{
  "problem_list": [
    {
      "编号": "T10-1-1-E01",
      "名称": "抛掷硬币样本空间构建",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 1,
      "来源": "教材P236 例1",

      "题目描述": "抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间。",

      "解题思路": [
        "明确试验是抛掷一枚硬币",
        "确定观察对象是硬币朝上的面",
        "列出所有可能的基本结果",
        "用适当符号表示样本点"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "抛掷一枚硬币，观察落地时朝上的面"
          },
          {
            "步骤描述": "确定可能结果",
            "具体过程": "硬币落地时只有两种可能：正面朝上或反面朝上"
          },
          {
            "步骤描述": "用符号表示",
            "具体过程": "用h表示正面朝上，t表示反面朝上"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "样本空间Ω = {h, t} 或 Ω = {正面朝上, 反面朝上}"
          }
        ],
        "最终答案": "样本空间Ω = {正面朝上, 反面朝上}，或用符号表示为Ω = {h, t}"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-02 随机试验",
        "K10-1-03 样本点",
        "K10-1-04 样本空间"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-01 样本空间构建法"
      ],

      "变式练习": [
        "抛掷两枚硬币的样本空间",
        "抛掷骰子的样本空间"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "遗漏可能结果或用不恰当的符号",
          "原因": "对试验的基本结果分析不够清楚",
          "正确做法": "系统分析所有可能的基本结果，选择合适的表示符号"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-1-E02",
      "名称": "抛掷骰子样本空间构建",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 1,
      "来源": "教材P236 例2",

      "题目描述": "抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间。",

      "解题思路": [
        "明确试验是抛掷一枚骰子",
        "确定观察对象是朝上面的点数",
        "列出所有可能的点数",
        "构建样本空间"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上面的点数"
          },
          {
            "步骤描述": "确定可能结果",
            "具体过程": "骰子有6个面，点数分别为1,2,3,4,5,6"
          },
          {
            "步骤描述": "用符号表示",
            "具体过程": "用i表示朝上面的点数为i"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "样本空间Ω = {1,2,3,4,5,6}"
          }
        ],
        "最终答案": "样本空间Ω = {1,2,3,4,5,6}"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-02 随机试验",
        "K10-1-03 样本点",
        "K10-1-04 样本空间"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-01 样本空间构建法"
      ],

      "变式练习": [
        "抛掷两枚骰子的样本空间",
        "抛掷硬币和骰子的样本空间"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "遗漏某些点数或重复计数",
          "原因": "对骰子的基本特征认识不清",
          "正确做法": "明确骰子有6个面，点数从1到6"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-1-E03",
      "名称": "多元随机试验样本空间",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 2,
      "来源": "教材P236 例3",

      "题目描述": "抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间。",

      "解题思路": [
        "明确试验涉及两枚硬币",
        "确定观察对象是两枚硬币的朝向",
        "分析第一枚和第二枚的可能结果",
        "构建有序对表示样本点"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "同时抛掷两枚硬币，观察两枚硬币的朝向"
          },
          {
            "步骤描述": "确定表示方法",
            "具体过程": "用(x,y)表示样本点，x为第一枚硬币朝向，y为第二枚硬币朝向"
          },
          {
            "步骤描述": "列举所有组合",
            "具体过程": "第一枚正面/反面 × 第二枚正面/反面 = 4种组合"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "Ω = {(正面,正面), (正面,反面), (反面,正面), (反面,反面)}"
          },
          {
            "步骤描述": "简化表示",
            "具体过程": "用1表示正面，0表示反面，则Ω = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}"
          }
        ],
        "最终答案": "样本空间Ω = {(正面,正面), (正面,反面), (反面,正面), (反面,反面)}，或简化为Ω = {(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-02 随机试验",
        "K10-1-03 样本点",
        "K10-1-04 样本空间"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-01 样本空间构建法"
      ],

      "变式练习": [
        "抛掷三枚硬币的样本空间",
        "抛掷硬币和骰子的样本空间"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆有序对和无序对，遗漏某些组合",
          "原因": "对多元试验的理解不够深入",
          "正确做法": "明确每个元素的位置和顺序，系统列举所有可能组合"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-2-E01",
      "名称": "电路事件关系分析",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 3,
      "来源": "教材P237 例4",

