# 数学方法整理

## **一、通用数学思想 (宏观层面)**

1.  数形结合思想
2.  分类讨论思想
3.  化归与转化思想
4.  函数与方程思想
5.  从特殊到一般思想
6.  从一般到特殊思想
7.  公理化思想
8.  模型化思想
9.  坐标化思想 / 解析法
10. 或然思想 / 随机思想
11. 用样本估计总体思想
12. 向量法
13. 坐标法 / 解析几何思想
14. 方程思想
15. 类比思想
16. 极限思想
17. 归纳-猜想-证明思想
18. 特殊与一般思想
19. 正难则反思想 (间接法)

## **二、通用解题策略 (中观层面)**

1.  待定系数法
2.  换元法
3.  配方法
4.  定义法
5.  分析法 (执果索因/倒推法)
6.  综合法 (由因导果/顺推法)
7.  举反例法
8.  逻辑演绎法
9.  归纳猜想法
10. 构造法
11. 分离常数法
12. 反证法
13. 轨迹方程求解法
14. 韦达定理应用
15. 数学归纳法
16. 比较法 (作差、作商)
17. 赋值法

## **三、具体计算与操作技巧 (微观层面)**

### **集合与逻辑**
1.  元素分析法
2.  Venn图表示法
3.  数轴标根法

### **函数、方程与不等式**
4.  作差(商)比较法
5.  因式分解法
6.  公式法 (求根公式)
7.  图像交点法
8.  零点存在性定理应用
9.  二分法
10. 利用单调性比较大小
11. 图像变换法 (平移、伸缩、对称)
12. 五点法作图

### **指数与对数**
13. 指数/对数运算法则应用
14. 换底公式法
15. 对数化指数/指数化对数

### **三角函数**
16. 单位圆分析法
17. 诱导公式化简法
18. 三角函数线法
19. 和角与差角公式应用
20. 倍角公式应用
21. 半角公式应用
22. 辅助角公式法 (化一法)
23. 积化和差法
24. 和差化积法
25. 切化弦法
26. "1"的代换法

### **向量与复数**
27. 向量的几何作图法 (三角形法则、平行四边形法则)
28. 向量的坐标运算法
29. 基底法 / 向量分解法
30. 向量线性运算
31. 向量数量积运算法
32. 中点/定比分点坐标公式应用
33. 正弦/余弦定理应用
34. 面积公式应用
35. 复数代数形式运算法则
36. 复数几何意义分析法
37. 复数三角形式运算法则
38. 棣莫弗定理应用
39. 共轭复数性质应用
40. 空间向量的几何运算法
41. 空间向量共线/共面定理应用
42. 空间向量基本定理应用
43. 空间直角坐标系建立
44. 空间向量的坐标运算法
45. 利用法向量处理平行与垂直问题
46. 利用向量数量积求角
47. 利用向量投影求距离

### **立体几何**
48. 公理化/符号化推理法
49. 平移法
50. 补全法
51. 割补法
52. 定义判定法
53. 判定定理与性质定理的转化应用
54. 作-证-求三步法
55. 射影法
56. 三垂线定理及其逆定理应用
57. 面积射影定理应用
58. 等体积法 / 体积桥
59. 祖暅原理应用
60. 直观图画法 (斜二测画法、正等测画法)

### **解析几何**
61. 斜率公式应用
62. 直线方程的选取与互化
63. 参数方程应用
64. 方程联立求解法
65. 两点间距离公式应用
66. 点到直线距离公式应用
67. 两平行线间距离公式应用
68. 对称问题处理方法
69. 弦长公式应用
70. 圆的方程的选取与互化
71. 圆锥曲线标准方程的求解
72. 圆锥曲线几何性质的计算
73. 点与圆锥曲线位置关系判断
74. 直线与圆锥曲线位置关系判断
75. 中点弦问题处理 (点差法)
76. 焦点弦性质应用
77. 光学性质应用
78. 参数法/定义法求解最值问题
79. 信息技术探究法

### **数列**
80. 观察归纳法
81. 公式法
82. 倒序相加法
83. 错位相减法
84. 裂项相消法
85. 分组求和法
86. 利用a_n与S_n的关系
87. 基本量法
88. 性质应用法
89. 取对数法

### **导数**
90. 极限逼近法
91. 导数定义法求导
92. 基本初等函数求导公式应用
93. 导数的四则运算法则
94. 复合函数求导的链式法则
95. 利用导数判断函数单调性
96. 利用导数求函数极值
97. 利用导数求函数在闭区间上的最值
98. 利用导数解决优化问题
99. 切线方程求解法
100. 牛顿迭代法
101. 构造辅助函数证明不等式

### **统计与概率**
102. 随机抽样法 (抽签法、随机数法)
103. 分层抽样法
104. 数据可视化法
105. 数字特征分析法
106. 频率估计概率法
107. 数据拟合法
108. 枚举法 / 列表法 / 树状图法
109. 排列组合法
110. 概率性质应用法
111. 事件关系转化法
112. 独立事件概率乘法公式
113. 随机模拟法 / 蒙特卡洛方法
114. 条件概率公式法
115. 概率乘法公式法
116. 全概率公式法
117. 贝叶斯公式法
118. 概率分布列构建
119. 期望 (均值) 计算
120. 方差、标准差计算
121. 二项分布模型应用
122. 超几何分布模型应用
123. 正态分布模型应用
124. 散点图分析法
125. 相关系数计算与判断
126. 经验回归模型构建
127. 最小二乘法
128. 残差分析法
129. 决定系数(R²)分析法
130. 2×2列联表分析法
131. χ²(卡方)独立性检验

### **计数原理**
132. 穷举法 / 枚举法
133. 树状图法
134. 分类加法计数
135. 分步乘法计数
136. 排列计算
137. 组合计算
138. 捆绑法
139. 插空法
140. 隔板法
141. 排除法 (去杂法)
142. 间接法 (补集思想)
143. 二项式展开
144. 通项公式法
145. 系数分离法
146. 递归思想