## 第八章
## 立体几何初步

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用。在小学和初中，我们已经认识了一些从现实物体中抽象出来的立体图形，你能在下图中找到它们吗？

立体图形各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢？本章我们将从对空间几何体的整体观察入手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法；借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、直线、平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质。

立体图形是由现实物体抽象而成的。直观感知、操作确认、推理论证、度量计算，是认识立体图形的基本方法，由整体到局部，由局部再到整体，是认识立体图形的有效途径。学习本章内容要注意观察，并善于想象。

[图片描述: 一幅现代都市的广角照片，可能是傍晚或清晨，天色呈淡蓝色。画面中包含了多栋高耸的摩天大楼和密集的城市建筑群。这些建筑呈现出多种几何形状，如高大的长方体、棱柱体（例如左侧最高的建筑和画面右侧的中国中央电视台总部大楼的独特结构）。灯光从许多建筑的窗户中透出，照亮了城市景观。前景是较低的居民楼，屋顶和窗户的细节可见。这张照片展示了现实世界中丰富的立体几何图形实例。|标题: 城市中的立体几何图形|图1]
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# 8.1 基本立体图形

在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做**空间几何体**。本节我们主要从几何体的组成元素及其相互关系的角度，认识几种最基本的空间几何体。

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**● 观察**

如图 8. 1-1，这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状？

[图片描述: 一组图片展示了10种日常物品，分为两行。第一行从左到右依次是：一个圆柱形的纸杯，一个长方体纸箱，一个两端稍粗中间细的腰鼓（形似两个圆台的组合），一个金字塔形物体，一个长方体茶叶盒。第二行从左到右依次是：一个不规则多面体形状的金刚石，一个圆柱形奶粉罐，一个篮球和一个足球（均为球体），一个带盖子的长方体储物箱，一个圆锥体形状的铅锤。这些图片旨在引导学生观察物体的形状并思考如何描述。|标题: 图8.1-1|图片1]

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观察一个物体，将它抽象成空间几何体，并描述它的结构特征，应先从整体入手，想象围成物体的每个面的形状、面与面之间的关系，并注意利用平面图形的知识。

在图 8.1-1中，可以发现纸箱、金字塔、茶叶盒、金刚石、储物箱等物体有相同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面。

一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做**多面体** (polyhedron) (图8. 1-2)。围成多面体的各个多边形叫做多面体的**面**，如面 $ABE$，面 $BAF$；两个面的公共边叫做多面

> **在空间几何体中说某个面是多边形，一般也包括这个多边形内部的平面部分。**
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体的**棱**，如棱 $AE$，棱 $EC$；棱与棱的公共点叫做多面体的**顶点**，如顶点 $E$，顶点 $C$。图8.1-1中的纸箱、金字塔、茶叶盒、储物箱等物体都具有多面体的形状。

[图片描述:一个三维几何体的线框图，形状类似双锥体或八面体。它有六个顶点，分别标记为A、B、C、D、E、F。其中，顶点E附近标记有“面”，某些边标记有“棱”，顶点C附近标记有“顶点”。虚线表示不可见的边，实线表示可见的边，描绘出多个三角形面。|标题:图 8.1-2|图片编号:图1]
[图片描述:一个展示旋转体形成的示意图。图中央有一条垂直的虚线标记为“轴”，表示旋转轴。一条位于轴右侧的平面曲线OAA'O'，由点O、A、A'、O'组成，围绕这条轴旋转，形成一个类似桶状或花瓶状的旋转体。点A、B、A'、B'位于旋转体的外轮廓上，O、O'位于轴上。|标题:图 8.1-3|图片编号:图2]

一条平面曲线 (包括直线) 绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做**旋转面**，封闭的旋转面围成的几何体叫做**旋转体** (solid of rotation)。这条定直线叫做旋转体的**轴**。图8.1-3中的旋转体就是由平面曲线 $OAA'O'$ 绕轴 $OO'$ 旋转形成的。图8.1-1 中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状。

下面，我们从多面体和旋转体组成元素的形状、位置关系入手，进一步认识一些特殊的多面体和旋转体。

## 1. 棱柱

> **&#x25CF; 观察**
>
> 观察图8.1-4 中的长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？
>
> [图片描述:展示两种长方体的表示方法。左侧是一个简单的、实心的灰色长方体，表示其整体形状。右侧是一个带有顶点标签的线框长方体，其底部顶点按逆时针顺序标记为A、B、C、D，顶部对应顶点标记为A'、B'、C'、D'。虚线表示被遮挡的边，实线表示可见的边，用于详细分析其结构。|标题:图 8.1-4|图片编号:图3]

可以发现，长方体的每个面都是**平行四边形**(**矩形**)，并且相对的两个面，如面 $ABCD$ 和面 $A'B'C'D'$，给我们以平行的形象，如同教室的地面和天花板一样。

如图 8.1-5，一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做**棱柱** (prism)。图8.1-1中的茶叶盒所表示的多面体就是棱柱。在棱柱中，两个互相平行的面叫做**棱柱的底面**，它们是全等的多边形；其余各面叫做**棱柱的侧面**，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做**棱柱的侧棱**；侧面与底面的公共顶点叫做**棱柱的顶点**。
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[图片描述:这是一个由两部分组成的图示。左侧是一个简洁的浅蓝色六棱柱三维渲染图。右侧是一个详细的几何图，展示了一个六棱柱的结构，并对其关键组成部分进行了标注。图中标注了顶部和底部的六边形“底面”，连接两个底面的垂直边“侧棱”，以及构成侧面的矩形“侧面”。顶部的顶点用带撇的字母$A', B', C', D', E', F'$表示，底部的顶点用$A, B, C, D, E, F$表示。|标题:图 8.1-5|图片编号:1]

棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图 8.1-5 中的棱柱记作棱柱 $ABCDEF-A'B'C'D'E'F'$。棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

在图 8.1-4 中的长方体中，侧棱和底面给我们以垂直的形象，如同教室里相邻墙面的交线和地面的关系一样。一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做**直棱柱** (图 8.1-6(1)(3))，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做**斜棱柱** (图 8.1-6(2)(4))。底面是正多边形的直棱柱叫做**正棱柱** (图 8.1-6(3))。底面是平行四边形的四棱柱也叫做**平行六面体** (图 8.1-6(4))。

[图片描述:这是一组展示四种不同类型棱柱的几何图形。
(1) 显示一个三棱柱，其侧棱垂直于底面，是一个**直三棱柱**。底面是一个三角形。
(2) 显示一个三棱柱，其侧棱不垂直于底面，是一个**斜三棱柱**。底面是一个三角形。
(3) 显示一个五棱柱，其侧棱垂直于底面，且底面是正五边形，是一个**正五棱柱**。
(4) 显示一个四棱柱，其侧棱不垂直于底面，且底面是平行四边形，是一个**斜四棱柱**或**平行六面体**。|标题:图 8.1-6|图片编号:2]

### 2. 棱锥

像图 8.1-1 中金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点。

如图 8.1-7，一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做**棱锥** (pyramid)。这个多边形面叫做**棱锥的底面**；有公共顶点的各个三角形面叫做**棱锥的侧面**；相邻侧面的公共边叫做**棱锥的侧棱**；各侧面的公共顶点叫做**棱锥的顶点**。

[图片描述:这是一个由两部分组成的图示。左侧是一个简洁的浅蓝色四棱锥三维渲染图。右侧是一个详细的几何图，展示了一个四棱锥的结构，并对其关键组成部分进行了标注。图中标注了顶部的“顶点”（$S$），由顶点和底面各边连接形成的三角形“侧面”，连接顶点和底面顶点的“侧棱”，以及底部的四边形“底面”。|标题:图 8.1-7|图片编号:3]
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棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,如图 8.1-7 中的棱锥记作棱锥 $S-ABCD$.棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……,我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……,其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形,并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做**正棱锥**.

### 3. 棱台
如图8.1-8,用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 我们把底面和截面之间那部分多面体叫做**棱台**(frustum of a pyramid).图8.1-1中的储物箱就给我们以棱台的形象.在棱台中,原棱锥的底面和截面分别叫做**棱台的下底面**和**上底面**,类似于棱柱、棱锥,棱台也有侧面、侧棱、顶点.

> 请你仿照棱锥中侧面、侧棱、顶点的定义,给出棱台侧面、侧棱、顶点的定义,并在图 8.1-8中标出它们.

[图片描述:一个三维几何图形，展示了一个由棱锥截取而成的棱台。图中虚线表示的棱锥顶点$O$，下方是棱台的下底面$ABCD$，上方是棱台的上底面$A'B'C'D'$。虚线连接$O$与$A'$, $B'$, $C'$, $D'$，实线和虚线共同构成棱台的侧棱。图中清晰标示了“上底面”和“下底面”。|标题:图8.1-8 棱台示意图|图片1]

棱台用表示底面各顶点的字母来表示,如图8.1-8中的棱台记作棱台 $ABCD-A'B'C'D'$.由三棱锥、四棱锥、五棱锥……………截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

**例1** 将下列各类几何体之间的关系用 Venn 图表示出来:
多面体,长方体,棱柱,棱锥,棱台,直棱柱,四面体,平行六面体.

**解**: 如图8.1-9所示.

[图片描述:一个Venn图，展示了几何体之间的包含关系。最外层是“多面体”，其内部包含三个独立的区域：“棱锥”、“棱柱”和“棱台”。“棱锥”区域内部包含一个“四面体”区域。“棱柱”区域内部包含“直棱柱”和“平行六面体”两个区域，其中“长方体”区域嵌套在“直棱柱”内部，并与“平行六面体”区域有重叠。|标题:图8.1-9 几何体关系Venn图|图片2]
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# 练习

1. 观察图中的物体，说出它们的主要结构特征。

[图片描述: 四张小图，展示了生活中常见的几何体。图 (1) 是一个绿色的帐篷，形状近似长方体或棱柱；图 (2) 是一本红色的《新编学生字典》，形状为长方体；图 (3) 是一个玻璃金字塔结构，形状为四棱锥；图 (4) 是一个蓝色的垃圾桶，形状为圆柱。这些物体都具有典型的几何形状特征，如面、棱、顶点或曲面。|标题: 第1题|图片编号: 图1]

2. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。
(1) 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体。 ( )
(2) 四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体。 ( )

3. 填空题
(1) 一个几何体由 7 个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这个几何体是________。
(2) 一个多面体最少有________个面，此时这个多面体是________。

4. 设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱。

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# 4. 圆柱

如图 8.1-10, 以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做**圆柱** (circular cylinder)。旋转轴叫做**圆柱的轴**;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做**圆柱的底面**;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做**圆柱的侧面**;无论旋转到什么位置,平行于轴的边都叫做**圆柱侧面的母线**。

[图片描述: 两张关于圆柱的示意图。左图是一个简洁的蓝色渐变圆柱体，展示了圆柱的基本外观。右图是一个带标注的圆柱三维透视图，清晰地标示了圆柱的**轴**（一条贯穿中心的竖直线）、**母线**（平行于轴的竖直段，如图中$A'B'$和$AB$），**底面**（上下两个圆面，如图中以$O'$和$O$为圆心的面），以及**侧面**（围绕轴旋转形成的曲面）。图中还用虚线表示了圆柱内部的结构，并用字母$O, O', A, B, A', B'$等表示关键点。|标题: 图8.1-10|图片编号: 图2]

在生活中,许多物体和容器都是圆柱形的,如图8. 1-1 中的奶粉罐。圆柱用表示它的轴的字母表示,如图8.1-10中的圆柱记作圆柱 $O'O$。

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## 5. 圆锥

与圆柱一样，圆锥也可以看作由平面图形旋转而成的，如图 8.1-11，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做**圆锥** (circular cone)。图 8.1-1 中的铅锤就是圆锥形物体。圆锥也有轴、底面、侧面和母线。

[图片描述: 左侧是一个绿色的三维圆锥实体模型。右侧是该圆锥的二维剖面示意图，显示了圆锥的形成过程。图中有一个旋转轴，通过圆锥的顶点S和底面圆心O。底面圆的直径由点A和B定义。虚线表示旋转形成的路径，展示了一个直角三角形绕其一条直角边旋转形成圆锥的过程。|标题: 图8.1-11|图片编号: 图1]

> 请你仿照圆柱中轴、底面、侧面、母线的定义，给出圆锥的轴、底面、侧面、母线的定义，并在图 8.1-11 中标出它们。

圆锥也用表示它的轴的字母表示，如图 8.1-11 中的圆锥记作圆锥 $SO$。

## 6. 圆台

如图 8.1-12，与棱台类似，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做**圆台** (circular truncated cone)。图 8.1-1 中的纸杯就是具有圆台结构特征的物体。

[图片描述: 左侧是两个三维实体模型：上方是一个小圆锥，下方是一个圆台。右侧是一个二维剖面示意图，展示了圆台的形成。一个完整的圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部，剩余部分形成圆台。图中标记有原圆锥的顶点S，以及圆台上下底面的圆心O'和O。虚线勾勒出原圆锥的轮廓。|标题: 图8.1-12|图片编号: 图2]

与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线（请你在图 8.1-12 中标出它们）。圆台也用表示它的轴的字母表示，如图 8.1-12 中的圆台记作圆台 $O'O$。

> 💡 **探究**
> 圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到。圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？

## 7. 球

如图 8.1-13，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做**球体** (spheroid)，简称**球**。半圆的圆心叫做球的**球心**；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的**半径**；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的**直**
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径, 球常用表示球心的字母来表示, 如图 8.1-13 中的球记作球 $O$.

[图片描述:左侧是一个红色的实心球体。右侧是一个球体的示意图，通过虚线和实线展示了球的内部结构，并清晰标注了**半径**、**直径**和**球心**（用字母 $o$ 表示）。图中的箭头表示球体可以绕垂直轴旋转。这个图示有助于学生理解球体的基本构成要素。|标题:图8.1-13|图片编号:图1]

棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体。其中棱柱与圆柱统称为柱体, 棱锥与圆锥统称为锥体, 棱台与圆台统称为台体。

> **探究**
> 棱柱、棱锥与棱台都是多面体, 它们在结构上有哪些相同点和不同点? 当底面发生变化时, 它们能否互相转化? 圆柱、圆锥与圆台呢?

### 8. 简单组合体

现实世界中的物体表示的几何体, 除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外, 还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的, 这些几何体称作简单组合体。

[图片描述:此图展示了四种不同类型的简单组合体。
(1) 一个蓝色的瓶子，其形状可看作由圆柱体和圆台或半球体组合而成。
(2) 一个组合体，由一个黄色的球体和一个黑色的圆柱形底座拼接而成。
(3) 一个立方体，其一个角被挖去，形成了一个内部是四棱锥形状的凹陷，展示了从简单几何体中“截去”一部分的组合方式。
(4) 一个长方体，其顶面被“挖去”了两个小的长方体，展示了从简单几何体中“挖去”一部分的组合方式。
这些例子帮助学生理解现实世界中复杂几何体是如何由基本几何体组合或通过切割、挖空形成的。|标题:图8.1-14|图片编号:图2]

简单组合体的构成有两种基本形式: 一种是由简单几何体拼接而成, 如图 8.1-14(1)(2)中物体表示的几何体; 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成, 如图 8.1-14(3)(4)中的几何体. 现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成。

> 请你说一说图 8.1-14 中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的。

**例2** 如图8.1-15(1), 以直角梯形 $ABCD$ 的下底$AB$ 所在直线为轴, 其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体. 说出这个几何体的结构特征.
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**解**: 几何体如图8.1-15(2)所示，其中 $DE \perp AB$，垂足为 $E$。

[图片描述: 该图包含两个部分，显示了通过旋转一个平面图形得到一个三维几何体的过程。图 (1) 展示了一个二维梯形 $ABCD$，其中边 $AB$ 是一条垂直的虚线，表示旋转轴，点 $E$ 是边 $CD$ 在旋转轴 $AB$ 上的投影。图 (2) 展示了将图 (1) 中的梯形 $ABCD$ 绕轴 $AB$ 旋转一周后形成的三维几何体。这个几何体是一个组合体，上部是一个圆锥，顶点是 $A$，底面是圆心为 $E$ 的圆，且半径为 $ED$；下部是一个圆柱，底面是圆心为 $B$ 和 $E$ 的两个圆，半径分别为 $BC$ 和 $ED$ (其中 $BC = ED$)。整个几何体由一个底面半径为 $BC$、高为 $BE$ 的圆柱体和一个底面半径为 $DE$、高为 $AE$ 的圆锥体组合而成，它们的共同底面是半径为 $DE$ 的圆。|标题: 图8.1-15|图片1]

这个几何体是由圆柱 $BE$ 和圆锥 $AE$ 组合而成的。其中圆柱 $BE$ 的底面分别是 $\odot B$ 和 $\odot E$，侧面是由梯形的上底 $CD$ 绕轴 $AB$ 旋转形成的；圆锥 $AE$ 的底面是 $\odot E$，侧面是由梯形的边 $AD$ 绕轴 $AB$ 旋转而成的。

## 练习

1. 观察图中的物体，说出它们的主要结构特征。

[图片描述: 该图展示了四种不同形状的日常物体，用于考察它们的几何结构特征。图 (1) 是一个开口向上、底部较窄的棕色杯子，其侧面为曲面，大致呈截头圆锥体形状。图 (2) 是一个带有盖子的银灰色圆柱形罐子，具有平直的侧面和圆形底面。图 (3) 是一个彩色的排球，呈标准球体形状。图 (4) 是一个红白相间的交通锥，底部为圆柱形，上部为圆锥形。|标题: (第1题)|图片2]

2. 说出图中物体的主要结构特征。

[图片描述: 该图展示了三幅图片，用于识别其几何结构特征。图 (1) 是一个传统茅草屋，其下部为圆柱形，上部为圆锥形屋顶。图 (2) 是一个金属六角螺母，其外部形状是六棱柱体。图 (3) 是一个二维的三角形 $ABC$。|标题: (第2题)|图片3]

3. 如图，以三角形 $ABC$ 的一边 $AB$ 所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征。
（注：此处的“如图”指代的是图片3中的三角形 $ABC$。）

4. 观察我们周围的物体，说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征。
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## 习题 8.1

### 复习巩固

1.  如图,在长方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,指出经过顶点$D$的棱和面.
    [图片描述:一个三维长方体，底部顶点依次标记为A、B、C、D，顶部顶点依次标记为A1、B1、C1、D1。虚线表示被遮挡的边。该图用于说明长方体经过顶点D的棱和面。|标题:长方体ABCD-A1B1C1D1的示意图|图片编号:1]
    (第1题)

2.  如图,下列几何体中为棱柱的是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ (填写序号).
    [图片描述:一个三棱柱，底部是三角形，侧面是矩形。|标题:几何体(1)|图片编号:2]
    [图片描述:一个四棱柱，底部是四边形，侧面是矩形。|标题:几何体(2)|图片编号:3]
    [图片描述:一个长方体（四棱柱），底部是矩形，侧面是矩形。|标题:几何体(3)|图片编号:4]
    [图片描述:一个圆柱体，底部和顶部是圆形，侧面是曲面。|标题:几何体(4)|图片编号:5]
    [图片描述:一个底面为梯形的棱柱。|标题:几何体(5)|图片编号:6]
    [图片描述:一个四棱台，由一个四棱锥截去顶部小四棱锥所得。|标题:几何体(6)|图片编号:7]
    [图片描述:一个四棱锥，底部是四边形，侧面是三角形汇聚于一点。|标题:几何体(7)|图片编号:8]
    (第2题)

3.  如图,汽车内胎可以由下面某个图形绕轴旋转而成,这个图形是( ).
    [图片描述:一张汽车轮胎的实物图片，显示其环形结构。|标题:汽车内胎实物图|图片编号:9]
    [图片描述:一个空心圆环（圆圈），内部是空的，一条垂直的旋转轴线穿过圆环的中心。|标题:汽车内胎形成图形选项(A)|图片编号:10]
    [图片描述:一个实心圆，一条垂直的旋转轴线与圆相切。|标题:汽车内胎形成图形选项(B)|图片编号:11]
    [图片描述:一个实心圆，一条垂直的旋转轴线在圆的外部，但未与圆相切。|标题:汽车内胎形成图形选项(C)|图片编号:12]
    [图片描述:一个实心圆，一条垂直的旋转轴线穿过圆的直径。|标题:汽车内胎形成图形选项(D)|图片编号:13]
    (第3题)

4.  如图,判断下列几何体是不是台体,并说明为什么.
    [图片描述:一个正四棱台，由一个正四棱锥被平行于底面的平面截去顶部的小棱锥形成。虚线表示截去部分的原棱锥。|标题:几何体(1)|图片编号:14]
    [图片描述:一个正三棱台，由一个正三棱锥被平行于底面的平面截去顶部的小棱锥形成。虚线表示截去部分的原棱锥。|标题:几何体(2)|图片编号:15]
    [图片描述:一个圆台，由一个圆锥被平行于底面的平面截去顶部的小圆锥形成。虚线表示截去部分的原圆锥。|标题:几何体(3)|图片编号:16]
    (第4题)

5.  如图,说出图中两个几何体的结构特征.
    [图片描述:一个由圆台和一个圆锥组合而成的几何体，圆台的较小底面与圆锥的底面重合。|标题:几何体(1)|图片编号:17]
    [图片描述:一个由长方体和一个四棱锥组合而成的几何体，四棱锥的底面与长方体的上底面重合。|标题:几何体(2)|图片编号:18]
    (第5题)
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# 综合运用

6.  判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。
    (1) 一个棱柱至少有5个面。 ( )
    (2) 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形。 ( )
    (3) 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥。 ( )
    (4) 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形。 ( )
7.  如图, 右边长方体中由左边的平面图形围成的是( )。

    [图片描述: 左侧图像展示了一个长方体的展开图（网格图），呈十字形，其中中心水平矩形及其左右两侧的矩形被阴影填充，而中心矩形上下两侧的矩形未填充阴影。右侧图像显示了四个三维长方体模型，标记为 (A), (B), (C), (D)。 (A) 是一个完全未填充的长方体。(B) 是一个顶部和底部面被填充的长方体。(C) 是一个前后侧面被填充的长方体。(D) 是一个四个立式侧面被填充的长方体。|标题: 第7题|图片编号: 1]

8.  如图, 长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 被一个平面截成两个几何体, 其中 $EH // B'C' // FG$. 请说出这两个几何体的名称。

    [图片描述: 图像展示了一个三维长方体 $ABCD-A'B'C'D'$。点 $A, B, C, D$ 构成底面，点 $A', B', C', D'$ 构成顶面。一个平面截割长方体，截面为阴影四边形 $EFGH$。其中点 $E$ 位于棱 $A'D'$ 上，点 $H$ 位于棱 $D'C'$ 上，点 $G$ 位于棱 $C'C$ 上，点 $F$ 位于棱 $B'B$ 上。|标题: 第8题|图片编号: 2]

    这两个几何体的名称是：**四棱台** (两个)。

9.  如图, 以$\square ABCD$的一边$AB$所在直线为轴, 其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体. 画出这个几何体的图形, 并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.

