向上增长。两条曲线在 $(1,2)$ 和 $(2,4)$ 两点相交。在 $x$ 较小的区域，直线 $y=2x$ 增长较快或与指数曲线接近，但在 $x$ 值增大后，指数函数 $y=2^x$ 的值迅速超越直线 $y=2x$。|标题:图4.4-5|图1]

下面在更大的范围内，观察$y=2^x$和$y=2x$的增长情况。

从表4.4-4和图4.4-6可以看到，当自变量$x$越来越大时，$y=2^x$的图像就像与$x$轴垂直一样，$2^x$的值快速增长；而函数$y=2x$的增长速度依然保持不变，与函数$y=2^x$的增长速度相比几乎微不足道。
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表 4.4-4

| $x$ | $y=2^x$   | $y=2x$ |
| --- | --------- | ------ |
| 0   | 1         | 0      |
| 2   | 4         | 4      |
| 4   | 16        | 8      |
| 6   | 64        | 12     |
| 8   | 256       | 16     |
| 10  | 1 024     | 20     |
| 12  | 4 096     | 24     |
| ... | ...       | ...    |

[图片描述:该图展示了函数 $y=2^x$ (品红色曲线) 和 $y=2x$ (蓝色直线) 在直角坐标系中的图像。$y=2^x$ 的曲线开始时增长缓慢，但随后呈指数级快速增长；$y=2x$ 的直线则保持匀速增长。在 $x$ 轴的某个点之后，$y=2^x$ 的增长速度明显超过 $y=2x$。|标题:图 4.4-6|图1]

综上所述，虽然函数 $y=2^x$ 与 $y=2x$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着 $x$ 的增大，$y=2^x$ 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 $y=2x$ 的增长速度。尽管在 $x$ 的一定变化范围内，$2^x$ 会小于 $2x$，但由于 $y=2^x$ 的增长最终会快于 $y=2x$ 的增长，因此，总会存在一个 $x_0$，当 $x>x_0$ 时，恒有 $2^x>2x$。

> 指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长。

一般地，指数函数 $y=a^x (a>1)$ 与一次函数 $y=kx (k>0)$ 的增长差异都与上述情况类似，即使 $k$ 的值远远大于 $a$ 的值，$y=a^x (a>1)$ 的增长速度最终都会大大超过 $y=kx (k>0)$ 的增长速度。

---

**探究**

选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间 $(0,+\infty)$ 上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？

---

不妨以函数 $y=\lg x$ 和 $y=\frac{1}{10}x$ 为例。

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表(表4.4-5)，并在同一直角坐标系中画出它们的图象(图4.4-7)。可以看到，虽然它们在 $(0,+\infty)$ 上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异。函数 $y=\frac{1}{10}x$ 的增长速度保持不变，而 $y=\lg x$ 的增长速度在变化。随着 $x$ 的增大，函数 $y=\frac{1}{10}x$ 的图象离 $x$ 轴越来越远，而函数 $y=\lg x$ 的图象越来越平缓，就像与 $x$ 轴平行一样，例如 $\lg 10=1, \lg 100=2, \lg 1000=3$，
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$\lg 10 000=4$; 而 $\frac{1}{10} \times 10=1$, $\frac{1}{10} \times 100=10$, $\frac{1}{10} \times 1000=100$, $\frac{1}{10} \times 10 000=1000$. 这说明, 当 $x>10$, 即 $y=\lg x>1$ 时, $y=\lg x$ 与 $y=\frac{1}{10}x$ 相比增长得就很慢了.

**表 4.4-5**

| $x$   | $y=\lg x$ | $y=\frac{1}{10}x$ |
| ----- | --------- | --------------- |
| 0     | 不存在    | 0               |
| 10    | 1         | 1               |
| 20    | 1.301     | 2               |
| 30    | 1.477     | 3               |
| 40    | 1.602     | 4               |
| 50    | 1.699     | 5               |
| 60    | 1.778     | 6               |
| ...   | ...       | ...             |

[图片描述:一个坐标系中的函数图像，横轴表示x，纵轴表示y。图像中包含两条曲线：一条是表示 $y = \lg x$ 的对数曲线，增长缓慢，呈粉色；另一条是表示 $y = \frac{1}{10}x$ 的直线，增长较快，呈蓝色。两条曲线在 $x=10$ 附近相交，并显示了从0到60的x轴刻度，以及从0到6的y轴刻度。原点标记为O。|标题:图 4.4-7|图片1]

> **思考**
>
> 如果将 $\lg x$ 放大1 000倍,再对函数 $y=1000\lg x$ 和 $y=\frac{1}{10}x$ 的增长情况进行比较,那么仍有上述规律吗?

一般地,虽然对数函数 $y=\log_a x (a>1)$ 与一次函数 $y=kx (k>0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上都单调递增,但它们的增长速度不同,随着 $x$ 的增大,一次函数 $y=kx (k>0)$ 保持固定的增长速度,而对数函数 $y=\log_a x (a>1)$ 的增长速度越来越慢,即使 $k$ 的值很小,在一定范围内,$\log_a x$ 可能会大于 $kx$,但由于 $\log_a x$ 的增长最终会慢于 $kx$ 的增长,因此总会存在一个 $x_0$,当 $x>x_0$ 时,恒有 $\log_a x < kx$.

> 对数函数比较适合于
> 描述增长速度平缓的变化
> 规律.

> **探究**
>
> 类比上述过程,
>
> (1)画出一次函数 $y=2x$, 对数函数 $y=\lg x$ 和指数函数 $y=2^x$ 的图象,并比较它们的增长差异;
> (2)试着概括一次函数 $y=kx (k>0)$, 对数函数 $y=\log_a x (a>1)$ 和指数函数 $y=b^x (b>1)$ 的增长差异;
> (3)讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
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## 练习

1.  三个变量 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 随变量 $x$ 变化的数据如下表:

| $x$   | 0   | 5     | 10    | 15      | 20      | 25        | 30          |
| :---- | :-- | :---- | :---- | :-------- | :-------- | :---------- | :------------ |
| $y_1$ | 5   | 130   | 505   | 1130    | 2005    | 3130      | 4505        |
| $y_2$ | 5   | 90    | 1620  | 29160   | 524880  | 9447840   | 170061120   |
| $y_3$ | 5   | 30    | 55    | 80      | 105     | 130       | 155         |

其中关于 $x$ 呈指数增长的变量是 ______ 。

2.  (1)(2)(3)分别是函数 $y=3^x$ 和 $y=5x$ 在不同范围的图像，借助计算工具估算出使 $3^x > 5x$ 的 $x$ 的取值范围（精确到 $0.01$）。

[图片描述: 坐标系图，横轴为x，纵轴为y，刻度从0到7。图中有两条曲线，一条是指数函数 $y=3^x$（粉色曲线），从原点(0,1)附近开始上升，向上凸；另一条是线性函数 $y=5x$（蓝色直线），从原点(0,0)开始上升。两条曲线在x轴正半轴交叉。|标题: 第2题图 (1)|图片编号: 图1]

[图片描述: 坐标系图，横轴为x，纵轴为y，刻度从0到2。图中有两条曲线，一条是指数函数 $y=3^x$（粉色曲线），从(0,1)附近开始上升，向上凸；另一条是水平直线 $y=5$（蓝色直线），表示函数 $y=5$。两条曲线在x轴正半轴交叉。|标题: 第2题图 (2)|图片编号: 图2]

[图片描述: 坐标系图，横轴为x，纵轴为y，刻度从0到7。图中有两条曲线，一条是指数函数 $y=3^x$（粉色曲线），从(0,1)附近开始上升，向上凸；另一条是水平直线 $y=5$（蓝色直线），表示函数 $y=5$。两条曲线在x轴正半轴交叉。|标题: 第2题图 (3)|图片编号: 图3]

（第2题）

3.  如图，对数函数 $y=\lg x$ 的图像与一次函数 $y=f(x)$ 的图像有 $A, B$ 两个公共点，求一次函数 $y=f(x)$ 的解析式。

[图片描述: 坐标系图，横轴为x，纵轴为y。图中有对数函数 $y=\lg x$（粉色曲线）和一次函数 $y=f(x)$（蓝色直线）。两条曲线在A和B两点相交。点B的x坐标为2。|标题: 第3题图|图片编号: 图4]

（第3题）

4.  函数 $y=f(x)$ 的图像如图所示，则 $y=f(x)$ 可能是（ ）。

[图片描述: 坐标系图，横轴为x，纵轴为y。图中有函数 $y=f(x)$ 的图像（蓝色曲线），该曲线在x轴正半轴上，并逐渐趋近于 $y=1$ 的水平线。曲线经过点 $(1,0)$。|标题: 第4题图|图片编号: 图5]

（第4题）

(A) $y=1-x^{-1}$, $x \in (0, +\infty)$
(B) $y=\frac{3}{2} - (\frac{1}{2})^x$, $x \in (0, +\infty)$
(C) $y=\ln x$
(D) $y=x-1$, $x \in (0, +\infty)$
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## 习题 4.4

### 复习巩固

1.  求下列函数的定义域:
    (1) $y=\sqrt[3]{\log_2 x}$;
    (2) $y=\sqrt{\log_{0.5}(4x-3)}$.