      "题目描述": "一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常或失效。观察这个电路中各元件是否正常。 (1) 写出试验的样本空间； (2) 用集合表示事件M='恰好两个元件正常'，N='电路是通路'，T='电路是断路'。",

      "解题思路": [
        "明确试验涉及三个元件的状态",
        "确定每个元件的可能状态",
        "用三元数组表示样本点",
        "分析各个事件包含的样本点"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "观察三个元件A、B、C的工作状态"
          },
          {
            "步骤描述": "确定表示方法",
            "具体过程": "用(x₁,x₂,x₃)表示三元组，1表示正常，0表示失效"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "每个元件有2种状态，共2³=8种组合"
          },
          {
            "步骤描述": "列出样本空间",
            "具体过程": "Ω = {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}"
          },
          {
            "步骤描述": "分析各事件",
            "具体过程": "M：恰有两个元件正常 = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}"
          },
          {
            "步骤描述": "分析电路通路条件",
            "具体过程": "电路为通路需要A正常且B、C中至少一个正常"
          },
          {
            "步骤描述": "确定N和T",
            "具体过程": "N = {(1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)}, T = {(0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,0)}"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) Ω = {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}；(2) M = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)}，N = {(1,1,0), (1,0,1), (1,1,1)}，T = {(0,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,1,1), (1,0,0)}"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "K10-1-07 基本事件",
        "K10-1-08 必然事件",
        "K10-1-09 不可能事件"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-02 事件关系分析法"
      ],

      "变式练习": [
        "分析其他电路的事件关系",
        "判断事件间的互斥或对立关系"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "对电路通路条件理解错误",
          "原因": "对实际电路的工作原理理解不够",
          "正确做法": "明确电路的连接方式，准确分析通路条件"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-2-E02",
      "名称": "摸球试验事件关系",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 4,
      "来源": "教材P241 例6",

      "题目描述": "一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球。设事件R₁='第一次摸到红球'，R₂='第二次摸到红球'，R='两次都摸到红球'，G='两次都摸到绿球'，M='两个球颜色相同'，N='两个球颜色不同'。 (1) 用集合形式写出试验的样本空间以及各事件； (2) 分析事件间的关系。",

      "解题思路": [
        "明确不放回依次摸球的规则",
        "用有序对表示两次摸球的结果",
        "系统列出所有可能的样本点",
        "分析各事件包含的样本点及关系"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "不放回依次摸出2个球，观察颜色和标号"
          },
          {
            "步骤描述": "确定表示方法",
            "具体过程": "用(x₁,x₂)表示样本点，x₁为第一次摸到的标号，x₂为第二次摸到的标号"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "4个球不放回摸2个，共4×3=12种可能结果"
          },
          {
            "步骤描述": "列出样本空间",
            "具体过程": "Ω = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)}"
          },
          {
            "步骤描述": "确定各事件",
            "具体过程": "R₁ = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}"
          },
          {
            "步骤描述": "确定其他事件",
            "具体过程": "R₂ = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)}，R = {(1,2), (2,1)}"
          },
          {
            "步骤描述": "确定剩余事件",
            "具体过程": "G = {(3,4), (4,3)}，M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}，N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}"
          },
          {
            "步骤描述": "分析事件关系",
            "具体过程": "R⊆R₁，R与G互斥，M与N互为对立事件，R∪G=M，R₁∩R₂=R"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) Ω包含12个样本点，各事件如上所述；(2) R₁包含R，R与G互斥，M与N对立，R∪G=M，R₁∩R₂=R"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-06 随机事件",
        "K10-1-10 事件的包含关系",
        "K10-1-14 互斥事件",
        "K10-1-15 对立事件",
        "K10-1-12 并事件",
        "K10-1-13 交事件"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-02 事件关系分析法"
      ],

      "变式练习": [
        "有放回摸球的事件关系分析",
        "不同颜色球数的摸球问题"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "混淆有序对和无序对，事件关系判断错误",
          "原因": "对不放回抽样理解不清，事件关系概念混淆",
          "正确做法": "明确有序对的含义，准确理解事件关系的定义"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-3-E01",
      "名称": "选择题答对概率",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 1,
      "来源": "教材P244 例7",

      "题目描述": "单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案，如果考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？",

