{
  "章节": "第二章-直线和圆的方程",
  "节": "2.1 直线的倾斜角与斜率",
  "小节": "2.1.1 倾斜角与斜率",
  "页码范围": "56-63",
  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K2-1-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的倾斜角",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "当直线$l$与$x$轴相交时，我们以$x$轴为基准，$x$轴正向与直线$l$向上的方向之间所成的角$\\alpha$叫做直线的倾斜角",
      "范围": "$0^\\circ \\le \\alpha < 180^\\circ$",
      "为什么这样定义": "倾斜角可以唯一确定直线的方向",
      "核心特征": [
        "倾斜角唯一确定",
        "方向相同的直线倾斜角相等",
        "倾斜角不等的直线方向不同"
      ],
      "必要性": "确定直线方向的需要",
      "特殊说明": "水平直线的倾斜角为$0^\\circ$",
      "前置知识": [],
      "包含的子知识点": [
        "K2-1-1-02 直线的斜率"
      ],
      "相关方法": [
        "方向判断",
        "位置关系分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P56",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "倾斜角理解",
        "方向分析",
        "几何应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-1-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的斜率",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "一条直线的倾斜角$\\alpha$的正切值叫做这条直线的斜率",
      "符号表示": "$k$",
      "公式": "$k = \\tan \\alpha$",
      "为什么这样定义": "斜率用数值大小刻画了直线的倾斜程度",
      "核心特征": [
        "斜率可正可负可为零",
        "$\\alpha=90^\\circ$时斜率不存在",
        "斜率唯一确定非水平直线的方向"
      ],
      "必要性": "定量研究直线性质的需要",
      "特殊说明": "垂直于$x$轴的直线无斜率",
      "前置知识": [
        "K2-1-1-01 直线的倾斜角"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "斜率计算",
        "位置关系判断",
        "倾斜角计算"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P57",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "斜率计算",
        "倾斜角求取",
        "位置关系判断"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-1-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "斜率公式",
      "类型": "公式",
      "公式": "$k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$",
      "条件": "$x_1 \\neq x_2$",
      "说明": "适用于任意两点确定的直线",
      "定义": "该公式为斜率公式的计算方法。",
      "为什么这样定义": "通过两点坐标直接计算斜率，避免先求倾斜角",
      "核心特征": [
        "计算简便",
        "直接利用坐标",
        "避免了角度运算"
      ],
      "必要性": "斜率计算的基础方法",
      "特殊说明": "当$x_1 = x_2$时公式不适用",
      "前置知识": [
        "K2-1-1-01 直线的倾斜角",
        "K2-1-1-02 直线的斜率",
        "K2-1-1-04 两点间距离公式"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "斜率计算",
        "位置关系分析",
        "几何性质证明"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.1节 P58",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "斜率计算",
        "几何应用",
        "代数运算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-1-1-04",
      "层次": "三级",
      "名称": "两点间距离公式",
      "类型": "公式",
      "公式": "$|P_1P_2| = \\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$",
      "特殊形式": "$|OP| = \\sqrt{x^2+y^2}$ (原点到点P的距离)",
      "定义": "该公式为两点间距离公式的计算方法。",
      "为什么这样定义": "基于勾股定理推导",
      "核心特征": [
        "距离非负",
        "唯一确定",
        "几何意义明确"
      ],
      "必要性": "距离计算的基础",
      "特殊说明": "适用于平面内任意两点",
      "前置知识": [
        "勾股定理",
        "坐标表示点"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "距离计算",
        "几何证明",
        "轨迹问题"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.2节 P77",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "距离计算",
        "几何证明",
        "应用题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-1-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条直线平行的判定",
      "类型": "定理/性质",
      "定理": "对于斜率分别为$k_1, k_2$的两条直线$l_1, l_2$，有$l_1 // l_2 \\Leftrightarrow k_1=k_2$",
      "条件": "两条直线有斜率",
      "定义": "对于斜率分别为$k_1, k_2$的两条直线$l_1, l_2$，有$l_1 // l_2 \\Leftrightarrow k_1=k_2$",
      "为什么这样判定": "平行直线倾斜角相等，从而斜率相等",
      "核心特征": [
        "充要条件",
        "代数判定方法",
        "简化了几何证明"
      ],
      "必要性": "判断直线平行关系",
