{
  "教材信息": {
    "节": "8.1 成对数据的统计相关性，8.2 一元线性回归模型及其应用，8.3 列联表与独立性检验",
    "小节": "8.1.1 变量的相关关系，8.1.2 样本相关系数，8.2.1 一元线性回归模型，8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计，8.3.1 分类变量与列联表，8.3.2 独立性检验",
    "页码范围": "98-154",
    "教材名称": "数学选择性必修教科书",
    "章节": "第八章-成对数据的统计分析"
  },
  "knowledge_list": [
    {
      "编号": "K8-1-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "相关关系",
      "类型": "概念/定义",
      "核心内容": {
        "定义": "两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系。例如：人的体重与身高之间存在相关关系，但身高不能完全决定体重。",
        "特征": "变量间存在关联，但不能用一个变量精确确定另一个变量的值",
        "举例": "人的体重与身高之间存在相关关系，但身高不能完全决定体重"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "现实世界中许多变量之间存在关联但不是函数关系，需要用相关关系来描述这种不完全确定的依赖关系",
        "核心特征": [
          "变量间存在相互影响",
          "一个变量不能完全决定另一个变量",
          "受其他因素影响"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "研究变量间关系的基础概念",
        "特殊说明": "相关关系不同于函数关系，后者可以由自变量精确确定因变量"
      },
      "前置知识": [
        "函数概念",
        "变量关系"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [
          "K8-1-1-02 正相关与负相关",
          "K8-1-1-03 线性相关与非线性相关"
        ],
        "相关方法": [
          "散点图分析",
          "相关性判断"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.1.1节 P98-100"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "相关关系识别",
        "与函数关系的区分",
        "实际例子分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-1-1-02",
      "层次": "二级",
      "名称": "正相关与负相关",
      "类型": "概念/分类",
      "核心内容": {
        "正相关": "当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势",
        "负相关": "当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势",
        "定义": "正相关是指当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势。负相关是指当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样分类": "通过散点图可以直观观察变量间相关关系的方向，为定量分析提供基础",
        "核心特征": [
          "正相关：同向变化趋势",
          "负相关：反向变化趋势",
          "可通过散点图直观判断"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "描述相关关系的基本方向",
        "特殊说明": "需要通过散点图或数据验证"
      },
      "前置知识": [
        "K8-1-1-01 相关关系"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [
          "K8-1-2-01 样本相关系数"
        ],
        "相关方法": [
          "散点图分析",
          "趋势判断"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.1.1节 P100-101"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "正负相关判断",
        "散点图分析",
        "实际应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-1-1-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "线性相关与非线性相关",
      "类型": "概念/分类",
      "核心内容": {
        "线性相关": "散点落在一条直线附近的相关关系",
        "非线性相关": "散点落在某条曲线附近但不是直线附近的相关关系",
        "定义": "线性相关是指散点落在一条直线附近的相关关系。非线性相关是指散点落在某条曲线附近但不是直线附近的相关关系。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样区分": "不同类型的相关关系需要用不同的数学模型来描述和拟合",
        "核心特征": [
          "线性相关：可用直线模型拟合",
          "非线性相关：需要曲线模型拟合",
          "通过散点图分布特征判断"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "选择合适统计模型的基础",
        "特殊说明": "有些情况下可能没有明显相关性"
      },
      "前置知识": [
        "K8-1-1-01 相关关系",
        "K8-1-1-02 正相关与负相关"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "模型选择",
          "曲线拟合"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.1.1节 P100-101"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "相关性类型判断",
        "模型选择",
        "散点图分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-1-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "样本相关系数",
      "类型": "概念/公式",
      "核心内容": {
        "定义": "描述成对样本数据线性相关程度的数字特征",
        "公式": "$r = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y})}{\\sqrt{\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})^2} \\sqrt{\\sum_{i=1}^{n} (y_i - \\bar{y})^2}}$",
        "取值范围": "$-1 \\le r \\le 1$"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "通过标准化处理消除度量单位影响，构造出能够定量刻画线性相关程度的统计量",
        "核心特征": [
          "取值范围在[-1,1]之间",
          "r>0时为正相关，r<0时为负相关",
          "|r|越接近1，线性相关程度越强"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "定量分析变量间线性相关程度的重要工具",
        "特殊说明": "只反映线性相关程度，不反映非线性相关"
      },
      "前置知识": [
        "均值概念",
