# 第五章
# 三角函数

现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性。例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，物体做匀速圆周运动时的位置变化，物体做简谐运动时的位移变化，交变电流变化等，这些现象都可以用三角函数刻画。

前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律，本章我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化规律的三角函数。

三角函数是怎样的函数？它具有哪些特性？如何利用三角函数模型刻画各种周期性变化现象？本章我们就来研究这些问题。

[图片描述:该图片展示了月球绕地球公转过程中，在太阳光照射下产生的各种月相。画面中央是地球，月球围绕地球逆时针公转。太阳光从右侧水平照射过来，标有“太”、“阳”、“光”字样。月球的不同位置对应不同的月相，包括：新月（朔）、蛾眉月（上蛾眉月）、上弦月、凸月（上凸月）、望（满月）、凸月（下凸月）、下弦月、蛾眉月（下蛾眉月）。每个月相都附有对应的月球图像，清晰展示了月球被太阳光照射的部分和未被照射的部分，从地球上看去呈现出的形状。|标题:月相变化示意图|图片1]
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## 5.1 任意角和弧度制

圆周运动是一种常见的周期性变化现象，如图5.1-1，$\odot O$ 上的点 $P$ 以 $A$ 为起点做逆时针方向的旋转。如何刻画点 $P$ 的位置变化呢？

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。在图5.1-1中，射线的端点是圆心 $O$，它从起始位置 $OA$ 按逆时针方向旋转到终止位置 $OP$，形成一个角 $\alpha$，射线 $OA, OP$ 分别是角 $\alpha$ 的始边和终边。当角 $\alpha$ 确定时，终边 $OP$ 的位置就确定了。这时，射线 $OP$ 与 $\odot O$ 的交点 $P$ 也就确定了，由此想到，可以借助角 $\alpha$ 的大小变化刻画点 $P$ 的位置变化。

由初中知识可知，射线 $OA$ 绕端点 $O$ 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到 $0^\circ \sim 360^\circ$ 范围内的角，如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了。所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围。

[图片描述:一个以O为圆心的圆形，射线上有起点A，P点位于圆周上。射线OA向逆时针方向旋转到OP，形成一个角$\alpha$。|标题:图5.1-1|图1]

### 5.1.1 任意角

现实生活中随处可见超出$0^\circ \sim 360^\circ$范围的角。例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出$0^\circ \sim 360^\circ$范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图5.1-2是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向。这样，$OA$绕点$O$旋转所成的角与$O'B$绕点$O'$旋转所成的角就会有不同的方向。因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广。

我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做**正角**，按顺时针方向旋转形成的角叫做**负角**。

[图片描述:两个相互啮合的齿轮，右侧的齿轮标示为“主动轮”，其中心为$O'$，上面有一点A，顺时针方向旋转；左侧的齿轮标示为“被动轮”，其中心为$O$，上面有一点B，逆时针方向旋转。箭头显示了它们的旋转方向是相反的。|标题:图5.1-2|图2]

> 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角$\alpha$”或“$\angle \alpha$”可以简记成“$\alpha$”。
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如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个**零角**,这样,零角的始边与终边重合,如果 $\alpha$ 是零角,那么 $\alpha=0^\circ$. 图 5.1-3(1)中的角是一个正角,它等于 $750^\circ$; 图 5.1-3(2)中,正角 $\alpha=210^\circ$, 负角 $\beta=-150^\circ$, $\gamma=-660^\circ$. 正常情况下,如果以零时为起始位置,那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角.

[图片描述:图5.1-3(1)展示了一条射线OA绕其端点O逆时针旋转到OB，形成一个正角。旋转弧上标有数字“7”，表示旋转量。图5.1-3(2)展示了在坐标系中，以射线OA为始边，通过不同方向和大小的旋转形成角。其中一个正角标记为$\alpha=2$，两个负角分别标记为$\beta=-1$和$\gamma=-6$。图中通过圆弧和箭头清晰地表示了旋转的方向和大致大小。|标题:图 5.1-3 任意角的示例|图片1]

这样,我们就把角的概念推广到了**任意角**,包括正角、负角和零角. 设角 $\alpha$ 由射线 OA 绕端点 $O$ 旋转而成,角 $\beta$ 由射线 $O'A'$ 绕端点 $O'$ 旋转而成. 如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 $\alpha=\beta$.

设 $\alpha, \beta$ 是任意两个角. 我们规定,把 $\alpha$ 角的终边旋转角 $\beta$, 这时终边所对应的角是 $\alpha+\beta$. 类似于实数 $a$ 的相反数是 $-a$, 我们引入任意角 $\alpha$ 的**相反角**的概念, 如图 5.1-4. 我们把射线 OA 绕端点 $O$ 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角. 角 $\alpha$ 的相反角记为 $-\alpha$. 于是,像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样,我们有 $\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$.

这样,角的减法可以转化为角的加法.

[图片描述:图5.1-4(1)展示了射线OA作为始边，通过逆时针旋转形成角$\alpha$到射线OB1，以及通过顺时针旋转形成角$-\alpha$到射线OB2，说明了互为相反角的概念。图5.1-4(2)以类似方式展示了另一组相反角，其中$\alpha$为顺时针旋转形成，$-\alpha$为逆时针旋转形成。|标题:图 5.1-4 互为相反角|图片2]

我们通常在直角坐标系内讨论角,为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合. 那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角. 例如,图 5.1-5 中的 $30^\circ$ 角、$-120^\circ$ 角分别是第一象限角和第三象限角. 如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.

[图片描述:图5.1-5展示了一个直角坐标系中的两个角。一个角由正x轴逆时针旋转形成，终边在第一象限，标记为“3”（可能代表30°）。另一个角由正x轴顺时针旋转形成，终边在第三象限，标记为“-1”（可能代表-120°），直观地展示了正角和负角在坐标系中的位置。|标题:图 5.1-5 坐标系中的角|图片3]

> ?
> 你能说说在直角坐标
> 系内讨论角的好处吗?
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## 探究

将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线 $OB$ (图5.1-6)，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？

[图片描述: 坐标系中，原点为O。X轴和Y轴垂直相交。一条射线OB从原点出发，指向第一象限和第四象限之间。图中显示了三个角：一个角从正X轴逆时针旋转到OB，角度标记为$328^{\circ}$；一个角从正X轴顺时针旋转到OB，角度标记为$-32^{\circ}$；另一个角从正X轴顺时针旋转超过一圈到OB，角度标记为$-392^{\circ}$。|标题: 直角坐标系中角度的表示|图片编号: 图1]

不难发现，在图5.1-6中，如果$-32^{\circ}$角的终边是$OB$，那么$328^{\circ}$、$-392^{\circ}$、$\cdots$角的终边都是$OB$，并且与$-32^{\circ}$角终边相同的这些角都可以表示成$-32^{\circ}$的角与 $k$ 个 ($k \in \mathbb{Z}$) 周角的和，如
$328^{\circ}=-32^{\circ}+360^{\circ}$ (这里 $k=1$)
$-392^{\circ}=-32^{\circ}-360^{\circ}$ (这里 $k=-1$)

设 $S=\{\beta|\beta=-32^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$，则$328^{\circ}$、$-392^{\circ}$角都是$S$的元素，$-32^{\circ}$角也是$S$的元素 (此时 $k=0$)。因此，所有与$-32^{\circ}$角终边相同的角，连同$-32^{\circ}$角在内，都是集合$S$的元素；反过来，集合$S$的任一元素显然与$-32^{\circ}$角的终边相同。

一般地，我们有：
**所有与角 $\alpha$ 终边相同的角，连同角 $\alpha$ 在内，可构成一个集合**
$S=\{\beta|\beta=\alpha+k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$
即任一与角 $\alpha$ 终边相同的角，都可以表示成角 $\alpha$ 与整数个周角的和。

> 在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转$360^{\circ}$后回到原来的位置，因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。

**例 1** 在$0^{\circ}\sim 360^{\circ}$范围内，找出与$-950^{\circ}12'$角终边相同的角，并判定它是第几象限角。

**解：** $-950^{\circ}12' = 129^{\circ}48' - 3 \times 360^{\circ}$，所以在$0^{\circ}\sim 360^{\circ}$范围内，与$-950^{\circ}12'$角终边相同的角是$129^{\circ}48'$，它是第二象限角。

**例 2** 写出终边在 $y$ 轴上的角的集合。

**解：** 在$0^{\circ}\sim 360^{\circ}$范围内，终边在 $y$ 轴上的角有两个，即$90^{\circ}$、$270^{\circ}$角 (图5.1-7)。因此，所有与$90^{\circ}$角终边相同的角构成集合
$S_1=\{\beta|\beta=90^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$

[图片描述: 坐标系中，原点为O。X轴和Y轴垂直相交。一条射线从原点沿正Y轴方向，角度标记为$90^{\circ}$。另一条射线从原点沿负Y轴方向，角度标记为$270^{\circ}$。这两个角度分别用弧线从正X轴逆时针方向表示。|标题: 终边在Y轴上的角|图片编号: 图2]
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而所有与$270^\circ$角终边相同的角构成集合
$S_2=\{\beta | \beta=270^\circ+k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$,

于是,终边在$y$轴上的角的集合
$S=S_1 \cup S_2$
$=\{\beta | \beta=90^\circ+2k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\beta | \beta=90^\circ+180^\circ+2k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$
$=\{\beta | \beta=90^\circ+2k \cdot 180^\circ, k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\beta | \beta=90^\circ+(2k+1)180^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$
$=\{\beta | \beta=90^\circ+n \cdot 180^\circ, n \in \mathbb{Z}\}$.

**例3** 写出终边在直线 $y=x$ 上的角的集合$S$. $S$中满足不等式 $-360^\circ \leq \beta < 720^\circ$ 的元素 $\beta$ 有哪些?

**解**: 如图5.1-8,在直角坐标系中画出直线 $y=x$,可以发现它与$x$轴的夹角是$45^\circ$,在$0^\circ \sim 360^\circ$范围内,终边在直线 $y=x$ 上的角有两个:$45^\circ, 225^\circ$.因此,终边在直线$y=x$ 上的角的集合
$S =\{\beta | \beta=45^\circ+k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\beta | \beta=225^\circ+k \cdot 360^\circ, k \in \mathbb{Z}\}$
$=\{\beta | \beta=45^\circ+n \cdot 180^\circ, n \in \mathbb{Z}\}$.

[图片描述:一个直角坐标系，x轴和y轴交于原点O。一条直线y=x穿过第一和第三象限。从正x轴逆时针方向，用弧线标示了两个角：一个从正x轴到直线y=x的第一象限部分，角度为$45^\circ$；另一个从正x轴到直线y=x的第三象限部分，角度为$225^\circ$。|标题:图5.1-8|图片编号:1]

$S$中适合不等式$-360^\circ \leq \beta < 720^\circ$ 的元素 $\beta$ 有
$45^\circ-2\times 180^\circ=-315^\circ$,
$45^\circ-1\times 180^\circ=-135^\circ$,
$45^\circ+0\times 180^\circ=45^\circ$,
$45^\circ+1\times 180^\circ=225^\circ$,
$45^\circ+2\times 180^\circ=405^\circ$,
$45^\circ+3\times 180^\circ=585^\circ$.

## 练习

1.(口答)锐角是第几象限角?第一象限角一定是锐角吗?再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
2.(口答)今天是星期三,那么$7k(k \in \mathbb{Z})$天后的那一天是星期几?$7k(k \in \mathbb{Z})$天前的那一天是星期几?100天后的那一天是星期几?
3.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与$x$轴的非负半轴重合,作出下列各角,并指出它们是第几象限角:
(1) $420^\circ$;
(2) $-75^\circ$;
(3) $855^\circ$;
(4) $-510^\circ$.
4.在$0^\circ \sim 360^\circ$范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:
(1) $-54^\circ 18'$;
(2) $395^\circ 8'$;
(3) $-1190^\circ 30'$.
5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并找出集合中适合不等式$-720^\circ \leq \beta < 360^\circ$ 的元素 $\beta$:
(1) $1303^\circ 18'$;
(2) $-225^\circ$.
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## 5.1.2 弧度制

度量长度可以用米、英尺等不同的单位制,度量质量可以用千克、磅等不同的单位制。不同的单位制能给解决问题带来方便。角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样,用十进制的实数来度量角的大小呢？

我们知道,角可以用度为单位进行度量,1度的角等于周角的$\frac{1}{360}$。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做**角度制**。

下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——**弧度制**。

如图 5.1-9,射线 $OA$ 绕端点 $O$ 旋转到 $OB$ 形成角 $\alpha$。在旋转过程中,射线 $OA$ 上的一点 $P$(不同于点 $O$)的轨迹是一条圆弧,这条圆弧对应于圆心角 $\alpha$。
设 $\alpha=n^\circ$, $OP=r$, 点 $P$ 所形成的圆弧 $\widehat{PP_1}$ 的长为 $l$。由初中所学知识可知 $l=\frac{n\pi r}{180}$, 于是
$\frac{l}{r}=n\frac{\pi}{180}$.

[图片描述:一个扇形，圆心为 O，射线上有 A 和 P 点，另一条射线为 OB，形成夹角 $\alpha$。圆弧 $\widehat{PP_1}$ 连接了射线OA上的P点和射线OB上的P1点，P1点在圆弧上。|标题:图 5.1-9|图片编号:图1]

> **探究**
>
> 如图 5.1-10, 在射线 $OA$ 上任取一点 $Q$ (不同于点 $O$), $OQ=r_1$. 在旋转过程中, 点 $Q$ 所形成的圆弧 $\widehat{QQ_1}$ 的长为 $l_1$. $l_1$ 与 $r_1$ 的比值是多少?你能得出什么结论?

[图片描述:一个扇形，圆心为 O，射线上有 A 和 Q、P 点，另一条射线为 OB，形成夹角 $\alpha$。圆弧 $\widehat{PP_1}$ 和圆弧 $\widehat{QQ_1}$ 分别连接了射线OA上的P点和Q点与射线OB上的P1点和Q1点，P1和Q1点在圆弧上。圆弧 $\widehat{QQ_1}$ 位于圆弧 $\widehat{PP_1}$ 外部，但它们所对的圆心角相同。|标题:图 5.1-10|图片编号:图2]

可以发现,圆心角 $\alpha$ 所对的弧长与半径的比值,只与 $\alpha$ 的大小有关,也就是说,这个比值随 $\alpha$ 的确定而唯一确定。这就启发我们,可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。

我们规定:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1**弧度**(radian)的角,弧度单位用符号 rad 表示,读作弧度。

我们把半径为1的圆叫做单位圆。如图 5.1-11,在单位圆 $O$ 中,$\widehat{AB}$ 的长等于1, $\angle AOB$ 就是1弧度的角。

[图片描述:一个单位圆，圆心为 O。从圆心 O 引出两条半径 OA 和 OB。圆弧 AB 的长度为1，其所对的圆心角 $\angle AOB$ 标记为 1 rad。|标题:图 5.1-11|图片编号:图3]

根据上述规定,在半径为 $r$ 的圆中,弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha$ rad,那么
$|\alpha|=\frac{l}{r}$.
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其中, $\alpha$的正负由角$\alpha$的终边的旋转方向决定, 即逆时针旋转为正, 顺时针旋转为负. 当角的终边旋转一周后继续旋转, 就可以得到弧度数大于$2\pi$或小于$-2\pi$的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角.

一般地, **正角的弧度数是一个正数, 负角的弧度数是一个负数, 零角的弧度数是$0$.**

> **探究**
>
> 角度制、弧度制都是角的度量制, 它们之间应该可以换算. 如何换算呢?

用角度制和弧度制来度量零角, 单位不同, 但量数相同 (都是$0$); 用角度制和弧度制度量任一非零角, 单位不同, 量数也不同, 因为周角的弧度数是$2\pi$, 而在角度制下的度数是$360$, 所以
$$360^{\circ}=2\pi \text{ rad}, \quad 180^{\circ}=\pi \text{ rad},$$
$$1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \text{ rad}\approx 0.01745 \text{ rad}.$$

> 公元6世纪, 印度人在制作正弦表时, 曾用同一单位度量半径和圆周, 孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家, 1748年, 在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中, 提出把圆的半径作为弧长的度量单位, 使一个圆周角等于$2\pi$弧度, $1$弧度等于周角的$\frac{1}{2\pi}$, 这一思想将线段与弧的度量统一起来, 大大简化了三角公式及计算.

反过来有
$$1 \text{ rad}=\left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57.30^{\circ}=57^{\circ}18'.$$.

一般地, 只需根据

```mermaid
graph TD
    A["$180^{\circ}=\\pi \\text{ rad}$"] --> B["$1^{\\circ}=\\frac{\\pi}{180} \\text{ rad}\\approx 0.017 \\ 45 \\text{ rad}$"]
    A --> C["$1 \\text{ rad}=\\left(\\frac{180}{\\pi}\\right)^{\\circ}\\approx 57.30^{\\circ}$"]
```
就可以进行弧度与角度的换算了.

**例4** 按照下列要求, 把$67^{\circ}30'$化成弧度:
(1)精确值;
(2)精确到0.001的近似值.

**解:** (1)因为$67^{\circ}30'=\left(\frac{135}{2}\right)^{\circ}$, 所以
$$67^{\circ}30'=\frac{135}{2} \times \frac{\pi}{180} \text{ rad}=\frac{3}{8}\pi \text{ rad}.$$
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(2) 利用计算器有
[图片描述: 一排计算器按键，显示将角度67°30′转换为弧度。按键顺序是：菜单，2，2（角度单位设置），然后是6，7，度分秒键，3，0，度分秒键，OPTN，2，1，等号，S↔D键。显示结果为1.178097245。|标题: 67°30′转换为弧度的计算器操作|图1]
1. 178 097 245.
因此，$67^{\circ}30' \approx 1.178 \text{ rad}$.

**例5** 将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精确到 0.001).
**解**: 利用计算器有
[图片描述: 一排计算器按键，显示将弧度3.14 rad转换为角度。按键顺序是：菜单，2，1（角度单位设置），然后是3，小数点，1，4，OPTN，2，2，等号。显示结果为179.9087477。|标题: 3.14 rad转换为角度的计算器操作|图2]
179.908 747 7.
因此, $3.14 \text{ rad} \approx 179.909^{\circ}$.

今后用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,而只写该角所对应的弧度数.例如,角$\alpha=2$ 就表示$\alpha$ 是 2 rad的角; $\sin \frac{\pi}{3}$ 就表示$\frac{\pi}{3}$ rad 的角的正弦,即
$\sin \frac{\pi}{3}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表:

| 度   | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ |        | $120^{\circ}$ | $135^{\circ}$ | $150^{\circ}$ |     | $360^{\circ}$ |
| ---- | ----------- | ------------ | ------------ | ------ | ------------- | ------------- | ------------- | --- | ------------- |
| 弧度 |             |              |              | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |               |               | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ |               |

角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集$\mathbf{R}$之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(等于这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应(图5.1-12).

[图片描述: 一个概念映射图，展示了角的集合与实数集之间的对应关系。左侧有三个椭圆，分别标示“正角”、“零角”和“负角”。右侧有三个对应的椭圆，分别标示“正实数”、“0”和“负实数”。从左到右，正角通过箭头指向正实数，零角指向0，负角指向负实数。同时，从右到左，正实数通过箭头指向正角，0指向零角，负实数指向负角，表示一一对应的关系。|标题: 角的集合与实数集R之间的一一对应关系|图3]
图5.1-12

**例6** 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1) $l=\alpha R$;
(2) $S=\frac{1}{2}\alpha R^2$;
(3) $S=\frac{1}{2}lR$.
其中$R$ 是圆的半径,$\alpha(0<\alpha<2\pi)$为圆心角,$l$是扇形的弧长,$S$是扇形的面积.
**证明**: 由公式$|\alpha|=\frac{l}{r}$可得
$l=\alpha R$.
下面证明(2)(3).
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半径为$R$，圆心角为$n^\circ$的扇形的弧长公式和面积公式分别是
$l = \frac{n\pi R}{180}$，$S = \frac{n\pi R^2}{360}$
将$n^\circ$转换为弧度，得
$\alpha = \frac{n\pi}{180}$
于是，
$S = \frac{1}{2}\alpha R^2$.
将$l=\alpha R$代入上式，即得
$S = \frac{1}{2}lR$.

显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了。在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利。

## 练习

1.  把下列角度化成弧度:
    (1) $22^\circ 30'$;
    (2) $-210^\circ$;
    (3) $1200^\circ$.
2.  把下列弧度化成角度:
    (1) $\frac{\pi}{12}$;
    (2) $-\frac{4\pi}{3}$;
    (3) $\frac{3\pi}{10}$.
3.  用弧度表示:
    (1) 终边在$x$轴上的角的集合;
    (2) 终边在$y$轴上的角的集合.
4.  利用计算工具比较下列各对值的大小:
    (1) $\cos 0.75^\circ$和$\cos 0.75$;
    (2) $\tan 1.2^\circ$和$\tan 1.2$.
5.  分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为$1m$的圆中，$60^\circ$的圆心角所对的弧的长度(可用计算工具).
6.  已知半径为$120mm$的圆上，有一条弧的长是$144mm$，求该弧所对的圆心角(正角)的弧度数.

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## 习题 5.1

## 复习巩固

1.  在$0^\circ \sim 360^\circ$范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角:
    (1) $-265^\circ$;
    (2) $-1000^\circ$;
    (3) $-843^\circ 10'$;
    (4) $3900^\circ$.
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2. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并找出集合中适合不等式 $-360^\circ \leq \beta < 360^\circ$ 的元素 $\beta$:
(1) $60^\circ$;
(2) $-75^\circ$;
(3) $-824^\circ30'$;
(4) $475^\circ$;
(5) $90^\circ$;
(6) $270^\circ$;
(7) $180^\circ$;
(8) $0^\circ$.
3. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.
4. 一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角等于1弧度吗?为什么?
5. 把下列角度化成弧度:
(1) $36^\circ$;
(2) $-150^\circ$;
(3) $1095^\circ$;
(4) $1440^\circ$.
6. 把下列弧度化成角度(第(3)(4)题精确到 $0.01^\circ$):
(1) $-\frac{7}{6}\pi$;
(2) $-\frac{10}{3}\pi$;
(3) $1.4$;
(4) $\frac{2}{3}$.

## 综合运用

7. 选择题
(1) 已知 $\alpha$ 是锐角,那么 $2\alpha$ 是( ).
(A) 第一象限角
(B) 第二象限角
(C) 小于 $180^\circ$ 的正角
(D) 第一或第二象限角
(2) 已知 $\alpha$ 是第一象限角,那么 $\frac{\alpha}{2}$ 是( ).
(A) 第一象限角
(B) 第二象限角
(C) 第一或第二象限角
(D) 第一或第三象限角
8. 要在半径 $OA=100\text{ cm}$ 的圆形金属板上截取一块扇形板,使其弧 $AB$ 的长为 $112\text{ cm}$,那么圆心角 $\angle AOB$ 是多少度(可用计算工具,精确到 $1^\circ$)?
9. 已知弧长 $50\text{ cm}$ 的弧所对圆心角为 $200^\circ$,求这条弧所在的圆的半径(可用计算工具,精确到 $1\text{ cm}$).

## 拓广探索

10. 每人准备一把扇形的扇子,然后与本小组其他同学的对比,从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子,并用计算工具算出它的面积 $S_1$.
(1) 假设这把扇子是从一个圆面中剪下的,而剩余部分的面积为 $S_2$,求 $S_1$ 与 $S_2$ 的比值;
(2) 要使 $S_1$ 与 $S_2$ 的比值为 $0.618$,则扇子的圆心角应为几度(精确到 $1^\circ$)?
11. (1) 时间经过 $4\text{ h}$ (时),时针、分针各转了多少度?各等于多少弧度?
(2) 有人说,钟的时针和分针一天内会重合24次,你认为这种说法是否正确?请说明理由. (提示:从午夜零时算起,假设分针走了 $t \text{ min}$ 会与时针重合,一天内分针和时针会重合 $n$ 次,利用分针与时针转动的速度,建立 $t$ 关于 $n$ 的函数解析式,并求解.)
12. 已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿.
(1) 当大轮转动一周时,求小轮转动的角度;
(2) 如果大轮的转速为 $180\text{ r/min}$ (转/分),小轮的半径为 $10.5\text{ cm}$,那么小轮周上一点每 $1\text{ s}$ 转过的弧长是多少?
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## 5.2 三角函数的概念

[图片描述: 一个以O为圆心，A为起点的单位圆示意图。点P在圆周上，表示一个可以从A点开始逆时针旋转的点。图示了O、A、P三个点以及线段OA和OP，其中OA是水平线段。|标题: 图5.2-1|图片编号: 图1]

在弧度制下,我们已经将角的范围扩展到全体实数.下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题,不失一般性,先研究单位圆上点的运动.现在的任务是:

如图5.2-1,单位圆 $\odot O$ 上的点 $P$ 以 $A$ 为起点做逆时针方向旋转,建立一个数学模型,刻画点 $P$ 的位置变化情况.

### 5.2.1 三角函数的概念

根据研究函数的经验,我们利用直角坐标系来研究上述问题.

[图片描述: 一个在直角坐标系中的单位圆。圆心O为坐标原点。正x轴与射线OA重合，点A的坐标为(1,0)。点P在单位圆的圆周上，其坐标为(x,y)。从正x轴（射线OA）开始，逆时针旋转角 $\alpha$ 到达射线OP。此图用于研究点P的坐标与旋转角 $\alpha$ 的关系。|标题: 图5.2-2|图片编号: 图2]

如图5.2-2,以单位圆的圆心 $O$ 为原点,以射线 $OA$ 为 $x$ 轴的非负半轴,建立直角坐标系,点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$,点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$. 射线 $OA$ 从 $x$ 轴的非负半轴开始,绕点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $\alpha$,终止位置为 $OP$.

> **探究**
>
> 当 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ 时,点 $P$ 的坐标是什么? 当 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$ 时,点 $P$ 的坐标又是什么? 它们是唯一确定的吗?
>
> 一般地,任意给定一个角 $\alpha$,它的终边 $OP$ 与单位圆交点 $P$ 的坐标能唯一确定吗?

利用勾股定理可以发现,当 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ 时,点 $P$ 的坐标是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$; 当 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{2\pi}{3}$ 时,点 $P$ 的坐标分别是 $(0,1)$ 和 $(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$. 它们都是唯一确定的.

一般地,任意给定一个角 $\alpha \in \mathbb{R}$,它的终边 $OP$ 与单位圆交点 $P$ 的坐标,无论是横坐标 $x$ 还是纵坐标 $y$,都是唯一确定的.所以,点 $P$ 的横坐标 $x$、纵坐标 $y$ 都是角 $\alpha$ 的函数.下面给出这些函数的定义.

