{
  "章节": "第六章-计数原理",
  "节": "6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，6.2 排列与组合，6.3 二项式定理",
  "小节": "6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，6.2.1 排列，6.2.2 排列数，6.2.3 组合，6.2.4 组合数，6.3.1 二项式定理，6.3.2 二项式系数的性质",
  "页码范围": "6-48",
  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K6-1-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "分类加法计数原理",
      "类型": "原理/法则",
      "定义": "完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法",
      "公式": "$N = m + n$",
      "关键特征": "各类方法互不相同，用其中任何一种方法都可以完成这件事",
      "为什么这样建立": "分类加法计数原理解决了'分类'问题的计数，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事",
      "核心特征": [
        "各类方法相互独立",
        "每类方法都能单独完成整件事",
        "各类方法之间互不重叠"
      ],
      "必要性": "解决计数问题的基础方法",
      "特殊说明": "分类要做到'不重不漏'",
      "前置知识": [
        "加法运算",
        "集合概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K6-1-1-02 分步乘法计数原理"
      ],
      "相关方法": [
        "分类讨论",
        "集合分类"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.1节 P14-18",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "分类计数应用",
        "方法选择判断",
        "实际计数问题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-1-1-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "分步乘法计数原理",
      "类型": "原理/法则",
      "定义": "完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法",
      "公式": "$N = m \times n$",
      "关键特征": "各个步骤中的方法互相依存，只有每一个步骤都完成才算做完这件事",
      "为什么这样建立": "分步乘法计数原理解决了'分步'问题的计数，其中各个步骤中的方法互相依存，需要所有步骤都完成",
      "核心特征": [
        "步骤之间相互依存",
        "必须完成所有步骤才能完成整件事",
        "每个步骤的方法数确定"
      ],
      "必要性": "解决复杂计数问题的重要方法",
      "特殊说明": "分步要做到'步骤完整'",
      "前置知识": [
        "乘法运算",
        "K6-1-1-01 分类加法计数原理"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "分步分析",
        "树状图"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.1节 P18-26",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "分步计数应用",
        "树状图分析",
        "复杂计数问题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "排列的概念",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "从$n$个不同元素中取出$m(m \\le n)$个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列",
      "关键特征": "元素的互异性和顺序性",
      "为什么这样定义": "排列是解决有序选取问题的数学概念，强调选取元素的顺序关系",
      "核心特征": [
        "元素互不相同",
        "考虑元素的排列顺序",
        "从不同元素中选取部分元素"
      ],
      "必要性": "研究有序计数问题的基础",
      "特殊说明": "两个排列相同的充要条件是元素完全相同且排列顺序相同",
      "前置知识": [
        "K6-1-1-02 分步乘法计数原理",
        "有序性概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K6-2-2-01 排列数"
      ],
      "相关方法": [
        "有序排列",
        "位置分析"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.1节 P41-46",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "排列判断",
        "有序计数",
        "实际应用问题"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "排列数",
      "类型": "公式/概念",
      "定义": "从$n$个不同元素中取出$m(m \\le n)$个元素的所有不同排列的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数",
      "符号": "$A_n^m$",
      "公式1": "$A_n^m = n(n-1)(n-2)\\cdots(n-m+1)$",
      "公式2": "$A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}$",
      "为什么这样建立": "排列数给出了有序选取问题的计数公式，避免了逐个列举的繁琐",
      "核心特征": [
        "基于分步乘法计数原理",
        "考虑选取顺序",
        "阶乘形式的简洁表达"
      ],
      "必要性": "计算排列数量的基础公式",
      "特殊说明": "当$m=n$时，$A_n^n = n!$，称为全排列",
      "前置知识": [
        "K6-2-1-01 排列的概念",
        "阶乘概念",
        "K6-1-1-02 分步乘法计数原理"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K6-2-3-01 组合的概念"
      ],
      "相关方法": [
        "排列计算",
        "阶乘运算"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.2节 P46-55",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "排列数计算",
        "公式应用",