    [图片描述: 图像展示了一个平行四边形 $ABCD$。点 $A$ 位于左上角，点 $B$ 位于左下角，点 $C$ 位于右下角，点 $D$ 位于右上角。边 $AB$ 被绘制成垂直的，表示它是旋转轴。|标题: 第9题|图片编号: 3]

    形成的几何体图形：(此处应手绘或通过软件绘制一个圆台)

    简单几何体及有关的结构特征：
    该几何体是一个**圆台**。
    它可以看作是一个大圆锥体截去一个小圆锥体后剩下的部分，或者由一个圆柱体和两个圆锥体组合（一加一减）而成。
    其结构特征包括：
    *   **两个相互平行的圆形底面**：这两个底面是不同大小的圆，它们的圆心在同一条直线上（即旋转轴上）。
    *   **一个曲面侧面**：连接两个圆形底面，由旋转边 $CD$ 扫过形成的曲面。
    *   **高度**：两个底面之间的垂直距离。
    *   **半径**：两个底面各有其半径。

# 拓广探索

10. 下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例。
    (1) 有两个面平行,其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱;
    (2) 有两个面平行且相似,其他各个面都是梯形的多面体是棱台.
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# 8.2 立体图形的直观图

前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征，为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识。

直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示，因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。

要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。

**● 观察**

如图8.2-1，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？

[图片描述:左侧图片展示了一个矩形窗户在阳光照射下，将窗户的形状投影到地面上形成一个矩形阴影。右侧图片展示了从空中俯瞰的农田，农田被规划成多个矩形地块，但由于透视关系，它们在视觉上呈现出非矩形形状。|标题:图8.2-1|图片编号:1]

在初中，我们已经学习过投影，一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2)。

利用平行投影，人们获得了画直观图的**斜二测画法**，利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是:

1. 在已知图形中取互相垂直的$x$轴和$y$轴，两轴相交于点$O$。画直观图时，把它们画成对应的$x'$轴与$y'$轴，两轴相交

[图片描述:一个蓝色的矩形平面悬浮在一个米色的平面上方，矩形的四个顶点通过粉红色的平行投影线投影到下方的平面上，在米色平面上形成一个灰色的平行四边形投影。这演示了平行投影的过程。|标题:图8.2-2|图片编号:2]
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于点 $O'$，且使 $\angle x'O'y'=45^\circ$ (或 $135^\circ$)，它们确定的平面表示水平面。

(2) 已知图形中平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 $x'$ 轴或 $y'$ 轴的线段。

(3) 已知图形中平行于 $x$ 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 $y$ 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，如图 8.2-3，$\Box A'B'C'D'$ 就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形 $ABCD$ 的直观图。其中横向线段 $A'B'=AB$，$C'D'=CD$；纵向线段 $A'D'=\frac{1}{2}AD$， $B'C'=\frac{1}{2}BC$；$\angle D'A'B'=45^\circ$。这与我们的直观观察是一致的。

[图片描述:图8.2-3展示了正方形$ABCD$及其斜二测画法下的直观图$A'B'C'D'$。左侧是一个水平放置的正方形$ABCD$。右侧是其直观图，一个平行四边形$A'B'C'D'$，其中$A'B'$平行于水平轴$x'$并保持与$AB$等长，而$A'D'$平行于倾斜轴$y'$并变为$AD$长度的一半，$\angle D'A'B'$为45度。|标题:图8.2-3|图片编号:1]

**例1** 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

**画法:** (1) 如图8.2-4(1)，在正六边形 $ABCDEF$ 中，取 $AD$ 所在直线为 $x$ 轴，$AD$ 的垂直平分线 $MN$ 为 $y$ 轴，两轴相交于点 $O$。在图8.2-4(2)中，画相应的 $x'$ 轴与 $y'$ 轴，两轴相交于点 $O'$，使 $\angle x'O'y'=45^\circ$。

[图片描述:图8.2-4展示了用斜二测画法绘制水平放置的正六边形直观图的三个步骤。
(1) 展示了一个正六边形$ABCDEF$在二维坐标系中的位置，其中边$AD$在$x$轴上，其垂直平分线$MN$在$y$轴上，两轴交于点$O$。
(2) 展示了斜二测画法的投影平面，画出了倾斜的$x'$轴和$y'$轴，它们相交于$O'$，且夹角为45度。正六边形的各个顶点和关键点（如$M, N$）都已投影到这个新坐标系中，形成$A', B', C', D', E', F', M', N'$。
(3) 展示了最终绘制完成的正六边形直观图$A'B'C'D'E'F'$，辅助线$x'$轴和$y'$轴已被擦除。|标题:图8.2-4|图片编号:2]

(2) 在图8.2-4(2)中，以 $O'$ 为中点，在 $x'$ 轴上取 $A'D'=AD$，在 $y'$ 轴上取 $M'N'=\frac{1}{2}MN$。以点 $N'$ 为中点，画 $B'C'$ 平行于 $x'$ 轴，并且等于 $BC$；再以 $M'$ 为中点，画 $F'E'$ 平行于 $x'$ 轴，并且等于 $FE$。

(3) 连接 $A'B'$，$C'D'$，$D'E'$，$F'A'$，并擦去辅助线 $x'$ 轴和 $y'$ 轴，便获得正六边形 $ABCDEF$ 水平放置的直观图 $A'B'C'D'E'F'$ (图8.2-4(3))。

> **思考与探究：**
> 在利用斜二测画法画直观图的过程中，$x$ 轴和 $y$ 轴起到了什么作用？
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画直观图时,除多边形外,还经常会遇到画圆的直观图的问题.生活的经验告诉我们,水平放置的圆看起来非常像椭圆,因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板.

[图片描述:该图片展示了一个椭圆模板，上面有不同大小和形状的多个椭圆轮廓。这些椭圆通常用于在斜二测画法中绘制水平放置的圆的直观图。|标题:图8.2-5 椭圆模板|图1]

> 在立体几何中,常用正等测画法画水平放置的圆.

## 练习

1.  用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
    (1)相等的线段在直观图中仍然相等. ( )
    (2)平行的线段在直观图中仍然平行. ( )
    (3)一个角的直观图仍是一个角. ( )
    (4)相等的角在直观图中仍然相等. ( )
2.  用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图(尺寸自定).
    (1)矩形;
    (2)平行四边形;
    (3)正三角形;
    (4)正五边形.

画几何体的直观图时,与画平面图形的直观图相比,只是多画一个与$x$轴、$y$轴都垂直的$z$轴,并且使平行于$z$轴的线段的平行性和长度都不变,下面介绍几种简单几何体的直观图的画法.

**例2** 已知长方体的长、宽、高分别是3cm,2cm,1.5cm,用斜二测画法画出它的直观图.

**分析**:画棱柱的直观图,通常将其底面水平放置.利用斜二测画法画出底面,再画出侧棱,就可以得到棱柱的直观图.长方体是一种特殊的棱柱,为画图简便,可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为$x$轴、$y$轴、$z$轴.

**画法**:
(1)画轴,如图 8. 2-6,画$x$轴、$y$轴、$z$轴,三轴相交于点 $O(A)$,使$\angle xOy=45^\circ$, $\angle xOz=90^\circ$.
(2)画底面.在$x$轴正半轴上取线段$AB$,使$AB=3\text{ cm}$;在$y$轴正半轴上取线段$AD$,使$AD=1\text{ cm}$.过点$B$作$y$轴的平行线,过点$D$作$x$轴的平行线,设它们的交点为$C$,则$\square ABCD$就是长方体的底面$ABCD$的直观图.
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画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感。

(3) 画侧棱。在$z$轴正半轴上取线段$AA'$，使$AA'=1.5 \text{ cm}$，过$B$, $C$, $D$各点分别作$z$轴的平行线，在这些平行线上分别截取$1.5 \text{ cm}$长的线段$BB'$, $CC'$, $DD'$。
(4) 成图。顺次连接$A'$, $B'$, $C'$, $D'$，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了。

[图片描述: 左侧子图展示了一个三维坐标系（$x, y, z$轴），其中原点为$O(A)$，并有线段$AD$和$AB$构成底面的一部分，点$D'$和$C'$位于相应底面点的上方，表示长方体侧棱的起点。右侧子图展示了一个完整的长方体直观图，其中可见的边用实线表示，被遮挡的边用虚线表示，增强了立体感。|标题: 图8.2-6|图1]

**例3** 已知圆柱的底面半径为$1 \text{ cm}$，侧面母线长$3 \text{ cm}$，画出它的直观图。
**画法**: (1) 画轴。如图8.2-7，画$x$轴、$z$轴，使$\angle xOz=90^\circ$。

(2) 画下底面。以$O$为中点，在$x$轴上取线段$AB$，使$OA=OB=1 \text{ cm}$，利用椭圆模板画椭圆，使其经过$A$, $B$两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。
(3) 画上底面。在$Oz$上截取点$O'$，使$OO'=3 \text{ cm}$，过点$O'$作平行于轴$Ox$的轴$O'x'$。类似下底面的作法作出圆柱的上底面。
(4) 成图。连接$AA'$, $BB'$，整理得到圆柱的直观图。

[图片描述: 左侧子图展示了绘制圆柱的初始和中间步骤：在$xOz$平面内建立坐标系，底面中心为$O$，在$x$轴上取$A, B$点并画出底面椭圆（下半部分为虚线），在$z$轴上取$O'$点并画出顶面椭圆（上半部分为虚线），并标出$x'$轴，但圆柱的侧面尚未完全绘制。右侧子图展示了一个完整的圆柱直观图，其顶面和底面为椭圆，侧面为两条直线，底面和顶面被遮挡的部分用虚线表示。|标题: 图8.2-7|图2]

对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8）。

[图片描述: 一个圆锥的直观图，底面为一个椭圆，中心为$O$。顶点为$S$，从$S$到$O$的轴线用虚线表示。圆锥的两条母线为实线，底面被遮挡的部分用虚线表示，以增强立体感。|标题: 图8.2-8|图3]

[图片描述: 左侧子图是一个球体的直观图，显示了球体的轮廓线以及表示其横向和纵向对称性的辅助线（一条水平虚线和一条垂直实线）。右侧子图是另一个球体的直观图，除了水平虚线和垂直实线外，还包含一条斜向的虚线，进一步辅助表示球体的三维形态。|标题: 图8.2-9|图4]
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画球的直观图,一般需要画出球的轮廓线,它是一个圆。同时还经常画出经过球心的截面圆,它们的直观图是椭圆,用以衬托球的立体性(图8.2-9)。

**例4** 某简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个圆锥,圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。

**分析:** 画组合体的直观图,先要分析它的结构特征,知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式,然后再画直观图。本题中没有尺寸要求,画图时只需选择合适的大小,表达出该几何体的结构特征就可以了。

**画法:** 如图8.2-10,先画出圆柱的上下底面,再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点,最后画出圆柱和圆锥的母线,并标注相关字母,就得到组合体的直观图。

[图片描述:左侧为绘制圆柱和圆锥组合体直观图的准备阶段，展示了坐标轴($Z$轴和$X$轴)以及圆柱的上下底面（椭圆形$A'O'B'$和$AOB$）。点$P$位于Z轴上。右侧为最终绘制出的圆柱和圆锥的组合体直观图，其中圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥顶点为$P$，圆柱的上下底面中心分别为$O'$和$O$。图中清晰地标示了关键点和轴线，并用虚线表示了被遮挡的线条。|标题:图8.2-10|图1]

### 练习

1.  用斜二测画法画一个棱长为3cm的正方体的直观图。
2.  用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图。
3.  一个简单组合体由上下两部分组成,下部是一个圆柱,上部是一个半球,并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心,画出这个组合体的直观图。

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## 习题 8.2

### 复习巩固

1.  用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论是否正确?正确的在括号内画“√”,错误的画“×”。
    (1) 三角形的直观图是三角形, ( )
    (2) 平行四边形的直观图是平行四边形. ( )
    (3) 正方形的直观图是正方形. ( )
    (4) 菱形的直观图是菱形. ( )
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2. 用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图:
    (1) 直角边横向;
    (2) 斜边横向.
3. 用斜二测画法画出底面边长为 $2 \text{ cm}$，侧棱长为 $3 \text{ cm}$ 的正三棱柱的直观图.
4. 画底面半径为 $1 \text{ cm}$，母线长为 $3 \text{ cm}$ 的圆柱的直观图.

## 综合运用

5. 一个菱形的边长为 $4 \text{ cm}$，一内角为 $60^\circ$，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图.
6. 已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.
7. 一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.

[图片描述:该图片展示了一个复合几何体的三视图。正视图和侧视图均由一个倒置的三角形和一个置于其顶部的圆构成，表示一个圆锥体上方叠加一个球体或圆柱体。俯视图由两个同心圆组成，其中外圆代表下方圆锥的底面，内圆代表上方球体的底部或圆柱体的底面，此处结合正视图和侧视图判断为球体。|标题:三视图 (第7题)|图片编号:1]

## 拓广探索

8. 画出你所在学校的一些建筑物的直观图 (尺寸自定).

## 阅读与思考

### 画法几何与蒙日

画法几何就是在平面上绘制空间图形，并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科，它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用.

画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术，意大利艺术家*莱奥纳多·达·芬奇* (*Leonardo da Vinci*, 1452—1519) 在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论，主要是中心投影. 法国数学家*德萨格* (*Gérard Desargues*, 1593—1662) 在他的“透视法”中给出了空间几何体透视像的画法，以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法，主要是运用正投影. 后来法国数学家*蒙日*经过深入研究，在 1799 年出版了《画法几何学》一书. 在该书中，*蒙日*第一次详细阐述了怎样把空间 (三维) 物体投影到两个互相垂直的平面上，并根据投影原理 (这种原理后来发展

[图片描述:一幅黑白肖像画，描绘了法国数学家和工程师加斯帕尔·蒙日。画中他侧身，头微转，面部轮廓清晰，穿着高领外套，神情严肃而专注。肖像被一个圆形边框包围。|标题:蒙日 (Gaspard Monge, 1746—1818)|图片编号:2]
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成射影几何学)推断出该空间物体的几何性质。蒙日的《画法几何学》不论是在概念上，还是在方法上都有深远的影响，这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值，从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科。蒙日成为画法几何的创始人。

蒙日生长在法国大革命时代，他出生于法国东部博衲的一个小商人家庭。16岁时，因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图，他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员。1768年，蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学，那时他只有22岁。1780年，他被选为巴黎科学院通讯院士。1783年，他迁居巴黎后，积极投身巴黎的公共事务，曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长，并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院，为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置，蒙日用几何方法避开了麻烦的计算，他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的方法，在实际中有着广泛的应用，并导致画法几何的产生。法国大革命前后，由于军事建筑上的迫切需要，蒙日的画法几何方法被列为军事秘密，所以很久未能公之于世，直到当时的军事约束解除后，蒙日才公布了他的研究成果，这已是他建立画法几何之后30年的事了。
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# 8.3 简单几何体的表面积与体积

前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示,本节进一步认识简单几何体的表面积和体积,表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小,体积是几何体所占空间的大小.

## 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

### 1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.

**例1** 如图8.3-1,四面体 $P-ABC$ 的各棱长均为$a$,求它的表面积.

**分析:** 因为四面体 $P-ABC$ 的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.

**解:** 因为$\triangle PBC$ 是正三角形,其边长为$a$,所以 $S_{\triangle PBC}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$.

[图片描述:一个四面体$P-ABC$，其中顶点为$P$，底面为三角形$ABC$。图示了四面体的各顶点及其连接的棱，其中部分棱使用虚线表示，以示空间透视。|标题:图8.3-1|图片1]

因此,四面体 $P-ABC$ 的表面积 $S_{P-ABC}=4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2=\sqrt{3}a^2$.

### 2. 棱柱、棱锥、棱台的体积

我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式,它们分别是

$V_{正方体}=a^3$ ($a$ 是正方体的棱长),

$V_{长方体}=abc$ ($a,b,c$分别是长方体的长、宽、高).

一般地,如果棱柱的底面积是$S$,高是$h$,那么这个棱柱的体积

$V_{棱柱}=Sh$.

> 棱柱的高是指两底面之间的距离,即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线,这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等,高也相等,那么,棱柱的体积是棱锥的体积的3倍,因此,一般地,如果棱锥的底面面积为$S$,高为$h$,那么该棱锥的体积

> 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线,顶点与垂足之间的距离.
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$V_{棱锥} = \frac{1}{3}Sh$.

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式

$V_{棱台} = \frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S)$,

其中$S'$，$S$分别为棱台的上、下底面面积，$h$为棱台的高.

> 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面 上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的 距离.

## 🤔 思考

观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式

$V_{棱柱}=Sh$, $V_{棱锥}=\frac{1}{3}Sh$, $V_{棱台}=\frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S)$,

它们之间有什么关系?你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗?

**例2** 如图8.3-2,一个漏斗的上面部分是一个长方体,下面部分是一个四棱锥,两部分的高都是$0.5\text{ m}$,公共面 $ABCD$ 是边长为$1\text{ m}$的正方形,那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到$0.01\text{ m}^3$)?(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)

[图片描述:一个漏斗的立体几何示意图，清晰展示了其组成结构。漏斗的上半部分是一个长方体，其顶面为A'B'C'D'，底面为ABCD。漏斗的下半部分是一个四棱锥，其底面为ABCD，顶点为P。图中通过实线和虚线描绘了这些几何体的棱，特别是虚线表示了内部的棱，帮助理解三维结构。|标题:图8.3-2|图片1]

**分析**:漏斗由两个多面体组成,其容积就是两个多面体的体积和.
**解**:由题意知

$V_{长方体 ABCD-A'B'C'D'} = 1\times 1\times 0.5$
$= 0.5(\text{m}^3)$,

$V_{棱锥 P-ABCD} = \frac{1}{3}\times 1\times 1\times 0.5$
$= \frac{1}{6}(\text{m}^3)$.

所以这个漏斗的容积

$V = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$
$\approx 0.67(\text{m}^3)$.
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## 练习

1.  正六棱台的上、下底面边长分别是 $2 \text{ cm}$ 和 $6 \text{ cm}$，侧棱长是 $5 \text{ cm}$，求它的表面积。

2.  如图是一个表面被涂上红色的棱长是 $4 \text{ cm}$ 的立方体，将其适当分割成棱长为 $1 \text{ cm}$ 的小立方体。
    [图片描述:一个由64个红色小立方体组成的4x4x4大立方体，表面全部涂有红色，清晰展示了其立方体的结构和分割方式。|标题:第2题示意图 (红色立方体)|图片编号:1]
    (1) 共得到多少个棱长是 $1 \text{ cm}$ 的小立方体？
    (2) 三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
    (3) 两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
    (4) 一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
    (5) 六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？

3.  某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的棱长是 $50 \text{ cm}$，那么石凳的体积是多少？
    [图片描述:三个设计独特的石凳，它们是由一个立方体截去八个角部形成的多面体，每个石凳的表面都雕刻有圆形图案，呈现出几何美感和实用性。|标题:第3题示意图 (石凳)|图片编号:2]
    [图片描述:一个立方体的透视图，用虚线和实线描绘出构成其几何体的骨架结构，形象地展示了从立方体中移除角部以形成新形状的几何原理。|标题:立方体截角示意图|图片编号:3]

4.  求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积。

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## 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

### 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积和。
利用圆柱、圆锥、圆台的展开图（图 8.3-3），可以得到它们的表面积公式：

$S_{圆柱}=2\pi r(r+l)$（$r$ 是底面半径，$l$ 是母线长），
$S_{圆锥}=\pi r(r+l)$（$r$ 是底面半径，$l$ 是母线长），
$S_{圆台}=\pi(r'^2+r^2+(r'+r)l)$（$r'$, $r$ 分别是上、下底面半径，$l$ 是母线长）。

[图片描述:由三部分组成的图示，清晰地展示了圆柱、圆锥和圆台这三种常见几何体的展开图及其关键尺寸标记。
左侧是**圆柱**的展开图：显示一个矩形（侧面）和一个圆（底面）。矩形的一边长度标记为 $2\pi r$（对应底面周长），另一边标记为 $l$（对应圆柱的高度或母线长）。圆的半径标记为 $r$。
中间是**圆锥**的展开图：显示一个扇形（侧面）和一个圆（底面）。扇形的半径标记为 $l$（对应圆锥的母线长），弧长标记为 $2\pi r$（对应底面周长）。圆的半径标记为 $r$。
右侧是**圆台**的展开图：显示一个扇环（侧面）和两个圆（上、下底面）。扇环的弧长分别标记为 $2\pi r'$（上底周长）和 $2\pi r$（下底周长），侧面的母线长标记为 $l$。上底半径标记为 $r'$，下底半径标记为 $r$。
整个图示有效地帮助学习者理解这些几何体表面积公式的来源。|标题:图 8.3-3 常见几何体展开图|图片编号:4]
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### 思考

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？

我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
$V_{圆柱} = \pi r^2 h$ ($r$ 是底面半径，$h$ 是高)，
$V_{圆锥} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ ($r$ 是底面半径，$h$ 是高).
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
$V_{圆台} = \frac{1}{3} \pi h (r'^2 + r'r + r^2)$ ($r'$, $r$ 分别是上、下底面半径，$h$ 是高).

### 思考

圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有着怎样的关系？

### 归纳

$V_{柱体} = Sh$ ($S$ 为底面积，$h$ 为柱体高);
$V_{锥体} = \frac{1}{3} Sh$ ($S$ 为底面积，$h$ 为锥体高);
$V_{台体} = \frac{1}{3} (S' + \sqrt{S'S} + S) h$ ($S'$, $S$ 分别为上、下底面面积，$h$ 为台体高).

当 $S'=S$ 时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当 $S'=0$ 时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式.

### 2. 球的表面积和体积

设球的半径为 $R$，它的表面积只与半径 $R$ 有关，是以 $R$ 为自变量的函数。
事实上，如果球的半径为 $R$，那么它的表面积是
$S_{球} = 4\pi R^2$.
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**例3** 如图8.3-4,某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成,半球的直径是$0.3\text{ m}$,圆柱高$0.6\text{ m}$. 如果在浮标表面涂一层防水漆,每平方米需要$0.5\text{ kg}$涂料,那么给$1000$个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料?($\pi$取$3.14$)

**解**:一个浮标的表面积为
$2\pi \times 0.15 \times 0.6 + 4\pi \times 0.15^2 = 0.8478 (\text{m}^2)$,
所以给$1000$个这样的浮标涂防水漆约需涂料
$0.8478 \times 0.5 \times 1000 = 423.9 (\text{kg})$.

[图片描述:一个绿色的胶囊状或浮标状物体，由一个圆柱体和两端分别连接的两个半球组成，代表题目中描述的浮标。|标题:图8.3-4|图片编号:1]

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**③ 思考**
在小学,我们学习了圆的面积公式,你还记得是如何求得的吗?类比这种方法,你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗?

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类比利用圆周长求圆面积的方法,我们可以利用球的表面积求球的体积.如图8.3-5,把球$O$的表面分成$n$个小网格,连接球心$O$和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成$n$个“小锥体”.