设 $\alpha$ 是一个任意角, $\alpha \in \mathbb{R}$,它的终边 $OP$ 与单位圆相交于点 $P(x,y)$.
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(1) 把点 $P$ 的纵坐标 $y$ 叫做 $\alpha$ 的**正弦函数** (*sine function*), 记作 $\sin \alpha$, 即
$y = \sin \alpha$;
(2) 把点 $P$ 的横坐标 $x$ 叫做 $\alpha$ 的**余弦函数** (*cosine function*), 记作 $\cos \alpha$, 即
$x = \cos \alpha$;
(3) 把点 $P$ 的纵坐标与横坐标的比值 $\frac{y}{x}$ 叫做 $\alpha$ 的**正切**, 记作 $\tan \alpha$, 即
$\frac{y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0)$.

可以看出, 当 $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$ 时, $\alpha$ 的终边在 $y$ 轴上, 这时点 $P$ 的横坐标 $x$ 等于 $0$, 所以 $\frac{y}{x} = \tan \alpha$ 无意义. 除此之外, 对于确定的角 $\alpha$, $\frac{y}{x}$ 的值也是唯一确定的. 所以, $\frac{y}{x} = \tan \alpha (x \neq 0)$ 也是以角为自变量, 以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数, 称为**正切函数** (*tangent function*).
我们将**正弦函数**、**余弦函数**和**正切函数**统称为**三角函数** (*trigonometric function*), 通常将它们记为:
正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbb{R}$;
余弦函数 $y = \cos x, x \in \mathbb{R}$;
正切函数 $y = \tan x, x \in \{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \}$.

> **探究**
> 在初中我们学了锐角三角函数, 知道它们都是以锐角为自变量, 以比值为函数值的函数. 设 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, 把按锐角三角函数定义求得的锐角 $x$ 的正弦记为 $z_1$, 并把按本节三角函数定义求得的 $x$ 的正弦记为 $y_1$. $z_1$ 与 $y_1$ 相等吗? 对于余弦、正切也有相同的结论吗?

**例1** 求 $\frac{5\pi}{3}$ 的正弦、余弦和正切值.

**解:** 在直角坐标系中, 作 $\angle AOB = \frac{5\pi}{3}$ (图 5.2-3). 易知
$\angle AOB$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$. 所以,
$\sin \frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$,

[图片描述: 单位圆在直角坐标系中，显示了一个以原点O为顶点，以X轴正半轴为始边，终边为OB的角。该角的弧度大小被标记为 $\frac{5\pi}{3}$。图中还用虚线表示了点B到X轴和Y轴的垂线，以及其坐标轴上的投影，点B位于第四象限。A点在X轴正半轴上。|标题:图5.2-3|图片1]
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$\cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$,
$\tan \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3}.$

**例2** 如图5.2-4, 设$\alpha$是一个任意角, 它的终边上任意一点$P$ (不与原点$O$重合)的坐标为$(x, y)$, 点$P$与原点的距离为$r$. 求证: $\sin \alpha = \frac{y}{r}$, $\cos \alpha = \frac{x}{r}$, $\tan \alpha = \frac{y}{x}$.

[图片描述:一个笛卡尔坐标系，原点为O。一个角$\alpha$以标准位置绘制，从正x轴开始逆时针旋转。点P位于角的终边上，连接O和P的线段表示距离r。|标题:图 5.2-4|图片1]

**分析**: 观察图5.2-5, 由$\triangle OMP \sim \triangle OM_0 P_0$, 根据三角函数的定义可以得到证明.

**证明**: 如图5.2-5, 设角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P_0(x_0, y_0)$. 分别过点$P, P_0$作$x$轴的垂线$PM, P_0M_0$，垂足分别为$M, M_0$，则

$P_0M_0 = |y_0|$, $PM = |y|$,
$OM_0 = |x_0|$, $OM = |x|$,
$\triangle OMP \sim \triangle OM_0P_0$.

[图片描述:一个笛卡尔坐标系，以原点O为圆心绘制了一个单位圆。一个角$\alpha$以标准位置绘制。在角的终边上有两个点P和P0，其中P0位于单位圆上。从点P和P0分别向x轴作垂线PM和P0M0，垂足分别为M和M0。该图用于演示相似三角形。|标题:图 5.2-5|图片2]

于是
$\frac{P_0M_0}{1} = \frac{PM}{r}$,

即
$\left|y_0\right| = \frac{|y|}{r}.$

因为$y_0$与$y$同号, 所以
$y_0 = \frac{y}{r},$

即
$\sin \alpha = \frac{y}{r}.$

同理可得
$\cos \alpha = \frac{x}{r}$, $\tan \alpha = \frac{y}{x}.$

根据勾股定理, $r=\sqrt{x^2+y^2}$. 由例2可知, 只要知道角$\alpha$终边上任意一点$P$ 的坐标, 就可以求得角$\alpha$的各个三角函数值, 并且这些函数值不会随$P$点位置的改变而改变.

## 练习

1.  利用三角函数定义, 求$0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$的三个三角函数值.
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2. 利用三角函数定义, 求 $\frac{7\pi}{6}$ 的三个三角函数值.
3. 已知角 $\theta$ 的终边过点 $P(-12, 5)$, 求角 $\theta$ 的三角函数值.
4. 已知点 $P$ 在半径为 $2$ 的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动, 角速度为 $1 \text{ rad/s}$. 求 $2 \text{ s}$ 时点 $P$ 所在的位置.

学习了三角函数的定义, 接下来研究它们的一些性质.

---

### 探究

根据任意角的三角函数定义, 先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入表 5.2-1, 再将这三种函数的值在各象限的符号填入图 5.2-6 中的括号.

**表 5.2-1**

| 三角函数 | 定义域 |
| -------- | ------ |
| $\sin \alpha$ |        |
| $\cos \alpha$ |        |
| $\tan \alpha$ |        |

[图片描述: 图中包含三组直角坐标系，每个坐标系代表一种三角函数（sin α, cos α, tan α）在四个象限中的符号分布。每个象限内部有一个括号 `()` 用于填写符号。第一个坐标系（sin α）在第一象限内标有 `+` 符号，其余象限均为 `()`。第二个坐标系（cos α）和第三个坐标系（tan α）的四个象限均为空白括号 `()`。|标题:图 5.2-6|图片编号:1]

---

**例 3** 求证: 角 $\theta$ 为第三象限角的充要条件是
$$
\begin{cases}
\sin \theta < 0, \quad \text{①} \\
\tan \theta > 0. \quad \text{②}
\end{cases}
$$

**证明**: 先证充分性, 即如果 ①② 式都成立, 那么 $\theta$ 为第三象限角.
因为 ① 式 $\sin \theta < 0$ 成立, 所以 $\theta$ 角的终边可能位于第三或第四象限, 也可能与 $y$ 轴的负半轴重合;
又因为 ② 式 $\tan \theta > 0$ 成立, 所以 $\theta$ 角的终边可能位于第一或第三象限.
因为 ①② 式都成立, 所以 $\theta$ 角的终边只能位于第三象限. 于是角 $\theta$ 为第三象限角.
必要性请同学们自己证明.

---

由三角函数的定义, 可以知道: **终边相同的角的同一三角函数的值相等**.
由此得到一组公式:

### 公式一

$$
\sin(\alpha + k \cdot 2\pi) = \sin \alpha, \\
\cos(\alpha + k \cdot 2\pi) = \cos \alpha, \\
\tan(\alpha + k \cdot 2\pi) = \tan \alpha, \\
\text{其中 } k \in \mathbf{Z}.
$$

> 由公式一可知, 三角函数值有“周而复始”的变化规律, 即角 $\alpha$ 的终边每绕原点旋转一周, 函数值将重复出现.
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利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求$0 \sim 2\pi$ (或$0^\circ \sim 360^\circ$)角的功能值。

**例4** 确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证:
(1) $\cos 250^\circ$;
(2) $\sin(-\frac{\pi}{4})$;
(3) $\tan(-672^\circ)$;
(4) $\tan 3\pi$.

**解:**
(1) 因为$250^\circ$是第三象限角,所以 $\cos 250^\circ<0$;
(2) 因为$-\frac{\pi}{4}$是第四象限角,所以 $\sin(-\frac{\pi}{4})<0$;
(3) 因为$\tan(-672^\circ)=\tan(48^\circ-2\times360^\circ)=\tan 48^\circ$,而$48^\circ$是第一象限角,所以 $\tan(-672^\circ)>0$;
(4) 因为 $\tan 3\pi=\tan(\pi+2\pi)=\tan \pi$, 而$\pi$的终边在$x$轴上,所以 $\tan \pi=0$.

请同学们自己完成用计算工具验证。

**例5** 求下列三角函数值:
(1) $\sin 1 480^\circ 10'$ (精确到$0.001$);
(2) $\cos \frac{9\pi}{4}$;
(3) $\tan (-\frac{11\pi}{6})$.

**解:**
(1) $\sin 1 480^\circ 10'=\sin(40^\circ 10'+4\times360^\circ)$
$= \sin 40^\circ 10' \approx 0.645$;
[图片描述:一个蓝色的圆角矩形提示框，内含文字说明：可以直接利用计算工具求三角函数的值，用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制。|标题:计算工具使用提示|图片1]
(2) $\cos \frac{9\pi}{4}=\cos(\frac{\pi}{4}+2\pi)=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
(3) $\tan(-\frac{11\pi}{6})=\tan(\frac{\pi}{6}-2\pi)=\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
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## 练习

1. 填表:

| $\alpha$ | $2\pi$ | $\frac{13\pi}{6}$ | $-\pi$ | $-\frac{4\pi}{3}$ | $\frac{15\pi}{4}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin \alpha$ | | | | | |
| $\cos \alpha$ | | | | | |
| $\tan \alpha$ | | | | | |

2. (口答)设$\alpha$是三角形的一个内角,在 $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\tan \alpha$, $\tan \frac{\alpha}{2}$中,哪些有可能取负值?

3. 确定下列三角函数值的符号:
   (1) $\sin 156^\circ$;
   (2) $\cos \frac{16}{5}\pi$;
   (3) $\cos(-450^\circ)$;
   (4) $\tan(-\frac{17}{8}\pi)$;
   (5) $\sin(-\frac{4\pi}{3})$;
   (6) $\tan 556^\circ$.

4. 对于①$\sin \theta>0$, ②$\sin \theta<0$, ③$\cos \theta>0$, ④$\cos \theta<0$, ⑤$\tan \theta>0$与⑥$\tan \theta<0$, 选择恰当的关系式序号填空:
   (1) 角$\theta$为第一象限角的充要条件是__________;
   (2) 角$\theta$为第二象限角的充要条件是__________;
   (3) 角$\theta$为第三象限角的充要条件是__________;
   (4) 角$\theta$为第四象限角的充要条件是__________ .

5. 求下列三角函数值(可用计算工具,第(1)题精确到$0.0001$):
   (1) $\cos 1109^\circ$;
   (2) $\tan \frac{19\pi}{3}$;
   (3) $\sin(-1050^\circ)$;
   (4) $\tan(-\frac{31\pi}{4})$.

---

## 5.2.2 同角三角函数的基本关系

> **探究**
> 公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等,那么,终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢?

因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的,所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.由公式一可知,我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系.

如图5.2-7,设点$P(x,y)$是角$\alpha$的终边与单位圆的交点,过$P$作$x$轴的垂线,交$x$轴于$M$,则$\triangle OMP$是直角三角形,而且$OP=1$.由勾股定理有
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$OM^2 + MP^2 = 1.$
因此, $x^2 + y^2 = 1$, 即
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.$

[图片描述:一个直角坐标系中的单位圆。圆心在原点O，x轴和y轴穿过圆心。在第一象限，圆上有一点P，从P向x轴作垂线交于点M。OM是横坐标，MP是纵坐标。从原点O到P的线段与x轴正半轴的夹角为α。OP的长度为1。图中清晰地展示了三角函数的几何定义。|标题:图5.2-7 单位圆中的三角函数定义示意图|图片1]

显然, 当 $\alpha$ 的终边与坐标轴重合时, 这个公式也成立.
根据三角函数的定义, 当 $\alpha \neq k\pi + \frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$ 时, 有
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha.$
这就是说, 同一个角 $\alpha$ 的正弦、余弦的平方和等于1, 商等于角 $\alpha$ 的正切.

**例6** 已知 $\sin \alpha = -\frac{3}{5}$, 求 $\cos \alpha, \tan \alpha$ 的值.
**解**: 因为 $\sin \alpha < 0$, $\sin \alpha \neq -1$, 所以 $\alpha$ 是第三或第四象限角.
由 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ 得
$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}.$
如果 $\alpha$ 是第三象限角, 那么 $\cos \alpha < 0$. 于是
$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}.$
从而
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \left(-\frac{3}{5}\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{3}{4}.$
如果是第四象限角, 那么
$\cos \alpha = \frac{4}{5}, \tan \alpha = -\frac{3}{4}.$

**例7** 求证: $\frac{\cos x}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{\cos x}.$
**证法1**: 由 $\cos x \neq 0$, 知 $\sin x \neq -1$, 所以 $1 + \sin x \neq 0$, 于是
左边$= \frac{\cos x(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}$
$= \frac{\cos x(1+\sin x)}{1-\sin^2 x}$
$= \frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^2 x}$
$= \frac{1+\sin x}{\cos x}=$右边.

> 今后, 除特殊注明外, 我们假定三角恒等式是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
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所以, 原式成立.
**证法2:** 因为
$(1-\sin x)(1+\sin x)$
$=1-\sin^2 x=\cos^2 x$
$=\cos x \cos x,$
且 $1-\sin x \neq 0, \cos x \neq 0$, 所以
$\frac{\cos x}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{\cos x}.$

## 练习

1.  已知 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}$, 且 $\alpha$ 为第三象限角, 求 $\sin \alpha, \tan \alpha$ 的值.
2.  已知 $\tan \varphi=-\sqrt{3}$, 求 $\sin \varphi, \cos \varphi$ 的值.
3.  已知 $\sin \theta=0.35$, 求 $\cos \theta, \tan \theta$ 的值 (精确到 $0.01$).
4.  化简:
    (1) $\cos \theta \tan \theta$;
    (2) $\frac{2 \cos^2 \alpha-1}{1-2 \sin^2 \alpha}$;
    (3) $(1+\tan^2 \alpha) \cos^2 \alpha$.
5.  求证: $\sin^4 \alpha+\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$.

## 习题 5.2

### 复习巩固

1.  用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值 (可用计算工具):
    (1) $\frac{17\pi}{3}$;
    (2) $\frac{21\pi}{4}$;
    (3) $-\frac{23\pi}{6}$;
    (4) $1500^{\circ}$.
2.  已知角 $\alpha$ 的终边上有一点 $P$ 的坐标是 $(3a, 4a)$, 其中 $a \neq 0$, 求 $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ 的值.
3.  计算:
    (1) $6\sin(-90^{\circ})+3\sin 0^{\circ}-8\sin 270^{\circ}+12\cos 180^{\circ}$;
    (2) $10\cos 270^{\circ}+4\sin 0^{\circ}+9\tan 0^{\circ}+15\cos 360^{\circ}$;
    (3) $2\cos \frac{\pi}{2}-\tan \frac{\pi}{4}+\frac{3}{4}\tan^2 \frac{\pi}{6}-\sin \frac{\pi}{6}+\cos^2 \frac{\pi}{6}+\sin \frac{3\pi}{2}$;
    (4) $\sin^2 \frac{\pi}{3}+\cos^4 \frac{3\pi}{2}-\tan^2 \frac{\pi}{3}$.
4.  化简:
    (1) $a\sin 0^{\circ}+b\cos 90^{\circ}+c\tan 180^{\circ}$;
    (2) $-p^2\cos 180^{\circ}+q^2 \sin 90^{\circ}-2pq\cos 0^{\circ}$.
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(3) $a^2\cos 2\pi-b^2 \sin \frac{3\pi}{2}+ab\cos \pi-ab\sin \frac{\pi}{2}$;
(4) $m\tan \theta+n\cos \frac{1}{2}\pi-p\sin \pi-q\cos \frac{3}{2}\pi-r\sin 2\pi$.

5. 确定下列三角函数值的符号:
(1) $\sin 186^{\circ}$;
(2) $\tan 505^{\circ}$;
(3) $\sin 7.6\pi$;
(4) $\tan\left(-\frac{23\pi}{4}\right)$;
(5) $\cos 940^{\circ}$;
(6) $\cos\left(-\frac{59\pi}{17}\right)$.

6. (1) 已知 $\sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, 且 $\alpha$ 为第四象限角, 求 $\cos \alpha$, $\tan \alpha$ 的值;
(2) 已知 $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, 且 $\alpha$ 为第二象限角, 求 $\sin \alpha$, $\tan \alpha$ 的值;
(3) 已知 $\tan \alpha=-\frac{3}{4}$, 求 $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ 的值;
(4) 已知 $\cos \alpha=0.68$, 求 $\sin \alpha$, $\tan \alpha$ 的值(精确到 $0.01$).

**综合运用**

7. 根据下列条件求函数 $f(x)=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-4\cos 2x + 3\cos\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)$ 的值:
(1) $x=\frac{\pi}{4}$;
(2) $x=\frac{3\pi}{4}$.

8. 确定下列式子的符号:
(1) $\tan 125^{\circ}\sin 273^{\circ}$;
(2) $\frac{\tan 108^{\circ}}{\cos 305^{\circ}}$;
(3) $\sin \frac{5\pi}{4}\cos \frac{4\pi}{5}\tan \frac{11\pi}{6}$;
(4) $\frac{\cos \frac{5\pi}{6}\tan \frac{11\pi}{6}}{\sin \frac{2\pi}{3}}$.

9. 求下列三角函数值(可用计算工具, 第(1)(3)(4)题精确到 $0.0001$):
(1) $\sin\left(-\frac{67\pi}{12}\right)$;
(2) $\tan\left(-\frac{15\pi}{4}\right)$;
(3) $\cos 398^{\circ}13'$;
(4) $\tan 766^{\circ}15'$.

10. 求证:
(1) 角 $\theta$ 为第二或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta\tan \theta<0$;
(2) 角 $\theta$ 为第三或第四象限角的充要条件是 $\cos \theta\tan \theta<0$;
(3) 角 $\theta$ 为第一或第四象限角的充要条件是 $\frac{\sin \theta}{\tan \theta}>0$;
(4) 角 $\theta$ 为第一或第三象限角的充要条件是 $\sin \theta\cos \theta>0$.

11. 已知 $\sin x=-\frac{1}{3}$, 求 $\cos x$, $\tan x$ 的值.

12. 已知 $\tan \alpha=\sqrt{3}$, $\pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi$, 求 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值.
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13. 已知角 $\alpha$ 的终边不在坐标轴上,
    (1) 用 $\cos \alpha$ 表示 $\sin \alpha$, $\tan \alpha$;
    (2) 用 $\sin \alpha$ 表示 $\cos \alpha$, $\tan \alpha$.
14. 求证:
    (1) $\frac{1-2\sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{1-\tan x}{1+\tan x}$;
    (2) $\tan^2\alpha-\sin^2\alpha=\tan^2\alpha\sin^2\alpha$;
    (3) $(\cos \beta-1)^2+\sin^2\beta=2-2\cos \beta$;
    (4) $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x \cos^2x$.
15. 已知 $\tan \alpha=2$, 求 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}$ 的值.

**拓展探索**

16. 化简 $\sqrt{\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1-\sin \alpha}{1+\sin \alpha}}$, 其中 $\alpha$ 为第二象限角.
17. 从本节的例 7 可以看出, $\frac{\cos x}{1-\sin x} = \frac{1+\sin x}{\cos x}$ 就是 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 的一个变形, 你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗?
18. (1) 分别计算 $\sin^4\frac{\pi}{3}-\cos^4\frac{\pi}{3}$ 和 $\sin^2\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}$ 的值, 你有什么发现?
    (2) 任取一个 $\alpha$ 的值, 分别计算 $\sin^4\alpha-\cos^4\alpha$, $\sin^2\alpha-\cos^2\alpha$, 你又有什么发现?
    (3) 证明: $\forall x \in \mathbf{R}$, $\sin^2x-\cos^2x=\sin^4x-\cos^4x$.

**阅读与思考**

### 三角学与天文学

三角学的起源、发展与天文学密不可分, 它是天文观察结果推算的一种方法. 在 1450 年以前的三角学主要是球面三角, 这不但是因为航海、历法推算以及天文观测等人类实践活动的需要, 而且也因为宇宙的奥秘对人类的巨大吸引力, 这种“量天的学问” 确实太诱人了. 后来, 由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角.

在欧洲, 最早将三角学从天文学中独立出来的数学家是德国人 *雷格蒙塔努斯* (*J. Regiomontanus*, 1436–1476). 他在 1464 年完成的 5 卷本的著作《论各种三角形》, 是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作, 这部著作首次对三角学做出了完整、独立的阐述. 前 2 卷论述平面三角学, 后 3 卷讨论球面三角学. 前 2 卷中, 他采用印度人的正弦, 即弧的半弦, 明确使用了正弦函数, 讨论了一般三角
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形的正弦定理，提出了求三角形边长的代数解法；后3卷中，给出了球面三角的正弦定理和关于边的余弦定理。他的工作为三角学在平面与球面几何中的应用奠定了牢固基础，对16世纪的数学家产生了极大影响，也对哥白尼等一批天文学家产生了很大影响。

由于雷格蒙塔努斯仅仅采用正弦函数和余弦函数，而且函数值也限定在正数范围内，因而不能推出应有的三角公式，导致计算的困难。后来，哥白尼的学生雷提库斯（G. J. Rheticus, 1514—1576）将传统的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来。他还采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），制定了更为精确的正弦、正切、正割表，这些工作都极大推进了三角学的发展。实际上，由于天文学研究的需要，制定更加精确的三角函数表一直是数学家奋斗的目标，这大大推动了三角学的发展。

法国数学家韦达（F. Viete, 1540—1603）所做的平面三角与球面三角系统化工作，使得三角学得到进一步发展。他总结了前人的三角学研究成果，将解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，还补充了自己发现的新公式，如正切公式、和差化积公式等。他将解斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。对球面直角三角形，他给出了计算的方法和一套完整的公式及其记忆法则，并将这套公式表示成了代数形式，这是非常重要的工作。

16世纪，三角学从天文学中分离出来，成为数学的一个独立分支。后来，在微积分、物理学的研究和应用（如对振动、声音传播等的研究）中，三角学又找到了新的用武之地。
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## 5.3 诱导公式

前面利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系。我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性(如奇偶性)也是函数的重要性质，由此想到，可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。

### 探究1

如图5.3-1, 在直角坐标系内，设任意角$\alpha$的终边与单位圆交于点$P_1$.

1.  作$P_1$关于原点的对称点$P_2$，以$OP_2$为终边的角$\beta$与角$\alpha$有什么关系？角$\beta$, $\alpha$的三角函数值之间有什么关系？
2.  如果作$P_1$关于$x$轴(或$y$轴)的对称点$P_3$(或$P_4$), 那么又可以得到什么结论？

[图片描述:一个直角坐标系中的单位圆。正x轴逆时针旋转角$\alpha$至点$P_1$。点$P_2$是$P_1$关于原点$O$的对称点。从正x轴逆时针旋转到$OP_2$的角标记为$\beta$。|标题:图5.3-1|图片编号:图1]

下面，借助单位圆的对称性进行探究。
如图5.3-2, 以$OP_2$为终边的角都是与角 $\pi+\alpha$终边相同的角，即$\beta=2k\pi+(\pi+\alpha)(k \in \mathbb{Z})$. 因此，只要探究角 $\pi+\alpha$ 与$\alpha$ 的三角函数值之间的关系即可。

[图片描述:一个直角坐标系中的单位圆。正x轴逆时针旋转角$\alpha$至点$P_1$。点$P_2$是$P_1$关于原点$O$的对称点。从正x轴逆时针旋转到$OP_2$的角标记为$\pi+\alpha$。|标题:图5.3-2|图片编号:图2]

设$P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$. 因为$P_2$是点$P_1$关于原点的对称点，所以
$$x_2 = -x_1, \quad y_2 = -y_1.$$
根据三角函数的定义，得
$$\sin \alpha = y_1, \quad \cos \alpha = x_1, \quad \tan \alpha = \frac{y_1}{x_1};$$
$$\sin(\pi+\alpha) = y_2, \quad \cos(\pi+\alpha) = x_2, \quad \tan(\pi+\alpha) = \frac{y_2}{x_2}.$$
从而得

> 角$\pi+\alpha$还可以看作是角$\alpha$的终边按逆时针方向旋转角$\pi$得到的。
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## 公式二

$$
\begin{cases}
\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha \\
\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha \\
\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha
\end{cases}
$$

如图5.3-3，作$P_1$关于$x$轴的对称点$P_3$，则以$OP_3$为终边的角为$-\alpha$，并且有

[图片描述: 坐标系中的一个单位圆，原点O是圆心。一条射线从O出发指向第一象限，与x轴正半轴夹角为$\alpha$，射线末端在圆上标记为$P_1$。另一条射线从O出发指向第四象限，与x轴正半轴夹角为$-\alpha$（即顺时针方向转动$\alpha$角），射线末端在圆上标记为$P_3$。$P_3$是$P_1$关于x轴的对称点。|标题:图5.3-3|图片编号:1]

## 公式三

$$
\begin{cases}
\sin(-\alpha)=-\sin\alpha \\
\cos(-\alpha)=\cos\alpha \\
\tan(-\alpha)=-\tan\alpha
\end{cases}
$$

如图5.3-4，作$P_1$关于$y$轴的对称点$P_4$，则以$OP_4$为终边的角为 $\pi-\alpha$，并且有

[图片描述: 坐标系中的一个单位圆，原点O是圆心。一条射线从O出发指向第一象限，与x轴正半轴夹角为$\alpha$，射线末端在圆上标记为$P_1$。另一条射线从O出发指向第二象限，与x轴正半轴夹角为$\pi-\alpha$，射线末端在圆上标记为$P_4$。$P_4$是$P_1$关于y轴的对称点。|标题:图5.3-4|图片编号:2]

## 公式四

$$
\begin{cases}
\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha \\
\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha \\
\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha
\end{cases}
$$

<div style="background-color: #e0f2f7; padding: 15px; border-radius: 8px; border-left: 5px solid #00bcd4;">
请你类比公式二，证明公式三和公式四。
</div>

**例1** 利用公式求下列三角函数值:
(1) $\cos 225^{\circ}$;
(2) $\sin \frac{8\pi}{3}$;
(3) $\sin\left(-\frac{16\pi}{3}\right)$;
(4) $\tan(-2040^{\circ})$.