      "解题思路": [
        "明确试验是随机选择答案",
        "判断是否为古典概型",
        "确定样本空间和事件A",
        "应用古典概率公式计算"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "从四个选项中随机选择一个答案"
          },
          {
            "步骤描述": "判断古典概型",
            "具体过程": "有4个等可能的结果，满足有限性和等可能性"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "Ω = {A, B, C, D}，n(Ω) = 4"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件A",
            "具体过程": "A = "选中正确答案"，由于正确答案唯一，n(A) = 1"
          },
          {
            "步骤描述": "计算概率",
            "具体过程": "P(A) = n(A)/n(Ω) = 1/4"
          }
        ],
        "最终答案": "答对的概率是1/4"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-17 古典概型",
        "K10-1-18 古典概率"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-03 古典概型概率计算法"
      ],

      "变式练习": [
        "多选题答对概率",
        "不同选项数量的选择题概率"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "对等可能性的判断错误",
          "原因": "对古典概型的条件理解不清",
          "正确做法": "验证每个结果出现的可能性相等"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-3-E02",
      "名称": "掷骰子概率计算",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 2,
      "来源": "教材P244 例8",

      "题目描述": "抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。 (1) 写出这个试验的样本空间，并判断是否为古典概型； (2) 求事件A='两个点数之和是5'，B='两个点数相等'，C='Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数'的概率。",

      "解题思路": [
        "明确试验是掷两枚骰子",
        "用有序对表示结果",
        "验证古典概型条件",
        "分别计算各事件的概率"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "抛掷两枚标记的骰子，观察点数"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "用(m,n)表示Ⅰ号m点，Ⅱ号n点，Ω = {(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}"
          },
          {
            "步骤描述": "判断古典概型",
            "具体过程": "样本点总数n(Ω) = 6×6 = 36，且每个样本点等可能"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件A",
            "具体过程": "A = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}，n(A) = 4"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(A)",
            "具体过程": "P(A) = n(A)/n(Ω) = 4/36 = 1/9"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件B",
            "具体过程": "B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}，n(B) = 6"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(B)",
            "具体过程": "P(B) = n(B)/n(Ω) = 6/36 = 1/6"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件C",
            "具体过程": "C包含15个样本点，n(C) = 15"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(C)",
            "具体过程": "P(C) = n(C)/n(Ω) = 15/36 = 5/12"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) Ω = {(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}}，是古典概型；(2) P(A)=1/9，P(B)=1/6，P(C)=5/12"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-17 古典概型",
        "K10-1-18 古典概率"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-03 古典概型概率计算法"
      ],

      "变式练习": [
        "掷三枚骰子的概率计算",
        "不同点数和的概率"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "样本点计数错误，特别是事件C的计数",
          "原因": "对有序对的理解不够，计数方法不当",
          "正确做法": "系统分析所有可能情况，避免遗漏或重复"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-3-E03",
      "名称": "不放回摸球概率",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 3,
      "来源": "教材P246 例9",

      "题目描述": "袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率： (1) A='第一次摸到红球'； (2) B='第二次摸到红球'； (3) AB='两次都摸到红球'。",

      "解题思路": [
        "明确不放回摸球的规则",
        "构建样本空间和事件",
        "分别计算各事件的概率",
        "验证不放回抽样的影响"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析试验特征",
            "具体过程": "不放回依次摸出2个球，观察颜色"
          },
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "将红球编号1,2，黄球编号3,4,5，共20个有序样本点"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件A",
            "具体过程": "A包含8个样本点（第一次红球，第二次任意）"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(A)",
            "具体过程": "P(A) = 8/20 = 2/5"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件B",
            "具体过程": "B包含8个样本点（第二次红球，第一次任意）"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(B)",
            "具体过程": "P(B) = 8/20 = 2/5"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件AB",
            "具体过程": "AB包含2个样本点（两次都是红球）"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(AB)",
            "具体过程": "P(AB) = 2/20 = 1/10"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) P(A) = 2/5；(2) P(B) = 2/5；(3) P(AB) = 1/10"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-17 古典概型",
        "K10-1-18 古典概率"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-03 古典概型概率计算法"
      ],

      "变式练习": [
        "有放回摸球的概率计算",
        "不同颜色球数的摸球问题"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "样本点计数错误，特别是不放回的理解",
          "原因": "对不放回抽样的特点理解不够",
          "正确做法": "明确不放回意味着第二次选择时少了一个球"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-4-E01",
      "名称": "扑克牌概率计算",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 2,
      "来源": "教材P250 例11",