[图片描述:左侧是一个带有网格的蓝色球体，球心标记为O。球面上有一个四边形ABCD区域被连接到球心O，形成一个锥体。右侧是该锥体O-ABCD的放大图，清晰显示其底面ABCD和顶点O。这些锥体共同构成了球体的近似表示。|标题:图8.3-5|图片编号:2]

当$n$越大,每个小网格越小时,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,其高越近似于球半径$R$. 设$O-ABCD$是其中一个“小锥体”,它的体积
$$V_{O-ABCD} \approx \frac{1}{3} S_{ABCD}R.$$
由于球的体积就是这$n$个“小锥体”的体积之和,而这$n$个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积,因此,球的体积
$$V_{球} = \frac{1}{3} S_{球} R = \frac{1}{3} \times 4\pi R^2 \cdot R = \frac{4}{3} \pi R^3.$$
由此,我们得到球的体积公式
$$V_{球} = \frac{4}{3} \pi R^3.$$
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**例4** 如图8.3-6,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,求球与圆柱的体积之比.

**解**: 设球的半径为 $R$,则圆柱的底面半径为 $R$,高为 $2R$.
$\therefore V_{球} = \frac{4}{3}\pi R^3, V_{圆柱} = \pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$
$\therefore V_{球}:V_{圆柱} = \frac{4}{3}\pi R^3 : 2\pi R^3 = \frac{2}{3}$

[图片描述:一个球体被一个圆柱体包围，圆柱的底面直径和高都等于球的直径。圆柱内绘制有球体的轮廓，球心O位于圆柱的中心轴上，球半径R用虚线表示。|标题:图8.3-6|图片编号:1]

本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体,往往形状比较复杂,但很多物体都可以看作由这些简单几何体组合而成的,它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算.

## 练习

1. 已知圆锥的表面积为 $a \, \text{m}^2$,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.
2. 当一个球的半径满足什么条件时,其体积和表面积的数值相等?
3. 将一个棱长为 $6 \, \text{cm}$ 的正方体铁块磨制成一个球体零件,求可能制作的最大零件的体积.
4. 一个长、宽、高分别是 $80 \, \text{cm}$, $60 \, \text{cm}$, $55 \, \text{cm}$ 的长方体水槽中装有 $200000 \, \text{cm}^3$ 的水,现放入一个直径为 $50 \, \text{cm}$ 的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中溢出?

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## 习题 8.3
### 复习巩固

1. 如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点 $A,B,C,D$ 在同一个平面内,如果四边形 $ABCD$ 是边长为 $30 \, \text{cm}$ 的正方形,那么这个八面体的表面积是多少?

[图片描述:一个正八面体的立体图，由上下两个正四棱锥组成。中心是一个正方形平面ABCD，其中A、B、C、D是顶点，边长30cm。顶点E在平面ABCD上方，顶点F在平面ABCD下方。连接AD、DC、CB、BA形成正方形底面，虚线表示不可见的棱。连接AE、BE、CE、DE以及AF、BF、CF、DF。|标题:第1题|图片编号:2]

2. 如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比.

[图片描述:一个长方体被切割成两部分。其中一部分是一个棱锥，其顶点是长方体的一个角，底面是长方体相邻三个面上的三个对角线连接形成的三角形。长方体的棱和棱锥的棱用实线和虚线表示，棱锥部分被阴影（蓝色）表示。|标题:第2题|图片编号:3]
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3. 如图,一个直三棱柱形容器中盛有水,侧棱 $AA_1=8$. 若侧面 $AA_1B_1B$ 水平放置时,水面恰好过 $AC, BC, A_1C_1, B_1C_1$ 的中点,那么当底面 $ABC$ 水平放置时,水面高为多少?
[图片描述:一个透明的直三棱柱容器，底部是三角形ABC，顶部是三角形A1B1C1。水面呈水平状，且水面恰好经过AC、BC、A1C1、B1C1的中点。图中显示了棱柱的一部分轮廓和水面。|标题:第3题|图片编号:图1]

4. 如图,圆锥 $PO$ 的底面直径和高均是 $a$,过 $PO$ 的中点 $O'$作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,求剩下几何体的表面积和体积.
[图片描述:一个圆锥，顶点为P，底面圆心为O。在PO的中点O'处有一个平行于底面的截面。一个圆柱被从圆锥中挖去，其上底面是圆锥的截面（通过O'），下底面与圆锥的底面重合。|标题:第4题|图片编号:图2]

5. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 $a \text{ cm}$,求球的体积.

## **综合运用**

6. 如图是一个烟筒的直观图(图中数据的单位为厘米),它的下部是一个正四棱台形物体,上部是一个正四棱柱形物体(底面与四棱台形物体的上底面重合).为防止雨水的侵蚀,同时使烟筒更美观,现要在烟筒外部粘贴瓷砖,请你计算需要多少平方厘米的瓷砖?(结果精确到 $1 \text{ cm}^2$,可用计算工具)
[图片描述:一个烟筒的立体图，由底部的一个正四棱台和顶部的一个正四棱柱组成。棱台的下底边长为50，上底边长为40，高为10。棱柱的底边长为40，高为80。所有尺寸单位均为厘米。|标题:第6题|图片编号:图3]

7. 一堆规格相同的铁制(铁的密度是 $7.9 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$)六角螺母的质量为 $5.8 \text{ kg}$.如图,每一个螺母的底面是正六边形,边长为 $12 \text{ mm}$,内孔直径为 $10 \text{ mm}$,高为 $10 \text{ mm}$,这堆螺母大约有多少个?(可用计算工具,$\pi$ 取 $3.14$)
[图片描述:一个金属六角螺母的特写照片。螺母中心有圆形的内孔，边缘为六边形。|标题:第7题|图片编号:图4]

8. 分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴,其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体,这3个几何体的体积之间有什么关系?

## **拓广探索**

9. 如下页图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积,(可用计算工具,尺寸如图,单位:cm,$\pi$ 取 $3.14$,结果取整数.)
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## 探究与发现

### 祖暅原理与柱体、锥体的体积

[图片描述:该图展示了一个复合立体几何体的三视图及尺寸标注。其中包括：
- **正视图 (Front View)**: 底部为一个高2单位，下底宽20单位，上底宽8单位的梯形。其上方是一个高18单位，宽8单位的长方形。最顶部是一个直径为8单位的圆。整个视图的垂直总高度为20单位。
- **侧视图 (Side View)**: 底部为一个高2单位的梯形，其上底宽为4单位（下底宽从俯视图推断为16单位）。其上方是一个高18单位，宽4单位的长方形。最顶部是一个直径为4单位的圆。
- **俯视图 (Top View)**: 外部是一个20x16单位的长方形。同心内部是一个10x8单位的长方形。最中央是一个圆。
图中标注了各个部分的尺寸，如高度2、4、8、16、20，宽度4、8、10、20。|标题:第9题的立体几何体三视图及尺寸标注|图1]

(第9题)

#### 一、祖暅原理

祖暅(gèng)(5世纪—6世纪),字景烁,祖冲之之子,范阳郡道县(今河北省涞水县)人,南北朝时期的伟大科学家。祖暅在数学上做出了突出贡献,他在实践的基础上,于5世纪末提出了下面的体积计算原理:“幂势既同,则积不容异”,这就是“祖暅原理”。“势”即是高,“幂”是面积,祖暅原理用现代语言可以描述为:

夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等。

如图1,夹在平行平面间的两个几何体(它们的形状可以不同),被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
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这个原理是非常浅显易懂的。例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体
(图2)，使它倾斜一个角度，这时几何体的形状发生了改变，得到了另一个几何
体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体
的体积相等。利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体
和球体的体积。

[图片描述: 两个形状不同的立体图形，被一系列平行平面截取。在相同高度处，两个图形的截面面积相等。|标题: 图1|图片编号: 图1]
[图片描述: 两个由纸张堆叠而成的立体，左侧为垂直堆叠，右侧为倾斜堆叠。虽然倾斜，但两者的底面积和高度均相同，并且每个截面（纸页）的面积也相同。|标题: 图2|图片编号: 图2]

祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲直到17世纪，
意大利数学家卡瓦列里(Bonaventura Cavalieri, 1598—1647)才给出上述结论。

## 二、柱体、锥体的体积

下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式。
设有底面积都等于$S$，高都等于$h$
的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方
体，使它们的下底面在同一平面内(图
3)。根据祖暅原理，可知它们的体积相
等。由于长方体的体积等于它的底面积
乘高，于是我们得到柱体的体积公式
$$
V_{\text{柱体}}=Sh
$$
其中$S$是柱体的底面积，$h$是柱体的高。

[图片描述: 一个棱柱、一个圆柱和一个长方体并排放置在同一平面 $\alpha$ 上。它们具有相同的底面积 $S$ 和相同的高度 $h$。图中虚线表示在任意高度处的截面面积相等。|标题: 图3|图片编号: 图3]

设有底面积都等于$S$，高都等于$h$的两个锥体(例如一个棱锥和一个圆锥)，
使它们的底面在同一平面内(图4)。根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等。
这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等。

[图片描述: 一个棱锥和一个圆锥并排放置在同一平面 $\alpha$ 上。它们具有相同的底面积 $S$ 和相同的高度 $h$。图中的虚线显示了在距底面 $h_1$ 高度处的截面，两个截面均被标记为 $S_1$。|标题: 图4|图片编号: 图4]
[图片描述: 左侧显示一个三棱柱 $A'B'C'-ABC$。右侧显示该三棱柱被分解为三个三棱锥，编号分别为1、2、3。这通常用于推导锥体的体积公式。|标题: 图5|图片编号: 图5]

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如图5, 设三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 的底面积(即 $\triangle ABC$ 的面积)为 $S$, 高(即点 $A'$ 到平面 $ABC$ 的距离)为 $h$, 则它的体积为 $Sh$. 沿平面 $A'BC$ 和平面 $A'B'C'$, 将这个三棱柱分割为3个三棱锥. 其中三棱锥1,2的底面积相等($S_{\triangle A'AB} = S_{\triangle A'B'B}$), 高也相等(点 $C$ 到平面 $ABB'A'$ 的距离), 三棱锥2,3也有相等的底面积($S_{\triangle B'BC}=S_{\triangle B'C'C}$)和相等的高(点 $A'$ 到平面 $BCC'B'$ 的距离). 因此, 这3个三棱锥的体积相等, 每个三棱锥的体积是 $\frac{1}{3}Sh$.

如果三棱锥 $A'-ABC$ (即三棱锥1)以 $\triangle ABC$ 为底, 那么它的底面积是 $S$, 高是 $h$, 而它的体积是 $\frac{1}{3}Sh$. 这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘高的积的三分之一.

事实上, 对于一个任意的锥体, 设它的底面积为 $S$, 高为 $h$, 那么它的体积应等于一个底面积为 $S$, 高为 $h$ 的三棱锥的体积, 即这个锥体的体积为
$$V_{锥体}=\frac{1}{3}Sh$$
这就是锥体的体积公式.

柱体和锥体是两种基本几何体, 它们的体积公式有着广泛的应用.
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## 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系

前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征。为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究。本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系。

### 8.4.1 平面

在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的，类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的。

与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面。我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。如图 8.4-1，当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。

[图片描述: 几何图形，展示了两种表示平面的方法。左侧是一个水平放置的平行四边形，其顶点按逆时针顺序标记为 A、B、C、D，并在角 A 处标记了希腊字母 $\alpha$。右侧是一个竖直放置的平行四边形，内部标记了希腊字母 $\beta$。这两个图形演示了在几何学中如何用平行四边形来表示平面，以及平面水平和竖直放置时的不同表示方式。|标题: 图8.4-1|图片编号: 图1]

我们常用希腊字母$\alpha$, $\beta$, $\gamma$等表示平面，如平面$\alpha$、平面$\beta$、平面$\gamma$等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图 8.4-1 中的平面$\alpha$，也可以表示为平面ABCD、平面 AC 或者平面 BD。

下面，我们来研究平面的基本性质。

> **? 思考**
> 我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？
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[图片描述: 一辆蓝色山地自行车和一副黑色照相机三脚架并排放置。自行车有一个脚撑，三脚架有三个支脚。这些都是在日常生活中常见的、利用结构稳定性原理的物体。|标题:图8.4-2|图片编号:1]

在日常生活中，我们常常可以看到这样的现象：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机（图8.4-2）。由这些事实和类似经验，可以得到下面的基本事实：

**基本事实1** **过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面**（图8.4-3）。

基本事实1给出了确定一个平面的依据，它也可以简单说成“不共线的三点确定一个平面”，不在一条直线上的三个点 $A, B, C$ 所确定的平面，可以记成平面 $ABC$。

[图片描述: 一个倾斜的平行四边形表示平面$\alpha$，其内部标示了三个点$A, B, C$。这三个点显然不共线，点$A$和$C$位于下方，点$B$位于上方，共同定义了这个平面。|标题:图8.4-3|图片编号:2]

直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看作点的集合。点 $A$ 在直线 $l$ 上，记作 $A \in l$；点 $B$ 在直线 $l$ 外，记作 $B \notin l$；点 $A$ 在平面 $\alpha$ 内，记作 $A \in \alpha$；点 $P$ 在平面 $\alpha$ 外，记作 $P \notin \alpha$。

> **? 思考**
>
> 如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 有一个公共点 $P$，直线 $l$ 是否在平面 $\alpha$ 内？如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 有两个公共点呢？

在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：

**基本事实2** **如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内**（图8.4-4）。

利用基本事实2，可以判断直线是否在平面内。

平面内有无数条直线，平面可以看作直线的集合。如果直线上所有点都在平面 $\alpha$ 内，就说直线 $l$ 在平面 $\alpha$ 内，记作 $l \subset \alpha$；否则，就说直线 $l$ 不在平面 $\alpha$ 内，记作 $l \not\subset \alpha$。

[图片描述: 一个倾斜的平行四边形表示平面$\alpha$，其内部绘制了一条直线$l$。直线$l$上标记了两个点$A$和$B$，这两个点都清晰地位于平面$\alpha$内，表明直线$l$整体都在平面$\alpha$中。|标题:图8.4-4|图片编号:3]

基本事实2也可以用符号表示为

$A \in l, B \in l$, 且 $A \in \alpha, B \in \alpha \Rightarrow l \subset \alpha$。

基本事实2表明，可以用直线的“直”刻画平面的“平”，用
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直线的“无限延伸”刻画平面的“无限延展”，如图8.4-5，由**基本事实1**，给定不共线三点$A, B, C$，它们可以确定一个平面 $ABC$；连接 $AB, BC, CA$，由**基本事实2**，这三条直线都在平面 $ABC$ 内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面 $ABC$ 内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面 $ABC$。组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”。

[图片描述: 几何图形，显示了通过三个不共线点A、B、C所确定的平面。图中有多条直线（部分为粉色）穿过这些点并相互交叉，形成了所谓的“直线网”，形象地展示了直线如何构成平面。|标题: 图8.4-5|图片编号:1]

利用信息技术工具，可以方便地作出这个图形，观察“直线网”的形成和编织成平面的过程，想象直线和平面的关系。

**思考**

如图8.4-6，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点 $B$？为什么？

[图片描述: 一个三角尺（红色）立在一个标有$\alpha$的平面（课桌面）上。三角尺的一个角触碰到平面$\alpha$上的点B。这个图示用来引导思考两个平面相交的情况。|标题: 图8.4-6|图片编号:2]

想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去“穿透”课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线。教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线。由此我们又得到一个基本事实：

**基本事实3** 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（图*8.4-7*）。

[图片描述: 两个相交的平面，分别标记为$\alpha$和$\beta$。它们相交于一条直线$l$，直线$l$上有一个公共点$P$。图中用虚线表示了部分被遮挡的直线，清晰地展示了两个不重合平面相交形成一条直线的几何关系。|标题: 图8.4-7|图片编号:3]

如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面。

**基本事实3**告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。两个平面相交成一条直线的事实，使我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”。
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平面$\alpha$与$\beta$相交于直线$l$,记作$\alpha \cap \beta = l$. 基本事实3可以用符号表示为 $P \in \alpha$, 且 $P \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l$, 且 $P \in l$.

在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些 (图1).

[图片描述: 该图包含两个三维几何图形，均描绘了两个相交平面$\alpha$和$\beta$。
左侧图形：平面$\alpha$水平放置，平面$\beta$垂直穿过平面$\alpha$。它们的交线被标记为A，并与平面$\alpha$上的点A重合。平面$\beta$的一部分（被平面$\alpha$遮挡的部分）用虚线表示，增强了立体感。平面$\beta$的边缘还标记了点B。
右侧图形：与左侧图形相似，平面$\alpha$水平放置，平面$\beta$倾斜穿过平面$\alpha$。它们的交线也被标记为A。与左侧不同的是，平面$\beta$被平面$\alpha$遮挡的部分没有画出，也增强了立体感。平面$\beta$的边缘同样标记了点B。
这两个图形共同说明了如何通过虚线或不绘制被遮挡部分来表示相交平面的立体感。|标题: 图8.4-8 相交平面示意图|图1]

上述三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,也是我们进一步研究立体图形的基础.

利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可以得到下面三个推论 (图2):

*   **推论1** 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
*   **推论2** 经过两条相交直线,有且只有一个平面.
*   **推论3** 经过两条平行直线,有且只有一个平面.

[图片描述: 该图包含三个二维几何图形，分别演示了确定一个平面的三种方法。
**(1)** 描绘了平面$\alpha$上的一个点A和一条不经过A的直线$a$。直线$a$上标示了两个点B和C。这个图形说明了“经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面”的推论。
**(2)** 描绘了平面$\alpha$上的两条相交直线$a$和$b$，它们交于点P。这个图形说明了“经过两条相交直线，有且只有一个平面”的推论。
**(3)** 描绘了平面$\alpha$上的两条平行直线$a$和$b$。这个图形说明了“经过两条平行直线，有且只有一个平面”的推论。|标题: 图8.4-9 确定平面三种方法的示意图|图2]

事实上,如图图2 (1),设点A是直线$a$外一点,在直线$a$上任取两点B和C,则由基本事实1,经过A,B,C三点确定一个平面$\alpha$.再由基本事实2,直线$a$也在平面$\alpha$内,因此平面$\alpha$经过直线$a$和点A,即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.

> 用类似的方法,你能说明推论2和推论3成立吗?

推论1~3给我们提供了确定一个平面的另外几种方法. 如图图3,用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直,如果这两根细绳相交,说明桌子四条腿的底端在同一个平面内,否则就不在同一个平面内,其依据就是推论2.

[图片描述: 一张俯视的桌子底部结构图，展示了桌子的四条腿和连接它们的横梁。两根红色的细绳被沿桌子四条腿的对角线方向拉直，并在桌子中央相交。这个实际例子用来说明如果两条线（细绳）相交，它们就确定了一个平面，从而桌腿的底端位于同一个平面内，印证了“经过两条相交直线，有且只有一个平面”的推论2。|标题: 图8.4-10 利用细绳检验桌面是否在同一平面内|图3]

> 不共线的三点,一条直线和这条直线外一点,两条相交直线,两条平行直线,都能唯一确定一个平面.这些结论在后续研究直线和平面之间平行、垂直关系时,也会经常用到.
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## 练习

1.  判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。
    (1) 书桌面是平面。 ( )
    (2) 平面$\alpha$与平面$\beta$相交，它们只有有限个公共点。 ( )
    (3) 如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。 ( )
2.  下列命题正确的是( )。
    (A) 三点确定一个平面
    (B) 一条直线和一个点确定一个平面
    (C) 圆心和圆上两点可确定一个平面
    (D) 梯形可确定一个平面
3.  不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论。
4.  用符号表示下列语句，并画出相应的图形：
    (1) 点A在平面$\alpha$内，点B在平面$\alpha$外；
    (2) 直线a既在平面$\alpha$内，又在平面$\beta$内。

## 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系

前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等。空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？

长方体是我们熟悉的空间几何图形，下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系。

> **● 观察**
>
> 我们知道，长方体有8个顶点，12条棱，6个面。12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面。观察如图8.4-11所示的长方体$ABCD-A'B'C'D'$，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？
>
> 观察你所在的教室，你能找到上述位置关系的一些实例吗？你能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗？
>
> [图片描述: 一个长方体的透视图，顶点依次标注为A, B, C, D（底部），A', B', C', D'（顶部）。实线表示可见的棱，虚线表示被遮挡的棱。底部面ABCD，顶部面A'B'C'D'，以及侧面等清晰可见。|标题: 图8.4-11|图1]
>
> 空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，如图8.4-11中，点A在直线$AB$上，在直线$A'B'$外。空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外，如图8.4-11中，点A在平面$ABCD$内，在平面$A'B'C'D'$外。
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下面我们研究空间中直线、平面之间的位置关系。

### 1. 空间中直线与直线的位置关系

在图 8.4-11 中，直线 $AB$ 与 $DC$ 在同一个平面 $ABCD$ 内，它们没有公共点，它们是平行直线；直线 $AB$ 与 $BC$ 也在同一个平面 $ABCD$ 内，它们只有一个公共点 $B$，它们是相交直线；直线 $AB$ 与 $CC'$ 不同在任何一个平面内。

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做**异面直线**。于是，空间两条直线的位置关系有三种：

*   **共面直线**
    *   **相交直线**: 在同一平面内，有且只有一个公共点；
    *   **平行直线**: 在同一平面内，没有公共点；
*   **异面直线**: 不同在任何一个平面内，没有公共点。

这样，空间中两条直线平行和我们学过的平面上两条直线平行的意义是一致的，即首先这两条直线在同一平面内，其次是它们不相交。如果直线 $a$, $b$ 为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图 8.4-12 所示。

[图片描述:左侧图像显示直线 $a$ 位于平面 $\alpha$ 内，直线 $b$ 穿过平面 $\alpha$，且不与直线 $a$ 相交，它们是异面直线。右侧图像显示两个相交平面 $\alpha$ 和 $\beta$，直线 $a$ 位于平面 $\alpha$ 内，直线 $b$ 位于平面 $\beta$ 内，两条直线 $a$ 和 $b$ 不相交也不平行，表示异面直线。|标题:图 8.4-12 异面直线的表示|图片编号:图1]

### 2. 空间中直线与平面的位置关系

在图 8.4-11 中，直线 $AB$ 与平面 $ABCD$ 有无数个公共点；直线 $AA'$ 与平面 $ABCD$ 只有一个公共点 $A$；直线 $A'B'$ 与平面 $ABCD$ 没有公共点。再结合生活实例，我们可以看出，直线与平面的位置关系有且只有三种：
(1) **直线在平面内**——有无数个公共点；
(2) **直线与平面相交**——有且只有一个公共点；
(3) **直线与平面平行**——没有公共点。

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为**直线在平面外**。

图 8.4-13 表示了直线与平面的三种位置关系。

> 一般地，直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 内，应把直线 $a$ 画在表示平面 $\alpha$ 的平行四边形内；直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 外，应把直线 $a$ 或它的一部分画在表示平面 $\alpha$ 的平行四边形外。

[图片描述:左侧图像显示直线 $a$ 完全位于平面 $\alpha$ 内。中间图像显示直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $A$。右侧图像显示直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 平行，直线 $a$ 位于平面 $\alpha$ 外。这些图像共同展示了空间中直线与平面的三种位置关系。|标题:图 8.4-13 直线与平面的三种位置关系|图片编号:图2]

直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $A$，记作 $a \cap \alpha = A$；直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 平行，记作 $a // \alpha$。
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### 3.空间中平面与平面的位置关系

在图8.4-11中,平面 $ABCD$ 与平面 $A'B'C'D'$ 没有公共点;平面 $ABCD$ 与平面 $BCC'B'$ 有一条公共直线 $BC$.再结合生活实例,我们可以看出,两个平面之间的位置关系有且只有以下两种:
(1) **两个平面平行**——没有公共点;
(2) **两个平面相交**——有一条公共直线.