      "特殊说明": "不包括垂直直线",
      "前置知识": [
        "K2-1-1-02 直线的斜率"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "平行证明",
        "位置关系判断",
        "几何应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.2节 P60",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "平行判断",
        "几何证明",
        "代数推理"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-1-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条直线垂直的判定",
      "类型": "定理/性质",
      "定理": "如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1，即$l_1 \\perp l_2 \\Leftrightarrow k_1 k_2 = -1$",
      "条件": "两条直线都有斜率",
      "定义": "如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1，即$l_1 \\perp l_2 \\Leftrightarrow k_1 k_2 = -1$",
      "为什么这样判定": "利用方向向量垂直的数量积为零",
      "核心特征": [
        "充要条件",
        "代数判定方法",
        "斜率乘积为-1"
      ],
      "必要性": "判断垂直关系",
      "特殊说明": "不包括斜率不存在的直线",
      "前置知识": [
        "K2-1-1-02 直线的斜率",
        "向量数量积"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "垂直证明",
        "几何性质判断",
        "向量应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.1.2节 P61",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "垂直判断",
        "几何证明",
        "代数运算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-2-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的点斜式方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "$y-y_0 = k(x-x_0)$",
      "参数": "点$P_0(x_0, y_0)$和斜率$k$",
      "定义": "该公式为直线的点斜式方程的计算方法。",
      "为什么这样建立": "利用斜率定义和两点坐标关系",
      "核心特征": [
        "一个点和斜率确定一条直线",
        "所有满足方程的点都在直线上",
        "是其他形式方程的基础"
      ],
      "必要性": "直线方程的基础形式",
      "特殊说明": "倾斜角为$90^\\circ$时不能用",
      "前置知识": [
        "K2-1-1-02 直线的斜率",
        "K2-1-1-04 两点间距离公式"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K2-2-1-02 直线的斜截式方程"
      ],
      "相关方法": [
        "直线方程建立",
        "几何问题求解"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.1节 P64",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "方程建立",
        "几何应用",
        "代数运算"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-2-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的斜截式方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "$y = kx + b$",
      "参数": "斜率$k$和$y$轴截距$b$",
      "定义": "该公式为直线的斜截式方程的计算方法。",
      "为什么这样定义": "点斜式的特殊形式，$P_0$在$y$轴上",
      "核心特征": [
        "直观性强",
        "与一次函数形式一致",
        "系数几何意义明确"
      ],
      "必要性": "常用的直线方程形式",
      "特殊说明": "倾斜角为$90^\\circ$时不能用",
      "前置知识": [
        "K2-2-1-01 直线的点斜式方程"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "直线方程转换",
        "函数图像分析",
        "应用题"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.1节 P66",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "方程应用",
        "图像分析",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-2-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的两点式方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "\\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$",
      "条件": "$x_1 \\neq x_2$, $y_1 \\neq y_2$",
      "定义": "该公式为直线的两点式方程的计算方法。",
      "为什么这样建立": "利用斜率公式和点斜式推导",
      "核心特征": [
        "直接使用两点坐标",
        "不需先求斜率",
        "适用性广"
      ],
      "必要性": "已知两点时最直接的方法",
      "特殊说明": "特殊情况需要用其他形式",
      "前置知识": [
        "K2-1-1-03 斜率公式",
        "K2-2-1-01 点斜式方程"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K2-2-2-02 直线的截距式方程"
      ],
      "相关方法": [
        "直线方程建立",
        "几何应用",
        "坐标法"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.2节 P67",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "方程建立",
        "几何应用",
        "坐标变换"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-2-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的截距式方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} = 1$",