**解**:
(1) $\cos 225^{\circ}=\cos(180^{\circ}+45^{\circ})$
$=-\cos 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

(2) $\sin \frac{8\pi}{3}=\sin\left(2\pi+\frac{2\pi}{3}\right)$
$=\sin \frac{2\pi}{3}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)$
$=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
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$(3) \sin\left(-\frac{16\pi}{3}\right) = -\sin\frac{16\pi}{3}$
$= -\sin\left(5\pi + \frac{\pi}{3}\right)$
$= -\left(-\sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2};$

$(4) \tan(-2040^{\circ}) = -\tan 2040^{\circ}$
$= -\tan(6 \times 360^{\circ} - 120^{\circ})$
$= \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ})$
$= -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}.$

> **思考**
> 由例1,你对公式一~公式四的作用有什么进一步的认识?你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗?

利用公式一~公式四,可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般可按下面步骤进行:

```mermaid
graph LR
    A[任意负角的<br>三角函数] -->|"用公式<br>三或一"| B[任意正角的<br>三角函数]
    B -->|"用公式一"| C[$0 \sim 2\pi$ 的角的<br>三角函数]
    C -->|"用公式<br>二或四"| D[锐角的<br>三角函数]
```

数学史上,求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题,数学家制作了锐角三角函数表,并通过公式一~公式四,按上述步骤解决了问题.现在,我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值,所以这些公式的“求值”作用已经不重要了,但它们所体现的三角函数的对称性,在解决三角函数的各种问题中却依然有重要的作用.

**例2** 化简
$\frac{\cos(180^{\circ}+\alpha)\sin(\alpha+360^{\circ})}{\tan(-\alpha-180^{\circ})\cos(-180^{\circ}+\alpha)}$

**解:**
$\tan(-\alpha-180^{\circ}) = \tan[-(180^{\circ}+\alpha)]$
$= -\tan(180^{\circ}+\alpha)$
$= -\tan \alpha,$

$\cos(-180^{\circ}+\alpha) = \cos[-(180^{\circ}-\alpha)]$
$= \cos(180^{\circ}-\alpha)$
$= -\cos \alpha,$
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所以

$$
\text{原式}=\frac{-\cos \alpha \sin \alpha}{(-\tan \alpha)(-\cos \alpha)}=-\cos \alpha.
$$

## 练习

1.  将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中横线上:
    (1) $\cos \frac{13}{9}\pi=$ ______ ;
    (2) $\sin(1+\pi)=$ ______ ;
    (3) $\sin(-\frac{\pi}{5})=$ ______ ;
    (4) $\tan(-70^\circ 6')=$ ______ ;
    (5) $\cos \frac{6\pi}{7}=$ ______ ;
    (6) $\tan 1000^\circ 21'=$ ______ .

2.  利用公式求下列三角函数值:
    (1) $\cos(-420^\circ)$;
    (2) $\sin(-\frac{7}{6}\pi)$;
    (3) $\tan(-1140^\circ)$;
    (4) $\cos(-\frac{77}{6}\pi)$;
    (5) $\tan 315^\circ$;
    (6) $\sin(-\frac{11}{4}\pi)$.

3.  化简:
    (1) $\sin(-\alpha-180^\circ)\cos(-\alpha)\sin(-\alpha+180^\circ)$;
    (2) $\cos^3(-\alpha)\sin(2\pi+\alpha)\tan^3(-\alpha-\pi)$.

4.  填表:

| $\alpha$      | $-\frac{4\pi}{3}$ | $-\frac{5\pi}{4}$ | $-\frac{5\pi}{3}$ | $-\frac{7\pi}{4}$ | $-\frac{8\pi}{3}$ | $-\frac{11\pi}{4}$ |
| :------------ | :---------------: | :---------------: | :---------------: | :---------------: | :---------------: | :----------------: |
| $\sin \alpha$ |                   |                   |                   |                   |                   |                    |
| $\cos \alpha$ |                   |                   |                   |                   |                   |                    |
| $\tan \alpha$ |                   |                   |                   |                   |                   |                    |

下面在探究1的基础上继续探究.

## 探究2

作$P_1$关于直线$y=x$的对称点$P_5$,以$OP_5$为终边的角$\gamma$与角$\alpha$有什么关系?角$\gamma$与角$\alpha$的三角函数值之间有什么关系?

如图5.3-5,以$OP_5$为终边的角$\gamma$都是与角$\frac{\pi}{2}-\alpha$终边相同的角,即$\gamma=2k\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ ($k \in \mathbb{Z}$).因此,只要探究角$\frac{\pi}{2}-\alpha$与$\alpha$的三角函数值之间的关系即可.
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设$P_5(x_5, y_5)$, 由于$P_5$是点$P_1$关于直线$y=x$的对称点, 可以证明

$x_5=y_1, y_5=x_1$. ①

根据三角函数的定义, 得

$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=y_5, \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=x_5.$

从而得

**公式五**

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha.$$

[图片描述:一个笛卡尔坐标系中的单位圆。角$\alpha$位于第一象限，终边与点$P_1$相交。直线$y=x$穿过原点。点$P_5$是点$P_1$关于直线$y=x$的对称点，其终边与正x轴的夹角为$\frac{\pi}{2}-\alpha$。图中用不同颜色表示了角度和直线$y=x$。|标题:图 5.3-5|图片1]

> **?** 你能利用平面几何的知识,就图 5.3-5 所示的情况证明①式吗?其他情况呢?

## 探究3
作$P_5$关于$y$轴的对称点,又能得到什么结论?

类似地,可得
**公式六**

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos \alpha,$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha.$$

> **?** 角 $\frac{\pi}{2}+\alpha$ 的终边与角 $\alpha$ 的终边具有怎样的对称性?据此你将如何证明公式六?

利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。
公式一~公式六都叫做**诱导公式**。

**例3** 证明:
(1) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha;$
(2) $\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)=\sin \alpha.$

**证明:** (1) $\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \sin\left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\right]$
$$= -\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha;$$
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$(2) \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\left[\pi + \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\right]$
$= -\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha.$

**例4** 化简

**解:** 原式
$$
\frac{\sin(2\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)\cos\left(\frac{11\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos(\pi-\alpha)\sin(3\pi-\alpha)\sin(-\pi-\alpha)\sin\left(\frac{9\pi}{2}+\alpha\right)}
$$
$$
= \frac{(-\sin \alpha)(-\cos \alpha)(-\sin \alpha)\cos\left[5\pi + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right]}{(-\cos \alpha)\sin(\pi-\alpha)[-\sin(\pi+\alpha)]\sin\left[4\pi + \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)\right]}
$$
$$
= \frac{-\sin^2\alpha \cos \alpha \left[-\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)\right]}{(-\cos \alpha)\sin \alpha[- (-\sin \alpha)]\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)}
$$
$$
= \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = -\tan \alpha.
$$

**例5** 已知 $\sin(53°-\alpha)=\frac{1}{5}$, 且 $-270°<\alpha<-90°$, 求 $\sin(37°+\alpha)$ 的值.

**分析:** 联系条件与结论,注意到$(53°-\alpha)+(37°+\alpha)=90°$, 由此可利用诱导公式解决问题.

**解:** 因为 $(53°-\alpha)+(37°+\alpha)=90°$, 所以由诱导公式五,得
$$
\sin(37°+\alpha)=\sin[90°-(53°-\alpha)]
$$
$$
=\cos(53°-\alpha)
$$
因为 $-270°<\alpha<-90°$,
所以 $143°<53°-\alpha<323°$.
由 $\sin(53°-\alpha) = \frac{1}{5} > 0$, 得 $143°<53°-\alpha<180°$.
所以 $\cos(53°-\alpha) = -\sqrt{1-\sin^2(53°-\alpha)} = -\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}.$
所以 $\sin(37°+\alpha) = -\frac{2\sqrt{6}}{5}.$
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## 练习

1.  用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(3)(4)(6)题精确到 $0.000 1$):
    (1) $\cos \frac{65}{6}\pi$;
    (2) $\sin(-\frac{31}{4}\pi)$;
    (3) $\cos(-1182^\circ 13')$;
    (4) $\sin 670^\circ 39'$;
    (5) $\tan(-\frac{26}{3}\pi)$;
    (6) $\tan 580^\circ 21'$.

2.  证明:
    (1) $\cos(\frac{5}{2}\pi-\alpha)=\sin \alpha$;
    (2) $\cos(\frac{7}{2}\pi+\alpha)=\sin \alpha$;
    (3) $\sin(\frac{9}{2}\pi-\alpha)=\cos \alpha$;
    (4) $\sin(\frac{11}{2}\pi-\alpha)=-\cos \alpha$.

3.  化简:
    (1) $\frac{\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{5\pi}{2}+\alpha)} - \sin(\alpha-2\pi)\cos(2\pi-\alpha)$;
    (2) $\cos^2(-\alpha) - \frac{\tan(2\pi+\alpha)}{\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)}$;
    (3) $\frac{\cos(\alpha-3\pi)\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}{\sin^2(\alpha-\frac{\pi}{2})}$.

## 习题 5.3

### 复习巩固

1.  用诱导公式求下列三角函数值(可用计算工具,第(2)(3)(4)(5)题精确到 $0.0001$):
    (1) $\cos(-\frac{17\pi}{4})$;
    (2) $\sin(-1574^\circ)$;
    (3) $\sin(-2160^\circ 52')$;
    (4) $\cos(-1751^\circ 36')$;
    (5) $\cos 1615^\circ 8'$;
    (6) $\sin(-\frac{26}{3}\pi)$.

2.  求证:
    (1) $\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin \alpha$;
    (2) $\cos(360^\circ-\alpha)=\cos \alpha$;
    (3) $\tan(360^\circ-\alpha)=-\tan \alpha$.

3.  化简:
    (1) $1+\sin(\alpha-2\pi)\sin(\pi+\alpha)-2\cos^2(-\alpha)$;
    (2) $\sin(-1071^\circ)\sin 99^\circ+\sin(-171^\circ)\sin(-261^\circ)$.

4.  在单位圆中,已知角$\alpha$的终边与单位圆的交点为$P(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$,分别求角$\pi+\alpha$, $-\alpha$, $\frac{\pi}{2}+\alpha$的正弦、余弦函数值。
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## 综合运用

5.  已知 $\sin(\frac{7\pi}{2}+\alpha)=\frac{3}{5}$，那么 $\cos \alpha= ( \quad ).$
    (A) $-\frac{4}{5}$ (B) $-\frac{3}{5}$ (C) $\frac{3}{5}$ (D) $\frac{4}{5}$

6.  已知 $\sin(\pi+\alpha)=-\frac{1}{2}$，计算:
    (1) $\sin(5\pi-\alpha)$; (2) $\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)$; (3) $\cos(\alpha-\frac{3\pi}{2})$; (4) $\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)$.

7.  在 $\triangle ABC$ 中，试判断下列关系是否成立，并说明理由.
    (1) $\cos(A+B)=\cos C$; (2) $\sin(A+B)=\sin C$;
    (3) $\sin\frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2}$; (4) $\cos\frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}$.

8.  已知 $\sin(\frac{\pi}{3}-x)=\frac{1}{3}$，且 $0<x<\frac{\pi}{2}$，求 $\sin(\frac{\pi}{6}+x)$ 和 $\cos(\frac{2\pi}{3}+x)$ 的值.

## 拓广探索

9.  化简下列各式，其中 $n \in \mathbf{Z}$:
    (1) $\sin(\frac{n\pi}{2}+\alpha)$; (2) $\cos(\frac{n\pi}{2}-\alpha)$.

10. 借助单位圆，还可以建立角的终边之间的哪些特殊位置关系？由此还能得到三角函数值之间的哪些恒等关系？
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## 5.4 三角函数的图象与性质

前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论。

我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式
$$ \sin(x \pm 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x \pm 2\pi) = \cos x $$
来表示。这说明，自变量每增加（减少）$2\pi$，正弦函数值、余弦函数值将重复出现。利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程。

### 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象

下面先研究函数 $y = \sin x, x \in \mathbb{R}$ 的图象，从画函数 $y = \sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象开始。

> **思考**
> 在 $[0, 2\pi]$ 上任取一个值 $x_0$，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 $\sin x_0$，并画出点 $T(x_0, \sin x_0)$？

如图 5.4-1，在直角坐标系中画出以原点 $O$ 为圆心的单位圆，$\odot O$ 与 $x$ 轴正半轴的交点为 $A(1, 0)$。在单位圆上，将点 $A$ 绕着点 $O$ 旋转 $x_0$ 弧度至点 $B$，根据正弦函数的定义，点 $B$ 的纵坐标 $y_0 = \sin x_0$。由此，以 $x_0$ 为横坐标，$y_0$ 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点 $T(x_0, \sin x_0)$。

[图片描述: 图像包含一个直角坐标系，x轴和y轴。左侧是一个以原点 $O$ 为圆心的单位圆。x轴的正半轴与圆的交点是 $A(1,0)$。单位圆上有一个点 $B$，由点 $A$ 逆时针旋转 $x_0$ 弧度（角度）得到。从点 $B$ 向x轴作垂线，垂足为 $M$，点 $B$ 的纵坐标标记为 $y_0$。x轴上标注了 $\frac{\pi}{2}$、$\pi$、$\frac{3\pi}{2}$ 和 $2\pi$ 等刻度。在坐标系的右侧，显示了函数图象上的一个点 $T(x_0, \sin x_0)$。虚线连接了单位圆中角度 $x_0$ 对应的点 $B$ 的纵坐标 $y_0$ 和函数图象中点 $T$ 的纵坐标，同时连接了单位圆中 $x_0$ 弧度的位置和函数图象中点 $T$ 的横坐标，直观地展示了如何从单位圆上提取正弦函数值并绘制函数图象上的点。|标题: 图5.4-1|图片编号: 1]
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若把 $x$ 轴上从 $0$ 到 $2\pi$ 这一段分成 $12$ 等份，使 $x_0$ 的值分别为 $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \dots, 2\pi$，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周 $12$ 等分，再按上述画点 $T(x_0, \sin x_0)$ 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。

[图片描述:左侧是一个单位圆，其圆周被等分成12份，并从原点引出12条射线。右侧是一个笛卡尔坐标系，x轴表示角度，y轴表示正弦值。单位圆上每个点的y坐标通过虚线映射到右侧坐标系的相应x值（角度）上，生成了正弦函数曲线上的离散点。这些点包括 $x = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ 处的函数值。|标题:图 5.4-2|图片编号:1]

事实上，利用信息技术，可使 $x_0$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上取到足够多的值而画出足够多的点 $T(x_0, \sin x_0)$，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象。

[图片描述:左侧显示了一个单位圆，其圆周被更细致地等分（例如分成24份或更多），从原点引出更多射线。右侧是一个笛卡尔坐标系，x轴表示角度，y轴表示正弦值。通过将单位圆上更多的点映射到右侧坐标系并用光滑的曲线连接，形成了一条精确的连续正弦函数曲线。曲线下方的区域用浅蓝色虚线填充，强调了曲线的形状。曲线上标示了点 $T(x_0, \sin x_0)$。|标题:图 5.4-3|图片编号:2]

**? 思考**
根据函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象，你能想象函数 $y=\sin x, x \in \mathbf{R}$ 的图象吗？

由诱导公式一可知，函数 $y=\sin x, x \in [2k\pi, 2(k+1)\pi], k \in \mathbf{Z}$ 且 $k \neq 0$ 的图象与 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象形状完全一致。因此将函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象不断向左、向右平移（每次移动 $2\pi$ 个单位长度），就可以得到正弦函数 $y=\sin x, x \in \mathbf{R}$ 的图象（图 5.4-4）。
正弦函数的图象叫做**正弦曲线** (sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。
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[图片描述:一个绘制在笛卡尔坐标系中的正弦函数图像。x轴以$\frac{\pi}{2}$为间隔从$-4\pi$到$4\pi$进行标记，y轴显示-1、0和1。图像是一条平滑的波浪线，通过原点$(0,0)$，以及$(\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -1), (2\pi, 0)$等关键点，并向两侧无限延伸。图中还包含两条水平虚线，分别在$y=1$和$y=-1$处，表明函数的振幅为1。|标题:图5.4-4|图片1]

> ? **思考**
>
> 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？

观察图5.4-3，在函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象上，以下五个点：
$(0, 0), (\frac{\pi}{2}, 1), (\pi, 0), (\frac{3\pi}{2}, -1), (2\pi, 0)$
在确定图象形状时起关键作用。描出这五个点，函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象形状就基本确定了。因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图。这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的。

由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数。下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象。

> ? **思考**
>
> 你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

对于函数 $y=\cos x$，由诱导公式 $\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$ 得，
$y=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}), x \in \mathbf{R}$.
而函数
$y=\sin(x+\frac{\pi}{2}), x \in \mathbf{R}$
的图象可以通过正弦函数
$y=\sin x, x \in \mathbf{R}$
的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度而得到。

> ? **你能说明理由吗？**

所以，将正弦函数的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4-5所示。
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[图片描述:图5.4-5展示了余弦函数 $y = \cos x$ (实线，洋红色) 和正弦函数 $y = \sin x$ (虚线，洋红色) 的图像。x轴范围从约 $-4\pi$ 到 $4\pi$，y轴范围从 -1 到 1。实线表示 $y=\cos x$，在 $x=0$ 处达到最大值1；虚线表示 $y=\sin x$，在 $x=0$ 处为0。两条曲线都呈现周期性的波浪状，说明了三角函数的周期性特征。|标题:余弦函数和正弦函数的图像|图片编号:1]

余弦函数 $y = \cos x, x \in \mathbf{R}$ 的图象叫做**余弦曲线** (cosine curve). 它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.

### 探究

类似于用“五点法”画正弦函数图象, 找出余弦函数在区间 $[-\pi, \pi]$ 上相应的五个关键点, 将它们的坐标填入表 5.4-1, 然后画出 $y = \cos x, x \in [-\pi, \pi]$ 的简图.

**表 5.4-1**

| $x$ | | | | | |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | | | | | |

**例 1** 画出下列函数的简图:
(1) $y = 1 + \sin x, x \in [0, 2\pi]$;
(2) $y = -\cos x, x \in [0, 2\pi]$.

**解:** (1) 按五个关键点列表:

| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| $1 + \sin x$ | $1$ | $2$ | $1$ | $0$ | $1$ |

描点并将它们用光滑的曲线连接起来 (图 5.4-6):

[图片描述:图5.4-6展示了函数 $y = 1 + \sin x$ (实线，洋红色) 和 $y = \sin x$ (虚线，青色) 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的图像。x轴范围从0到 $2\pi$，y轴范围从 -1 到 2。实线曲线代表 $y = 1 + \sin x$，它相对于虚线曲线 $y = \sin x$ 向上平移了1个单位。实线曲线的最高点是 $(\frac{\pi}{2}, 2)$，最低点是 $(\frac{3\pi}{2}, 0)$。虚线曲线的最高点是 $(\frac{\pi}{2}, 1)$，最低点是 $(\frac{3\pi}{2}, -1)$。|标题:函数 $y = 1 + \sin x$ 和 $y = \sin x$ 的图像|图片编号:2]
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## (2) 按五个关键点列表:

| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $-\cos x$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $-1$ |

描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5.4-7):

[图片描述:该图为一个直角坐标系中的函数图像，横轴表示 $x$，纵轴表示 $y$。横轴从 $0$ 到 $2\pi$ 标注了 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ 等关键点。纵轴标注了 $-1$ 和 $1$。图中有两条曲线：一条是虚线（蓝色），表示函数 $y=\cos x, x \in [0, 2\pi]$ 的图像；另一条是实线（品红色），表示函数 $y=-\cos x, x \in [0, 2\pi]$ 的图像。这两条曲线都经过关键点，例如 $y=\cos x$ 经过 $(0,1)$, $(\frac{\pi}{2},0)$, $(\pi,-1)$, $(\frac{3\pi}{2},0)$, $(2\pi,1)$；而 $y=-\cos x$ 经过 $(0,-1)$, $(\frac{\pi}{2},0)$, $(\pi,1)$, $(\frac{3\pi}{2},0)$, $(2\pi,-1)$。|标题:图5.4-7|图片编号:1]

> **思考**
>
> 你能利用函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象,通过图象变换得到 $y=1+\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象吗?同样地,利用函数 $y=\cos x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象,通过怎样的图象变换就能得到函数 $y=-\cos x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象?

---

## 练习

1. 在同一直角坐标系中,画出函数
   $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$,
   $y=\cos x, x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$
   的图象,通过观察两条曲线,说出它们的异同.

2. 用五点法分别画下列函数在 $[-\pi, \pi]$ 上的图象:
   (1) $y=-\sin x$;
   (2) $y=2-\cos x$.

3. 想一想函数 $y=|\sin x|$ 与 $y=\sin x$ 的图象及其关系,并借助信息技术画出函数的图象进行检验.

4. (多项选择题)函数 $y=1+\cos x, x \in \left(\frac{\pi}{3}, 2\pi\right)$ 的图象与直线 $y=t(t$ 为常数)的交点可能有 ( ).
   (A) 0 个
   (B) 1 个
   (C) 2 个
   (D) 3 个
   (E) 4 个
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**5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质**

> [!NOTE] 探究
> 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大(小)值等。另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的。

### 1. 周期性

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 $2\pi$ 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 $\sin(x+2k\pi)=\sin x \quad (k\in Z)$ 中得到反映，即自变量 $x$ 的值增加 $2\pi$ 整数倍时所对应的函数值，与 $x$ 所对应的函数值相等。数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个非零常数 $T$，使得对每一个 $x\in D$ 都有 $x+T\in D$，且
$f(x+T)=f(x)$,
那么函数 $f(x)$ 就叫做**周期函数** (periodic function)。非零常数 $T$ 叫做这个函数的**周期** (period)。

周期函数的周期不止一个，例如，$2\pi, 4\pi, 6\pi, \cdots$ 以及 $-2\pi, -4\pi, -6\pi, \cdots$ 都是正弦函数的周期。事实上，$\forall k\in Z$ 且 $k\neq 0$，常数 $2k\pi$ 都是它的周期。

如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 $f(x)$ 的**最小正周期**。

根据上述定义，我们有:
**正弦函数是周期函数**，$2k\pi(k\in Z$ 且 $k\neq 0)$ 都是它的周期，**最小正周期是 $2\pi$**。
类似地，**余弦函数也是周期函数**，$2k\pi(k\in Z$ 且 $k\neq 0)$ 都是它的周期，**最小正周期是 $2\pi$**。

> [!NOTE] ① 证明从略。同学们可以从函数图象上观察出这一结论。今后本书中所涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期。

**例2** 求下列函数的周期:
(1) $y=3\sin x$, $x\in\textbf{R}$;
(2) $y=\cos 2x$, $x\in\textbf{R}$;
(3) $y=2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)$, $x\in\textbf{R}$.
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**分析**: 通常可以利用三角函数的周期性,通过代数变形,得出等式 $f(x+T)=f(x)$ 而求出相应的周期.

对于(2), 应从余弦函数的周期性出发,通过代数变形得出 $\cos 2(x+T)=\cos 2x$, $x \in \mathbf{R}$;

对于(3), 应从正弦函数的周期性出发,通过代数变形得出 $\sin \left[\frac{1}{2}(x+T)-\frac{\pi}{6}\right]=\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)$, $x \in \mathbf{R}$.

**解**:
(1) $\forall x \in \mathbf{R}$, 有
$3\sin(x+2\pi)=3\sin x$.
由周期函数的定义可知,原函数的周期为 $2\pi$.

(2) 令 $z=2x$, 由 $x \in \mathbf{R}$ 得 $z \in \mathbf{R}$, 且 $y=\cos z$ 的周期为 $2\pi$, 即
$\cos(z+2\pi)=\cos z$,
$\cos (2x+2\pi)=\cos 2x$,
于是
所以 $\cos 2(x+\pi)=\cos 2x$, $x \in \mathbf{R}$.
由周期函数的定义可知,原函数的周期为 $\pi$.

(3) 令 $z=\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}$, 由 $x \in \mathbf{R}$ 得 $z \in \mathbf{R}$, 且 $y=2\sin z$ 的周期为 $2\pi$, 即
$2\sin(z+2\pi)=2\sin z$,
$2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}+2\pi\right)=2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)$,
于是
所以 $2\sin\left[\frac{1}{2}(x+4\pi)-\frac{\pi}{6}\right]=2\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)$.
由周期函数的定义可知,原函数的周期为 $4\pi$.

> ? **思考**
> 回顾例2的解答过程,你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗?

## 2. 奇偶性
观察正弦曲线和余弦曲线,可以看到正弦曲线关于原点 $O$ 对称,余弦曲线关于 $y$ 轴对称.这个事实,也可由诱导公式
$\sin(-x)=-\sin x$, $\cos(-x)=\cos x$
得到,所以
**正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.**

> ? **思考**
> 知道一个函数具有周期性和奇偶性,对研究它的图象与性质有什么帮助?
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## 练习

1.  等式 $\sin(\frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}\pi)=\sin\frac{\pi}{6}$ 是否成立？如果这个等式成立，能否说 $\frac{2}{3}\pi$ 是正弦函数 $y=\sin x, x \in \mathbf{R}$ 的一个周期？为什么？
2.  求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验:
    (1) $y=\frac{3}{4}\sin x, x\in\mathbf{R}$;
    (2) $y=\cos 4x, x\in\mathbf{R}$;
    (3) $y=\frac{1}{2}\cos(2x-\frac{\pi}{3}), x\in\mathbf{R}$;
    (4) $y=\sin(\frac{1}{3}x+\frac{\pi}{4}), x\in\mathbf{R}$.
3.  下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？
    (1) $y=2\sin x$;
    (2) $y=1-\cos x$;
    (3) $y=x+\sin x$;
    (4) $y=-\sin x\cos x$.
4.  设函数 $f(x)(x\in\mathbf{R})$ 是以 $2$ 为最小正周期的周期函数，且当 $x\in[0,2]$ 时，$f(x)=(x-1)^2$. 求 $f(3), f(\frac{7}{2})$ 的值.

---

> **探究与发现**
>
> 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 及函数 $y=A\cos(\omega x+\varphi)$ 的周期
>
> 从前面的例子中可以看出，函数
> $y=A\sin(\omega x+\varphi), x\in\mathbf{R}$
> 及函数
> $y=A\cos(\omega x+\varphi), x\in\mathbf{R}$
> (其中 $A, \omega, \varphi$ 为常数，且 $A\neq0, \omega>0$) 的周期仅与自变量的系数有关. 那么，
> 如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？
> 事实上，令 $z=\omega x+\varphi$，那么由 $x\in\mathbf{R}$ 得 $z\in\mathbf{R}$，且函数 $y=A\sin z, z\in\mathbf{R}$ 及
> 函数 $y=A\cos z, z\in\mathbf{R}$ 的周期都是 $2\pi$.
> 因为
> $z+2\pi=(\omega x+\varphi)+2\pi=\omega(x+\frac{2\pi}{\omega})+\varphi,$
> 所以，对于任意 $x$，当自变量 $x$ 增加 $\frac{2\pi}{\omega}$ 时，函数值就重复出现；并且当增加量小
> 于 $\frac{2\pi}{\omega}$ 时，函数值不会总重复出现. 即
> $T=\frac{2\pi}{\omega}$
> 是使等式
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$A\sin[\omega(x+T)+\varphi]=A\sin(\omega x+\varphi),$
$A\cos[\omega(x+T)+\varphi]=A\cos(\omega x+\varphi)$
成立的最小正数,从而,函数
$y=A\sin(\omega x+\varphi), x\in\mathbf{R}$
及函数
$y=A\cos(\omega x+\varphi), x\in\mathbf{R}$
的周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$.