      "题目描述": "从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A='抽到红桃'，事件B='抽到方块'，P(A)=P(B)=1/4。求：(1) C='抽到红花色'的概率；(2) D='抽到黑花色'的概率。",

      "解题思路": [
        "明确样本空间和各花色的分布",
        "分析事件间的包含关系",
        "应用概率的加法公式",
        "利用对立事件简化计算"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析事件关系",
            "具体过程": "C = A∪B，且A与B互斥"
          },
          {
            "步骤描述": "应用加法公式",
            "具体过程": "P(C) = P(A∪B) = P(A) + P(B) = 1/4 + 1/4 = 1/2"
          },
          {
            "步骤描述": "分析C与D的关系",
            "具体过程": "C与D互斥，且C∪D为必然事件"
          },
          {
            "步骤描述": "应用对立事件性质",
            "具体过程": "C与D互为对立事件，P(D) = 1 - P(C) = 1 - 1/2 = 1/2"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) P(C) = 1/2；(2) P(D) = 1/2"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-19 概率的基本性质",
        "K10-1-14 互斥事件",
        "K10-1-15 对立事件"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-04 概率性质应用法"
      ],

      "变式练习": [
        "其他花色组合的概率计算",
        "不同牌型的概率计算"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "事件关系判断错误或性质应用不当",
          "原因": "对概率性质的理解不够深入",
          "正确做法": "准确判断事件间关系，正确应用相应性质"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-1-4-E02",
      "名称": "有奖促销活动概率",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 4,
      "来源": "教材P251 例12",

      "题目描述": "将6罐饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料。若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？",

      "解题思路": [
        "明确试验是从6罐中选2罐",
        "确定中奖的定义（至少一罐中奖）",
        "直接计算或用对立事件简化计算",
        "应用组合计数方法"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "确定样本空间",
            "具体过程": "从6罐中选2罐，n(Ω) = C(6,2) = 15"
          },
          {
            "步骤描述": "确定中奖事件",
            "具体过程": "设A = "中奖" = "至少一罐中奖""
          },
          {
            "步骤描述": "分析对立事件",
            "具体过程": "Ā = "不中奖" = "两罐都不中奖""
          },
          {
            "步骤描述": "计算不中奖样本数",
            "具体过程": "从4罐不中奖的选2罐，n(Ā) = C(4,2) = 6"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(Ā)",
            "具体过程": "P(Ā) = n(Ā)/n(Ω) = 6/15 = 2/5"
          },
          {
            "步骤描述": "应用对立事件性质",
            "具体过程": "P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 2/5 = 3/5"
          }
        ],
        "最终答案": "能中奖的概率是3/5"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-19 概率的基本性质",
        "K10-1-15 对立事件"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-04 概率性质应用法"
      ],

      "变式练习": [
        "不同中奖数的概率计算",
        "直接计算中奖概率的方法"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "直接计算中奖事件时遗漏某些情况",
          "原因": "对"至少一个"的理解不完整",
          "正确做法": "考虑对立事件或系统分类讨论所有情况"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-2-1-E01",
      "名称": "独立性判断",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 3,
      "来源": "教材P258 例1",

      "题目描述": "一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。设事件A='第一次摸出球的标号小于3'，事件B='第二次摸出球的标号小于3'，那么事件A与事件B是否相互独立？",

      "解题思路": [
        "明确不放回摸球的特征",
        "构建样本空间和事件A、B",
        "计算P(A)、P(B)和P(AB)",
        "验证独立性定义P(AB)=P(A)P(B)"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "构建样本空间",
            "具体过程": "Ω = {(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}, m≠n}，n(Ω) = 12"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件A",
            "具体过程": "A = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4)}，n(A) = 6"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件B",
            "具体过程": "B = {(1,2), (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}，n(B) = 6"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(A)和P(B)",
            "具体过程": "P(A) = P(B) = 6/12 = 1/2"
          },
          {
            "步骤描述": "确定事件AB",
            "具体过程": "AB = {(1,2), (2,1)}，n(AB) = 2"
          },
          {
            "步骤描述": "计算P(AB)",
            "具体过程": "P(AB) = 2/12 = 1/6"
          },
          {
            "步骤描述": "验证独立性",
            "具体过程": "P(A)P(B) = (1/2)×(1/2) = 1/4 ≠ P(AB) = 1/6"
          }
        ],
        "最终答案": "因为P(AB) ≠ P(A)P(B)，所以事件A与事件B不相互独立"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-2-01 相互独立事件"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-2-01 独立性判断与计算法"
      ],