      "参数": "$x$轴截距$a$和$y$轴截距$b$",
      "定义": "该公式为直线的截距式方程的计算方法。",
      "为什么这样建立": "利用两点式方程的特殊情况",
      "核心特征": [
        "几何意义明显",
        "作图方便",
        "截距概念直观"
      ],
      "必要性": "截距存在的直线",
      "特殊说明": "$a \\neq 0, b \\neq 0$",
      "前置知识": [
        "K2-2-2-01 直线的两点式方程"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "图形分析",
        "截距计算",
        "实际应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.2节 P69",
      "重要程度": "基础",
      "考查方式": [
        "方程应用",
        "几何分析",
        "图形绘制"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-2-3-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线的一般式方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "$Ax + By + C = 0$",
      "条件": "$A, B$不同时为0",
      "定义": "该公式为直线的一般式方程的计算方法。",
      "为什么这样统一": "所有直线方程都可化为这种形式",
      "核心特征": [
        "形式统一",
        "涵盖所有情况",
        "便于代数运算"
      ],
      "必要性": "理论研究的需要",
      "特殊说明": "包括垂直直线",
      "前置知识": [
        "各种直线方程形式",
        "代数运算"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "方程转换",
        "位置关系研究",
        "代数推理"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.2.3节 P70",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "方程转换",
        "代数运算",
        "理论证明"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-3-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条直线的交点坐标",
      "类型": "公式/方法",
      "方法": "解两条直线方程组成的方程组",
      "步骤": "1.联立方程组；2.解方程组；3.得到交点坐标",
      "定义": "该公式/方法为两条直线的交点坐标的计算方法。",
      "为什么这样求解": "交点同时在两条直线上",
      "核心特征": [
        "代数方法",
        "精确求解",
        "适用于所有相交直线"
      ],
      "必要性": "研究直线相交的基础",
      "特殊说明": "无解表示平行，无数解表示重合",
      "前置知识": [
        "直线的一般式方程",
        "线性方程组解法"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K2-3-1-02 点到直线的距离公式"
      ],
      "相关方法": [
        "位置关系研究",
        "几何应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.1节 P75",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "交点计算",
        "几何应用",
        "代数推理"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-3-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "点到直线的距离公式",
      "类型": "公式",
      "公式": "$d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$",
      "参数": "点$P(x_0, y_0)$和直线$Ax + By + C = 0$",
      "定义": "该公式为点到直线的距离公式的计算方法。",
      "为什么这样计算": "利用向量和投影思想",
      "核心特征": [
        "通用性强",
        "计算相对简单",
        "几何意义明确"
      ],
      "必要性": "距离计算的基础",
      "特殊说明": "适用于任意点和直线",
      "前置知识": [
        "点到直线距离的定义",
        "向量投影",
        "向量模长"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K2-3-3-01 两条平行直线间的距离"
      ],
      "相关方法": [
        "距离计算",
        "位置关系判断",
        "几何应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.3节 P79",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "距离计算",
        "几何证明",
        "应用题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-3-3-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "两条平行直线间的距离",
      "类型": "公式",
      "公式": "$d = \\frac{|C_1 - C_2|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}$",
      "参数": "平行直线$Ax + By + C_1 = 0$和$Ax + By + C_2 = 0$",
      "定义": "该公式为两条平行直线间的距离的计算方法。",
      "为什么这样计算": "转化为点到直线的距离",
      "核心特征": [
        "计算简便",
        "几何意义明确",
        "适用于平行直线"
      ],
      "必要性": "平行线距离计算",
      "特殊说明": "不适用于相交直线",
      "前置知识": [
        "K2-3-2-01 点到直线的距离公式"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "距离计算",
        "位置关系研究",
        "几何应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.3.4节 P83",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "距离计算",