画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(图8.4-14).
平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行,记作 $\alpha // \beta$.

[图片描述:上方是一个蓝色的平行四边形，代表平面 $\alpha$；下方是一个黑色的平行四边形，代表平面 $\beta$。两个平行四边形相互平行，没有公共部分，直观地展示了两个平面的平行关系。|标题:图8.4-14 两个平行平面示意图|图片1]

**探究**
如图 8.4-15,在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中,连接 $A'B$, $D'C$,请你再举出一些图中表示空间直线、平面之间位置关系的例子,并用符号表示这些位置关系. 与其他同学交流一下你的结果.

[图片描述:一个长方体，其底部顶点依次为 $A, B, C, D$，顶部对应顶点为 $A', B', C', D'$。图中用实线和虚线表示了长方体的棱。特别地，连接了 $A'B$（品红色实线）和 $D'C$（品红色虚线），它们分别代表长方体内部的对角线。图中还标出了 $DL$ 这条虚线。此图用于探究空间直线与平面之间的位置关系。|标题:图8.4-15 长方体中的直线与平面|图片2]

**例1** 如图8.4-16,用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.

[图片描述:图3包含两个子图，展示了直线与平面之间的位置关系。
子图(1)：描绘了两个相交平面 $\alpha$ 和 $\beta$，它们的交线为 $l$。一条直线 $a$ 穿过平面 $\beta$ 于点 $B$，并与平面 $\alpha$ 相交于点 $A$。交线 $l$ 上也包含了点 $A$。
子图(2)：描绘了两个相交平面 $\alpha$ 和 $\beta$，它们的交线为 $l$。直线 $a$ 位于平面 $\alpha$ 内，直线 $b$ 位于平面 $\beta$ 内。直线 $a$ 与交线 $l$ 相交于点 $P$，直线 $b$ 也与交线 $l$ 相交于点 $P$。
这两个子图用于说明如何用符号表示直线与平面之间的各种位置关系。|标题:图8.4-16 直线与平面位置关系示意图|图片3]

**分析**:根据图形,先判断直线、平面之间的位置关系,然后用符号表示出来.
**解**:在(1)中, $a \cap \beta = l$, $a \cap \alpha = A$, $a \cap \beta = B$.
在(2)中, $\alpha \cap \beta = l$, $a \subset \alpha$, $b \subset \beta$, $a \cap l = P$, $b \cap l = P$, $a \cap b = P$.

**例2** 如图8.4-17, $AB \cap \alpha = B$, $A \notin \alpha$, $a \subset a$, $B \notin a$. 直线 $AB$ 与 $a$ 具有怎样的位置关系?为什么?

[图片描述:一个平面 $\alpha$ (由一个平行四边形表示)。平面内有一条蓝色的直线 $a$。一条品红色的直线 $AB$ 穿过平面 $\alpha$。点 $A$ 位于平面 $\alpha$ 的上方，点 $B$ 位于平面 $\alpha$ 上，并且点 $B$ 位于直线 $a$ 上。此图用于探究直线 $AB$ 与平面内的直线 $a$ 的位置关系。|标题:图8.4-17 直线与平面内直线的关系|图片4]
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**解：** 直线 $AB$ 与 $a$ 是异面直线，理由如下。

若直线 $AB$ 与直线 $a$ 不是异面直线，则它们相交或平行，设它们确定的平面为 $\beta$，则 $B \in \beta$， $a \subset \beta$。由于经过点 $B$ 与直线 $a$ 有且仅有一个平面 $\alpha$，因此平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 重合，从而 $AB \subset \alpha$，进而 $A \in \alpha$，这与 $A \notin \alpha$ 矛盾。所以直线 $AB$ 与 $a$ 是异面直线。

> 例2告诉我们一种判断异面直线的方法：与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。

## 练习

**1. 选择题**
(1) 如果两条直线 $a$ 与 $b$ 没有公共点，那么 $a$ 与 $b$ ( )。
(A) 共面
(B) 平行
(C) 是异面直线
(D) 可能平行，也可能是异面直线

(2) 设直线 $a, b$ 分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则 $a$ 与 $b$ ( )。
(A) 平行
(B) 相交
(C) 是异面直线
(D) 可能相交，也可能是异面直线

**2.** 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，判定直线 $AB$ 与 $AC$，直线 $AC$ 与 $A'C'$，直线 $A'B$ 与 $AC$，直线 $A'B$ 与 $C'D$ 的位置关系。

[图片描述:一个三维长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的透视图，其中 $A,B,C,D$ 是底面顶点，$A',B',C',D'$ 是顶面顶点。图中以蓝色实线标示了对角线 $A'C'$，以洋红色实线标示了底面对角线 $AC$，以蓝色虚线标示了 $A'B$。底面和顶面的边也清晰可见。|标题:第2题|图片编号:1]

**3.** 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。
(1) 若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则 $l // \alpha$。 ( )
(2) 若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都平行。 ( )
(3) 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。( )
(4) 若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点。( )

**4.** 已知直线 $a, b$，平面 $\alpha, \beta$，且 $a \subset \alpha, b \subset \beta, a // \beta$。判断直线 $a, b$ 的位置关系，并说明理由。

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## 习题 8.4

### 复习巩固

**1.** 画出满足下列条件的图形:
(1) $a \subset \alpha, b \subset \alpha, a \cap b = A, c \cap \alpha = A$;
(2) $\alpha \cap \beta = l, AB \subset \alpha, CD \subset \beta, AB // l, CD // l$.

**2. 选择题**
(1) 经过同一直线上的 3 个点的平面 ( )。
(A) 有且仅有 1 个
(B) 有且仅有 3 个
(C) 有无数个
(D) 不存在
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以下是将PDF页面转换为Markdown格式的内容：

**(2)** 若直线$a$不平行于平面$\alpha$，且$a \not\subset \alpha$，则下列结论成立的是( )。
(A) $\alpha$内的所有直线与$a$是异面直线
(B) $\alpha$内不存在与$a$平行的直线
(C) $\alpha$内存在唯一一条直线与$a$平行
(D) $\alpha$内的所有直线与$a$都相交

**3. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“X”。**
(1) 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面。( )
(2) 四边形可以确定一个平面。( )
(3) 若$a,b$是两条直线，$\alpha,\beta$是两个平面，且$a\subset\alpha,b\subset\beta$，则$a,b$是异面直线。( )

**4. 填空题**
(1) 如果$a,b$是异面直线，直线$c$与$a,b$都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有______个;
(2) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一个平面的位置关系是______;
(3) 已知两条相交直线$a,b$，且$a//\text{平面}\alpha$，则$b$与$\alpha$的位置关系是______。

**5. 正方体各面所在平面将空间分成几部分?**

## 综合运用

**6. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面吗?请说说你的理由。**

**7. 如图，三条直线两两平行且不共面，每两条直线确定一个平面，一共可以确定几个平面?如果三条直线相交于一点，它们最多可以确定几个平面?**
[图片描述: 左图展示了平面中两条平行线被第三条直线截断，并用虚线连接了截线与平行线的交点，形成一个三角形区域。右图展示了三条直线相交于同一点，并用虚线连接了三条直线上三个点，形成一个三角形区域。|标题:第7题示意图|图片编号1]

**8. 如图，$\triangle ABC$在平面$\alpha$外，$AB \cap \alpha=P,BC \cap \alpha=Q,AC \cap \alpha=R$，求证:$P,Q,R$三点共线。**
[图片描述: 描绘了一个三角形ABC位于平面阿尔法（$\alpha$）之外。三角形的顶点A, B, C清晰可见。平面阿尔法用一个四边形表示。三角形的三条边与平面阿尔法有交点：边AB与平面交于P点，边BC与平面交于Q点，边AC与平面交于R点。P、Q、R三点位于平面阿尔法上。|标题:第8题示意图|图片编号2]

## 拓广探索

**9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在$AB,CD,EF,GH$这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线?**
[图片描述: 展示了一个正方体的展开图，由六个正方形组成。图中标出了几条线段：在上方部分有线段AB和CD，在下方左侧有线段GH，下方右侧有线段EF。这些线段是展开图的某些边，且图上有多处蓝色的斜对角线，可能指示折叠的方向或辅助线。|标题:第9题正方体展开图|图片编号3]

**10. 在本节，我们学习了平面，了解了它的基本特征以及一些利用点、直线、平面等组成立体图形的基本元素刻画这些特征的方法.类似地，直线有什么基本特征?如何刻画直线的这些基本特征?**
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## 8.5 空间直线、平面的平行

在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理。类似地，空间中直线、平面间的平行关系在生产和生活中有着广泛的应用，也是我们要重点研究的内容。本节我们研究空间中直线、平面的平行关系，重点研究这些平行关系的判定和性质。

### 8.5.1 直线与直线平行

我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行。在空间中，是否也有类似的结论？

> **◎ 观察**
>
> 如图 8.5-1，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，$DC // AB$，$A'B' // AB$。$DC$ 与 $A'B'$ 平行吗？
>
> [图片描述:一个三维长方体$ABCD-A'B'C'D'$的线框图。底部面为$ABCD$，顶部面为$A'B'C'D'$。虚线表示不可见的边，实线表示可见的边。线段$AB$和$DC$在底部面上，线段$A'B'$在顶部面上。|标题:图 8.5-1|图1]
>
> 观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？

可以发现，$DC // A'B'$。再观察我们所在的教室（图8.5-2），黑板边所在直线$AA'$和门框所在直线$CC'$都平行于墙与墙的交线$BB'$，那么$CC' // AA'$。这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质，我们把它作为基本事实。

**基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行。**

基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行，它给出了判断空间两条直线平行的依据，基本事实4表述的性质通常叫做平行线的**传递性**。

[图片描述:一间教室的俯视图照片。前景是几排木质课桌椅。教室前方有一个绿色的黑板，黑板上方悬挂着一面中国国旗。图像右侧，墙壁的交线$BB'$被粉色线条标出，门框的边缘$CC'$也被粉色线条标出，黑板的一侧$AA'$也被粉色线条标出。$AA'$、$CC'$、$BB'$三条线段近似平行。|标题:图 8.5-2|图2]
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**例1** 如图8.5-3,空间四边形 $ABCD$ 中, $E, F, G, H$ 分别是边 $AB, BC, CD, DA$ 的中点,求证:四边形 $EFGH$ 是平行四边形.

[图片描述:一个空间四边形 $ABCD$,其中点 $E$ 在 $AB$ 上,点 $F$ 在 $BC$ 上,点 $G$ 在 $CD$ 上,点 $H$ 在 $DA$ 上。连接 $E,F,G,H$ 构成了一个内嵌的四边形 $EFGH$。为了辅助证明,图中还绘制了对角线 $BD$。|标题:图8.5-3 空间四边形及其关键点|图片1]

**分析:** 要证明四边形 $EFGH$ 是平行四边形,只需证明它的一组对边平行且相等.而 $EH, FG$ 分别是 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CBD$ 的中位线,从而它们都与 $BD$ 平行且等于 $BD$ 的一半.应用基本事实4,即可证明 $EH \parallel FG$.

**证明:** 连接 $BD$.
$\because EH$ 是 $\triangle ABD$ 的中位线,
$\therefore EH \parallel BD$, 且 $EH = \frac{1}{2} BD$.
同理 $FG \parallel BD$, 且 $FG = \frac{1}{2} BD$.
$\therefore EH \parallel FG$.
$\therefore$ 四边形 $EFGH$ 为平行四边形.

> 在本例中,如果再加上条件 $AC=BD$,那么四边形 $EFGH$ 是什么图形?

**? 思考**
在平面內,如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补,在空间中,这一结论是否仍然成立呢?

与平面中的情况类似,当空间中两个角的两条边分别对应平行时,这两个角有如图8.5-4所示的两种位置.

[图片描述:上方是两幅图,展示了空间中两个角边平行时的两种位置关系。(1)中,一个角 $A'C'B'$ 在平面外,另一个角 $ACB$ 在一个平面内,它们的两条边分别平行且方向相同。(2)中,一个角 $A'C'B'$ 在平面外,另一个角 $ACB$ 在一个平面内,它们的两条边分别平行但方向相反,形成互补关系。|标题:图8.5-4 空间中角边平行的两种位置|图片2]

对于图8.5-4(1),我们可以构造两个全等三角形,使 $\angle BAC$ 和 $\angle B'A'C'$ 是它们的对应角,从而证明 $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

如图8.5-5,分别在 $\angle BAC$ 和 $\angle B'A'C'$ 的两边上截取 $AD, AE$ 和 $A'D', A'E'$,使得 $AD=A'D'$, $AE=A'E'$. 连接 $AA', DD', EE', DE, D'E'$.
$\because AD \parallel A'D'$,
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∴ 四边形 $ADD'A'$ 是平行四边形,
:: $AA' \parallel DD'$.
同理可证 $AA' \parallel EE'$.
:: $DD' \parallel EE'$.
∴ 四边形 $DD'E'E$ 是平行四边形.
:: $DE=D'E'$.
:: $\triangle ADE \cong \triangle A'D'E'$.
:: $\angle BAC = \angle B'A'C'$.

[图片描述:一个立体几何图形，展示了两个平行平面，底部平面上有四边形ADEB，顶部平面上有四边形A'D'E'B'。线段AA'，DD'，EE'，CC'连接上下平面，并且互相平行。顶部和底部的对应线段平行，例如AD与A'D'，DE与D'E'。|标题:图 8.5-5|图片编号:1]

对于图 8.5-4(2) 的情形，请同学们自己给出证明。
这样，我们就得到了下面的定理:
**定理** 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

## 练习

1. 如图，把一张矩形纸片对折几次，然后打开，得到的折痕互相平行吗？为什么？

[图片描述:一张矩形纸片经过几次对折后打开的示意图，显示了多条平行的折痕。纸片被均匀地分成了四个竖直的条状区域。|标题:第 1 题|图片编号:2]
[图片描述:一个三维的几何图形，表示一个长方体（或称矩形棱柱），其顶点被标记为A、B、C、D（底部）和A'、B'、C'、D'（顶部）。实线表示可见的棱，虚线表示被遮挡的棱，用于描述空间中的空间几何关系。|标题:第 2 题|图片编号:3]

2. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，与棱 $AA'$ 平行的棱共有几条？分别是什么？
3. 如图，$AA'$, $BB'$, $CC'$ 不共面，且 $AA' \parallel BB'$, $BB' \parallel CC'$，求证：$\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$。

[图片描述:一个三维的几何图形，包含两个平面三角形ABC和A'B'C'。两三角形的对应顶点通过线段AA'、BB'、CC'连接。线段AA'、BB'、CC'被描绘为互相平行但不在同一平面上，部分线段（如B'C'和BB'）以虚线表示。|标题:第 3 题|图片编号:4]
[图片描述:一个四面体 $A-BCD$ 的几何图形。点 $E$ 在 $AB$ 上，点 $F$ 在 $AC$ 上，点 $G$ 在 $AD$ 上。图中清晰地显示了构成四面体的各个顶点和棱，以及由点E, F, G连接形成的三角形EFG。|标题:第 4 题|图片编号:5]

4. 如图，在四面体 $A-BCD$ 中，$E$, $F$, $G$ 分别为 $AB$, $AC$, $AD$ 上的点。若 $EF \parallel BC$, $FG \parallel CD$，则 $\triangle EFG$ 和 $\triangle BCD$ 有什么关系？为什么？
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### 8.5.2 直线与平面平行

在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用广泛，而且是
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学习平面与平面平行的基础。

怎样判定直线与平面平行呢？根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点。但是，直线是无限延伸的，平面是无限延展的，如何保证直线与平面没有公共点呢？

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### 💡 观察

如图 8.5-6(1)，门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？

[图片描述: 一扇白色的门，向内打开，其活动的一边（与门框分离的一边）被粉色线条标出。这扇门正在转动，其转动的一边与墙面形成一个角度。|标题: 图8.5-6(1) 门扇转动示意图|图片编号: 图1]
[图片描述: 一个矩形硬纸板ABCD放置在木质桌面上。硬纸板绕其边DC转动，边AB从桌面抬起，呈现一个倾斜的角度。边AB被粉色线条标出，表示关注该边与桌面的关系。图中有清晰的字母A、B、C、D标记。|标题: 图8.5-6(2) 硬纸板转动示意图|图片编号: 图2]

如图8.5-6(2)，将一块矩形硬纸板 $ABCD$ 平放在桌面上，把这块纸板绕边 $DC$ 转动，在转动的过程中($AB$ 离开桌面)，$DC$ 的对边 $AB$ 与桌面有公共点吗？边 $AB$ 与桌面平行吗？

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可以发现，无论门扇转动到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面是平行的；硬纸板的边 $AB$ 与 $DC$ 平行，只要边 $DC$ 紧贴着桌面，边 $AB$ 转动时就不可能与桌面有公共点，所以它与桌面平行。

一般地，我们有直线与平面平行的判定定理：

**定理** 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。

它可以用符号表示：
$a \not\subset \alpha, b \subset \alpha, 且 a//b \Rightarrow a //\alpha.$

> 定理告诉我们，可以通过直线间的平行，得到直线与平面平行，这是处理空间位置关系的一种常用方法，即将直线与平面的平行关系（空间问题）转化为直线间的平行关系（平面问题）。

这一定理在现实生活中有许多应用。例如，安装矩形镜子时，为了使镜子的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理。你还能举出其他一些应用实例吗？
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**例2** 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.

**已知:** 如图8.5-7,空间四边形$ABCD$中,$E,F$分别是$AB,AD$的中点.

**求证:** $EF//平面 BCD$.

**证明:** 连接$BD$.

$\because AE=EB, AF=FD$,
$\therefore EF//BD$.
又 $EF \not\subset 平面 BCD$, $BD \subset 平面 BCD$,
$\therefore EF//平面 BCD$.

[图片描述:空间四边形ABCD的三维示意图。点A、B、C、D为四边形的顶点。线段AB和AD上分别标有中点E和F。线段EF被连接起来，线段BD也被连接起来，形成三角形ABD和BCD。线段EF和BD呈平行关系。|标题:图8.5-7|图片编号:1]

> 今后要证明一条直线与一个平面平行,只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.

前面，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件。反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢？这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件。

下面我们研究在直线$a$平行于平面$\alpha$的条件下，直线$a$与平面$\alpha$内的直线的位置关系。
如图8.5-8，由定义，如果直线$a // 平面 \alpha$，那么$a$与$\alpha$无公共点，即$a$与$\alpha$内的任何直线都无公共点。这样，平面$\alpha$内的直线与平面$\alpha$外的直线$a$只能是异面或者平行的关系。那么，在什么条件下，平面$\alpha$内的直线与直线$a$平行呢？下面我们来分析一下：

[图片描述:一个三维几何图示，表示一条直线$a$平行于一个平面$\alpha$。直线$a$位于平面$\alpha$的上方，并且与平面之间没有交点，形象地展示了直线与平面平行的概念。|标题:图8.5-8|图片编号:2]

假设$a$与$\alpha$内的直线$b$平行，那么由基本事实的推论3，过直线$a,b$有唯一的平面$\beta$。这样，我们可以把直线$b$看作过直线$a$的平面$\beta$与平面$\alpha$的交线，于是可得如下结论：过直线$a$的平面$\beta$与平面$\alpha$相交于$b$，则$a//b$.

下面，我们来证明这一结论。
如图8.5-9，**已知:** $a//\alpha, a \subset \beta, \alpha \cap \beta=b$.

**求证:** $a//b$.

**证明:**
$\because \alpha \cap \beta = b$,
$b \subset \alpha$.
又 $a//\alpha$,
$\therefore a$与$b$无公共点.
又 $a \subset \beta, b \subset \beta$,
$\therefore a//b$.

[图片描述:一个三维几何图示，显示了两个相交的平面$\alpha$和$\beta$。平面$\alpha$在下方，平面$\beta$垂直于平面$\alpha$放置。它们的交线是直线$b$。一条直线$a$位于平面$\beta$中，且平行于平面$\alpha$。直线$a$和$b$在平面$\beta$中呈现平行关系。|标题:图8.5-9|图片编号:3]

这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理：
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**定理** 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出了一种作平行线的方法。

**例3** 如图8.5-10(1)所示的一块木料中，棱 $BC$ 平行于面 $A'C'$.
(1)要经过面 $A'C'$ 内的一点 $P$ 和棱 $BC$ 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?
(2)所画的线与平面 $AC$ 是什么位置关系?
**分析**: 要经过面 $A'C'$ 内的一点 $P$ 和棱 $BC$ 将木料锯开，实际上是经过 $BC$ 及 $BC$ 外一点 $P$ 作截面，也就需要找出所作的截面与相关平面的交线。我们可以依据直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1画出所需要的线段。

[图片描述: 三维立体图形，表示一块木料，形似长方体。图中标注了顶点 $A, B, C, D$（底部）和 $A', B', C', D'$（顶部）。在顶面 $A'B'C'D'$ 上有一点 $P$。棱 $A'D', D'C', D'D, A'A, C'C$ 等为虚线表示的隐藏部分。此图展示了原始木料和点 $P$ 的位置。|标题:图8.5-10|1]
[图片描述: 三维立体图形，表示一块木料被锯开后的情景，是图(1)的延续。在顶面 $A'B'C'D'$ 上，通过点 $P$ 作了一条线段 $EF$，其中点 $E$ 在 $A'B'$ 上，点 $F$ 在 $D'C'$ 上，且 $EF$ 平行于 $B'C'$。连接 $BE$ 和 $CF$，形成了一个截面 $BEFC$（已加阴影表示），该截面为平行四边形。此图展示了如何进行锯切。|标题:图8.5-10|2]

**解**: (1)如图8.5-10(2)，在平面 $A'C'$ 内，过点 $P$ 作直线 $EF$，使 $EF // B'C'$，并分别交棱 $A'B', D'C'$ 于点 $E, F$。连接 $BE, CF$，则 $EF, BE, CF$ 就是应画的线。
(2)因为棱 $BC$ 平行于平面 $A'C'$，平面 $BC'$ 与平面 $A'C'$ 相交于 $B'C'$，所以 $BC // B'C'$。由 (1) 知，$EF // B'C'$，所以 $EF // BC$。而 $BC$ 在平面 $AC$ 内，$EF$ 在平面 $AC$ 外，所以 $EF // $ 平面 $AC$。
显然，$BE, CF$ 都与平面 $AC$ 相交。

### 练习

1. 如图，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，
   (1)与 $AB$ 平行的平面是________________；
   (2)与 $AA'$ 平行的平面是________________；
   (3)与 $AD$ 平行的平面是________________。

[图片描述: 一个长方体的三维示意图，顶点标注为 $A, B, C, D$（底部）和 $A', B', C', D'$（顶部）。$D'D, D'C', A'D'$ 等内部棱线用虚线表示。此图用于第1题。|标题:(第1题)|3]
[图片描述: 一个长方体（或立方体）的三维示意图，顶点标注为 $A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$。图中有一个蓝色阴影的截面$ABEC_1D_1$（这是一个五面体 $ABEC_1D_1$ 的截面，其中 $E$ 在 $A_1B_1$ 上）。虚线表示的棱线包括 $A_1D_1, B_1C_1, D_1D, A_1A, B_1B, C_1C$ 等。此图用于第2题，但第2题的题目内容未在此页显示。|标题:(第2题)|4]
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2. 如上页图, 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $E$ 为 $DD_1$ 的中点, 判断 $BD_1$ 与平面 $AEC$ 的位置关系, 并说明理由.
3. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画“√”, 错误的画“×”.
    (1) 如果直线 $a // b$, 那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何平面. ( )
    (2) 如果直线 $a$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a // \alpha$, 那么 $a$ 与 $\alpha$ 内的任何直线平行. ( )
    (3) 如果直线 $a, b$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a // \alpha, b // \alpha$, 那么 $a // b$. ( )
    (4) 如果直线 $a, b$ 和平面 $\alpha$ 满足 $a // b, a // \alpha, b \not\subset \alpha$, 那么 $b // \alpha$. ( )
[图片描述: 一幅几何图形，展示了两个相交平面 $\alpha$ 和 $\beta$。平面 $\alpha$ 位于左侧，平面 $\beta$ 位于右侧。它们相交于一条直线，这条直线被标记为 $a$。在平面 $\alpha$ 内部有一条垂直的蓝色直线，标记为 $b$。在平面 $\beta$ 内部也有一条垂直的粉色直线，标记为 $c$。直线 $b$ 和 $c$ 在图中被绘制为相互平行。此图作为第4题的示意图，也与第3题的某些概念相关联。|标题: 空间直线与平面的关系示意图|图1]
4. 如图, $\alpha \cap \beta = a, b \subset \alpha, c \subset \beta, b // c$, 求证 $a // b // c$. (第4题)

## 8.5.3 平面与平面平行

我们首先讨论平面与平面平行的判定问题.