根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.
想一想:上述求函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$, $x\in\mathbf{R}$及函数$y=A\cos (\omega x+\varphi)$, $x\in\mathbf{R}$周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期?即命题“如果函数$y=f(x)$的周期是$T$,那么函数$y=f(\omega x)$ $(\omega>0)$的周期是$\frac{T}{\omega}$”是否成立?

### 3.单调性

根据正弦函数的周期性,我们可以先在它的一个周期的区间(如$[-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$)上讨论它的单调性,再利用它的周期性,将单调性扩展到整个定义域.

> 根据三角函数的周期性,只要把握了它一个周期内的规律,就把握了整个三角函数的规律.

观察图5.4-8,可以看到:
当$x$由$-\frac{\pi}{2}$增大到$\frac{\pi}{2}$时,曲线逐渐上升,$\sin x$的值由$-1$增大到$1$;当$x$由$\frac{\pi}{2}$增大到$\frac{3\pi}{2}$时,曲线逐渐下降,$\sin x$的值由$1$减小到$-1$.

[图片描述:一个坐标系中绘制的正弦函数y=sinx的图像。x轴范围从$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{3\pi}{2}$，标记有$-\frac{\pi}{2}$, $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$。y轴范围从-1到1，标记有-1和1。图像显示从$x=-\frac{\pi}{2}$到$x=\frac{\pi}{2}$，曲线从y=-1上升到y=1；从$x=\frac{\pi}{2}$到$x=\frac{3\pi}{2}$，曲线从y=1下降到y=-1。|标题:图5.4-8|图片编号:1]

$\sin x$的值的变化情况如表5.4-2所示:

**表5.4-2**

| $x$       | $-\frac{\pi}{2}$ | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\searrow$ | $\pi$ | $\searrow$ | $\frac{3\pi}{2}$ |
| :-------- | :--------------- | :--------- | :-- | :--------- | :-------------- | :--------- | :---- | :--------- | :--------------- |
| $\sin x$ | $-1$             | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$             | $\searrow$ | $0$   | $\searrow$ | $-1$             |

这就是说,
正弦函数$y=\sin x$在区间$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$上单调递增,在区间$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$上单调递减.
由正弦函数的周期性可得,
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正弦函数在每一个闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{\pi}{2}+2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$) 上都单调递增，其值从 $-1$ 增大到 $1$；在每一个闭区间 $\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$) 上都单调递减，其值从 $1$ 减小到 $-1$.

类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如 $[-\pi, \pi]$）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表 5.4-3:

**表 5.4-3**

| $x$      | $-\pi$ | $\quad$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $\quad$ | $0$ | $\quad$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\quad$ | $\pi$ |
| :------- | :----- | :------ | :--------------- | :------ | :-- | :------ | :--------------- | :------ | :---- |
| $\cos x$ | $-1$   | $\nearrow$ | $0$            | $\nearrow$ | $1$ | $\searrow$ | $0$             | $\searrow$ | $-1$  |

由此可得，
函数 $y=\cos x$, $x \in [-\pi, \pi]$ 在区间 $[-\pi, 0]$ 上单调递增，其值从 $-1$ 增大到 $1$；在区间 $[0, \pi]$ 上单调递减，其值从 $1$ 减小到 $-1$.

由余弦函数的周期性可得，
余弦函数在每一个闭区间 $[-\pi+2k\pi, 2k\pi]$ ($k \in \mathbb{Z}$) 上都单调递增，其值从 $-1$ 增大到 $1$；在每一个闭区间 $[2k\pi, \pi+2k\pi]$ ($k \in \mathbb{Z}$) 上都单调递减，其值从 $1$ 减小到 $-1$.

### 4. 最大值与最小值

从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，
正弦函数当且仅当 $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) 时取得最大值 $1$，当且仅当 $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) 时取得最小值 $-1$；
余弦函数当且仅当 $x=2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) 时取得最大值 $1$，当且仅当 $x=(2k+1)\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) 时取得最小值 $-1$.

**例 3** 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量 $x$ 的集合，并求出最大值、最小值.
(1) $y=\cos x+1$, $x \in \mathbb{R}$;
(2) $y=-3\sin 2x$, $x \in \mathbb{R}$.

**解**：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.
(1) 使函数 $y=\cos x+1$, $x \in \mathbb{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合，就是使函数 $y=\cos x$, $x \in \mathbb{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合
$\{x|x=2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$;
使函数 $y=\cos x+1$, $x \in \mathbb{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合，就是使函数 $y=\cos x$, $x \in \mathbb{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合
$\{x|x=(2k+1)\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
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函数$y=\cos x+1, x \in \mathbf{R}$的最大值是$1+1=2$;最小值是$-1+1=0$.
(2) 令$z=2x$, 使函数$y=-3\sin z, z \in \mathbf{R}$取得最大值的$z$的集合, 就是使$y=\sin z, z \in \mathbf{R}$取得最小值的$z$的集合
$\left\{z \mid z=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$.
由$2x=z=-\frac{\pi}{2}+2k\pi$, 得$x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$. 所以, 使函数$y=-3\sin 2x, x \in \mathbf{R}$取得最大的$x$的集合是
$\left\{x \mid x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$.
同理, 使函数$y=-3\sin 2x, x \in \mathbf{R}$取得最小值的$x$的集合是
$\left\{x \mid x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbf{Z}\right\}$.
函数$y=-3\sin 2x, x \in \mathbf{R}$的最大值是$3$, 最小值是$-3$.

**例4** 不通过求值, 比较下列各组数的大小:
(1) $\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)$与$\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)$;
(2) $\cos\left(-\frac{23\pi}{5}\right)$与$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right)$.
**分析:** 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小, 为此, 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角, 然后再比较大小.
**解:** (1) 因为
$-\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{10} < -\frac{\pi}{18} < 0$,
正弦函数$y=\sin x$在区间$\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$上单调递增, 所以
$\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right) > \sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)$.
(2) $\cos\left(-\frac{23\pi}{5}\right)=\cos \frac{23\pi}{5}=\cos \frac{3\pi}{5}$,
$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right)=\cos \frac{17\pi}{4}=\cos \frac{\pi}{4}$.
因为$0 < \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{5} < \pi$, 且函数$y=\cos x$在区间$[0, \pi]$上单调递减, 所以
$\cos \frac{\pi}{4} > \cos \frac{3\pi}{5}$,
即
$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right) > \cos\left(-\frac{23\pi}{5}\right)$.

[图片描述: 一个带有问号的提示框，内容是提示读者可以借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小，并鼓励读者尝试。|标题: 思考与练习|图1]
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**例5** 求函数$y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$, $x \in [-2\pi, 2\pi]$的单调递增区间.

**分析:** 令$z=\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}$, $x \in [-2\pi, 2\pi]$, 当自变量$x$的值增大时, $z$的值也随之增大, 因此若函数$y=\sin z$在某个区间上单调递增, 则函数$y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$在相应的区间上也一定单调递增.

**解:** 令$z=\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}$, $x \in [-2\pi, 2\pi]$, 则$z \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$.

因为$y=\sin z$, $z \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}]$的单调递增区间是$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, 且由
$$-\frac{\pi}{2} \le \frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2},$$
得$-\frac{5\pi}{3} \le x \le \frac{\pi}{3}$.

所以, 函数$y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$, $x \in [-2\pi, 2\pi]$的单调递增区间是$[-\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}]$.

> **💡 思考**
> 你能求出函数$y=\sin(-\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3})$, $x \in [-2\pi, 2\pi]$的单调递增区间吗?

---

**练习**

1. 观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的$x$所在的区间:
   (1) $\sin x>0$;
   (2) $\sin x<0$;
   (3) $\cos x>0$;
   (4) $\cos x<0$.

2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合,并求出最大值、最小值.
   (1) $y=2\sin x$, $x \in \mathbf{R}$;
   (2) $y=2-\cos \frac{x}{3}$, $x \in \mathbf{R}$.

3. 下列关于函数$y=4\sin x$, $x \in [0, 2\pi]$的单调性的叙述,正确的是( ).
   (A) 在$[0, \pi]$上单调递增, 在$[\pi, 2\pi]$上单调递减
   (B) 在$[0, \frac{\pi}{2}]$上单调递增, 在$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$上单调递减
   (C) 在$[0, \frac{\pi}{2}]$及$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$上单调递增, 在$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$上单调递减
   (D) 在$[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$上单调递增, 在$[0, \frac{\pi}{2}]$及$[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$上单调递减

4. 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小:
   (1) $\cos \frac{2}{7}\pi$与$\cos(-\frac{3\pi}{5})$;
   (2) $\sin 250^\circ$与 $\sin 260^\circ$.

5. 求函数$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$, $x \in [0, \pi]$的单调递减区间.
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## 探究与发现

### 利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质

根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”。因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具。例如，借助单位圆的对称性可以方便地得到诱导公式，借助单位圆研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于从整体上把握三角函数。

如图1，在直角坐标系 $uOv$ 中，角 $x$ 的顶点与原点重合，始边与 $Ou$ 轴重合，终边与单位圆交于点 $P(\cos x, \sin x)$。容易发现，当角 $x$ 的终边绕原点从 $Ou$ 轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，点 $P$ 的横坐标按照

$1 \to 0 \to -1 \to 0 \to 1 \dots$

的规律连续地、周而复始地变化；同时，纵坐标按照

$0 \to 1 \to 0 \to -1 \to 0 \dots$

[图片描述:在直角坐标系uOv中，一个以原点O为圆心的单位圆。角x的顶点在O点，始边与Ou轴重合，终边与单位圆交于P点。从P点向Ou轴作垂线交于M点。Ou轴上的点A标记为(1, u)，表示单位圆在u轴上的截距。图中角x以逆时针方向从Ou轴正半轴开始测量。|标题:图1|图片编号:1]

的规律连续地、周而复始地变化。

由上述变化规律，可得余弦函数、正弦函数的各种性质（下述表格中的 $k \in \mathbb{Z}$）。

(1) **周期性**
自变量每增加 $2\pi$ (角 $x$ 的终边旋转一周)，余弦函数值、正弦函数值重复出现，所以余弦函数、正弦函数的周期都是 $2\pi$。

(2) **奇偶性**
角 $x$、角 $-x$ 与单位圆的交点 $P(\cos x, \sin x)$、$P'(\cos (-x), \sin (-x))$ 关于 $Ou$ 轴对称，所以 $\cos (-x) = \cos x$， $\sin (-x) = -\sin x$，所以余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数。

(3) **单调性**
余弦函数的单调性:

| 角 $x$                         | $2k\pi \to 2k\pi + \frac{\pi}{2}$ | $2k\pi + \frac{\pi}{2} \to 2k\pi + \pi$ | $2k\pi + \pi \to 2k\pi + \frac{3\pi}{2}$ | $2k\pi + \frac{3\pi}{2} \to 2k\pi + 2\pi$ |
| :----------------------------- | :-------------------------------- | :----------------------------------- | :------------------------------------- | :----------------------------------- |
| $P$ 点横坐标的变化             | $1 \to 0$                         | $0 \to -1$                           | $-1 \to 0$                             | $0 \to 1$                            |
| $\cos x$ 的单调性              | 单调递减                          | 单调递减                             | 单调递增                               | 单调递增                             |

正弦函数的单调性:
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## 5.4.3 正切函数的性质与图象

| 角 $x$ | $2k\pi \to 2k\pi+\frac{\pi}{2}$ | $2k\pi+\frac{\pi}{2} \to 2k\pi+\pi$ | $2k\pi+\pi \to 2k\pi+\frac{3\pi}{2}$ | $2k\pi+\frac{3\pi}{2} \to 2k\pi+2\pi$ |
|---|---|---|---|---|
| $P$ 点纵坐标的变化 | $0 \to 1$ | $1 \to 0$ | $0 \to -1$ | $-1 \to 0$ |
| $\sin x$ 的单调性 | 单调递增 | 单调递减 | 单调递减 | 单调递增 |

(4) 最大值、最小值
余弦函数的最大值、最小值:

| 角 $x$ | $\pi+2k\pi$ | $2k\pi$ |
|---|---|---|
| $P$ 点的横坐标 | $-1$ | $1$ |
| $\cos x$ | 最小值 | 最大值 |

正弦函数的最大值、最小值:

| 角 $x$ | $-\frac{\pi}{2}+2k\pi$ | $\frac{\pi}{2}+2k\pi$ |
|---|---|---|
| $P$ 点的纵坐标 | $-1$ | $1$ |
| $\sin x$ | 最小值 | 最大值 |

在后续的学习中我们还可以看到，借助单位圆的性质（主要是对称性），不仅可以得到三角函数的各种性质，而且可以推导各种三角公式。

> **③ 思考**
> (1) 根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？
> (2) 你能用不同的方法研究正切函数吗？

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象。

### 1. 周期性
由诱导公式
$tan(x+\pi)=tan x, x \in \mathbf{R}, \text{且 } x \ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbf{Z}$
可知，正切函数是周期函数，周期是 $\pi$。
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## 2. 奇偶性
由诱导公式
$ \tan(-x) = -\tan x, x \in \mathbf{R}, \text{且} x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbf{Z} $
可知, 正切函数是奇函数.

**❓ 思考**
你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助?

可以先考察函数$y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2})$的图象与性质, 然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.

**💡 探究**
如何画出函数$y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2})$的图象?

如图 5.4-9, 设$x \in [0, \frac{\pi}{2})$, 在直角坐标系中画出角$x$的终边与单位圆的交点$B(x_0, y_0)$. 过点$B$作$x$轴的垂线, 垂足为$M$; 过点$A(1, 0)$作$x$轴的垂线与角$x$的终边交于点$T$, 则
$ \tan x = \frac{y_0}{x_0} = \frac{MB}{OM} = \frac{AT}{OA} = AT $

[图片描述:一个直角坐标系中的单位圆。圆心为O。在第一象限内，有一个角x，其终边与单位圆交于点B。从点B向x轴作垂线，垂足为M。在x轴上，点A的坐标为(1,0)。从点A向x轴作垂直于x轴的线，这条线与角x的终边相交于点T。图示了线段AT代表tan x的值，并标注了点O, M, A, B, T以及角x。|标题:图 5.4-9|图片1]

由此可见, 当$x \in [0, \frac{\pi}{2})$时, 线段$AT$的长度就是相应角$x$的正切值, 我们可以利用线段$AT$画出函数$y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2})$的图象, 如图5.4-10 所示.

观察图 5.4-10 可知, 当$x \in [0, \frac{\pi}{2})$时, 随着$x$的增大, 线段$AT$的长度也在增大, 而且当$x$趋向于$\frac{\pi}{2}$时, $AT$的长度

[图片描述:左侧是一个以$O_1$为圆心的单位圆，从$O_1$发出多条射线，代表不同的角度。每条射线与过点(1,0)的垂直线（即切线）相交，形成多个线段（类似AT），这些线段的长度代表对应角度的正切值，这些线段用蓝色实线表示。右侧是一个直角坐标系，横轴为x，纵轴为y。图示了函数$y=\tan x$在$[0, \frac{\pi}{2})$区间内的图像，用紫红色曲线表示。左侧单位圆上不同角度对应的切线长度，通过虚线映射到右侧坐标系的y轴上，形成了一系列点，这些点连接起来构成了一条向上弯曲的曲线，并在$x=\frac{\pi}{2}$处接近垂直渐近线。|标题:图 5.4-10|图片2]
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趋向于无穷大,相应地,函数$y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2})$的图象从左向右呈不断上升趋势, 且向右上方无限逼近直线$x=\frac{\pi}{2}$．

> **探究**
> 你能借助以上结论,并根据正切函数的性质,画出正切函数的图象吗?正切函数的图象有怎样的特征?

根据正切函数是奇函数,只要画$y=\tan x, x \in [0, \frac{\pi}{2})$的图象关于原点的对称图形, 就可得到$y=\tan x, x \in (-\frac{\pi}{2}, 0]$的图象;根据正切函数的周期性,只要把函数$y=\tan x, x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$的图象向左、右平移,每次平移$\pi$个单位,就可得到正切函数
$y=\tan x, x \in \mathbf{R}, x \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbf{Z}$
的图象,我们把它叫做**正切曲线** (tangent curve) (图 5.4-11).

[图片描述: 一张展示正切函数 $y=\tan x$ 图像的笛卡尔坐标系图。图中显示了多个周期性的曲线分支。x轴上标记有 $-\frac{5\pi}{2}, -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, O, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}$。y轴上标记有 $1, -1$。图像中包含一系列与y轴平行的虚线，这些虚线是正切函数的渐近线，位置在 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处。每个曲线分支都在其对应的开区间内从负无穷趋向正无穷，并沿着渐近线无限延伸，表现出单调递增的趋势。|标题: 图 5.4-11|图片编号: 图1]

从图 5.4-11 可以看出,正切曲线是由被与$y$轴平行的一系列直线$x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbf{Z}$所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的.

**3. 单调性**

观察正切曲线可知,正切函数在区间$(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$上单调递增.
由正切函数的周期性可得,
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正切函数在每一个区间$(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)(k \in \mathbb{Z})$上都单调递增。

## 4. 值域

当$x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$时, $\tan x$ 在$(-\infty, +\infty)$内可取到任意实数值, 但没有最大值、最小值。
因此, **正切函数的值域是实数集 $\mathbb{R}$。**

**例6** 求函数 $y=\tan(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$的定义域、周期及单调区间。

**分析:** 利用正切函数的性质, 通过代数变形可以得出相应的结论。

**解:** 自变量 $x$ 的取值应满足
$\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3} \neq k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$,
即 $x \neq 2k+\frac{1}{3}, k \in \mathbb{Z}$。
所以, 函数的定义域是$\{x|x \neq 2k+\frac{1}{3}, k \in \mathbb{Z}\}$。

设 $z=\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3}$, 又 $\tan(z+\pi)=\tan z$，
所以 $\tan[(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})+\pi] = \tan(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$,
即 $\tan[\frac{\pi}{2}(x+2)+\frac{\pi}{3}] = \tan(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$。
因为 $\forall x \in \{x|x \neq 2k+\frac{1}{3}, k \in \mathbb{Z}\}$ 都有
$\tan[\frac{\pi}{2}(x+2)+\frac{\pi}{3}] = \tan(\frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3})$。
所以, 函数的周期为2。

由 $-\frac{\pi}{2}+k\pi < \frac{\pi}{2}x+\frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ 解得
$-\frac{5}{3}+2k < x < \frac{1}{3}+2k, k \in \mathbb{Z}$。
因此, 函数的单调递增区间为$(-\frac{5}{3}+2k, \frac{1}{3}+2k), k \in \mathbb{Z}$。
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## 练习

1.  借助函数$y=\tan x$的图象解不等式 $\tan x \ge -1, x \in [0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi)$.
2.  观察正切曲线, 写出满足下列条件的$x$值的范围:
    (1) $\tan x > 0$;
    (2) $\tan x = 0$;
    (3) $\tan x < 0$.
3.  求函数$y=\tan 3x$的定义域.
4.  求下列函数的周期:
    (1) $y=\tan 2x, x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$;
    (2) $y=5\tan \frac{x}{2}, x \ne (2k+1)\pi(k \in \mathbb{Z})$.
5.  不通过求值, 比较下列各组中两个正切值的大小:
    (1) $\tan(-52^\circ)$与 $\tan(-47^\circ)$;
    (2) $\tan \frac{13\pi}{4}$与 $\tan \frac{17\pi}{5}$.

## 习题 5.4

## 复习巩固

1.  画出下列函数的简图:
    (1) $y=1-\sin x, x \in [0, 2\pi]$;
    (2) $y=3\cos x+1, x \in [0, 2\pi]$.
2.  求下列函数的周期:
    (1) $y=\sin \frac{2}{3}x, x \in \mathbb{R}$;
    (2) $y=\frac{1}{2}\cos 4x, x \in \mathbb{R}$.
3.  下列函数中, 哪些是奇函数? 哪些是偶函数? 哪些既不是奇函数, 也不是偶函数?
    (1) $y=|\sin x|$;
    (2) $y=1-\cos 2x$;
    (3) $y=-3\sin 2x$;
    (4) $y=1+2\tan x$.
4.  求使下列函数取得最大值、最小值的自变量$x$的集合, 并求出最大值、最小值:
    (1) $y=1-\frac{1}{2}\cos \frac{\pi}{3}x, x \in \mathbb{R}$;
    (2) $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4}), x \in \mathbb{R}$;
    (3) $y=-\frac{3}{2}\cos(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}), x \in \mathbb{R}$;
    (4) $y=\frac{1}{2}\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}), x \in \mathbb{R}$.
5.  利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小:
    (1) $\sin 103^\circ 15'$与 $\sin 164^\circ 30'$;
    (2) $\cos(-\frac{3}{10}\pi)$与 $\cos(-\frac{4}{9}\pi)$;
    (3) $\sin 508^\circ$与 $\sin 144^\circ$;
    (4) $\cos \frac{47}{10}\pi$与 $\cos \frac{44}{9}\pi$.
6.  求下列函数的单调区间:
    (1) $y=1+\sin x, x \in [0, 2\pi]$;
    (2) $y=-\cos x, x \in [0, 2\pi]$.
7.  求函数$y=-\tan(x+\frac{\pi}{6})+2$的定义域.
8.  求函数$y=\tan(2x-\frac{\pi}{3}), x \ne \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}(k \in \mathbb{Z})$的周期.
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9. 利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小:
(1) $\tan\left(-\frac{\pi}{5}\right)$与$\tan\left(-\frac{3\pi}{7}\right)$;
(2) $\tan 1\,519^\circ$与$\tan 1\,493^\circ$;
(3) $\tan 6\frac{9}{11}\pi$与$\tan\left(-5\frac{3}{11}\pi\right)$;
(4) $\tan\frac{7\pi}{8}$与$\tan\frac{\pi}{6}$.

## 综合运用

10. 求下列函数的值域:
(1) $y=\sin x, x \in\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right]$;
(2) $y=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right), x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$.

11. 根据正弦函数、余弦函数的图象,写出使下列不等式成立的$x$的取值集合:
(1) $\sin x \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (x \in \mathbf{R})$;
(2) $\sqrt{2}+2\cos x \ge 0 (x \in \mathbf{R})$.

12. 下列四个函数中,以$\pi$为最小正周期,且在区间$\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$上单调递减的是 ( ).
(A) $y=|\sin x|$
(B) $y=\cos x$
(C) $y=\tan x$
(D) $y=\cos\frac{x}{2}$

13. 若$x$是斜三角形的一个内角,写出使下列不等式成立的$x$的集合:
(1) $1+\tan x \le 0$;
(2) $\tan x-\sqrt{3} \ge 0$.

14. 求函数$y=-\tan\left(2x-\frac{3\pi}{4}\right)$的单调区间.

15. 已知函数$y=f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上周期为2的奇函数,若$f(0.5)=1$, 求 $f(1), f(3.5)$的值.

16. 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), x \in \mathbf{R}$,
(1)求$f(x)$的最小正周期;
(2)求$f(x)$在区间$\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$上的最大值和最小值.

## 拓广探索

17. 在直角坐标系中,已知$\odot O$是以原点$O$为圆心,半径长为2的圆,角$x(\text{rad})$的终边与$\odot O$的交点为$B$,求点$B$的纵坐标$y$关于$x$的函数解析式,并借助信息技术画出其图象.

18. 已知函数$y=f(x)(x \in \mathbf{R})$是周期函数,周期为2,其部分图象如图所示,
(1)写出函数$y=f(x)$的解析式;
(2)画出函数$y=f(x+1)$的图象.

[图片描述:一个二维笛卡尔坐标系，x轴和y轴交于原点O。图示为周期函数y=f(x)的部分图像，函数图像由若干个三角形组成。从x=-1开始，y=0，上升到x=0时y=1，然后下降到x=1时y=0，再上升到x=2时y=1。y轴上标记了刻度1，x轴上标记了刻度-1和1。这个图像显示了一个周期为2的锯齿波形状。|标题: (第18题)|图片编号: 图1]

19. 容易知道,正弦函数$y=\sin x$是奇函数,正弦曲线关于原点对称,即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外,正弦曲线还有其他对称中心吗?如果有,那么对称中心的坐标是什么?另外,正弦曲线是轴对称图形吗?如果是,那么对称轴的方程是什么?你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗?对余弦函数和正切函数,讨论上述同样的问题.
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## 5.5 三角恒等变换

前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的。这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换。观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角 $\alpha$ 的和（或差）的三角函数与这个任意角 $\alpha$ 的三角函数的恒等关系。如果把特殊角换为任意角 $\beta$，那么任意角 $\alpha$ 与 $\beta$ 的和（或差）的三角函数与 $\alpha, \beta$ 的三角函数会有什么关系呢？下面来研究这个问题。

### 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1.  **两角差的余弦公式**

> **探究**
>
> 如果已知任意角 $\alpha, \beta$ 的正弦、余弦，能由此推出 $\alpha+\beta, \alpha-\beta$ 的正弦、余弦吗？

下面，我们来探究 $\cos(\alpha-\beta)$ 与角 $\alpha, \beta$ 的正弦、余弦之间的关系。

不妨令 $\alpha \neq 2k\pi+\beta, k \in \mathbf{Z}$。

如图5.5-1，设单位圆与 $x$ 轴的正半轴相交于点 $A(1,0)$，以 $x$ 轴非负半轴为始边作角 $\alpha, \beta, \alpha-\beta$，它们的终边分别与单位圆相交于点 $P_1(\cos \alpha, \sin \alpha)$，$A_1(\cos \beta, \sin \beta)$，$P(\cos(\alpha-\beta), \sin(\alpha-\beta))$。

连接 $A_1P_1, AP$。若把扇形 $OAP$ 绕着点 $O$ 旋转 $\beta$ 角，则点 $A, P$ 分别与点 $A_1, P_1$ 重合，根据圆的旋转对称性可知，$\widehat{AP}$ 与 $\widehat{A_1P_1}$ 重合，从而 $AP=A_1P_1$，所以 $AP=A_1P_1$。

[图片描述:一个单位圆在直角坐标系中，原点为O。x轴正半轴上有点A(1,0)。有三条射线从O点发出，分别代表角 $\alpha$ 的终边（与圆交于 $P_1$）、角 $\beta$ 的终边（与圆交于 $A_1$）和角 $\alpha-\beta$ 的终边（与圆交于P）。图中标记了这三个角。圆心O，点A(1,0)，点 $P_1$ 在第一象限，点 $A_1$ 在第一象限，点P在第一象限。图中还连接了弦 $A_1P_1$ 和 $AP$。|标题:图5.5-1|图片编号:1]

> 任意一个圆绕着其圆心旋转任意角后都与原来的圆重合，这一性质叫做圆的旋转对称性。
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根据两点间的距离公式，得
$[cos(α-β)-1]^2+sin^2(α-β)$
$=(cos α-cos β)^2+(sin α-sin β)^2$

化简得
$cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β.$

> 平面上任意两点 $P_1(x_1, y_1)$, $P_2(x_2, y_2)$ 间的距离公式 $P_1P_2=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

当$α=2kπ+β(k∈Z)$时，容易证明上式仍然成立。
所以，对于任意角$α,β$有
$cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β.$ ($C_{(α-β)}$)

此公式给出了任意角$α,β$的正弦、余弦与其差角$α-β$的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 $C_{(α-β)}$。

**例1** 利用公式$C_{(α-β)}$证明:
(1) $cos(\frac{π}{2}-α)=sin α$;
(2) $cos(π-α)=-cos α$.

**证明:**
(1) $cos(\frac{π}{2}-α) = cos \frac{π}{2}cos α + sin \frac{π}{2}sin α$
$=0+1×sin α$
$=sin α$.

(2) $cos(π-α)=cos πcos α + sin πsin α$
$=(-1) × cos α +0$
$=-cos α$.