      "变式练习": [
        "有放回摸球的独立性判断",
        "其他试验的独立性分析"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "误认为不放回抽样也是独立的",
          "原因": "对独立性的理解不够深入",
          "正确做法": "不放回抽样中前后试验相互影响，通常不独立"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-2-1-E02",
      "名称": "射击比赛概率计算",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 3,
      "来源": "教材P258 例2",

      "题目描述": "甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，两人各射击一次，求下列事件的概率： (1) 两人都中靶； (2) 恰好有一人中靶； (3) 两人都脱靶； (4) 至少有一人中靶。",

      "解题思路": [
        "设定事件并判断独立性",
        "计算基础概率P(A)、P(B)，
        "应用独立性性质计算积事件概率",
        "利用互斥事件和加法公式计算和事件概率"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "设定事件",
            "具体过程": "设A='甲中靶'，B='乙中靶'，则Ā='甲脱靶'，B̄='乙脱靶'"
          },
          {
            "步骤描述": "判断独立性",
            "具体过程": "两人射击互不影响，A与B独立"
          },
          {
            "步骤描述": "已知概率",
            "具体过程": "P(A) = 0.8，P(B) = 0.9，P(Ā) = 0.2，P(B̄) = 0.1"
          },
          {
            "步骤描述": "计算(1)两人都中靶",
            "具体过程": "P(AB) = P(A)P(B) = 0.8×0.9 = 0.72"
          },
          {
            "步骤描述": "计算(2)恰好一人中靶",
            "具体过程": "P(AĀ∪ĀB) = P(A)P(B̄) + P(Ā)P(B) = 0.8×0.1 + 0.2×0.9 = 0.26"
          },
          {
            "步骤描述": "计算(3)两人都脱靶",
            "具体过程": "P(ĀB̄) = P(Ā)P(B̄) = 0.2×0.1 = 0.02"
          },
          {
            "步骤描述": "计算(4)至少一人中靶",
            "具体过程": "方法1：P(AĀ∪ĀB∪AB) = 0.72 + 0.26 = 0.98；方法2：1 - P(ĀB̄) = 1 - 0.02 = 0.98"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) 0.72；(2) 0.26；(3) 0.02；(4) 0.98"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-2-01 相互独立事件",
        "K10-2-02 独立事件的对立独立性"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-2-01 独立性判断与计算法"
      ],

      "变式练习": [
        "不同概率值的射击问题",
        "三人射击的概率计算"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "独立性应用错误或计算错误",
          "原因": "对独立性的理解或概率计算不够熟练",
          "正确做法": "准确判断独立性，正确应用P(AB)=P(A)P(B)"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-2-1-E03",
      "名称": "猜成语活动概率",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 4,
      "来源": "教材P259 例3",

      "题目描述": "甲、乙两人组成'星队'参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为3/4，乙每轮猜对的概率为2/3。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。求'星队'在两轮活动中猜对3个成语的概率。",

      "解题思路": [
        "分析两轮活动猜对3个成语的含义",
        "设定各轮各人猜对的事件",
        "计算各事件的概率",
        "利用独立性和互斥性计算最终概率"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析目标事件",
            "具体过程": "两轮猜对3个成语 = (甲猜对1个，乙猜对2个) ∪ (甲猜对2个，乙猜对1个)"
          },
          {
            "步骤描述": "设定基础事件",
            "具体过程": "A₁、A₂分别表示甲两轮猜对1个、2个，B₁、B₂分别表示乙两轮猜对1个、2个"
          },
          {
            "步骤描述": "计算甲的概率",
            "具体过程": "P(A₁) = (3/4)(1/4) + (1/4)(3/4) = 3/8，P(A₂) = (3/4)² = 9/16"
          },
          {
            "步骤描述": "计算乙的概率",
            "具体过程": "P(B₁) = (2/3)(1/3) + (1/3)(2/3) = 4/9，P(B₂) = (2/3)² = 4/9"
          },
          {
            "步骤描述": "设定最终事件",
            "具体过程": "设A = "两轮猜对3个成语"，则A = A₁B₂ ∪ A₂B₁"
          },
          {
            "步骤描述": "应用独立性和互斥性",
            "具体过程": "P(A) = P(A₁B₂) + P(A₂B₁) = P(A₁)P(B₂) + P(A₂)P(B₁)"
          },
          {
            "步骤描述": "计算最终结果",
            "具体过程": "P(A) = (3/8)(4/9) + (9/16)(4/9) = 1/6 + 1/4 = 5/12"
          }
        ],
        "最终答案": "'星队'在两轮活动中猜对3个成语的概率是5/12"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-2-01 相互独立事件",
        "K10-2-02 独立事件的对立独立性"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-2-01 独立性判断与计算法"
      ],