类似于研究直线与平面平行的判定, 我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题. 根据平面与平面平行的定义, 可以发现, 因为两个平行平面没有公共点, 所以一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点. 也就是说, 如果两个平面平行, 那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行. 因为这个定义给出了两个平面平行的充要条件, 所以可以想到, 如果一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行, 那么这两个平面一定平行.

如何判定一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面呢? 有没有更简便的方法?

> **探究**
>
> 根据基本事实的推论2, 3, 过两条平行直线或两条相交直线, 有且只有一个平面. 由此可以想到, 如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个平面平行, 是否就能使这两个平面平行?
>
> 我们可以借助以下两个实例进行观察, 如图 8.5-11(1), $a$ 和 $b$ 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线, 它们都和桌面平行, 那么硬纸片和桌面平行吗? 如图 8.5-11(2), $c$ 和 $d$ 分别是三角尺相邻两边所在直线, 它们都和桌面平行, 那么三角尺和桌面平行吗?

[图片描述: 两幅并排的几何实例图，用于探究平面与平面平行。左侧子图(1)展示了一张长方形硬纸片，其两条相对的平行边分别标记为直线 $a$ 和 $b$。硬纸片放置在一个木质桌面上方，示意直线 $a$ 和 $b$ 均平行于桌面。右侧子图(2)展示了一个三角尺，其两条相邻的直角边所在的直线分别标记为 $c$ 和 $d$。三角尺也放置在一个木质桌面上方，示意直线 $c$ 和 $d$ 均平行于桌面。这两幅图旨在引导学生思考，当一个平面内的两条直线都平行于另一个平面时，这两个平面是否平行。|标题: 图8.5-11 探究平面与平面平行实例|图2]
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如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，这两个平面不一定平行。我们借助长方体模型来说明。如图8.5-12，在平面$A'ADD'$内画一条与$A'A$平行的直线$EF$，显然$A'A$与$EF$都平行于平面$D'DCC'$，但这两条平行直线所在的平面$A'ADD'$与平面$D'DCC'$相交。

[图片描述: 3D线框图展示了一个标注为$ABCD-A'B'C'D'$的长方体。平面$A'ADD'$中绘制了一条直线$EF$，它与边$A'A$平行。虚线表示被遮挡的边。|标题: 图8.5-12|图1]
[图片描述: 3D线框图展示了一个标注为$ABCD-A'B'C'D'$的长方体。底面$ABCD$内绘制了两条相交的对角线$AC$和$BD$（虚线）。顶面$A'B'C'D'$内绘制了两条相交的对角线$A'C'$和$B'D'$（实线）。|标题: 图8.5-13|图2]

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，这两个平面是平行的。如图 8.5-13的长方体模型中，平面$ABCD$内两条相交直线$AC$，$BD$分别与平面$A'B'C'D'$内两条相交直线$A'C'$，$B'D'$平行。由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线$AC$，$BD$都与平面$A'B'C'D'$平行。此时，平面$ABCD$平行于平面$A'B'C'D'$。

> **?**
>
> 两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面，为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向量的角度解释吗？

一般地，我们有如下平面与平面平行的判定定理(图8.5-14):

**定理** 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

它可以用符号表示为
$a \subset \beta, b \subset \beta, a \cap b = P, a // \alpha, b // \alpha \Rightarrow \beta // \alpha$.

[图片描述: 3D图示，显示了两个平行平面$\alpha$和$\beta$。平面$\beta$中包含两条相交直线$a$和$b$，它们在点$P$处相交。直线$a$和$b$都平行于平面$\alpha$。|标题: 图8.5-14|图3]
[图片描述: 一张木质桌子，桌面上对角放置着一个水平仪。水平仪的气泡位于中央，表明桌面是水平的。|标题: 图8.5-15|图4]

这个定理告诉我们，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行。如图 8.5-15，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，就是应用了这个判定定理。

**例 4** 已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ (图8.5-16)，求证:
平面$AB_1D_1 // $平面 $BC_1D$.

**证明**: $::$ $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 为正方体，

[图片描述: 3D线框图展示了一个标注为$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的正方体。其中，用粉色高亮显示了平面$AB_1D_1$（一个三角形），用蓝色高亮显示了平面$BC_1D$（另一个三角形）。虚线表示被遮挡的边。|标题: 图8.5-16|图5]
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$\therefore D_1C_1 \perp A_1B_1$, $AB \perp A_1B_1$.
$\therefore D_1C_1 \perp AB$.
$\therefore$ 四边形 $D_1C_1BA$ 为平行四边形.
$\therefore D_1A // C_1B$.
又 $D_1A \not\subset$ 平面 $BC_1D$, $C_1B \subset$ 平面 $BC_1D$,
$\therefore D_1A // $平面 $BC_1D$.
同理 $D_1B_1 // $平面 $BC_1D$.
又 $D_1A \cap D_1B_1 = D_1$,
$\therefore$ 平面 $AB_1D_1 // $平面 $BC_1D$.

下面我们研究平面与平面平行的性质,也就是以平面与平面平行为条件,探究可以推出哪些结论.

根据已有的研究经验,我们先探究两个平行平面內的直线具有什么位置关系.

如图8.5-17,借助长方体模型,我们看到,$B'D'$所在的平面$A'C'$与平面$AC$平行,所以$B'D'$与平面$AC$没有公共点,也就是说,$B'D'$与平面$AC$内的所有直线没有公共点.因此,直线$B'D'$与平面$AC$内的所有直线要么是异面直线,要么是平行直线.

[图片描述:一个三维长方体模型，其可见顶点包括 A, B, C (底面) 和 D', A', B', C' (顶面)。图中展示了长方体的底面 ABCD（用蓝色虚线表示的边）和顶面 A'B'C'D'。一条红色直线 B'D' 连接了顶面 A'B'C'D' 的对角顶点 B' 和 D'。长方体的其他边和不可见的线用蓝色虚线表示。此图用于辅助理解B'D'所在的顶面A'B'C'D'与底面ABCD是平行平面的几何关系。|标题:图8.5-17|图片1]

分别位于两个平行平面內的两条直线什么时候平行呢?我们仍然依据基本事实的推论进行分析:如果$\alpha // \beta$, $a \subset \alpha$, $b \subset \beta$, 且$a // b$,那么过$a, b$有且只有一个平面$\gamma$.这样,我们可以把直线$a, b$看作平面$\gamma$与平面$\alpha, \beta$的交线.于是可以猜想:两个平行平面同时与第三个平面相交,所得的两条交线平行.

下面,我们来证明这个结论.

如图 8.5-18,平面$\alpha // \beta$,平面$\gamma$分别与平面$\alpha, \beta$相交于直线$a, b$.

$\therefore \alpha \cap \gamma = a$, $\beta \cap \gamma = b$,
$\therefore a \subset \alpha$, $b \subset \beta$.
又 $\alpha // \beta$,
$\therefore a, b$ 没有公共点.
又 $a, b$ 同在平面 $\gamma$ 内,
$\therefore a // b$.

[图片描述:一个三维几何图示，展示了两个平行平面 $\alpha$ 和 $\beta$，它们被一个第三个平面 $\gamma$ 截过。平面 $\alpha$ 和 $\gamma$ 的交线是直线 $a$（红色实线）。平面 $\beta$ 和 $\gamma$ 的交线是直线 $b$（红色实线）。图示中，直线 $a$ 和 $b$ 位于平面 $\gamma$ 内，并且是平行的。平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 以水平放置的平行四边形表示，而平面 $\gamma$ 则以倾斜的平行四边形表示，穿过 $\alpha$ 和 $\beta$。辅助线用虚线表示，以增强立体感。|标题:图8.5-18|图片2]

我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理.

**定理** 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
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这个定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交，以两个平面平行
为条件，你还能得出哪些结论？

**例5** 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。

[图片描述: 几何图形，显示两个平行平面 $\alpha$ 和 $\beta$。平面 $\alpha$ 在上方，平面 $\beta$ 在下方。在平面 $\alpha$ 上有两点 A 和 C，在平面 $\beta$ 上有两点 B 和 D。直线 AB 连接 A 和 B，直线 CD 连接 C 和 D。直线 AB 和 CD 是平行的。另外，AC 和 BD 是连接平面内外点形成的线段。有一个平面 $\gamma$ 穿过 AB 和 CD。|标题: 图8.5-19|图片编号: 图1]

如图 8.5-19，$\alpha //\beta$， $AB // CD$，且 $A \in \alpha$， $C \in \alpha$， $B \in \beta$， $D \in \beta$，求证 $AB=CD$。

**证明：** 过平行线 $AB, CD$ 作平面 $\gamma$，与平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别相交于 $AC$ 和 $BD$。
∵ $\alpha//\beta$，
∴ $BD//AC$。
又 $AB//CD$，
∴ 四边形 $ABDC$ 是平行四边形。
∴ $AB=CD$。

从本节的讨论可以看到，由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面
平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平
面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行，这种直线、平面
之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法。

```mermaid
graph LR
    A["直线与直线平行"] -->|判定| B["直线与平面平行"]
    B -->|性质| A
    B -->|判定| C["平面与平面平行"]
    C -->|性质| B
```

## 练习

1.  判断下列命题是否正确。若正确，则说明理由；若错误，则举出反例。
    (1) 已知平面 $\alpha, \beta$ 和直线 $m, n$，若 $m \subset \alpha, n \subset \alpha, m // \beta, n // \beta$，则 $\alpha // \beta$。
    (2) 若一个平面 $\alpha$ 内两条不平行的直线都平行于另一平面 $\beta$，则 $\alpha // \beta$。
    (3) 平行于同一条直线的两个平面平行。
    (4) 平行于同一个平面的两个平面平行。
    (5) 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。
2.  平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行的充分条件可以是( )。
    (A) $\alpha$ 内有无穷多条直线都与 $\beta$ 平行
    (B) 直线 $a // \alpha, a // \beta$，且直线 $a$ 不在 $\alpha$ 内，也不在 $\beta$ 内
    (C) 直线 $a \subset \alpha$， 直线 $b \subset \beta$，且 $a // \beta, b // \alpha$
    (D) $\alpha$ 内的任何一条直线都与 $\beta$ 平行
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3. 如图,在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $M, N, E, F$ 分别是棱 $A_1B_1$, $A_1D_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$ 的中点,求证:平面 $AMN // $ 平面 $DBEF$.

[图片描述: 这是一个3D几何图，展示了一个正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。其中，点 $M, N, E, F$ 分别位于上底面的棱 $A_1B_1, A_1D_1, B_1C_1, C_1D_1$ 上。图中标出了两个平面：一个用粉色阴影表示的三角形平面 $AMN$ 和一个用蓝色阴影表示的四边形平面 $DBEF$。图中虚线表示被遮挡的棱。|标题: 第3题|图片编号: 图1]

4. 如图,平面$\alpha // \beta$, $\gamma \cap \alpha = a$, $\gamma \cap \beta = b$, $c \subset \beta$, $c // b$. 判断 $c$ 与 $a$, $c$ 与 $\alpha$ 的位置关系,并说明理由.

[图片描述: 这是一个3D几何图，展示了三个平面 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ 及其交线。平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 互相平行。平面 $\gamma$ 与平面 $\alpha$ 的交线是 $a$，与平面 $\beta$ 的交线是 $b$。在平面 $\beta$ 内有一条直线 $c$，它平行于直线 $b$。图中虚线表示平面或直线的被遮挡部分。|标题: 第4题|图片编号: 图2]

## 习题 8.5 复习巩固

1. 选择题
   (1) 若直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$, 则下列结论成立的是( ).
     (A) $\alpha$ 内的所有直线都与 $a$ 异面
     (B) $\alpha$ 内不存在与 $a$ 平行的直线
     (C) $\alpha$ 内的直线都与 $a$ 相交
     (D) 直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 有公共点
   (2) 如果直线 $a // $ 平面 $\alpha$, $P \in \alpha$, 那么过点 $P$ 且平行于直线 $a$ 的直线( ).
     (A) 只有一条, 不在平面 $\alpha$ 内
     (B) 有无数条, 不一定在 $\alpha$ 内
     (C) 只有一条, 且在平面 $\alpha$ 内
     (D) 有无数条, 一定在 $\alpha$ 内

2. 已知平面 $\alpha$, $\beta$ 和直线 $a, b, c$, 且 $a // b // c$, $a \subset \alpha$, $b \subset \beta$, $c \subset \beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系是$\_\_\_\_$.

3. 如图,在长方体木块 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,面 $A_1C_1$ 上有一点 $P$,怎样过点 $P$ 画一条直线与棱 $CD$ 平行?

[图片描述: 这是一个3D几何图，展示了一个长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$。在长方体的上表面 $A_1B_1C_1D_1$ 上标注了一个点 $P$。图示基底的棱 $CD$ 用实线表示，其他一些棱用虚线表示。|标题: 第3题|图片编号: 图3]

4. 如图,在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$中, $E, F$ 分别是 $AB, BC$ 的中点,求证 $EF // A'C'$.

[图片描述: 这是一个3D几何图，展示了一个长方体 $ABCD-A'B'C'D'$。点 $E$ 是底面棱 $AB$ 的中点，点 $F$ 是底面棱 $BC$ 的中点。图中绘制了一条连接 $E$ 和 $F$ 的粉色线段，以及一条连接上底面顶点 $A'$ 和 $C'$ 的粉色线段。虚线表示被遮挡的棱。|标题: 第4题|图片编号: 图4]

5. 如下页图,在四面体 $D-ABC$中,$E,F,G$分别是 $AB, BC, CD$ 的中点,求证:
   (1) $BD // $ 平面 $EFG$;
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(2) $AC \parallel$ 平面 $EFG$.

[图片描述:一个立体图形，形似一个四棱锥或多面体，顶点为D。底部似乎是四边形AEFB。图中包含点A, B, C, D, E, F, G。有实线和虚线表示的边，以及粉色线段DG和蓝色线段GC。|标题:第5题|图1]

6. 如图, $a, b$ 是异面直线,画出平面 $\alpha$, 使 $a \subset \alpha$, 且 $b \parallel \alpha$, 并说明理由.

[图片描述:两根直线a和b，它们在二维平面上表示异面直线。直线b位于直线a的上方，且两者不平行也不相交。|标题:第6题|图2]

7. 如图, $\alpha \cap \beta = CD$, $\alpha \cap \gamma = EF$, $\beta \cap \gamma = AB$, $AB \parallel \alpha$, 求证 $CD \parallel EF$.

[图片描述:一个三维几何图，表示三个平面$\alpha$, $\beta$, $\gamma$相交。平面$\alpha$是底部平面。图中有A, B, C, D, E, F六个点，以及连接它们的线段，形成一个类似棱锥的结构。标注了线段AB, CD, EF。|标题:第7题|图3]

[图片描述:由两个以公共点O为顶点的三棱锥组成的立体图形。底部三棱锥的底面是蓝色三角形ABC，顶部三棱锥的底面是粉色三角形A'B'C'。点O与A,B,C以及A',B',C'之间都有虚线连接，整体形状像一个沙漏。|标题:第8题|图4]

8. 如图,直线 $AA'$, $BB'$, $CC'$ 相交于点 $O$, $AO=A'O$, $BO=B'O$, $CO=C'O$, 求证: 平面 $ABC \parallel$ 平面 $A'B'C'$.

**● 综合运用**

9. 如图, $E, E'$ 分别为长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱 $AD, A'D'$ 的中点,求证 $\angle BEC = \angle B'E'C'$.

[图片描述:一个长方体ABCD-A'B'C'D'。点E是棱AD的中点，点E'是棱A'D'的中点。图中标注了虚线和实线表示的棱，以及蓝色虚线段BE和EC，和粉色实线段B'E'和E'C'。|标题:第9题|图5]

[图片描述:一个表示空间几何的图。底部是一个平面$\alpha$。在平面上方有两条平行的线A和B。从A点引出线AC，从B点引出线BD，它们都与平面$\alpha$相交于C点和D点。线条AB是蓝色，AC和BD是粉色。|标题:第10题|图6]

10.如图, $AB \parallel \alpha$, $AC \parallel BD$, $C \in \alpha$, $D \in \alpha$, 求证 $AC=BD$.

11. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.

12.一木块如下页图所示,点 $P$ 在平面 $VAC$ 内,过点 $P$ 将木块锯开,使截面平行于直线 $VB$ 和 $AC$,在木块表面应该怎样画线?
<!--End Page151-->

<!--Begin Page152-->
[图片描述:一个四面体（金字塔形）V-ABC，其中顶点V在上方，底面ABC近似水平放置。点A在右前方，B在左前方，C在后方。有一点P位于侧面V-AC的内部。棱VA、VC、BC、AB用实线表示，棱VB用虚线表示。|标题:第12题示意图|图片编号:1]
[图片描述:三个互相平行的平面$\alpha, \beta, \gamma$自上而下依次排列。有两条直线$a$（紫色）和$b$（蓝色）穿过这些平面。直线$a$从上到下依次与平面$\alpha, \beta, \gamma$相交于点A, B, C。直线$b$从上到下依次与平面$\alpha, \beta, \gamma$相交于点D, E, F。两条直线均以三维透视效果绘制。|标题:第13题示意图|图片编号:2]

13. 如图，$a // \beta // \gamma$，直线 $a$ 与 $b$ 分别交 $\alpha, \beta, \gamma$ 于点 $A, B, C$ 和点 $D, E, F$，求证 $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF}$。

## 拓广探索

[图片描述:两个互相平行的平面$\alpha$和$\beta$。平面$\alpha$上有一条直线$a$（蓝色），平面$\beta$上有一条直线$b$（紫色）。两条直线$a$和$b$是异面直线，且$a$平行于平面$\beta$，$b$平行于平面$\alpha$。|标题:第14题示意图|图片编号:3]

14. 如图，$a, b$ 是异面直线，$a \subset \alpha, a // \beta, b \subset \beta, b // \alpha$，求证 $a // \beta$。

15. 如图，透明塑料制成的长方体容器 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 $BC$ 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

    (1) 有水的部分始终呈棱柱形；
    (2) 没有水的部分始终呈棱柱形；
    (3) 水面 $EFGH$ 所在四边形的面积为定值；
    (4) 棱 $A_1D_1$ 始终与水面所在平面平行；
    (5) 当容器倾斜如图 (3) 所示时，$BE \cdot BF$ 是定值。

    [图片描述:一个直立放置的长方体容器$ABCD-A_1B_1C_1D_1$内有水。水面为矩形$EFGH$，平行于底面$ABCD$和顶面$A_1B_1C_1D_1$。点E在棱$AA_1$上，F在棱$BB_1$上，G在棱$CC_1$上，H在棱$DD_1$上。有水的部分呈一个直立的棱柱形。|标题:第15题图(1)|图片编号:4]
    [图片描述:一个长方体容器$ABCD-A_1B_1C_1D_1$沿底面边$BC$倾斜放置。水面为矩形$EFGH$，是水平的。点E在棱$AA_1$上，F在棱$BB_1$上，G在棱$CC_1$上，H在棱$DD_1$上。水面与底面$ABCD$和顶面$A_1B_1C_1D_1$均不平行，但仍保持水平。有水的部分呈一个倾斜的棱柱形（斜棱柱）。|标题:第15题图(2)|图片编号:5]
    [图片描述:一个长方体容器$ABCD-A_1B_1C_1D_1$沿底面边$BC$进一步倾斜放置。水面为梯形$EHFG$（或四边形$EFGH$），是水平的。根据图示，点E在底面边$AD$上，点H在底面边$CD$上，点F在侧棱$AA_1$上，点G在侧棱$CC_1$上。水面与底面$ABCD$相交于线段$EH$，与侧棱$AA_1$相交于点$F$，与侧棱$CC_1$相交于点$G$。水面$EHFG$的平行边是$EH$和$FG$，它们均平行于固定在地面上的边$BC$。有水的部分呈一个更为复杂的楔形。|标题:第15题图(3)|图片编号:6]

    其中所有正确命题的序号是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_，为什么？

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# 8.6 空间直线、平面的垂直

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用。类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质。

## 8.6.1 直线与直线垂直

空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。在初中我们已经研究了平行直线和相交直线，本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系。

> **观察**
> 如图8.6-1，在正方体$ABCD-A'B'C'D'$中，直线 $A'C'$与直线$AB$，直线$A'D'$与直线$AB$都是异面直线，直线 $A'C'$与$A'D'$相对于直线$AB$的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
>
> [图片描述:一个正方体$ABCD-A'B'C'D'$的透视图。底部面是$ABCD$，顶部面是$A'B'C'D'$。图中清晰地标出了所有顶点$A, B, C, D, A', B', C', D'$。直线$A'C'$（顶面对角线）和直线$A'D'$（顶面棱）用实线（粉色或红色）表示。其他可见棱（如$AB, BC, C'D'$等）和不可见棱（如$AD, CC'$等）分别用实线和虚线表示。图片旨在引出对异面直线之间位置关系的讨论。|标题:图8.6-1|图片1]

我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于$90^\circ$的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度。类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系。

如图8.6-2，已知两条异面直线$a,b$，经过空间任一点
[图片描述:左图展示了一个平面$\alpha$及其上的一条直线$a$，以及一条在空间中与$a$异面的直线$b$。直线$b$没有与平面$\alpha$相交或平行。右图展示了两条相交直线$a'$和$b'$，它们相交于点$O$。在点$O$处，两条直线之间的夹角用弧线表示。此图意在说明如何通过平移将异面直线转化为相交直线，从而定义异面直线所成的角。|标题:图8.6-2|图片2]

> 研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题。
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$O$分别作直线$a'//a, b'//b$，我们把直线$a'$与$b'$所成的角叫做**异面直线**$a$与$b$所成的角（或夹角）。

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条**异面直线互相垂直**，直线$a$与直线$b$垂直，记作$a \perp b$。

当两条直线$a,b$相互平行时，我们规定它们所成的角为$0^\circ$。所以空间两条直线所成角$\alpha$的取值范围是$0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$。

> 直线$a,b$所成角的大小与点$O$的位置有关吗？

**例1** 如图8.6-3, 已知正方体 $ABCD-A'B'C'D'$。
(1) 哪些棱所在的直线与直线 $AA'$ 垂直?
(2) 求直线 $BA'$ 与 $CC'$ 所成的角的大小.
(3) 求直线 $BA'$ 与 $AC$ 所成的角的大小.