**例2** 已知 $sin α=\frac{4}{5}, α∈(\frac{π}{2}, π), cos β=-\frac{5}{13}, β$是第三象限角, 求 $cos(α-β)$的值。

**解:** 由 $sin α=\frac{4}{5}, α∈(\frac{π}{2}, π)$, 得
$cos α = -\sqrt{1-sin^2α}$
$= -\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$.

又由 $cos β=-\frac{5}{13}, β$是第三象限角, 得
$sin β=-\sqrt{1-cos^2β}$
$= -\sqrt{1-(-\frac{5}{13})^2} = -\frac{12}{13}$.

所以
<!--End Page220-->

<!--Begin Page221-->
$\cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$
$= (-\frac{3}{5}) \times (-\frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \times (-\frac{12}{13})$
$= -\frac{33}{65}$

## 练习

1.  利用公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 证明:
    (1) $\cos(\frac{3\pi}{2}-\alpha)=-\sin \alpha$;
    (2) $\cos(-\alpha)=\cos \alpha$.
2.  利用公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 求 $\cos 15^\circ$ 的值.
3.  已知 $\cos \alpha = -\frac{3}{5}, \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, 求 $\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)$ 的值.
4.  已知 $\sin \theta = \frac{15}{17}, \theta$ 是第二象限角, 求 $\cos(\theta-\frac{\pi}{3})$ 的值.
5.  已知 $\sin \alpha = -\frac{2}{3}, \alpha \in (\pi, \frac{3\pi}{2}), \cos \beta = \frac{3}{4}, \beta \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$, 求 $\cos(\beta-\alpha)$ 的值.

## 2. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

> **? 思考**
> 由公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 出发, 你能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗?

下面以公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 为基础来推导其他公式.
例如, 比较 $\cos(\alpha-\beta)$ 与 $\cos(\alpha+\beta)$, 并注意到 $\alpha+\beta$ 与 $\alpha-\beta$ 之间的联系: $\alpha+\beta=\alpha-(-\beta)$, 则由公式 $C_{(\alpha-\beta)}$, 有
$\cos(\alpha+\beta)=\cos[\alpha-(-\beta)]$
$= \cos \alpha \cos(-\beta)+\sin \alpha \sin(-\beta)$
$= \cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta$.
于是得到了两角和的余弦公式, 简记作 $C_{(\alpha+\beta)}$.

> 这里用到的是加法和减法的联系, 也可用换元的观点来考虑: 由于公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 对于任意 $\alpha, \beta$ 都成立, 那么把其中的 $\beta$ 换成 $-\beta$ 后, 也一定成立. 由此也可推得公式 $C_{(\alpha+\beta)}$.

$\cos(\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta.$ ($C_{(\alpha+\beta)}$)

> **探究**
> 上面得到了两角和与差的余弦公式, 我们知道, 用诱导公式五(或六)可以实现正弦、余弦的互化, 你能根据 $C_{(\alpha+\beta)}, C_{(\alpha-\beta)}$ 及诱导公式五(或六), 推导出用任意角 $\alpha, \beta$ 的正弦、余弦表示 $\sin(\alpha+\beta), \sin(\alpha-\beta)$ 的公式吗?
<!--End Page221-->

<!--Begin Page222-->
通过推导，可以得到：

$$
\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta
$$
$(S_{(\alpha+\beta)})$

$$
\sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta
$$
$(S_{(\alpha-\beta)})$

> **探究**
>
> 你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从 $C_{(\alpha\pm\beta)}$，$S_{(\alpha\pm\beta)}$ 出发，推导出用任意角 $\alpha, \beta$ 的正切表示 $\tan(\alpha+\beta)$，$\tan(\alpha-\beta)$ 的公式吗？

通过推导，可以得到：

$$
\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}
$$
$(T_{(\alpha+\beta)})$

$$
\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}
$$
$(T_{(\alpha-\beta)})$

公式 $S_{(\alpha+\beta)}$，$C_{(\alpha+\beta)}$，$T_{(\alpha+\beta)}$ 给出了任意角 $\alpha, \beta$ 的三角函数值与其和角 $\alpha+\beta$ 的三角函数值之间的关系。为方便起见，我们把这三个公式都叫做**和角公式**。
类似地，$S_{(\alpha-\beta)}$，$C_{(\alpha-\beta)}$，$T_{(\alpha-\beta)}$ 都叫做**差角公式**。

> **探究**
>
> 和（差）角公式中，$\alpha, \beta$ 都是任意角。如果令 $\alpha$ 为某些特殊角，就能得到许多有用的公式，你能从和（差）角公式出发推导出诱导公式吗？你还能得到哪些等式？

**例3** 已知 $\sin \alpha=-\frac{3}{5}$，$\alpha$ 是第四象限角，求 $\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$，$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$，$\tan\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$ 的值。

**解:** 由 $\sin \alpha=-\frac{3}{5}$，$\alpha$ 是第四象限角，得

$$
\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2 \alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}
$$

所以

$$
\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}
$$

于是有

$$
\begin{align*}
\sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right) &= \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha-\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{10};
\end{align*}
$$
<!--End Page222-->

<!--Begin Page223-->
$cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = cos\frac{\pi}{4}cos \alpha - sin\frac{\pi}{4}sin \alpha$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{5} - \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{7\sqrt{2}}{10};$

$tan\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{tan \alpha - tan \frac{\pi}{4}}{1 + tan \alpha tan \frac{\pi}{4}}$
$= \frac{tan \alpha - 1}{1 + tan \alpha}$
$= \frac{\frac{3}{4} - 1}{1 + \left(-\frac{3}{4}\right)} = -7.$

---

❓ **思考**

由以上解答可以看到,在本题条件下有 $sin\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$. 那么对于任意角 $\alpha$, 此等式成立吗? 若成立,你会用几种方法予以证明?

---

**例4** 利用和(差)角公式计算下列各式的值:
(1) $sin 72^\circ cos 42^\circ - cos 72^\circ sin 42^\circ$;
(2) $cos 20^\circ cos 70^\circ - sin 20^\circ sin 70^\circ$;
(3) $\frac{1+tan 15^\circ}{1-tan 15^\circ}$.

**分析**: 和、差角公式把 $\alpha \pm \beta$ 的三角函数式转化成了 $\alpha$, $\beta$ 的三角函数式. 如果反过来, 从右到左使用公式, 就可以将上述三角函数式化简.

**解**:
(1) 由公式 $S_{(\alpha-\beta)}$, 得
$sin 72^\circ cos 42^\circ - cos 72^\circ sin 42^\circ$
$=sin(72^\circ-42^\circ)$
$=sin 30^\circ$
$=\frac{1}{2}$.

(2) 由公式 $C_{(\alpha+\beta)}$, 得
$cos 20^\circ cos 70^\circ - sin 20^\circ sin 70^\circ$
$=cos(20^\circ+70^\circ)$
$=cos 90^\circ$
$=0$.
<!--End Page223-->

<!--Begin Page224-->
(3) 由公式 $T_{(\alpha+\beta)}$ 及 $\tan 45^\circ=1$, 得
$$ \frac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ} = \frac{\tan 45^\circ+\tan 15^\circ}{1-\tan 45^\circ\tan 15^\circ} $$
$$ =\tan(45^\circ+15^\circ) $$
$$ =\tan 60^\circ $$
$$ =\sqrt{3}. $$

## 练习

1.  利用和(差)角公式,求下列各式的值:
    (1) $\sin 15^\circ$;
    (2) $\cos 75^\circ$;
    (3) $\sin 75^\circ$;
    (4) $\tan 15^\circ$.
2.  (1) 已知 $\cos \theta=-\frac{3}{5}$, $\theta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 求 $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值;
    (2) 已知 $\sin \theta=-\frac{12}{13}$, $\theta$ 是第三象限角, 求 $\cos\left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)$ 的值;
    (3) 已知 $\tan \alpha=3$, 求 $\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值.
3.  求下列各式的值:
    (1) $\sin 72^\circ\cos 18^\circ + \cos 72^\circ\sin 18^\circ$;
    (2) $\cos 72^\circ\cos 12^\circ + \sin 72^\circ\sin 12^\circ$;
    (3) $\frac{\tan 12^\circ+\tan 33^\circ}{1-\tan 12^\circ\tan 33^\circ}$;
    (4) $\cos 74^\circ\sin 14^\circ - \sin 74^\circ\cos 14^\circ$;
    (5) $\sin 34^\circ\sin 26^\circ - \cos 34^\circ\cos 26^\circ$;
    (6) $\sin 20^\circ\cos 110^\circ + \cos 160^\circ\sin 70^\circ$.
4.  化简:
    (1) $\frac{1}{2}\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$;
    (2) $\sqrt{3}\sin x+\cos x$;
    (3) $\sqrt{2}(\sin x-\cos x)$;
    (4) $\sqrt{2}\cos x - \sqrt{6}\sin x$.
5.  已知 $\sin(\alpha-\beta)\cos \alpha-\cos(\beta-\alpha)\sin \alpha=\frac{3}{5}$, $\beta$ 是第三象限角, 求 $\sin\left(\beta+\frac{5\pi}{4}\right)$ 的值.

## 3. 二倍角的正弦、余弦、正切公式

以公式 $C_{(\alpha-\beta)}$ 为基础, 我们已经得到六个和(差)角公式, 下面将以和(差)角公式为基础来推导倍角公式.

> **探究**
> 你能利用 $S_{(\alpha\pm\beta)}$, $C_{(\alpha\pm\beta)}$, $T_{(\alpha\pm\beta)}$ 推导出 $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ 的公式吗?

通过推导, 可以得到:
<!--End Page224-->

<!--Begin Page225-->
$$
\begin{array}{l}
\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad (S_{2\alpha}) \\
\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha, \quad (C_{2\alpha}) \\
\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}, \quad (T_{2\alpha})
\end{array}
$$

如果要求二倍角的余弦公式 ($C_{2\alpha}$) 中仅含 $\alpha$ 的正弦(余弦),那么又可得到:

$$
\begin{array}{l}
\cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha, \\
\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha-1.
\end{array}
$$

以上这些公式都叫做**倍角公式**。倍角公式给出了 $\alpha$ 的三角函数与 $2\alpha$ 的三角函数之间的关系。

> 这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去。

### 归纳

从和(差)角公式、倍角公式的推导过程可以发现,这些公式存在紧密的逻辑联系,请你进行归纳总结。

**例5** 已知 $\sin 2\alpha = \frac{5}{13}$, $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, 求 $\sin 4\alpha$, $\cos 4\alpha$, $\tan 4\alpha$ 的值。

**分析**: 已知条件给出了 $2\alpha$ 的正弦函数值,由于 $4\alpha$ 是 $2\alpha$ 的二倍角,因此可以考虑用倍角公式。

**解**: 由 $\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$, 得

$$
\frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi.
$$

**又**

$$
\sin 2\alpha = \frac{5}{13},
$$

**所以**

$$
\cos 2\alpha = -\sqrt{1-(\frac{5}{13})^2} = -\frac{12}{13}.
$$

> “倍”是描述两个数量之间关系的, $2\alpha$ 是 $\alpha$ 的二倍, $4\alpha$ 是 $2\alpha$ 的二倍, $\frac{\alpha}{2}$ 是 $\frac{\alpha}{4}$ 的二倍,这里蕴含着换元思想。

**于是**

$$
\begin{array}{rcl}
\sin 4\alpha & = & \sin[2 \times (2\alpha)] \\
& = & 2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \\
& = & 2 \times \frac{5}{13} \times (-\frac{12}{13}) \\
& = & -\frac{120}{169};
\end{array}
$$

$$
\begin{array}{rcl}
\cos 4\alpha & = & \cos[2 \times (2\alpha)] \\
& = & 1-2\sin^2 2\alpha \\
& = & 1-2 \times (\frac{5}{13})^2 \\
& = & 1-\frac{50}{169} \\
& = & \frac{119}{169};
\end{array}
$$
<!--End Page225-->

<!--Begin Page226-->
$tan 4\alpha = \frac{\sin 4\alpha}{\cos 4\alpha}$
$= -\frac{120}{169} \times \frac{169}{119} = -\frac{120}{119}$

**例 6** 在$\triangle ABC$中, $\cos A = \frac{4}{5}$, $\tan B = 2$, 求 $\tan(2A+2B)$ 的值.

**解法 1**: 在$\triangle ABC$中,
由 $\cos A=\frac{4}{5}$, $0<A<\pi$, 得
$\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$,
所以 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$,
$\tan 2A = \frac{2\tan A}{1-\tan^2 A} = \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \times \frac{16}{7} = \frac{24}{7}$.

[图片描述:一个带有问号的黄色方框，内部文字提问“2A+2B 与 A, B 之间能构成怎样的关系？”这是一个思考提示框，引导学生思考角度之间的关系。|标题:思考提示|图片编号:1]

又 $\tan B = 2$,
所以 $\tan 2B = \frac{2\tan B}{1-\tan^2 B} = \frac{2 \times 2}{1-2^2} = \frac{4}{1-4} = -\frac{4}{3}$.
于是 $\tan(2A+2B) = \frac{\tan 2A + \tan 2B}{1-\tan 2A \tan 2B} = \frac{\frac{24}{7} + \left(-\frac{4}{3}\right)}{1-\frac{24}{7} \times \left(-\frac{4}{3}\right)} = \frac{\frac{72-28}{21}}{1+\frac{96}{21}} = \frac{\frac{44}{21}}{\frac{21+96}{21}} = \frac{\frac{44}{21}}{\frac{117}{21}} = \frac{44}{117}$.

**解法 2**: 在$\triangle ABC$中,
由 $\cos A=\frac{4}{5}$, $0<A<\pi$, 得
$\sin A = \sqrt{1-\cos^2 A} = \sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}$,
所以 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{3}{5} \times \frac{5}{4} = \frac{3}{4}$.
又 $\tan B = 2$,
所以 $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1-\tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{4} + 2}{1-\frac{3}{4} \times 2} = \frac{\frac{3+8}{4}}{1-\frac{3}{2}} = \frac{\frac{11}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{11}{2}$.
<!--End Page226-->

<!--Begin Page227-->
所以
$$
\begin{aligned}
\tan(2A+2B)&=\tan[2(A+B)] \\
&=\frac{2\tan(A+B)}{1-\tan^2(A+B)} \\
&=\frac{2\times\left(-\frac{11}{2}\right)}{1-\left(-\frac{11}{2}\right)^2} = \frac{44}{117}
\end{aligned}
$$

## **练习**
---
1. 已知 $\cos \frac{\alpha}{8} = -\frac{4}{5}$，$8\pi < \alpha < 12\pi$，求 $\sin \frac{\alpha}{4}$，$\cos \frac{\alpha}{4}$，$\tan \frac{\alpha}{4}$ 的值。
2. 已知 $\sin(\alpha-\pi) = \frac{3}{5}$，求 $\cos 2\alpha$ 的值。
3. 已知 $\sin 2\alpha = -\sin \alpha$，$\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$，求 $\tan \alpha$ 的值。
4. 已知 $\tan 2\alpha = \frac{1}{3}$，求 $\tan \alpha$ 的值。
5. 求下列各式的值:
    (1) $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$;
    (2) $\cos^2 \frac{\pi}{8} - \sin^2 \frac{\pi}{8}$;
    (3) $\frac{\tan 22.5^\circ}{1-\tan^2 22.5^\circ}$;
    (4) $2\cos^2 22.5^\circ - 1$.
<!--End Page227-->

<!--Begin Page228-->
## 信息技术应用

### 利用信息技术制作三角函数表

前面在“对数的发明”中曾经谈到，纳皮尔利用对数制作了$0^\circ \sim 90^\circ$每隔$1'$的八位三角函数表。应当说，纳皮尔仅仅凭借手工运算得到这个三角函数表的工作量是非常大的，这也显示出他超人的毅力和为科学献身的精神。今天，我们可以利用已经学会的三角函数知识以及算法知识，借助信息技术，容易地制作出非常精确的三角函数表。下面我们借助信息技术来作一个$0^\circ \sim 90^\circ$每隔$1'$的八位三角函数表。

用计算工具可得：
$\sin 1' \approx 2.908\,882\,046 \times 10^{-4}$
$\approx 0.000\,290\,888$

以此作为初始值，利用
$\cos 1' = \sqrt{1-\sin^2 1'};$
$\alpha_0 = 1', \alpha_n = \alpha_{n-1} + 1', n \ge 1;$
$\sin \alpha_n = \sin 1' \cos \alpha_{n-1} + \cos 1' \sin \alpha_{n-1},$
$\cos \alpha_n = \sqrt{1-\sin^2 \alpha_n},$

就可以写出一个程序框图（如右图所示），然后通过信息技术得到一个正弦函数的三角函数表。
请同学们根据上述思路，自己编写程序，得出一个三角函数表。

[图片描述: 这是一个计算三角函数表的流程图。
1. **开始**: 程序的起点。
2. **输入 $\sin 1'$ 的近似值 $s_0$**: 获取计算所需的初始正弦值。
3. **c_one_prime $\leftarrow \sqrt{1-s_0^2}$**: 根据$s_0$计算$\cos 1'$的值，存储为`c_one_prime`。
4. **输出 $s_0$ (即 $\sin 1'$)**: 输出第一个角度的正弦值。
5. **s_curr $\leftarrow s_0$**: 初始化当前角度的正弦值`s_curr`为$\sin 1'$。
6. **c_curr $\leftarrow c_{one\_prime}$**: 初始化当前角度的余弦值`c_curr`为$\cos 1'$。
7. **n $\leftarrow 1$**: 初始化一个计数器`n`，表示当前处理的角度（以分钟为单位）。
8. **n $\ge 5400$?**: 判断是否已处理到90度（即$90 \times 60 = 5400$分钟）。图中所示为`n >= 90`，为保持与1'递增到90度的逻辑一致性，此处解释为5400分钟。
9. **否 (继续)**: 如果未达到90度，则继续循环。
10. **s_next $\leftarrow s_0 \cdot c_{curr} + c_{one\_prime} \cdot s_{curr}$**: 利用和角公式$\sin(\alpha_{n+1}) = \sin 1' \cos \alpha_n + \cos 1' \sin \alpha_n$计算下一个角度的正弦值。这里$s_0$是$\sin 1'$，$c_{one\_prime}$是$\cos 1'$。
11. **c_next $\leftarrow \sqrt{1-s_{next}^2}$**: 根据`s_next`计算下一个角度的余弦值。
12. **输出 $s_{next}$ (即 $\sin((n+1)')$)**: 输出计算出的新正弦值。
13. **s_curr $\leftarrow s_{next}$**: 更新当前正弦值为`s_next`。
14. **c_curr $\leftarrow c_{next}$**: 更新当前余弦值为`c_next`。
15. **n $\leftarrow n+1$**: 递增计数器`n`。
16. **是 (结束)**: 如果已处理到90度，程序结束。|标题: 利用信息技术制作三角函数表的流程图|图片1]
```mermaid
graph TD
    A[开始] --> B;
    B[/输入 $\sin 1'$ 的近似值 $s_0$/] --> C;
    C[c_one_prime $\leftarrow \sqrt{1-s_0^2}$] --> D;
    D[\输出 $s_0$ (即 $\sin 1'$)/] --> E;
    E[s_curr $\leftarrow s_0$] --> F;
    F[c_curr $\leftarrow c_{one\_prime}$] --> G;
    G[n $\leftarrow 1$] --> H;
    H{n $\ge 5400$?};
    H -- 否 --> I;
    I[s_next $\leftarrow s_0 \cdot c_{curr} + c_{one\_prime} \cdot s_{curr}$] --> J;
    J[c_next $\leftarrow \sqrt{1-s_{next}^2}$] --> K;
    K[\输出 $s_{next}$ (即 $\sin((n+1)')$)/] --> L;
    L[s_curr $\leftarrow s_{next}$] --> M;
    M[c_curr $\leftarrow c_{next}$] --> N;
    N[n $\leftarrow n+1$] --> H;
    H -- 是 --> O[结束];
```
<!--End Page228-->

<!--Begin Page229-->
## 5.5.2 简单的三角恒等变换

学习了和(差)角公式、二倍角公式以后，我们就有了进行三角恒等变换的新工具，从而使三角恒等变换的内容、思路和方法更加丰富。

**例7** 试以 $\cos \alpha$ 表示 $\sin^2 \frac{\alpha}{2}$, $\cos^2 \frac{\alpha}{2}$, $\tan^2 \frac{\alpha}{2}$。

[图片描述:一个带有问号的对话框，框内文字询问α与$\frac{\alpha}{2}$有什么关系？|标题:关系提示框|图片1]

**解:** $\alpha$ 是 $\frac{\alpha}{2}$ 的二倍角。在倍角公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ 中，以 $\alpha$ 代替 $2\alpha$，以 $\frac{\alpha}{2}$ 代替 $\alpha$，得
$\cos \alpha = 1 - 2\sin^2 \frac{\alpha}{2}$
所以
$\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{2}$ ①

在倍角公式 $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ 中，以 $\alpha$ 代替 $2\alpha$，以 $\frac{\alpha}{2}$ 代替 $\alpha$，得
$\cos \alpha = 2\cos^2 \frac{\alpha}{2} - 1$
所以
$\cos^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos \alpha}{2}$ ②

将①②两个等式的左右两边分别相除，得
$\tan^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$

[图片描述:一个信息框，其中包含由例7推导出的半角公式。具体内容为：例7的结果还可以表示为：$\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$，$\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$，$\tan \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}}$，并称之为半角公式，符号由 $\frac{\alpha}{2}$ 所在象限决定。|标题:半角公式及说明|图片2]

因为不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会存在所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择适当的公式，这是三角恒等变换的一个重要特点。

**例8** 求证：
(1) $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$
(2) $\sin \theta + \sin \varphi = 2\sin \frac{\theta + \varphi}{2} \cos \frac{\theta - \varphi}{2}$

[图片描述:一个带有问号的对话框，框内文字询问这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同？|标题:结构形式比较提示框|图片3]

**证明:** (1) 因为
$\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
将以上两式的左右两边分别相加，得
<!--End Page229-->

<!--Begin Page230-->
$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin \alpha \cos \beta,$

即
$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)].$

(2) 由 (1) 可得
$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin \alpha \cos \beta. \quad ①$

设 $\alpha+\beta=\theta, \alpha-\beta=\varphi,$
那么
$\alpha=\frac{\theta+\varphi}{2}, \beta=\frac{\theta-\varphi}{2}.$

把 $\alpha, \beta$ 的值代入①, 即得
$\sin \theta+\sin \varphi=2\sin \frac{\theta+\varphi}{2} \cos \frac{\theta-\varphi}{2}$

> **思考:** 如果不用 (1) 的结果, 如何证明?

例8的证明用到了换元的方法. 如把 $\alpha+\beta$ 看作 $\theta$, $\alpha-\beta$ 看作 $\varphi$, 从而把包含 $\alpha, \beta$ 的三角函数式转化为 $\theta, \varphi$ 的三角函数式. 或者, 把 $\sin \alpha \cos \beta$ 看作 $x$, $\cos \alpha \sin \beta$ 看作 $y$, 把等式看作 $x, y$ 的方程, 则原问题转化为解方程 (组) 求 $x$. 它们都体现了化归思想.

## **练习**

1. 求证: $\tan \frac{\alpha}{2} = \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{1-\cos \alpha}{\sin \alpha}.$

2. 已知 $\cos \theta=\frac{1}{3}$, 且 $270^\circ<\theta<360^\circ$, 试求 $\sin \frac{\theta}{2}$ 和 $\cos \frac{\theta}{2}$ 的值.

3. 已知等腰三角形的顶角的余弦等于 $\frac{7}{25}$, 求这个三角形的一个底角的正切.

4. 求证:
(1) $\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)];$
(2) $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)];$
(3) $\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)].$

5. 求证:
(1) $\sin \theta-\sin \varphi = 2\cos \frac{\theta+\varphi}{2} \sin \frac{\theta-\varphi}{2};$
(2) $\cos \theta+\cos \varphi = 2\cos \frac{\theta+\varphi}{2} \cos \frac{\theta-\varphi}{2};$
(3) $\cos \theta-\cos \varphi = -2\sin \frac{\theta+\varphi}{2} \sin \frac{\theta-\varphi}{2}.$
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**例9** 求下列函数的周期, 最大值和最小值:
(1) $y=\sin x+\sqrt{3} \cos x$;
(2) $y=3\sin x+4\cos x$.

**分析**: 便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是 $y=A\sin(x+\varphi)$, 利用和角公式将其展开, 可化为 $y=a\sin x+b\cos x$ 的形式. 反之, 利用和(差)角公式, 可将 $y=a\sin x+b\cos x$ 转化为 $y=A\sin(x+\varphi)$ 的形式, 进而就可以求得其周期和最值了.

**解**:
(1) $y=\sin x + \sqrt{3} \cos x$
$=2\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)$
$=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.
[图片描述:一个带有问号和编号1的提示框，框内文字为“你能说说这一步变形的理由吗？”|标题:提示框|图片编号:1]
因此, 所求周期为 $2\pi$, 最大值为 $2$, 最小值为 $-2$.