      "变式练习": [
        "不同轮数的猜成语问题",
        "不同概率值的猜成语问题"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "事件组合分析错误或独立性应用不当",
          "原因": "对复杂事件的分析不够系统",
          "正确做法": "明确事件的构成，正确应用独立性和互斥性"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-3-1-E01",
      "名称": "婴儿性别比统计分析",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 2,
      "来源": "教材P263 例1",

      "题目描述": "新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数。通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和113.51。 (1) 分别估计我国2014年和2015年男婴的出生率(精确到0.001)； (2) 根据2014年和2015年男婴的出生率，你认为'生男孩和生女孩是等可能的'这个判断可靠吗？",

      "解题思路": [
        "理解性别比的定义和含义",
        "根据性别比计算男婴出生率",
        "应用频率估计概率的原理",
        "基于大样本频率稳定性进行判断"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "理解性别比定义",
            "具体过程": "性别比 = 每100名女婴对应的男婴数"
          },
          {
            "步骤描述": "计算2014年男婴出生率",
            "具体过程": "男婴频率 = 115.88/(100+115.88) = 115.88/215.88 ≈ 0.537"
          },
          {
            "步骤描述": "计算2015年男婴出生率",
            "具体过程": "男婴频率 = 113.51/(100+113.51) = 113.51/213.51 ≈ 0.532"
          },
          {
            "步骤描述": "分析估计可靠性",
            "具体过程": "调查样本很大，根据频率稳定性，估计可信度高"
          },
          {
            "步骤描述": "得出结论",
            "具体过程": "有理由怀疑'生男孩和生女孩等可能'的判断"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) 2014年男婴出生率约为0.537，2015年约为0.532；(2) 由于调查样本大，估计可信度高，有理由怀疑'生男孩和生女孩等可能'的判断"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-3-01 频率",
        "K10-3-02 频率的稳定性"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-3-01 频率估计概率法"
      ],

      "变式练习": [
        "其他地区的性别比分析",
        "不同统计指标的频率估计"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "频率计算错误或对估计可靠性认识不足",
          "原因": "对频率稳定性的理解不够深入",
          "正确做法": "理解大样本频率更接近真实概率，但仍有估计误差"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-3-1-E02",
      "名称": "游戏公平性判断",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 3,
      "来源": "教材P264 例2",

      "题目描述": "一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜，判断游戏是否公平的标准是事件A和事件B发生的概率是否相等。在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次，据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的。你更支持谁的结论？为什么？",

      "解题思路": [
        "分析不同次数下的频率数据",
        "应用频率稳定性原理",
        "比较小样本和大样本的可靠性",
        "基于频率稳定性做出判断"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析10次游戏结果",
            "具体过程": "甲、乙获胜频率都为0.5"
          },
          {
            "步骤描述": "分析1000次游戏结果",
            "具体过程": "甲获胜频率为0.3，乙获胜频率为0.7"
          },
          {
            "步骤描述": "应用频率稳定性原理",
            "具体过程": "试验次数越多，频率越接近真实概率"
          },
          {
            "步骤描述": "比较可靠性",
            "具体过程": "1000次比10次的频率更接近概率"
          },
          {
            "步骤描述": "做出判断",
            "具体过程": "支持甲的结论，1000次时的频率差异表明游戏不公平"
          }
        ],
        "最终答案": "支持甲的结论。因为根据频率稳定性原理，试验次数越多，频率越接近真实概率。1000次时甲胜频率0.3，乙胜频率0.7，差异很大，表明游戏不公平。"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-3-01 频率",
        "K10-3-02 频率的稳定性"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-3-01 频率估计概率法"
      ],