**解**:
(1) 棱 $AB, BC, CD, DA, A'B', B'C', C'D', D'A'$ 所在直线分别与直线 $AA'$ 垂直.

[图片描述:一个正方体ABCD-A'B'C'D'的三维视图。底面为ABCD，顶面为A'B'C'D'。图中虚线表示不可见的棱，如A-D、D-C、A-A'、D-D'、C-C'、B-B'。实线表示可见的棱，如A-B、B-C、A'-B'、B'-C'、C'-D'、D'-A'。一条从A到C'的粉色实线和一条从D到B'的青色虚线被绘制出来，以辅助说明空间中的线段关系。|标题:图8.6-3 正方体示意图|图1]

(2) 因为$ABCD-A'B'C'D'$是正方体, 所以 $BB' //CC'$, 因此 $\angle A'BB'$ 为直线 $BA'$ 与 $CC'$ 所成的角. 又因为 $\angle A'BB' = 45^\circ$, 所以直线 $BA'$ 与 $CC'$ 所成的角等于 $45^\circ$.

[图片描述:一个正方体ABCD-A'B'C'D'的三维视图，与图8.6-3类似。图中虚线表示不可见的棱和辅助线，如A-D、D-C、A-A'、D-D'。实线表示可见的棱。为了说明异面直线的夹角，图中绘制了连接B到A'，A'到C'，以及C到A'的粉色实线。同时还连接了B到C'的粉色实线。这些辅助线段用于计算异面直线BA'与AC所成的角。|标题:图8.6-4 正方体及辅助线示意图|图2]

(3) 如图8.6-4, 连接 $A'C'$. 因为 $ABCD-A'B'C'D'$ 是正方体, 所以 $AA' // CC'$, 从而四边形 $AA'C'C$ 是平行四边形, 所以 $AC//A'C'$. 于是 $\angle BA'C'$ 为异面直线 $BA'$ 与 $AC$ 所成的角.
连接 $BC'$, 易知 $\triangle A'BC'$ 是等边三角形, 所以 $\angle BA'C' = 60^\circ$. 从而异面直线 $BA'$ 与 $AC$ 所成的角等于 $60^\circ$.

**例2** 如图8.6-5(1), 在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中, $O_1$ 为底面 $A_1B_1C_1D_1$ 的中心, 求证 $AO_1 \perp BD$.

**分析**: 要证明 $AO_1 \perp BD$, 应先构造直线 $AO_1$ 与 $BD$ 所成的角, 若能证明这个角是直角, 即得 $AO_1 \perp BD$.

[图片描述:一个正方体ABCD-A1B1C1D1的三维视图，其中A1B1C1D1是顶面。A、B、C、D是底面顶点。O1是顶面A1B1C1D1的中心。图中显示了连接A到O1的粉色虚线和连接B到D的青色虚线。这些线段用于表示需要证明垂直关系的直线。|标题:图8.6-5 (1) 正方体及点O1示意图|图3]
[图片描述:一个正方体ABCD-A1B1C1D1的三维视图，与图8.6-5 (1)类似。在此图中，为了辅助证明AO1与BD垂直，连接了顶面A1B1C1D1的对角线B1D1（粉色实线），O1点位于B1D1上。同时，连接A到O1的粉色虚线和连接B到D的青色虚线也清晰可见。|标题:图8.6-5 (2) 正方体及辅助线B1D1示意图|图4]

**证明**: 如图8.6-5(2), 连接 $B_1D_1$.
$\because ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 是正方体,
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∴ $BB_1 \perp DD_1$.
∴ 四边形 $BB_1D_1D$ 是平行四边形.
∴ $B_1D_1 // BD$.
∴ 直线 $AO_1$ 与 $B_1D_1$ 所成的角即为直线 $AO_1$ 与 $BD$ 所成的角.
连接 $AB_1$, $AD_1$, 易证 $AB_1=AD_1$.
又 $O_1$ 为底面 $A_1B_1C_1D_1$ 的中心,
∴ $O_1$ 为 $B_1D_1$ 的中点,
∴ $AO_1 \perp B_1D_1$.
∴ $AO_1 \perp BD$.

从例1与例2的解答可以看到, 为了简便, 求异面直线 $a, b$ 所成的角时, 点 $O$ 常取在两条异面直线中的一条上, 例如取在直线 $b$ 上, 然后经过点 $O$ 作直线 $a'//a$, 那么 $a'$ 与 $b$ 所成的角就是异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角 (图 8.6-6).

[图片描述: 示意图，展示了如何求解两条异面直线 $a$ 和 $b$ 所成的角。图示中，点 $O$ 位于直线 $b$ 上，通过 $O$ 作了一条直线 $a'$ 平行于直线 $a$。直线 $a'$ 和 $b$ 位于同一个平面 $\alpha$ 中，它们之间的夹角即为异面直线 $a$ 和 $b$ 所成的角。|标题: 图8.6-6|图片编号: 1]

## 练习

1.  判断下列命题是否正确, 正确的在括号内画“√”, 错误的画“X”.
    (1) 如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直, 那么另一条也与已知直线垂直. ( )
    (2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ( )

2.  如图, 在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的各条棱所在直线中,
    (1) 与直线 $AB$ 垂直的直线有____条;
    (2) 与直线 $AB$ 异面且垂直的直线有____条;
    (3) 与直线 $AB$ 和 $A'D'$ 都垂直的直线有____条;
    (4) 与直线 $AB$ 和 $A'D'$ 都垂直且相交的直线是直线____.

[图片描述: 一个长方体的三维示意图，顶点标记为 $A, B, C, D$（底面）和 $A', B', C', D'$（顶面）。图中使用虚线表示被遮挡的棱。|标题: (第2题)|图片编号: 2]

3.  如图, 在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中, $AB=AD=2\sqrt{3}$, $AA'=2$, 求:
    (1) 直线 $BC$ 和 $A'C'$ 所成的角的大小;
    (2) 直线 $AA'$ 和 $BC'$ 所成的角的大小.

[图片描述: 一个长方体的三维示意图，顶点标记为 $A, B, C, D$（底面）和 $A', B', C', D'$（顶面）。图中使用虚线表示被遮挡的棱。|标题: (第3题)|图片编号: 3]

4.  如图, 在正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 中, $D$ 为棱 $AC$ 的中点, $AB=BB'=2$, 求证 $BD \perp AC'$.

[图片描述: 一个正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 的三维示意图。底面 $ABC$ 是一个三角形，顶面 $A'B'C'$ 也是一个三角形，且与底面平行。点 $D$ 是棱 $AC$ 的中点。图示中用粉色线段连接 $A'$ 和 $C$。|标题: (第4题)|图片编号: 4]
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## 8.6.2 直线与平面垂直

在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系（图8.6-7），教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象。

[图片描述:天安门广场中央的旗杆高耸入云，旗帜在蓝天下飘扬，周围是宽阔的广场和远处的建筑。这张照片展示了旗杆与地面垂直的实际场景。|标题:图 8.6-7|图片编号:1]

- **观察**
如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆$AB$及其在地面的影子$BC$。随着时间的变化，影子$BC$的位置在不断地变化，旗杆所在直线$AB$与其影子$BC$所在直线是否保持垂直？

[图片描述:一个垂直于平面的线段$AB$，其末端$B$在平面上。平面上有多条从$B$点向外延伸的线段，代表旗杆$AB$在不同时间下投影出的影子$BC$、$BC'$等。线段$AB$在图中被画成垂直于平面上的所有影子线。|标题:图 8.6-8|图片编号:2]

事实上，随着时间的变化，尽管影子$BC$的位置在不断地变化，但是旗杆$AB$所在直线始终与影子$BC$所在直线垂直。也就是说，旗杆$AB$所在直线与地面上任意一条过点$B$的直线垂直。对于地面上不过点$B$的任意一条直线$B'C'$，总能在地面上找到过点$B$的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆$AB$所在直线与直线$B'C'$也垂直。因此，旗杆$AB$所在直线与地面上任意一条直线都垂直。

一般地，如果直线$l$与平面$α$内的任意一条直线都垂直，我们就说**直线$l$与平面$α$互相垂直**，记作$l \perp α$。直线$l$叫做**平面$α$的垂线**，平面$α$叫做**直线$l$的垂面**。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点$P$叫做**垂足**。

画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9所示。

[图片描述:一个抽象的几何图形，显示直线$l$垂直于平面$α$。直线$l$穿过平面$α$上的点$P$，点$P$是直线$l$和平面$α$的唯一公共点，即垂足。平面$α$由一个平行四边形表示。|标题:图 8.6-9|图片编号:3]

- **思考**
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
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可以发现，**过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条**。
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的**垂线段**，垂线段的长度叫做这个点到该平面的**距离**。

> 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离。

下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件。
根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？

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### 探究

如图8.6-10，准备一块三角形的纸片 *$ABC$*，过$\triangle ABC$ 的顶点*A* 翻折纸片，得到折痕*$AD$*，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(*$BD, DC$* 与桌面接触)。
(1) 折痕 *$AD$* 与桌面垂直吗？
(2) 如何翻折才能使折痕 *$AD$* 与桌面垂直？为什么？

[图片描述:一个平面三角形ABC的示意图，其中D点位于边BC上，线段AD连接顶点A和D点，将三角形ABC分为两个小三角形ABD和ACD。此图展示的是纸片折叠前的状态。|标题:图8.6-10|图片1]

容易发现，*$AD$* 所在直线与桌面所在平面$\alpha$垂直(图8.6-11)的充要条件是折痕 *$AD$* 是*$BC$* 边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线 *$AD$* 与平面$\alpha$內的两条相交直线*$BD,DC$* 都垂直。

[图片描述:一个三维几何图，展示了被翻折的三角形ABC。线段AD从顶点A竖直向上延伸，并垂直于底面平面$\alpha$。D点位于底面上的线段BC上，且线段BD和DC都在平面$\alpha$上。此图形象地展示了直线AD与平面$\alpha$垂直的关系。|标题:图8.6-11|图片2]

事实上，由基本事实的推论2，平面$\alpha$可以看作由两条相交直线 *$BD,DC$* 所唯一确定的，所以当直线 *$AD$* 垂直于这两条相交直线时，就能保证直线 *$AD$* 与$\alpha$内所有直线都垂直。

一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理。

**定理** 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
它可以用符号表示为：
$m \subset \alpha, n \subset \alpha, m \cap n = P, l \perp m, l \perp n \Rightarrow l \perp \alpha.$

> 定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化。
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? **思考**

两条相交直线可以确定一个平面, 两条平行直线也可以确定一个平面, 那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗? 你能从向量的角度解释原因吗? 如果改为“无数条直线”呢?

**例3** 求证: 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.

已知: 如图 8.6-12, $a // b$, $a \perp \alpha$, 求证 $b \perp \alpha$.
**分析**: 要证明直线 $b \perp \alpha$, 根据直线与平面垂直的判定定理可知, 只需证明直线 $b$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线即可.

[图片描述:描绘了两个平行直线 $a$ 和 $b$ 垂直于同一个平面 $\alpha$ 的场景，直线 $a$ 和 $b$ 从平面上方穿过平面 $\alpha$。|标题:图 8.6-12|图1]

**证明**: 如图 8.6-13, 在平面 $\alpha$ 内取两条相交直线 $m, n$.
$\because$ 直线 $a \perp \alpha$,
$\therefore a \perp m, a \perp n$.
$\because b // a$,
$\therefore b \perp m, b \perp n$.
又 $m \subset \alpha$, $n \subset \alpha$, $m, n$ 是两条相交直线,
$\therefore b \perp \alpha$.

[图片描述:描绘了两个平行直线 $a$ 和 $b$ 垂直于同一个平面 $\alpha$，并且在平面 $\alpha$ 内有两条相交直线 $m$ 和 $n$。|标题:图 8.6-13|图2]

**?**
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗?

如图 8.6-14, 一条直线 $l$ 与一个平面 $\alpha$ 相交, 但不与这个平面垂直, 这条直线叫做这个平面的**斜线**, 斜线和平面的交点 $A$ 叫做**斜足**. 过斜线上斜足以外的一点 $P$ 向平面 $\alpha$ 引垂线 $PO$, 过垂足 $O$ 和斜足 $A$ 的直线 $AO$ 叫做**斜线在这个平面上的射影**, 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做**这条直线和这个平面所成的角**.

[图片描述:描绘了一条直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $A$（斜足）。点 $P$ 是直线 $l$ 上一点，过 $P$ 向平面 $\alpha$ 作垂线 $PO$，垂足为 $O$。直线 $AO$ 是斜线 $PA$ 在平面 $\alpha$ 上的射影。图中标记了角 $\theta$。|标题:图 8.6-14|图3]

**?**
如果 $AB$ 是平面 $\alpha$ 内的任意一条不与直线 $AO$ 重合的直线, 那么直线 $PA$ 与直线 $AB$ 所成的角和直线 $PA$ 与这个平面所成的角的大小关系是什么?
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一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 $90^\circ$；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是$0^\circ$。直线与平面所成的角 $\theta$ 的取值范围是 $0^\circ \le \theta \le 90^\circ$。

**例 4** 如图8.6-15，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，求直线 $A_1B$ 和平面 $A_1DCB_1$ 所成的角。

[图片描述: 一个三维正方体，其底部顶点按逆时针顺序标记为 $A, B, C, D$，顶部顶点对应标记为 $A_1, B_1, C_1, D_1$。图中用粗实线绘制了从 $A_1$ 到 $B$ 的线段。平面 $A_1DCB_1$ 被着色显示。线段 $BC_1$ 和 $B_1C$ 用虚线表示，它们在平面 $BCC_1B_1$ 内相交于点 $O$。从 $A_1$ 到 $O$ 的线段 $A_1O$ 也用虚线表示。|标题: 图8.6-15|图片编号: 1]

**分析**: 关键是找出直线 $A_1B$ 在平面 $A_1DCB_1$ 上的射影。

**解**: 连接 $BC_1$， $BC_1$ 与 $B_1C$ 相交于点 $O$，连接 $A_1O$。设正方体的棱长为 $a$。
$\because A_1B_1 \perp B_1C_1$, $A_1B_1 \perp B_1B$, $B_1C_1 \cap B_1B = B_1$,
$\therefore A_1B_1 \perp$ 平面 $BCC_1B_1$.
$\therefore A_1B_1 \perp BC_1$.
又 $BC_1 \perp B_1C$,
$\therefore BC_1 \perp$ 平面 $A_1DCB_1$.
$\therefore A_1O$ 为斜线 $A_1B$ 在平面 $A_1DCB_1$ 上的射影，$\angle BA_1O$ 为 $A_1B$ 和平面 $A_1DCB_1$ 所成的角。

在 $\text{Rt}\triangle A_1BO$ 中，$A_1B = \sqrt{2}a$, $BO = \frac{\sqrt{2}}{2}a$,
$\therefore BO = \frac{1}{2}A_1B$.
$\therefore \angle BA_1O = 30^\circ$.
$\therefore$ 直线 $A_1B$ 和平面 $A_1DCB_1$ 所成的角为 $30^\circ$。

## 练习

1.  如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗?
2.  如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是正方形，$SD \perp$ 平面 $ABCD$，求证：$AC \perp$ 平面 $SDB$。

[图片描述: 一个四棱锥 $S-ABCD$ 的立体图。底面 $ABCD$ 是一个正方形，点 $S$ 是锥体的顶点。线段 $SD$ 用虚线表示，表示它垂直于底面。线段 $AC$ 是底面的对角线，用实线表示。线段 $SB, SC, SA$ 也用实线或虚线表示。|标题: (第2题)|图片编号: 2]

3.  如图，在直四棱柱 $A'B'C'D'-ABCD$ 中，当底面四边形 $ABCD$ 满足什么条件时，$A'C \perp B'D'$?

[图片描述: 一个直四棱柱 $A'B'C'D'-ABCD$ 的立体图。底面 $ABCD$ 是一个四边形，顶部 $A'B'C'D'$ 是底面的平移。棱 $AA', BB', CC', DD'$ 垂直于底面。顶面上的两条对角线 $A'C$ (蓝色实线) 和 $B'D'$ (洋红色虚线) 被绘制出来。|标题: (第3题)|图片编号: 3]

4.  过 $\triangle ABC$ 所在平面外一点 $P$，作 $PO \perp \alpha$，垂足为 $O$，连接 $PA, PB, PC$。
    (1) 若 $PA=PB=PC$，则点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的_______心。
    (2) 若 $PA=PB=PC$，$\angle ACB = 90^\circ$，则点 $O$ 是 $AB$ 边的_______点。
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(3) 若 $PA \perp PB$, $PB \perp PC$, $PC \perp PA$, 垂足都为 $P$, 则点 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的 ______ 心。

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下面我们研究直线与平面垂直的性质，即探究在直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 垂直的条件下能推出哪些结论。

根据已有经验，我们可以探究直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 内的直线的关系，但由定义，$a$ 与 $\alpha$ 内的所有直线都垂直，所以，可以探究 $a$, $\alpha$ 与其他直线或平面的关系。

我们知道，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，在空间中是否有类似 性质呢？

**◎ 观察**

(1) 如图 8.6-16，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，棱 $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ 所在直线都垂直于平面 $ABCD$，它们之间具有什么位置关系？

[图片描述: 三维长方体示意图，底面顶点为 A, B, C, D，顶面顶点为 A', B', C', D'。虚线表示被遮挡的棱，实线表示可见的棱。|标题: 图 8.6-16|图片编号:1]
[图片描述: 三维示意图，显示一个平面 $\alpha$。两条直线 $a$ (粉色) 和 $b$ (青色) 垂直于平面 $\alpha$ 穿过。|标题: 图 8.6-17|图片编号:2]

(2) 如图 8.6-17，已知直线 $a, b$ 和平面 $\alpha$。如果 $a \perp \alpha$, $b \perp \alpha$，那么直线 $a, b$ 一定平行吗？

可以发现，这些直线相互平行。不失一般性，我们以 (2) 为例加以证明。如图 8.6-18，假设 $b$ 与 $a$ 不平行，且 $b \cap \alpha = O$。显然点 $O$ 不在直线 $a$ 上，所以点 $O$ 与直线 $a$ 可确定一个平面，在该平面内过点 $O$ 作直线 $b' \parallel a$，则直线 $b$ 与 $b'$ 是相交于点 $O$ 的两条不同直线，所以直线 $b$ 与 $b'$ 可确定平面 $\beta$，设 $\alpha \cap \beta = c$，则 $O \in c$。因为 $a \perp \alpha, b \perp \alpha$，所以 $a \perp c, b \perp c$。又因为 $b' \parallel a$，所以 $b' \perp c$。这样在平面 $\beta$ 内，经过直线 $c$ 上同一点 $O$ 就有两条直线 $b, b'$ 与 $c$ 垂直，显然不可能。因此 $b \parallel a$。

[图片描述: 三维示意图，用于反证法证明。平面 $\alpha$ 被直线 $a$ (粉色) 垂直穿过。另一个平面 $\beta$ 与平面 $\alpha$ 相交于直线 $c$，点 $O$ 位于直线 $c$ 上。在平面 $\beta$ 内，两条直线 $b$ (青色) 和 $b'$ (蓝色) 相交于点 $O$，并且 $b' \parallel a$。|标题: 图 8.6-18|图片编号:3]

> 由于无法把两条直线 $a, b$ 归入到一个平面内，所以在定理的证明中，无法应用平行直线的判定知识，也无法应用基本事实 4。在这种情况下我们采用了“反证法”。
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这样,我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理:
**定理** 垂直于同一个平面的两条直线平行.

直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行. 直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.
在$a \perp \alpha$的条件下,如果平面$\alpha$外的直线$b$与直线$a$垂直,你能得到什么结论? 如果平面$\beta$与平面$\alpha$平行,你又能得到什么结论?
你还能自己提出更多的问题,发现更多的结论吗?

**例 5** 如图8.6-19,直线$l$平行于平面$\alpha$,求证:直线$l$上各点到平面$\alpha$的距离相等.

**证明**: 过直线$l$上任意两点$A, B$分别作平面$\alpha$的垂线$AA_1, BB_1$,垂足分别为$A_1, B_1$.
$\therefore AA_1 \perp \alpha, BB_1 \perp \alpha,$
$\therefore AA_1 // BB_1.$
设直线$AA_1, BB_1$确定的平面为$\beta, \beta \cap \alpha = A_1B_1.$
$\therefore l // \alpha,$
$\therefore l // A_1B_1.$
$\therefore$ 四边形$AA_1B_1B$是矩形.
$\therefore AA_1=BB_1.$

[图片描述: 描绘了两个平行平面$\beta$和$\alpha$。平面$\beta$上方有一条直线$l$，上面有两点$A$和$B$。从$A$和$B$分别向平面$\alpha$作垂线$AA_1$和$BB_1$，垂足分别为$A_1$和$B_1$。虚线表示看不见的边。|标题: 图8.6-19|图片1]

由$A, B$是直线上任取的两点,可知直线上各点到平面$\alpha$的距离相等.

一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做**这条直线到这个平面的距离**. 由例5我们还可以进一步得出,如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做**这两个平行平面间的距离**.

> 在棱柱、棱台的体积公式中,它们的高就是它们的底面间的距离.