(2) 设 $3\sin x+4\cos x=A\sin(x+\varphi)$, 则
$3\sin x+4\cos x=A\sin x \cos \varphi+A\cos x \sin \varphi$.
于是 $A\cos \varphi=3$, $A\sin \varphi=4$.
于是 $A^2 \cos^2 \varphi+A^2 \sin^2 \varphi=25$.
所以 $A^2=25$.
取 $A=5$, 则 $\cos \varphi=\frac{3}{5}$, $\sin \varphi=\frac{4}{5}$.
由 $y=5\sin(x+\varphi)$ 可知, 所求周期为 $2\pi$, 最大值为 $5$, 最小值为 $-5$.

**例10** 如图5.5-2, 在扇形 $OPQ$ 中, 半径 $OP =1$, 圆心角 $\angle POQ=\frac{\pi}{3}$, $C$ 是扇形弧上的动点, 矩形 $ABCD$ 内接于扇形, 记 $\angle POC=\alpha$, 求当角 $\alpha$ 取何值时, 矩形 $ABCD$ 的面积最大? 并求出这个最大面积.
[图片描述:一个扇形OPQ，O为圆心，OP为半径。扇形内部有一个内接矩形ABCD，其中A和B在OP边上，C在扇形弧PQ上，D在OQ边上。从O到C有一条红色连线，与OP边形成角$\alpha$（即∠POC）。矩形边AB和BC以蓝色线条表示。|标题:图5.5-2 扇形内接矩形示意图|图片编号:2]

**分析**: 可先建立矩形 $ABCD$ 的面积 $S$ 与 $\alpha$ 之间的函数关系 $S=f(\alpha)$, 再求函数 $S=f(\alpha)$ 的最大值.

**解**:
在 Rt$\triangle OBC$ 中, $OB=\cos \alpha$, $BC=\sin \alpha$.
在 Rt$\triangle OAD$ 中, $\frac{DA}{OA}=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$.
所以 $OA=\frac{DA}{\sqrt{3}}=\frac{BC}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \alpha$.
$AB=OB-OA=\cos \alpha-\frac{\sqrt{3}}{3}\sin \alpha$.
设矩形 $ABCD$ 的面积为 $S$, 则
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$$
S=AB \cdot BC \\
=(\cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{3}\sin \alpha)\sin \alpha \\
=\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{3}\sin^2 \alpha \\
=\frac{1}{2}\sin 2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{6}(1-\cos 2\alpha) \\
=\frac{1}{2}\sin 2\alpha + \frac{\sqrt{3}}{6}\cos 2\alpha - \frac{\sqrt{3}}{6} \\
=\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2\alpha + \frac{1}{2}\cos 2\alpha) - \frac{\sqrt{3}}{6} \\
=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin(2\alpha+\frac{\pi}{6}) - \frac{\sqrt{3}}{6}
$$

由 $0 < \alpha < \frac{\pi}{3}$，得 $\frac{\pi}{6} < 2\alpha + \frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$，所以当 $2\alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$，即 $\alpha = \frac{\pi}{6}$时，
$$
S_{\text{最大}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}.
$$
因此，当 $\alpha = \frac{\pi}{6}$时，矩形 $ABCD$ 的面积最大，最大面积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$.

由例9、例10可以看到，通过三角恒等变换，我们把 $y=a\sin x+b\cos x$ 转化为 $y=A\sin(x+\varphi)$ 的形式，这个过程中蕴含了化归思想.

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## 练习

1.  求下列函数的周期，最大值和最小值：
    (1) $y=5\cos x-12\sin x$;
    (2) $y=\cos x+2\sin x$.
2.  要在半径为 $R$ 的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？
3.  已知正 $n$ 边形的边长为 $a$，内切圆的半径为 $r$，外接圆的半径为 $R$. 求证 $R+r=\frac{a}{2\tan \frac{\pi}{2n}}$.

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## 习题 5.5

### 复习巩固

1.  已知 $\sin \alpha = \frac{2}{3}$, $\cos \beta = -\frac{3}{4}$, $\alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$, $\beta \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$, 求 $\cos(\alpha-\beta)$ 的值.
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2. 已知$\alpha, \beta$都是锐角, $\cos \alpha=\frac{1}{7}, \cos(\alpha+\beta)=-\frac{11}{14}$, 求$\cos \beta$的值. (提示: $\beta=(\alpha+\beta)-\alpha$.)
3. 已知 $\sin(30^\circ+\alpha)=\frac{3}{5}$, $60^\circ<\alpha<150^\circ$, 求$\cos \alpha$的值.
4. 在$\triangle ABC$中, $\cos A=\frac{12}{13}, \cos B=\frac{3}{5}$, 求$\cos C$的值.
5. 已知 $\tan(\alpha+\beta)=3, \tan(\alpha-\beta)=5$, 求$\tan 2\alpha, \tan 2\beta$的值.
6. 化简:
   (1) $\sin 347^\circ\cos 148^\circ+\sin 77^\circ\cos 58^\circ$;
   (2) $\sin 164^\circ\sin 224^\circ+\sin 254^\circ\sin 314^\circ$;
   (3) $\sin(\alpha+\beta)\cos(\gamma-\beta) - \cos(\beta+\alpha)\sin(\beta-\gamma)$;
   (4) $\sin(\alpha-\beta)\sin(\beta-\gamma) - \cos(\alpha-\beta)\cos(\gamma-\beta)$;
   (5) $\frac{\tan \frac{5\pi}{4}+\tan \frac{5\pi}{12}}{1-\tan \frac{5\pi}{12}}$;
   (6) $\frac{\sin(\alpha+\beta)-2\sin \alpha\cos \beta}{2\sin \alpha\sin \beta+\cos(\alpha+\beta)}$.
7. 已知 $\sin \alpha=0.8, \alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$, 求 $\sin 2\alpha, \cos 2\alpha$ 的值.
8. 求证:
   (1) $(\sin 2\alpha-\cos 2\alpha)^2=1-\sin 4\alpha$;
   (2) $\tan(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})+\tan(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4})=2\tan x$;
   (3) $\frac{1+\sin 2\varphi}{\cos \varphi+\sin \varphi}=\cos \varphi+\sin \varphi$;
   (4) $\frac{2\sin \alpha\cos \alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}=\frac{2\tan \alpha}{(1-\tan \alpha)(1+\tan \alpha)}$;
   (5) $\frac{1-\cos 2\theta}{1+\cos 2\theta}=\tan^2\theta$;
   (6) $\frac{1+\sin 2\theta-\cos 2\theta}{1+\sin 2\theta+\cos 2\theta}=\tan \theta$.
9. 已知 $\sin(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}, \sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$, 求证:
   (1) $\sin \alpha\cos \beta=5\cos \alpha\sin \beta$;
   (2) $\tan \alpha=5\tan \beta$.
10. 已知 $\frac{1-\tan \theta}{2+\tan \theta}=1$, 求证 $\tan 2\theta=-4\tan(\theta+\frac{\pi}{4})$.
11. 已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于$\frac{3}{5}$, 求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切.
12. 化简:
    (1) $3\sqrt{15} \sin x+3\sqrt{5} \cos x$;
    (2) $\frac{3}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x$;
    (3) $\sqrt{3}\sin \frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}$;
    (4) $\frac{\sqrt{2}}{4}\sin(\frac{\pi}{4}-x)+\frac{\sqrt{6}}{4}\cos(\frac{\pi}{4}-x)$.

**综合运用**

13. 在$\triangle ABC$中, 已知 $\tan A, \tan B$是$x$的方程$x^2+p(x+1)+1=0$的两个实根, 求$\angle C$.
14. 在$\triangle ABC$中, $B=\frac{\pi}{4}$, $BC$边上的高等于$\frac{1}{3}BC$, 则$\cos A=()$.
    (A) $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
    (B) $\frac{\sqrt{10}}{10}$
    (C) $-\frac{\sqrt{10}}{10}$
    (D) $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$
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15. 求证:
(1) $3+\cos 4\alpha-4\cos 2\alpha=8\sin^4\alpha$;
(2) $\frac{\tan \alpha \tan 2\alpha}{\tan 2\alpha-\tan \alpha}+\sqrt{3}(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)=2\sin(2\alpha-\frac{\pi}{3})$.

16. 是否存在锐角 $\alpha, \beta$, 使 $\alpha+2\beta=\frac{2\pi}{3}$, $\tan \frac{\alpha}{2} \tan \beta=2-\sqrt{3}$ 同时成立? 若存在, 求出 $\alpha, \beta$ 的度数; 若不存在, 请说明理由。

17. (1) 求函数 $f(x)=\sin(\frac{\pi}{3}+4x)+\sin(4x-\frac{\pi}{6})$ 的周期和单调递增区间;
(2) 求函数 $f(x)=a\sin x+b\cos x(a^2+b^2\neq0)$ 的最大值和最小值。

## 拓广探索

18. 观察以下各等式:
$\sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ+\sin 30^\circ\cos 60^\circ=\frac{3}{4}$,
$\sin^2 20^\circ+\cos^2 50^\circ+\sin 20^\circ\cos 50^\circ=\frac{3}{4}$,
$\sin^2 15^\circ+\cos^2 45^\circ+\sin 15^\circ\cos 45^\circ=\frac{3}{4}$.
分析上述各式的共同特点, 写出能反映一般规律的等式, 并对等式的正确性作出证明。

19. 你能利用所给图形, 证明下列两个等式吗?
$\frac{1}{2}(\sin \alpha+\sin \beta)=\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$;
$\frac{1}{2}(\cos \alpha+\cos \beta)=\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.

[图片描述: 坐标系中一个以原点O为圆心的单位圆。圆上有点A和点B，线段OA和OB是半径，构成以O为顶点的扇形。点C是圆弧AB的中点，M是弦AB的中点。图中标示了与角度 $\alpha$ 和 $\beta$ 以及它们的和与差相关的一些几何关系，其中可能 $\frac{1}{2}(\square-\alpha)$ 代表 $\frac{|\beta-\alpha|}{2}$，C点表示角度为 $\frac{\alpha+\beta}{2}$ 的位置。此图用于辅助证明三角函数的和差化积公式。|标题: 第19题辅助图|图片编号: 图1]

20. 设 $f(\alpha)=\sin^x \alpha+\cos^x \alpha$, $x \in \{n \mid n=2k, k \in \mathbb{N}^+\}$. 利用三角变换, 估计 $f(\alpha)$ 在 $x=2, 4, 6$ 时的取值情况, 进而猜想 $x$ 取一般值时 $f(\alpha)$ 的取值范围。
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# 5.6 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$

我们知道，单位圆上的点，以 $(1,0)$ 为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题。

## 5.6.1 匀速圆周运动的数学模型

**问题** 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用(图5.6-1)。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图5.6-2)。

[图片描述: 一座由木质结构构成的大型水车，轮缘上装有多个水筒，部分筒体浸入水中，整体装置置于户外自然环境中，用于提水灌溉。|标题: 图 5.6-1|图片编号: 1]

[图片描述: 一幅古代风格的黑白插画，详细描绘了筒车的运作原理。图中显示一个带有多个水筒的轮子在水中旋转，将水提升到高处用于灌溉农田，画中还有河流、树木和远处的建筑。|标题: 图 5.6-2|图片编号: 2]

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒(视为质点)距离水面的相对高度与时间的关系吗？

因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律。

> ? **思考**
> 与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

如图5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过 $t$s 后，盛水筒 $M$ 从点 $P_0$ 运动到点 $P$。由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度 $H$，由以下量所决定：筒车转轮的中心 $O$ 到水面的距离 $h$，筒车的半径 $r$，筒车转动的角速度 $\omega$，盛水筒的初始位置 $P_0$ 以及所经过的时间 $t$。

下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒 $M$ 运动的数学模型。
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如图5.6-3,以$O$为原点,以与水平面平行的直线为$x$轴建立直角坐标系.设$t=0$时,盛水筒 $M$ 位于点$P_0$,以 $Ox$ 为始边,$OP_0$为终边的角为$\varphi$,经过 $t$ $s$ 后运动到点 $P(x,y)$.于是,以 $Ox$ 为始边,$OP$ 为终边的角为$\omega t+\varphi$,并且有
$$y=r\sin(\omega t+\varphi). \quad \text{①}$$
所以,盛水筒 $M$ 距离水面的高度 $H$ 与时间 $t$ 的关系是
$$H=r\sin(\omega t+\varphi)+h. \quad \text{②}$$
函数②就是要建立的数学模型,只要将它的性质研究清楚,就能把握盛水筒的运动规律,由于 $h$ 是常量,我们可以只研究函数①的性质.

[图片描述:一个圆形装置，底部部分浸没在水中。圆心为O，有X轴和Y轴建立的直角坐标系。圆形装置上有一点P，初始位置为P0。圆的半径标为r。水面在Y轴的负半部分，水面到圆心的距离标为h。图中有一个箭头表示P点逆时针旋转的方向。|标题:图5.6-3|图片编号:1]

## 5.6.2 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象

上面我们利用三角函数的知识建立了一个形如 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ (其中 $A>0, \omega>0$) 的函数.显然,这个函数由参数 $A, \omega, \varphi$ 所确定.因此,只要了解这些参数的意义,知道它们的变化对函数图象的影响,就能把握这个函数的性质.

> ? **思考**
>
> 从解析式看,函数 $y=\sin x$ 就是函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 在 $A=1, \omega=1, \varphi=0$ 时的特殊情形.
>
> (1) 能否借助我们熟悉的函数 $y=\sin x$ 的图象与性质研究参数 $A, \omega, \varphi$ 对函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的影响?
>
> (2) 函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 含有三个参数,你认为应按怎样的思路进行研究?

### 1. 探索 $\varphi$ 对 $y=\sin(x+\varphi)$ 图象的影响

为了更加直观地观察参数 $\varphi$ 对函数图象的影响,下面借助信息技术做一个数学实验.如图5.6-4,取 $A=1, \omega=1$, 动点 $M$ 在单位圆 $O_1$ 上以单位角速度按逆时针方向运动.如果动点 $M$ 以 $Q_0$ 为起点(此时 $\varphi=0$),经过 $x$ $s$ 后运动到点 $P$,那么点 $P$ 的纵坐标

[图片描述:一个坐标系中包含一个单位圆和两个正弦函数图像。左侧的单位圆O1上有一个点P，显示了角度$\frac{\pi}{6}$。右侧的坐标系中，一条实线（洋红色）的正弦曲线从原点开始，另一条虚线（蓝色）的正弦曲线向左平移，在x轴上经过点$x-\frac{\pi}{6}$。图像上还标有Q、Q1、G1、F等点，以及Y轴和X轴。|标题:图5.6-4|图片编号:2]
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y 就等于 $\sin x$。以 $(x,y)$ 为坐标描点，可得正弦函数 $y=\sin x$ 的图像。

> **探究**
>
> 在单位圆上拖动起点 $Q_0$，使点 $Q_0$ 绕点 $O_1$ 旋转到 $Q_1$，你发现图像有什么变化？
>
> 如果使点 $Q_0$ 绕点 $O_1$ 旋转 $-\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{3}$、$-\frac{\pi}{3}$，或者旋转一个任意角 $\varphi$ 呢？

> 分别说一说旋转 $-\frac{\pi}{6}$、$\frac{\pi}{3}$、$-\frac{\pi}{3}$ 时的情况。

当起点位于 $Q_1$ 时，$\varphi = \frac{\pi}{6}$，可得函数 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的图像。

进一步，在单位圆上，设两个动点分别以 $Q_0$、$Q_1$ 为起点同时开始运动。如果以 $Q_0$ 为起点的动点到达圆周上点 $P$ 的时间为 $x \text{s}$，那么以 $Q_1$ 为起点的动点相继到达点 $P$ 的时间是 $(x-\frac{\pi}{6}) \text{s}$。这个规律反映在图像上就是：如果 $F(x, y)$ 是函数 $y=\sin x$ 图像上的一点，那么 $G(x-\frac{\pi}{6}, y)$ 就是函数 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 图像上的点，如图5.6-4 所示。这说明，把正弦曲线 $y=\sin x$ 上的所有点向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度，就得到 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的图像。

一般地，当动点 $M$ 的起点位置 $Q$ 所对应的角为 $\varphi$ 时，对应的函数是 $y=\sin(x+\varphi)$（$\varphi \neq 0$）。把正弦曲线上的所有点向左（当 $\varphi > 0$ 时）或向右（当 $\varphi < 0$ 时）平移 $|\varphi|$ 个单位长度，就得到函数 $y=\sin(x+\varphi)$ 的图像。

**2. 探索 $\omega (\omega \ge 0)$ 对 $y=\sin(\omega x + \varphi)$ 图像的影响**

下面，仍然通过数学实验来探索。如图5.6-5，取圆的半径 $A=1$。为了研究方便，不妨令 $\varphi = \frac{\pi}{6}$。当 $\omega=1$ 时得到 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的图像。

[图片描述: 该图由两部分组成。左侧是一个以$O_1$为圆心的单位圆，其中有一个点P，以及一个与P成$\frac{\pi}{6}$角的点$Q_1$。这部分图形用于几何地展示相位的概念。右侧是一个直角坐标系，绘制了两条正弦曲线的图像。一条是实线（粉色），表示函数$y=\sin x$的图像（虽然图上标注为“ysi (x+π/6)”可能存在歧义，但根据上下文其应为$y=\sin x$）。另一条是虚线（青色），清晰地标记为“ysi (x+π/6)”，表示函数$y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$的图像，它相对于$y=\sin x$的图像向左平移了$\frac{\pi}{6}$个单位。图中标注了X轴上的点O、$x/2$、$x$以及Y轴。|标题:图5.6-5|图片编号:1]
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> ## 探究
> 取 $\omega=2$，图象有什么变化？取 $\omega=\frac{1}{2}$ 呢？取 $\omega=3$，$\omega=\frac{1}{3}$，图象又有什么变化？
> 当 $\omega$ 取任意正数呢？

取 $\omega=2$ 时，得到函数 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象。

进一步，在单位圆上，设以 $Q_1$ 为起点的动点，当 $\omega=1$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_1$ s，当 $\omega=2$ 时到达点 $P$ 的时间为 $x_2$ s。因为 $\omega=2$ 时动点的转速是 $\omega=1$ 时的 $2$ 倍，所以 $x_2=\frac{1}{2}x_1$。这样，设 $G(x, y)$ 是函数 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 图象上的一点，那么 $K(\frac{1}{2}x, y)$ 就是函数 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 图象上的相应点，如图 5.6-5 所示。这说明，把 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变)，就得到 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象。

$y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的周期为 $\pi$，是 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的周期的 $\frac{1}{2}$。

同理，当 $\omega=\frac{1}{2}$ 时，动点的转速是 $\omega=1$ 时的 $\frac{1}{2}$，以 $Q_1$ 为起点，到达点 $P$ 的时间是 $\omega=1$ 时的 $2$ 倍。这样，把 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变)，就得到 $y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$ 的图象。$y=\sin(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$ 的周期为 $4\pi$，是 $y=\sin(x+\frac{\pi}{6})$ 的周期的 $2$ 倍。

> 说一说 $\omega=3, \omega=\frac{1}{3}$ 时的情况。

一般地，函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的周期是 $\frac{2\pi}{\omega}$，把 $y=\sin(x+\varphi)$ 图象上所有点的横坐标缩短 (当 $\omega \ge 1$ 时) 或伸长 (当 $0 < \omega < 1$ 时) 到原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍 (纵坐标不变)，就得到 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的图象。

### 3. 探索 A(A>0)对 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 图象的影响

下面通过数学实验探索 $A$ 对函数图象的影响，为了研究方便，不妨令 $\omega=2, \varphi=\frac{\pi}{6}$。

当 $A=1$ 时，如图 5.6-6，可得 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图象。
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## 探究

[图片描述: 图像描绘了一个笛卡尔坐标系，左侧是两个同心圆，均以 $O_1$ 为圆心。内圆半径似乎为1（参考文本中的单位圆），外圆半径为2。一条射线 $O_1Q_1$ 与正 $x$ 轴构成 $\frac{\pi}{6}$ 的角度。点 $P$ 位于内圆上，点 $T$ 位于外圆上，且 $O_1, P, T$ 三点共线，同时 $P$ 和 $T$ 与 $x$ 轴上的某点垂直对齐。点 $T_1$ 也位于外圆上。坐标系右侧绘制了两条正弦曲线。一条虚线蓝色曲线表示函数 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。另一条实线洋红色曲线表示函数 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。图中标注了点 $K(x,y)$ 在虚线曲线上，点 $N(x, 2y)$ 在实线曲线上，这直观地展示了对于相同的 $x$ 值，实线曲线的 $y$ 坐标是虚线曲线 $y$ 坐标的两倍，从而说明了函数图像的垂直伸缩变换。|标题: 5.6-6 图像|图片编号: 1]

改变 $A$ 的取值,使 $A$ 取 $2, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{3}$ 等,你发现图像有什么变化?当 $A$ 取任意正数呢?

当 $A=2$ 时,得到函数 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图像.

进一步,设射线 $O_1Q_1$ 与以 $O_1$ 为圆心、$2$ 为半径的圆交于 $T_1$. 如果单位圆上以 $Q_1$ 为起点的动点,以 $\omega=2$ 的转速经过 $x$ s到达圆周上点 $P$,那么点 $P$ 的纵坐标是 $\sin(2x+\frac{\pi}{6})$; 相应地,点 $T_1$ 在以 $O_1$ 为圆心、$2$ 为半径的圆上运动到点 $T$,点 $T$ 的纵坐标是 $2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$.

这样,设 $K(x, y)$ 是函数 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 图像上的一点,那么点 $N(x, 2y)$ 就是函数 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 图像上的相应点,如图 5.6-6 所示.这说明,把 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 $2$ 倍(横坐标不变),就得到 $y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图像.

同理,把 $y=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 图像上所有点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ (横坐标不变),就得到 $y=\frac{1}{2}\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的图像.

> 说一说 $A=3, A=\frac{1}{3}$ 时的情况.

一般地,函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像,可以看作是把 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 图像上所有点的纵坐标伸长(当 $A>1$ 时)或缩短(当 $0<A<1$ 时)到原来的 $A$ 倍(横坐标不变)而得到.从而,函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的值域是 $[-A, A]$,最大值是 $A$,最小值是 $-A$.
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**? 思考**

你能总结一下从正弦函数图像出发，通过图像变换得到 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ ($A>0, \omega>0$) 图像的过程与方法吗？

一般地，函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ ($A>0, \omega>0$) 的图像，可以用下面的方法得到：先画出函数 $y=\sin x$ 的图像；再把正弦曲线向左（或右）平移 $|\varphi|$ 个单位长度，得到函数 $y=\sin(x+\varphi)$ 的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变），得到函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 $A$ 倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像。

这一过程的步骤如下：

```mermaid
graph TD
    A["**步骤1**"] --> B["**步骤2**"]
    B --> C["**步骤3**"]
    C --> D["**步骤4**"]
```

[图片描述: 描绘了标准正弦函数 $y=\sin x$ 的图像，曲线呈周期性波动，通过原点 $O(0,0)$，并在 $x$ 轴上方和下方对称分布。坐标轴清晰，横轴标记为 $x$，纵轴标记为 $y$。|标题: 正弦曲线 $y=\sin x$|图1]

[图片描述: 此处为空白，根据文本描述，应补充函数 $y=\sin(x+\varphi)$ 的图像，该图像是由 $y=\sin x$ 的图像通过左右平移 $|φ|$ 个单位长度（左移当 $φ>0$，右移当 $φ<0$）得到的。|标题: (待补充) 函数 $y=\sin(x+\varphi)$ 的图像|图2]

[图片描述: 此处为空白，根据文本描述，应补充函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像，该图像是由 $y=\sin(x+\varphi)$ 的图像通过将曲线上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}$ 倍（纵坐标不变）得到的（当 $\omega>1$ 时图像被压缩，当 $0<\omega<1$ 时图像被舒展）。|标题: (待补充) 函数 $y=\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像|图3]

[图片描述: 描绘了函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 的图像，该图像在振幅、周期和相位上相对于 $y=\sin x$ 发生了变化。曲线通过原点 $O$，呈现出周期性波动，振幅为 $A$，表明纵向拉伸或压缩的效果。坐标轴清晰，横轴标记为 $x$，纵轴标记为 $y$。|标题: $y=A\sin(\omega x+\varphi)$|图4]

补全步骤2和3的函数及图像。
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从上述步骤可以清楚地看到，参数$A$, $\omega$, $\varphi$是如何对函数图象产生影响的.

**例1** 画出函数$y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$的简图.

**解**: 先画出函数$y=\sin x$的图象; 再把正弦曲线向右平移$\frac{\pi}{6}$个单位长度, 得到函数$y=\sin(x-\frac{\pi}{6})$的图象; 然后使曲线上各点的横坐标变为原来的$\frac{1}{3}$, 得到函数$y=\sin(3x-\frac{\pi}{6})$的图象; 最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍, 这时的曲线就是函数$y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$的图象, 如图 5.6-7 所示.

[图片描述: 坐标系中绘制了两条正弦曲线。一条为虚线浅蓝色曲线，形似$y=\sin x$。另一条为实线品红色曲线，幅值达到2，周期被压缩，对应函数$y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$。X轴上标有-1到6的刻度，Y轴上标有-2到2的刻度。品红色曲线附近标有`y=(x-$\frac{\pi}{6}$)`的文本，这可能指示了函数的相移参数。|标题:图 5.6-7|图1]

下面用“五点法”画函数$y=2\sin(3x-\frac{\pi}{6})$在一个周期$(T=\frac{2\pi}{3})$内的图象.

令$X=3x-\frac{\pi}{6}$, 则$x=\frac{1}{3}(X+\frac{\pi}{6})$. 列表(表 5.6-1), 描点画图(图 5.6-8).

**表 5.6-1**

| $X$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ | $\frac{\pi}{18}$ | $\frac{2\pi}{9}$ | $\frac{7\pi}{18}$ | $\frac{5\pi}{9}$ | $\frac{13\pi}{18}$ |
| $y$ | $0$ | $2$ | $0$ | $-2$ | $0$ |

[图片描述: 坐标系中绘制了一条实线浅蓝色正弦曲线，该曲线通过“五点法”绘制，起始于原点附近，向上达到最大值$y=2$，向下达到最小值$y=-2$，并完成一个周期。X轴上的关键点包括$0, \frac{\pi}{18}, \frac{2\pi}{9}, \frac{7\pi}{18}, \frac{5\pi}{9}, \frac{13\pi}{18}$，对应表5.6-1中的$x$值。Y轴范围从-2到2。曲线附近标有`y=(x-$\frac{\pi}{6}$)`的文本，可能指示了函数的相移或自变量部分。|标题:图 5.6-8|图2]
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**例2** 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施, 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转, 可以从高处俯瞰四周景色, 如图5.6-9, 某摩天轮最高点距离地面高度为 $120$ m, 转盘直径为 $110$ m, 设置有 $48$ 个座舱, 开启后按逆时针方向匀速旋转, 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱, 转一周大约需要 $30$ min.