2.  比较满足下列条件的两个正数 $m, n$ 的大小:
    (1) $\log_3 m < \log_3 n$;
    (2) $\log_{0.3} m < \log_{0.3} n$;
    (3) $\log_a m < \log_a n (0<a<1)$;
    (4) $\log_a m > \log_a n (a>1)$.

3.  假设在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度 $v$ (单位: m/s)和燃料的质量 $M$ (单位: kg)、火箭(除燃料外)的质量 $m$ (单位: kg)的函数关系是 $v=2000\ln(1+\frac{M}{m})$.当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达到12 km/s?

4.  函数 $y=\log_2 x, y=\log_5 x, y=\lg x$ 的图象如图所示,
    [图片描述:一个直角坐标系中绘制了三条对数函数曲线，均过点(1,0)且在第一象限。曲线(1)在x>1时值最低，曲线(2)居中，曲线(3)在x>1时值最高。在x<1的区域，曲线(1)值最高，曲线(2)居中，曲线(3)值最低。这些曲线是递增的。|标题:第4题附图|图片编号:1]
    (1) 试说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么;
    (2) 以已有图象为基础,在同一直角坐标系中画出 $y=\log_{\frac{1}{2}} x, y=\log_{\frac{1}{5}} x, y=\log_{\frac{1}{10}} x$ 的图象;
    (3) 从(2)的图中你发现了什么?

5.  大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ (单位: m/s)可以表示为 $v=\frac{1}{2}\log_3 \frac{O}{100}$,其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数.
    (1) 当一条鱼的耗氧量是2700个单位时,它的游速是多少?
    (2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.

6.  在2 h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量 $Q$ 随时间 $t$ 变化的图象是( ).
    [图片描述:四张表示药物含量Q随时间t变化的图象。(A)显示Q在0到1之间线性增加，达到峰值后指数衰减。(B)显示Q在0到2之间线性增加，在t=2达到峰值后指数衰减。(C)显示Q在0到2之间线性增加，在t=2达到峰值后非指数（曲线）衰减。(D)显示Q在0到2之间非线性增加，达到峰值后指数衰减，且Q值出现负数。|标题:药物含量Q随时间t变化的图象|图片编号:2]

### 综合运用

7.  判断下列各对函数是否互为反函数,若是,则求出它们的定义域和值域:
    (1) $y=\ln x, y=e^x$;
    (2) $y=-\log_a x, y=(\frac{1}{a})^x$.
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8. 设$y=f(x)$表示摄氏温度为$x$时,华氏温度为$y$,
   (1) 如果函数$y=f(x)$的反函数是$y=g(x)$,那么$y=g(x)$表示什么?
   (2) 如果$f(30)=86$,那么求$g(86)$,并说明其实际意义.
9. 某地由于人们健康水平的不断提高,某种疾病的患病率正以每年$15\%$的比例降低,要将当前的患病率降低一半,需要多少年?
10. 声强级$L_1$(单位:dB)由公式
    $$L_1=10\lg\left(\frac{I}{10^{-12}}\right)$$
    给出,其中$I$为声强(单位:$W/m^2$).
    (1) 一般正常人听觉能忍受的最高声强为$1 W/m^2$,能听到的最低声强为$10^{-12} W/m^2$.求人听觉的声强级范围.
    (2) 平时常人交谈时的声强约为$10^{-6} W/m^2$,求其声强级.
11. 假设有一套住房的房价从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式,其中$P_1$是按直线上升的房价,$P_2$是按指数增长的房价,$t$是2002年以来经过的年数.

| $t$       | 0  | 5  | 10 | 15 | 20 |
| :-------- | :-- | :-- | :-- | :-- | :-- |
| $P_1$/万元 | 20 |    | 40 |    |    |
| $P_2$/万元 | 20 |    | 40 |    |    |

    (1) 求函数$P_1=f(t)$的解析式;
    (2) 求函数$P_2=g(t)$的解析式;
    (3) 完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.

## 💡 拓广探索

12. 已知 $\log_x \frac{1}{2}<1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^a<1$, $a^{\frac{1}{2}}<1$, 求实数$a$的取值范围.
13. 比较下列各题中三个值的大小:
    (1) $\log_{0.2}6$, $\log_{0.3}6$, $\log_{0.4}6$;
    (2) $\log_23$, $\log_34$, $\log_4 5$.
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## **4.5** 函数的应用 (二)

在“函数的应用(一)”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法。本节将先学习运用函数性质求方程近似解的基本方法(二分法)，再结合实例，更深入地理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法。

### 4.5.1 函数的零点与方程的解

> **❓ 思考**
>
> 我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点。像 $\ln x + 2x - 6 = 0$ 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？

与二次函数的零点一样，对于一般函数 $y=f(x)$，我们把使 $f(x)=0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 的**零点** (zero)。

这样，函数 $y=f(x)$ 的零点就是方程 $f(x)=0$ 的实数解，也就是函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴的公共点的横坐标。所以
*   方程 $f(x)=0$ 有实数解
*   $\Leftrightarrow$ 函数 $y=f(x)$ 有零点
*   $\Leftrightarrow$ 函数 $y=f(x)$ 的图象与 $x$ 轴有公共点.

由此可知，求方程 $f(x)=0$ 的实数解，就是确定函数 $y=f(x)$ 的零点。一般地，对于不能用公式求解的方程 $f(x)=0$，我们可以把它与相应的函数 $y=f(x)$ 联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。

下面从考察二次函数存在零点时函数图象的特征，以及零点附近函数值的变化规律入手。
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## 探究

对于二次函数$f(x)=x^2-2x-3$，观察它的图象(图4.5-1)，发现它在区间$[2,4]$上有零点，这时，函数图象与$x$轴有什么关系？在区间$[-2,0]$上是否也有这种关系？你认为应如何利用函数$f(x)$的取值规律来刻画这种关系？

再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与$x$轴的关系，并探究用$f(x)$的取值刻画这种关系的方法。

[图片描述:一个坐标系中绘制的二次函数 $f(x)=x^2-2x-3$ 的抛物线图象。抛物线与 $x$ 轴交于 $x=-1$ 和 $x=3$ 两点，顶点在 $(1, -4)$ 附近。$x$ 轴标注了从 -2 到 4 的刻度，$y$ 轴标注了从 -4 到 2 的刻度。|标题:图4.5-1|图片1]

可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”$x$轴。函数在端点$x=2$和$x=4$的取值异号，即$f(2)f(4)<0$，函数$f(x)=x^2-2x-3$在区间$(2,4)$内有零点$x=3$，它是方程$x^2-2x-3=0$的一个根。同样地，$f(-2)f(0)<0$，函数$f(x)=x^2-2x-3$在$(-2,0)$内有零点$x=-1$，它是方程$x^2-2x-3=0$的另一个根。

一般地，我们有:

**函数零点存在定理** 如果函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上的图象是一条连续不断的曲线，且有$f(a)f(b)<0$，那么，函数$y=f(x)$在区间$(a,b)$内至少有一个零点，即存在$c \in (a,b)$，使得$f(c)=0$，这个$c$也就是方程$f(x)=0$的解。

**例1** 求方程$\ln x+2x-6=0$的实数解的个数。

**分析**: 可以先借助计算工具画出函数$y=\ln x+2x-6$的图象或列出$x,y$的对应值表，为观察、判断零点所在区间提供帮助。

**解**: 设函数$f(x)=\ln x+2x-6$，利用计算工具，列出函数$y=f(x)$的对应值表(表4.5-1)，并画出图象(图4.5-2)。

表4.5-1

| $x$ | $y$      |
| --- | -------- |
| 1   | -4       |
| 2   | -1.306 9 |
| 3   | 1.098 6  |
| 4   | 3.386 3  |
| 5   | 5.609 4  |
| 6   | 7.791 8  |
| 7   | 9.945 9  |
| 8   | 12.079 4 |
| 9   | 14.197 2 |

[图片描述:一个坐标系中绘制的函数 $y=\ln x+2x-6$ 的曲线图象。曲线从左下方向右上延伸，与 $x$ 轴交于 $x$ 在 2 和 3 之间的一点。$x$ 轴标注了从 0 到 10 的刻度，$y$ 轴标注了从 -6 到 14 的刻度。|标题:图4.5-2|图片2]
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由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，$f(2)<0$, $f(3)\ge0$，则 $f(2)f(3)<0$。由函数零点存在定理可知，函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 在区间 $(2,3)$ 内至少有一个零点。