        "几何应用",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-4-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "圆的标准方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$",
      "参数": "圆心$C(a, b)$和半径$r$",
      "定义": "该公式为圆的标准方程的计算方法。",
      "为什么这样定义": "基于圆的定义和距离公式",
      "核心特征": [
        "几何意义明确",
        "形式简洁",
        "便于理解"
      ],
      "必要性": "圆的基础方程形式",
      "特殊说明": "包含所有圆",
      "前置知识": [
        "两点间距离公式",
        "圆的定义"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K2-4-2-01 圆的一般方程"
      ],
      "相关方法": [
        "圆的几何性质研究",
        "位置关系判断"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.4.1节 P87",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "圆的方程建立",
        "几何应用",
        "轨迹问题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-4-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "圆的一般方程",
      "类型": "公式",
      "公式": "$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$",
      "条件": "$D^2 + E^2 - 4F > 0$",
      "定义": "该公式为圆的一般方程的计算方法。",
      "为什么这样建立": "标准方程展开整理得到",
      "核心特征": [
        "形式统一",
        "涵盖所有圆",
        "便于代数分析"
      ],
      "必要性": "理论研究需要",
      "特殊说明": "等号时表示点，小于0时无意义",
      "前置知识": [
        "圆的标准方程",
        "代数配方法"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "圆的方程转换",
        "位置关系研究",
        "几何性质分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.4.2节 P90",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "方程转换",
        "圆的性质研究",
        "代数推理"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-5-1-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线与圆的位置关系",
      "类型": "定理/性质",
      "相交关系": "有两个公共点",
      "相切关系": "只有一个公共点",
      "相离关系": "没有公共点",
      "定义": "关于直线与圆的位置关系的定义。",
      "为什么这样分类": "基于公共点个数",
      "核心特征": [
        "可以用方程组解的个数判断",
        "几何意义明确",
        "研究方法统一"
      ],
      "必要性": "几何图形间的基本关系",
      "特殊说明": "不重合的直线与圆",
      "前置知识": [
        "直线方程",
        "圆的方程"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "位置关系判定",
        "几何应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.1节 P96",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "位置关系判断",
        "几何证明",
        "应用题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-5-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "圆与圆的位置关系",
      "类型": "定理/性质",
      "相交关系": "有两个公共点",
      "相切关系": "只有一个公共点（包括外切和内切）",
      "相离关系": "没有公共点（包括外离和内含）",
      "定义": "关于圆与圆的位置关系的定义。",
      "为什么这样分类": "基于公共点个数",
      "核心特征": [
        "可以用方程组解的个数判断",
        "圆心距与半径关系分析",
        "几何意义明确"
      ],
      "必要性": "圆与圆的基本关系",
      "特殊说明": "不重合的圆",
      "前置知识": [
        "圆的方程",
        "圆心距公式",
        "圆的半径"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "位置关系判定",
        "几何应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.2节 P101",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "位置关系判断",
        "几何证明",
        "代数推理"
      ]
    },
    {
      "编号": "K2-5-1-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "直线与圆相交的弦长公式",
      "类型": "公式",
      "公式": "弦长$=2\\sqrt{r^2 - d^2}$",
      "参数": "圆半径$r$和圆心到直线的距离$d$",
      "定义": "该公式为直线与圆相交的弦长公式的计算方法。",
      "为什么这样计算": "利用垂径定理和勾股定理",
      "核心特征": [
        "几何直观",
        "计算简便",
        "适用于所有相交情况"
      ],
      "必要性": "相交时的长度计算",
      "特殊说明": "$d < r$",
      "前置知识": [
        "垂径定理",
        "勾股定理",
        "点到直线距离"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "几何证明",
        "长度计算",
        "实际应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第一册第2章2.5.1节 P97",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "长度计算",
        "几何证明",
        "应用题"
      ]
    }
  ]
}