(1) 游客甲坐上摩天轮的座舱, 开始转动 $t$ min 后距离地面的高度为 $H$ m, 求在转动一周的过程中, $H$ 关于 $t$ 的函数解析式;
(2) 求游客甲在开始转动 $5$ min 后距离地面的高度;
(3) 若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里, 在运行一周的过程中, 求两人距离地面的高度差 $h$ (单位: m) 关于 $t$ 的函数解析式, 并求高度差的最大值(精确到 $0.1$).

[图片描述:一架大型摩天轮的远景照片，显示其巨大的圆形结构和下方的支撑基座，背景是蓝天和城市景观。|标题:图5.6-9|图片1]

**分析**: 摩天轮上的座舱运动可以近似地看作质点在圆周上做匀速旋转, 在旋转过程中, 游客距离地面的高度 $H$ 呈现周而复始的变化, 因此可以考虑用三角函数来刻画.

**解**: 如图5.6-10, 设座舱距离地面最近的位置为点 $P$, 以轴心为原点, 与地面平行的直线为 $x$ 轴建立直角坐标系.

(1) 设 $t=0$ min 时, 游客甲位于点 $P(0,-55)$, 以 $OP$ 为终边的角为 $-\frac{\pi}{2}$; 根据摩天轮转一周大约需要 $30$ min, 可知座舱转动的角速度约为 $\frac{\pi}{15}$ rad/min, 由题意可得
$$H=55\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\right)+65, 0 \le t \le 30.$$

[图片描述:一个带有坐标系的圆形示意图，圆心为原点O。x轴水平，y轴垂直。圆上标有P点（在y轴负半轴），A点和B点在第一象限，O与A、O与B之间有连线。图示表示了摩天轮的运动模型，P点代表最低点，A和B代表两个座舱的位置。|标题:图5.6-10|图片2]

(2) 当 $t=5$ 时,
$$H=55\sin\left(\frac{\pi}{15}\times5-\frac{\pi}{2}\right)+65=37.5.$$
所以, 游客甲在开始转动 $5$ min 后距离地面的高度约为 $37.5$ m.

(3) 如图5.6-10, 设甲、乙两人的位置分别用点 $A,B$ 表示, 则 $\angle AOB=\frac{2\pi}{48}=\frac{\pi}{24}$. 经过 $t$ min 后甲距离地面的高度为 $H_1=55\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\right)+65$, 点 $B$ 相对于点 $A$ 始终落后 $\frac{\pi}{24}$ rad, 此时乙距离地面的高度为 $H_2=55\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{13\pi}{24}\right)+65$. 则甲、乙距离地面的高度差
$$h=|H_1-H_2|=55 \left|\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{13\pi}{24}\right)\right|$$
利用 $\sin\theta+\sin\varphi=2\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}$, 可得
$$55 \left|\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\right)+\sin\left(\frac{13\pi}{24}-\frac{\pi}{15}t\right)\right|$$
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$h=110\left|\sin \frac{\pi}{48} \sin \left(\frac{\pi}{15} t-\frac{\pi}{48}\right)\right|, 0 \le t \le 30.$
当$\frac{\pi}{15} t-\frac{\pi}{48}=\frac{\pi}{2}$ (或$\frac{3\pi}{2}$), 即$t \approx 7.8$(或$22.8$)时, $h$的最大值为$110 \sin \frac{\pi}{48} \approx 7.2$.
所以,甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为$7.2 \text{ m}$.

## 练习

1.  画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图,并用信息技术检验:
    (1) $y=\frac{1}{2} \sin x$;
    (2) $y=\sin 3x$;
    (3) $y=\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$;
    (4) $y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$.

2.  已知函数$y=3\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)$的图象为$C$.
    (1) 为了得到函数$y=3\sin\left(x-\frac{\pi}{5}\right)$的图象,只要把$C$上所有的点( ).
        (A) 向右平行移动$\frac{\pi}{5}$个单位长度
        (B) 向左平行移动$\frac{\pi}{5}$个单位长度
        (C) 向右平行移动$\frac{2\pi}{5}$个单位长度
        (D) 向左平行移动$\frac{2\pi}{5}$个单位长度
    (2) 为了得到函数$y=3\sin\left(2x+\frac{\pi}{5}\right)$的图象,只要把$C$上所有的点( ).
        (A) 横坐标伸长到原来的$2$倍,纵坐标不变
        (B) 横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,纵坐标不变
        (C) 纵坐标伸长到原来的$2$倍,横坐标不变
        (D) 纵坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$,横坐标不变
    (3) 为了得到函数$y=4\sin\left(x+\frac{\pi}{5}\right)$的图象,只要把$C$上所有的点( ).
        (A) 横坐标伸长到原来的$\frac{4}{3}$倍,纵坐标不变
        (B) 横坐标缩短到原来的$\frac{3}{4}$,纵坐标不变
        (C) 纵坐标伸长到原来的$\frac{4}{3}$倍,横坐标不变
        (D) 纵坐标缩短到原来的$\frac{3}{4}$,横坐标不变

3.  函数$y=\frac{2}{3}\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4}\right)$的图象与正弦曲线有什么关系?

4.  函数$y=\sin\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$, $x\in[0,+\infty)$的图象与正弦曲线有什么关系?
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## 复习巩固

### 习题 5.6

1. 选择题
    (1) 为了得到函数 $y=\cos(x+\frac{1}{3})$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点 ( ).
        (A) 向左平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
        (B) 向右平行移动 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
        (C) 向左平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度
        (D) 向右平行移动 $\frac{1}{3}$ 个单位长度
    (2) 为了得到函数 $y=\cos\frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点 ( ).
        (A) 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变
        (B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$，纵坐标不变
        (C) 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变
        (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$，横坐标不变
    (3) 为了得到函数 $y=\frac{1}{4}\cos x$ 的图象，只需把余弦曲线上所有的点 ( ).
        (A) 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
        (B) 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$，纵坐标不变
        (C) 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
        (D) 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$，横坐标不变

2. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验:
    (1) $y=4\sin\frac{1}{2}x$;
    (2) $y=\frac{1}{2}\cos 3x$;
    (3) $y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})$;
    (4) $y=2\cos(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4})$.

3. 说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变换得到 (注意定义域):
    (1) $y=8\sin(\frac{x}{4}-\frac{\pi}{8})$, $x\in[0, +\infty)$;
    (2) $y=\frac{1}{3}\sin(3x+\frac{\pi}{7})$, $x\in[0, +\infty)$.
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**综合运用**

4.  函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0, 0<\varphi<\pi)$在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为$y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})$。
    [图片描述: 描绘了一个正弦函数在一个周期内的图像。坐标轴上标有$x$和$y$。曲线从$x=-\frac{\pi}{12}$处过零点向上，经过一个最大值点（y坐标为2），然后下降穿过x轴，再下降到一个最小值点（y坐标为-2），最后在$x=\frac{5\pi}{12}$处再次过零点。图上标示了y轴上的2和-2，以及x轴上的$-\frac{\pi}{12}$和$\frac{5\pi}{12}$。|标题: 第4题函数图像|图片1]

5.  将函数$y=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$的图象向左平移$\frac{\pi}{3}$后得到函数$y=g(x)$的图象，求$y=g(x)$的解析式。
    $g(x) = 3\sin(2(x+\frac{\pi}{3})+\frac{\pi}{4}) = 3\sin(2x+\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{4}) = 3\sin(2x+\frac{8\pi+3\pi}{12}) = 3\sin(2x+\frac{11\pi}{12})$。

6.  某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间$t=0$时，点A与钟面上标12的点B重合。将A,B两点间的距离$d$(单位: cm)表示成$t$(单位: s)的函数，则$d=10\sin(\frac{\pi}{60}t)$, $t\in[0, 60]$。

7.  如图，一个半径为3m的筒车按逆时针方向每分转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2.2m。设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为$d$(单位:m)(在水面下则$d$ 为负数)，若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则$d$与时间$t$(单位:s)之间的关系为
    $d=A\sin(\omega t+\varphi)+K(A>0, \omega>0, -\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2})$。
    [图片描述: 描绘了一个圆形筒车，其中心为O。圆周上有一个点P。一条水平线代表水面，位于圆心O下方，并与筒车底部相交。从点P垂直向下到水面有一条虚线，其长度标记为d。这表示点P到水面的距离。|标题: 第7题筒车示意图|图片2]

    (1) 求$A, \omega, \varphi, K$的值($\varphi$精确到$0.0001$)；
    *   筒车半径即为振幅，所以 $A=3$。
    *   筒车每分转1.5圈，转换为弧度/秒：$\omega = 1.5 \text{ rev/min} = 1.5 \times \frac{2\pi \text{ rad}}{60 \text{ s}} = \frac{3\pi}{60} \text{ rad/s} = \frac{\pi}{20} \text{ rad/s}$。
    *   筒车轴心O距离水面的高度为2.2m，这即是铅垂方向的平衡位置，所以 $K=2.2$。
    *   当$t=0$时，盛水筒P刚浮出水面，此时$d=0$。代入函数关系式：
        $0 = 3\sin(\omega \cdot 0 + \varphi) + 2.2$
        $0 = 3\sin(\varphi) + 2.2$
        $3\sin(\varphi) = -2.2$
        $\sin(\varphi) = -\frac{2.2}{3} = -\frac{11}{15}$
    *   因为P刚浮出水面时是向上运动，所以此时垂直速度为正，即$d'(0)>0$。
        $d'(t) = A\omega\cos(\omega t+\varphi) = 3 \cdot \frac{\pi}{20} \cos(\frac{\pi}{20}t+\varphi)$
        $d'(0) = 3 \cdot \frac{\pi}{20} \cos(\varphi) > 0$
        所以$\cos(\varphi)>0$。
    *   结合$\sin(\varphi) = -\frac{11}{15}$和$\cos(\varphi)>0$，且$-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$，$\varphi$应在第四象限。
    *   计算$\varphi = \arcsin(-\frac{11}{15}) \approx -0.8231$ (精确到0.0001)。
    *   所以，$A=3, \omega=\frac{\pi}{20}, \varphi \approx -0.8231, K=2.2$。

    (2) 盛水筒出水后至少经过多长时间就可到达最高点(精确到$0.01s$)?
    *   到达最高点时，$d$取最大值，即$\sin(\omega t+\varphi)=1$。
    *   $d_{max} = A \cdot 1 + K = 3 + 2.2 = 5.2$ m。
    *   令$\omega t+\varphi = \frac{\pi}{2}$ (或$\frac{\pi}{2}+2n\pi$，取第一个满足条件的值)。
    *   $\frac{\pi}{20}t - 0.8231 = \frac{\pi}{2}$
    *   $\frac{\pi}{20}t = \frac{\pi}{2} + 0.8231$
    *   $\frac{\pi}{20}t \approx 1.570796 + 0.8231 = 2.393896$
    *   $t = \frac{20}{\pi} \times 2.393896 \approx 6.366197 \times 2.393896 \approx 15.2393$
    *   精确到$0.01s$，所以$t \approx 15.24s$。
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# 5.7 三角函数的应用

现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象,如果某种变化着的现象具有周期性,那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例,说明三角函数模型的简单应用.

[图片描述:三张并列的图示，展示了弹簧振子在不同时刻的位移状态。中间的振子处于平衡位置，左右两边的振子分别处于向上和向下最大位移的位置，并用箭头指示振子的运动方向。红色小球代表振子，下方是弹簧，最上方是固定支架。箭头指示了振子的运动方向。|标题:弹簧振子示意图|图1]

**问题1** 某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中,时间 $t$ (单位:s)与位移 $y$ (单位:mm)之间的对应数据如表 5.7-1 所示,试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.

表 5.7-1
| $t$   | 0.00  | 0.05  | 0.10  | 0.15 | 0.20 | 0.25 | 0.30 | 0.35 | 0.40 | 0.45 | 0.50  | 0.55  | 0.60  |
| ----- | ----- | ----- | ----- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ----- | ----- | ----- |
| $y$   | -20.0 | -17.8 | -10.1 | 0.1  | 10.3 | 17.7 | 20.0 | 17.7 | 10.3 | 0.1  | -10.1 | -17.8 | -20.0 |

振子的振动具有循环往复的特点,由振子振动的物理学原理可知,其位移 $y$ 随时间 $t$ 的变化规律可以用函数 $y = A\sin(\omega t + \varphi)$ 来刻画.

根据已知数据作出散点图,如图 5.7-1 所示.

> 请你查阅资料,了解
> 振子的运动原理.

[图片描述:一个二维散点图，横轴表示时间 $t$，纵轴表示位移 $y$。横轴的刻度从 0.05 到 0.65，纵轴的刻度从 -22 到 22。图中的散点对应了表 5.7-1 中的数据，这些点构成了一个周期性波动的曲线形状，近似于正弦或余弦函数图像。|标题:图 5.7-1|图2]

由数据表和散点图可知,振子振动时位移的最大值为 20mm,因此 $A=20$;振子振动的周期为 0.6s,即 $\frac{2\pi}{\omega}=0.6$,解得 $\omega=\frac{10\pi}{3}$;再由初始状态 ($t=0$) 振子的位移为-20,
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得 $\sin \varphi = -1$，可取 $\varphi = -\frac{\pi}{2}$。所以振子位移关于时间的函数解析式为

$$y=20\sin\left(\frac{10\pi}{3}t - \frac{\pi}{2}\right), t \in [0, +\infty).$$

现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等，这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动。在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$, $x \in [0, +\infty)$ 表示，其中 $A \ge 0, \omega \ge 0$。描述简谐运动的物理量，如**振幅**、**周期**和**频率**等都与这个解析式中的常数有关：

*   $A$ 就是这个简谐运动的**振幅**，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
*   这个简谐运动的**周期**是 $T=\frac{2\pi}{\omega}$，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
*   这个简谐运动的**频率**由公式 $f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$ 给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
*   $\omega x+\varphi$ 称为**相位**；$x=0$ 时的相位 $\varphi$ 称为**初相**。

**问题2** 图5.7-2(1)是某次实验测得的交变电流 $i$ (单位: A) 随时间 $t$ (单位: s) 变化的图象。将测得的图象放大，得到图5.7-2(2)。

> 请你查阅资料，了解交变电流的产生原理。

(1) 求电流 $i$ 随时间 $t$ 变化的函数解析式；
(2) 当 $t=0, \frac{1}{600}, \frac{1}{150}, \frac{7}{600}, \frac{1}{60}$ 时，求电流 $i$。

[图片描述: 图5.7-2包含两个子图，分别标记为(1)和(2)。子图(1)是一个线形图，显示了交变电流 $i$ 随时间 $t$ 的变化。电流值在约 -5 到 5 之间快速且不规则地波动，呈现出噪声状的信号。时间轴标示了从 1 到 14 的整数点。子图(2)是子图(1)的放大和平滑处理后的结果，展示了一个清晰的周期性正弦波形。该波形表示交变电流 $i$ 随时间 $t$ 的变化，其峰值振幅约为 4.33 A。在一个周期内，电流从0开始，上升到正峰值，通过零点，下降到负峰值，再回到零点。在0.04秒内完成了大约1.5个周期。|标题: 图5.7-2|图片1]
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由交变电流的产生原理可知，电流 $i$ 随时间 $t$ 的变化规律可用 $i=A\sin(\omega t+\varphi)$ 来刻画，其中 $\frac{\omega}{2\pi}$ 表示频率，$A$ 表示振幅，$\varphi$ 表示初相。

由图5.7-2(2)可知，电流最大值为 $5\text{ A}$，因此 $A=5$；电流变化的周期为 $\frac{1}{50}\text{ s}$，频率为 $50\text{ Hz}$，即 $\frac{\omega}{2\pi}=50$，解得 $\omega=100\pi$；再由初始状态（$t=0$）的电流约为 $4.33\text{ A}$，可得 $\sin \varphi=0.866$，因此 $\varphi$ 约为 $\frac{\pi}{3}$。所以电流 $i$ 随时间 $t$ 变化的函数解析式是
$i=5\sin\left(100\pi t + \frac{\pi}{3}\right)$, $t\in [0, +\infty)$。

当 $t=0$ 时，$i=\frac{5\sqrt{3}}{2}$；
当 $t=\frac{1}{600}$ 时，$i=5$；
当 $t=\frac{1}{150}$ 时，$i=0$；
当 $t=\frac{7}{600}$ 时，$i=-5$；
当 $t=\frac{1}{60}$ 时，$i=0$。

## 练习

1. 某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题:
   (1) 这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?
   (2) 写出这个简谐运动的函数解析式.

[图片描述:一个二维笛卡尔坐标系，x轴标记为x/，y轴标记为y/。x轴上有O、2、3等刻度，y轴上有3和-3刻度。一条正弦曲线从原点O(0,0)开始，上升到最大值y=3，然后下降，经过点B(2,0)，继续下降到最小值y=-3（由虚线指示），然后上升，经过点C(3,0)。该图显示了一个完整的正弦周期的一部分，其中B点是第一个与x轴正半轴的交点，C点是第二个与x轴正半轴的交点。|标题:第1题图|图片编号:1]

2. 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏。让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，若线长为 $l \text{ cm}$，沙漏摆动时离开平衡位置的位移 $s$（单位：$\text{cm}$）与时间 $t$（单位：$\text{s}$）的函数关系是

[图片描述:一个演示沙漏摆动的实验装置。一只手扶着一块木板，木板上有一个标记为O的孔。一个沙漏悬挂在一个由金属杆组成的支架上，沙漏底部有小孔，沙子流出，在木板上留下了一条波浪形（正弦曲线）的轨迹。轨迹用粉色虚线表示。木板下方有一个蓝色箭头指示其运动方向。图片右下方标有'l'，指示沙漏摆线的长度。|标题:第2题图|图片编号:2]
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$s=3\cos\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\frac{\pi}{3}\right), t \in [0, +\infty)$.

(1)当$t=25$时,求该沙漏的最大偏角(精确到$0.0001 \text{ rad}$);
(2)已知$g=9.8 \text{ m/s}^2$,要使沙漏摆动的周期是$1 \text{ s}$,线的长度应当是多少(精确到$0.1 \text{ cm}$)?
3.一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示,由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压$U$(单位:$\text{V}$)关于时间$t$(单位:$\text{s}$)的函数解析式.

[图片描述:该图展示了一个正弦式电流的电压U随时间t变化的曲线。纵轴表示电压U，从-3到3；横轴表示时间t。曲线从原点(0,0)开始，上升到最大值3，然后下降经过0，再下降到最小值-3，最后上升回到0，完成一个周期。根据图像，电压的最大值为3，周期为4个时间单位（假设图示t轴的第二个0表示一个周期结束）。|标题:第3题的电压-时间关系图|图片编号:图1]

---

匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象,可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律,在现实生活中也有大量运动变化现象,仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的特点,这些现象也可以借助三角函数近似地描述.

**例1** 如图5.7-3,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数
$y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$.

(1)求这一天6~14时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.

**解:**
(1)由图5.7-3可知,这段时间的最大温差是$20^\circ \text{C}$.
(2)由图5.7-3可以看出,从6~14时的图象是函数
$y=A\sin(\omega x+\varphi)+b \quad$ ①
的半个周期的图象,所以
$A=\frac{1}{2}(30-10)=10, b=\frac{1}{2}(30+10)=20$.
因为$\frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{\omega}=14-6$,所以$\omega=\frac{\pi}{8}$.
将$A=10, b=20, \omega=\frac{\pi}{8}, x=6, y=10$代入①式,可得$\varphi=\frac{3\pi}{4}$.
综上,所求解析式为
$y=10\sin\left(\frac{\pi}{8}x+\frac{3\pi}{4}\right)+20, x \in [6,14]$.

[图片描述:该图展示了某地一天从6时到14时的温度变化曲线。纵轴表示温度y（单位：℃），其刻度线1、2、3对应温度值。横轴表示时间x（单位：h），从6时到14时。曲线从x=6时y=10℃处开始（对应纵轴的第一个刻度以下），逐渐上升，到x=14时达到y=30℃（对应纵轴的第三个刻度）。整个曲线呈现出半个正弦波的形态，表示温度在8小时内从最低值上升到最高值。|标题:图 5.7-3|图片编号:图2]

一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围.
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## 例2

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。表5.7-2是某港口某天的时刻与水深关系的预报。

**表 5.7-2**

| 时刻  | 水深/m | 时刻   | 水深/m | 时刻   | 水深/m |
| :---- | :----- | :----- | :----- | :----- | :----- |
| 0:00  | 5.0    | 9:18   | 2.5    | 18:36  | 5.0    |
| 3:06  | 7.5    | 12:24  | 5.0    | 21:42  | 2.5    |
| 6:12  | 5.0    | 15:30  | 7.5    | 24:00  | 4.0    |

1.  选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，给出整点时水深的近似数值(精确到 0.001 m)。
2.  一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船这一天何时能进入港口？在港口能待多久？
3.  某船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船这一天在2:00开始卸货，吃水深度以0.3m/h的速度减少，如果这条船一直卸货，那么港口水深将在某一时刻与这条船需要的安全水深相等，为了安全，这条船需要在这一时刻前至少0.4 h停止卸货并驶离港口，那么该船最好在什么时间停止卸货并驶离港口？

**分析**：观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性，根据表 5.7-2 中的数据画出散点图，如图 5.7-4。从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+h$ 的函数来刻画，其中 $x$ 是时间，$y$ 是水深。根据数据可以确定 $A$, $\omega$, $\varphi$, $h$ 的值。

**解**：(1) 以时间 $x$ (单位: h) 为横坐标，水深 $y$ (单位: m) 为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图 5.7-4)。根据图象，可以考虑用函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+h$ 刻画水深与时间之间的对应关系，从数据和图象可以得出：

[图片描述:一个直角坐标系中的散点图，横轴表示时间 $x$，纵轴表示水深 $y$。x轴刻度从0到24，主要刻度点为3.1, 6.2, 9.3, 12.4, 15.5, 18.6, 21.7, 24。y轴刻度从0到6，主要刻度点为2, 4, 6。图上绘制了8个散点，大致呈现周期性波动，类似于正弦曲线。这些点对应表5.7-2中的数据。|标题:图5.7-4|图片编号:1]

$A=2.5, h=5, T=12.4, \varphi=0$;
由 $T=\frac{2\pi}{\omega}=12.4$，得 $\omega = \frac{5\pi}{31}$。
所以，这个港口的水深与时间的关系可用函数 $y=2.5\sin(\frac{5\pi}{31}x)+5$ 近似描述。
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值(表 5.7-3)：
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**表 5.7-3 港口水深数据 (0:00 - 11:00)**

| 时刻 (h) | 0:00  | 1:00  | 2:00  | 3:00  | 4:00  | 5:00  | 6:00  | 7:00  | 8:00  | 9:00  | 10:00 | 11:00 |
| :------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| 水深 (m) | 5.000 | 6.213 | 7.122 | 7.497 | 7.245 | 6.428 | 5.253 | 4.014 | 3.023 | 2.529 | 2.656 | 3.372 |

**表 5.7-3 港口水深数据 (12:00 - 23:00)**

| 时刻 (h) | 12:00 | 13:00 | 14:00 | 15:00 | 16:00 | 17:00 | 18:00 | 19:00 | 20:00 | 21:00 | 22:00 | 23:00 |
| :------- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| 水深 (m) | 4.497 | 5.748 | 6.812 | 7.420 | 7.420 | 6.812 | 5.748 | 4.497 | 3.372 | 2.656 | 2.529 | 3.023 |

(2) 货船需要的安全水深为 $4+1.5=5.5$ m, 所以当 $y \ge 5.5$ 时就可以进港, 令
$$2.5\sin\left(\frac{5\pi}{31}x\right)+5=5.5,$$
$$\sin\left(\frac{5\pi}{31}x\right)=0.2.$$

由计算器可得
[图片描述: 科学计算器操作界面，显示了按键序列。上方显示可能为前一步操作的结果或当前显示模式。下方显示“sin⁻¹”、“0”、“.”、“2”、“=”，用于计算 $sin^{-1}(0.2)$ 的值。|标题: 科学计算器操作示例|图片1]
$0.201\,357\,9208 \approx 0.201\,4$.

> 科学计算器上, 有 $sin^{-1}$、$cos^{-1}$、$tan^{-1}$ 三个键, 在已知一个三角函数值时, 可以利用它们求出对应的角.

如图 5.7-5, 在区间 $[0, 12]$ 内, 函数 $y=2.5\sin\left(\frac{5\pi}{31}x\right)+5$ 的图象与直线 $y=5.5$ 有两个交点 $A, B$, 因此
$$\frac{5\pi}{31}x \approx 0.201\,4,$$
或
$$\pi - \frac{5\pi}{31}x \approx 0.201\,4.$$

[图片描述: 笛卡尔坐标系中的函数图像。横轴为时间 $x$，纵轴为水深 $y$。一条周期性变化的曲线 $y=2.5\sin(\frac{5\pi}{31}x)+5$ 表示水深随时间的变化。一条水平直线 $y=5.5$ 表示安全水深阈值。曲线与直线在 $x$ 轴正半轴上相交于多个点，图中清晰标出了三个交点 $A, B, C$。点 $A$ 约在 $x=0.4$ 处，点 $B$ 约在 $x=5.8$ 处，点 $C$ 约在 $x=12.8$ 处。曲线的最高点 $y$ 值约为 7.5，最低点 $y$ 值约为 2.5。|标题: 函数 $y=2.5\sin(\frac{5\pi}{31}x)+5$ 与直线 $y=5.5$ 的交点|图片2]

解得
$x_A \approx 0.397\,5, x_B \approx 5.802\,5.$
由函数的周期性易得:
$x_C \approx 12.4+0.397\,5=12.797\,5,$
$x_D \approx 12.4+5.802\,5=18.202\,5.$
因此, 货船可以在零时 30 分左右进港, 5 时 45 分左右出港; 或在 13 时左右进港, 18 时左右出港. 每次可以在港口停留 5 小时左右.
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(3) 设在 $x$ h 时货船的安全水深为 $y$ m, 那么 $y=5.5-0.3(x-2)$ ($x \ge 2$). 在同一直角坐标系内画出这两个函数的图象, 可以看到在 6~8 时之间两个函数图象有一个交点 (图 5.7-6).

[图片描述: 这是一个二维直角坐标系中的函数图像。x轴表示时间，y轴表示水深。图中有两条曲线：一条是正弦曲线，$y=2.5\sin x$，表示船只吃水深度的周期性变化；另一条是直线，$y=5.5-0.3(x-2)$，表示货船的安全水深。两条曲线在一点P处相交，该点的x坐标大约在7到8之间，y坐标大约在3到4之间。|标题: 图5.7-6|图1]

借助计算工具, 用二分法可以求得点 $P$ 的坐标约为 $(7.016, 3.995)$, 因此为了安全, 货船最好在 6.6 时之前停止卸货并驶离港口.

三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型, 可以用来研究很多问题, 在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.
具体地, 我们可以利用搜集到的数据, 先画出相应的“散点图”、观察散点图, 然后进行函数拟合获得具体的函数模型, 最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 实际问题通常涉及复杂的数据, 因此往往需要使用信息技术.