容易证明，函数 $f(x)=\ln x+2x-6$, $x\in(0,+\infty)$ 是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程 $\ln x+2x-6=0$ 只有一个实数解。

> 为什么由图 4.5-2 和 $f(2)f(3)<0$ 还不能说明函数 $f(x)$ 只有一个零点？你能证明函数 $y=f(x)$ 是增函数吗？

## 练习

1.  图 (1)(2)(3) 分别为函数 $y=f(x)$ 在三个不同范围的图象，能否仅根据其中一个图象，得出函数 $y=f(x)$ 在某个区间只有一个零点的判断？为什么？

[图片描述: 坐标系显示了函数 $y=f(x)$ 在 $x \in [-200, 200]$ 和 $y \in [-200, 200]$ 范围内的图象。图象在原点 $(0,0)$ 处与x轴相交，显示一个零点。在较大的尺度下，曲线看起来平滑地穿过原点，呈现近似线性增长的趋势，难以辨别是否存在其他零点。|标题: 函数 $y=f(x)$ 在大范围内的图象 (1)|图片1]

[图片描述: 坐标系显示了函数 $y=f(x)$ 在 $x \in [-20, 20]$ 和 $y \in [-20, 20]$ 范围内的图象。图象在原点 $(0,0)$ 附近与x轴相交，并显示在x轴正负两侧各有一个额外的交点。在较小的尺度下，曲线的局部特征变得明显，显示出三个零点：一个在原点，一个在负x轴方向，一个在正x轴方向。|标题: 函数 $y=f(x)$ 在中等范围内的图象 (2)|图片2]

[图片描述: 坐标系显示了函数 $y=f(x)$ 在 $x \in [-2, 2]$ 和 $y \in [-2, 2]$ 范围内的图象。图象清晰地显示了三个与x轴的交点，即三个零点：一个在原点 $(0,0)$，一个在 $x \approx -1.5$ 附近，一个在 $x \approx 1.5$ 附近。这是对零点分布的更精细的视图。|标题: 函数 $y=f(x)$ 在小范围内的图象 (3)|图片3]

2.  利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：
    (1) $f(x)=-x^3-3x+5$;
    (2) $f(x)=2x\ln(x-2)-3$;
    (3) $f(x)=e^{x-1}+4x-4$;
    (4) $f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x$.

## 4.5.2 用二分法求方程的近似解

我们已经知道，函数 $f(x)=\ln x+2x-6$ 在区间 $(2,3)$ 内存在一个零点。进一步的问题是，如何求出这个零点呢？

一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值。为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围。

取区间 $(2,3)$ 的中点 $2.5$，用计算工具算得 $f(2.5)\approx-0.084$。因为 $f(2.5)f(3)<0$，所以零点在区间 $(2.5,3)$ 内。

> 大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求出精确解，在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解。

> 一般地，称 $x=\frac{a+b}{2}$ 为区间 $(a,b)$ 的中点。
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再取区间$(2.5, 3)$的中点$2.75$，用计算工具算得$f(2.75) \approx 0.512$。因为$f(2.5)f(2.75) < 0$，所以零点在区间$(2.5, 2.75)$内。

由于$(2, 3) \supset (2.5, 3) \supset (2.5, 2.75)$，所以零点所在的范围变小了。如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如表 **4.5-2** 和图 **4.5-3**）。这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值。为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值。

表 **4.5-2**

| 零点所在区间                | 中点的值      | 中点函数近似值 |
| :-------------------------- | :------------ | :------------- |
| $(2, 3)$                    | $2.5$         | $-0.084$       |
| $(2.5, 3)$                  | $2.75$        | $0.512$        |
| $(2.5, 2.75)$               | $2.625$       | $0.215$        |
| $(2.5, 2.625)$              | $2.562\ 5$    | $0.066$        |
| $(2.5, 2.562\ 5)$           | $2.531\ 25$   | $-0.009$       |
| $(2.531\ 25, 2.562\ 5)$     | $2.546\ 875$  | $0.029$        |
| $(2.531\ 25, 2.546\ 875)$   | $2.539\ 062\ 5$| $0.010$        |
| $(2.531\ 25, 2.539\ 062\ 5)$| $2.535\ 156\ 25$| $0.001$        |

[图片描述:一个坐标系图，x轴范围从2到3，y轴范围从-0.5到0.5。图上有一条蓝色的曲线，表示某个函数y=f(x)的图像，它在x轴上大约2.53附近与x轴相交，即函数的零点。图中标出了在二分法迭代过程中产生的一些x值，如2.5、2.625、2.75及其对应的函数值，并用虚线表示了这些点的位置。曲线呈单调递增趋势，直观展示了通过二分法不断缩小零点所在区间的过程。|标题:图4.5-3|图片编号:图1]

例如，当精确度为 $0.01$ 时，因为 $|2.5390625 - 2.53125| = 0.0078125 < 0.01$，所以区间$(2.53125, 2.5390625)$内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将 $x = 2.53125$ 作为函数 $f(x) = \ln x + 2x - 6$ 零点的近似值，也即方程 $\ln x + 2x - 6 = 0$ 的近似解。

对于在区间 $[a, b]$ 上图象连续不断且 $f(a)f(b) < 0$ 的函数 $y=f(x)$，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做**二分法** (bisection method)。

给定精确度 $\varepsilon$，用二分法求函数 $y=f(x)$ 零点 $x_0$ 的近似值的一般步骤如下:

1.  确定零点 $x_0$ 的初始区间 $[a, b]$，验证 $f(a)f(b)<0$。
2.  求区间$(a, b)$的中点 $c$。
3.  计算 $f(c)$，并进一步确定零点所在的区间:
    (1) 若 $f(c)=0$ (此时 $x_0=c$)，则 $c$ 就是函数的零点;
    (2) 若 $f(a)f(c)<0$ (此时 $x_0 \in (a, c)$)，则令 $b=c$;
    (3) 若 $f(c)f(b)<0$ (此时 $x_0 \in (c, b)$)，则令 $a=c$。
4.  判断是否达到精确度 $\varepsilon$: 若 $|a-b|<\varepsilon$，则得到零点近似值 $a$ (或 $b$); 否则重复步骤 $2 \sim 4$。

> 为了刻画与准确值的
> 接近程度，这里给出了精
> 确度 $\varepsilon$，由 $|a-b|<\varepsilon$ 可
> 知，区间 $[a, b]$ 中任意一
> 个值都是零点 $x_0$ 满足精
> 确度 $\varepsilon$ 的近似值(想一想，
> 为什么)。

由函数零点与相应方程解的关系，我们可用二分法来求方程的近似解。
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**例2** 借助信息技术,用二分法求方程$2^x+3x=7$的近似解(精确度为0.1).

**解:** 原方程即$2^x+3x-7=0$, 令$f(x)=2^x+3x-7$, 用信息技术画出函数$y=f(x)$的图象(图4.5-4), 并列出它的对应值表(表4.5-3).

**表4.5-3**
| $x$ | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    | 6    | 7    | 8    |
| --- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $-6$ | $-2$ | 3    | 10   | 21   | 40   | 75   | 142  | 273  |

[图片描述:一个坐标系中绘制的指数函数曲线，y轴从-8到16，x轴从-5到10，曲线呈现快速增长趋势，穿过x轴在1到2之间。该图象直观表示函数$y=2^x+3x-7$的走势。|标题:函数$y=f(x)$的图象|图片编号:4.5-4]

观察图4.5-4或表4.5-3,可知$f(1)f(2)<0$, 说明该函数在区间$(1,2)$内存在零点$x_0$.

取区间$(1,2)$的中点$x_1=1.5$,用信息技术算得$f(1.5) \approx 0.33$. 因为$f(1)f(1.5)<0$, 所以$x_0 \in (1,1.5)$.

再取区间$(1,1.5)$的中点$x_2=1.25$,用信息技术算得$f(1.25) \approx -0.87$. 因为$f(1.25)f(1.5)<0$, 所以$x_0 \in (1.25,1.5)$.

同理可得,$x_0 \in (1.375,1.5)$, $x_0 \in (1.375,1.437~5)$.

由于
$|1.375-1.437~5|=0.062~5<0.1$,
所以,原方程的近似解可取为$1.375$.

由例2可见,用二分法求方程的近似解,计算量较大,而且是重复相同的步骤.因此,可以通过设计一定的计算程序,借助信息技术完成计算.图4.5-5就是表示二分法求方程近似解过程的程序框图,有兴趣的同学,可以在此基础上用有关算法语言编写程序,利用信息技术求方程的近似解.