        "标准差概念",
        "K8-1-1-02 正相关与负相关"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "相关性分析",
          "统计推断"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.1.2节 P102-108"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "相关系数计算",
        "相关程度判断",
        "统计推断"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-2-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "一元线性回归模型",
      "类型": "概念/模型",
      "核心内容": {
        "模型": "$\\begin{cases} Y = bx + a + e \\ E(e) = 0, D(e) = \\sigma^2 \\end{cases}$",
        "变量说明": "Y为因变量（响应变量），x为自变量（解释变量），e为随机误差",
        "参数说明": "a为截距参数，b为斜率参数",
        "定义": "一元线性回归模型是描述两个变量之间线性关系的一种统计模型。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "当变量间存在线性相关关系时，用线性函数刻画一个变量对另一个变量的影响，其他因素作为随机误差处理",
        "核心特征": [
          "线性关系描述",
          "考虑随机误差",
          "参数需要估计"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "necessity": "研究线性相关变量间统计关系的基础",
        "特殊说明": "要求变量间存在线性相关关系",
        "必要性": "研究线性相关变量间统计关系的基础"
      },
      "前置知识": [
        "K8-1-1-03 线性相关",
        "随机变量概念"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [
          "K8-2-2-01 最小二乘估计"
        ],
        "相关方法": [
          "回归分析",
          "参数估计"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.2.1节 P110-112"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "模型理解",
        "参数解释",
        "应用分析"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-2-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "最小二乘估计",
      "类型": "方法/公式",
      "核心内容": {
        "原理": "使残差平方和$Q = \\sum_{i=1}^{n} (y_i - bx_i - a)^2$达到最小",
        "参数估计公式": "$\\hat{b} = \\frac{\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})(y_i - \\bar{y})}{\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})^2}$，$\\hat{a} = \\bar{y} - \\hat{b}\\bar{x}$",
        "经验回归方程": "$\\hat{y} = \\hat{b}x + \\hat{a}$",
        "定义": "最小二乘估计是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "通过使观测值与预测值偏差的平方和最小，找到最佳拟合直线",
        "核心特征": [
          "残差平方和最小化",
          "参数有明确的计算公式",
          "提供最佳线性拟合"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "估计一元线性回归模型参数的标准方法",
        "特殊说明": "适用于线性相关关系的变量"
      },
      "前置知识": [
        "K8-2-1-01 一元线性回归模型",
        "极值概念"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [
          "K8-2-2-02 残差分析"
        ],
        "相关方法": [
          "参数估计",
          "模型拟合"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.2.2节 P113-119"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "参数计算",
        "回归方程建立",
        "最小二乘原理应用"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-2-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "残差与残差分析",
      "类型": "概念/方法",
      "核心内容": {
        "残差定义": "观测值减去预测值，即$e_i = y_i - \\hat{y}_i$",
        "残差图": "以自变量为横坐标，残差为纵坐标的散点图",
        "残差分析目的": "检验模型拟合效果，判断模型假设是否满足",
        "定义": "残差是观测值与模型预测值之间的差异。残差分析是通过分析残差的性质来评估模型的拟合优度。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么需要残差分析": "通过分析残差的分布特征可以评价模型的好坏，发现模型改进的方向",
        "核心特征": [
          "残差反映模型拟合误差",
          "残差图检验模型假设",
          "用于模型诊断和改进"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "评价回归模型拟合效果的重要工具",
        "特殊说明": "残差应满足模型假设条件"
      },
      "前置知识": [
        "K8-2-2-01 最小二乘估计"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "模型诊断",
          "假设检验"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.2.2节 P116-119"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "残差计算",
        "残差图分析",
        "模型评价"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-3-1-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "分类变量与2×2列联表",
      "类型": "概念/表示",
      "核心内容": {
        "分类变量": "取值于有限个类别的随机变量，通常用数值作为编号",
        "2×2列联表": "整理成对分类变量数据的交叉分类频数表",
        "表格结构": "包含两个分类变量的四个组合的频数统计",
        "定义": "分类变量是取值为有限个类别的随机变量。2×2列联表是用于整理两个分类变量数据的交叉分类频数表。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么需要列联表": "列联表系统地整理了分类变量的联合分布信息，便于分析变量间的关联性",
        "核心特征": [
          "交叉分类统计",
          "频数分布展示",
          "为独立性检验提供数据基础"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "研究分类变量间关联关系的基础工具",