      "变式练习": [
        "其他游戏公平性分析",
        "不同样本量下的频率比较"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "对小样本频率给予过多重视",
          "原因": "对频率稳定性的理解不够深入",
          "正确做法": "理解大样本频率更可靠，小样本频率随机性大"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-3-2-E01",
      "名称": "出生月份随机模拟",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 4,
      "来源": "教材P266 例3",

      "题目描述": "从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月、二月……十二月是等可能的，设事件A='至少有两人出生月份相同'，设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率。",

      "解题思路": [
        "分析等可能性的假设",
        "设计对应的随机数模型",
        "用计算器或计算机进行模拟",
        "统计模拟结果并估计概率"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析假设条件",
            "具体过程": "6个人的出生月份在12个月中等可能，相互独立"
          },
          {
            "步骤描述": "设计随机数模型",
            "具体过程": "产生1-12的随机数代表出生月份，连续产生6个数为一次试验"
          },
          {
            "步骤描述": "确定模拟方法",
            "具体过程": "方法1：用12个球编号模拟；方法2：用电子表格=RANDBETWEEN(1,12)"
          },
          {
            "步骤描述": "进行模拟试验",
            "具体过程": "模拟20次，每次产生6个随机数"
          },
          {
            "步骤描述": "统计结果",
            "具体过程": "在20次模拟中，事件A发生14次，频率为0.70"
          },
          {
            "步骤描述": "估计概率",
            "具体过程": "用频率0.70估计事件A的概率，与理论概率0.78接近"
          }
        ],
        "最终答案": "模拟20次结果：事件A发生14次，概率估计值0.70，与理论概率约0.78相差不大"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-3-03 随机模拟"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-3-02 随机模拟试验法"
      ],

      "变式练习": [
        "不同人数的生日问题模拟",
        "其他等可能事件的随机模拟"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "随机数模型设计不当或对应关系错误",
          "原因": "对实际试验的特征分析不够准确",
          "正确做法": "仔细分析试验过程，建立正确的随机数对应关系"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-3-2-E02",
      "名称": "羽毛球比赛概率模拟",
      "类型": "例题",
      "难度等级": 4,
      "来源": "教材P267 例4",

      "题目描述": "在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率。",

      "解题思路": [
        "分析比赛规则和获胜条件",
        "设计随机数模型表示每局结果",
        "模拟多组比赛结果",
        "统计甲获胜的频率"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "分析比赛规则",
            "具体过程": "奥运会羽毛球比赛是3局2胜制，甲获胜可能是2:0或2:1"
          },
          {
            "步骤描述": "设计随机数模型",
            "具体过程": "产生1-5的随机数，1,2,3表示甲胜(概率0.6)，4,5表示乙胜(概率0.4)"
          },
          {
            "步骤描述": "确定模拟单位",
            "具体过程": "每3个随机数为一组，代表3局比赛结果"
          },
          {
            "步骤描述": "进行模拟试验",
            "具体过程": "模拟20组随机数，如：423,123,423,344,114,453,525,332,152,342,..."
          },
          {
            "步骤描述": "统计甲获胜情况",
            "具体过程": "在20组中，甲获胜13组，频率为13/20=0.65"
          },
          {
            "步骤描述": "估计概率",
            "具体过程": "用频率0.65估计甲获得冠军的概率，精确值为0.648"
          }
        ],
        "最终答案": "模拟20次结果：甲获胜13次，概率估计值0.65，与精确值0.648接近"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-3-03 随机模拟"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-3-02 随机模拟试验法"
      ],

      "变式练习": [
        "不同概率值的比赛模拟",
        "不同比赛规则的概率模拟"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "随机数范围设计不当或获胜条件判断错误",
          "原因": "对比赛规则理解不清或概率对应关系错误",
          "正确做法": "明确比赛规则，正确建立随机数与结果的对应关系"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-应用-E01",
      "名称": "抽样方法比较分析",
      "类型": "综合应用题",
      "难度等级": 5,
      "来源": "教材P247 例10",

      "题目描述": "从两名男生(记为B₁和B₂)、两名女生(记为G₁和G₂)中任意抽取两人： (1) 分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层随机抽样的样本空间； (2) 在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率。",