[图片描述:一个流程图展示了用二分法求方程近似解的过程。流程从“开始”到“结束”，包括“定义f(x)”、“输入 ε, a, b”、“c = (a+b)/2”等步骤。核心逻辑是判断f(c)与0的关系来缩小区间[a,b]，并通过判断“|a-b| < ε?”来决定是否输出近似解或继续迭代。当f(c)=0时，直接输出解。|标题:二分法求方程近似解的程序框图|图片编号:4.5-5]
```mermaid
graph TD
    A[开始] --> B[定义 f(x)];
    B --> C[输入 ε, a, b];
    C --> D[c = (a+b)/2];
    D --> E{f(c) < 0?};
    E -- 是 --> F[b = c];
    E -- 否 --> G{f(c) ≠ 0?};
    G -- 是 --> H[a = c];
    F --> I{abs(a-b) < ε?};
    H --> I;
    G -- 否 --> K[输出解 x]; % This path for f(c)=0 is implied from diagram and bisection logic
    I -- 是 --> K;
    K --> J[结束];
    I -- 否 --> D;
```

---

### **练习**

1.  借助信息技术,用二分法求函数$f(x)=x^3+1.1x^2+0.9x-1.4$在区间$(0,1)$内零点的近似值(精确度为0.1).
2.  借助信息技术,用二分法求方程$x=3-\lg x$在区间$(2,3)$内的近似解(精确度为0.1).
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### 阅读与思考

## 中外历史上的方程求解

在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月。

我国古代数学家已比较系统地解决了某些类型方程求解的问题。约公元50~100年编成的《九章算术》，已经记载有开平方、开立方的开方方法，这些开方问题与求解两项方程，如求解 $x^2=a$， $x^3=b$ 正根的方法是一致的；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；11世纪，北宋数学家贾宪在《黄帝九章算法细草》中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程，同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；13世纪，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根。

国外数学家对方程求解也有很多研究。9世纪，阿拉伯数学家花拉子米 (Al-Khowarizmi, 约780—850) 给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔塔利亚 (N. Tartaglia, 约1499—1557) 给出了三次方程的一般解法；1545年，意大利数学家卡尔达诺 (G. Cardano, 1501–1576) 的名著《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里 (L. Ferrari, 1522—1565) 的四次方程的一般解法。

数学史上，人们曾希望得到一般的五次及以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果。1778年，法国数学大师拉格朗日 (J.-L. Lagrange, 1736—1813) 提出了五次方程不存在根式解的猜想。1824年，挪威年轻数学家阿贝尔 (N. H. Abel, 1802—1829) 成功地证明了五次及以上一般方程没有根式解。1828年，法国天才数学家伽罗瓦 (E. Galois, 1811—1832) 巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还给出了一个代数方程能用根式求解的充要条件，他完全解决了高次方程的求解问题，并创立了对代数学发展影响深远的“伽罗瓦理论”。

虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次及以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如本章介绍的二分法，就是一种常见的利用计算技术的数值解法，除了二分法，牛顿法、拟牛顿法、弦截法等也都是典型的数值解法。关于这些方法，感兴趣的同学还可以查阅相关资料作进一步的了解。
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# 4.5.3 函数模型的应用

我们知道, 函数是描述客观世界变化规律的数学模型, 不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画。面临一个实际问题, 该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢?

**例3** 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题, 认识人口数量的变化规律, 可以为制定一系列相关政策提供依据。早在1798年, 英国经济学家马尔萨斯 (T. R. Malthus, 1766—1834) 就提出了自然状态下的人口增长模型
$$y=y_0e^{rt},$$
其中 $t$ 表示经过的时间, $y_0$ 表示 $t=0$ 时的人口数, $r$ 表示人口的增长率, $r$ 是常数。

> **?**
> 尽管对马尔萨斯人口理论存在一些争议, 但它对人口学和经济学的发展都产生了一定的影响。上网了解, 还有哪些人口模型, 它们与我们所学的函数有怎样的关系?

(1) 根据国家统计局网站公布的数据, 我国 1950 年末、1959年末的人口总数分别为 55 196 万和 67 207 万。根据这些数据, 用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959年期间的具体人口增长模型。
(2) 利用 (1) 中的模型计算 1951~1958年各年末的人口总数。查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数, 检验所得模型与实际人口数据是否相符。
(3) 以 (1) 中的模型作预测, 大约在什么时候我国人口总数达到13亿?

**分析:** 用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型, 就是要确定其中的初始量 $y_0$ 和增长率 $r$。

**解:** (1) 由题意可设1950年为 $t=0$, 则 $y_0=55\ 196$。根据马尔萨斯人口增长模型, 有
$$67\ 207=55\ 196e^{9r},$$
由计算工具得
$$r \approx 0.021\ 876.$$
因此, 用马尔萨斯人口增长模型建立的我国在1950~1959年期间的人口增长模型为
$$y=55\ 196e^{0.021\ 876t}, t \in [0, 9].$$
(2) 分别取 $t=1, 2, \cdots, 8$, 由 $y=55\ 196e^{0.021\ 876t}$ 可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数; 查阅国家统计局网站, 得到我国1951~1958年各年末的实际人口总数, 如表4.5-4所示。

**表4.5-4**

| 年份               | 1951   | 1952   | 1953   | 1954   | 1955   | 1956   | 1957   | 1958   |
| :----------------- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- |
| 计算所得人口总数/万 | 56 417 | 57 665 | 58 940 | 60 243 | 61 576 | 62 938 | 64 330 | 65 753 |
| 实际人口总数/万    | 56 300 | 57 482 | 58 796 | 60 266 | 61 465 | 62 828 | 64 563 | 65 994 |
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根据 1950~1959 年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数 $y = 55196e^{0.021876t}$ ($t \in [0, 9]$) 的图像。

[图片描述: 坐标系中，x轴表示时间t，从0到9；y轴表示人口数量，从50000到75000。图中有10个散点，分布在一条向上倾斜的曲线上。这条曲线代表函数 $y = 55196e^{0.021876t}$ 的图像，与散点图吻合良好，显示了1950-1959年间我国人口的增长趋势。|标题: 图4.5-6|图片编号: 图1]

由表 4.5-4 和图 4.5-6 可以看出，所得模型与 1950~1959 年的实际人口数据基本吻合。
(3) 将 $y=130000$ 代入
$y = 55196e^{0.021876t}$,
由计算工具得
$t \approx 39.16$.
所以，如果人口按照 (1) 中的模型增长，那么大约在 1950 年后的第 40 年 (即 1990 年)，我国的人口就已达到 13 亿。

> **? 思考**
> 事实上，我国 1990 年的人口数为 11.43 亿，直到 2005 年才突破 13 亿。对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？

因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从 20 世纪 70 年代逐步实施了计划生育政策。因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况。

> 在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件。

下面来解决章引言中的问题。

**例 4** 2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料 (草裹泥) 上提取的草茎遗存进行碳 14 年代学检测，检测出碳 14 的残留量约为初始量的 55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

**分析:** 因为死亡生物机体内碳 14 的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数 $y=ka^x$ ($k \in \mathbf{R}$, 且 $k \neq 0$; $a \ge 0$, 且 $a \neq 1$) 建立数学模型。

**解:** 设样本中碳 14 的初始量为 $k$，衰减率为 $p$ ($0<p<1$)，经过 $x$ 年后，残余量为 $y$。根据问题的实际意义，可选择如下模型:
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$y=k(1-p)^x \quad (k \in \mathbf{R}, \text{且} k \ne 0; 0 < p < 1; x \ge 0).$
由碳 14 的半衰期为 5730 年，得
$k(1-p)^{5730} = \frac{1}{2}k.$
于是
$1-p = \sqrt[5730]{\frac{1}{2}},$
所以
$y = k \left( \sqrt[5730]{\frac{1}{2}} \right)^x.$
由样本中碳 14 的残余量约为初始量的 55.2% 可知，
$k \left( \sqrt[5730]{\frac{1}{2}} \right)^x = 55.2\% k,$
即
$\left( \sqrt[5730]{\frac{1}{2}} \right)^x = 0.552.$
解得
$x = \log_{\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}} 0.552.$
由计算工具得
$x \approx 4912.$
因为 2010 年之前的 4912 年是公元前 2903 年，所以推断此水坝大概是公元前 2903 年建成的。

### 练习

1.  已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时人口的年增长率为 0.3%；1970 年世界人口为 36 亿，当时人口的年增长率为 2.1%。
    (1) 用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是 1650 年的 2 倍？什么时候世界人口是 1970 年的 2 倍？
    (2) 实际上，1850 年以前世界人口就超过了 10 亿；而 2004 年世界人口还没有达到 72 亿。你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
2.  在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为 21 个月，那么 1 万只野兔增长到 1 亿只野兔大约需要多少年？
3.  1959 年，考古学家在河南洛阳偃师二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳 14 的残余量约为初始量的 62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？

在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决。

**例 5** 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
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1. 方案一: 每天回报40元;
2. 方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前一天多回报10元;
3. 方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天的回报比前一天翻一番.