        "特殊说明": "适用于取值为两个类别的分类变量"
      },
      "前置知识": [
        "分类变量概念",
        "频数分布"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [
          "K8-3-2-01 独立性检验"
        ],
        "相关方法": [
          "频数分析",
          "关联性研究"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.3.1节 P129-133"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "列联表制作",
        "频数分析",
        "分类变量处理"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-3-2-01",
      "层次": "二级",
      "名称": "独立性检验",
      "类型": "方法/检验",
      "核心内容": {
        "零假设": "$H_0$: 分类变量X和Y相互独立",
        "检验统计量": "$\\chi^2 = \\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$",
        "检验规则": "当$\\chi^2 \\ge \\chi^2_\\alpha$时，拒绝零假设，认为变量不独立",
        "定义": "独立性检验是用于检验两个分类变量是否相互独立的统计方法。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样建立": "基于小概率原理，比较观测频数与期望频数的差异，判断变量间是否独立",
        "核心特征": [
          "基于卡方统计量",
          "使用小概率原理",
          "控制犯错误概率"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "检验分类变量间关联性的统计方法",
        "特殊说明": "需要样本容量充分大"
      },
      "前置知识": [
        "K8-3-1-01 2×2列联表",
        "假设检验概念"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "假设检验",
          "统计推断"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.3.2节 P133-141"
      },
      "重要程度": "核心",
      "考查方式": [
        "独立性检验",
        "统计推断",
        "结论解释"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-1-1-04",
      "层次": "三级",
      "名称": "散点图",
      "类型": "概念/工具",
      "核心内容": {
        "定义": "用直角坐标系中的点表示成对样本数据的统计图",
        "作用": "直观描述两个变量之间的关系和分布特征",
        "制作方法": "以一个变量为横轴，另一个变量为纵轴，将成对数据表示为坐标点"
      },
      "原理说明": {
        "为什么使用散点图": "散点图能够直观展示变量间的关系类型、相关程度和异常值，为后续分析提供直观依据",
        "核心特征": [
          "直观展示变量关系",
          "识别相关性类型",
          "发现异常值"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "分析成对数据关系的基础工具",
        "特殊说明": "适用于数值型变量"
      },
      "前置知识": [
        "坐标系概念",
        "成对数据"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "数据可视化",
          "探索性数据分析"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.1.1节 P99-101"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "散点图制作",
        "关系判断",
        "数据特征识别"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-2-2-03",
      "层次": "三级",
      "名称": "决定系数R²",
      "类型": "概念/指标",
      "核心内容": {
        "定义": "$R^2 = 1 - \\frac{\\sum_{i=1}^n (y_i - \\hat{y}_i)^2}{\\sum_{i=1}^n (y_i - \\bar{y})^2}$",
        "意义": "反映回归模型对数据变异的解释程度",
        "取值范围": "0 ≤ R² ≤ 1，越接近1拟合效果越好"
      },
      "原理说明": {
        "为什么这样定义": "决定系数量化了回归模型解释因变量变异的比例，是评价模型拟合优度的重要指标",
        "核心特征": [
          "衡量模型拟合优度",
          "取值范围[0,1]",
          "值越大拟合效果越好"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "评价回归模型拟合效果的重要指标",
        "特殊说明": "在线性回归中等于样本相关系数的平方"
      },
      "前置知识": [
        "K8-2-2-01 最小二乘估计",
        "方差概念"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "模型评价",
          "拟合优度检验"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.2.2节 P123-124"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "R²计算",
        "模型评价",
        "拟合效果比较"
      ]
    },
    {
      "编号": "K8-3-2-02",
      "层次": "三级",
      "名称": "临界值与检验水平",
      "类型": "概念/参数",
      "核心内容": {
        "检验水平α": "预先设定的小概率值，通常取0.1, 0.05, 0.01等",
        "临界值x_α": "满足P(χ² ≥ x_α) = α的值",
        "常用临界值": "x₀.₁=2.706, x₀.₀₅=3.841, x₀.₀₁=6.635等",
        "定义": "检验水平α是预先设定的小概率值。临界值x_α是满足P(χ² ≥ x_α) = α的值。"
      },
      "原理说明": {
        "为什么需要临界值": "临界值为统计推断提供判断标准，控制犯第一类错误的概率",
        "核心特征": [
          "基于小概率原理",
          "控制错误概率",
          "提供明确判断标准"
        ]
      },
      "适用条件": {
        "必要性": "进行假设检验的必要参数",
        "特殊说明": "α越小，检验标准越严格"
      },
      "前置知识": [
        "K8-3-2-01 独立性检验",
        "小概率原理"
      ],
      "关联内容": {
        "包含的子知识点": [],
        "相关方法": [
          "假设检验",
          "统计推断"
        ],
        "教材位置": "选择性必修第8章8.3.2节 P135-136"
      },
      "重要程度": "重要",
      "考查方式": [
        "临界值查找",
        "检验水平选择",
        "统计推断"
      ]
    }
  ]
}