**例 6** 推导棱台的体积公式
$V_{棱台} = \frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S),$
其中$S', S$分别是棱台的上、下底面面积,$h$是高.

**解**: 如图8.6-20,延长棱台各侧棱交于点$P$,得到截得棱台的棱锥.过点$P$作棱台的下底面的垂线,分别与棱台的上、下底面交于点$O', O$,则$PO$垂直于棱台的上底面(想一想,为什么?),从而$O'O=h.$

[图片描述: 描绘了一个棱锥被一个平行于底面的平面截去顶部后形成的棱台。截去的顶部是较小的棱锥，与下方的棱台共同构成一个大棱锥。大棱锥的顶点标记为$P$。通过$P$作垂直于底面的线，与棱台的上、下底面分别交于$O'$和$O$。虚线表示辅助线。|标题: 图8.6-20|图片2]
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设截得棱台的棱锥的体积为$V$，去掉的棱锥的棱锥的体积为$V'$、高为$h'$，则$PO'=h'$。于是
$V'=\frac{1}{3}S'h'$, $V=\frac{1}{3}S(h'+h)$.
所以棱台的体积
$V_{\text{棱台}}=V-V'=\frac{1}{3}S(h'+h)-\frac{1}{3}S'h'=\frac{1}{3}[Sh+(S-S')h']^{\text{(1)}}$
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似$^{[1]}$，并且
$\frac{S'}{S}=\frac{h'^2}{(h'+h)^2},$
所以
$h'=\frac{\sqrt{S'}h}{\sqrt{S}-\sqrt{S'}}$
代入(1), 得
$V_{\text{棱台}}=\frac{1}{3}h[S+(S-S')\frac{\sqrt{S'}}{\sqrt{S}-\sqrt{S'}}]$
$=\frac{1}{3}h(S'+\sqrt{S'S}+S).$

> 请你自己证明这个结论。

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**练习**

1.  已知直线$a,b$和平面$\alpha$，且$a \perp b, a \parallel \alpha$，则$b$与$\alpha$的位置关系是__________。
2.  已知$A,B$两点在平面$\alpha$的同侧，且它们与$\alpha$的距离相等，求证：直线$AB//\alpha$。
3.  如图，$EA$和$DC$都垂直于平面$ABC$，且$EA=2DC$，$F$是$EB$的 中点，求证：$DF//平面ABC$。

[图片描述:三维几何图形，包含一个三角形底面ABC。点E位于A上方，点D位于C上方，EA和DC垂直于平面ABC。F是EB的中点，DF线段用粉色标出。|标题:(第3题)|图1]

4.  求证：垂直于同一条直线的两个平面互相平行。(提示：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行。)

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## 8.6.3 平面与平面垂直

像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义，那么，该如何定义呢？不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程。
在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直。所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础。
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况。类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻
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画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直。

如图 **图1**，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做**二面角** (dihedral angle)。这条直线叫做**二面角的棱**，这两个半平面叫做**二面角的面**。棱为 $AB$，面分别为 $\alpha$，$\beta$ 的二面角记作二面角 $\alpha-AB-\beta$。有时为了方便，也可在 $\alpha$，$\beta$ 内（棱以外的半平面部分）分别取点 $P$，$Q$，将这个二面角记作二面角 $P-AB-Q$。如果棱记作 $l$，那么这个二面角记作二面角 $\alpha-l-\beta$ 或二面角 $P-l-Q$。

[图片描述: 3D透视图，展示了两个相交的半平面$\alpha$和$\beta$构成一个二面角。两半平面的交线为棱$l$，上面标有$A, B$两点。半平面$\alpha$上有一点$P$，半平面$\beta$上有一点$Q$。|标题: 图8.6-21|图1]

> 平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为**半平面**。

### **思考**

如图 **图2**，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？

[图片描述: 一扇木质的门被部分打开，展示了门与门框之间的夹角。这可以类比为二面角在日常生活中的一个例子。|标题: 图8.6-22|图2]

如图 **图3**，在二面角 $\alpha-l-\beta$ 的棱 $l$ 上任取一点 $O$，以点 $O$ 为垂足，在半平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 内分别作垂直于棱 $l$ 的射线 $OA$ 和 $OB$，则射线 $OA$ 和 $OB$ 构成的 $\angle AOB$ 叫做**二面角的平面角**。

[图片描述: 3D透视图，展示了二面角$\alpha-l-\beta$的平面角。在棱$l$上取一点$O$，分别在半平面$\alpha$和$\beta$内从$O$点引出两条射线$OA$和$OB$，它们都垂直于棱$l$。射线$OA$和$OB$形成的角$\angle AOB$即为二面角的平面角。|标题: 图8.6-23|图3]

> $\angle AOB$ 的大小与点 $O$ 在 $l$ 上的位置有关吗？为什么？

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做**直二面角**，二面角的平面角 $\alpha$ 的取值范围是 $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$。
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**● 观察**
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角? 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。

教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上。

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面**互相垂直**。平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 垂直，记作 $\alpha \perp \beta$。
如图 8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直。

[图片描述: 左右并列两幅图，展示了两种画互相垂直的平面示意图。左图：平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交，平面 $\beta$ 在平面 $\alpha$ 上方，其一条边与平面 $\alpha$ 垂直，表示平面 $\beta$ 垂直于平面 $\alpha$。右图：平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 相交，平面 $\beta$ 直立于平面 $\alpha$ 之上，两者交线为共同的底边。|标题: 图 8.6-24|图1]

在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质。先研究平面与平面垂直的判定。

**● 观察**
如图8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直，如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面。 这种方法说明了什么道理？

[图片描述: 一名建筑工人使用铅锤检测砌筑的墙面是否垂直于地面。图中显示一只手拿着铅锤，铅锤的细线紧贴着一面砖墙，以检查墙面的垂直度。|标题: 图 8.6-25|图2]

这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直。类似的结论也可以在长方体中发现，如图8.6-26，在长方体 $ABCD-A'B'C'D'$中，平面 $ABB'A'$经过平面 $ABCD$ 的一条垂线$AA'$，此时，平面 $ABB'A'$垂直于平面$ABCD$。

[图片描述: 长方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的三维示意图。实线表示可见的边，虚线表示不可见的边或垂直线。图中标记了顶点 $A, B, C, D$ 和 $A', B', C', D'$。该图用于说明平面 $ABB'A'$ 经过平面 $ABCD$ 的垂线 $AA'$，并且平面 $ABB'A'$ 垂直于平面 $ABCD$。|标题: 图 8.6-26|图3]

一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理:
**定理** 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
它可以用符号表示为:
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$a \subset \alpha, a \perp \beta \Rightarrow \alpha \perp \beta.$
这个定理说明,可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.

**例7** 如图8.6-27所示,在正方体$ABCD-A'B'C'D'$中,
求证:平面 $A'BD \perp$ 平面 $ACC'A'$.

**分析:** 要证平面$A'BD \perp$平面$ACC'A'$,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明平面 $A'BD$ 经过平面 $ACC'A'$的一条垂线即可. 这需要利用 $AC, BD$ 是正方形$ABCD$ 的对角线.

[图片描述:一个正方体$ABCD-A'B'C'D'$。点A,B,C,D是底面顶点，点A',B',C',D'是顶面顶点。其中，三角形A'BD被涂成蓝色，表示平面A'BD。线段A'C'和AC连接了顶面和底面的对角线。这个图形用于演示如何证明平面A'BD与平面ACC'A'垂直。|标题:图8.6-27 正方体及其平面示意图|图片1]

**证明:**
$\because ABCD-A'B'C'D'$是正方体,
$\therefore AA' \perp$ 平面$ABCD$,
$\therefore AA' \perp BD$.
又$BD \perp AC, AA' \cap AC=A$,
$\therefore BD \perp$ 平面$ACC'A'$.
又 $BD \subset$ 平面 $A'BD$,
$\therefore$ 平面 $A'BD \perp$ 平面 $ACC'A'$.

**例8** 如图8.6-28, $AB$ 是$\odot O$ 的直径, $PA$ 垂直于$\odot O$ 所在的平面, $C$是圆周上不同于$A,B$ 的任意一点.求证:平面$PAC \perp$平面 $PBC$.

**分析:** 要证明两个平面垂直,根据两个平面垂直的判定定理,只需证明其中一个平面内的一条直线垂直于另一个平面. 而由直线和平面垂直的判定定理,还需证明这条直线和另一个平面内的两条相交直线垂直. 在本题中,由题意可知$BC \perp AC$, $BC \perp PA$, $AC \cap PA = A$,从而$BC \perp$平面$PAC$,进而平面 $PAC \perp$平面 $PBC$.

[图片描述:一个三维几何图形，一个圆（表示为$\odot O$）位于一个水平平面上，直径为AB，圆心为O。点P位于圆上方，线段PA垂直于圆所在的平面。点C是圆周上A、B之外的任意一点。图形中显示了以P, A, C为顶点的三角形PAC和以P, B, C为顶点的三角形PBC，其中PBC被部分阴影覆盖。这个图形用于演示如何证明平面PAC与平面PBC垂直。|标题:图8.6-28 圆柱体切割面示意图|图片2]

**证明:**
$\because PA \perp$ 平面$ABC$,
$BC \subset$ 平面 $ABC$,
$\therefore PA \perp BC$.
$\because$ 点$C$是圆周上不同于$A,B$的任意一点, $AB$ 是$\odot O$ 的直径,
$\therefore \angle BCA=90^\circ$,即$BC \perp AC$.
又$PA \cap AC=A, PA \subset$ 平面 $PAC, AC \subset$ 平面 $PAC$,
$\therefore BC \perp$ 平面 $PAC$.
又$BC \subset$ 平面 $PBC$,
$\therefore$ 平面 $PAC \perp$ 平面 $PBC$.
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## 练习

1.  如图，检查工件的相邻两个（平）面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边和这个面是否密合就可以了。这是为什么？
    [图片描述: 一块木材的直角边缘处放置了一个曲尺（直角尺），曲尺的一边紧贴木材的一个侧面，另一边紧贴木材的相邻侧面，用于检查这两个面是否垂直。|标题: 第 1 题|图片编号: 图1]

2.  已知直线 $a$，$b$ 与平面 $\alpha$，$β$，$γ$，能使 $\alpha \perp \beta$ 的充分条件是（ ）。
    (A) $\alpha \perp \gamma$，$\beta \perp \gamma$
    (B) $\alpha \cap \beta = a$， $b \perp a$，$b \subset \beta$
    (C) $a // \beta$， $a // \alpha$
    (D) $a // \alpha$， $a \perp \beta$

3.  如图，$AB \perp$ 平面 $BCD$， $BC \perp CD$，你能发现哪些平面互相垂直？为什么？
    [图片描述: 一个三棱锥 ABCD 的三维示意图。底面三角形 BCD 被染成蓝色，顶点 A 位于底面 BCD 的上方。线段 AB 垂直于平面 BCD，线段 BC 垂直于线段 CD。|标题: 第 3 题|图片编号: 图2]

4.  如图，在正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 中，$D$ 为棱 $AC$ 的中点．求证：平面 $BDC' \perp$ 平面 $ACC'A'$．
    [图片描述: 一个正三棱柱 ABC-A'B'C' 的三维示意图。点 D 是棱 AC 的中点。平面 BDC' 被染成蓝色，由点 B、D 和 C' 构成。棱柱的侧面是矩形。|标题: 第 4 题|图片编号: 图3]

下面我们研究平面与平面垂直的性质，也就是在两个平面互相垂直的条件下，能推出哪些结论．

如果两个平面互相垂直，根据已有的研究经验，我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系．

### 探究

如图 8. 6-29，设 $\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta = a$．则 $\beta$ 内任意一条直线 $b$ 与 $a$ 有什么位置关系？相应地，$b$ 与 $\alpha$ 有什么位置关系？为什么？
[图片描述: 两个互相垂直的平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 的三维示意图。平面 $\alpha$ 是水平的，平面 $\beta$ 是垂直的。它们的交线是直线 $a$。在平面 $\beta$ 中有一条直线 $b$ 垂直于交线 $a$。|标题: 图 8. 6-29|图片编号: 图4]

显然，$b$ 与 $a$ 平行或相交．当 $b // a$ 时，$b // \alpha$；当 $b$ 与 $a$ 相交时，$b$ 与 $\alpha$ 也相交．特别地，当 $b \perp a$ 时，如图 8. 6-30，设 $b$ 与 $a$ 的交点为 $A$，过点 $A$ 在 $\alpha$ 内作直线 $c \perp a$，则直线 $b$，$c$ 所成的角就是二面角 $\alpha - a - \beta$ 的平面角．由 $\alpha \perp \beta$ 知，$b \perp c$．又因为 $b \perp a$， $a$ 和 $c$ 是 $\alpha$ 内两条相交直线，所以 $b \perp \alpha$．
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[图片描述:一张立体几何图，展示了两个互相垂直的平面 $\alpha$ 和 $\beta$。平面 $\alpha$ 呈倾斜放置，平面 $\beta$ 呈水平放置。它们相交于一条直线 $c$。平面 $\alpha$ 内有一条直线 $a$ 从交线 $c$ 上的一点 $A$ 引出，垂直于 $c$。图中还标注了点 $B$。整体构图用于说明平面与平面垂直的性质定理。|标题:图 8.6-30|图片1]

由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：

**定理** **两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。**

这个定理说明，由平面与平面垂直可以得到直线与平面垂直。
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题，例如，装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可。

> **探究**
> 设平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内，过点 $P$ 作平面 $\beta$ 的垂线 $a$，直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 具有什么位置关系？

我们知道，过一点只能作一条直线与已知平面垂直，因此，如果过一点有两条直线与平面垂直，那么这两条直线重合。
如图 8.6-31，设 $\alpha \cap \beta = c$，过点 $P$ 在平面 $\alpha$ 内作直线 $b \perp c$，根据平面与平面垂直的性质定理，$b \perp \beta$。因为过一点有且只有一条直线与平面 $\beta$ 垂直，所以直线 $a$ 与直线 $b$ 重合，因此 $a \subset \alpha$。

[图片描述:两张并列的立体几何图，展示了两个互相垂直的平面 $\alpha$ 和 $\beta$。
左图：平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 垂直相交于直线 $c$。点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上。从 $P$ 引出一条直线 $a$ 垂直于平面 $\beta$。同时，在平面 $\alpha$ 内，从 $P$ 引出另一条直线 $b$ 垂直于交线 $c$。直线 $a$ 和 $b$ 都是从点 $P$ 出发。
右图：与左图类似，平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 垂直相交于直线 $c$。点 $P$ 位于平面 $\beta$ 上，但通过平面 $\alpha$ 中的直线 $b$ 与 $c$ 垂直。直线 $a$ 同样垂直于平面 $\beta$ 且通过 $P$。图中直线 $a$ 和 $b$ 重合，表明它们是同一条直线，并且 $a$ 位于平面 $\alpha$ 内。这两张图共同说明了在给定条件下，垂直于另一平面的直线会包含在其中一个平面内。|标题:图 8.6-31|图片2]

对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系，如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？
下面的例子就是其中的一些结果。

**例9** 如图 8.6-32，已知平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$，直线 $a \perp \beta$， $a \not\subset \alpha$，判断 $a$ 与 $\alpha$ 的位置关系。
**解:** 在 $\alpha$ 内作垂直于 $\alpha$ 与 $\beta$ 交线的直线 $b$。
$\because \alpha \perp \beta$，
$\therefore b \perp \beta$。

[图片描述:一张立体几何图，展示了两个互相垂直的平面 $\alpha$ 和 $\beta$。平面 $\alpha$ 呈倾斜放置，平面 $\beta$ 呈水平放置，它们相交于一条直线。平面 $\alpha$ 内有一条直线 $b$ 垂直于它们的交线。另外有一条直线 $a$ 垂直于平面 $\beta$，但直线 $a$ 不在平面 $\alpha$ 内。图中直线 $a$ 和 $b$ 互相平行。|标题:图 8.6-32|图片3]
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又 $a \perp \beta$,
$\therefore a // b$.
又 $a \not\subset \alpha$,
$\therefore a // \alpha$.
即直线 $a$ 与平面 $\alpha$ 平行.

**例10** 如图8.6-33, 已知 $PA \perp$ 平面 $ABC$, 平面 $PAB \perp$ 平面 $PBC$, 求证: $BC \perp$ 平面 $PAB$.

**分析:** 要证明 $BC \perp$ 平面 $PAB$, 需证明 $BC$ 垂直于平面 $PAB$ 内的两条相交直线. 由已知条件易得 $BC \perp PA$. 再利用平面 $PAB \perp$ 平面 $PBC$, 过点 $A$ 作 $PB$ 的垂线 $AE$, 由两个平面垂直的性质可得 $BC \perp AE$.

[图片描述:一个三棱锥P-ABC的示意图，底面是三角形ABC，PA垂直于底面。三角形PAB被涂色，表示一个平面。|标题:图8.6-33|图片1]
[图片描述:一个三棱锥P-ABC的示意图，其中PA垂直于底面。从点A向PB作了一条垂线AE，垂足为E，E点位于PB上。三角形PAB被涂色，表示一个平面。|标题:图8.6-34|图片2]

**证明:** 如图8.6-34, 过点 $A$ 作 $AE \perp PB$, 垂足为 $E$.
$\because$ 平面 $PAB \perp$ 平面 $PBC$, 平面 $PAB \cap$ 平面 $PBC = PB$,
$\therefore AE \perp$ 平面 $PBC$.
$\because BC \subset$ 平面 $PBC$,
$\therefore AE \perp BC$.
$\because PA \perp$ 平面 $ABC$, $BC \subset$ 平面 $ABC$,
$\therefore PA \perp BC$.
又 $PA \cap AE = A$,
$\therefore BC \perp$ 平面 $PAB$.

从本节的讨论可以看到, 由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直; 由直线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直; 由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直; 而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直. 这进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化.

```mermaid
graph LR
    A["直线与直线垂直"] -- "判定" --> B["直线与平面垂直"]
    B --> A
    B -- "判定" --> C["平面与平面垂直"]
    C -- "性质" --> B
```
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# 练习

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
   (1) 如果平面$\alpha \perp$ 平面$\beta$，那么平面$\alpha$ 内所有直线都垂直于平面$\beta$． ( )
   (2) 如果平面$\alpha \perp$ 平面$\beta$，那么平面$\alpha$ 内一定存在直线平行于平面$\beta$． ( )
   (3) 如果平面$\alpha$ 不垂直于平面$\beta$，那么平面$\alpha$ 内一定不存在直线垂直于平面$\beta$． ( )
2. 若平面$\alpha \perp$ 平面$\beta$，且 $\alpha \cap \beta = l$，则下列命题中正确的个数是 ( )．
   (1) 平面$\alpha$ 内的直线必垂直于平面$\beta$ 内的任意一条直线．
   (2) 平面$\alpha$ 内的已知直线必垂直于平面$\beta$ 内的无数条直线．
   (3) 平面$\alpha$ 内的任一条直线必垂直于平面$\beta$．
   (4) 过平面$\alpha$ 内任意一点作交线$l$ 的垂线，则此垂线必垂直于平面$\beta$．
   (A) 3
   (B) 2
   (C) 1
   (D) 0
3. 已知$\alpha$, $\beta$ 是两个不同的平面，$m$ 为平面$\alpha$ 内的一条直线，则“$\alpha \perp \beta$”是“$m \perp \beta$”的 ( )．
   (A) 充分不必要条件
   (B) 必要不充分条件
   (C) 充要条件
   (D) 既不充分也不必要条件
4. 已知平面$\alpha$, $\beta$，直线$a$，且$\alpha \perp \beta$，$\alpha \cap \beta = AB$，$a // \alpha$， $a \perp AB$，判断直线$a$ 与平面$\beta$ 的位置关系，并说明理由．

## 习题 8.6

## 复习巩固
1. 选择题
   (1) 若空间中四条不同的直线$l_1, l_2, l_3, l_4$ 满足 $l_1 \perp l_2, l_2 \perp l_3, l_3 \perp l_4$，则下面结论正确的是 ( )．
   (A) $l_1 \perp l_4$
   (B) $l_1 // l_4$
   (C) $l_1, l_4$ 既不垂直也不平行
   (D) $l_1, l_4$ 的位置关系不确定
   (2) 设$l, m, n$ 均为直线，其中$m, n$ 在平面$\alpha$ 内，则“$l \perp \alpha$”是“$l \perp m$ 且$l \perp n$”的 ( )．
   (A) 充分不必要条件
   (B) 必要不充分条件
   (C) 充要条件
   (D) 既不充分也不必要条件
   (3) 直线$l_1, l_2$ 互相平行的一个充分条件是 ( )．
   (A) $l_1, l_2$ 都平行于同一个平面
   (B) $l_1, l_2$ 与同一个平面所成的角相等
   (C) $l_1, l_2$ 都垂直于同一个平面
   (D) $l_1$ 平行于$l_2$ 所在的平面
2. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．
   (1) 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直． ( )
   (2) 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行． ( )
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(3) 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直。 ( )
(4) 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行。 ( )
(5) 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 ( )

3. 判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明。
   (1) 一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；
   (2) 如果平面 $\alpha // \text{平面 } \alpha_1$，平面 $\beta // \text{平面 } \beta_1$，那么平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的二面角和平面 $\alpha_1$ 与平面 $\beta_1$ 所成的二面角相等或互补；
   (3) 如果平面 $\alpha \perp \text{平面 } \beta$，平面 $\beta \perp \text{平面 } \gamma$，那么平面 $\alpha \perp \text{平面 } \gamma$。

4. 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$CA=CB$，P为 $A_1B$ 的中点，Q为棱 $C_1C$ 的中点，求证：
   (1) $PQ \perp AB$；
   (2) $PQ \perp C_1C$；
   (3) $PQ \perp A_1B$。

[图片描述: 这是一个直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的三维示意图。底面是三角形 $ABC$，顶面是 $A_1B_1C_1$。图中用实线和虚线表示棱，虚线代表被遮挡的棱。点P是棱 $A_1B$ 上的中点，点Q是棱 $C_1C$ 上的中点。线段 $A_1B$ 用粉色表示，线段 $PQ$ 用蓝色虚线表示。图中标注了部分顶点 A, B, C, $A_1$, $B_1$, $C_1$。图下方标有“第4题”。|标题:直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 及点 P, Q|图片编号:图1]

5. 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$CD \perp AB$，垂足为D，$PO \perp$ 底面 $ABC$，垂足为O，且O在CD上，求证 $AB \perp PC$。

[图片描述: 这是一个三棱锥 $P-ABC$ 的三维示意图。底面是三角形 $ABC$，顶点是 P。线段 $CD$ 是从点 C 到边 $AB$ 的垂线，垂足为 D。线段 $PO$ 是从顶点 P 到底面 $ABC$ 的垂线，垂足为 O，且 O 位于 $CD$ 上。图中用虚线表示棱或辅助线。线段 $BD$ 用粉色表示，线段 $AC$ 用蓝色表示。图下方标有“第5题”。|标题:三棱锥 $P-ABC$ 及辅助线|图片编号:图2]

6. 如图，在正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，平面 $ABC'D'$ 与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？