      "解题思路": [
        "明确三种抽样方法的区别",
        "分别构建不同抽样方法的样本空间",
        "计算每种方法下抽到两名男生的概率",
        "比较三种方法的差异"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "确定表示方法",
            "具体过程": "用(x₁,x₂)表示样本点，x₁为第一次抽取的人，x₂为第二次抽取的人"
          },
          {
            "步骤描述": "构建有放回抽样样本空间",
            "具体过程": "Ω₁包含16个样本点，允许重复选择"
          },
          {
            "步骤描述": "构建不放回抽样样本空间",
            "具体过程": "Ω₂包含12个样本点，不允许重复选择"
          },
          {
            "步骤描述": "构建分层抽样样本空间",
            "具体过程": "按性别等比例分层，Ω₃包含4个样本点，必须一男一女"
          },
          {
            "步骤描述": "计算有放回抽样概率",
            "具体过程": "A = "抽到两名男生" = {(B₁,B₁), (B₁,B₂), (B₂,B₁), (B₂,B₂)}，P(A) = 4/16 = 1/4"
          },
          {
            "步骤描述": "计算不放回抽样概率",
            "具体过程": "A = {(B₁,B₂), (B₂,B₁)}，P(A) = 2/12 = 1/6"
          },
          {
            "步骤描述": "计算分层抽样概率",
            "具体过程": "按性别等比例分层不可能抽到两名男生，P(A) = 0"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) Ω₁有16个样本点，Ω₂有12个样本点，Ω₃有4个样本点；(2) 有放回：1/4，不放回：1/6，分层抽样：0"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-1-17 古典概型",
        "K10-1-18 古典概率"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-1-03 古典概型概率计算法",
        "M10-application-01 概率建模解决实际问题"
      ],

      "变式练习": [
        "不同人数组合的抽样问题",
        "不同分层方法的概率比较"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "对抽样方法的理解错误导致样本空间构建错误",
          "原因": "对三种抽样方法的区别理解不清",
          "正确做法": "明确各种抽样方法的特点，准确构建对应的样本空间"
        }
      ]
    },

    {
      "编号": "T10-application-E02",
      "名称": "密码破译概率问题",
      "类型": "综合应用题",
      "难度等级": 4,
      "来源": "教材P260 习题10.2第4题",

      "题目描述": "甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是1/3和1/4，求：(1) 两人都成功破译的概率；(2) 密码被成功破译的概率。",

      "解题思路": [
        "设定事件并明确独立性",
        "计算基础概率和概率的补数",
        "应用独立性计算积事件概率",
        "分析"被成功破译"的含义"
      ],

      "详细解答": {
        "步骤": [
          {
            "步骤描述": "设定事件",
            "具体过程": "设A='甲成功破译'，B='乙成功破译'，则P(A)=1/3，P(B)=1/4"
          },
          {
            "步骤描述": "判断独立性",
            "具体过程": "甲、乙独立破译，A与B独立"
          },
          {
            "步骤描述": "计算(1)两人都成功破译",
            "具体过程": "P(AB) = P(A)P(B) = (1/3)(1/4) = 1/12"
          },
          {
            "步骤描述": "分析密码被成功破译的含义",
            "具体过程": "密码被成功破译 = A∪B = 至少一人成功破译"
          },
          {
            "步骤描述": "计算补事件概率",
            "具体过程": "P(Ā) = 1 - 1/3 = 2/3，P(B̄) = 1 - 1/4 = 3/4"
          },
          {
            "步骤描述": "计算补事件概率",
            "具体过程": "P(ĀB̄) = P(Ā)P(B̄) = (2/3)(3/4) = 1/2"
          },
          {
            "步骤描述": "应用对立事件性质",
            "具体过程": "P(A∪B) = 1 - P(ĀB̄) = 1 - 1/2 = 1/2"
          }
        ],
        "最终答案": "(1) 两人都成功破译的概率是1/12；(2) 密码被成功破译的概率是1/2"
      },

      "涉及知识点": [
        "K10-2-01 相互独立事件",
        "K10-2-02 独立事件的对立独立性"
      ],

      "涉及方法": [
        "M10-2-01 独立性判断与计算法",
        "M10-application-01 概率建模解决实际问题"
      ],

      "变式练习": [
        "更多人的破译问题",
        "不同破译概率的组合问题"
      ],

      "常见错误": [
        {
          "错误描述": "对"被成功破译"理解错误",
          "原因": "对"至少一个"的逻辑理解不清",
          "正确做法": "密码被成功破译意味着至少一人成功，可以用对立事件简化计算"
        }
      ]
    }
  ]
}