请问, 你会选择哪种投资方案?

**分析**: 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型, 再通过比较它们的增长情况, 为选择投资方案提供依据.

**解**: 设第 $x$ 天所得回报是 $y$ 元, 则方案一可以用函数 $y=40(x \in \mathbf{N}^*)$ 进行描述; 方案二可以用函数 $y=10x(x \in \mathbf{N}^*)$ 进行描述; 方案三可以用函数 $y=0.4 \times 2^{x-1} (x \in \mathbf{N}^*)$ 进行描述, 三个模型中, 第一个是常数函数, 后两个都是增函数. 要对三个方案作出选择, 就要对它们的增长情况进行分析.

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表4.5-5).

表4.5-5

| X | 方案一 y | 方案一 增加量/元 | 方案二 y | 方案二 增加量/元 | 方案三 y | 方案三 增加量/元 |
|---|----------|------------------|----------|------------------|----------|------------------|
| 1 | 40       |                  | 10       |                  | 0.4      |                  |
| 2 | 40       | 0                | 20       | 10               | 0.8      | 0.4              |
| 3 | 40       | 0                | 30       | 10               | 1.6      | 0.8              |
| 4 | 40       | 0                | 40       | 10               | 3.2      | 1.6              |
| 5 | 40       | 0                | 50       | 10               | 6.4      | 3.2              |
| 6 | 40       | 0                | 60       | 10               | 12.8     | 6.4              |
| 7 | 40       | 0                | 70       | 10               | 25.6     | 12.8             |
| 8 | 40       | 0                | 80       | 10               | 51.2     | 25.6             |
| 9 | 40       | 0                | 90       | 10               | 102.4    | 51.2             |
| 10 | 40       | 0                | 100      | 10               | 204.8    | 102.4            |
| ... | ...      | ...              | ...      | ...              | ...      | ...              |
| 30 | 40       | 0                | 300      | 10               | 214748364.8 | 107374182.4      |

再画出三个函数的图象(图4.5-7).

[图片描述:一个二维坐标系中绘制了三条虚线，表示三种函数的图像。横轴为x（天数），纵轴为y（回报金额）。其中，一条黑色的虚线（点为菱形）在y轴刻度4处附近被标记为“y=4”，代表常数函数（对应方案一的$y=40$的缩放或简化）；一条蓝色的虚线（点为方形）倾斜向上，被标记为“y=1 x”，代表线性函数（对应方案二的$y=10x$的缩放或简化）；一条粉色的虚线（点为三角形）呈指数级增长，被标记为“y=0 x-1”，代表指数函数（对应方案三的$y=0.4 \times 2^{x-1}$的缩放或简化）。这些图像直观地展示了不同类型函数随着x值增大时的增长趋势，特别是指数函数在后期增长速度远超其他两种函数。|标题:三个函数的图像|图片编号: 图4.5-7]

> 函数图象是分析问题的好帮手, 为了便于观察, 用虚线连接离散的点.
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由表4.5-5 和图4.5-7可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同。可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元。

> 根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5~8天选方案二，投资8天以上选方案三?

下面再看累计的回报数。通过信息技术列表如下（表4.5-6）。

**表4.5-6**

| 方案 | 1   | 2   | 3   | 4    | 5     | 6     | 7     | 8     | 9     | 10    | 11    |
|------|-----|-----|-----|------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|
| 一   | 40  | 80  | 120 | 160  | 200   | 240   | 280   | 320   | 360   | 400   | 440   |
| 二   | 10  | 30  | 60  | 100  | 150   | 210   | 280   | 360   | 450   | 550   | 660   |
| 三   | 0.4 | 1.2 | 2.8 | 6    | 12.4  | 25.2  | 50.8  | 102   | 204.4 | 409.2 | 818.8 |

因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，则应选择方案三。

上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异。

**例6** 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 $y$（单位：万元）随销售利润 $x$（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：$y=0.25x$，$y=\log_{7}x+1$，$y=1.002^x$，其中哪个模型能符合公司的要求？

**分析：** 本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系。由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润。于是，只需在区间$[10, 1000]$上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即 $y \le 0.25x$。

不妨先画出函数图像，通过观察函数图像，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果。
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**解:** 借助信息技术画出函数 $y=5$, $y=0.25x$, $y=\log_7x+1$, $y=1.002^x$ 的图象 (图 4.5-8)。观察图象发现，在区间 $[10, 1000]$ 上，模型 $y=0.25x$, $y=1.002^x$ 的图象都有一部分在直线 $y=5$ 的上方，只有模型 $y=\log_7x+1$ 的图象始终在 $y=5$ 的下方，这说明只有按模型 $y=\log_7x+1$ 进行奖励时才符合公司的要求。

[图片描述: 这是一个二维笛卡尔坐标系，包含X轴和Y轴。X轴从0开始向右延伸，Y轴从0向上延伸到8。图上绘制了三条曲线：
1.  一条黑色的水平直线，通过Y轴的5，标注为 $y=5$。
2.  一条绿色的曲线，起始于X轴上方并向上弯曲，标注为 $y=\log_7 x+1$。这条曲线在所示范围内始终低于 $y=5$。
3.  一条蓝色的曲线，起始于X轴上方并呈指数状快速增长，标注为 $y=x$。这条曲线在某个点之后超过了 $y=5$。|标题: 几何曲线图|图片编号: 图1]

图 4.5-8

下面通过计算确认上述判断。
先计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万元。

对于模型 $y=0.25x$，它在区间 $[10, 1000]$ 上单调递增，而且当 $x=20$ 时，$y=5$，因此，当 $x>20$ 时，$y>5$，所以该模型不符合要求；

对于模型 $y=1.002^x$，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间 $(805, 806)$ 内有一个点 $x_0$ 满足 $1.002^{x_0}=5$，由于它在区间 $[10, 1000]$ 上单调递增，因此当 $x>x_0$ 时，$y>5$，所以该模型也不符合要求；

对于模型 $y=\log_7x+1$，它在区间 $[10, 1000]$ 上单调递增，而且当 $x=1000$ 时，$y=\log_7 1000+1 \approx 4.55<5$，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求。

再计算按模型 $y=\log_7x+1$ 奖励时，奖金是否不超过利润的 25%，即当 $x \in [10, 1000]$ 时，是否有 $y \le 0.25x$，即 $\log_7x+1 \le 0.25x$ 成立。

令 $f(x)=\log_7x+1-0.25x$, $x \in [10, 1000]$，利用信息技术画出它的图象 (图 4.5-9)。

[图片描述: 这是一个二维笛卡尔坐标系，包含X轴和Y轴。X轴从0开始向右延伸到1200，并以200为间隔标记。Y轴从0向下延伸，标记有 $-5, -100, -15, -200, -25, -3$。图上绘制了一条蓝色的直线，从Y轴附近的较高位置开始，随着X的增大而向下倾斜。这条直线代表函数 $f(x)$。|标题: 函数 $f(x)$ 图像|图片编号: 图2]

图 4.5-9

由图象可知函数 $f(x)$ 在区间 $[10, 1000]$ 上单调递减，因此
$f(x) \le f(10) \approx -0.3167<0$,
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即
$\log_7 x + 1 < 0.25x$.
所以, 当 $x \in [10, 1000]$ 时, $y \le 0.25x$, 说明按模型 $y = \log_7 x + 1$ 奖励, 奖金不会超过利润的25%.
综上所述, 模型 $y = \log_7 x + 1$ 确实能符合公司要求.

## 归纳

用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:

```mermaid
graph TD
    A[实际问题] -- 化归 --> B[函数模型]
    B -- 运算推理 --> C[函数模型的解]
    C -- 解释说明 --> D[实际问题的解]
    A -.-> D
```

这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”); 根据增长情况选择函数类型构建数学模型, 将实际问题化归为数学问题; 通过运算、推理求解函数模型; 用得到的函数模型描述实际问题的变化规律, 解决有关问题, 在这一过程中, 往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.