## 练习

1.  下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图, 经过 $\frac{1}{2}$ 周期后, 乙点的位置将移至何处?

[图片描述: 一幅二维坐标系中的波形图，描绘了一向右传播的绳波在某一时刻的形状。x轴代表位置，y轴代表位移。波形呈正弦曲线状，振幅为4。图中标注了几个关键点：原点O，波与x轴交点甲和丙，波峰乙（y=4）和戊（y=4），波谷丁（y=-4）。上方有一个向右的箭头，标有'v'，表示波的传播方向。|标题: 第1题|图2]

2.  自出生之日起, 人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化. 根据心理学家的统计, 人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种. 这些节律的时间周期分别为 23 天、28 天、33 天. 每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段, 以上三个节律周期的半数为临界日, 这就是说 11.5 天、14 天、16.5 天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日. 临界日的前半期为高潮期, 后半期为低潮期, 生日前一天是起始位置 (平衡位置), 请根据自己的出生日期, 绘制自己的体力、情绪和智力曲线, 并总结自己在什么时候应当控制情绪, 在什么时候应当鼓励自己; 在什么时候应当加强锻炼, 在什么时候应当保持体力.
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## 习题 5.7

### 综合运用

1.  天上有些恒星的亮度是会变化的,其中一种称为造父(型)变星,本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化.下图是一造父变星的亮度随时间的周期变化图.此变星的亮度变化的周期为多少天?最亮时是几等星?最暗时是几等星?

    [图片描述: 该图是一个折线图，展示了造父变星的视星等随时间（天）的变化。横轴表示时间（从0到20天），纵轴表示视星等（从3.5到4.5）。曲线呈周期性波动，有明显的峰谷。从图中看，一个周期大约是5天，例如从第一个波谷（约2.5天）到下一个波谷（约7.5天），或从第一个波峰（约4.5天）到下一个波峰（约9.5天）。最亮时（视星等最小值）约为3.6或3.7，最暗时（视星等最大值）约为4.3或4.4。|标题: 周期性变化的造父变星亮度图|图片编号: 图1]

2.  如图,弹簧挂着的小球做上下运动,它在$t$ s时相对于平衡位置的高度$h$(单位:cm)由关系式$h=2\sin(t+\frac{\pi}{4})$确定.以$t$为横坐标,$h$为纵坐标,画出这个函数在一个周期的闭区间上的图象,并回答下列问题:

    [图片描述: 一个弹簧振子示意图。一个螺旋弹簧上端固定，下端悬挂一个红色小球。右侧有三个水平箭头指示小球可能的高度范围：`h > 0` 表示小球在平衡位置上方，`h = 0` 表示小球在平衡位置，`h < 0` 表示小球在平衡位置下方。此图形象地展示了弹簧振子的垂直振动。|标题: 弹簧振子运动示意图|图片编号: 图2]

    (1) 小球在开始振动(即$t=0$)时的位置在哪里?
    (2) 小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少?
    (3) 经过多少时间小球往复运动一次?
    (4) 每秒钟小球能往复振动多少次?

### 拓广探索

3.  北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起,在日落时降旗,请根据年鉴或其他参考资料,统计过去一年不同日期的日出和日落时间.
    (1) 在同一直角坐标系中,以日期为横轴,画出散点图,并用曲线去拟合这些数据,同时找到函数模型;
    (2) 某同学准备在五一长假时去看升旗,他应当在几点前到达天安门广场?

4.  夏天是用电的高峰时期,特别是在晚上,为保证居民空调制冷用电,电力部门不得不对企事业单位拉闸限电,而到了零时以后,又出现电力过剩的情况,因此每天的用电也出现周期性的变化.为保证居民用电,电力部门提出了“削峰平谷”的想法,即提高晚上高峰时期的电价,同时降低后半夜低峰时期的电价,鼓励各单位在低峰时用电.请调查你们地区每天的用电情况,制定一项“削峰平谷”的电价方案.
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## 阅读与思考

### 振幅、周期、频率、相位

人体就是一个包含各种周期运动的生物体，医学上把周期为24小时的生理运动称为中周期运动，如血压、血糖浓度的变化；小于24小时的叫短周期运动，如心跳、脉搏每分50~70次、呼吸每分16~24次；大于24小时的叫长周期运动，如人的情绪、体力、智力等。

声音中也包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波。每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数$y=A \sin \omega t$。音有四要素：音调、响度、音长和音色，这都与正弦函数的参数有关。响度与振幅有关，即与声波的能量有关，振幅越大，响度越大。音长也与振幅有关，声音消失过程是由于声波在传播过程中受阻尼振动，系统的机械能随时间逐渐减小，振动的振幅也逐渐减小。音调与声波的振动频率是有关的，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利。像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音。复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为$f$的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如$2f$, $3f$, $4f$等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来。所以我们听到的声音的函数是$y=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{4}\sin 4x+\cdots$。

[图片描述: 一幅二维坐标系中的函数图像，x轴代表时间或相位，y轴代表振幅。图像展示了三个正弦波形的叠加。一条蓝色的实线表示基音 $y=\sin x$。有两条粉色虚线代表谐音，其中一条振幅较小频率较高，对应$y=\frac{1}{2}\sin 2x$，另一条振幅更小频率更高，对应$y=\frac{1}{3}\sin 3x$。一条较粗的粉色实线表示这三个正弦波叠加后的复合波形 $y=\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{3}\sin 3x$。y轴范围从-2到2，x轴从0到约8，刻度线位于2、4、6、8。图像清晰地展示了基音和谐音如何组合形成复杂的声音波形，与傅里叶级数分解和合成复杂周期信号的原理相吻合。|标题: 声音波形的叠加示意图|图片1]

音色一般是由基音和谐音的综合作用所决定的，不同乐器、不同人发出的音调可以相同，但音色不同，人们由此分辨出不同的声音。
周期函数产生了美妙的音乐！
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## 小结

### 一、本章知识结构

```mermaid
graph TD
    A[任意角与弧度制, 单位圆] --> B[任意角的三角函数]
    B --> C[三角函数的图象和性质]
    C --> D[简单的三角恒等变换]
    D --> E[函数 $y=A(\omega x+\varphi)$]
    E --> F[三角函数模型的简单应用]

    B --> G[同角三角函数的基本关系式]
    B --> H[诱导公式]

    C --> I[周期性、单调性、奇偶性、最大(]

    D --> J[差角余弦公式]
    D --> K[和差角公式]
    D --> L[倍角公式]
```

### 二、回顾与思考

现实世界中存在着大量周期现象，任意角的三角函数就是刻画这种现象的基本而有效的数学模型。

为了建立三角函数概念，本章我们先把角的范围推广到任意角，并引进弧度制；然后借助单位圆建立了一般三角函数的概念。接着，利用单位圆的性质（主要是对称性），用几何直观和代数运算的方法研究了三角函数的周期性、对称性、单调性和最大(小)值等性质。和(差)角公式、倍角公式等反映了三角函数之间的内在联系，也是圆的几何性质的代数表示，我们借助单位圆，通过代数运算对这些关系进行了研究。最后，利用三角函数的概念和性质，建立了具有广泛应用价值的函数 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$，并用它解决了许多实际问题。

根据第三章给出的概念，函数是两个实数集之间的对应，这样，我们不仅可以对各种函数进行加、减、乘、除等运算，还可以在自变量与函数值之间进行运算，从而使函数具有更广泛的应用。弧度制的本质是用长度单位来度量角的大小，统一了三角函数自变量和函数值的单位，从而使三角函数成为从实数集到实数集之间的对应。如果只用角度制，那么将导致自变量是60进位的角度、函数值是10进位的实数，例如$60^\circ+\sin 60^\circ$之类的运算将失去意义。所以，弧度制的引入对建立任意角的三角函数概念是至关重要的。在本章中已经看到，三角函数可以刻画振动、波动等大量周期现象，它们的自变量不是角度，而是时间、距离等其他量，这也说明了引入弧度制的必要性。在今后的学习中，我们还会不断体验到引入弧度制对拓展三角函数应用范围的必要性。

将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能
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够借助直角坐标系中的单位圆，建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而建立正弦函数、余弦函数。因此，正弦函数、余弦函数的性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系，例如，和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为$2\pi$与正弦函数、余弦函数的周期为$2\pi$是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的；等等。因此，在研究三角函数时，单位圆的作用非常重要。

周期性是三角函数最重要的性质，利用周期性，我们只要研究清楚三角函数在一个最小正周期内的性质即可；除了奇偶性外，三角函数还有非常丰富的对称性，诱导公式就是三角函数对称性的体现。利用周期性、奇偶性和诱导公式等可以发现，$x$轴上的点$(k\pi, 0)(k\in\mathbb{Z})$都是正弦函数$y=\sin x$的对称中心，而直线$x=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$则都是正弦函数$y=\sin x$的对称轴。对于余弦函数、正切函数可以得到类似的结论。

本章出现了大量三角公式，这些公式具有紧密的联系。其中，和（差）角公式具有一般意义，诱导公式、倍角公式等都可以看作它的特例。学习时要充分利用这种联系性，避免对公式的死记硬背。

三角函数是一类特殊的周期函数，在研究三角函数时，既可以联系物理、生物、自然界中的周期现象（运动），也可以从已学过的指数函数、对数函数、幂函数等得到启发，还要注意与锐角三角函数建立联系，这种关系可以用以下框图表示：

[图片描述:一个展示了不同函数类型及其之间关系的流程图。图表从“周期函数”开始，通过“推广”连接到“任意角三角函数”。“指数函数、对数函数、幂函数”通过“类比”连接到“任意角三角函数”。“任意角三角函数”通过“联系”连接到“物理、生物、自然界中的周期现象（运动）”，并通过“特殊化”连接到“锐角三角函数”。最后，“锐角三角函数”通过“联系”连接到“解直角三角形”。|标题:三角函数关系框图|图片1]
```mermaid
graph TD
    A[周期函数]
    B[指数函数<br/>对数函数<br/>幂函数]
    C[任意角三角函数]
    D[物理、生物、自然界<br/>中的周期现象 (运动)]
    E[锐角三角函数]
    F[解直角三角形]

    A -- 推广 --> C
    B -- 类比 --> C
    C -- 联系 --> D
    C -- 特殊化 --> E
    E -- 联系 --> F
```

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1.  从本章的学习中可以看到，弧度制的引入为三角函数的研究奠定了基础。你能概括一下引入弧度制的必要性吗？
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2. 回顾三角函数的定义方法，说说它与幂函数、指数函数的定义方法的共性和差异性。
3. 单位圆在三角函数的研究中有非常重要的作用，你能借助单位圆，自己归纳一下研究三角函数的图象与性质的过程与方法吗？
4. 两角差的余弦公式$C_{(\alpha-\beta)}$不仅是和(差)角公式的基础，也可以看成诱导公式的一般化，你能画一张本章公式的“逻辑图”吗？推导这些公式的过程中用到了哪些数学思想方法？
5. 函数$y=A\sin(\omega x+\varphi)$在刻画周期现象时有着非常重要的作用，其中参数$\omega$, $\varphi$, $A$都有相应的实际意义，你能借助匀速圆周运动或其他周期现象(如简谐振动、单摆等)，说明这些参数的意义，以及它们的变化对函数图象的影响吗？
6. 你能针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型吗？

## 复习参考题 5

### 复习巩固

1.  写出与下列各角终边相同的角的集合$S$，并且把$S$中适合不等式$-2\pi \le \beta < 4\pi$的元素$\beta$写出来:
    (1) $\frac{\pi}{4}$;
    (2) $-\frac{2}{3}\pi$;
    (3) $\frac{12}{5}\pi$;
    (4) $0$.
2.  一个扇形的弧长与面积的数值都是$5$，求这个扇形中心角的度数(精确到$1^\circ$)。
3.  (1) 已知 $\cos \varphi=\frac{1}{4}$，求 $\sin \varphi$, $\tan \varphi$。
    (2) 已知 $\sin x=2\cos x$，求角$x$的三个三角函数值。
4.  已知 $\tan \alpha=-\frac{1}{3}$，计算:
    (1) $\frac{\sin \alpha+2\cos \alpha}{5\cos \alpha-\sin \alpha}$;
    (2) $\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha+\cos^2 \alpha}$;
    (3) $\sin \alpha \cos \alpha$;
    (4) $(\sin \alpha+\cos \alpha)^2$.
5.  计算(可用计算工具，第(2)(3)题精确到$0.0001$):
    (1) $\sin \frac{25}{6}\pi+\cos \frac{25}{3}\pi+\tan(-\frac{25}{4}\pi)$;
    (2) $\sin 2+\cos 3+\tan 4$;
    (3) $\cos(\sin 2)$.
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6. 设$\pi < x < 2\pi$, 填表:

| $x$ | $\frac{7\pi}{6}$ | | | $\frac{7\pi}{4}$ | |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\sin x$ | | $-1$ | | | |
| $\cos x$ | | | $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ | | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\tan x$ | | | $\sqrt{3}$ | | |

7. 求下列函数的最大值、最小值, 并求使函数取得最大、最小值的 $x$ 的集合:
   (1) $y = \sqrt{2} + \frac{\sin x}{\pi}$;
   (2) $y = 3 - 2\cos x$.

8. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图, 并指出分别由函数 $y=\sin x, x \in \mathbb{R}$ 的图象经过怎样的变换得到:
   (1) $y = \frac{1}{2}\sin(3x-\frac{\pi}{3})$;
   (2) $y = -2\sin(x+\frac{\pi}{4})$;
   (3) $y = 1-\sin(2x-\frac{\pi}{5})$;
   (4) $y = 3\sin(\frac{\pi}{6}-\frac{x}{3})$.

9. (1) 用描点法画出函数 $y=\sin x, x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 的图象.
   (2) 如何根据第 (1) 小题并运用正弦函数的性质, 得到函数 $y=\sin x, x \in [0, 2\pi]$ 的图象?
   (3) 如何根据第 (2) 小题并通过平行移动坐标轴, 得到函数 $y=\sin(x+\varphi)+k, x \in [0, 2\pi]$ ($\varphi, k$ 都是常数) 的图象?

10. 不通过画图, 写出下列函数的振幅、周期、初相, 并说明如何由正弦曲线得到它们的图象:
    (1) $y=\sin(5x+\frac{\pi}{6})$;
    (2) $y=2\sin\frac{1}{6}x$.

11. (1) 已知 $\alpha, \beta$ 都是锐角, $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, $\cos(\alpha+\beta) = \frac{5}{13}$, 求 $\sin \beta$ 的值;
    (2) 已知 $\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha) = \frac{3}{5}$, $\sin(\frac{5\pi}{4}+\beta) = -\frac{12}{13}$, $\alpha \in (\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$, $\beta \in (0, \frac{\pi}{4})$, 求 $\sin(\alpha+\beta)$ 的值;
    (3) 已知 $\alpha, \beta$ 都是锐角, $\tan \alpha = \frac{1}{7}$, $\sin \beta = \frac{\sqrt{10}}{10}$, 求 $\tan(\alpha+2\beta)$ 的值.

12. (1) 证明 $\tan \alpha + \tan \beta = \tan(\alpha+\beta) - \tan \alpha \tan \beta \tan(\alpha+\beta)$;
    (2) 求 $\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \sqrt{3} \tan 20^\circ \tan 40^\circ$ 的值;
    (3) 若 $\alpha+\beta=\frac{3\pi}{4}$, 求 $(1-\tan \alpha)(1-\tan \beta)$ 的值;
    (4) 求 $\frac{\tan 20^\circ + \tan 40^\circ + \tan 120^\circ}{\tan 20^\circ \tan 40^\circ}$ 的值.

13. 化简:
    (1) $\frac{1}{\sin 10^\circ} - \frac{\sqrt{3}}{\cos 10^\circ}$;
    (2) $\sin 40^\circ(\tan 10^\circ - \sqrt{3})$.
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14. (3) $\tan 70^{\circ} \cos 10^{\circ}(\sqrt{3} \tan 20^{\circ}-1)$;
    (4) $\sin 50^{\circ}(1+\sqrt{3} \tan 10^{\circ})$.
    (1) 已知 $\cos \theta=-\frac{3}{5}$，$\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$，求 $(\sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{\theta}{2})^2$ 的值;
    (2) 已知 $\sin \frac{\alpha}{2}-\cos \frac{\alpha}{2}=\frac{1}{5}$，求 $\sin \alpha$ 的值;
    (3) 已知 $\sin^4 \theta+\cos^4 \theta=\frac{5}{9}$，求 $\sin 2\theta$ 的值;
    (4) 已知 $\cos 2\theta=\frac{3}{5}$，求 $\sin^4 \theta+\cos^4 \theta$ 的值.
15. (1) 已知 $\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{5}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{5}$，求 $\tan \alpha \tan \beta$ 的值;
    (2) 已知 $\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{2}$，$\sin \alpha+\sin \beta=\frac{1}{3}$，求 $\cos(\alpha-\beta)$ 的值.

**综合运用**

16. 证明:
    (1) $\cos 4\alpha+4\cos 2\alpha+3=8\cos^4 \alpha$;
    (2) $\frac{1+\sin 2\alpha}{2 \cos^2 \alpha+\sin 2\alpha}=\frac{1}{2}\tan \alpha+\frac{1}{2}$;
    (3) $\frac{\sin(2\alpha+\beta)}{\sin \alpha}-2\cos(\alpha+\beta)=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}$;
    (4) $\frac{3-4\cos 2A+\cos 4A}{3+4\cos 2A+\cos 4A}=\tan^4 A$.
17. 已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{1}{5}$，$0 \le \alpha \le \pi$，求 $\sin(2\alpha-\frac{\pi}{4})$ 的值.
18. 已知 $\cos(\frac{\pi}{4}+x)=\frac{3}{5}$，$\frac{17\pi}{12}<x<\frac{7\pi}{4}$，求 $\frac{\sin 2x+2 \sin^2 x}{1-\tan x}$ 的值.
19. 已知 $\sin \theta+\cos \theta=2\sin \alpha$，$\sin \theta \cos \theta=\sin^2 \beta$，求证 $4\cos^2 2\alpha = \cos^2 2\beta$.
20. 已知函数 $f(x)=\cos^4 x-2\sin x \cos x-\sin^4 x$，
    (1) 求 $f(x)$ 的最小正周期;
    (2) 当 $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 时, 求 $f(x)$ 的最小值以及取得最小值时 $x$ 的集合.
21. 已知函数 $f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(x-\frac{\pi}{6})+\cos x+a$ 的最大值为 $1$，
    (1) 求常数 $a$ 的值;
    (2) 求函数 $f(x)$ 的单调递减区间;
    (3) 求使 $f(x) \ge 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.
22. 已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2x+2\cos^2 x+m$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的最大值为 $6$，
    (1) 求常数 $m$ 的值;
    (2) 当 $x \in \mathbf{R}$ 时, 求函数 $f(x)$ 的最小值, 以及相应 $x$ 的集合.
23. 如图, 正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$， $P$, $Q$ 分别为边 $AB$, $DA$ 上的点. 当 $\triangle APQ$ 的周长为 $2$ 时, 求 $\angle PCQ$ 的大小.

[图片描述:描绘一个正方形 ABCD，其边长为1。点 P 位于边 AB 上，点 Q 位于边 DA 上。图中标示了三角形 APQ (由点 A, P, Q 构成) 和三角形 PCQ (由点 P, C, Q 构成)。|标题:第23题|图片编号:1]
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# 拓广探索

24. 已知 $\sin \beta + \cos \beta = \frac{1}{5}$， $\beta \in (0, \pi)$，
    (1) 求 $\tan \beta$ 的值；
    (2) 你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

25. 如图，已知直线 $l_1 \parallel l_2$，A 是 $l_1$，$l_2$ 之间的一定点，并且点 A 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $h_1$， $h_2$。B 是直线 $l_2$ 上一动点，作 $AC \perp AB$，且使 AC 与直线 $l_1$ 交于点 C。设 $\angle ABD = \alpha$。

[图片描述: 几何图示，包含两条平行直线 $l_1$ 和 $l_2$。点 A 位于 $l_1$ 和 $l_2$ 之间，并有一条垂直于 $l_1$ 的线段 AE（长 $h_1$）和一条垂直于 $l_2$ 的线段 AD（长 $h_2$）。点 B 位于直线 $l_2$ 上。线段 AC 垂直于 AB，且点 C 位于直线 $l_1$ 上。图中标注了 $\angle ABD = \alpha$，并在点 A 处表示 AC 垂直于 AB。点 E 和 C 在 $l_1$ 上，点 D 和 B 在 $l_2$ 上。|标题: 第25题|图1]

    (1) 写出 $\triangle ABC$ 的面积 $S$ 关于角 $\alpha$ 的函数解析式 $S(\alpha)$；
    (2) 画出上述函数的图象；
    (3) 由(2)中的图象求 $S(\alpha)$ 的最小值。

26. 英国数学家泰勒给出如下公式：
    $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$，
    $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$，
    其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdots \times n$。
    这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性。比如，用
    前三项计算 $\cos 0.3$，就得到 $\cos 0.3 \approx 1 - \frac{0.3^2}{2!} + \frac{0.3^4}{4!} = 0.955\ 337\ 5$。
    试用你的计算工具计算 $\cos 0.3$，并与上述结果比较。

27. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化。
    (1) 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 $\theta$，$\delta$ 为此时太阳直射点的纬度，$\varphi$ 为当地的纬度值，那么这三个量满足 $\theta = 90^\circ - |\varphi - \delta|$。

[图片描述: 地球及其相关角度示意图。图中包含一个圆形表示地球，中心有坐标轴。从横轴向上量取角度 $\varphi$ 和 $\delta$，其中 $\delta$ 标注为太阳直射点的纬度。从地球表面某点（由 $\varphi$ 确定）引出一条线与表示太阳光的平行线相交，交角标为 $\theta$，表示正午太阳高度角。太阳光线平行于通过地球中心与 $\delta$ 纬度线连接的射线。|标题: 第27题|图2]

    某科技小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续 400 天太阳直射点的纬度平均值（太阳直射北半球时取正值，太阳直射南半球时取负值），下面是该科技小组的三处观测站成员在春分后第 45 天测得的当地太阳高度角数据：
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| 项目 | 观测站 | | |
|---|---|---|---|
| | A | B | C |
| 观测站所在纬度 $\varphi$/度 | 40.000 0 | 23.439 3 | 0.000 0 |
| 观测站正午太阳高度角 $\theta$/度 | 66.387 0 | 82.946 4 | 73.614 1 |
| 太阳直射点的纬度 $\delta$/度 | | | |
| 太阳直射点的纬度平均值/度 | | | |

请根据数据完成上面的表格(计算结果精确到 $0.0001$);
(2)设第 $x$ 天时太阳直射点的纬度平均值为 $y$. 该科技小组通过对数据的整理和分析,推断 $y$ 与 $x$ 近似满足函数 $y=A\sin wx$, 其中 $A$ 为北回归线的纬度值, 约为 $23.4392911$, 试利用 (1) 中的数据, 估计 $w$ 的值 (精确到 $10^{-8}$);
(3)定义从某年春分到次年春分所经历的时间为一个回归年, 求一个回归年对应的天数 (精确到 $0.0001$);
(4)利用 (3) 的结果, 估计每 400 年中, 应设定多少个闰年, 可使这 400 年与 400 个回归年所含的天数最为接近 (精确到 $1$).
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# 部分中英文词汇索引

| 中文         | 英文                                  | 页码 |
| :----------- | :------------------------------------ | :--- |
| 元素         | element                               | 2    |
| 集合         | set                                   | 2    |
| 属于         | belong to                             | 2    |
| 子集         | subset                                | 7    |
| 真子集       | proper subset                         | 8    |
| 空集         | empty set                             | 8    |
| 并集         | union set                             | 10   |
| 交集         | intersection set                      | 11   |
| 全集         | universal set                         | 12   |
| 补集         | complementary set                     | 13   |
| 充分条件     | sufficient condition                  | 17   |
| 必要条件     | necessary condition                   | 17   |
| 充要条件     | necessary and sufficient condition    | 21   |
| 全称量词     | universal quantifier                  | 26   |
| 存在量词     | existential quantifier                | 27   |
| 基本不等式   | basic inequality                      | 44   |
| 一元二次不等式 | quadratic inequality with one unknown | 50   |
| 函数         | function                              | 62   |
| 定义域       | domain                                | 62   |
| 值域         | range                                 | 62   |
| 增函数       | increasing function                   | 77   |
| 减函数       | decreasing function                   | 77   |
| 最大值       | maximum value                         | 80   |
| 最小值       | minimum value                         | 80   |
| 偶函数       | even function                         | 83   |
| 奇函数       | odd function                          | 84   |
| 幂函数       | power function                        | 89   |
| 根式         | radical                               | 104  |
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续表

| 中文        | 英文                  | 页码 |
| :---------- | :-------------------- | :--- |
| 指数函数    | exponential function  | 113  |
| 对数        | logarithm             | 122  |
| 常用对数    | common logarithm     | 122  |
| 自然对数    | natural logarithm     | 122  |
| 对数函数    | logarithmic function  | 130  |
| 反函数      | inverse function      | 134  |
| 零点        | zero                  | 142  |
| 二分法      | bisection method      | 145  |
| 弧度        | radian                | 172  |
| 正弦函数    | sine function         | 178  |
| 余弦函数    | cosine function       | 178  |
| 正切函数    | tangent function      | 178  |
| 三角函数    | trigonometric function| 178  |
| 正弦曲线    | sine curve            | 197  |
| 余弦曲线    | cosine curve          | 199  |
| 周期函数    | periodic function     | 201  |
| 周期        | period                | 201  |
| 正切曲线    | tangent curve         | 211  |
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# 后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准(● 年版)》编写的, ● 年经国家教材委员会专家委员会审核通过。

本册教科书的编写, 集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果, 吸取了 ● 年版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》的编写经验, 凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师, 以及教材设计装帧专家的集体智慧。本册教科书的编写者还有李世杰、汪晓勤、金克勤等; 本书插图绘制为王俊宏, 为本书提供照片的有C 1696 (第 页各一张图)等。

我们感谢 ● 年版《普通高中课程标准实验教科书·数学(A版)》的主编刘绍学, 副主编钱珮玲、章建跃, 以及所有编写人员。我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。

本册教科书出版之前, 我们通过多种渠道与教科书选用作品(包括照片、画作)的作者进行了联系, 得到了他们的大力支持。对此, 我们表示衷心的感谢! 恳请未联系到的作者与我们联系, 以便及时支付稿酬。

本册教科书投入使用后, 我们根据各方意见作了修订, 真诚希望广大师生和家长继续提出宝贵意见!

联系方式
电话: 06
电子邮箱: @

人民教育出版社 课程教材研究所
中学数学课程教材研究开发中心
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