        "化简求值"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-3-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "组合的概念",
      "类型": "概念/定义",
      "定义": "从$n$个不同元素中取出$m(m \\le n)$个元素作为一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合",
      "关键特征": "只考虑选取的元素，不考虑选取的顺序",
      "为什么这样定义": "组合是解决无序选取问题的数学概念，关注的是选取哪些元素而不关注顺序",
      "核心特征": [
        "元素互不相同",
        "不考虑元素的排列顺序",
        "从不同元素中选取部分元素组成一组"
      ],
      "必要性": "研究无序计数问题的基础",
      "特殊说明": "两个组合只要元素相同就相同，不论顺序如何",
      "前置知识": [
        "K6-2-1-01 排列的概念",
        "无序性概念"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K6-2-4-01 组合数"
      ],
      "相关方法": [
        "无序选取",
        "分组方法"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.3节 P56-62",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "组合判断",
        "无序计数",
        "与排列的区分"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-4-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "组合数",
      "类型": "公式/概念",
      "定义": "从$n$个不同元素中取出$m(m \\le n)$个元素的所有不同组合的个数，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数",
      "符号": "$C_n^m$或$\binom{n}{m}$",
      "公式1": "$C_n^m = \frac{A_n^m}{A_m^m} = \frac{n(n-1)\\cdots(n-m+1)}{m!}$",
      "公式2": "$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$",
      "为什么这样建立": "组合数给出了无序选取问题的计数公式，通过排列数与全排列的比值得到",
      "核心特征": [
        "基于排列数的关系推导",
        "不考虑选取顺序",
        "对称性：$C_n^m = C_n^{n-m}$"
      ],
      "必要性": "计算组合数量的基础公式",
      "特殊说明": "规定$C_n^0 = 1$",
      "前置知识": [
        "K6-2-3-01 组合的概念",
        "K6-2-2-01 排列数"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K6-2-4-02 组合数的性质"
      ],
      "相关方法": [
        "组合计算",
        "性质应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.4节 P63-73",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "组合数计算",
        "公式化简",
        "性质证明应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-4-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "组合数的性质",
      "类型": "定理/性质",
      "性质1": "$C_n^m = C_n^{n-m}$",
      "性质2": "$C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}$",
      "定义": "关于组合数的性质的定义。",
      "为什么这样建立": "组合数的性质反映了组合的内在规律，简化了组合数的计算和证明",
      "核心特征": [
        "对称性：选取m个元素等于选取n-m个元素",
        "递推性：可以从较小组合数递推得到较大组合数",
        "与杨辉三角的对应关系"
      ],
      "必要性": "组合数化简和计算的重要工具",
      "特殊说明": "性质在$m=n$时也成立",
      "前置知识": [
        "K6-2-4-01 组合数"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "组合数化简",
        "递推关系",
        "杨辉三角"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.4节 P73-77",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "性质证明",
        "组合数化简",
        "递推应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-3-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "二项式定理",
      "类型": "定理/公式",
      "定理": "$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \\cdots + C_n^ka^{n-k}b^k + \\cdots + C_n^nb^n$，其中$n \\in \\mathbb{N}^*$",
      "通项公式": "$T_{k+1} = C_n^ka^{n-k}b^k$（第$k+1$项）",
      "特殊情况": "$(1+x)^n = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2x^2 + \\cdots + C_n^nx^n$",
      "定义": "$(a+b)^n = C_n^0a^n + C_n^1a^{n-1}b + \\cdots + C_n^ka^{n-k}b^k + \\cdots + C_n^nb^n$，其中$n \\in \\mathbb{N}^*$",
      "为什么这样建立": "二项式定理是计数原理在多项式展开中的应用，给出了二项式展开的一般规律",
      "核心特征": [
        "基于计数原理推导",
        "系数为组合数",
        "指数递减递增规律",
        "项数为n+1"
      ],
      "必要性": "二项式展开的理论基础",
      "特殊说明": "适用于任意正整数次幂的二项式展开",
      "前置知识": [
        "K6-2-4-01 组合数",
        "多项式乘法",
        "K6-1-1-02 分步乘法计数原理"
      ],
      "包含的子知识点": [
        "K6-3-2-01 二项式系数的性质"
      ],
      "相关方法": [
        "多项式展开",
        "通项应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.3.1节 P78-88",