## 练习

1.  某地今年1月, 2月, 3月患某种传染病的人数分别为52, 61, 68. 为了预测以后各月的患病人数, 甲选择了模型 $y = ax^2 + bx + c$, 乙选择了模型 $y = pq^x + r$, 其中 $y$ 为患病人数, $x$ 为月份数, $a, b, c, p, q, r$ 都是常数. 结果4月, 5月, 6月份的患病人数分别为74, 78, 83, 你认为谁选择的模型更符合实际?
2.  由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模, 某地的肉鸡产量在不断增加. 2008~2018年的11年, 上市的肉鸡数量如下:

| 时间/年    | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
| :--------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 肉鸡数量/吨 | 7690 | 7850 | 8000 | 8150 | 8310 | 8460 | 8620 | 8770 | 8920 | 9080 | 9230 |

同期该地的人口数如下:

| 时间/年 | 2008  | 2009  | 2010  | 2011  | 2012  | 2013  | 2014  | 2015  | 2016  | 2017  | 2018  |
| :------ | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| 人口数/万 | 100.0 | 101.2 | 102.4 | 103.6 | 104.9 | 106.1 | 107.4 | 108.7 | 110.0 | 111.3 | 112.7 |

(1) 分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;
(2) 如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求, 那么2018年是否能满足市场的需求?
(3) 按上述两表的变化趋势, 你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?
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# 习题 4.5

## 复习巩固

1.  下列函数图象与$x$轴均有交点, 其中不能用二分法求其零点的是 \_\_\_\_\_\_ (填写上所有符合条件的图号)
    [图片描述: 四个函数图象，横轴为x轴，纵轴为y轴，原点为O。
    图①：一个开口向下的抛物线，与x轴有两个交点，函数在交点处是连续的。
    图②：一条过原点的直线，与x轴有一个交点，函数在交点处是连续的。
    图③：一个周期性波动的函数图象，与x轴有多个交点，函数在交点处是连续的。
    图④：一个分段函数，在x轴正半轴某点处存在跳跃间断点。函数在x轴正半轴有一个交点，但在该点附近不连续。
    |标题: 函数图象|图片编号: 图1]

2.  已知函数$y=f(x)$的图象是一条连续不断的曲线, 且有如下对应值表:

    | $x$ | 1       | 2       | 3      | 4       | 5        | 6         |
    |-----|---------|---------|--------|---------|----------|-----------|
    | $y$ | 136.136 | 15.552  | -3.92  | 10.88   | -52.488  | -232.064  |

    函数$y=f(x)$在哪几个区间内一定有零点? 为什么?

3.  已知函数$f(x)=x^3-2x+1$, 求证: 方程 $f(x)=x$ 在$(-1, 2)$内至少有两个实数解.

4.  利用信息技术, 用二分法求函数 $f(x)=\ln x-\frac{2}{x}$ 的零点(精确度为$0.1$).

5.  利用信息技术, 用二分法求方程 $0.8^x-1=\ln x$ 的近似解(精确度为$0.1$).

6.  一种专门占据内存的计算机病毒, 开机时占据内存$2\text{ KB}$, 然后每$3$分自身复制一次, 复制后所占内存是原来的$2$倍, 那么开机后多少分, 该病毒会占据$64\text{ MB}$内存($1\text{ MB}=1024\text{ KB}$)?

## 综合运用

7.  设函数 $f(x)=ax^2+bx+c(a>0, b, c\in\mathbf{R})$, 且$f(1)=-\frac{a}{2}$, 求证: 函数$f(x)$ 在$(0, 2)$内至少有一个零点.

8.  已知函数$f(x)=-x^2-3x-2, g(x)=2-[f(x)]^2,$
    (1) 求函数$y=g(x)$的解析式;
    (2) 利用信息技术, 画出函数$y=g(x)$的图象;
    (3) 求函数$y=g(x)$的零点(精确度为$0.1$).

9.  如图, 某池塘里浮萍的面积$y$(单位:$m^2$)与时间$t$(单位:月)的关系为$y=a^t$. 关于下列说法:
    [图片描述: 一个坐标系中的函数图象，横轴表示时间t（单位：月），纵轴表示面积y（单位：m²）。横轴刻度从0到4，纵轴刻度从0到12。图象为一条指数增长曲线，从点(0,1)开始向上弯曲，大致经过点(1,2)，(2,4)，(3,8)。
    |标题: 第9题图|图片编号: 图2]

    ①浮萍每月的增长率为1;
    ②第$5$个月时, 浮萍面积就会超过$30m^2$;
    ③浮萍每月增加的面积都相等;
    ④若浮萍蔓延到$2m^2, 3m^2, 6m^2$所经过的时间分别是$t_1, t_2, t_3$, 则$t_1+t_2=t_3$.
    其中正确的说法是($$ ).
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(A) ①② (B) ①②③ (C) ①②④ (D) ①②③④

10. 一种药在病人血液中的量保持在 $1500 \text{ mg}$ 以上时才有疗效。现给某病人的静脉注射了这种药 $2500 \text{ mg}$，如果药在血液中以每小时 $20\%$ 的比例衰减，为保证有疗效，最迟应在什么时候再向病人的血液补充这种药（精确到 $0.1 \text{ h}$）?

11. 人类已进入大数据时代。目前，数据量已经从 $\text{TB}$ ($1 \text{ TB}=1024 \text{ GB}$) 级别跃升到 $\text{PB}$ ($1 \text{ PB}=1024 \text{ TB}$)，$\text{EB}$ ($1 \text{ EB}=1024 \text{ PB}$) 乃至 $\text{ZB}$ ($1 \text{ ZB}=1024 \text{ EB}$) 级别。曾经的研究结果表明，$2008$ 年全球产生的数据量为 $0.49 \text{ ZB}$，$2009$ 年的数据量为 $0.8 \text{ ZB}$，$2010$ 年增长到 $1.2 \text{ ZB}$，$2011$ 年的数据量更是高达 $1.82 \text{ ZB}$。
    (1) 为了较好地描述 $2008$ 年起全球产生的数据量与时间 $x$ (单位：年) 的关系，根据上述数据信息，从函数 $f(x)=kx+b$ 和 $g(x)=ab^x$ 中选择一个，并求出解析式。
    (2) 根据 (1) 中所求函数模型，估计 $2018$ 年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法?

12. 某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表:

| 身高/cm     | 60     | 70     | 80     | 90      | 100     | 110     | 120     | 130     | 140     | 150     | 160     | 170     |
| :------------ | :----- | :----- | :----- | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ |
| 平均体重/kg | 6.13   | 7.90   | 9.99   | 12.15   | 15.02   | 17.50   | 20.92   | 26.86   | 31.11   | 38.85   | 47.25   | 55.05   |

    (1) 根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重 $y$ (单位: $\text{kg}$) 与身高 $x$ (单位: $\text{cm}$) 的函数关系，并写出这个函数的解析式。
    (2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 $1.2$ 倍为偏胖，低于 $0.8$ 倍为偏瘦，那么该地一名身高为 $175 \text{ cm}$，体重为 $78 \text{ kg}$ 的在校男生的体重是否正常?

### 拓广探索

13. 有一道题“若函数 $f(x)=24ax^2+4x-1$ 在区间 $(-1,1)$ 内恰有一个零点，求实数 $a$ 的取值范围”，某同学给出了如下解答:
    由 $f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0$，解得 $-\frac{1}{8}<a<\frac{5}{24}$。
    所以，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\frac{1}{8},\frac{5}{24})$。
    上述解答正确吗?若不正确，请说明理由，并给出正确的解答。

14. 从甲地到乙地的距离约为 $240 \text{ km}$，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量 $Q$ (单位: $\text{L}$) 与速度 $v$ (单位: $\text{km/h}$) ($0 \le v \le 120$) 的下列数据:

| V     | 0       | 40      | 60      | 80      | 120     |
| :---- | :------ | :------ | :------ | :------ | :------ |
| Q     | 0.000   | 6.667   | 8.125   | 10.000  | 20.000  |

    为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择:
    $Q=av^3+bv^2+cv$, $Q=0.5^v+a$, $Q=k\log_a v+b$.
    (1) 选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式;
    (2) 从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少?
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# 文献阅读与数学写作*

## 对数概念的形成与发展

对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立被恩格斯并称为17世纪数学的三大成就。对数的发明及其计算是数学史上的重大事件，天文学界更是以近乎狂喜的心情来迎接这一发明。意大利科学家伽利略(Galileo Galilei, 1564—1642)说：“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”法国数学家拉普拉斯(P.-S. Laplace, 1749—1827)也曾评价道：“因为省时省力，对数倍增了天文学家的寿命。”

作为重要而简便的计算工具，对数是如何产生和发展的？在数学的发展、人类社会的发展历史中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与对数有关的文献，自己选题，写一篇数学小论文。

### 一、主题

1.  对数概念形成和发展的过程。
2.  对数对简化运算的作用。

### 二、实施建议

1.  选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围。
2.  分组：将相近选题的5~6人分为一个小组，确定一名组长。
3.  分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。
4.  搜集资料：针对具体的论文题目，通过互联网、书店、图书馆等多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料。
5.  素材整理：用论文的形式展现小组的实践成果。
6.  交流讨论：开展组内或全班的交流、讨论和总结。