[图片描述: 这是一个正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的三维示意图。图中用实线和虚线表示棱。一个截面平面 $ABC'D'$ 用蓝色阴影表示，它的可见边用实线显示。图中标注了部分顶点 A, B, C, $A'$, $B'$, $C'$, $D'$。图下方标有“第6题”。|标题:正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 及平面 $ABC'D'$|图片编号:图3]

7. 如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，已知 $\angle VAB = \angle VAC = \angle ABC = 90^\circ$，判断平面 $VAB$ 与平面 $VBC$ 的位置关系，并说明理由。

[图片描述: 这是一个三棱锥 $V-ABC$ 的三维示意图。顶点为 V，底面为三角形 $ABC$。图中用实线和虚线表示棱。平面 $VAB$ 用淡黄色阴影表示，平面 $VBC$ 用蓝色阴影表示。图中标注了顶点 A, B, C, V。图下方标有“第7题”。|标题:三棱锥 $V-ABC$|图片编号:图4]

8. 求证：如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两垂直。

9. 已知平面 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $\alpha \perp \gamma$, $\beta // \alpha$, 求证 $\beta \perp \gamma$。

10. 已知平面 $\alpha, \beta, \gamma$，且 $\alpha \perp \gamma$, $\beta \perp \gamma$, $\alpha \cap \beta = l$, 求证 $l \perp \gamma$。

## 综合运用

11. 如下页图，在正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 P, Q 分别为棱 $AD, CC_1$ 的中点，求证 $A_1P \perp BQ$。
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人民教育出版社

[图片描述: 此图片包含两个独立的几何图形。左侧的图形（对应第11题）是一个三维的矩形棱柱（或立方体），其顶面标签为 $A_1B_1C_1D_1$，底面标签为 $ABCD$，其中 $A_1$ 在 $A$ 的正上方，$B_1$ 在 $B$ 的正上方，以此类推。在棱 $AD$ 上标记了一个点 $P$，在棱 $CC_1$ 上标记了一个点 $Q$。连接 $A$ 和 $P$ 的线段是虚线洋红色，连接 $B$ 和 $Q$ 的线段是实线青色。右侧的图形（对应第12题）是一个二维平面图。它显示了两条相交直线 $m$ 和 $n$，交点为 $O$。两条平行的垂直线 $l_1$ (洋红色) 和 $l_2$ (洋红色) 被一条横截线 $l$ (黑色) 截断。角1 形成于 $l$ 和 $l_1$ 之间，角2 形成于 $l$ 和 $l_2$ 之间。|标题:第11题和第12题附图|图片编号:1]

12. 如图，$m, n$ 是两条相交直线，$l_1, l_2$ 是与 $m, n$ 都垂直的两条直线，且直线 $l$ 与 $l_1, l_2$ 都相交，求证 $\angle 1 = \angle 2$。
13. 求证: 两条平行直线与同一个平面所成的角相等。
14. 如图，在棱锥 $V-ABC$ 中，$VO \perp \text{平面 } ABC$，$O \in CD$，$VA=VB$，$AD=BD$，你能判定 $CD \perp AB$，以及 $AC=BC$ 吗?
[图片描述: 一个三维的三角锥 $V-ABC$ 图。$V$ 是顶点，$ABC$ 是三角形底面。从顶点 $V$ 向底面画了一条线段 $VO$，点 $O$ 位于底面三角形内的线段 $CD$ 上，其中 $D$ 是底边 $AB$ 上的一个点。线段 $VO, OD, AD, BD$ 都显示为虚线，表示它们可能是内部或被遮挡的线。棱 $VA, VB, VC$ 是可见的实线。|标题:(第14题)|图片编号:2]

15. 如图，在正方形 $SG_1G_2G_3$ 中，$E, F$ 分别是 $G_1G_2, G_2G_3$ 的中点，$D$ 是 $EF$ 的中点。若沿 $SE, SF$ 及 $EF$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_1, G_2, G_3$ 三点重合，重合后的点记为 $G$，则在四面体 $S-EFG$ 中，哪些棱与面互相垂直?
[图片描述: 一个二维的正方形 $SG_1G_2G_3$ 图。点 $E$ 是边 $G_1G_2$ 的中点，点 $F$ 是边 $G_2G_3$ 的中点。点 $D$ 是线段 $EF$ 的中点。图中绘制了线段 $SE$ (青色)、$SF$ (洋红色)、$SD$ 和 $EF$。|标题:(第15题)|图片编号:3]

16. 求证: 垂直于两个平行平面中的一个平面的直线也垂直于另一个平面。
17. 求证: 三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。
18. 如图，在三棱锥 $V-ABC$ 中，$VA=VB=AB=AC=BC=2$，$VC=1$，作出二面角 $V-AB-C$ 的平面角，并求出它的余弦值。
[图片描述: 一个三维的三角锥 $V-ABC$ 图。$V$ 是顶点，$ABC$ 是三角形底面。图中显示了所有的棱 $VA, VB, VC, AB, BC, AC$。其中棱 $AC$ 是虚线青色，而其他棱是实线黑色。|标题:(第18题)|图片编号:4]

## 拓广探索
19. 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$\angle ABC=90^\circ$，$AA_1=AB$，求证 $A_1C \perp AB_1$。
[图片描述: 一个三维的直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 图。底面是三角形 $ABC$，顶面是 $A_1B_1C_1$，其中 $A_1$ 在 $A$ 的正上方，$B_1$ 在 $B$ 的正上方，$C_1$ 在 $C$ 的正上方。图中突出显示了两条对角线：$A_1C$ (实线洋红色) 和 $AB_1$ (虚线青色)。|标题:(第19题)|图片编号:5]

20. 如图，
[图片描述: 一个三维的圆锥体图，顶点为 $V$，底面为圆形。底面上标记有 $A, B, C$ 三点在圆周上，圆心为 $O$。底面被涂成浅蓝色，其圆周用虚线蓝色表示。圆锥内部绘制了一条线段 $ED$ (实线洋红色)，其中点 $E$ 位于母线 $VA$ 上，点 $D$ 位于母线 $VC$ 上。|标题:(第20题)|图片编号:6]
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20. 如上页图, $AB$ 是 $\text{☉}O$ 的直径, 点 $C$ 是 $\text{☉}O$ 上的动点, 过动点 $C$ 的直线 $VC$ 垂直于 $\text{☉}O$ 所在平面, $D, E$ 分别是 $VA, VC$ 的中点. 判断直线 $DE$ 与平面 $VBC$ 的位置关系, 并说明理由.
21. 如图, 在四棱锥 $P-ABCD$ 中, 底面 $ABCD$ 为正方形, $PA \perp$ 底面 $ABCD$, $PA=AB$, $E$ 为线段 $PB$ 的中点, $F$ 为线段 $BC$ 上的动点, 平面 $AEF$ 与平面 $PBC$ 是否互相垂直? 如果垂直, 请证明; 如果不垂直, 请说明理由.

[图片描述:一个四棱锥P-ABCD的立体几何示意图。底面ABCD是一个正方形。PA垂直于底面ABCD。点E是棱PB的中点，点F是棱BC上的一点。图中用实线和虚线标示了棱和辅助线，包括AE、EF、AF以及PF等。|标题:第21题图|图片编号:1]

## 阅读与思考

### 欧几里得《原本》与公理化方法

古希腊最为重要的数学著作《原本》是由古希腊数学家欧几里得编著, 大约是在公元前300年左右完成的. 欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果收集、整理起来, 并且加以系统化. 他从少数已被经验反复验证的公理出发, 运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论, 写成了十三卷数学巨著《原本》, 使几何学成为一门独立的、演绎的科学.

[图片描述:一张欧几里得的肖像画。画中他蓄着胡须，头戴帽子，身穿长袍，坐在桌前，双手放在一本打开的书上，呈沉思状或写作状。画风古朴。|标题:欧几里得 (Euclid, 约公元前330—约前275)|图片编号:2]

欧几里得《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系. 过去所积累下来的数学知识是零碎的、片断的, 欧几里得借助逻辑方法, 把这些知识组织起来, 加以分类、比较, 揭示彼此间的内在联系, 把它们组织在一个严密的系统之中. 《原本》体现的理性精神对数学的发展产生了深远影响, 它跨越地域、民族、语言、时间的障碍传播到了整个世界, 其中公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受. 按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织数学理论已成为人们的共识. 《原本》为数学发展树起一面旗帜, 并成为理性思维的象征.

什么是公理化方法呢?
公理化方法就是从尽可能少的原始概念(基本概念)和尽可能少的一组不加证明的原始命题(公理、公设)出发, 通过严格的逻辑推理, 推导出其余的命题, 使某一数学分支成为演绎系统的一种方法.

基本概念是不加定义的, 它们必须是真正基本的, 无法用更原始、更基本的概念定义. 如中学数学中的点、直线、平面、集合等概念都是基本概念.
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公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定，如“两点确定一条直线”“过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面”等都是作为公理的命题。

公理化方法主要有以下三个作用：

1.  **概括整理数学知识。** 《原本》就是欧几里得用公理化的方法把零散的几何知识归为一体，树立了以公理化方法研究数学的典范。
2.  **促进新理论的创立。** 由于公理化方法把数学分支的基础分析得十分清楚，结构严谨有序，这就有利于比较数学各分支实质上的异同，从而推动和促进数学新理论的产生，促进数学基础的研究与探索。例如，非欧几何就是在研究和应用公理化的过程中产生的。
3.  **对其他学科有示范作用。** 由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性，以及结构的和谐性，为其他科学理论的表述起了示范作用，其他科学纷纷效法，建立了自己的公理化系统。例如，牛顿仿效欧氏几何，把哥白尼到开普勒时期所积累的力学知识用公理化方法组成一个逻辑体系，使人们能够从万有引力定律(公理)和牛顿三定律(公理)出发，依逻辑方法把力学定律逐条推出。杰弗逊的《独立宣言》、马克思的《资本论》、马尔萨斯的《人口论》也都借鉴了公理化的思想方法。

《原本》是一部影响人类文明进程的不朽之作。两千多年来，它一直是几何学的标准教材，哥白尼、伽利略、笛卡儿、牛顿等伟大的科学家都对它做过深入钻研，深刻体会了其中的公理化方法，并借鉴到自己的科学工作中，从而对人类文明作出了伟大贡献。

## 文献阅读与数学写作\*

### 几何学的发展

**目的**：了解欧氏几何的发展以及对数学和人类文明的贡献。

**要求**：题目自拟，主题突出，论述清楚。

**过程**：阅读书籍、请教老师、专家或者上网收集欧氏几何发展的历史资料，如发展过程、重要结果、主要人物、关键事件以及对数学和人类文明的贡献等。

**交流**：将论文发至班级在线交流群，或者制作板报等，供大家学习、交流，进一步了解欧氏几何对数学以及人类文明的贡献。
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# 小结

## 一、本章知识结构

```mermaid
graph TD
    A[现实世界中的物体] --> B[空间几何体]

    B --> C[柱、锥、台、球的结构特征]
    B --> D[立体图形的直观图]
    B --> E[柱、锥、台、球的表面积和体积]

    B --> F[空间点、直线、平面的位置关系]

    F --> G[平面的基本性质]
    F --> H[空间中直线与直线的位置关系]
    F --> I[空间中直线与平面的位置关系]
    F --> J[空间中平面与平面的位置关系]

    H --- K[空间中直线、平面的平行]
    I --- K
    J --- K

    H --- L[空间中直线、平面的垂直]
    I --- L
    J --- L

    subgraph 空间平行、垂直关系之间的转化
        direction LR
        N[直线与直线平行]
        O[直线与平面平行]
        P[平面与平面平行]

        Q[直线与直线垂直]
        R[直线与平面垂直]
        S[平面与平面垂直]

        N -- 判定 --> O
        O -- 判定 --> P

        O -- 性质 --> N
        P -- 性质 --> O

        Q -- 判定 --> R
        R -- 判定 --> S

        R -- 性质 --> Q
        S -- 性质 --> R
    end

    K --> N
    L --> Q
```

## 二、回顾与思考

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支。在本章，我们从对空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，认识了这些图形的几何结构特征，学习了它们在平面上的直观图表示以及它们的表面积和体积的计算。然后以组成立体图形的基本元素——点、直线、平面为对象，在研究平面基本性质的基础上，认识了空间点、直线、平面的位置关系，重点研究了直线、平面的平行和垂直这两种特殊的位置关系。

直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是我们认识和探索空间图形、研究它们性质的重要手段。通过对实物模型的直观感知和操作，我们认识了空间几何体的结构特征，进一步掌握了在平面上表示空间图形的方法，了解了它

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们的表面积和体积的计算。通过对图形的直观想象，我们认识了刻画平面性质的三个基本事实。在给出直线、平面平行（垂直）的定义（即给出了这种位置关系的一个充要条件）后，通过探究直线、平面平行（垂直）的充分条件，我们得到了相应位置关系的判定定理；通过探究直线、平面平行（垂直）的必要条件，我们得到了相应位置关系的性质定理，并进行了证明。在这一过程中，我们可以充分感受到，通过直观想象、类比、归纳等发现数学命题，再通过逻辑推理证明命题，进而获得数学定理，这是研究数学对象的“基本之道”。其中，我们应特别注意学习，在明确研究对象或问题的基础上，如何通过归纳、类比等发现数学规律、提出数学猜想的方法，这对提升我们的创新思维水平是非常重要的。

空间图形问题经常转化为平面图形问题，这是解决空间图形问题的重要思想方法。简单地说，就是要把相关的点、直线（段）转化到同一个平面上，而转化的基本依据就是四个基本事实。例如，探究直线与平面平行的性质，就是在直线$a$平行于平面$\alpha$的条件下，探究直线$a$、平面$\alpha$与空间中其他直线、平面的位置关系，利用基本事实可以发现，过$a$的平面$\beta$与$\alpha$的交线与$a$平行，而且这些交线相互平行。

在研究直线、平面的位置关系时，由简单到复杂、由易到难是研究的一般思路，我们利用直线与直线的位置关系，研究直线与平面的位置关系，利用直线与平面的位置关系研究平面与平面的位置关系，反过来，由平面与平面的位置关系可进一步掌握直线与平面的位置关系，由直线与平面、平面与平面的位置关系又可进一步确定直线与直线的位置关系，这种方法，是我们研究与解决空间直线、平面位置关系的重要方法。

请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧！

1.  我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明。
2.  对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？请举例说明。
3.  利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图，你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗？
4.  如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台的体积公式之间的联系吗？
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5. 刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形、进行逻辑推理的基础，实际上，三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法吗？
6. 在直线、平面的位置关系中，“平行”和“垂直”是最重要的。
   (1) 在研究这些位置关系S的判定时，我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法。
   (2) 研究这些位置关系的性质，实际上就是要研究什么问题？以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法。

## 复习参考题 8

### 复习巩固

1. 从多面体角度去考察棱柱、棱锥、棱台，填写下列表格:

| 多面体 | 顶点数 $V$ | 棱数 $E$ | 面数 $F$ | $V+F-E$ |
| :----- | :--------- | :------- | :------- | :-------- |
| $n$ 棱柱 |            |          |          |           |
| $n$ 棱锥 |            |          |          |           |
| $n$ 棱台 |            |          |          |           |

2. 在直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB // CD$，$\angle DAB=90^\circ$，$AB=2$，$CD=1$， $AD=3$，$AA_1=4$。
   (1) 画出四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的直观图；
   (2) 将四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 补成一个长方体，并说出补上的几何体的名称。

3. 填空题
   (1) 正方体的棱长扩大到原来的 $n$ 倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍；
   (2) 球的半径扩大到原来的 $n$ 倍，则其表面积扩大到原来的______倍，体积扩大到原来的______倍。

4. 如图，一块边长为 $10 \text{ cm}$ 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积 $V(\text{单位: cm}^3)$ 表示为 $x(\text{单位: cm})$ 的函数。
[图片描述: 一块边长为10cm的正方形铁片，其中心点向四边中点连线，形成四个大的等腰三角形。图中阴影部分为四个小等腰三角形，它们是由正方形的四个角向中心连接形成的，被裁掉。中心点到正方形下边的距离标记为5，下边中点到右下角的距离标记为x。|标题: (第4题)|图片编号: 图1]

5. 三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明。
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6. 已知$\alpha$, $\beta$, $\gamma$是三个平面, 且$\alpha \cap \beta = a$, $\alpha \cap \gamma = b$, $\beta \cap \gamma = c$.
(1) 若$a \cap b = O$, 求证: $a$, $b$, $c$三线共点.
(2) 若$a // b$, 则$a$与$c$, $b$与$c$有什么关系? 为什么?
7. 如图, 四边形 $A'B'C'D'$是$\square ABCD$ 在平面 $\alpha$ 上的投影($AA' // BB' // CC' // DD'$), 求证: 四边形 $A'B'C'D'$是平行四边形.

[图片描述:一个立体图形，表示一个四边形$ABCD$及其在平面$\alpha$上的投影$A'B'C'D'$。四边形$ABCD$的顶点分别为$A, B, C, D$，其投影在平面$\alpha$上的对应顶点分别为$A', B', C', D'$。连接$AA', BB', CC', DD'$的虚线表示投影方向。平面$\alpha$在图的底部，并标有希腊字母$\alpha$。|标题:第7题|图片编号:1]

8. 如图, 一块正方体形木料的上底面有一点$E$. 若经过点$E$在上底面上画一条直线与$CE$垂直, 则应该怎样画?

[图片描述:一个三维的立方体，标注了顶点$A, B, C, D$和上层顶点$A_1, B_1, C_1, D_1$。点$E$位于上底面$A_1B_1C_1D_1$上，靠近$B_1C_1$边。实线连接$C$和$E$，以及立方体的可见边。虚线表示立方体的不可见边。|标题:第8题|图片编号:2]

9. 如图, 在三棱锥 $P-ABC$ 中, $PC \perp$ 底面 $ABC$, $AB \perp BC$, $D, E$ 分别是$AB, PB$的中点, 求证:
(1) $DE // $平面 $PAC$;
(2) $AB \perp PB$.

[图片描述:一个三棱锥$P-ABC$的透视图。顶点$P$在上方，底面是三角形$ABC$。点$D$是$AB$的中点，点$E$是$PB$的中点。线段$DE$被标记为青色虚线。另外，线段$PA, PB, PC, AB, BC, CA$构成棱锥的棱。|标题:第9题|图片编号:3]

### 综合运用

10. 如图, 在边长为2的正方形 $ABCD$ 中, 点$E$是$AB$的中点, 点$F$是$BC$的中点, 将$\triangle AED$, $\triangle BEF$, $\triangle DCF$ 分别沿 $DE$, $EF$, $DF$ 折起, 使$A, B, C$三点重合于点$A'$.
(1) 求证 $A'D \perp EF$;
(2) 求三棱锥 $A'-EFD$ 的体积.

[图片描述:一个正方形$ABCD$，边长为2。点$E$是边$AB$的中点，点$F$是边$BC$的中点。有三条青色线段$DE, EF, DF$构成了正方形内的三个三角形$\triangle AED, \triangle BEF, \triangle DCF$。|标题:第10题 (原图)|图片编号:4]
[图片描述:一个由折叠而成的三维图形，表示三棱锥$A'-EFD$。点$A, B, C$折叠后重合于点$A'$。图中显示了三角形$EFD$作为底面，点$A'$位于其上方。虚线表示$A'$到$E$和$D$的连线，以及从$A'$到$EFD$底面投影的虚线。|标题:第10题 (折叠后)|图片编号:5]

11. 如下页图, 在四面体 $A-BCD$ 中, $M$是$AD$的中点, $P$是$BM$的中点, 点$Q$在线段$AC$上, 且$AQ=3QC$. 求证: $PQ // $平面 $BCD$.
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以下是PDF页面的Markdown转换：

[图片描述: 这是一个空间几何图形，表示一个四面体，顶点为P、A、B、C。图形中，点P连接到A、B、C形成侧棱。点Q在底面BC上，线段PQ和BD（可能是从P到BC的垂线段，或与其他点相关）被虚线表示。点M标记在某个边上。整个图形下方标注“(第 11 题)”，表示它是第11题的配图。|标题: 第11题的配图|图片编号:1]
[图片描述: 这是一个空间几何图形，表示一个正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$。顶点的标记清晰可见。图形中，对角线$B_1D$以虚线表示。一个由$A_1, B, C_1$构成的平面（三角形）以品红色线条描绘。点H位于$B_1D$上，并且似乎在$A_1BC_1$平面上。整个图形下方标注“(第 12 题)”，表示它是第12题的配图。|标题: 第12题的配图|图片编号:2]

12. 如图,在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,求证:
    (1) $B_1D \perp \text{平面 } A_1BC_1$;
    (2) $B_1D$与平面$A_1BC_1$的交点$H$是$\triangle A_1C_1B$的重心.

13. 如图,在三棱锥 $P-ABC$中,$\angle ACB=90^\circ$, $PA \perp \text{底面 } ABC$.
    (1) 求证:平面$PAC \perp \text{平面 } PBC$;
    (2) 若$AC=BC=PA$, $M$是$PB$的中点,求$AM$与平面$PBC$所成角的正切值.

[图片描述: 这是一个空间几何图形，表示一个三棱锥$P-ABC$。底面是三角形$ABC$，其中C处有一个直角标记。顶点P位于A的上方，PA是棱锥的高，垂直于底面。点M是棱PB的中点。线段AM和BC以虚线表示。整个图形下方标注“(第 13 题)”，表示它是第13题的配图。|标题: 第13题的配图|图片编号:3]
[图片描述: 这是一个空间几何图形，表示一个四棱锥$P-ABCD$。底面$ABCD$是正方形。侧面$PAD$是等边三角形，并且垂直于底面。点M是棱PD的中点。线段AM、BD、PM以虚线表示。整个图形下方标注“(第 14 题)”，表示它是第14题的配图。|标题: 第14题的配图|图片编号:4]

14. 如图,在四棱锥 $P-ABCD$中,底面$ABCD$为正方形,侧面$PAD$是正三角形,侧面$PAD \perp \text{底面 } ABCD$, $M$是$PD$的中点.
    (1) 求证:$AM \perp \text{平面 } PCD$;
    (2) 求侧面$PBC$与底面$ABCD$所成二面角的余弦值.

## 拓广探索

15. 从直线$a$, $b$和平面$\omega$这三个空间元素中任取两个,若已知它们与第三个元素有平行或垂直关系,则所取的两个元素是否也有平行或垂直关系?你能得到哪些结论?写出一些你认为重要的.如果三个元素分别是直线$m$、平面$\alpha$和$\beta$,你能得到哪些结论?

16. 已知$m$, $n$为异面直线,$m \perp \text{平面 } \alpha$,$n \perp \text{平面 } \beta$.若直线$l$满足$l \perp m$, $l \perp n$, $l \not\subset \alpha$, $l \not\subset \beta$,则( ).
    (A) $\alpha // \beta$, $l // \alpha$
    (B) $\alpha$与$\beta$相交,且交线平行于$l$
    (C) $\alpha \perp \beta$, $l \perp \beta$
    (D) $\alpha$与$\beta$相交,且交线垂直于$l$
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