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "二项式展开",
        "通项公式应用",
        "特定项系数求解"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-3-2-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "二项式系数的性质",
      "类型": "性质/特征",
      "对称性": "与首末两端'等距离'的两个二项式系数相等，即$C_n^k = C_n^{n-k}$",
      "增减性与最大值": "当$k < \frac{n+1}{2}$时，$C_n^k$随$k$的增加而增大；当$k > \frac{n+1}{2}$时，$C_n^k$随$k$的增加而减小",
      "各系数和": "$C_n^0 + C_n^1 + \\cdots + C_n^n = 2^n$",
      "奇偶项系数和": "$C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + \\cdots = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + \\cdots = 2^{n-1}$",
      "定义": "关于二项式系数的性质的定义。",
      "为什么研究这些性质": "二项式系数的性质反映了展开式系数的内在规律，便于分析展开式的特征",
      "核心特征": [
        "对称分布",
        "中间项最大",
        "总和为2的幂次",
        "奇偶项系数和相等"
      ],
      "必要性": "分析二项式展开特征的重要工具",
      "特殊说明": "当$n$为偶数时，中间一项取得最大值；当$n$为奇数时，中间两项相等且同时取得最大值",
      "前置知识": [
        "K6-3-1-01 二项式定理",
        "K6-2-4-01 组合数"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "系数分析",
        "性质应用",
        "杨辉三角"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.3.2节 P89-99",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "性质应用",
        "系数和计算",
        "最大值求解"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "全排列",
      "类型": "概念/公式",
      "定义": "$n$个不同的元素全部取出的一个排列，叫做$n$个元素的一个全排列",
      "公式": "$A_n^n = n! = n \times (n-1) \times \\cdots \times 2 \times 1$",
      "规定": "$0! = 1$",
      "为什么这样定义": "全排列是排列的特殊情况，是理解阶乘概念和排列数公式的基础",
      "核心特征": [
        "取出所有元素",
        "考虑排列顺序",
        "用阶乘表示"
      ],
      "必要性": "排列数公式推导的基础",
      "特殊说明": "全排列数等于正整数1到n的连乘积",
      "前置知识": [
        "K6-2-2-01 排列数",
        "阶乘概念"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "阶乘计算",
        "排列应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.2节 P52-54",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "全排列计算",
        "阶乘运算",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-1-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "两个计数原理的比较",
      "类型": "方法/比较",
      "分类加法原理": "针对'分类'问题，各类方法相互独立，用任何一种方法都可以完成这件事",
      "分步乘法原理": "针对'分步'问题，各个步骤互相依存，只有完成所有步骤才能完成这件事",
      "选择标准": "分析要完成'一件事'是什么，判断需要分类还是分步",
      "定义": "关于两个计数原理的比较的定义。",
      "为什么需要比较": "正确区分两个原理是解决计数问题的关键，避免混淆使用",
      "核心特征": [
        "分类：独立性，任选其一",
        "分步：依存性，缺一不可",
        "判断依据：是否需要每个步骤都完成"
      ],
      "必要性": "正确选择计数方法的基础",
      "特殊说明": "有些复杂问题可能需要同时运用两个原理",
      "前置知识": [
        "K6-1-1-01 分类加法计数原理",
        "K6-1-1-02 分步乘法计数原理"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "原理选择",
        "综合应用"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.1节 P26-29",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "原理选择",
        "方法判断",
        "综合应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K6-2-5-01",
      "层次": "三级",
      "名称": "排列与组合的关系",
      "类型": "关系/方法",
      "联系": "都是从$n$个不同元素中取出$m(m \\le n)$个元素",
      "区别": "排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关",
      "数量关系": "$A_n^m = C_n^m \times A_m^m$，即排列数等于组合数乘以$m$个元素的全排列数",
      "定义": "关于排列与组合的关系的定义。",
      "为什么研究关系": "理解排列与组合的关系有助于正确区分问题类型和选择计算方法",
      "核心特征": [
        "相同的选取过程",
        "不同的顺序要求",
        "可以通过组合数计算排列数"
      ],
      "必要性": "区分排列问题和组合问题的关键",
      "特殊说明": "顺序是否影响结果是区分排列与组合的重要标志",
      "前置知识": [
        "K6-2-2-01 排列数",
        "K6-2-4-01 组合数"
      ],
      "包含的子知识点": [],
      "相关方法": [
        "问题类型判断",
        "公式推导"
      ],
      "教材位置": "选择性必修第6章6.2.3节 P56-62",
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "排列组合区分",
        "关系应用",
        "问题类型判断"
      ]
    }
  ]
}