### 三、参考选题

1.  对数产生的背景。
2.  对数发明的过程。
3.  对数的具体应用。
4.  对数对简化运算的作用。
5.  对数对人类文明进步的贡献。

\* 标有 \* 的内容为选学内容，不作为考试要求。
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# 小结

## 一、本章知识结构

```mermaid
graph TD
    A[整数指数幂] --> B[有理数指数幂]
    B --> C[实数指数幂]

    B --> B_def[定义]
    B --> B_prop[运算性质]

    C --> C_def[定义]
    C --> C_prop[运算性质]

    B -- 概念拓展 --> D[指数]
    C -- 概念拓展 --> D
    D <--> E[对数]

    E --> E_def[定义]
    E --> E_prop[运算性质]

    D --> F[指数函数]
    E --> G[对数函数]

    F <--> G

    F --> F_bg[现实背景、定义]
    F --> F_graph[图象、性质]

    G --> G_bg[现实背景、定义]
    G --> G_graph[图象、性质]

    F -- 归纳 --> H[函数的应用]
    G -- 归纳 --> H

    H --> I[函数零点与方程的解]
    H --> J[函数模型的应用]
```

## 二、回顾与思考

本章我们先将指数概念由整数指数逐步拓展到了实数指数，并给出了实数指数幂的运算法则；通过对指数增长方式的实例分析，引入指数函数的概念，并研究了它的图象和性质。从对数与指数的相互联系出发，引入对数的概念，研究了对数的运算法则；在此基础上研究了对数函数的概念、图象和性质。指数函数和对数函数是两种不同类型但联系紧密的函数模型，是刻画客观世界中“指数爆炸”“对数增长”现象的重要数学模型，利用函数零点与方程解之间的关系，我们引入了函数零点存在定理，探索了用二分法求方程近似解的思路。二分法是求方程近似解的一般性方法，不同类型的函数具有不同的增长方式，通过比较，我们认识了对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异，并通过具体实例，学习了如何根据增长速度的差异，选择合适的函数类型构建数学模型、刻画现实问题变化规律的方法。

本章中，先从整数指数拓展到有理数指数，再利用有理数指数幂逼近无理数指数幂的思想认识无理数指数幂，从而将指数的概念拓展到实数指数；通过问题“在$a^x=N(a>0, 且a\neq1)$中，已知$a,N$求$x$”引入，按照“定义—表示——性质——运算(法则)—应用”的路径研究对数，这里要注意体会数学概念推广的基本思想，整体而言，对指数函数、对数函数的研究，都是按照“实际问题——函数概念——图象与性质——应用”的路径展开，这里要特别注意在对现实
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问题增长方式分析的基础上引入相应的函数概念，再通过对函数图象、性质的研究，把握相应函数的本质。这是建立函数模型解决实际问题的基础。

在应用函数解决实际问题时，首先应注意分析实际问题属于哪种类型的增长方式，这是选择和建立函数模型的基础；其次，要注意理解用函数构建数学模型的基本过程，体会运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的数学方法。

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1.  指数和对数的概念都有现实背景，你能举出一些实际例子吗？
2.  概述指数概念的拓展过程，你能由此说说数学概念拓展的过程与方法吗？
3.  对数概念是如何提出来的？它对发现和提出问题有什么启示？
4.  回忆指数函数、对数函数的研究过程，你能由此说说如何研究一类函数吗？例如研究的内容、过程和方法。
5.  不同函数模型刻画了现实世界不同类型问题的变化规律，你能说说指数函数和对数函数分别刻画了怎样的变化规律吗？你能举出“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的实际例子吗？
6.  你能举例说明函数的零点与方程解的关系吗？在什么条件下，函数在 $(a,b)$ 内一定有零点？
7.  你能说说用二分法求方程近似解的一般步骤吗？
8.  你能结合实例说明应用函数模型解决问题的基本过程吗？
9.  函数图象是研究函数性质的重要载体，信息技术是研究函数图象与性质的有力工具，你能结合实例谈谈这方面的体会吗？

## 复习参考题 4

## 复习巩固

1.  选择题
    (1) 函数 $y=-2^{-x}$ 与 $y=2^x$ 的图象 ( )。
    (A) 关于 $x$ 轴对称
    (B) 关于 $y$ 轴对称
    (C) 关于原点对称
    (D) 关于直线 $y=x$ 对称
    (2) 如图(1), ①②③④中不属于函数 $y=2^x$, $y=6^x$, $y=(\frac{1}{2})^x$ 的一个是( )。
    (A) ①
    (B) ②
    (C) ③
    (D) ④
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(3) 如图(2), ①②③④中不属于函数 $y=\log x$, $y=\log_{\frac{1}{2}}x$, $y=\log_{\frac{1}{3}}x$, $y=\log_2x$ 的一个是( ).
[图片描述:图中展示了四个指数函数曲线，通过坐标轴上的关键点。曲线①为减函数，通过(0,1)。曲线②为减函数，通过(0,1)，在x<0时高于曲线①，x>0时低于曲线①。曲线③为增函数，通过(0,1)。曲线④为增函数，通过(0,1)，在x<0时低于曲线③，x>0时高于曲线③。x轴和y轴有刻度，原点为O。|标题:指数函数图像(1)|图片1]
[图片描述:图中展示了四个对数函数曲线，均通过点(1,0)。曲线①和④为增函数，曲线②和③为减函数。具体而言，曲线①代表底数大于1的对数函数，且底数较小（如$y=\log_2 x$）；曲线④代表底数大于1的对数函数，且底数较大；曲线②代表底数在(0,1)之间的对数函数，且底数较大（如$y=\log_{\frac{1}{2}} x$）；曲线③代表底数在(0,1)之间的对数函数，且底数较小（如$y=\log_{\frac{1}{3}} x$）。x轴和y轴有刻度，原点为O。|标题:对数函数图像(2)|图片2]
(第1题)
(A) ①
(B) ②
(C) ③
(D) ④

2. 用“<”“>”“=”填空:
(1) $e^{0.8} \_\_ 0.8^e$;
(2) $2^{a+1} \_\_ 3^a (a>2)$;
(3) $a^{0.2} \_\_ a^{0.3} (0<a<1)$;
(4) $\lg e \_\_ \ln 0.8$;
(5) $\log_2 3 \_\_ \log_3 2$;
(6) $\log_a 0.2 \_\_ \log_a 0.3 (a>1)$.

3. 借助信息技术,用二分法求:
(1) 方程 $2x^3-4x^2-3x+1=0$ 的最大的根(精确度为 $0.01$);
(2) 函数 $f(x)=\lg x$ 和 $g(x)=\frac{1}{x}$ 交点的横坐标(精确度为 $0.1$).

4. 已知函数 $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x\le0 \\ -2+\ln x, & x>0 \end{cases}$, 求使方程 $f(x)=k$ 的实数解个数分别为 $1, 2, 3$ 时 $k$ 的相应取值范围.

**综合运用**

5. 选择题
(1) 已知集合 $A=\{y|y=\log_2x,x>1\}$, $B=\{y|y=\frac{1}{2^x},x>1\}$, 则 $A\cap B=(\quad)$.
(A) $\{y|0<y<\frac{1}{2}\}$
(B) $\{y|0<y<1\}$
(C) $\{y|\frac{1}{2}<y<1\}$
(D) $\emptyset$
(2) 已知 $f(x)=|\lg x|$, 若 $a=f(\frac{1}{4})$, $b=f(\frac{1}{3})$, $c=f(2)$, 则 $(\quad)$.
(A) $a<b<c$
(B) $b<c<a$
(C) $c<a<b$
(D) $c<b<a$
(3) 已知函数 $f(x)=2^x+x$, $g(x)=\log_2x+x$, $h(x)=x^3+x$ 的零点分别为 $a, b, c$, 则 $a, b, c$ 的大小顺序为 $(\quad)$.
(A) $a>b>c$
(B) $b>c>a$
(C) $c>a>b$
(D) $b>a>c$

6. 设 $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $g(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, 求证:
(1) $[g(x)]^2-[f(x)]^2=1$;
(2) $f(2x)=2f(x)g(x)$;
(3) $g(2x)=[g(x)]^2+[f(x)]^2$.
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7. 指数函数$y=(\frac{b}{a})^x$的图象如图所示,求二次函数$y=ax^2+bx$图象顶点的横坐标的取值范围.
[图片描述:一个坐标系，x轴和y轴交于原点O。图示为一条指数函数曲线，从第二象限沿y轴正方向下降，穿过y轴，并渐近x轴正方向。其形状表示底数小于1的指数函数。|标题:第7题图|图片编号:图1]

8. 1986年4月26日,乌克兰境内的切尔诺贝利核电站爆炸,核泄漏导致事故所在地被严重污染,主要的核污染物是锶90,它每年的衰减率为2.47%.专家估计,要完全消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800年,到那时原有的锶90还剩百分之几?

9. 某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量$P$(单位:mg/L)与时间$t$(单位:h)间的关系为
   $P=P_0e^{-kt}$,
   其中$P_0, k$是正的常数. 如果在前5 h消除了10%的污染物,那么
   (1) 10 h后还剩百分之几的污染物?
   (2) 污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)?
   (3) 画出$P$关于$t$变化的函数图象.

10. 把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是$\theta_1^\circ\text{C}$,空气的温度是$\theta_0^\circ\text{C}$,那么$t \text{ min}$后物体的温度$\theta$(单位:$\circ\text{C}$)可由公式
    $\theta=\theta_0+(\theta_1-\theta_0)e^{-kt}$
    求得,其中$k$是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数. 现有$62^\circ\text{C}$的物体,放在$15^\circ\text{C}$的空气中冷却,1 min以后物体的温度是$52^\circ\text{C}$.
    (1) 求$k$的值(精确到0.01);
    (2) 若要将物体的温度降为$42^\circ\text{C}$,$32^\circ\text{C}$,求分别需要冷却的时间(精确到0.1 min).

**拓广探索**

11. 已知函数$f(x)=\log_a(x+1)$, $g(x)=\log_a(1-x)$ ($a>0$,且$a \neq 1$),
    (1) 求函数$f(x)+g(x)$的定义域;
    (2) 判断函数$f(x)+g(x)$的奇偶性,并说明理由.

12. 对于函数$f(x)=a-\frac{2}{2^x+1}$ ($a \in \mathbf{R}$),
    (1) 探索函数$f(x)$的单调性;
    (2) 是否存在实数$a$使函数$f(x)$为奇函数?

13. 如图,函数$y=f(x)$的图象由曲线段 OA 和直线段AB 构成.
    [图片描述:一个坐标系，x轴和y轴均显示正半轴，x轴从0到5，y轴从0到3。函数图象由两部分组成：第一部分是曲线段OA，从原点O(0,0)开始，向上弯曲至点A(2,3)；第二部分是直线段AB，从点A(2,3)向下倾斜至点B(5,0)。|标题:第13题图|图片编号:图2]
    (1) 写出函数$y=f(x)$的一个解析式;
    (2) 提出一个能满足函数$y=f(x)$图象变化规律的实际问题.
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# 建立函数模型解决实际问题

我们知道，用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型，然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型，最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的。在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据。

## 一、数学建模活动的一个实例

1.  观察实际情景，发现和提出问题

    中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用$85^\circ C$的水泡制，再等到茶水温度降至$60^\circ C$时饮用，可以产生最佳口感。那么在$25^\circ C$室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

    显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题。为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型。

2.  收集数据

    我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好），收集茶水温度随时间变化的数据。

    例如，某研究人员每隔$1 \text{ min}$测量一次茶水温度，得到表1的一组数据。

    **表1**

    | 时间/min | 0     | 1     | 2     | 3     | 4     | 5     |
    | :------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
    | 水温/$^\circ C$ | 85.00 | 79.19 | 74.75 | 71.19 | 68.19 | 65.10 |

3.  分析数据

    茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型。为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型。

    设茶水温度从$85^\circ C$开始，经过$x \text{ min}$后的温度为$y^\circ C$。根据表1，画散点图（图1）。
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> 实际上，你可以利用信息技术，通过函数拟合的方法来帮助选择适当的函数模型。

[图片描述:茶水温度随时间变化的散点图，横轴表示时间 $x$（单位：分钟），纵轴表示温度 $y$（单位：摄氏度）。图中显示了从 $x=0$ 时 $y=85$ 开始，温度逐渐降低，并且降低的速度逐渐减缓，趋势是趋近于某个恒定温度（室温）。这些点是实际测得的数据。|标题:图1|图片编号:1]

观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数 $y=ka^x+25(k \in \mathbf{R}, 0<a<1, x \geq 0)$ 来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律。

**4. 建立模型**

根据实际情况可知，当 $x=0$ 时，$y=85$，可得 $k=60$。

为了求出温度的衰减比例 $a$，可从第 $2 \text{ min}$ 的温度数据开始，计算每分 $(y-25)$ 的值与上一分 $(y-25)$ 值的比值，列出表 2。

**表2**

| x    | 0     | 1     | 2     | 3     | 4     | 5     |
| :--- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| y-25 | 60.00 | 54.19 | 49.75 | 46.19 | 43.19 | 40.10 |
| 比值 |       | 0.903 2 | 0.918 1 | 0.928 4 | 0.935 1 | 0.928 5 |

> **?** 能否直接将表1中的一组数据代入 $y=60a^x+25$ 求 $a$? 这与用比值的平均值作为 $a$ 建立函数模型有什么差异?

计算各比值的平均值，得
$a = \frac{1}{5}(0.9032+0.9181+0.9284+0.9351+0.9285)$
$= 0.922 \ 7$.

我们把这个平均值作为衰减比例，就得到一个函数模型
$y=60 \times 0.9227^x+25(x \ge 0).$ (1)

**5. 检验模型**

将已知数据代入①式，或画出函数①的图象(图2)，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律。

[图片描述:根据建立的函数模型 $y=60 \times 0.9227^x+25$ 绘制的茶水温度随时间变化的曲线图。横轴表示时间 $x$（单位：分钟），纵轴表示温度 $y$（单位：摄氏度）。曲线从 $y=85$ 开始下降，随着时间增加，温度逐渐趋近于室温 $y=25$。这条曲线的趋势与实际数据点（图1）非常吻合，表明该模型能够很好地描述茶水温度的衰减规律。|标题:图2|图片编号:2]

**6. 求解问题**

将 $y=60$ 代入 $y=60 \times 0.9227^x+25$，得
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解得
$60 \times 0.922^x + 25 = 60.$
由信息技术得
$x = \log_{0.922} \frac{7}{12}$
$x \approx 6.6997.$
所以, 泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是 7 min.

上述过程可以概括为:

[图片描述:一个展示数学建模基本流程的流程图。流程从“观察实际情景”开始，依次经过“发现和提出问题”、“收集数据”、“选择函数模型”、“求解函数模型”。在“求解函数模型”之后，进入“检验”环节。如果“不符合实际”，则返回“选择函数模型”重新评估；如果“符合实际”，则进入最终步骤“实际问题的解”。这个流程图清晰地展现了从实际问题到数学模型再到解决方案的迭代过程。|标题:数学建模流程图|图片编号:1]
```mermaid
graph TD
    A[观察实际情景] --> B(发现和提出提出问题)
    B --> C(收集数据)
    C --> D[选择函数模型]
    D --> E[求解函数模型]
    E --> F{检验}
    F -- 不符合实际 --> D
    F -- 符合实际 --> G[实际问题的解]
```

## 二、数学建模活动的选题

请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动。可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间, 也可以从下列选题中选择一个:
1.  应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻?
2.  根据某一同学的身高和体重, 判断该同学是否超重.
3.  用微波炉或电磁炉烧一壶开水, 找到最省电的功率设定方法.
4.  估计阅读一本书所需要的时间.

也可以根据自己的兴趣, 与老师协商后确定一个课题进行研究.

## 三、数学建模活动的要求

1.  组建合作团队

数学建模活动需要团队协作. 首先, 在班级中组成 3~5 人的研究小组, 每位同学参加其中一个小组. 在小组内, 要确定一个课题负责人, 使每位成员都有明确的分工. 拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册, 然后在班里进行一次开题报告.
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2. 开展研究活动
根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究。在研究过程中，可以借助信息技术解决问题。

3. 撰写研究报告
以小组为单位，撰写一份研究报告。

4. 交流展示
    (1) 对同一个课题，先由3~4个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短。在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告，选定代表，制作向全班汇报的演示文稿。
    (2) 与老师一起进行全班研究成果展示与交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动。

### **四、数学建模活动研究报告的参考形式**
建立函数模型解决实际问题

____年 ____班 ____完成时间:

| 项目                                                                                                                              | 内容 |
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| 1. 课题名称                                                                                                                       |      |
| 2. 课题组成员及分工                                                                                                               |      |
| 3. 选题的意义                                                                                                                     |      |
| 4. 研究计划 (包括对选题的分析，解决问题的思路等)                                                                              |      |
| 5. 研究过程 (收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方 案等)                                  |      |
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| **6. 研究结果**                         |                                                                                                        |
| **7. 收获与体会**                       |                                                                                                        |
| **8. 对此研究的评价** (由评价小组或老师填写) |                                                                                                        |
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